2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期期末考试数学(文)试题及答案

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河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期期末考试+数学(文)答案

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2019-2020学年河南省洛阳一高高一(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年河南省洛阳一高高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.若关于x 的不等式|x −1|+|x +m|>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−4)∪(2,+∞)B. (−∞,−4)∪(1,+∞)C. (−4,2)D. [−4,1]2.为了得到函数y =cos(3x −π4)的图象，只需把函数y =cos3x 的图象上所有点( )A. 向左平移π4个单位 B. 向右平移π4个单位 C. 向左平移π12个单位D. 向右平移π12个单位3.如果直线与直线(互相垂直，则( )A. B. C.，D.，，4.过点(−2,4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条5.将参加数学夏令营的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，求得间隔数k =100050=20，即每20人抽取一个人．在0001到0020中随机抽得的号码为0015，从0601到0785被抽中的人数为( )A. 8B. 9C. 10D. 116.已知平面向量a ⃗ =(2cos 2x,sin 2x)，b ⃗ =(cos 2x,−2sin 2x)，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，要得到y =√3sin2x +cos2x 的图象，只需要将函数y =f(x)的图象( )A. 向左平移π6个单位 B. 向右平移π6个单位 C. 向左平移π12个单位D. 向右平移π12个单位7.已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A. 12πB. 4πC. 3π8. 某学校高中每个年级只有三个班，且同一年级的三个班的羽毛球水平相当，各年级举办班级羽毛球比赛时，都是三班得冠军的概率为( )A. 127B. 19C. 18D. 1369.设函数y =f(x)(x ∈R)的图象关于直线x =0及直线x =1对称，且x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，则f(−32)=( )A. 12B. 14C. 34D. 9410. 已知函数f(x)=cos(π6−2x)，把y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. g(π3)=√32B. g(x)的图象关于直线x =π2对称 C. g(x)的一个零点为(π2,0)D. g(x)的一个单调减区间为[−π12,5π12]11. 体积为2√153的三棱锥A −BCD 中，BC =AC =BD =AD =3，CD =2√5，AB <2√2，则该三棱锥外接球的表面积为( )A. 20πB.613πC. 6112πD. 4912π12. 函数f(x)={e x +ax+ax+1,x >−1x 2+4x +3,x ≤−1，则关于x 的方程f[f(x)]=0的实数解最多有( )A. 4个B. 7个C. 10个D. 12个二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 15.已知直线过点且与圆相切，则该直线在轴正半轴上的截距等于___ ▲____；14. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，则AD 1与B 1C 所成角的大小为______ ．15. 已知矩形ABCD ，AB =2，BC =1，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =______．16. 已知函数f(x)={e x −1,x ≤ax 2+x −2,x >a 恰有一个零点，则a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知，，其中(1)求证：与互相垂直； (2)若与的长度相等，求的值(为非零的常数)．18. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =π3，ED ⊥平面ABCD ，EF//DB ，M 是线段AE 的中点，DE =EF =12BD =2．(1)证明：DM//平面CEF ； (2)求多面体ABCDEF 的表面积．19. 中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道．某小区有1200户家庭，全部居民在小区的8栋楼内，各家庭在过年时各自包有肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子三种味道的饺子(假设每个家庭包有且只包有这三种味道中的一种味道的饺子)． (1)现根据饺子的不同味道用分层抽样的方法从该小区随机抽样抽取n 户家庭，其中有10户家庭包的是素馅饺子，在抽取家庭中包肉馅饺子和蛋馅饺子的家庭分布在8栋楼内的住户数记录为如图1所示的茎叶图，已知肉馅饺子数的中位数为10，蛋馅饺子数的平均数为5，求该小区包肉馅饺子的户数；(2)现从包肉馅饺子的y 2=4x 家庭中随机抽取100个家庭调查包饺子的用肉量(单位：kg)得到了如图2所示的频率分布直方图，若用肉量在第1小组[1.0,1.4)内的户数为x +y(x,y 为茎叶图中的x ，y)，试估计该小区过年时各户用于包饺子的平均用肉量(各小组数据以组中值为代表)．20.(本题满分12分)已知向量，设函数(Ⅰ)求函数的解析式和单调增区间；(Ⅱ)若，求的值．21. 已知椭圆:的一个焦点为且过点．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．22. 已知函数f(x)=2acosx−sin2x，当x∈[−π6,2π3]时，求函数y=f(x)的最小值．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由于|x −1|+|x +m|表示数轴上的x 对应点到1和−m 的距离之和，它的最小值等于|1+m|，由题意可得|1+m|>3，解得m >2，或 m <−4，故选：A ．由绝对值的意义可得|x −1|+|x +m|的最小值等于|1+m|，由题意可得|1+m|>3，由此解得实数m 的取值范围．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，得到|1+m|>3，是解题的关键，属于中档题．2.答案：D解析：解：把函数y =cos3x 的图象上所有点向右平移π12个单位，得到y =cos(3x −π4)的图象，故选：D ．直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．3.答案：C解析：试题分析：由于直线与直线互相垂直，则有，解得，故选C ．考点：两直线的位置关系4.答案：B解析：解：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为：y =−2x ，即2x +y =0； ②当在坐标轴上截距不为0时，∵在坐标轴上截距互为相反数， ∴x −y =a ，将A(−2,4)代入得，a =−6， ∴此时所求的直线方程为x −y +6=0；共有2条，故选：B ．可分①当在坐标轴上截距为0时与②在坐标轴上截距不为0时讨论解决．本题考查直线的截距式方程，当在坐标轴上截距为0时容易忽略，考查分类讨论思想与缜密思考的习惯．5.答案：B解析：本题主要考查系统抽样的应用，属于基础题．根据系统抽样的定义进行求解即可．解：由题意样本间隔为20，第一组抽到的号码为15，则第n组抽到的号码为15+20(n−1)=20n−5，由601≤20n−5≤785，得60620≤n≤79020，n为正整数．即31≤n≤39，共有39−31+1=9人，故选：B．6.答案：B解析：本题主要考查两个向量的数量积公式、三角恒等变换、函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简函数f(x)的解析式，再根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．解：函数f(x)=a⃗⋅b⃗ =2cos2x⋅cos2x−2sin2x⋅sin2x=2(cos2x+sin2x)⋅(cos2x−sin2x)=2cos2x=2sin(2x+π2)=2sin2(x+π4)，∴要得到y=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)=2sin2(x+π12)的图象，只需要将函数y=f(x)=2sin(2x+π2)的图象向右平移π4−π12=π6个单位即可，故选B．7.答案：C解析：解：由三视图可知该三棱锥为棱长为1的正方体切去四个小三棱锥得到的几何体．设该三棱锥的外接球半径为R，∴2R=√12+12+12=√3，∴R=√32．∴外接球的表面积为S=4πR2=3π．故选：C．该三棱锥为棱长为1的正方体切去四个小三棱锥得到的，故正方体的体对角线等于外接球的直径．本题考查了常见几何体与外接球的关系，根据三视图得出三棱锥与正方体的关系是关键．8.答案：A解析：解：由于同一年级的三个班的羽毛球水平相当，故每个班得冠军的概率13，故都是三班得冠军的概率为13×13×13=127，故选：A．由于同一年级的三个班的羽毛球水平相当，故每个班得冠军的概率13，根据概率的乘法公式即可得到都是三班得冠军的概率．本题考查了概率的乘法公式，属于基础题．9.答案：B解析：解析：∵函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0对称，∴f(−x)=f(x)；∵函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=1对称，∴f(1−x)=f(1+x)；∴f(−32)=f(32)=f(1+12)=f(1−12)=f(12)=(12)2=14．选B．由于函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=0及直线x=1对称，可得出f(−x)=f(x)和f(1−x)= f(1+x)，结合函数在[0,1]上的解析式即可求得f(−32)的值．本题考查利用函数的图象的对称性求值的问题，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．10.答案：D解析：解：函数f(x)=cos(π6−2x)=cos(2x−π6)，把y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，得到：g(x)=cos(2x+π3−π6)=cos(2x+π6)，故：①g(π3)=cos5π6=−√32，②当x=π2时，g(π2)=cos7π6=−√32≠±1，③当x=π3时，g(π3)=cos5π6=−√32≠0，故：A、B、C错误．故选：D．首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数和余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：取AB的中点E，连接DE，CE，因为BC=AC=BD=AD=3，所以CE⊥AB，DE⊥AB，DE∩CE=E，所以AB⊥面CDE，且DE=CE，取CD的中点，连接EP，则EP⊥CD，所以V A−BCD=13AB⋅S CDE=13⋅AB⋅12CD⋅EP=16⋅AB⋅2√5⋅√DE2−(DC2)2=√5 3⋅AB⋅√AD2−(AB2)2−5=√53⋅AB⋅√4−AB24，因为V A−BCD=2√153，所以2√153=√53⋅AB⋅√4−AB24，因为AB<2√2，所以解得AB=2；AE=1，DE=CE=√AC2−(AB2)2=√32−1=2√2，所以sin∠ACE=AEAC =13，所以sin∠ACB=2sin∠ACE⋅cos∠ACE=2⋅13⋅2√23=4√29，由题意可得D在底面的投影在中线CE所在的直线上，设为F，设DF=ℎ，设底面ABC的外接圆的半径为r，设圆心为O′，2r=ABsic∠ACB=4√29，所以r=9√28，O′E=CE−r=2√2−9√28=7√28，V A−BCD=2√153=13S ABC⋅ℎ=13⋅12AC2⋅sin∠ACB⋅ℎ=16⋅9⋅2√2⋅ℎ，解得ℎ=√302，所以EF=√DE2−DF2=√8−304=√22，所以O′F=EF+O′E=√22+7√28=11√28，过O′作OO′⊥面ABC的垂线，作OH⊥DF于H，则四边形HFO′O为矩形，设外接球的半径为R，取OA=OB=OD=R，在三角形OHD中，OD2=OH2+(DF−FH)2，即R2=O′F2+(√302−OO′)2=(11√28)2+(√302−OO′)2，①在三角形OO′中，OC2=CO′2+OO′2=r2+OO′2即R2=(9√28)2+OO′2，②，由①②可得R2=6112，所以外接球的表面积S=4πR2=4π⋅6112=613π，故选：B．由题意取AB的中点E，连接DE，CE，因为BC=AC=BD=AD=3，所以CE⊥AB，DE⊥AB，DE∩CE=E，所以AB⊥面CDE，且DE=CE，取CD的中点，连接EP，则EP⊥CD，再由体积可得AB的值，进而求出底面外接圆的半径，及D到底面的高，由题意求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积．本题考查三棱锥与外接球的半径之间的关系，及球的表面积公式，属于中档题12.答案：D解析：解：当x>−1时，f′(x)=xe x(x+1)2，∴f(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．∴当x=0时，f(x)取得极小值f(0)=1+a．当x≤−1时，由二次函数性质可知f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,−1]上单调递增，∴当x=−2时，f(x)取得极小值f(−2)=−1．不妨设1+a<0，则f(x)=0有4个解，不妨设从小到大依次为t1，t2，t3，t4，则t1=−3，t2=−1，−1<t3<0，t4>0．再令1+a<−3，作出f(x)的函数图象如图所示：∵f[f(x)]=0，∴f(x)=t i，(i=1,2，3，4)．由图象可知f(x)=−3由2解，f(x)=−1有3解，f(x)=t3有4解，f(x)=t4有3解，∴f(f(x))=0最多有12解．故选：D．判断f(x)的单调性，作出f(x)的大致函数图象，求出f(t)=0的解，再根据f(x)的图象得出f(x)=t 的解得个数即可得出结论．本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数单调性的判定与函数极值的计算，属于中档题．13.答案：解析：14.答案：90°解析：解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵AD1//BC1，∴AD1与B1C所成角的大小为BC1与B1C所成角的大小，∵BCC1B1是正方形，∴BC1与B1C所成角的大小是90°，∴AD1与B1C所成角的大小为90°．故答案为：90°．利用正方形的性质求解．本题考查异面直线所成的角的大小的求法，解题时要认真审题，是基础题．15.答案：4解析：解：矩形ABCD ，AB =2，BC =1，∴CD =AB =2，∴DB =√BC 2+CD 2=√5，∴cos∠CDB =2√5，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos∠CDB =√5×2×√5=4，故答案为：4 根据矩形的性质和向量的数量积公式即可求出．本题主要考查矩形的性质，两个向量的数量积的运算，属于基础题．16.答案：[−2,0)∪[1，+∞)解析：解：由e x −1=0，可得x =0，由x 2+x −2=0，可得x =−2或1，可得a =0或0<a <1时，f(x)有两个零点0，1；若a <−2时，f(x)有两个零点−2，1；若f(x)的零点只有一个零点0，可得a ≥1；若f(x)的零点只有一个零点1，得a <0，且−2≤a <1；可得−2≤a <0或a ≥1，故答案为：[−2,0)∪[1，+∞)．求得f(x)的零点，讨论a =0，a >0，a <0，结合恰有一个零点，可得a 的范围．本题考查分段函数的零点个数，考查分类讨论思想，以及方程思想，属于基础题．17.答案：(1)。

河南省洛阳市河洛中学高一化学下学期期末试题含解析

河南省洛阳市河洛中学高一化学下学期期末试题含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。

）1. 如将两个铂电极插入KOH溶液中，向两极分别通入CH4和O2即构成甲烷燃料电池。

已知通入甲烷的一极，其电极反应为，下列叙述正确的是A.通入甲烷的一极为正极B通入氧气的一极发生氧化反应C.该电池总反应为D.该电池在工作时，溶液中的阴离子向正极移动参考答案：C2. 下列实验基本操作中正确的是A. 稀释浓硫酸时，将浓硫酸沿器壁缓慢注入水中，并不断搅拌B. 过滤时，漏斗里液体的液面要高于滤纸的边缘C. 胶头滴管的管口直接伸入试管里滴加液体，以免外溅D. 实验结束后，用嘴吹灭酒精灯参考答案：AA项，稀释浓硫酸时应将浓硫酸沿器壁缓慢注入水中，并不断搅拌，正确；B项，过滤时，漏斗里液体的液面要低于滤纸的边缘，错误；C项，胶头滴管应在试管的正上方向试管中滴加液体，不能伸入试管中，错误；D项，实验结束应用灯帽盖灭酒精灯，错误；答案选A。

3. 用N A表示阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是A．1mol CH3+（碳正离子）中含有电子数为10N AB．常温常压下，17g NH3中含有原子数4N AC．常温常压下，22.4 L水中含有的共价键数为2N AD．在密闭容器中，1molN2与3molH2在一定条件下充分反应，生成氨气的分子数为2 N A参考答案：B4. 14C是一种放射性同位素，在高层大气中由宇宙射线产生的中子或核爆炸产生的中子轰击14N可使它转变为14C，14N +n → 14C+H，下列说法正确的是（）A．14C和14N互为同位素 B．14C和C60是同素异形体C．14CO2的摩尔质量为46 D．地球上活着的生物体内，由于新陈代射作用也存在14C参考答案：D略5. 下列关于电池的叙述不正确的是A.电池充电是使放电时的氧化还原反应的逆向进行B.较长时间不使用电器时，最好从电器中取出电池，并妥善存放C.氢氧燃料电池产物为无污染的水，周子环境友好电池D.燃料电池的能量转化率可达100%参考答案：D6. 对于放热反应，下列说法正确的是A．产物H2O所具有的总能量高于反应物H2和O2所具有的总能量B．反应物H2和O2所具有的总能量高于产物H2O所具有的总能量C．反应物H2和O2所具有的总能量等于产物H2O所具有的总能量D．反应物H2和O2具有的能量相等参考答案：B7. 下列实验操作中，错误的是（）A．分液时，分液漏斗中下层液体从下口放出，上层液体从上口倒出B．蒸馏时，应使温度计水银球位于蒸馏烧瓶支管处C．用酒精萃取碘水溶液中的碘D．称量时，将称量物放在称量纸或烧杯中，置于托盘天平的左盘，砝码放在托盘天平的右盘中参考答案：C考点：分液和萃取；计量仪器及使用方法；蒸馏与分馏．专题：化学实验基本操作．分析：A、根据分液的正确操作分析；B、蒸馏时，温度计测量蒸汽的温度；C、酒精和水互溶；D、称量时，物体放左盘，砝码放右盘．解答：解：A、分液时，分液漏斗中下层液体从下口放出，上层液体从上口倒出，故A正确；B、蒸馏时，温度计测量蒸汽的温度，所以应使温度计水银球位于蒸馏烧瓶支管处，故B 正确；C、酒精和水互溶，所以不能用酒精萃取碘水溶液中的碘，故C错误；D、称量时，物体放左盘，砝码放右盘，故D正确；故选C．点评：本题考查了实验基本操作，难度不大，注意萃取剂的选取方法8. 下列顺序不正确的是A. 失电子能力：Na＜KB. 碱性：NaOH＜KOHC. 得电子能力：S＜ClD. 酸性：HClO4＜H2SO4参考答案：A项，同主族元素的原子从上到下，原子半径逐渐增大，失电子能力逐渐增强，故失电子能力：Na＜K，A正确；B项，同主族元素从上到下，金属性增强，最高价氧化物对应水化物碱性增强，故碱性：NaOH＜KOH，B正确；C项，同周期元素的原子从左到右，原子半径逐渐减小，得电子能力逐渐增强，故得电子能力：S＜Cl，C正确；D项，同周期元素的原子从左到右，非金属性增强，最高价氧化物对应水化物酸性增强，故酸性：HClO4>H2SO4，D错误。

