2001年浙江大学436数学分析考研真题【圣才出品】
2001年考研数学一试题答案与解析
2001年考研数学一试题答案与解析一、(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r r r r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭.再求 div grad r=()()()x y z x r y r z r ∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=. (3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A 的元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即2()2A E A E E +-⋅=.按定义知11()(2)2A E A E --=+. (5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤, 于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=. 二、(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ). (2)关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在(0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处的切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===.因此,(C )成立. (3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)lim x f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知 201lim (1cos )h f h h →-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f +∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃.关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时). 注意,易求得20sin lim 0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t→(即 '(0)f ∃).因为只要()f t t 有界,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A 的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当A B 时,知A 与B 有相同的特征值,从而二次型Tx Ax 与Tx Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确X 和Y 的关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数XY ρ的绝对值等于1的充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有1XY ρ===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xxx de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2x x x x e e e e C ---+++. 四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求 32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法'''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意 '1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y∂==∂.因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=. 五、【分析与求解】关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可. 直接将arctan x展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n nn x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑ =12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑ =21111(1)()2121nnn x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n∞=-=+∈--∑.上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f n ππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑. 六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围部分.由L 的定向,按右手法则S 取上侧,S 的单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==.于是由斯托克斯公式得 222222cos cos cos 23SI dSx y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22333Sy z z x x y dS --+----⎰⎰ =(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=+-⎰⎰利用.于是'2'211113x y Z Z ++=++=.按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰⎰⎰,其中D 围S 在xy 平面上的投影区域||||1x y +≤(图）.由D 关于,x y 轴的对称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21224DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一.(2)对'()f x θ使用''(0)f 的定义.由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=,解出θ,令x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===. 八、【解】(1)设t 时刻雪堆的体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示，先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤.⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则:02,0()xy D r h t θπ≤≤≤≤. ⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()0()()h t D x V t dzdxdy=⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件. (3)体积减少的速度是dV dt -,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即0.9dVS dt =-将()V t 与()S t 的表达式代入得22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-. ① (0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时. 九、【解】由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =的解.从12,,s ααα是0Ax =的基础解系,知()s n r A =-. 下面来分析12,,s βββ线性无关的条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=.由于12,,s ααα线性无关,因此有 112211222132110,0,0,0.s s st k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ (*) 因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0ss st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】(1)由于AP PB =,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A EB E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,mmn mn P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσ的一个容量为n 的简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑,样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即.2()2(1)E Y n σ=-。
2019年浙江大学2001常微分期终试卷.doc
