2001年浙江大学436数学分析考研真题【圣才出品】

2001年浙江大学436数学分析考研真题 浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题

考试科目：数学分析（436）

一、（30分)

()i 用“εδ-语言”证明2211lim 3233n n n n n →∞-+=+-；

()ii 求极限tan 21lim(2)x x x π→-；

()iii 设101(ln )1x f x x x <≤⎧'=⎨>⎩，且(0)0f =，求()f x .

二、（10分) 设()y y x =是可微函数，求(0)y '，其中

2sin 7x y y ye e x x =-+-.

三、（10分) 在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==之下，变换方程2222(,)z z f x y x y ∂∂+=∂∂.

四、（20分)

()i 求由半径为a 的球面与顶点在球心，顶角为2α的圆锥面所围成区域的体积； ()ii 求曲面积分222()()()s I y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-⎰⎰，其中S 是曲面 222(12)z x y z =--≤≤的上侧.

五、（15分) 设二元函数(,)f x y 在正方形区域

[][]0,10,1⨯上连续，记[]0,1J =. ()i 试比较inf sup (,)y J y J f x y ∈∈与supinf (,)y J y J f x y ∈∈的大小并证明之；

()ii 给出一个使等式inf sup (,)supinf (,)y J y J y J y J f x y f x y ∈∈∈∈=成立的充分条件并证明之.

六、（15分) 设()f x 是在

[]1,1-上可积且在0x =处连续的函数，记 (1)01()10n n nx x x x e x ϕ⎧-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩ . 证明：11lim

()()(0)2n n n f x x dx f ϕ-→∞=⎰.