2019-2020学年河南省洛阳一高高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年河南省洛阳一高高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知非零实数a，b满足a＜b，则（）A．B．sin a﹣sin b＜0C．D．lg（b﹣a）＞02．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是（）A．y＝sin|x|B．y＝cos2xC．y＝x3D．y＝cos（+x）3．已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则a的值为（）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1或34．已知直线过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣4＝0C．2x﹣y＝0或x+2y﹣2＝0D．2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝05．已知某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，且编号为2，32，47，的学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．26B．23C．17D．136．已知，β∈（0，π），且sinα＝，cosβ＝，则α﹣β＝（）A．﹣B．C．D．±7．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积（）A．B．C．10D．8．从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，则点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为（）A．B．C．D．9．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．10．将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）在区间[﹣，]上的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣11．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，且三棱锥P﹣ABC的体积为，则球O的体积为（）A．πB．πC．πD．5π12．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（17，35）C．（18，34）D．（6，7）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．已知斜率为﹣的直线l的倾斜角为α，则cosα＝．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，E、F分别是AA1、AB的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是．15．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若＝1，则的最小值为．16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f （x）＝﹣x2，则函数g（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．已知单位向量，，两向量的夹角为60°，且＝﹣3，＝+．（1）求与的模；（2）求与夹角的余弦值．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点．（1）求证：PQ∥平面A1BC1；（2）求证：BC⊥PQ．19．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）（1）求图中m的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示，求英语成绩在[90，100）的人数．分数段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1：22：16：51：21：120．已知向量，，f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（）＝，其中，求cosα的值．21．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线3x﹣4y﹣4＝0截得的弦长为2．（1）求圆C的方程：（2）设P是直线x+y+5＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．22．对于定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n使h（x）＝mf（x）+ng （x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，求实数k的值；（2）试利用“基函数f（x）＝log3（9x﹣1+1），g（x）＝x﹣1”生成一个函数h（x），且同时满足：①h（x+1）是偶函数；②h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．求函数h（x）的解析式．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知非零实数a，b满足a＜b，则（）A．B．sin a﹣sin b＜0C．D．lg（b﹣a）＞0【分析】根据条件取特殊值，即可排除错误选项．解：根据非零实数a，b满足a＜b，取a＝﹣1，b＝1，则可排除A；取a＝，b＝，可排除B；取a＝﹣2，b＝﹣1，可排除D．故选：C．2．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是（）A．y＝sin|x|B．y＝cos2xC．y＝x3D．y＝cos（+x）【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与周期性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝sin|x|，有f（﹣x）＝sin|﹣x|＝sin|x|＝f（x），为偶函数，不符合题意；对于B，y＝cos2x，有f（﹣x）＝cos（﹣2x）＝cos2x＝f（x），为偶函数，不符合题意；对于C，y＝x3，为幂函数，是奇函数但不是周期函数，不符合题意；对于D，y＝cos（+x）＝﹣sin x，既是奇函数，又是周期函数，符合题意；故选：D．3．已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则a的值为（）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．﹣1或3【分析】根据题意，由直线平行的判断方法可得a（a+2）＝3，解可得a的值，据此分别验证两直线是否平行即可得答案．解：根据题意，已知直线l1：（a+2）x+3y＝5﹣2a和直线l2：x+ay＝1平行，则有a（a+2）＝3，即a2+2a﹣3＝0．解可得：a＝1或﹣3；当a＝1时，直线l1：3x+3y＝3，即x+y＝1，直线l2：x+y＝1，两直线重合，当x＝﹣3时，直线l1：﹣x+3y＝11，直线l2：x﹣3y＝1，两直线平行，故a＝﹣3；故选：A．4．已知直线过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x+y﹣4＝0C．2x﹣y＝0或x+2y﹣2＝0D．2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝0【分析】根据题意，分直线l是否经过原点分2种情况讨论，分别求出直线l的方程，综合即可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①，直线l过原点，又由直线经过点（1，2），此时直线l的方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；②，直线l不过原点，设其方程为+＝1，又由直线经过点（1，2），则有+＝1，解可得a＝2，此时直线l的方程为2x+y﹣4＝0，故直线l的方程为2x﹣y＝0或2x+y﹣4＝0，故选：D．5．已知某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，且编号为2，32，47，的学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（）A．26B．23C．17D．13【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．解：样本间隔为60÷4＝15，则2+15＝17，即另外一个学生的编号为17，故选：C．6．已知，β∈（0，π），且sinα＝，cosβ＝，则α﹣β＝（）A．﹣B．C．D．±【分析】由已知分别求得cosα，sinβ的值，再求出α﹣β的范围及sin（α﹣β）的值，则答案可求．解：由，sinα＝，得cosα＝；由β∈（0，π），cosβ＝，得sinβ＝．且α﹣β∈（﹣π，），而sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝．∴α﹣β＝．故选：C．7．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积（）A．B．C．10D．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．再由棱台体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正四棱台，下底面边长为4，上底面边长为2，高为1．∴该几何体的体积V＝．故选：B．8．从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，则点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件（a，b）总共有：n＝3×4＝12个，两平行直线的距离为，从而落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的点必须满足条件，由此利用列举法能求出点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率．解：从集合{﹣1，2，3}中随机抽取一个数a，从集合{﹣2，4，6，7}中随机抽取一个数b，基本事件（a，b）总共有：n＝3×4＝12个，两平行直线的距离为，所以落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的点必须满足条件，所以满足条件的事件有（﹣1，﹣2），（2，4），（3，6），（2，6），（3，7），共5个，所以点（a，b）落在平行直线2x﹣y﹣2＝0与2x﹣y+3＝0内（不包括两条平行直线）的概率为p＝．故选：D．9．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数为奇函数，排除BD，由，排除C．解：因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除B，D；又，故选：A．10．将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则y＝g（x）在区间[﹣，]上的最小值为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的最值，得出结论．解：将函数f（x）＝sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝sin（2x+）的图象；再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）＝sin（x+）的图象．在区间[﹣，]上，+∈[，]，故当+＝时，g（x）取得最小值为，故选：A．11．若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，且三棱锥P﹣ABC的体积为，则球O的体积为（）A．πB．πC．πD．5π【分析】由已知将三棱锥P﹣ABC的外接球，转化为长2，宽2，高2的长方体的外接球，求出半径，可得答案．解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，故棱锥的底面面积为2，由PA⊥平面ABC，且三棱锥P﹣ABC的体积为，故棱锥的高为2，三棱锥P﹣ABC的外接球，相当于长2，宽2，高2的长方体的外接球，故球半径R＝[]＝，故球的体积V＝π，故选：A．12．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（16，32）B．（17，35）C．（18，34）D．（6，7）【分析】画出函数的图象，利用数形结合判断a、b、c的范围与关系，然后求解2a+2b+2c 的取值范围．解：画出函数f（x）＝的图象如图：互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），可得a∈（﹣∞，0），b∈（0，1），c∈（4，5），当图中红线，对应的函数值接近1时，函数趋向最小值：0+2+24＝18，当函数值趋向0时，表达式趋向最大值：1+1+25＝34．则2a+2b+2c的取值范围是（18，34）．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上）13．已知斜率为﹣的直线l的倾斜角为α，则cosα＝﹣．【分析】根据题意，由直线的斜率公式可得tanα＝＝﹣，分析可得cosα＜0，由同角三角函数的基本关系式分析可得答案．解：根据题意，直线l的倾斜角为α，其斜率为﹣，则有tanα＝＝﹣，则＜α＜π，必有cosα＜0，又由sin2α+cos2α＝1，解可得：cosα＝﹣；故答案为：﹣14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，中，E、F分别是AA1、AB的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是60°．【分析】先作出异面直线EF与A1C1所成角，再在正△BA1C1中即可得解．【解答】解：连接A1B，则A1B∥EF，则∠BA1C1为异面直线EF与A1C1所成角，在正△BA1C1中，∠BA1C1＝60°，故答案为：60°．15．如图，边长为2的菱形ABCD的对角线相交于点O，点P在线段BO上运动．若＝1，则的最小值为﹣．【分析】建立坐标系，由已知求出AO，OB长，设P点坐标为（0，b），求出两个向量的坐标，进而求出向量积的表达式，由二次函数的性质，可得答案．解：建立如图所示的坐标系，＝＝1，则AO＝1，又由菱形ABCD的边长为2，则OB＝，故A（﹣1，0），B（0，﹣），设P点坐标为（0，b），b∈[﹣，0]，则＝（1，b），＝（0，b+）＝，当b＝﹣时，取最小值﹣，故答案为：﹣16．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[﹣1，0]时，f （x）＝﹣x2，则函数g（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为8．【分析】根据条件判断函数的周期是4，求出函数在一个周期上解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解：因为f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝﹣（﹣f（x））＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（x）是R上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x2，x∈[0，1]时，f（x）＝x2，x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）＝﹣（x+2）2，x∈[1，2]时，f（x）＝（x﹣2）2，∴f（0）＝0，则f（﹣2）＝﹣f（0）＝0，f（2）＝0由h（x）＝（x﹣2）f（x）+1＝0得（x﹣2）f（x）＝﹣1，当x＝2时，（x﹣2）f（x）＝﹣1，不成立，即x≠2，则f（x）＝﹣，作出函数y＝f（x）和y＝﹣的图象如图：则两个函数关于点（2，0）对称，两个图象有4个交点，两两关于（2，0）对称，则函数h（x）＝（x﹣2）f（x）+1在区间[﹣3，7]上所有零点之和为4+4＝8，故答案为：8．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）17．已知单位向量，，两向量的夹角为60°，且＝﹣3，＝+．（1）求与的模；（2）求与夹角的余弦值．【分析】（1）利用向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可．（2）利用向量的数量积转化求解向量的夹角的余弦函数值即可．解：（1）因为，是夹角为60°的单位向量，所以，，，（2），又，，∴．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，P为AA1的中点，Q为BC的中点．（1）求证：PQ∥平面A1BC1；（2）求证：BC⊥PQ．【分析】（1）由已知证明OQ∥A1P，OQ＝A1P，可得四边形A1PQO为平行四边形，得到A1O∥PQ，再由线面平行的判定可得PQ∥平面A1BC1；（2）连AQ，由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得AA1⊥底面ABC，得到BC⊥AA1，再证明AQ⊥BC，可得BC⊥平面AQP，从而得到BC⊥PQ．【解答】证明：（1）如图，连B1C，BC1相交于点O，∵BQ＝CQ，OB＝OC1，∴OQ∥CC1，OQ＝CC1，∵A1P∥CC1，，∴OQ∥A1P，OQ＝A1P，∴四边形A1PQO为平行四边形，∴A1O∥PQ，∵A1O⊂平面A1BC1，PQ⊄平面A1BC1，∴PQ∥平面A1BC1；（2）连AQ，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥AA1∵AB＝AC，BQ＝CQ，∴AQ⊥BC，∵AQ∩AA1＝A，∴BC⊥平面AQP，∵PQ⊂平面APQ，∴BC⊥PQ．19．某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[70，80），[80，90），[90，100），[100，110），[110，120）（1）求图中m的值；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中，某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示，求英语成绩在[90，100）的人数．分数段[70，80）[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）x：y1：22：16：51：21：1【分析】（1）由频率分布直方图，能求出m；（2）根据频率分布直方图，能估计这200名学生的平均分；（3）这200名学生的数学成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有60人，40人，10人，按照表中给出的比例，则英语成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有50人，80人，10人，由此能求出英语成绩在[90，120）的人数．解：（1）由频率分布直方图，得：10×（2m+0.02+0.03+0.04）＝1，解得m＝0.005；（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生的平均分为：0.05×75+0.4×85+0.3×95+0.2×105+0.05×115＝93；（3）这200名学生的数学成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有60人，40人，10人，按照表中给出的比例，则英语成绩在[90，100），[100，110），[110，120）的分别有50人，80人，10人，∴英语成绩在[90，120）的有140人．20．已知向量，，f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（）＝，其中，求cosα的值．【分析】（1）先利用数量积定义，求出f（x），然后将原式进行化简成A sin（ωx+θ）的形式，然后结合图象的性质即可求出结果；（2）根据已知条件，可先求出，进而求出，最后借助于两角差的余弦公式求出cosα．解：（1）依题意得：＝1+cos2x+sin2x＝．则．最小正周期为π．对称中心横坐标满足：，可得，故对称中心为．（2）由，可得．∵，∴．而上单调递增，故取值范围为（）；在上单调递减，取值范围为（）．∵，∴，则．∴，∴＝＝．21．已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线3x﹣4y﹣4＝0截得的弦长为2．（1）求圆C的方程：（2）设P是直线x+y+5＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【分析】（1）设圆心坐标，利用弦心距，半弦长，半径所成直角三角形列方程可得圆心坐标，进而得方程；（2）利用P点所在直线设P点坐标，利用过A，P，C的圆以PC为直径，设圆上任一点M，满足MP⊥MC，结合数量积为0，可得圆系方程，解得定点坐标．解：（1）设圆心C（a，0）（a＞0），则C到直线3x﹣4y﹣4＝0的距离d＝，由弦长为，r＝2，利用弦心距，半弦长，半径构成的直角三角形可得d2＝r2﹣3，解得a＝3或a＝﹣（舍），∴圆C的方程为：（x﹣3）2+y2＝4；（2）由（1）知，C（3，0），设P（m，﹣m﹣5），∵PA为切线，∴PA⊥AC，∴过A，P，C的圆是以PC为直径的圆，设圆上任意一点M（x，y），则，∴（x﹣m，y+m+5）•（x﹣3，y）＝0，得（x﹣m）（x﹣3）+y（y+m+5）＝0，可得x2+y2﹣3x+5y﹣m（x﹣y﹣3）＝0，由解得或，故经过A，P，C三点的圆所过定点的坐标为（3，0）和（﹣1，﹣4）．22．对于定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n使h（x）＝mf（x）+ng （x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，求实数k的值；（2）试利用“基函数f（x）＝log3（9x﹣1+1），g（x）＝x﹣1”生成一个函数h（x），且同时满足：①h（x+1）是偶函数；②h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．求函数h（x）的解析式．【分析】（1）由题意设4x2+2x+3＝m（3x2+x）+n（kx+3），由恒等式可得m，n，k的关系，求得k；（2）设h（x）＝m log3（9x﹣1+1）+n（x﹣1），运用偶函数的定义和单调性的定义，求得m，n的关系，以及最值，可得m，n的值，进而得到所求解析式．解：（1）函数h（x）＝4x2+2x+3是“基函数f（x）＝3x2+x，g（x）＝kx+3”生成的，设4x2+2x+3＝m（3x2+x）+n（kx+3），可得3m＝4，m+nk＝2，3n＝3，解得k＝；（2）设h（x）＝m log3（9x﹣1+1）+n（x﹣1），由h（﹣x+1）＝h（x+1），可得m log3（9﹣x+1）+n（﹣x）＝m log3（9x+1）+nx，即为m log3＝2nx，即m log39﹣x＝2nx，可得﹣2mx＝2nx，即m＝﹣n，可得h（x）＝m[log3（9x﹣1+1）﹣（x﹣1）]＝m log3，令y＝，x≥2，再令3x﹣1＝t（t≥3），则y＝t+，设3≤t1＜t2，可得y1﹣y2＝t1+﹣t2﹣＝（t1﹣t2）•，由3≤t1＜t2，可得t1﹣t2＜0，t1t2＞1，即有y1﹣y2＜0，即y1＜y2，则y＝t+在[3，+∞）递增，可得y＝t+≥，当t＝3时取得等号，可得log3≥log3，h（x）在区间[2，+∞）上的最小值为2（log310﹣1）．可得m log3＝2（log310﹣1），即m＝2，n＝﹣2，则h（x）＝2log3（9x﹣1+1）﹣2（x﹣1），。

洛阳市2019-2020高一期末质检理数答案

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河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期质量检测(期末)数学试卷(理科)

洛阳市2019-2020学年高一质量检测数学试卷（理）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。

第I卷1至2页. 第II卷3至4页。

考试时间120分钟.第I卷(选择题，共60分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2. 考试结束，将答题卡交回.―、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线3x - √3y+ 1 = 0的倾斜角是A. 30°B.60°C. 120°D. 135°2. 某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为A. 710B.15C.π2D.3103. 已知函数f(x) = lnx+√16−2x，则f(x)的定义域为A. (0,1)B. (1,2]C.(0,4]D. (0.2]4. 已知直线a,b与平面α,β,γ,下列条件中能推出α// β的是A. a丄α，且a丄βB. α丄γ，且β丄γC. a⊂α，b⊂β,a//bD. a⊂α,b⊂αa// β,b// β5. 在区间[一1，1]上随机地取一个数x，则cosπx2的值介于0到12之间的概率为A.23B.2πC.12D.136. 某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加,成绩统计如图：根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小A. x甲<x乙，S甲2>S乙2 B. x甲>x乙，S甲2<S乙2C. x甲<x乙，S甲2<S乙2 D. x甲>x乙，S甲2>S乙27. 已知a = sin33°，b = cos55°，c = tan35°,则a，b，c，的大小关系是A. a < b < c.B. a < c< bC. b <a < cD. b < c <a8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3. 14.这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.则输出"的值为(参考数据：√3 ≈1. 732，sin15° ≈ 0. 2588， sin75°≈ 0. 1305 ) A. 12 B.24 C. 36 D. 489. 已知的ΔOMN 三个顶点为O(0,0)，M(6,0),N(8,4)过点（3,5)作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC ，BD ，则四边形ABCD 的面积为 A. 10√6 B. 20√6 C.30√6 D.40√610. 已知体积为4√3的三棱锥O —ABC 的顶点A,B,C 都在球O 的表面上，且 AB = 6，BC =2√3，AC = 4√3，则球O 的表面积是 A.16 π B. 32π C.64 π D.72 π 11. 若向量a ⃗,b ⃗⃗,c ⃗的模均为1，且a ⃗ • b ⃗⃗ = 0,则| 3a ⃗+4b ⃗⃗−2c ⃗丨的最大值为A. 5 + 2√5B. 3C.5D.712. 已知函数 f (x )=sin(ωx −π6)(ω>0），当x ∈[0,π4]时，f(x)max =ω3时，则ω的值最多有A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知 cos(3π2+α)=−13 ,且 α∈[−π2,π2]，则 tan α= .14. 若直线√3 x −3y −9=0 被圆(x −2)2+(y −3)2=r 2截得的弦长为√3 r ，则 r = 15. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=√3，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,点 C 在 ∠AOB 内，且 ∠AOC = 30。