浙江大学2001级微积分（上）期终考试试卷系__________ 班级__________ 学号__________姓名__________ 考试教室__________一、选择题：（每小题2分，共8分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中1.设()()()()()f x x a x b x c x d=----，其中a，b，c，d互不相等，且'()()()()f k k a k b k c=---，则k的值等于（）.（A）.a（B）.b（C）.c（D）.d2.曲线y=x→-∞时，它有斜渐进线（）.（A）.1y x=+（B）.1y x=-+（C）.1y x=--（D）.1y x=-3.下面的四个论述中正确的是（）.（A）.“函数()f x在[],a b上有界”是“()f x在[],a b上可积”的必要条件；（B）.函数()f x在区间(),a b内可导，(),x a b∈，那末'()0f x=是()f x在x处取到极值的充分条件；（C）.“函数()f x在点x处可导”对于“函数()f x在点x处可微”而言既非充分也非必要；（D）.“函数()f x在区间E上连续”是“()f x在区间E上原函数存在”的充要条件.4.下面四个论述中正确的是（）.（A）.若0nx≥(1,2,)n=，且{}n x单调递减，设lim nnx a→+∞=，则0a>；（B）. 若0nx>(1,2,)n=，且limnnx→+∞极限存在，设limnnx a→+∞=，则0a>；（C）. 若lim0nnx a→+∞=>，则0nx≥(1,2,)n=；（D）. 若lim0nnx a→+∞=>，则存在正整数N，当n N>时，都有2nax>.二、填空题：（每空格2分，共12分）只填答案1.2lim(1)tgxxxπ→+-=____________；2lim(1)tgxxxπ→--=____________.2.函数()f u可导，(sin)y f x x=，则dydx=____________.3.cossinx xxe edxe⎰=____________.4. 5sin tdtπ⎰=____________；5cos tdtπ⎰=____________.三、求极限：（每小题7分，共14分）1.数列{}n x通项2nxn=++++，求limnnx→+∞.2.求3sinlimsinxxtdttx x→-⎰.四、求导数：（每小题7分，共21分）1.2sin1xxy xx=+，求dydx.2.2,sin,x ty t⎧=⎨=⎩求dydx，22d ydx.3.函数()y y x=由sinx y y+=确定，求221;xydydxππ=-=22221,.xyd ydxππ=-=五、求积分：（每小题7分，共28分）1.求21(1)xdxx x++⎰.2.求sin cosx x dxπ-⎰.3.求⎰(0)a>.4.计算2cosxe xdxπ+∞-⎰.六、（6分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第1题，未学常微分方程的专业做第2题.1.求解常微分方程：22(),(1) 1.x dy xy x dxy⎧=-⎨=⎩2.有一半径为4米的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池水面高6米的水箱内，问至少要做多少功？七、（6分）在xoy平面上将连结原点(0,0)O与点(1,0)A的线段OA（即区间[]0,1）作n等分，分点(,0)kn记作kP，对1,2,,1k n=-，过kP作抛物线2y x=的切线，切点为kQ.1.设k kPQ A∆的面积为kS，求kS；2.求极限111limnknkSn-→+∞=∑.八、证明题（5分）设()f x在(),-∞+∞上连续，且()0f x>，()()xG x tf x t dt=-⎰.证明：对任意,(,)a b∈-∞+∞，且a b≠，必有()()'()()0G b G a G a b a--->.浙江大学2001级微积分（下）期终考试试卷系__________ 班级__________ 学号__________姓名__________ 考试教室__________一、填空题：（每小题3分，共15分）只填答案1.设一平面经过原点及点()6,3,2-，且与平面428x y z-+=垂直，则此平面的方程是____________。
2001年考研数学一试题答案与解析
2001年考研数学一试题答案与解析一、(1)【分析】 由通解的形式可知特征方程的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r rr r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭.再求 divgrad r=()()()x y z x r y r z r ∂∂∂++∂∂∂ =222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是 divgra d r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=. (3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分是二重积0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵的元素没A 有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法.因为 2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即2()2A E A E E +-⋅=.按定义知11()(2)2A E A E --=+. (5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤, 于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=. 二、(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x>时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)关于(A ),涉及可微与可偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面在(,)z f x y =(0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点处的切(0,0,(0,0))f 向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===.因此,(C )成立. (3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)lim x f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知201lim (1cos )h f h h →-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃.关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0l i m ((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D ),但在处不连续()f x 0x =,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时). 注意,易求得20sin lim 0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t →(即 '(0)f ∃).因为只要有界()f t t ,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由43||40E A λλλ-=-=,知矩阵的特征A 值是4,0,0,0.又因是实对称A 矩阵,A 必能相似对角化,所以与对角矩A 阵B 相似.作为实对称矩阵,当A B 时,知与有相同的A B 特征值,从而二次型与T x Ax T x Bx 有相同的正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当选(A ).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键是明确和的关XY系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利用性质:相关系数的绝XY ρ对值等于1的充要条件是随机变量与之间XY存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数的定义式有(,)1XY Cov X Y DXDX DY DX DYρ-===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xx xde e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x x x xde de e e e e---++⎰⎰=21(arctan arctan )2x x x xe e e e C ---+++. 四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法'''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意 '1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y∂==∂.因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=. 五、【分析与求解】关键是将展成arctan x 幂级数,然后约去因子x ,再乘上并化简21x +即可. 直接将展开办arctan x不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立.现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n n n n x x n n -∞∞==--++-∑∑ =21111(1)()2121nnn x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当时0x=取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n ∞=-=+∈--∑.上式中令1x =21(1)111[(1)1](21422442n n f nππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记为平面上所S2x y z ++=L为围部分.由L的定向,按右手法则取S 上侧,S 的单位法向量1(cos ,cos ,cos )(1,1,1)3n αβγ== .于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dSx y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=111[(24)(26)(22)]333Sy z z x x y dS --+--+--⎰⎰ =22(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS -++++=-+-⎰⎰⎰⎰利用.于是'2'211113x y Z Z ++=++=.按第一类曲面积分化为二重积分得2(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰,其中围在平面D S xy 上的投影区域||||1x y +≤(图）.由关于轴的对D ,x y 称性及被积函数的奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒ 21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对使用的定义'()f x θ''(0)f .由题(1)中的式子先解出'()f x θ,则有'()(0)()f x ff x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=, 解出θ,令x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===. 八、【解】(1)设时刻雪堆的t 体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如图所示，先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤.⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒ 22222()16()()1()()()xyxyD D z z h t x y S t dxdy dxdy x y h t ∂∂++=++=∂∂⎰⎰⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,则1:02,0()2xy D r h t θπ≤≤≤≤. ⇒12()2220013()222221()()16()2113[()16]|().