河南省洛阳市2019-2020学年高一下期末考试数学试卷有答案

洛阳市2019-2020学年高一年级质量检测数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}0,5,10A =，集合{}22,1B a a =++，且{}5A B =，则满足条件的实数a 的个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A.2sin y x =+B. cos y x =C. ln y x =D. x x y e e -=- 3.已知平行四边形ABCD 中，60,1,2ABC AB BC ∠===,则BA BD ⋅= A. 1 B. 2 C. 13+ D.2-4.执行如图所示的程序框图，若输入a,b 的分别为78,182，则输出的a = A. 0 B. 2 C. 13 D. 265.为了了解某服装厂某种服装的年产量x （单位：千件）对价格y （单位：千元/千件）的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计情况如下表：如果y 关于x 的线性回归方程为ˆ12.386.9yx =-+，且1270,65y y ==，则345y y y ++= A. 50 B. 113 C. 115 D. 2386.设直线32120x y --=与直线4310x y ++=交于点M,若一条光线从点()2,3P 射出，经y 轴反射后过点M,则入射光线所在直线的方程为A.10x y --=B.10x y -+=C.50x y --=D.50x y +-= 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 12 B. 9 C. 6 D. 368.已知曲线11:sin ,:sin 23C y x C y x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是A. 把1C 上个点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移23π个单位长度，得到曲线2CD. 把1C 上个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C9.在直三棱柱111ABC A B C -中，,6,8AB BC AB BC ⊥==若此三棱柱外接球的半径为13，则该三棱柱的表面积为A. 624B.576C. 672D.72010.一位同学家里定了一份报纸，送报人每天都在早上6:20—7:40之间将报纸送达，该同学需要早上7:00——8:00之间出发上学，则该同学在离开家之前能拿到报纸的概率为 A.16 B. 13 C. 23 D.5611.在平面直角坐标系xoy 中，已知()150,0,,04O A ⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 上任一点M 满足4OM AM =，点P在直线)1y x =-上，如果曲线C 上总存在两点到P 的距离为2，那么点P 的横坐标t 的范围是A. 13t <<B. 14t <<C. 23t <<D. 24t << 12.已知两条直线()122:3,:261l y l y m m ==≤≤-，1l 与函数2log y x =的图象从左到右交于A,B 两点，2l 与函数2log y x =的图象从左到右交于C,D 两点，若,AC AB BD CD a B ABCD⋅⋅==，当m变化时，ba的范围是A. 352,4⎛⎫⎪⎝⎭B.352,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 172,32⎡⎤⎣⎦D.()172,32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1cos ,02απα=--<<，则角α= .（用弧度表示）14.某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了一些客户，得到了满意度评分的茎叶图，则这组评分数据的中位数为 .15.执行如图所示的程序框图，如果输入9x =时，299y =，则整数a 的值为 . 16.已知锐角,αβ满足()()sin cos 2cos sin αββαββ+=+，当α取得最大值时，tan 2α= .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知点()()8,3,3,6-在函数()log ,02,0a x x x f x b x >⎧=⎨-≤⎩的图象上.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求不等式()0f x >的解集.18.（本题满分12分）已知向量2cos ,1,cos ,cos ,66a x b x x x R ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数().f x a b =⋅（1）求函数()f x 的图象的对称中心；（2）若,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值和最小值，并求出()f x 取得最值时x 的大小.19.（本题满分12分）学校高一数学考试后，对90分（含90分）以上的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，分数在120—130分的学生人数为30人. （1）求这所学校分数在90—140分的学生人数；（2）请根据频率分布直方图估计这所学校学生分数在90—140分的学生的平均成绩；（3）为进一步了解学生的学习情况，按分层抽样方法从分数子啊90—100分和120—130分的学生中抽出5人，从抽取的学生中选出2人分别做问卷A 和问卷B,求90—100分的学生做问卷A,120—130分的学生做问卷B 的概率.20.（本题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，AB PC ⊥,其中3, 6.BP BC PC ===（1）点,E F 分别为线段,BP DC 的中点，求证：//EF 平面APD ；（2）设G 为线段BC 上一点，且2BG GC =，求证：PG ⊥平面ABCD .21.（本题满分12分）已知函数()()sin 0,0,,2f x A x B A x R πωϕωϕ⎛⎫=++>><∈ ⎪⎝⎭在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，当2x π=时，()f x 取得最大值5，当32x π=时，()f x 取得最小值-1. （1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,4x π∈时，函数()()()1212x x g x f x a +=-+有8个零点，求实数a 的取值范围.22.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，()()()2,0,2,0,,A B P x y -满足2216PA PB +=，设点P 的轨迹为1C ，从1C 上一点Q 向圆()2222:0C x y r r +=>做两条切线，切点分别为,M N ，且60.MQN ∠= （1）求点P 的轨迹方程和；（2）当点Q 在第一象限时，连接切点,M N ，分别交,x y 轴于点,C D ，求OCD ∆面积最小时点Q 的坐标.。

河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

洛阳市2019-2020学年第二学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin510︒=（）.A. 12B. 12- C.D. 【答案】A 【解析】【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】()1sin 510sin 360150sin150sin 302︒=︒+︒=︒=︒=. 故选：A.【点睛】本题考查了诱导公式化简求值，属于简单题. 2.函数()44cos sin 22x xf x =-的最小正周期为（）. A.π2B. πC. 2πD. 4π【答案】C 【解析】【分析】先化简函数得()cos f x x =，即得函数的最小正周期. 【详解】由题得()442222cossin (cos sin )(cos sin )cos 222222x x x x x xf x x =-=+-=. 所以函数的最小正周期为2π. 故选：C.【点睛】本题主要考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的应用，考查余弦函数的最小正周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.若2πk αθ=+,()21πk βθ=+-,其中k ∈Z ,则角α与β的终边（）.A. 关于原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于y x =对称【答案】C 【解析】【分析】根据角度的终边周期性分析即可.【详解】根据角度的性质有2πk αθ=+与θ的终边相同,()21πk βθ=+-与πθ-的终边相同,且θ的终边与πθ-的终边关于y 轴对称,故角α与β的终边关于y 轴对称. 故选：C【点睛】本题主要考查了角度性质辨析.属于基础题.4.如果单位向量a r 与b r的夹角为π3，则+=r r a b （）.A. 1B.C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】利用a b →→+==，结合,a b →→的模长和数量积进行求解.【详解】因为a b →→+==，又,a b →→为单位向量，且,a b →→的夹角为π3，所以1cos32a b a b π→→→→⋅==，所以a b →→+====故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的概念：cos ,a b a b a b →→→→→→⋅=，向量的模一般要转化为a →=来求，属于基础题.5.下面结论正确是（）.A. 若a r ，b r 是单位向量，a b =r rB. 若四边形ABCD 内一点O 满足OA OC OB OD +=+u u u r u u u ru u u r u u u r，则ABCD 是平行四边形C. 若向量a r ，b r共线，则a b a b +=+r r r r D. 若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r r【答案】B 【解析】【分析】根据单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，分别对四个选项进行判断，从而得到答案.【详解】选项A 中，a r，b r是单位向量，而单位向量也是有方向的，只有a r ，b r是单位向量且方向相同时，才有a b =r r，所以错误；选项B 中，因为点O 为四边形ABCD 内一点，OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u ru u u r u u u r ，所以BA CD =u u u r u u u r，又BA u u u r与CD uuu r不共线，所以可得BA CD =且∥BA CD ，所以ABCD 是平行四边形，所以正确；选项C 中，当向量a r ，b r 同向时，有a b a b +=+r r r r ，当向量a r ，b r反向时，有a b a b +=-r r r r ，所以错误；选项D 中，因为a c b c ⋅=⋅r r r r，所以cos ,cos ,a c a c b c b c ⋅=⋅r r r r r r r r 即cos ,cos ,a a c b b c =r r r r r r，不能得到a b =r r，所以错误.故选：B.【点睛】本题考查单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，属于简单题.6.满足tan cos sin ααα<<的α一个可能值为（）.的A.π12B.3π8C.9π16D.13π12【答案】C 【解析】【分析】借助三角函数的单调性，采用中间值法，逐一判断四个选项，即可得到答案.【详解】当12πα=时，coscos1242ππ>=，sin sin 1242ππ<=，不满足cos sin αα<，所以A 选项错误；当38πα=时，3tan tan 184ππ>=，3cos 18π<，不满足tan cos αα<，所以B 选项错误；当916πα=时，93tantan 1164ππ<<-，91cos 016π-<<，9sin 016π>，满足tan cos sin ααα<<，所以C 选项正确；当1312πα=时，135cos cos 124ππ<=135sin sin 124ππ>=，不满足cos sin αα<，所以D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的单调性，熟记特殊三角函数值是本题的解题关键，属于基础题. 7.下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是（）. A. sin y x x =B. 2cos y x x =-C. 1tan tan y x x=+D. sin cos y x x =+【答案】D 【解析】【分析】直接利用函数奇偶性的定义逐一判断四个选项，即可得到答案.【详解】对于A ，()sin y f x x x ==，定义域为R ，关于原点对称，()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，则sin y x x =为偶函数；对于B ，()2cos y f x x x ==-，定义域为R ，关于原点对称，()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，则2cos y x x =-为偶函数；对于C ，()1tan tan y f x x x ==+，定义域为(),2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，()()()()11tan tan tan tan f x x x f x x x -=-+=--=--，则1tan tan y x x=+为奇函数；对于D ，()sin cos y f x x x ==+，定义域为R ，关于原点对称，()()()sin cos sin cos f x x x x x -=-+-=-+，()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，则sin cos y x x=+既不是奇函数，也不是偶函数. 综上，D 选项符合题意. 故选：D.【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，属于基础题.定义法判断函数的奇偶性，分为三步：（1）定义域关于原点对称，若不对称，则函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，若对称，则进行下一步；（2）求()f x -；（3）若()()f x f x -=，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数. 8.已知函数()ππsin 4cos 4136f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断错误的是（）.A. ()f x 的最小正周期为π2B. ()f x 的图象关于直线π24x =-对称 C. ()f x 的值域为[]1,3- D. ()f x 的图象关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】B 【解析】【分析】利用三角恒等变换进行化简，再根据正弦型函数的图象和性质，即可得出答案.【详解】()ππsin 4cos 4136f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sincos 4cossin 4cos 4cossin 4sin13366x x x x ππππ=++++11cos 4sin 4cos 4sin 412222x x x x =++++4sin 41x x =++2sin 413x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭242T ππ==，所以，()f x 的最小正周期为π2，A 选项正确；()432x k k Z πππ+=+∈，解得()244k x k Z ππ=+∈，所以，B 选项错误；由1sin 413x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，得12sin 4133x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为[]1,3-，故C 选项正确； ()43x k k Z ππ+=∈，解得()124k x k Z ππ=-+∈，所以()f x 的对称中心为,1124k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，故D 选项正确. 故选：B【点睛】本题考查了三角恒等变换及正弦型函数的图象和性质，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.9.在边长为1的正方形ABCD 内,以AB 为直径作半圆,若点M 为半圆（包括端点A ,B ）上任意点,则MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是（）.A. 0,⎡⎣B. (0,C. 0,⎡⎣D. (0,【答案】A 【解析】【分析】设正方形的中心为O ,再根据平面向量的加法法则,将MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r 转换为MO u u u u r的关系表达,再分析取值范围即可.【详解】设,AB DC 的中点分别为,Q P ,正方形的中心为O .根据正方形的对称性可知O 为,Q P 中点..根据平面向量的加法有22224MA MB MC MD MQ MP MO MO +++=+==u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r.易得当M 在O 处4MO u u u u r 取最小值0；当M 在,A B 处4MO u u u u r 均可取最大值为4AO =u u u r.故MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是0,⎡⎣.故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的加法运用,需要根据题意结合平面向量的线性运算转换.属于中档题.10.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称，将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为()g x ，若()g x 的最小正周期是2π，且π12g ⎛⎫=⎪⎝⎭，π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）.A. 3-B. 3-C.3D.3【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的图象变换及最小正周期，求出ω值，再利用三角函数的对称轴及ϕ的范围，求出ϕ值，利用π12g ⎛⎫=⎪⎝⎭，求出A 值，进而求出π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为()sin 2x g x A ωϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为()g x 的最小正周期是2π，所以222ππω=，解得2ω=，所以()()sin g x A x ϕ=+，()()sin 2f x A x ϕ=+，()22x k k Z πϕπ+=+∈，解得()242k x k Z πϕπ-=+∈，所以，函数()f x 关于()242k x k Z πϕπ-=+∈对称，所以()2342k k Z ππϕπ-=+∈，且π2ϕ<，解得6πϕ=-，所以()sin 26f x A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即sin 126A ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 13A π=，解得A =，所以()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π16336323f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换、利用最小正周期求参数、利用三角函数的对称轴求参数及特殊角的三角函数值，考查学生的运算求解能力，属于中档题. 11.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点(,且在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调,把()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合,若13π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,直线y t =与()y f x =有三个不同的交点,则实数t 的取值范围是（）.A. (-B. []0,2C. [)0,2D.)2【答案】D 【解析】根据()f x 过点(可得3πϕ=,再根据()f x 在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调,且()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合可得2ω=.进而求得()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.再根据三角函数图像性质数形结合分析实数t 的取值范围即可. 【详解】因为函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象过点(,故sin ϕ=,又π2ϕ<,故3πϕ=.又()f x 在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调且0>ω,故12521212πππω⋅≥-,即03ω<≤. 又因为()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合,故2,k k Z ππω⋅=∈,所以2ω=.故()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 当13π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,52,332x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.再分析()52sin ,,32g x x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭可得：2sin 33g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭数形结合可知当直线y t =与()g x 有三个交点时,)2t ∈.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质综合运用,包括三角函数解析式的求解、数形结合求解参数范围的问题等,需要结合三角函数的单调性与周期性等分析.属于难题. 12.已知点O 为ABC V 内一点，满足3OA OB OC λ+=u u u r u u u r u u u r，若13AOB ABC S S =△△，则λ=（）. A. 2- B. 12-C.12D. 2【答案】A 【解析】【利用数乘的定义作图，作13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r，构造出O 是11AB C △的重心，根据重心性质，及三角形面积比得出结论．【详解】∵点O 为ABC V 内一点，满足3OA OB OC λ+=u u u r u u u r u u u r，∴0λ<，如图，作13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r ，则110OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u u r r，∴O 是11AB C △的重心，∴11111113OAB OB C OAC AB C S S S S ===V V V V ，由13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r，知113OABOAB S S =V V ，111111133OBC OB C OB C S S S λλ=⨯=--V V V ，11OAC OAC S S λ=-V V ， ∴111:::():()33OAB OBC OCA S S S λλ=--V V V ， ∴113111333OAB ABCS S λλ==--V V ，解得2λ=-．故选：A ．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是利用数乘定义构造出以O 为重心的11AB C △，然后利用面积比得出结论．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：13.若tan α=，则cos2α________．【答案】13- 【解析】【分析】先由二倍角公式将cos2α化为22cos sin αα-，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.【详解】因为tan α=，所以2222221tan 1cos21tan 3cos sin cos sin ααααααα--===-++. 【点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型. 14.在平面直角坐标系中，已知()3,4A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转45︒到OB ，则点B 的横坐标为______.【答案】2-. 【解析】【分析】作出图形，求出OA ，以及sin AOC ∠，cos AOC ∠，利用两角和与差的三角函数求出点B 的横坐标，即可得解.【详解】如图，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，作AD y ⊥轴于点D ，作BE x ⊥轴于点E ，作BF y ⊥轴于点F ，由()3,4A ，则5OA =，4sin 5AOC ∠=，3cos 5AOC ∠=，将OA 绕原点O 逆时针旋转45︒到OB ，所以，点B 的横坐标为：()345cos 45552522AOC ︒⎛∠+=⨯⨯-⨯=- ⎝⎭.故答案为：2-. 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更形象直观.15.在梯形ABCD 中，//AB CD ，AC 为DAB ∠的平分线，且30CAB ∠=︒，若10AB =，AC =则AD CB ⋅=u u u r u u u r______.【答案】4- 【解析】【分析】由题意画出图形，由平面几何的知识可得4=AD ，利用平面向量线性运算法则可得()AD CB AD AB AC ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，再利用平面向量数量积的运算律及定义即可得解.【详解】由题意画出梯形ABCD 的图形，如图：Q //AB CD ，AC 为A ∠的平分线，且30CAB ∠=︒，∴30CAD DCA CAB ∠=∠=∠=︒，60DAB ∠=︒，∴AD CD =，又10AB =，AC =取AC 的中点E ，连接DE，则4cos AE AD EAD ===∠， ∴()AD CB AD AB AC AD AB AD AC ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rcos cos AD AB DAB AD AC DAC =⋅⋅∠-⋅⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r1410442=⨯⨯-⨯=-.故答案为：4-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量数量积的运算律及定义，关键是对于条件进行合理转化，属于基础题. 16.已知函数()()π02f x x x =≥，设函数()f x 图象的最高点从左至右依次为0A ，1A ，2A ，…，()f x 与x 轴的交点从左至右依次为0B ，1B ，2B ，…，在线段22A B 上取10个不同的点1C ，2C ，3C ，…，10C ，则1112110OA OC OA OC OA OC ⋅+⋅++⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u rL ______.【答案】100 【解析】【分析】由题意结合三角函数的性质画出函数图象，进而可得(1A，(2A ，()25,0B ，利用平面向量数量积的坐标运算可得1220OA B A ⋅=u u u r u u u u u r 即120n OA A C ⋅=u u u r u u u u u r，连接2OA ，由平面向量线性运算法则可得()1122n n OA OC OA OA A C ⋅=⋅+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u u r，再利用平面向量数量积的运算律及坐标运算即可得解.【详解】函数()π02y x x =≥的最小正周期242T ππ==，将函数()π02y x x =≥位于 x 轴上方的图象不变、位于 x 轴下方的图象翻折到x 轴上方后即可得函数()()π02f x x x =≥的图象，如图所示：可得(1A，(2A ，()25,0B ，所以(1OA =u u u r，(221,B A =u u u u u r ，所以122220OA B A ⋅=-=u u u r u u u u u r ，由()1,2,310n C n =⋅⋅⋅在线段22A B 上可得120n OA A C ⋅=u u u r u u u u u r，连接2OA，则(2OA =u u u u r，所以()11221212n n n OA OC OA OA A C OA OA OA A C ⋅=⋅+=⋅+⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u r24010=⨯+=，1,2,310n =⋅⋅⋅，所以11121101010100OA OC OA OC OA OC ⋅+⋅++⋅=⨯=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u rL . 故答案为：100.【点睛】本题考查了三角函数图象的应用，考查了平面向量线性运算、数量积的应用与运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）求值：sin 20cos110cos200sin70︒︒+︒︒；（2）已知α.【答案】（1）1-；（2）2cos α-. 【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用22sin cos 1αα+=即可得到结论；（2）根据α是第二象限角，得到sin α与cos α的符号，再利用二次根式的性质即可得到结论. 【详解】（1）原式()()()sin 20cos 9020cos 18020sin 9020︒︒︒︒︒︒︒=+++-()22sin 20sin 20cos 20cos 20sin 20cos 201︒︒︒︒︒︒=--=--=-（2）由α是第二象限角，则sin 0α>，cos 0α<，=2cos cos cos sin cos cos sin cos 21sin 1sin cos cos αααααααααααα-----+=+==--+. 【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键． 18.已知(),2A x ，()2,3B ，()2,5C -.（1）若1x =，判断ABC V 的形状，并给出证明；（2）求实数x 的值，使得CA CB +u u u r u u u r最小；（3）若存在实数λ，使得CA CB λ=u u u r u u u r，求x 、λ的值. 【答案】（1）ABC ∆为直角三角形；（2）5；（3）34,2x λ==. 【解析】【分析】（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明；（2）根据题意可得()6,5CA CB x +=+-u u u r u u u r，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；（3）利用向量共线可得方程组，解得即可.【详解】（1）当1x =时，ABC ∆为直角三角形.证明如下：当1x =时，由()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则()3,3AC =-u u u r ，()1,1AB =u u u r，此时31310AC AB ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r ，即AC AB ⊥u u u r u u u r ，即2A π∠=，所以，ABC ∆为直角三角形.（2）由题意，()2,3CA x =+-u u u r ，()4,2CB =-u u u r ，则()6,5CA CB x +=+-u u u r u u u r，所以，5CA CB +=≥u u u r u u u r，当且仅当6x =-时取等号.故当6x =-时，CA CB +u u u r u u u r取得最小值为5.（3）由题意，()2,3CA x =+-u u u r ，()4,2CB =-u u u r ，因CA CB λ=u u u r u u u r，所以2432x λλ+=⎧⎨-=-⎩，解得432x λ=⎧⎪⎨=⎪⎩.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为3π，图象上一个最低点为()5π,2-.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,3πx ∈时，求()f x 的最值，以及取得最值时的x 值.【答案】（1）()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）当0x =时，()f x 取最小值1-；当2x π=时，()f x 取最大值2. 【解析】【分析】（1）由函数的最低点可求得2A =，由函数图象与x 轴相邻两个交点的距离为3π可得6T π=，由2T πω=可得ω，再代入点()5π,2-求出ϕ后即可得解；（2）由[]0,3πx ∈可得15,3666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）Q 函数()f x 图像上的一个最低点为()5π,2-，0A >，∴2A =，又函数()f x 的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为3π，∴函数的最小正周期6T π=即26ππω=，解得13ω=， ∴()12sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()15π2sin 5π23f ϕ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭，∴5sin π13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴5π2,32k k Z πϕπ+=-+∈即132,6k k Z πϕπ=-+∈，又π2ϕ<，∴令1k =，6πϕ=-， ∴()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）当[]0,3πx ∈时，15,3666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当1366x ππ-=-即0x =时，()f x 取最小值，()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当1362x ππ-=即2x π=时，()f x 取最大值，()max 2sin 22f x π==. ∴当0x =时，()f x 取最小值1-；当2x π=时，()f x 取最大值2.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了三角函数图象的确定与运算求解能力，关键是对于知识点的熟练应用，属于中档题.20.已知3a =r，(2,b =-r ，且a r 与b r夹角为2π3. （1）求2a b +r r；（2）若()()43a kb a b +⊥+r r r r，求实数k值.【答案】（1）7；（2）34-. 【解析】【分析】（1）由题意结合平面向量模的坐标表示可得4b =r ，利用平面向量数量积的定义可得a b ⋅r r ，再利用2a b +=r r化简即可得解；（2）由题意结合平面向量垂直的性质可得()()430a kb a b +⋅+=r r r r，由平面向量数量积的运算律化简即可得解.【详解】（1）Q (2,b =-r ，∴4b ==r，的又3a =r ，a r 与b r夹角为2π3，∴21cos 34632a b a b π⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭r r r r ， ∴27a b +====r r ；（2）Q ()()43a kb a b +⊥+r r r，∴()()()2243443324180a kb a b a k a b kb k +⋅+=++⋅+=+=r r rr r r r r ，∴34k =-.【点睛】本题考查了平面向量数量积的求解与应用，考查了运算求解能力，关键是对于条件的合理转化，属于基础题.21.已知正方形ABCD 的边长为1，P ，M ，N 分别为AB ，BC ，DA 上的点. （1）如图，当AP PB =uu u r uu r ，0PM PN ⋅=u u u u r u u u r时，求MPN △面积的最小值；（2）如图，当APN V 周长为2时，求PCN ∠的大小.【答案】（1）14；（2）4π. 【解析】【分析】（1）设MPB α∠=，则ANP α∠=，由题意结合三角函数的概念、正弦的二倍角公式可得1124sin 2MPN S PN PM α=⋅=△，求得sin 2α的最大值即可得解；（2）设AP x =，AN y =，PCB β∠=，DCN γ∠=，由题意结合正切的概念及和角公式可得()()2tan x y x y xyβγ-++=+-，再结合三角形周长即可得解.【详解】（1）由题意可得12AP PB ==，PM PN ⊥，设MPB α∠=，则ANP α∠=，∴1sin 2sin AP PN ANP α==∠，1cos 2cos PB PM MPB α==∠，∴11128sin cos 4sin 2MPN S PN PM ααα=⋅==△，当sin21α=即4πα=时，MPN △的面积取最小值，最小值为14；（2）设AP x =，AN y =，PCB β∠=，DCN γ∠=，则tan 1PB x BC β==-，tan 1DNy DCγ==-，则()()2tan tan tan 1tan tan x y x y xyβγβγβγ-+++==-⋅+-，Q APN V 周长为2，∴2x y ++=，化简得()22xy x y =+-，∴()()()()22tan 122x y x y x y xy x y x y βγ-+-++===+-+-+-⎡⎤⎣⎦，又02πβγ<+<，∴4πβγ+=，∴()24PCN ππβγ∠=-+=.【点睛】本题考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.22.已知()4422sin2cos cos 2442x x xf x =++-. （1）试用五点作图法画出函数()f x 在[]0,2πx ∈上的简图；（2）定义在(],5-∞上的减函数()g x ，若()22π12g a f x g a f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++≤++⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）⎡-⎢⎣⎦.【解析】【分析】（1）由题意结合降幂公式可得()cos f x x =，利用五点法即可得解；（2）由题意结合函数的单调性和定义域可得221cos sin 5a x a x ++≤-≤对x ∈R 恒成立，转化条件为22151sin 24a a x ⎛⎫--≥--+ ⎪⎝⎭、25sin a x -≤对x ∈R 恒成立，利用恒成立问题的解决方法结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）由题意可得()4422sin2cos cos 2442x x xf x =++- 22221cos 1cos 2222cos 22cos 1cos 2222x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪=⋅+⋅+-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，列表如下：则函数()f x 在[]0,2πx ∈上简图如下：；（2）Q ()g x 为定义在(],5-∞上的减函数，()22π12g a f x g a f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++≤++⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦对x ∈R 恒成立， ∴()22π152a f x a f x ⎛⎫++≤++≤ ⎪⎝⎭即22π1cos cos 52a x a x ⎛⎫++≤++≤ ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立，∴221cos sin 5a x a x ++≤-≤对x ∈R 恒成立，的∴2222151cos sin 1sin sin sin 24a a x x x x x ⎛⎫--≥+=-+=--+ ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立， 25sin a x -≤对x ∈R 恒成立，又x ∈R 时，2max 155sin 244x ⎡⎤⎛⎫--+=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()min sin 1x =-， ∴2251451a a a ⎧--≥⎪⎨⎪-≤-⎩，解得122a --≤≤， ∴实数a的取值范围为12,2⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查了降幂公式在三角函数化简上的应用，考查了函数的单调性、定义域及三角函数性质的应用，属于中档题.。

河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期质量检测(期末)数学试卷(文科)

河南省洛阳市2019—2020学年高一质量检测数学试卷（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1页至2页，第II 卷3 至4页，共150分，考试时间120分钟.第I 卷(选择题，共60分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号写在答题卡上.2. 考试结束后，将答题卡收回.一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. y= tan2x 的最小正周期是A.π2B. πC. 2 πD. 3 π2. 某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为A.710B. 15C. π2D. 3103. 已知函数f(x) = lnx+√16−2x ，则f(x)的定义域为 A. (0,1) B. (1,2] C.(0,4] D. (0.2]4. 已知直线a,b 与平面α,β,γ,下列条件中能推出α// β的是A. a 丄α，且a 丄βB. α丄γ，且β丄γC. a ⊂α，b ⊂β,a//bD. a ⊂α, b ⊂α a// β, b// β5. 在区间[一 1，1]上随机地取一个数x ，则cos πx2的值介于0到12之间的概率为A. 23B. 2πC. 12D. 136. 某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加,成绩统计如图：根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小 A. x 甲<x 乙，S 甲2>S 乙2B. x 甲>x 乙，S 甲2<S 乙2C. x 甲<x 乙，S 甲2<S 乙2D. x 甲>x 乙，S 甲2>S 乙27. 已知 a = sin33°，b = cos55°，c = tan35°,则a ，b ，c ，的大小关系是A. a < b < c.B. a < c< bC. b <a < cD. b < c <a8. 已知a ⃗,b ⃗⃗是不共线的非零向量. AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ + 2b ⃗⃗, BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3a ⃗一b ⃗⃗, CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2a ⃗ — 3b⃗⃗,则四边形ABCD 是 A.矩形 B.平行四边形C.梯形D.菱形9. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3. 14.这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.则输出"的值为(参考数据：√3 ≈1. 732，sin15° ≈ 0. 2588， sin75°≈ 0. 1305 ) A. 12 B.24 C. 36 D. 4810. 已知的ΔOMN 三个顶点为O(0,0)，M(6,0),N(8,4)过点（3,5)作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC ，BD ，则四边形ABCD 的面积为 A. 10√6 B. 20√6 C.30√6 D.40√611. 已知体积为4√3的三棱锥O —ABC 的顶点A,B,C 都在球O 的表面上，且 AB = 6，BC =2√3，AC = 4√3，则球O 的表面积是 A.16 π B. 32π C.64 π D.72 π 12. 已知四边形 ABCD 中，AC 丄 BD ，AB = BC =BD 2= 2，AC = CD = 2√3，点E 在四边形ABCD 上运动,则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗• AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是 A. 3 B. - 1C.- 3D.- 4第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. 已知 cos θ= 45，且 θ∈(-π2，0 )，则 tan(π4 + θ) = .14. 函数y = log a ( 2x — 3 ) + 4 (a > 0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，且点A 在幂函数f(x)的图像上，则f(3) = • 15. 若直线√3x-3y+9 = 0被圆（x 一2)2+ (y —3)2= r 2截得的弦长为√3r,则r = . 16. 已知f(x)=e x−1 +e 1−x + 2a 只有一个零点，则a = •三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分）已知平面向量 a ⃗=(1,x)，b ⃗⃗ = (2x + 3,-x ) • (x ∈N) (1) 若a ⃗与b ⃗⃗垂直，求x; (2) 若 a ⃗//b ⃗⃗,求 | a ⃗-b⃗⃗ |. 18. (本小题满分12分）已知某校高一（1)班数学老师根据本班50名同学的月考数学成绩,绘制频率分布直方图如图所示.(1)根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩. (2)用分层抽样方法从成绩低于115分的同学中抽取6名作问卷调查，再在抽取的这6名同学中任选2名谈话，求这两名同学数学成绩均在[105，115)中的概率.19. (本小题满分12分）已知函数f(x)=log2(2x+1)+kx(k∈R).(1) 若k=0,求不等式f(x)> 1的解集；(2) 若f(x)为偶函数，求k的值.20. (本小题满分12分）已知矩形ABCD中，AD =2AB= 2，E，F分别为AD，BC的中点，现将矩形ABCD沿EF 折起,使二面角D' — EF — B 为60°.(1) 求证EF丄AD'(2) 求四棱锥A — EFC'D'的体积.21. (本小题满分12分）已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2）的部分图象如图所示.(1) 将函数y=f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向左平移π3个单位长度.得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；(2) 当x∈[-π2，π12]时,求函数），y=f(2x+π12)−√2f(2x+π3)的值域。

河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析

A. 2, 3
B. 0, 2
C. 0, 2
D. 3, 2
【答案】D 【解析】【分析】
根据 f x 过点 0,
3
可得 ,再根据 3
f
x
在
π 12
,
5π 12
上单调,且
f
x 的图象向右平
移
π
个单位与原图象重合可得
2
.进而求得
f
x
2
sin
2x
3
.再根据三角函数图像
性质数形结合分析实数 t 的取值范围即可.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. sin 510 （）.
1 A.
2
B. 1 2
C. 3 2
D. 3 2
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式计算得到答案.
【详解】 sin 510 sin 360 150 sin150 sin 30 1 .
2
故选：A.
【点睛】本题考查了诱导公式化简求值，属于简单题.
2.函数 f x cos4 x sin4 x 的最小正周期为（
2
2
π
A.
2
B. π
）.
C. 2π
【答案】C
D. 4π
【解析】
【分析】
先化简函数得 f x cos x ，即得函数的最小正周期.
【详解】由题得 f x cos4 x sin4 x (cos2 x sin2 x)(cos2 x sin2 x) cos x .
f x x sin x x sin x f x ，则 y x sin x 为偶函数；
-4-

2019-2020学年河南省洛阳市高一下期末数学试卷(有答案)