()4812h t h t S t d h t r rdr h t h t r h t h t πθππ=+=⋅+=⎰⎰用先二后一的积分顺序求三重积分()0()()h t D x V t dz dxdy=⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件. (3)体积减少的速度是dVdt-,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即将与的表达0.9dV S dt =-()V t ()S t 式代入得22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-. ①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时. 九、【解】由于是线性组(1,2)i i s β= 12,,s ααα 合,又12,,s ααα 是0Ax =的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知均为(1,2)i i s β= 0Ax =的解.从是的基础解12,,s ααα 0Ax =系,知()s n r A =-.下面来分析线12,,s βββ 性无关的条件.设11220s s k k k βββ++= ,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++= .由于线性无关12,,s ααα ,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*) 因为系数行列式1221121122100000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0s s st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ==== .从而线性无关12,,s βββ .十、【解】(1)由于AP PB =,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知A B ,那么A E B E ++ ,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,m mn m n P Y m X n C p p m n n -===-≤≤= .(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X + 相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体的一个容2(2,2)N μσ量为的简单随n 机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑,样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差的无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即.2()2(1)E Y n σ=-。
2001-数一真题、标准答案及解析
形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B）.
故正确答案为（D）.
（2）设函数
f
( x,
y)
在点 (0, 0)
附近有定义，且
f
' x
( 0, 0)
=
3,
f
' y
( 0, 0 )
= 1，则
| （A） dz = 3dx + dy. (0,0)
（B）曲面 z = f ( x, y) 在点 (0, 0, f (0, 0)) 的法向量为{3,1,1}
(5)将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相
关系数等于
（A）-1
（B）0
（C） 1 2
（D）1 【】
-5-
【答】 应选（A）
【详解】 设 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则有Y = n − X ，因此 X 和Y 的 相关系数为 r = −1
∫ ∫ (3)交换二次积分的积分次序：
0
dy
1−y f ( x, y)dx =
−1 2
.
∫ ∫ 【答】
2
dx
1− x
f
( x, y)dy .
1
0
【详解】 因为
∫ ∫ ∫ ∫ 0 dy
1−y f ( x, y)dx = −
0
dy
2
f ( x, y)dx,
−1 2
−1 1− y
积分区域为
D = {( x, y) | −1 ≤ y ≤ 0,1− y ≤ x ≤ 2},
ex cos x 线性无关，故 b (c1 − c2 ) + cc1 = 2c2 , b (c1 + c2 ) + cc2 = −2c1 ，解得 b = −2, c = 2
2001年数学二试题_考研数学真题及解析
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy e y x 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）．3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（ ）．4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（ ）． 5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)1、111)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f = （ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）111>≤⎩⎨⎧x x ． 2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比nx x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且 )1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <．5、（同数学一的二1） 三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d dsd ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(xf 且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、 求L 的方程2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？ 十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系，144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．。
2001年数学二试题 考研数学真题及解析
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy e y x 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）．3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（ ）．4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（ ）． 5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）111>≤⎩⎨⎧x x ． 2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比nx x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且 )1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <．5、（同数学一的二1） 三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d dsd ρρρ-的值（曲率K ＝3)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(xf 且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、 求L 的方程2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？ 十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系，144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．。
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 1、21lim________2x x x →=+-．【分析】考查未定式极限。
可以分子有理化，也可用罗比达法则。
【详解】法一：2112x x x x →→=+-6x →==法二：116x x →→==-。
2、设函数()y f x =由方程曲线1)cos(2-=-+e xy e y x 确定，则曲线()y f x =在点(0,1)处的法线方程为________．【分析】考查导数几何意义的使用及隐函数求导数。
【详解】方程两端微分得：2(2)sin()()0x y e dx dy xy ydx xdy ++++=。
将(0,1)P 代入上式得：(2)0P e dx dy +=，所以2P dydx=-，即法线斜率为12k =从而法线方程：112y x -=。
3、32222(sin )cos _______x x xdx ππ-+=⎰． 【分析】考查对称区间上定积分的计算。
对对称区间上的定积分一般都可利用积分性质化简计算。
【详解】3222232222222(sin )cos sin cos cos x x xdx x xdx x xdx ππππππ---+=+⎰⎰⎰22222202sin cos 2sin (1sin )x xdx x x dx ππ==-⎰⎰1132()πππ⋅=⋅-⋅=4、过点1(,0)2且满足关系式11arcsin 2=-+'xy x y 的曲线方程为________．【分析】考查一阶微分方程求特解。
【详解】方程11arcsin 2=-+'xy x y 是一阶线性微分方程，用通解公式可得其通解为1()arcsin y e e dx C x-=+⎰1()arcsin x C x=+又因为1()0y =，所以1C =-，从而曲线方程为1arcsin y x x =-。
2001年考研数学一真题
f ( x, y ) 在(0,0)存在偏导数
f (0,0) f (0,0) ,不保证曲面 z f ( x, y ) 在 , x y
f (0,0) f (0,0) (0, 0, f (0, 0)) 存在切平面.若存在时,法向量 n= ， ， 1 {3,1,-1}与{3,1,1}不 y x
f ( x) 单调增 f ' ( x) 0 ,(A),(C)不对;
f ( x) :增——减——增 f ' ( x) :正——负——正,(B)不对,(D)对.
关于(A),涉及可微与可偏导的关系 .由 微.因此(A)不一定成立. 关于(B)只能假设
f ( x, y ) 在(0,0)存在两个偏导数 f ( x, y ) 在(0,0)处可
=(
于是
divgradr| (1, 2,2) =
2 2 |(1,2,2) . r 3
y 0时
(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为 1
1 y 2 .由此看出二次积分 dy
1
0
2
1 y
f ( x, y)dx 是二重积分的一个累次
积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为
y'' 2 y' 2 y 0 .
(2)【分析】 先求 gradr. gradr=
r r r x y z , , , , . x y z r r r
再求
divgradr=
x y z ( ) ( ) ( ) x r y r z r 1 x2 1 y2 1 z2 3 x2 y 2 z 2 2 3 )( 3 )( 3 ) . r r r r r r r r3 r
2001考研数学一真题及答案
yOx2001考研数学一真题及答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )x y e C x C x =+(12,C C 为任意常数〕为某二阶常系数线性齐次微分方程の通解,那么该方程为_____________.(2)设222z y x r ++=,那么div(grad r))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分の积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,那么1()A E --=_____________.(5)设随机变量X の方差是2,那么根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =の图形如右图所示,那么)(x f y '=の图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,那么(A) (0,0)|3z d dx dy =+.(B) 曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处の法向量为{3,1,1}.(C) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处の切向量为{1,0,3}.(D) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处の切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,那么)(x f 在x =0处可导の充要条件为(A) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B) 01lim(1)h h f e h →-存在. (C) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设111140011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦那么A 与B (A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上の次数, 那么X 和Y の相关系数等于(A)-1.(B) 0.(C)12. (D) 1.三、(此题总分值6分)求dx ee xx⎰2arctan .四、(此题总分值6分) 设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2f x ∂=∂,(1,1)|3fy∂=∂,()(,x f x ϕ= (,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.五、(此题总分值8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x の幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nnの和.六、(此题总分值7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x の交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(此题总分值7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内の任一0x ≠,存在惟一の)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;(2)01lim ()2x x θ→=.八、(此题总分值8分)设有一高度为()h t (t 为时间)の雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),体积减少の速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)の雪堆全部融化需多少小时?九、(此题总分值6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =の一个根底解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =の一个根底解系.十、(此题总分值8分)3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =〔x A Ax x 2,,〕,求3阶矩阵B ,使1-=PBPA ;(2)计算行列式E A +.十一、(此题总分值7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)の泊松分布,每位乘客在中途下车の概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车の人数,求:(1)在发车时有n 个乘客の条件下,中途有m 人下车の概率;(2)二维随机变量(,)X Y の概率分布.十二、(此题总分值7分)设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(の数学期望()E Y .参考答案一、填空题(1)【分析】 由通解の形式可知特征方程の两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r rr r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r.grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y z x r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=. 于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分の累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分の一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分の内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=0222111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A の元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆の路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A),(C)不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B)不对,(D)对. 应选(D).(2)【分析】 我们逐一分析.关于(A),涉及可微与可偏导の关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在(0,0,(0,0))f 存在切平面.假设存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B)不成立.关于(C),该曲线の参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处の切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C)成立.(3)【分析】 当(0)0f =时,'()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A):220001(1cos )1cos 1()lim(1cos )lim 1cos lim 1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--,由此可知201lim (1cos )h f h h →-∃ ⇔ '(0)f + ∃. 假设()f x 在0x =可导⇒(A)成立,反之假设(A)成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A),但'(0)f 不∃.关于(D):假设()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D)成立.反之(D)成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩ 满足(D),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃. 再看(C):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h hh→-=.因而,假设'(0)f ∃⇒(C)成立.反之假设(C)成立⇒0()lim t f t t→(即'(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C)成立,如()||f x x =满足(C),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A の特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有一样の特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有一样の正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以此题应中选(A).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们の特征值不同,故A 与B 不相似,但它们の正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解此题の关键是明确X 和Y の关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此根底上利用性质:相关系数XY ρの绝对值等于1の充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A). 