河南省洛阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．集合A={（x，y）|y=3x﹣2}，B={（x，y）|y=x+4}，则A∩B=（）A．{3，7}B．{（3，7）}C．（3，7）D．[3，7]2．计算：1﹣2sin2105°=（）A．﹣B．C．﹣D．3．过点（3，1）且与直线x﹣2y﹣3=0垂直的直线方程是（）A．2x+y﹣7=0 B．x+2y﹣5=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=04．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y轴对称的函数是（）A．y=sin2x+cos2x B．y=sinx•cosxC．y=|cos2x|D．y=sin（2x+）5．如图所示的程序框图输出的结果是S=5040，则判断框内应填的条件是（）A．i≤7 B．i＞7 C．i≤6 D．i＞66．某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 m 4.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，求得其回归方程是=0.7x+0.35，则实数m的值为（）A．3.5 B．3.85 C．4 D．4.157．在区间[﹣1，2]上随机取一个数，则﹣1＜2sin＜的概率为（）A．B．C．D．8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．C．D．49．设向量=（1，sinθ），=（1，3cosθ），若∥，则等于（）A．﹣B．﹣C．D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则坐标原点O与圆（x﹣）2+（y+）2=2的位置关系是（）A．点O在圆外B．点O在圆上C．点O在圆内D．不能确定12．已知⊙O的半径为2，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若点A，B，O不共线，且|﹣t|≥||对任意t∈R恒成立，则•=（）A．4B．4 C．2D．2二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5：2，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n=_______．14．如图程序运行后输出的结果是_______．15．设f（x）=msin（πx+α）+ncos（πx+β）+8，其中m，n，α，β均为实数，若f=_______．16．已知符号函数sgn（x）=，f（x）=x2﹣2x，则函数F（x）=sgn[f（x）]﹣f（x）的零点个数为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知||=4，||=，（ +）•（﹣2）=16．（1）求•；（2）求|+|．18．学校达标运动会后，为了解学生的体质情况，从中抽取了部分学生的成绩，得到一个容量为n的样本，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出了如图的频率分布直方图，已知[50，60）与[90，100]两组的频数分别为24与6．（1）求n及频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次达标运动会中，学生成绩的中位数和平均数；（3）已知[90，100]组中有2名男生，4名女生，为掌握性别与学生体质的关系，从本组中选2名作进一步调查，求2名学生中至少有1名男生的频率．19．已知函数f（x）=cos（2ωx﹣）+sin2ωx﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）的单调递增区间．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为1，且侧棱与底面垂直，M是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1M；（2）求直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值；（3）求点C到平面AB1M的距离．21．已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．22．如图，已知点A（﹣3，0），B（3，0），M是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是两个正方形的外接圆，它们交于点M，N．（1）证明：直线MN恒过一定点S，并求S的坐标；（2）过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，求|AH|•|AG|的取值范围．河南省洛阳市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．集合A={（x，y）|y=3x﹣2}，B={（x，y）|y=x+4}，则A∩B=（）A．{3，7}B．{（3，7）}C．（3，7）D．[3，7]【考点】交集及其运算．【分析】联立A与B中二元一次方程组成方程组，求出方程组的解即可得到两集合的交集即可．【解答】解：联立A与B中方程得：，消去y得：3x﹣2=x+4，解得：x=3，把x=3代入得：y=9﹣2=7，∴方程组的解为，∵A={（x，y）|y=3x﹣2}，B={（x，y）|y=x+4}，∴A∩B={（3，7）}，故选：B．2．计算：1﹣2sin2105°=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用诱导公式，降幂公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】解：1﹣2sin2105°=1﹣2sin275°=1﹣（1﹣cos150°）=﹣cos30°=﹣．故选：C．3．过点（3，1）且与直线x﹣2y﹣3=0垂直的直线方程是（）A．2x+y﹣7=0 B．x+2y﹣5=0 C．x﹣2y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k，然后利用直线的点斜式可求直线方程【解答】解：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=﹣2所求直线的方程为y﹣1=﹣2（x﹣3）即2x+y﹣7=0故选：A．4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y轴对称的函数是（）A．y=sin2x+cos2x B．y=sinx•cosxC．y=|cos2x|D．y=sin（2x+）【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用两角和差的三角函数、诱导公式化简函数的解析式，再利用三角函数的周期性和奇偶性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：由于y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，故它的图象不关于y轴对称，故排除A；由于y=sinx•cosx=sin2x，为奇函数，它的图象关于原点对称，故排除B；由于y=|cos2x|的周期为•=，故排除C；由于y=sin（2x+）=cos2x，它的周期为=π，且它为偶函数，它的图象关于y轴对称，故满足条件，故选：D．5．如图所示的程序框图输出的结果是S=5040，则判断框内应填的条件是（）A．i≤7 B．i＞7 C．i≤6 D．i＞6【考点】程序框图．【分析】根据程序输出的结果，得到满足条件的i的取值，即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=10，S=1满足条件，执行循环体，S=10，i=9满足条件，执行循环体，S=90，i=8满足条件，执行循环体，S=720，i=7满足条件，执行循环体，S=5040，i=6由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为5040．故判断框内应填入的条件是i＞6．故选：D．6．某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：x 3 4 5 6y 2.5 3 m 4.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，求得其回归方程是=0.7x+0.35，则实数m的值为（）A．3.5 B．3.85 C．4 D．4.15【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：根据所给的表格可以求出=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+3+m+4.5）=，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=4，故选：C．7．在区间[﹣1，2]上随机取一个数，则﹣1＜2sin＜的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据三角函数的不等式求出x的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由可﹣1＜2sin＜得﹣＜sin＜，∵﹣1≤x≤2，∴﹣≤≤，则﹣≤＜，即﹣≤x＜1，则对应的概率P===，故选：C8．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B．C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，我们易判断出这个几何体的形状及结构特征，进而求出底面各边长，求出底面面积和棱锥的高后，代入棱锥的体积公式，是解答本题的关键．【解答】解：由已知中的三视图可得这是一个底面为梯形的四棱锥其中底面的上底为2，下底为4，高为2，则底面面积S==6棱锥的高H为2则这个几何体的体积V===4故选D9．设向量=（1，sinθ），=（1，3cosθ），若∥，则等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】三角函数的化简求值；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据两向量平行的坐标表示，利用同角的三角函数关系﹣﹣弦化切，即可求出答案．【解答】解：∵向量=（1，sinθ），=（1，3cosθ），∥，∴3cosθ=sinθ，可得：tanθ=3，∴====，故选：D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求得ω，根据图象的对称中心求得φ的值，可得函数的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得出结论．【解答】解：由题意可得函数的最小正周期为=2×，∴ω=2．再根据﹣×2+φ=kπ，|φ|＜，k∈z，可得φ=，f（x）=sin（2x+），故将f（x）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x的图象，故选：D．11．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则坐标原点O与圆（x﹣）2+（y+）2=2的位置关系是（）A．点O在圆外B．点O在圆上C．点O在圆内D．不能确定【考点】分段函数的应用；对数函数的图象与性质；点与圆的位置关系．【分析】画出分段函数y=|lgx|的图象，求出ab关系，进而根据点与圆的位置关系定义，可得答案．【解答】解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1，则a+b＞2，故坐标原点O在圆（x﹣）2+（y+）2=2外，故选：A．12．已知⊙O的半径为2，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若点A，B，O不共线，且|﹣t|≥||对任意t∈R恒成立，则•=（）A．4B．4 C．2D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的减法的运算法则将向量进行化简，然后两边平方，设•=m，整理可得4t2﹣2tm﹣（4﹣2m）≥0恒成立，再由不等式恒成立思想，运用判别式小于等于0，解不等式即可．【解答】解：∵|﹣t|≥||，∴|﹣t|≥|﹣|，两边平方可得：2﹣2t•+t22≥2﹣2•+2，设•=m，则有：4t2﹣2tm﹣（4﹣2m）≥0恒成立，则有判别式△=4m2+16（4﹣2m）≤0，即m2﹣8m+16≤0，化简可得（m﹣4）2≤0，即m=4，即有•=4，故选：B二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.13．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5：2，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n=96．【考点】分层抽样方法．【分析】先求出总体中中A种型号产品所占的比例，是样本中A种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量．【解答】解：由题意知，总体中中A种型号产品所占的比例是=，因样本中A种型号产品有16件，则×n=16，解得n=96．故答案为：96．14．如图程序运行后输出的结果是61．【考点】伪代码．【分析】经过观察为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足条件时跳出循环，输出结果即可．【解答】解：经过分析，本题为直到型循环结构，模拟执行程序如下：i=1，S=1执行循环体，S=5，i=3不满足条件i＞8，执行循环体，S=13，i=5不满足条件i＞8，执行循环体，S=29，i=7不满足条件i＞8，执行循环体，S=61，i=9此时，满足条件i＞8，跳出循环，输出S=61．故答案为：61．15．设f（x）=msin（πx+α）+ncos（πx+β）+8，其中m，n，α，β均为实数，若f=2016．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】根据三角函数的诱导公式，列方程即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=msin（πx+α）+ncos（πx+β）+8，f=msin+ncos+8=msinα+ncosβ+8=﹣2000，∴可得：msinα+ncosβ=﹣2008，则f+ncos+8=﹣msinα﹣ncosβ+8=﹣（msinα+ncosβ）+8=2016．故答案为：2016．16．已知符号函数sgn（x）=，f（x）=x2﹣2x，则函数F（x）=sgn[f（x）]﹣f（x）的零点个数为5．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用符号函数求出F（x）的解析式，然后求解函数的零点即可得到结果．【解答】解：符号函数sgn（x）=，f（x）=x2﹣2x，则函数F（x）=sgn[f（x）]﹣f（x）=，当x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，﹣x2+2x+1=0，解得x=满足题意．当x=0或x=2时，﹣x2+2x=0，x=0或x=2是函数的零点．当x∈（0，2）时，﹣x2+2x﹣1=0，解得x=1满足题意．所以函数的零点个数是5．故答案为：5．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知||=4，||=，（ +）•（﹣2）=16．（1）求•；（2）求|+|．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据条件，（ +）•（﹣2）=16，展开化简即可得•；（2）根据向量长度和向量数量积的关系即可求|+|．【解答】解：（1）∵（+）•（﹣2）=16，∴2﹣22﹣•=16，即•=2﹣22﹣16=16﹣2×3﹣16=﹣6；（2）|+|==．18．学校达标运动会后，为了解学生的体质情况，从中抽取了部分学生的成绩，得到一个容量为n的样本，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出了如图的频率分布直方图，已知[50，60）与[90，100]两组的频数分别为24与6．（1）求n及频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次达标运动会中，学生成绩的中位数和平均数；（3）已知[90，100]组中有2名男生，4名女生，为掌握性别与学生体质的关系，从本组中选2名作进一步调查，求2名学生中至少有1名男生的频率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由题意能求出样本容量n和x，y的值．（2）利用频率分布直主图能估计学生成绩的中位数和学生成绩的平均数．（3）记2名男生分别为a1，a2，4名女生分别为b1，b2，b3，b4，至少有一名男生的对立事件为抽到2名女生，由此利用对立事件能求出2名学生中至少有1名男生的频率．【解答】解：（1）由题意知样本容量n==150，y==0.004，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．（2）估计学生成绩的中位数m=70+×10=71，估计学生成绩的平均数=55×0.16+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.04=70.6．（3）记2名男生分别为a1，a2，4名女生分别为b1，b2，b3，b4，抽取两名学生的结果有：基本事件总数n==15，其中至少有一名男生的对立事件为抽到2名女生，∴2名学生中至少有1名男生的频率p=1﹣=．19．已知函数f（x）=cos（2ωx﹣）+sin2ωx﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角的正弦公式，两角差的余弦、正弦公式化简解析式，由周期公式求出ω的值，由正弦函数的对称轴求出函数f（x）图象的对称轴方程；（2）由正弦函数的增区间、整体思想求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=cos2ωx+sin2ωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=，∴最小正周期T==π，解得ω=1，则f（x）=由得，，∴f（x）图象的对称轴方程是；（2）由（1）得f（x）=，由得，，∴函数f（x）的单调递增区间是．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为1，且侧棱与底面垂直，M是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1M；（2）求直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值；（3）求点C到平面AB1M的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．【分析】（1）证明线面平行，通常利用线面平行的判定定理，这里我们可以利用中位线的性质，得到线线平行；（2）过B作BD⊥B1M于D，易得BD⊥平面AB1M，故∠BB1D是直线BB1与平面AB1M所成角；（3）M是BC的中点，点C与点B到平面AB1M的距离相等．【解答】（1）证明：连接A1B，交AB1于O，连接OM因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以O是A1B的中点因为O，M分别是A1B和BC的中点，所以OM∥A1C因为A1C⊄面AB1M，OM⊂面AB1M所以A1C∥面AB1M；（2）解：由题意BB1⊥AM，∵M是BC的中点，∴BC⊥AM，∴AM⊥平面B1BM，∴平面AB1M⊥平面B1BM，过B作BD⊥B1M于D，易得BD⊥平面AB1M故∠BB1D是直线BB1与平面AB1M所成角．Rt△BB1D中，BD==，∴sin∠BB1D=，∴直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值为；（3）解：M是BC的中点，点C与点B到平面AB1M的距离相等，由（2）可知点B到平面AB1M的距离BD=，∴点C到平面AB1M的距离为．21．已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．（2）将不等式进行化简，利用参数分离法把不等式恒成立问题进行转化，求最值即可．【解答】解：（1）∵f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=﹣m=0，则m=0，∵g（x）=x2+nx+1为偶函数．∴对称轴x=﹣=0，即n=0．（2）由（1）知f（x）=，g（x）=x2+1，则3f（sinx）•g（sinx）=（sin2x+1）=3sinx，则不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，等价为不等式3sinx＞g（cosx）﹣λ=cos2x+1﹣λ对任意x∈R恒成立，即λ＞cos2x﹣3sinx+1恒成立，∵cos2x﹣3sinx+1=﹣（sinx+）2+∈[﹣2，4]，∴λ＞4，即实数λ的取值范围是（4，+∞）．22．如图，已知点A（﹣3，0），B（3，0），M是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是两个正方形的外接圆，它们交于点M，N．（1）证明：直线MN恒过一定点S，并求S的坐标；（2）过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，求|AH|•|AG|的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据题意，写出⊙P与⊙Q的方程，利用两圆的方程作差，得出公共弦MN所在的直线方程，从而求出直线MN恒过的定点S；（2）过点Q作QT⊥GH于T，根据垂径定理与切割线定理，即可求出|AH|•|AG|的取值范围．【解答】解：（1）设点M（m，0），其中m∈（﹣3，3），则C（m，m+3），F（m，3﹣m），P（，），Q（，）；易知⊙P的方程为： +=，即x2+y2﹣（m﹣3）x﹣（m+3）y﹣3m=0；①⊙Q的方程为： +=，即x2+y2﹣（3+m）x﹣（3﹣m）y+3m=0；②①﹣②得，公共弦MN所在的直线方程为6x﹣2my﹣6m=0，整理得3x﹣m（3+y）=0，所以MN恒过定点S（0，3）；（2）过点Q作QT⊥GH于T，则|TH|=|TG|，从而|AH|•|AG|=（|AT|﹣|TH|）•（|AT|+|TG|）=|AT|2﹣|TH|2=（|AQ|2﹣|QT|2）﹣（|HQ|2﹣|QT|2）=|AQ|2﹣|HQ|2=+﹣=6m+18；由于m∈（﹣3，3），|AH|•|AG|∈（0，36），即|AH|•|AG|的取值范围是（0，36）．。

2019-2020学年河南省洛阳一高高一(下)期末数学试卷

2019-2020学年河南省洛阳一高高一（下）期末数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知非零实数a.b满足a＜b.则（）A. 1a ＞1bB.sina-sinb＜0C. e be a＞1D.lg（b-a）＞02.（单选题.5分）下列函数中.既是奇函数.又是周期函数的是（）A.y=sin|x|B.y=cos2xC.y=x3D.y=cos（π2+x）3.（单选题.5分）已知直线l1：（a+2）x+3y=5-2a和直线l2：x+ay=1平行.则a的值为（）A.-3B.1C.-3或1D.-1或34.（单选题.5分）已知直线过点（1.2）.且纵截距为横截距的两倍.则直线l的方程为（）A.2x-y=0B.2x+y-4=0C.2x-y=0或x+2y-2=0D.2x-y=0或2x+y-4=05.（单选题.5分）已知某班有学生60人.现将所有学生按照0.1.2.….59随机编号.若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本.且编号为2.32.47.的学生在样本中.则样本中还有一个学生的编号为（）A.26B.23C.17D.136.（单选题.5分）已知α∈(0，π2) .β∈（0.π）.且sinα= 4√37.cosβ= 1314.则α-β=（）A.- π3B. π6C. π3D.± π37.（单选题.5分）一个几何体的三视图如图.则该几何体的体积（）A. 263B. 283C.10D. 3238.（单选题.5分）从集合{-1.2.3}中随机抽取一个数a.从集合{-2.4.6.7}中随机抽取一个数b.则点（a.b）落在平行直线2x-y-2=0与2x-y+3=0内（不包括两条平行直线）的概率为（）A. 712B. 14C. 12D. 5129.（单选题.5分）函数f(x)=cosx(e x−1)e x+1的部分图象大致为（）A.B.C.D.10.（单选题.5分）将函数f（x）=sin2x的图象上所有的点向左平移π6个单位长度.再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.得到函数y=g（x）的图象.则y=g（x）在区间[- π4 . π2]上的最小值为（）A. 12B. √32C.- 12D.- √3211.（单选题.5分）若三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上.PA⊥平面ABC.AB=AC=2.∠BAC=90°.且三棱锥P-ABC的体积为4√33.则球O的体积为（）A. 20√53πB. 10√53πC. 5√53πD.5 √5π12.（单选题.5分）设函数f（x）= {|2x−1|，x≤2−x+5，x＞2.若互不相等的实数a.b.c满足f（a）=f（b）=f（c）.则2a+2b+2c的取值范围是（）A.（16.32）B.（17.35）C.（18.34）D.（6.7）13.（填空题.5分）已知斜率为- √2 的直线l 的倾斜角为α.则cosα=___ ．14.（填空题.5分）如图.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.E 、F 分别是AA 1、AB 的中点.则异面直线EF 与A 1C 1所成角的大小是___ ．15.（填空题.5分）如图.边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O.点P 在线段BO 上运动．若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =1.则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ___ ．16.（填空题.5分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数.且满足f （x+2）=f （-x ）.当x∈[-1.0]时.f （x ）=-x 2.则函数g （x ）=（x-2）f （x ）+1在区间[-3.7]上所有零点之和为___ ． 17.（问答题.10分）已知单位向量 a . b ⃗ .两向量的夹角为60°.且 c = a -3 b ⃗ . d = a + b ⃗ ．（1）求 c 与 d 的模；（2）求 c 与 d夹角的余弦值．18.（问答题.12分）如图.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中.AB=AC.P 为AA 1的中点.Q 为BC 的中点．（1）求证：PQ || 平面A 1BC 1；（2）求证：BC⊥PQ ．19.（问答题.12分）某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是[70.80）.[80.90）.[90.100）.[100.110）.[110.120）（1）求图中m的值；（2）根据频率分布直方图.估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中.某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示.求英语成绩在[90.100）的人数．分数段[70.80）[80.90）[90.100）[100.110）[110.120）x：y 1：2 2：1 6：5 1：2 1：120.（问答题.12分）已知向量m⃗⃗ =(2cosx，1) . n⃗=(cosx，sin2x) .f（x）= m⃗⃗ •n⃗．（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（α2）= 3√25+1 .其中α∈(−π2，π2) .求cosα的值．21.（问答题.12分）已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上.半径为2.且被直线3x-4y-4=0截得的弦长为2 √3．（1）求圆C的方程：（2）设P是直线x+y+5=0上的动点.过点P作圆C的切线PA.切点为A.证明：经过A.P.C三点的圆必过定点.并求出所有定点的坐标．22.（问答题.12分）对于定义域相同的函数f（x）和g（x）.若存在实数m.n使h（x）=mf （x）+ng（x）.则称函数h（x）是由“基函数f（x）.g（x）”生成的．（1）若函数h（x）=4x2+2x+3是“基函数f（x）=3x2+x.g（x）=kx+3”生成的.求实数k的值；（2）试利用“基函数f（x）=log3（9x-1+1）.g（x）=x-1”生成一个函数h（x）.且同时满足：① h（x+1）是偶函数；② h（x）在区间[2.+∞）上的最小值为2（log310-1）．求函数h（x）的解析式．2019-2020学年河南省洛阳一高高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.5分）已知非零实数a.b满足a＜b.则（）A. 1a ＞1bB.sina-sinb＜0C. e be a＞1D.lg（b-a）＞0【正确答案】：C【解析】：根据条件取特殊值.即可排除错误选项．【解答】：解：根据非零实数a.b满足a＜b.取a=-1.b=1.则可排除A；取a= π2.b= π .可排除B；取a=-2.b=-1.可排除D．故选：C．【点评】：本题考查了不等式的基本性质.属基础题．2.（单选题.5分）下列函数中.既是奇函数.又是周期函数的是（）A.y=sin|x|B.y=cos2xC.y=x3D.y=cos（π2+x）【正确答案】：D【解析】：根据题意.依次分析选项中函数的奇偶性与周期性.综合即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A.y=sin|x|.有f（-x）=sin|-x|=sin|x|=f（x）.为偶函数.不符合题意；对于B.y=cos2x.有f（-x）=cos（-2x）=cos2x=f（x）.为偶函数.不符合题意；对于C.y=x3.为幂函数.是奇函数但不是周期函数.不符合题意；对于D.y=cos（π2+x）=-sinx.既是奇函数.又是周期函数.符合题意；故选：D．【点评】：本题考查函数的奇偶性、周期性的判断.注意常见函数的奇偶性与周期性.属于基础题．3.（单选题.5分）已知直线l1：（a+2）x+3y=5-2a和直线l2：x+ay=1平行.则a的值为（）A.-3B.1C.-3或1D.-1或3【正确答案】：A【解析】：根据题意.由直线平行的判断方法可得a（a+2）=3.解可得a的值.据此分别验证两直线是否平行即可得答案．【解答】：解：根据题意.已知直线l1：（a+2）x+3y=5-2a和直线l2：x+ay=1平行.则有a（a+2）=3.即a2+2a-3=0．解可得：a=1或-3；当a=1时.直线l1：3x+3y=3.即x+y=1.直线l2：x+y=1.两直线重合.当x=-3时.直线l1：-x+3y=11.直线l2：x-3y=1.两直线平行.故a=-3；故选：A．【点评】：本题考查直线的一般式方程与直线平行的关系.注意得到关于a的方程.属于基础题．4.（单选题.5分）已知直线过点（1.2）.且纵截距为横截距的两倍.则直线l的方程为（）A.2x-y=0B.2x+y-4=0C.2x-y=0或x+2y-2=0D.2x-y=0或2x+y-4=0【正确答案】：D【解析】：根据题意.分直线l是否经过原点分2种情况讨论.分别求出直线l的方程.综合即可得答案．【解答】：解：根据题意.分2种情况讨论：① .直线l过原点.又由直线经过点（1.2）.此时直线l的方程为y=2x.即2x-y=0；② .直线l不过原点.设其方程为xa + y2a=1.又由直线经过点（1.2）.则有1a + 22a=1.解可得a=2.此时直线l的方程为2x+y-4=0.故直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0.故选：D．【点评】：本题考查直线的截距式方程.注意分析直线的截距是否为0.属于基础题．5.（单选题.5分）已知某班有学生60人.现将所有学生按照0.1.2.….59随机编号.若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本.且编号为2.32.47.的学生在样本中.则样本中还有一个学生的编号为（）A.26B.23C.17D.13【正确答案】：C【解析】：根据系统抽样的定义求出样本间隔即可．【解答】：解：样本间隔为60÷4=15.则2+15=17.即另外一个学生的编号为17.故选：C．【点评】：本题主要考查系统抽样的应用.求出样本间隔是解决本题的关键．6.（单选题.5分）已知α∈(0，π2) .β∈（0.π）.且sinα= 4√37.cosβ= 1314.则α-β=（）A.- π3B. π6C. π3D.± π3【正确答案】：C【解析】：由已知分别求得cosα.sinβ的值.再求出α-β的范围及sin（α-β）的值.则答案可求．【解答】：解：由 α∈(0，π2) .sinα= 4√37.得cosα= 17；由β∈（0.π）.cosβ= 1314.得sinβ= 3√314．且α-β∈（-π. π2 ）.而sin （α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ= 4√37×1314−17×3√314=49√398=√32． ∴α-β= π3 ．故选：C ．【点评】：本题考查两角和与差的三角函数的应用.考查同角三角函数基本关系式.训练了由已知三角函数值求角.是基础题．7.（单选题.5分）一个几何体的三视图如图.则该几何体的体积（）A. 263 B. 283 C.10 D. 323【正确答案】：B【解析】：由三视图还原原几何体.可知该几何体为正四棱台.下底面边长为4.上底面边长为2.高为1．再由棱台体积公式求解．【解答】：解：由三视图还原原几何体如图.该几何体为正四棱台.下底面边长为4.上底面边长为2.高为1．∴该几何体的体积V= 13×(4+√4×16+16)×1=283．故选：B．【点评】：本题考查由三视图求面积、体积.关键是由三视图还原原几何体.是中档题．8.（单选题.5分）从集合{-1.2.3}中随机抽取一个数a.从集合{-2.4.6.7}中随机抽取一个数b.则点（a.b）落在平行直线2x-y-2=0与2x-y+3=0内（不包括两条平行直线）的概率为（）A. 712B. 14C. 12D. 512【正确答案】：D【解析】：基本事件（a.b）总共有：n=3×4=12个.两平行直线的距离为d=√22+(−1)2=√5 .从而落在平行直线2x-y-2=0与2x-y+3=0内（不包括两条平行直线）的点必须满足条件{|2a−b−2|＜5|2a−b+3|＜5.由此利用列举法能求出点（a.b）落在平行直线2x-y-2=0与2x-y+3=0内（不包括两条平行直线）的概率．【解答】：解：从集合{-1.2.3}中随机抽取一个数a.从集合{-2.4.6.7}中随机抽取一个数b. 基本事件（a.b）总共有：n=3×4=12个.两平行直线的距离为d=√22+(−1)2=√5 .所以落在平行直线2x-y-2=0与2x-y+3=0内（不包括两条平行直线）的点必须满足条件{|2a−b−2|＜5 |2a−b+3|＜5.所以满足条件的事件有（-1.-2）.（2.4）.（3.6）.（2.6）.（3.7）.共5个.所以点（a.b）落在平行直线2x-y-2=0与2x-y+3=0内（不包括两条平行直线）的概率为p=5．12故选：D．【点评】：本题考查概率的求法.考查列举法、古典概型等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．9.（单选题.5分）函数f(x)=cosx(e x−1)的部分图象大致为（）e x+1A.B.C.D.【正确答案】：A)＞0 .排除C．【解析】：由函数为奇函数.排除BD.由f(π4【解答】：解：因为f（-x）=-f（x）.所以函数f（x）为奇函数.排除B.D；)＞0 .又f(π4故选：A．【点评】：本题考查由函数解析式确定函数图象.属于基础题．10.（单选题.5分）将函数f（x）=sin2x的图象上所有的点向左平移π6个单位长度.再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.得到函数y=g（x）的图象.则y=g（x）在区间[- π4 . π2]上的最小值为（）A. 12B. √32C.- 12D.- √32【正确答案】：A【解析】：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式.再利用正弦函数的最值.得出结论．【解答】：解：将函数f（x）=sin2x的图象上所有的点向左平移π6个单位长度.可得y=sin（2x+ π3）的图象；再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.得到函数y=g（x）=sin（23 x+ π3）的图象．在区间[- π4 . π2]上. 23x + π3∈[ π6. 2π3].故当23x + π3= π6时.g（x）取得最小值为12.故选：A．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数的最值.属于基础题．11.（单选题.5分）若三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上.PA⊥平面ABC.AB=AC=2.∠BAC=90°.且三棱锥P-ABC的体积为4√33.则球O的体积为（）A. 20√53πB. 10√53πC. 5√53πD.5 √5π【正确答案】：A【解析】：由已知将三棱锥P-ABC的外接球.转化为长2.宽2.高2 √3的长方体的外接球.求出半径.可得答案．【解答】：解：∵AB=AC=2.∠BAC=90°.故棱锥的底面面积为2.由PA⊥平面ABC.且三棱锥P-ABC的体积为4√33.故棱锥的高为2 √3 .三棱锥P-ABC的外接球.相当于长2.宽2.高2 √3的长方体的外接球.故球半径R= 12[ 22+22+(2√3)2 ]= √5 .故球的体积V= 20√53π.故选：A．【点评】：本题考查的知识点是球的体积和表面积.根据已知计算出球的半径是解答的关键．12.（单选题.5分）设函数f（x）= {|2x−1|，x≤2−x+5，x＞2.若互不相等的实数a.b.c满足f（a）=f（b）=f（c）.则2a+2b+2c的取值范围是（）A.（16.32）B.（17.35）C.（18.34）D.（6.7）【正确答案】：C【解析】：画出函数的图象.利用数形结合判断a、b、c的范围与关系.然后求解2a+2b+2c的取值范围．【解答】：解：画出函数f（x）= {|2x−1|，x≤2−x+5，x＞2的图象如图：互不相等的实数a.b.c满足f（a）=f（b）=f（c）.可得a∈（-∞.0）.b∈（0.1）.c∈（4.5）.结合图形. 对应的函数值接近1时.此时a→-∞.b→1.c→4.函数趋向最小值：0+2+24=18.当函数值趋向0时.a→0.b→0.c→5.表达式趋向最大值：1+1+25=34．则2a+2b+2c的取值范围是（18.34）．故选：C．【点评】：本题考查函数的图象与性质的应用.考查数形结合以及计算能力．13.（填空题.5分）已知斜率为- √2的直线l的倾斜角为α.则cosα=___ ．【正确答案】：[1]- √33【解析】：根据题意.由直线的斜率公式可得tanα= sinαcosα=- √2 .分析可得cosα＜0.由同角三角函数的基本关系式分析可得答案．【解答】：解：根据题意.直线l的倾斜角为α.其斜率为- √2 .则有tanα= sinαcosα =- √2 .则π2＜α＜π.必有cosα＜0.又由sin2α+cos2α=1.解可得：cosα=- √33；故答案为：- √33【点评】：本题考查直线的倾斜角.涉及三角函数的基本关系式.属于基础题．14.（填空题.5分）如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E、F分别是AA1、AB的中点.则异面直线EF与A1C1所成角的大小是___ ．【正确答案】：[1]60°【解析】：先作出异面直线EF与A1C1所成角.再在正△BA1C1中即可得解．【解答】：解：连接A 1B.则A 1B || EF.则∠BA 1C 1为异面直线EF 与A 1C 1所成角.在正△BA 1C 1中.∠BA 1C 1=60°.故答案为：60°．【点评】：本题考查了异面直线所成角的作法及求法.属中档题．15.（填空题.5分）如图.边长为2的菱形ABCD 的对角线相交于点O.点P 在线段BO 上运动．若 AB⃗⃗⃗⃗⃗ •AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =1.则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]- 34 【解析】：建立坐标系.由已知求出AO.OB 长.设P 点坐标为（0.b ）.求出两个向量的坐标.进而求出向量积的表达式.由二次函数的性质.可得答案．【解答】：解：建立如图所示的坐标系.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AO ⃗⃗⃗⃗⃗ = |AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =1.则AO=1.又由菱形ABCD 的边长为2.则OB= √3 .故A （-1.0）.B （0.- √3 ）.设P 点坐标为（0.b ）.b∈[- √3 .0].则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.b ）. BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.b+ √3 ）AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •BP ⃗⃗⃗⃗⃗ = b 2+√3b .当b=- √32 时. AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值- 34. 故答案为：- 34【点评】：本题考查的知识点是平面向量数量积的性质及其运算.难度中档．16.（填空题.5分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数.且满足f （x+2）=f （-x ）.当x∈[-1.0]时.f （x ）=-x 2.则函数g （x ）=（x-2）f （x ）+1在区间[-3.7]上所有零点之和为___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：根据条件判断函数的周期是4.求出函数在一个周期上解析式.利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题.利用数形结合进行求解即可．【解答】：解：因为f （x ）为奇函数.则f （-x ）=-f （x ）.故f （x+2）=f （-x ）=-f （x ）.则f （x+4）=-f （x+2）=-（-f （x ））=f （x ）.即函数f （x ）是周期为4的周期函数.∵f （x ）是R 上的奇函数.当x∈[-1.0]时.f （x ）=-x 2.x∈[0.1]时.f （x ）=x 2.x∈[-2.-1]时.f （x ）=-（x+2）2.x∈[1.2]时.f（x）=（x-2）2.∴f（0）=0.则f（-2）=-f（0）=0.f（2）=0由h（x）=（x-2）f（x）+1=0得（x-2）f（x）=-1.当x=2时.（x-2）f（x）=-1.不成立.即x≠2..则f（x）=- 1x−2的图象如图：作出函数y=f（x）和y=- 1x−2则两个函数关于点（2.0）对称.两个图象有4个交点.两两关于（2.0）对称.则函数h（x）=（x-2）f（x）+1在区间[-3.7]上所有零点之和为4+4=8.故答案为：8．【点评】：本题主要考查函数与方程的应用.结合条件判断函数的周期.以及求出函数在一个周期上的解析式.利用数形结合是解决本题的关键．17.（问答题.10分）已知单位向量a . b⃗ .两向量的夹角为60°.且c = a -3 b⃗ . d = a + b⃗．（1）求c与d的模；（2）求c与d夹角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）利用向量的模的运算法则以及向量的数量积求解即可．（2）利用向量的数量积转化求解向量的夹角的余弦函数值即可．【解答】：解：（1）因为a . b⃗是夹角为60°的单位向量.所以a•b⃗=1×1×cos60°=12. |c|=√(a−3b⃗)2=√a2−6a•b⃗+9b⃗2=√7 . |d|=√(a+b⃗)2=√a2+2a•b⃗+b⃗2=√3 . （2）c•d=(a−3b⃗)•(a+b⃗)=a2−2a•b⃗−3b⃗2=−3 .又|c|=√7 . |d|=√3 .∴ cos＜c，d＞=c•d|c||d|=−3√7×√3=−√217．【点评】：本题考查向量的数量积的应用.向量的模以及向量的夹角的求法.考查计算能力．18.（问答题.12分）如图.在直三棱柱ABC-A1B1C1中.AB=AC.P为AA1的中点.Q为BC的中点．（1）求证：PQ || 平面A1BC1；（2）求证：BC⊥PQ．【正确答案】：【解析】：（1）由已知证明OQ || A1P.OQ=A1P.可得四边形A1PQO为平行四边形.得到A1O || PQ.再由线面平行的判定可得PQ || 平面A1BC1；（2）连AQ.由三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱.得AA1⊥底面ABC.得到BC⊥AA1.再证明AQ⊥BC.可得BC⊥平面AQP.从而得到BC⊥PQ．【解答】：证明：（1）如图.连B1C.BC1相交于点O.∵BQ=CQ.OB=OC1.CC1.∴OQ || CC1.OQ= 12CC1 .∵A1P || CC1. A1P=12∴OQ || A1P.OQ=A1P.∴四边形A1PQO为平行四边形.∴A1O || PQ.∵A1O⊂平面A1BC1.PQ⊄平面A1BC1.∴PQ || 平面A1BC1；（2）连AQ.∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱.∴AA1⊥底面ABC.∵BC⊂平面ABC.∴BC⊥AA1∵AB=AC.BQ=CQ.∴AQ⊥BC.∵AQ∩AA1=A.∴BC⊥平面AQP.∵PQ⊂平面APQ.∴BC⊥PQ．【点评】：本题考查直线与平面平行.直线与平面垂直的判定与性质.考查空间想象能力与思维能力.是中档题．19.（问答题.12分）某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示.其中成绩分组区间是[70.80）.[80.90）.[90.100）.[100.110）.[110.120）（1）求图中m的值；（2）根据频率分布直方图.估计这200名学生的平均分；（3）若这200名学生的数学成绩中.某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如表所示.求英语成绩在[90.100）的人数．分数段[70.80）[80.90）[90.100）[100.110）[110.120）x：y 1：2 2：1 6：5 1：2 1：1【正确答案】：【解析】：（1）由频率分布直方图.能求出m；（2）根据频率分布直方图.能估计这200名学生的平均分；（3）这200名学生的数学成绩在[90.100）.[100.110）.[110.120）的分别有60人.40人.10人.按照表中给出的比例.则英语成绩在[90.100）.[100.110）.[110.120）的分别有50人.80人.10人.由此能求出英语成绩在[90.120）的人数．【解答】：解：（1）由频率分布直方图.得：10×（2m+0.02+0.03+0.04）=1.解得m=0.005；（2）根据频率分布直方图.估计这200名学生的平均分为：0.05×75+0.4×85+0.3×95+0.2×105+0.05×115=93；（3）这200名学生的数学成绩在[90.100）.[100.110）.[110.120）的分别有60人.40人.10人.按照表中给出的比例.则英语成绩在[90.100）.[100.110）.[110.120）的分别有50人.80人.10人.∴英语成绩在[90.120）的有140人．【点评】：本题考查频率分布直方图.求平均数、频数等.考查运算求解能力.是基础题．20.（问答题.12分）已知向量m⃗⃗ =(2cosx，1) . n⃗=(cosx，sin2x) .f（x）= m⃗⃗ •n⃗．（1）求f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（α2）= 3√25+1 .其中α∈(−π2，π2) .求cosα的值．【正确答案】：【解析】：（1）先利用数量积定义.求出f（x）.然后将原式进行化简成Asin（ωx+θ）的形式.然后结合图象的性质即可求出结果；（2）根据已知条件.可先求出sin(α+π4) .进而求出cos(α+π4) .最后借助于两角差的余弦公式求出cosα．【解答】：解：（1）依题意得：f(x)=m⃗⃗ •n⃗=2cos2x+sin2x =1+cos2x+sin2x= 1+√2sin(2x+π4)．则T=2π2=π．最小正周期为π．对称中心横坐标满足：2x+π4=kπ，k∈Z .可得x=kπ2−π8，k∈Z .故对称中心为(kπ2−π8，1)，k∈Z．（2）由f(α2)=3√25+1 .可得sin(α+π4)=35．∵ α∈(−π2，π2) .∴ α+π4∈(−π4，3π4)．而f(x)=sin(α+π4)在(−π2，π4)上单调递增.故取值范围为（−√22，1）；在(π4，π2)上单调递减.取值范围为（√22，1）．∵ 3 5＜√22.∴ α+π4∈(0，π4) .则cos(α+π4)＞0．∴ cos(α+π4)=45.∴ cosα=cos[(α+π4)−π4] = cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4= √22(45+35)=7√210．【点评】：本题考查数量积的定义、三角恒等变换等知识方法.特别强调三角变换中以“变角”为核心的基本思想.属于中档题．21.（问答题.12分）已知圆C 的圆心C 在x 轴的正半轴上.半径为2.且被直线3x-4y-4=0截得的弦长为2 √3 ．（1）求圆C 的方程：（2）设P 是直线x+y+5=0上的动点.过点P 作圆C 的切线PA.切点为A.证明：经过A.P.C 三点的圆必过定点.并求出所有定点的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）设圆心坐标.利用弦心距.半弦长.半径所成直角三角形列方程可得圆心坐标.进而得方程；（2）利用P 点所在直线设P 点坐标.利用过A.P.C 的圆以PC 为直径.设圆上任一点M.满足MP⊥MC .结合数量积为0.可得圆系方程.解得定点坐标．【解答】：解：（1）设圆心C （a.0）（a ＞0）. 则C 到直线3x-4y-4=0的距离d= |3a−4|5.由弦长为 2√3 .r=2.利用弦心距.半弦长.半径构成的直角三角形可得d 2=r 2-3.解得a=3或a=- 13 （舍）.∴圆C 的方程为：（x-3）2+y 2=4；（2）由（1）知.C （3.0）. 设P （m.-m-5）. ∵PA 为切线. ∴PA⊥AC .∴过A.P.C 的圆是以PC 为直径的圆. 设圆上任意一点M （x.y ）. 则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .∴（x-m.y+m+5）•（x-3.y ）=0. 得（x-m ）（x-3）+y （y+m+5）=0. 可得x 2+y 2-3x+5y-m （x-y-3）=0.由 {x 2+y 2−3x +5y =0x −y −3=0解得 {x =3y =0 或 {x =−1y =−4.故经过A.P.C 三点的圆所过定点的坐标为（3.0）和（-1.-4）．【点评】：此题考查了圆的方程.圆系方程.直线与圆的关系等.难度适中．22.（问答题.12分）对于定义域相同的函数f （x ）和g （x ）.若存在实数m.n 使h （x ）=mf （x ）+ng （x ）.则称函数h （x ）是由“基函数f （x ）.g （x ）”生成的．（1）若函数h （x ）=4x 2+2x+3是“基函数f （x ）=3x 2+x.g （x ）=kx+3”生成的.求实数k 的值；（2）试利用“基函数f （x ）=log 3（9x-1+1）.g （x ）=x-1”生成一个函数h （x ）.且同时满足： ① h （x+1）是偶函数； ② h （x ）在区间[2.+∞）上的最小值为2（log 310-1）．求函数h （x ）的解析式．【正确答案】：【解析】：（1）由题意设4x 2+2x+3=m （3x 2+x ）+n （kx+3）.由恒等式可得m.n.k 的关系.求得k ；（2）设h （x ）=mlog 3（9x-1+1）+n （x-1）.运用偶函数的定义和单调性的定义.求得m.n 的关系.以及最值.可得m.n 的值.进而得到所求解析式．【解答】：解：（1）函数h （x ）=4x 2+2x+3是“基函数f （x ）=3x 2+x.g （x ）=kx+3”生成的. 设4x 2+2x+3=m （3x 2+x ）+n （kx+3）.可得3m=4.m+nk=2.3n=3. 解得k= 23 ；（2）设h （x ）=mlog 3（9x-1+1）+n （x-1）.由h （-x+1）=h （x+1）.可得mlog 3（9-x +1）+n （-x ）=mlog 3（9x +1）+nx. 即为mlog 3 9−x +19x +1 =2nx.即mlog 39-x =2nx.可得-2mx=2nx.即m=-n. 可得h （x ）=m[log 3（9x-1+1）-（x-1）]=mlog 39x−1+13x−1. 令y= 9x−1+13x−1 .x≥2.再令3x-1=t （t≥3）.则y=t+ 1t .设3≤t1＜t2.可得y1-y2=t1+ 1t1 -t2- 1t2=（t1-t2）• t1t2−1t1t2.由3≤t1＜t2.可得t1-t2＜0.t1t2＞1.即有y1-y2＜0.即y1＜y2.则y=t+ 1t 在[3.+∞）递增.可得y=t+ 1t≥ 103.当t=3时取得等号.可得log39x−1+13x−1≥log3103.h（x）在区间[2.+∞）上的最小值为2（log310-1）．可得mlog3103=2（log310-1）.即m=2.n=-2.则h（x）=2log3（9x-1+1）-2（x-1）.【点评】：本题考查函数的新定义的理解和运用.考查函数的单调性、奇偶性和最值.注意运用转化思想和构造函数法.考查化简运算能力.属于中档题．。