事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数の定义式有1XY ρ===-.三、【解】 原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xx x de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===. 求32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x ∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=. 五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑,①积分得'2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt xn ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ②因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立. 现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n ∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f nππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】 用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围局部.由L の定向,按右手法那么S 取上侧,S の单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==. 于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22333Sy z z x x y dS --+----⎰⎰=(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=-+-利用. 于是'2'211113x y Z Z ++=++=按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上の投影区域||||1x y +≤(图〕.由D 关于,x y 轴の对称性及被积函数の奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】(1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一.(2)对'()f x θ使用''(0)f の定义.由题(1)中の式子先解出'()f x θ,那么有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f xθ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆の体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如下图先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤.⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,那么:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤. ⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一の积分顺序求三重积分 ()()()h t D x V t dz dxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件. 体积减少の速度是dVdt-,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t の表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即 1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+.令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米の雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】 由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =の解,所以根据齐次线性方程组解の性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =の解.从12,,s ααα是0Ax =の根底解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关の条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=. 由于12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0s s st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A E B E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】(1){|}(1),0,0,1,2,m mn m n P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσの一个容量为n の简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n i i X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差の无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。
2001考研数学一真题及答案解析(统编)
y O x 2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)设222z y x r ++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________. (3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________. (5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示, 则)(x f y '=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则(A ) (0,0)|3z d dx dy =+.(B ) 曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在. (B ) 01lim (1)h h f e h →-存在.(C ) 201lim (sinh)h f h h →-存在. (D ) 01lim [(2)()]h f h f h h →-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似.(B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1. (B ) 0. (C ) 12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx ee x x⎰2arctan .四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2f x∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ= (,))f x x .求13)(=x x dx d ϕ.。
2001数学四--考研数学真题详解
= 1+ 4 − 2i0.5i D( X ) D(Y ) = 3,
于是有
P{ X
−Y
≥ 6} = P{ Z − E(Z )
≥ 6} ≤D(Z ) 62来自= 1. 12二、选择题
（1）设函数 f (x) 的导数在 x = a 处连续,又 lim f '(x) = −1, 则 x→a x − a
(A) x = a 是 f (x) 的极小值点.
x 0
f
(u)du,
其中
f
(x)
=
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
1 2 1 3
(x2 +1), (x −1),1
0 ≤
≤ x
x ≤1 ,则
≤2
g(x)
在区间
(0, 2) 内
(A)无界
（B）递减
【答】 [D]
【详解】 当 0 ≤ x < 1时,有
∫ g(x) = x 1 (x2 +1)dx = 1 x3 + 1 x,
x−z
dx
即 dz = 1− ex (x − z) . dx sin(x − z)
将其代入(*)式,得
du = ∂f − y ∂f + (1− ex (x − z) ) ∂f .
dx ∂x x ∂y
sin(x − z) ∂z
四 、（本题满分 8 分）
已知 f (x) 在 (−∞, +∞) 内可导,且
三 、（本题满分 8 分）
设 u = f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数,又函数 y = y(x) 及 z = z(x) 分别由下列两
∫ 式确定: exy − xy = 2 和 ex = x−z sin t dt, 求 du
2001年考研数学试题详解及评分参考
2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一、填空题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分) (1) 设 y = e (C1 sin x + C2 cos x) （ C1 , C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方
-1
(B) 0
(C)
1 2
(D) 1
【答】 应选 (A). 【解法一】 因 X + Y = n ，故 Y = n - X . 由于相关系数 r X ,Y 的绝对值等于 1 的充要条 件是 X 与 Y 之间存在线性关系，即 Y = a + bX （其中 a, b 是常数） ，且当 b > 0 时，
r X ,Y = 1 ；当 b < 0 时， r X ,Y = -1 . 因此 r x , y = -1 ，故选 (A).