河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

洛阳市2019－2020学年第二学期期中考试高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卷上． 2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 510︒=（）A ．12B ．12-C D ．-2．函数()44cos sin 22x xf x =-的最小正周期为（） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π3．若2πk αθ=+，()2πk l βθ=+-，其中k ∈Z ，则角α与β的终边（） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称D ．关于y x =对称4．如果单位向量a 与b 的夹角为π3，则a b +=（）A ．1B C ．2D ．35．下面结论正确的是（） A ．若a ，b 是单位向量，则a b =B ．若四边形ABCD 内一点O 满足OA OC OB OD +=+，则ABCD 是平行四边形 C ．若向量a ，b 共线，则a b a b +=+ D ．若a c b c ⋅=⋅，则a b =6．满足tan cos sin ααα<<的α一个可能值为（） A ．π12B ．3π8C ．9π16D ．13π127．下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A ．sin y x x =B ．2cos y x x =- C ．1tan tan y x x=+D ．sin cos y x x =+8．已知函数()ππsin 4cos 4136f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为π2B ．()f x 的图象关于直线π24x =-对称 C ．()f x 的值域为[]1,3-D ．()f x 的图象关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称 9．在边长为1的正方形ABCD 内，以AB 为直径作半圆，若点M 为半圆（包括端点A ，B ）上任意点，则MA MB MC MD +++的取值范围是（）A ．0,⎡⎣B ．(0,C ．0,⎡⎣D ．(0,10．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图象关于π3x =对称，将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为()g x ，若()g x 的最小正周期是2π，且1π2g ⎛⎫=⎪⎝⎭，则6πf ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A ．B ．C D11．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点(，且在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调，把()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合，若130,12πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y t =与()y f x =有三个不同的交点，则实数t 的取值范围是（）A ．(-B ．[]0,2C ．[)0,2D ．)212．已知点O 为ABC 内一点，满足3OA OB OC λ+=，若13AOBABCSS =，则λ=（） A ．-2B ．12-C ．12D ．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若tan θ=cos 2θ=__________．14．在平面直角坐标系中，已知()3,4A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转45°到OB ，则点B 的横坐标为__________．15．在梯形ABCD 中，//AB CD ，AC 为A ∠的平分线，且30CAB ∠=︒，若10AB =，AC =AD CB ⋅=__________．16．已知函数()()π02f x x x =≥，设函数()f x 图象的最高点从左至右依次为0A ，1A ，2A ，…，()f x 与x 轴的交点从左至右依次为0B ，1B ，2B ，…，在线段22A B 上取10个不同的点1C ，2C ，3C ，…，10C ，则1112110OA OC OA OC OA OC ⋅+⋅++⋅=__________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）（1）求值：sin 20cos110cos 200sin 70︒︒+︒︒；（2）已知α18．（本小题满分12分）已知(),2A x ，()2,3B ，()2,5C -．（1）若1x =，判断ABC 的形状，并给出证明；（2）求实数x 的值，使得CA CB +最小；（3）若存在实数λ，使得CA CB λ=，求x ，λ的值． 19．（本小题满分12分）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为3π，图象上一个最低点为()5π,2-．（1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,3πx ∈时，求()f x 的最值，以及取得最值时的x 值． 20．（本小题满分12分）已知3a =，(2,2b =-，且a 与b 夹角为2π3．（1）求2a b +；（2）若()()43a kb a b +⊥+，求实数k 的值． 21．（本小题满分12分）已知正方形ABCD 的边长为l ，P ，M ，N 分别为AB ，BC ，DA 上的点．（1）如图（1），当AP PB =，0PM PN ⋅=时，求MPN 面积的最小值；（2）如图（2），当APN 周长为2时，求PCN ∠的大小．（1）（2）22．（本小题满分12分）已知()4422sin2cos cos 2442x x xf x =++-．（1）试用五点作图法画出函数()f x 在[]0,2πr ∈上的简图；（2）定义在(],5-∞上的减函数()g x ，若()()22π12g a f x g a f x ⎛⎫⎛⎫++≤++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围．洛阳市2019－2020学年第二学期期中考试高一数学试卷参考答案一、选择题 1-5 ACCBB 6-10 CDBAC11-12 DA二、填空题13．13-14． 15．-4 16．100三、解答题17．解：（1） sin 20cos110cos 200sin 70︒︒+︒︒sin 20cos70cos 20sin 70-︒︒-︒=︒ sin 901=-︒=-．（2）∵α是第二象限角，∴0sin 1α<<，1cos 0α-<<．1sin 1sin cos cos αααα+-==+1sin 1sin 2cos cos cos ααααα+-=+=---．18．（1）ABC 是直角三角形，证明如下：∵()1,1AB =，()3,3AC =-，∴()13130AB AC ⋅=⨯-+⨯=． ∴AB AC ⊥．∴ABC 是直角三角形．（2）∵()23CA x =+-，()4,2CB =-，∴()6,5CA CB x +=+-，即(CA CB x +=当6x =-时，CA CB +取最小值5．（3）∵CA CB λ=，∴()()2,34,2x λ+-=-．即24,32,x λλ+=⎧⎨-=-⎩ 解得32λ=，4x =．19．（1）∵图象上一个最低点为()5π,2-，∴2A =．∵相邻两个交点的距离为3π，即6πT =，∴2π6πω=，即13ω=． ∵点()5π2-,在()12sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上，∴5πsin 13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． ∴5π3π2π32k ϕ+=+，k ∈Z ，即π2π6k ϕ=-，∵π2ϕ<， ∴π6ϕ=-．∴()1π2sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）∵[]0,3πx ∈，∴1ππ5π,3666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．当1ππ366x -=-即0x =时，()f x 有最小值，最小值为-1，当1ππ362x -=-即2πx =时，()f x 有最大值，最大值为2．20．（1）∵(2,2b =-，∴()224b =-=．又3a =，a 与b 夹角为2π3，∴14362a b ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． ()2222244a b a ba ab b +=+=+⋅+7==．（2）由()()43a kb a b +⊥+得，()()430a kb a b +⋅+=．即2243430a a b ka b kb +⋅+⋅+=，361824480k k --+=，解得34k =-．21．（1）由题知，12AP PB ==，PM PN ⊥，设MPB α∠=，则ANP α∠=，1cos 2cos PB PM αα==，2sin 2sin PA PN αα==．∴1124sin 2MPN S PM PN α=⋅=．当sin 21α=，即π4α=时，MPN 面积的最小值为14．（2）设AP x =，AN y =，BCP β∠=，DCN γ∠=．则tan 1x β=-，tan 1y γ=-．则()()()()()()112tan 111x y x y x y x y xyβγ-+--++==---+-．∵APN 周长为2，则2x y ++=，得()22xy x y =+-． ∴()()()()2tan 122x y x y x y βγ-++==+-+-⎡⎤⎣⎦．又π02βγ<+<，∴π4βγ+=．∴()ππ24PCN βγ∠=-+=． 22．（1）()4422sin2cos cos 2442x x x f x =++- 222111cos 1cos cos 222222x x x⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222122cos cos 22cos 1cos 2222x x xx ⎛⎫=++-=-= ⎪⎝⎭．函数()f x 在一个周期上的简图如下（2）只要221cos sin 5a x a x ++≤-≤恒成立．由221cos sin a x a x ++≤-得2221cos sin 1sin sin a a x x x x --≥+=-+，即2291sin 42a a x ⎛⎫--≥-- ⎪⎝⎭，由2sin 5a x -≤得，25sin a x -≤，∵x ∈R ，∴2max1sin 02x ⎡⎤⎛⎫--=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，sin 1x ≥-，必有2290451a a a ⎧--≥⎪⎨⎪-≤-⎩，即22a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪-≤≤⎩∴122a -≤≤．实数a的范围是⎡-⎢⎣⎦．。

2019-2020学年洛阳市高一下学期期末数学试卷(文科)

2019-2020学年洛阳市高一下学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数y=2cos2x−1是()A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π2的偶函数2.为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：(1)在该校中随机抽取名学生，并编号；(2)在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；(3)请下列两类学生举手：(ⅰ)摸到白球且号数为偶数的学生；(ⅰ)摸到红球且不喜欢数学课的学生．如果总共有名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是()A. B. C. D.3.若函数f(x)=log a(x−2)(a>0,a≠1)恒过定点A，函数g(x)=a x−2(a>0,a≠1)恒过定点B，则A，B两点关于()A. y=x对称B. y=x−2对称C. y=−x对称D. y=−x−2对称4.设α，β表示两个不同平面，l，m表示两条不同的直线，则下列命题正确的是()A. 若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α⊥βB. 若l⊥α，m//β，α⊥β，则l⊥mC. 若l//m，l⊂α，m⊥β，则α//βD. 若l⊥α，m⊥β，α//β，则l//m5.在区间[−2,3]上任取一个数a，则函数f(x)=x2−2ax+a+2有零点的概率为()A. 13B. 12C. 35D. 256.如图是某市歌手大奖赛中评委组为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和标准差分别为()A. 84，√1.6B. 84，1.6C. 85，1.6D. 85，√1.6 7.设 a =sin46°，b =cos46°，c =tan46°.则( )A. c >a >bB. a >b >cC. b >c >aD. c >b >a8.在△ABC 中，点D 在边AB 上，且DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13a⃗ +23b ⃗ B. 23a⃗ +13b ⃗ C. 13a⃗ −23b ⃗ D. 23a⃗ −13b ⃗ 9. 执行完如图的程序框图后，S 与i 应满足的关系为( )A. S =3i −2B. S =7(i −2)C. S =8i −1D. S =9(i +2)10. 若圆关于直线和直线都对称，则的值为( ) A.B.C.D.11. 已知球面上有四点P ，A ，B ，C ，满足PA ，PB ，PC 两两垂直，PA =3，PB =4，PC =5，则该球的表面积是( )A.B.C.D.12. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 在△ABC 内及边界上，则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( )A. √3B. 2√3C. 2D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知sin(α+β)=23，sin(α−β)=15，则tanαtanβ=______．14. 函数y =1x 的定义域是______ ，值域是______ ．15. 已知圆C ：x 2+y 2=12，直线l ：4x +3y =25，圆C 上的点A 到直线l 的距离小于2的概率为______．16. 已知函数f(x)={3−x ,x ≤0√x,x >0，若函数g(x)=f(x)−x −k 有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知向量a ⃗ =(1,2)，向量b ⃗ =(−3,2)．(Ⅰ)若向量a ⃗ +k b ⃗ 与向量a ⃗ −3b ⃗ 垂直，求实数k 的值；(Ⅱ)当k 为何值时，向量a ⃗ +k b ⃗ 与向量a ⃗ −3b ⃗ 平行？并说明它们是同向还是反向．18. 寒假期间，我市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光花园”社区人们的幸福度，现从调查人群中随机抽取16名，如果所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)；若幸福度分数不低于8.5分，则该人的幸福度为“幸福”．(1)求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望．19. 已知函数g(x)=log 2(2x −1)，f(x)=log 2(x +2) (1)求不等式g(x)≥f(x)的解集；(2)在(1)的条件下求函数y =g(x)+f(x)的值域．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD//BC ，AC ⊥BD(Ⅰ)证明：BD ⊥PC(Ⅱ)若AD =6，BC =2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P −ABCD 的体积．21. 已知函数f(x)=(sin2x +cos2x)2−2sin 22x ． (Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若函数y =g(x)的图象是由y =f(x)的图象向右平移π8个单位长度得到的，当x ∈[0,π4]时，求y =g(x)的最大值和最小值．22. 已知点P 在圆O ：x 2+y 2=4上运动，PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，点A 满足AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求点A 的轨迹E 的方程；(2)过点(0,32)的直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，记△OMN 的面积为S ，求S 的最大值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵y=2cos2x−1=cos2x，可知为偶函数，由周期公式可得，T=2πω=2π2=π，∴函数y=2cos2x−1是以π为最小正周期的偶函数．故选B．由y=2cos2x−1=cos2x，可判断函数的奇偶性，由周期公式可得，T=2πω可求周期．本题主要考查了三角函数的二倍角公式，函数的奇偶性及函数的周期公式的应用，属于基础性试题．2.答案：B解析：【试题解析】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．先分别计算号数为偶数的概率、摸到白球的概率、摸到红球的概率，从而可得摸到白球且号数位偶数的学生，进而可得摸到红球且不喜欢数学课的学生人数，由此可得结论．解：由题意，号数为偶数的概率为12，摸到白球的概率为22+3=0.4，摸到红球的概率为1−0.4=0.6，那么按概率计算摸到白球且号数位偶数的学生有100×12×0.4=20个，一共有26学生举手，则有6个摸到红球且不喜欢数学课的学生，除以摸红球的概率就是不喜欢数学课的学生6÷0.6=10，那么喜欢数学课的有90个，即90÷100=90%，故选B．3.答案：B解析：解：由x−2=1得x=3，此时f(3)=log a1=0，即函数f(x)恒过定点A(3,0)，由x−2=0得x=2，此时f(2)=a0=1，即函数g(x)恒过定点B(2,1)，A，B的中点坐标为(52,12 )，AB的斜率k=1−02−3=−1，则与AB垂直的直线的斜率k=1，则A，B两点中垂线方程为y−12=x−52，即y=x−2，则A，B两点关于y=x−2对称，故选：B根据对数函数和指数函数过定点的性质，分别求出A，B的坐标，求出A，B的中垂线即可求出对应的对称轴方程．本题主要考查点的对称直线的求解，根据对数函数和指数函数过定点的性质，分别求出A，B的坐标是解决本题的关键．4.答案：D解析：⇒m⊥α，又l⊥α，得l//m．5.答案：D解析：解：若f(x)=x2−2ax+a+2=(x−a)2−a2+a+2没有零点，则−a2+a+2>0，解得−1<a<2，则函数y=f(x)有零点的概率P=1−2−(−1)3−(−2)=25，故选：D．找出函数f(x)有零点时对应的区域长度的大小，再将其与a∈[−2,3]，表示的长度大小代入几何概型的计算公式进行解答．本题主要考查了几何概型、二次函数的性质．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解．6.答案：D解析：解：由已知的茎叶图可得七位评委为某参赛选手打出的分数为：79，84，84，86，84，87，93，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据的平均数为(84+84+86+84+87)5=85，所以方差S2=15[(84−85)2+(84−85)2+(86−85)2+(84−85)2+(87−85)2]=1.6，标准差S=√1.6故选D由已知中的茎叶图，我们可以得到七位评委为某参赛选手打出的分数，及去掉一个最高分和一个最低分后的数据，代入平均数公式及方差公式，即可得到所剩数据的平均数和方差．本题考查的知识点是茎叶图，平均法及方差，其中根据已知的茎叶图分析出七位评委为某参赛选手打出的分数，是解答本题的关键．7.答案：A解析：本题主要考查诱导公式、正弦函数的单调性和值域，属于基础题．由条件利用诱导公式、正弦函数的单调性和值域，得出结论．解：由a =sin46°，b =cos46°=sin44°，c =tan46°>tan45°=1，而y =sinx 在(0,π2)上是增函数且函数值小于1，可得c >a >b ，故选：A ．8.答案：A解析：解：∵DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ ) =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +23b ⃗ ．故选：A ．由D 在边AB 上，且DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后将CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示即可得解．本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理，属基础题．9.答案：B解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ，i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得 i =1，S =3 i =3，S =7 i =5，S =15 i =7，S =31 i =9，S =63此时满足判断框内的条件，退出循环，输出S ，i 的值为63，11，可得：S 与i 应满足的关系为S =7(i −2)．故选：B ．10.答案：D解析：试题分析：由圆的方程可得圆心的坐标为，又圆关于直线对称，所以直线都经过圆的圆心，所以，解得，所以，故选D ．考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系．11.答案：C解析：试题分析：由PA ，PB ，PC 两两垂直知，以PA ，PB ，PC 为棱的长方体的外接球就是题目中的球，根据长方体的性质可知，∴该球的表面积是，故选C考点：本题考查了空间几何体与球组合体的性质点评：掌握常见几何体的外接球的半径公式及球的体积、表面积公式是解决此类问题的关键12.答案：B解析：解：如图所示， A(0,√3)，B(−1,0)．设P(x,y)，(−1≤x ≤1,0≤y ≤√3)．PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,√3−y)+(−1−x,−y)=(−2x −1,√3−2y)． ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2x +1)2+(2y −√3)2=2+12)−√32)≤2√3，当且仅当x =1，y =0时取等号． ∴|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为2√3．故选：B ．如图所示，A(0,√3)，B(−1,0).设P(x,y)，(−1≤x ≤1,0≤y ≤√3)．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2x −1,√3−2y).可得|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2x +1)2+(2y −√3)2=2√(x +12)2+(y −√32)2，即可得出．本题考查了向量的坐标运算、模的计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，考查了数形结合的能力，属于中档题．13.答案：137解析：解：由已知可得：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23①sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=15②由①②得，sinαcosβ=1330，cosαsinβ=730∴tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=137故答案为：137．根据两角和与差的三角函数，分别求出sinαcosβ，cosαsinβ的值，进而求得tanαtanβ．本题考查了三角函数的和与差公式应用，考查计算能力，常考题型，属于基础题型．14.答案：{x|x ≠0}；{y|y ≠0}解析：解：由分式函数的性质可知，函数的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}，故答案为：{x|x ≠0}；{y|y ≠0}，根据函数成立的条件，结合分数函数的图象和性质即可得到结论．本题主要考查函数的定义域和值域的求解，比较基础．15.答案：16解析：解：由题意知圆x 2+y 2=12的圆心是(0,0)，圆心到直线的距离是d =|25|√32+42=255=5，由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l 的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l 与一点，根据上一问可知圆心到直线的距离是5，在这条垂直于直线l 的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长BC 对应的圆心角是60° 根据几何概型的概率公式得到P =60°360∘=16 故答案为：16根据几何概型，求出圆心到直线的距离，利用几何概型的概率公式分别求出对应的测度即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，利用条件确定圆C 上的点A 到直线l 的距离小于2对应区域是解决本题的关键．16.答案：(0,14)解析：解：函数g(x)=f(x)−x −k 有且仅有两个零点， ∴y =f(x)与y =x +k 的图象的图象有且仅有两个交点，分别画出y =f(x)与y =x +k 的图象的图象，如图所示当b =0时，有一个交点，是一个临界值，当直线y =x +k 与f(x)=√x 相切时， ∴f′(x)=12x −12=1；∴x =14， ∴f(14)=12，故切点为(14,12)；故b =12−14=14；结合图象可得，k ∈(0,14) 故答案为：(0,14).由题意可转化为函数f(x)=与函数y =x +k 的图象有且仅有两个交点，从而作图求解即可．本题考查了导数的应用，函数图象的作法及函数的零点与函数的图象的交点的关系应用等，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题。