æ1 ç1 (4) 设 A = ç ç1 ç è1
1 1 1 1
1 1 1 1
1ö æ4 ÷ ç0 1÷ ,B = ç ç0 1÷ ÷ ç 1ø è0
0 0 0 0
0 0 0 0
0ö 0÷ ÷ ，则 A 与 B 0÷ ÷ 0ø
(C) 不合同但相似 (D) 不合同且不相似
(A) 合同且相似 【答】 应选 (A).
【解法二】 根据相关系数的定义， 有 r x, y =
C ov( X , Y ) . 由于 DY = D ( n - X ) = DX ， DX × DY - DX Cov( X , Y ) = Cov( X , n - X ) = -Cov( X , X ) = - DX ，因此 r x , y = = -1 . DX
2001考研数三真题及解析
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为Q AL K αβ=, 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A , α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K 关于L 的弹性为(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以t W 表示第t 年的 工资总额(单位：百万元),则t W 满足的差分方程是___(3) 设矩阵111111,111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且秩(A )=3,则k = (4) 设随机变量X ,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不 等式{}-6P X Y ≥≤ .(5) 设总体X 服从正态分布2(0,0.2),N 而1215,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本,则随机变量()221102211152X X Y X X ++=++服从___分布,参数为_______二、选择题(1) 设函数f (x )的导数在x =a 处连续,又'()lim1,x af x x a→=--则( ) (A) x = a 是f (x )的极小值点. (B) x = a 是f (x )的极大值点. (C) (a , f (a ))是曲线y = f (x )的拐点.(D) x =a 不是f (x )的极值点, (a , f (a ))也不是曲线y =f (x )的拐点.(2) 设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则g (x )在区间(0,2) 内( ) (A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续(3) 设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦210000010,01000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中A 可逆,则1B -等于( ) (A)112A PP - (B)112P A P - (C)112PP A - (D)121P A P -.(4) 设A 是n 阶矩阵,α是n 维列向量.若秩0TA αα⎛⎫=⎪⎝⎭秩(A),则线性方程组( )(A)AX =α必有无穷多解 ()B AX =α 必有惟一解.()C 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解 ()D 00T AX y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于( )(A) -1 (B) 0 (C)12(D) 1三 、(本题满分5 分)设u = f (x ,y ,z )有连续的一阶偏导数,又函数y =y (x )及z =z (x )分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin ,x zx t e dt t -=⎰求dudx四 、(本题满分6 分)已知f (x )在(−∞,+∞)内可导,且lim '(),x f x e →∞=lim()lim[()(1)],xx x x c f x f x x c→∞→∞+=--- 求c 的值.五 、(本题满分6 分)求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线y =x , y = −1及x =1围成的平面区域六、(本题满分7 分)已知抛物线2y px qx =+(其中p <0,q >0)在第一象限与直线x +y =5相切,且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.(1) 问p 和q 为何值时,S 达到最大? (2)求出此最大值.七、(本题满分6 分)设f (x )在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).x f k xe f x dx k -=>⎰证明：存在ξ∈(0,1), 使得1'() 2(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7 分)已知()n f x 满足'1()()n x n n f x f x x e -=+(n 为正整数)且(1),n ef n=求函数项级数 1()ni fx ∞=∑之和.九、(本题满分9 分)设矩阵11111,1.112a A a a β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: (1) a 的值;(2) 正交矩阵Q,使T Q AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8 分)设A 为n 阶实对称矩阵,秩(A)=n,ij A 是()ijn nA a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(i ,j=1,2,…,n ),二次型1211(,,).n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑(1) 记12(,,),n A x x x =把1211(,,).nnij n i j i j A f x x x x x A===∑∑写成矩阵形式,并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2) 二次型()Tg X X AX =与()f X 的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8 分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x ) 是标准正态分布函数).十二、(本题满分8 分)设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G ={(x ,y )|1≤x ≤3,1≤y ≤3}上的均匀分布,试求随机变量U ={X −Y } 的概率密度().p u2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】αβ-【使用概念】设()y f x =在x 处可导,且()0f x ≠,则函数y 关于x 的弹性在x 处的值为()()Ey x x y f x Ex y f x ''== 【详解】由Q AL K αβ=,当1Q =时,即1AL K αβ=,有1,K A L αββ--=于是K 关于L 的弹性为：EK EL LK K'=11d A L L dLA Lαββαββ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=111A L L A Lαββαββααββ------=⋅=-(2)【答案】 11.22t W -+【详解】t W 表示第t 年的工资总额,则1t W -表示第1t -年的工资总额,再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万,所以由差分的定义可得t W 满足的差分方程是：11(120)2 1.22t t t W W W --=+%+=+(3)【答案】-3【详解】方法1：由初等变换(既可作初等行变换,也可作初等列变换).不改变矩阵的秩,故对A 进行初等变换111111111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11111001(1)2,3,410101001kk k k k k k ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⨯-⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦行分别加到行311101002,3,400100001k k k k +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦列分别加到1列 可见只有当k =−3时,r (A )=3.故k =−3.方法2：由题设r (A )=3,故应有四阶矩阵行列式0A =.由111111111111kk A k k =11111001(1)2,3,410101001k k k k k k k --⨯-----行分别加到行311101002,3,400100001k k k k +---列分别加到1列3(3)(1)0,k k =+-= 解得 k =1或k = −3. 当k =1时,1111111111111111A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111100001(1)23400000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行分别加到，，行 可知,此时r (A )=1,不符合题意,因此一定有k =−3.(4)【答案】112【所用概念性质】切比雪夫不等式为：{}2()()D X P X E X εε-≥≤期望和方差的性质：()E X Y EX EY +=+；()2cov(,)D X Y DX X Y DY +=++ 【详解】 把X Y +看成是一个新的随机变量,则需要求出其期望和方差. 故 ()220E X Y EX EY +=+=-+=又相关系数的定义：(,)X Y ρ=则cov(,)(,(0.5)1X Y X Y ρ==-=-()2cov(,)12(1)43D X Y DX X Y DY +=++=+⨯-+=所以由切比雪夫不等式：{}{}2()316()663612D X Y P X Y P X YE X Y ++≥=+-+≥≤==(5)【答案】F ；(10,5)【所用概念】1. F 分布的定义：12Xn F Yn =其中21~()X n χ 22~()Y n χ2.2χ分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N ,则221~()ni i Z n χ=∑3. 正态分布标准化的定义：若2~(,)Z N u σ,则~(0,1)Z uN σ- 【详解】因为2(0,2)1,2,,15i X N i =,将其标准化有0(0,1)22i i X X N -=,从而根据卡方分布的定义2222221015111(10),(5),2222X X X X χχ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由样本的独立性可知,2210122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与22151122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭相互独立. 故,根据F 分布的定义()22101221102222111515112210(10,5).2225X X X X Y F X X X X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++==⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故Y 服从第一个自由度为10,第二个自由度为5的F 分布.二、选择题(1)【答案】 [ B] 【详解】 方法1：由'()lim1,x af x x a→=--知 lim '()x af x →()'()limx af x x a x a→=⋅--()'()lim lim x a x a f x x a x a →→=⋅--10=-⋅0=又函数()f x 的导数在x a =处连续,根据函数在某点连续的定义,左极限等于右极限等于函数在这一点的值,所以()0f a '=,于是有'()'()'()"()limlim 1,x ax a f x f a f x f a x ax a →→-===--- 即()0f a '=,()10f a ''=-<,根据判定极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=,0()0f x ''≠,当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极大值. 知x a =是()f x 的极大值点,因此,正确选项为(B).方法2：由'()lim1,x af x x a→=--及极限保号性定理：如果()0lim x x f x A →=,且0A >(或0A <),那么存在常数0δ>,使得当00x x δ<-<时,有()0f x >(或()0f x <),知存在x a =的去心邻域,在此去心邻域内'()0f x x a<-.于是推知,在此去心邻域内当x a <时()0f x '>；当x a >时()0.f x '<又由条件知()f x 在x a =处连续,由判定极值的第一充分条件：设函数()f x 在0x 处连续,且在0x 的某去心δ领域内可导,若()00,x x x δ∈- 时,()0f x '>,而()00,x x x δ∈ +时,()0f x '<,则()f x 在0x 处取得极大值,知()f a 为()f x 的极大值. 因此,选 (B).(2)【答案】(D)【详解】应先写出g (x )的表达式.