河南省洛阳市宝山陵园2019-2020学年高一数学文下学期期末试题含解析

河南省洛阳市宝山陵园2019-2020学年高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. sin1830°=A. B. C. D.参考答案：D【分析】本题首先可以将1830°转化为，然后可以根据公式对进行化简，即可得出结果。

【详解】，故选D。

【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的诱导公式的使用，考查的公式为，考查计算能力，是简单题。

2. 下列命题正确的是（）A. B.C.当且时，D.参考答案：D略3. 依据“二分法”，函数f（x）=x5+x﹣3的实数解落在的区间是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，3] D．[3，4]参考答案：B【考点】二分法求方程的近似解．【分析】令f（x）=x5+x﹣3，判断函数的零点的方法是若f（a）?f（b）＜0，则零点在（a，b），进而把x=0，1，2，3，4代入可知f（1）＜0，f（2）＞0进而推断出函数的零点存在的区间．【解答】解：令f（x）=x5+x﹣3，把x=0，1，2，3，4代入若f（a）?f（b）＜0，则零点在（a，b）所以f（1）＜0，f（2）＞0满足所以在（1，2）故选B．4. 已知函数 ,则 = （）A．B．3 C．D．参考答案：D5. 函数的定义域是（）A．. B．. C．D．参考答案：D6. 已知A，B，C三点不在同一条直线上，O是平面ABC内一定点，P是△ABC内的一动点，若，则直线AP一定过△ABC的（）A. 重心B. 垂心C. 外心 D. 内心参考答案：A7. 已知直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8平行，则实数m的值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．﹣1或﹣7 D．参考答案：A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】直接利用两条直线平行的充要条件，求解即可．【解答】解：因为两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8，l1与l2平行．所以，解得m=﹣7．故选：A．【点评】本题考查直线方程的应用，直线的平行条件的应用，考查计算能力．8. 与函数有相同的图像的函数是（）A. B.C. D.参考答案：D略9. 已知角α∈(,π)，且tanα=，则cosα的值为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知求出角α，进一步求得cosα的值．【解答】解：∵，且tanα=﹣，∴α=，则cosα=cos=．故选：C．10. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）A．B．C． 8 D． 10参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，分别求出各个面的面积，比较后可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：四个面的面积分别为：8，4，4，4，显然面积的最大值为4，故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（m+1）＜f（3m﹣1），则实数m 的取值范围是．参考答案：m＞1或m＜0【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性，分析可得f（m+1）＜f（3m﹣1）?|m+1|＜|3m﹣1|，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，由于函数f（x）是偶函数，则f（m+1）=f（|m+1|），f（3m﹣1）=f（|3m﹣1|），又由f（x）在[0，+∞）单调递增，则f（m+1）＜f（3m﹣1）?|m+1|＜|3m﹣1|；解可得：m＞1或m＜0，即m的取值范围是：m＞1或m＜0；故答案为：m＞1或m＜012. 一枚硬币连掷两次，出现一次正面的概率为_________ ；参考答案：13. 先后抛掷两枚均匀的骰子，若骰子朝上一面的点数依次是，则的概率是参考答案：19/36略14. 已知，则=参考答案：15. 将时钟拨快了10分钟，则时针转了度，分针转了弧度．参考答案：16. 若直线上存在点P可作圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，且，则实数m的取值范围为．参考答案：试题分析：若，则，直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点，由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.考点：点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.【方法点晴】本题主要考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用，涉及到圆心到直线的距离公式和不等式的求解，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中直线上存在点可作和的两条切线等价于直线与圆有公共点是解答的关键．17. 一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_________ (填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．参考答案：①②③⑤三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019-2020学年河南省洛阳市新安县实验中学高一数学文下学期期末试题含解析

2019-2020学年河南省洛阳市新安县实验中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知则下列结论正确的是( )A. B.C. D.参考答案：B2. 方程-x2-5x+6=0的解集为（）.A.{－6,1}B. {2,3}C. {－1,6}D. {－2,－3}参考答案：A【分析】因式分解法求解一元二次方程．【详解】∵-x2-5x+6=0，∴x2+5x-6=0，∴(x+6)(x-1)=0，∴x=-6或1，方程-x2-5x+6=0的解集为{-6，1}．故选：A．【点睛】本题属于简单题，解一元二次方程时注意观察方程特征，本题采用因式分解法会快速精准解题．3. 若函数的图象不经过第二象限，则有A． B． C． D．B略4. 定义在上的偶函数在上是增函数，在上是减函数，又，则（）A．在上是增函数，且最大值是6 B．在上是减函数，且最大值是C．在上是增函数，且最小值是 D．在上是减函数，且最小值是6参考答案：B5. 已知函数的值域是（）A．[－1，1] B． C． D．参考答案：略6. 在△ABC中，∠A=60°, a=, b=4, 满足条件的△ABC ( )(A)无解 (B)只有一解 (C)有两解 (D)不能确定参考答案：A略7. 不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥a2﹣4a的解集为R，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．（﹣∞，1）∪（3，+∞）C．[1，3] D．（1，3）C【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，通过对x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，可求得f（x）min=﹣3，依题意，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，当x＜﹣1时，f（x）=﹣1﹣x﹣（﹣x+2）=﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=1+x﹣（﹣x+2）=2x﹣1∈[﹣3，3]；当x＞2时，f（x）=x+1﹣（x﹣2）=3；∴f（x）min=﹣3．∵不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥a2﹣4a的解集为R，∴a2﹣4a≤f（x）min=﹣3，即实数a的取值范围是[1，3]．故选C．8. 已知等式，成立，那么下列结论：①；②；③；④；⑤．其中可能成立的是（）A. ①②B. ①②⑤C. ③④D. ④⑤参考答案：B【分析】利用对数的运算性质结合log2m＝log3n，m，n∈（0，+∞）成立得到m与n的关系，则答案可求．【详解】当m＝n＝1时，有log2m＝log3n，故①成立；当时，有log2m＝log3n=-2，故②成立；当m＝4，n＝9时，有log2m＝log3n=2，此时，故⑤成立．∴可能成立的是①②⑤．故选：B．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查对数的运算性质，注意分类讨论的应用，是基础题9. 英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（）其中，，例如：.试用上述公式估计的近似值为（精确到0.01）A. 0.99B. 0.98C. 0.97D. 0.96参考答案：B【分析】利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案．【详解】由题设中的余弦公式得，故答案为：B【点睛】本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10. 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V=××=，故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，全集，则___________。

2019年河南省洛阳市回民中学高一数学文下学期期末试卷含解析

2019年河南省洛阳市回民中学高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的部分图象如下图所示，则()A．－6 B．－4 C．4 D．6参考答案：D略2. 函数的零点所在的区间是（）....参考答案：C3. 由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（）A．1 B．－2 C．6 D．2参考答案：C4. 在△ABC中，BD = 2CD，若，则A. B. C. D.参考答案：C5. 数列中，若(n≥2,且n∈N)，则的值为 ( )A、-1B、C、1 D、2参考答案：D6. 如图，为测一棵树的高度，在与树在同一铅垂平面的地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和75°，且A，B两点间的距离为60米，则树的高度CD 为（）A．米B．米C．米D．米参考答案：D【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】在△ABD中利用正弦定理计算BD，再计算CD．【解答】解：由题意可知∠A=30°，∠ABD=105°，AB=60，∴∠ADB=45°，在△ABD中，由正弦定理得，∴BD===60，∵sin∠DBC==，∴CD=BDsin∠DBC=15（+）．故选D．7. 集合，则（）A． B. C. D.参考答案：B略8. 点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A．B．2C．D．2参考答案：B【考点】点到直线的距离公式．【分析】过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，所以|OP|最小即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出即可．【解答】解：由题意可知：过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，则原点（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d==2，即|OP|的最小值为2．故选B．9. 下列函数在上为增函数的是（）A．B．C．D．参考答案：A10. 函数f（x）=是（）A．偶函数，在（0，+∞）是增函数B．奇函数，在（0，+∞）是增函数C．偶函数，在（0，+∞）是减函数D．奇函数，在（0，+∞）是减函数参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】整体思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义和函数单调性的性质进行判断即可．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，∵y=e﹣x是减函数，y=e x是增函数，∴f（x）=为增函数，故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据函数奇偶性的定义和单调性的性质是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，若正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2，斜高为，则该正四棱锥的体积为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】利用已知中，正四棱锥底面正方形的边长为2，斜高为，求出正四棱锥的高PO，代入棱锥的体积公式，即可求得答案．【解答】解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，则有PO=，正四棱锥的体积为V==2，故答案为：．12. ________．参考答案：略13. 不等式的解集为____________.参考答案：14. 已知数列{a n}是各项均不为零的等差数列，S n为其前n项和，且，若不等式对任意恒成立，则实数的最大值为．参考答案：915. 设等差数列{a n}的前n项和为，则m =______.参考答案：7【分析】设等差数列的公差为，由，可求出的值，结合，可以求出的值，利用等差数列的通项公式，可得，再利用，可以求出的值.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，又因为，所以，而.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列的前项和公式，考查了数学运算能力.16. 已知x2+bx+c<0的解集是{x|1<x<3}，则b+c等于_________。

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2019-2020学年河南省洛阳市高一下学期期末考试数学（文）试题及答案一、单选题1．tan 2y x =的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π2．某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进人决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）A ．710B ．15C ．2πD ．3103．已知函数()ln f x x =+()f x 的定义域为（）A ．(0,1)B ．(1,2]C ．(0,4]D ．(0,2]4．已知直线,a b 与平面,,αβγ，下列条件中能推出//αβ的是（）A ．,a a αβ⊥⊥且B ．,αγβγ⊥⊥且C ．,,//a b a bαβ⊂⊂D ．,,//,//a b a b ααββ⊂⊂5．在区间[]1,1-上随机地取一个数x .则cos 2x π的值介于0到12之间的概率为（）.A ．23B ．2πC ．12D ．136．某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图：根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）A ．x x <甲乙，22S S >甲乙B ．x x >甲乙，22S S <甲乙C ．x x <甲乙，22S S <甲乙D ．x x >甲乙，22S S >甲乙7．已知sin 33a =︒，cos55b =︒，tan 35c =︒则a ，b ，c ，的大小关系是（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．b c a<<8．已知,a b 是不共线的非零向量，2AB a b =+ ，3BC a b =- ，23CD a b =-，则四边形ABCD 是（）A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．菱形9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为（）（参考数据：001.732,sin150.2588,sin750.9659≈≈≈）A ．48B ．36C ．24D ．1210．已知的OMN 三个顶点为()0,0O ，()6,0M ，()8,4N ，过点()3,5作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC ，BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．11．已知体积为O ABC -的顶点A ，B ，C 都在球O 的表面上，且6AB =，BC =，AC =O 的表面积是（）A ．16πB ．32πC ．64πD ．72π12．已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，22BDAB BC ===，AC CD ==，点E 在四边形ABCD 上运动，则EB ED ⋅的最小值是（）A ．3B ．1-C ．3-D ．4-二、填空题13．已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________．14．函数log (23)4a y x =-+的图像恒过定点A ，且点A 在幂函数()f x 的图像上，则(3)f =__________．15390y -+=被圆()()22223x y r -+-=，则r =________.16．已知11()2x x f x e e a --=++只有一个零点，则a =____________．三、解答题17．已知平面向量a =(1，x )，b=(2x +3，-x )，x ∈R .（1）若a ⊥b ，求x 的值；（2）若a∥b，求|a -b|的值.18．半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．()1根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；()2用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在[)105,115中的概率．19．已知函数()2()log 21(R)xf x kx k =++∈．（1）若0k =求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 为偶函数，求k 的值．20．已知矩形ABCD 中， 2 2AD AB ==，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，现将矩形ABCD 沿EF 折起，使二面角 D EF B '--为60︒．（1）求证 EF AD '⊥；（2）求四棱锥 A EFC D ''-的体积．21．已知函数()sin()0,02f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示．（1）将函数()y f x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，再将所得函数图象向左平移3π个单位长度．得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递增区间；（2）当,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数222123y f x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域．22．已知动点M 到两定点11A (，)，()2,2B 2．（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与直线:260l x y +-=夹角为30°的直线，交l 于点Q ，求PQ 的最大值和最小值．数学（文）试题参考答案1-10ADCAD AAACB 13.17；14.9；15.2；16.-117.解：（1）若a ⊥b ，则a ·b=(1，x )·(2x +3，-x )=1×(2x +3)+x (-x )=0整理得x 2-2x -3=0，解得x=-1或x=3.（2）若a ∥b，则有1×(-x )-x (2x +3)=0，即x (2x +4)=0，解得x=0或x=-2.当x=0时，a =(1，0)，b =(3，0)，a -b=(-2，0)，∴|a -b |2；当x=-2时，a =(1，-2)，b =(-1，2)，a -b=(2，-4)，∴|a -b |=综上，可知|a -b|=2或18.解：⑴由频率分布表，估计这50名同学的数学平均成绩为：()101000.0041100.0201200.0281300.0321400.016123.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；⑵由频率分布直方图可知分数低于115分的同学有()100.004100.025012⨯+⨯⨯=人，则用分层抽样抽取6人中，分数在[)95105，有1人，用a 表示，分数在[)105115，中的有5人，用1b 、2b 、3b 、4b 、5b 表示，则基本事件有()1,a b 、()2,a b 、()3,a b 、()4,a b 、()5,a b 、()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共15个，满足条件的基本事件为()12,b b 、()13,b b 、()14,b b 、()15,b b 、()23,b b 、()24,b b 、()25,b b 、()34,b b 、()35,b b 、()45,b b ，共10个，所以这两名同学分数均在[)105115，中的概率为102153P ==．19.解：（1）当0k =时，()2()log 21xf x =+，∵()2log 211212x x+>⇔+>，即21x >，∴0x >，即不等式的解集为(0,)+∞．（2）由于()f x 为偶函数，∴()()f x f x -=，所以()()22log 21log 21x xkx kx -+-=++，∴()()222log 21log 21x xkx -=+-+221log 21x x-+=+21log 2x x ==-对任意实数x 都成立，∴21k =-，所以12k =-．20.解：（1）∵ABCD 是矩形，且E ，F 分别为AD ，BC 的中点，∴EF AE ⊥，EF D E '⊥，又,,AE D E E AE D E ''=⊂ 平面AD E '，∴EF ⊥平面AD E '，∵AD '⊂平面AD E '，∴EF AD '⊥（2）取DE 的中点H ，连接AH ，HC '由EF ⊥平面AD E '可知AE EF ⊥，D E EF '⊥所以D EA '∠为二面角D EF B '--的平面角．∴60D EA '∠=︒．∵ 1AE D E '==，∴AD E ' 为等边三角形，∴AH D E '⊥．由（1）知平面EFC D ''⊥平面AD E '，且平面EFC D '' 平面AD E ED ''=，∴AH ⊥平面EFC D ''，在AED '△中，易知2AH =，∴13A EFC E C D F D S A V H''''-=⋅1331326=⨯⨯=．21.解：（1）由图得31134632T πππ=-=，∴2T π=，∴21T πω==．由1106f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得11sin 06A πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，∴112()6k k πϕπ+=∈Z ，∴112()6k k πϕπ=-∈Z ，∵02πϕ<<，∴6π=ϕ．由(0)2f =得sin 26A π=，∴4A =．∴()4sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴5()4sin 24sin 2366g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．令5222()262k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ．解得2()36k x k k ππππ-≤≤-∈Z ．∴()g x 的单调递增区间为2,()36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）224sin 2212342y f x f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4sin 2cos cos2sin44x x xππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22x x=-4sin 24x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∵,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,4412x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴2sin 21,42x π⎡⎛⎫-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦，∴[4,y ∈-，即y 的值域为[4,-．22.解：解：（1）设(,)M x y=，化简得22222(1)2(1)(2)(2)x y x y -+-=-+-，∴224x y +=．即动点M 的轨迹C 的方程为224x y +=．（2）记圆C 上任意一点P 到直线l 的距离为d ，因为直线PQ 与直线l 夹角为30°，所以||2PQ d =．∵圆心()0,0C 到直线l5=，且圆C 的半径为2，∴max 6525d =+，min 6525d =-，∴max 125||45PQ =+，min 125||45PQ =-．。