当01x ≤<时, 21()(1)2f x x =+,有 ()g x ()0x f u du =⎰201(1)2x u du =+⎰3001162x x u u =+311,62x x =+当12x ≤≤时, 1()(1)3f x x =-,有0()()x g x f u du =⎰101()()xf u du f u du =+⎰⎰120111(1)(1)23x u du u du =++-⎰⎰1132010111116263x x u u u u =++-()221136x =+- 即 ()3211,0162()211,1236x x x g x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+-≤≤⎪⎩因为 311112lim ()lim 623x x g x x x --→→⎛⎫=+=⎪⎝⎭,()211212lim ()lim 1363x x g x x ++→→⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭, 且 ()2212(1)11363g =+-=,所以由函数连续的定义,知()g x 在点1x =处连续,所以()g x 在区间[0,2]内连续,选(D).同样,可以验证(A)、(B)不正确,01x <<时,321111()06222g x x x x '⎛⎫'=+=+> ⎪⎝⎭,单调增,所以(B)递减错；同理可以验证当12x <<时,()()2211()110363g x x x '⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭,单调增,所以()()()02g g x g ≤≤,即()506g x ≤≤与选项(A)无界矛盾.(3)【答案】 (C)【详解】由所给矩阵,A B 观察,将A 的2,3列互换,再将A 的1,4列互换,可得B . 根据初等矩阵变换的性质,知将A 的2,3列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以23E ,将A 的1,4列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以14E ,即2314AE E B =,其中231000001001000001E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,140010********000E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由题设条件知114223,P E P E ==,因此21B AP P =.由于对初等矩阵ij E 有,1ij ij E E -=,故111122,P P P P --==.因此,由21B AP P =,及逆矩阵的运算规律,有()111111211212B AP P P P A PP A ------===.(4)【答案】 ()D【详解】由题设,A 是n 阶矩阵,α是n 维列向量,即Tα是一维行向量,可知0TA αα⎛⎫⎪⎝⎭是1n +阶矩阵. 显然有秩0T Aαα⎛⎫=⎪⎝⎭秩()A 1,n n ≤≤+ 即系数矩阵0TAαα⎛⎫⎪⎝⎭非列满秩,由齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩,可知齐次线性方程组00T A X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 【答案】A【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上,所以X Y n +=,从而Y n X =-, 故 ()DY D n X DX =-=由方差的定义：22()DX EX EX =-, 所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：cov(,)0X c = (c 为常数)；cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以 cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX =-=-=-=- 由相关系数的定义,得 (,)1X Yρ===-三【变限积分求导公式】()[()][()]()f x x ag t dt g f x f x ''=⎰【详解】 根据复合函数求导公式,有.du f f dy f dz dx x y dx z dx∂∂∂=++∂∂∂ (*) 在2xye xy -=两边分别对x 求导,得()()0,xy dy dye y xy x dx dx+-+= 即.dy y dx x =- 在0sin x z xt e dt t-=⎰两边分别对x 求导,得 sin()(1),xx z dz e x z dx -=⋅-- 即()1.sin()x dz e x z dx x z -=--将其代入(*)式,得du dx f f dy f dz x y dx z dx ∂∂∂=++∂∂∂()1.sin()x f y f e x z f x x y x z z⎛⎫∂∂-∂=-+- ⎪∂∂-∂⎝⎭四 【详解】因为1lim(1)xx e x→∞+=lim()xx x c x c→∞+-2lim()x x x c c x c →∞-+=- (把x c +写成2x c c -+) 222lim()x c cx c x cx x c c x c-⋅-→∞-+=- (把x 写成22x c cx c x c -⋅-) 222lim (1)cx x cx ccx c x c --→∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦(利用幂函数的性质()mn m n a a =)222ln (1)lim cxx c x cc c x c x e--⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质ln ()()f x e f x =)222ln (1)lim x c c cx c x c x c x e-⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质()ln ()()ln ()g x f x g x f x =)222lim ln (1)x cc x cx c x c x c e-→∞⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦= (利用x y e =函数的连续性,lim ()()lim x f x f x x ee→∞→∞=)222limlim ln (1)x c c x x cx c x c x c e-→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦=(当各部分极限均存在时,lim ()()lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →∞→∞→∞⋅=⋅)222limln lim (1)x c c x x cx c x c x c e -→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦= (利用ln y x =函数的连续性,lim[ln ()]ln[lim ()]x x f x f x →∞→∞=)2ln c e e ⋅= (利用1lim(1)x x e x→∞+=)2c e = (ln 1e =)又因为()f x 在(),-∞+∞内可导,故在闭区间[1,]x x -上连续,在开区间(1,)x x -内可导,那么又由拉格朗日中值定理,有()(1)()[(1)](),1f x f x f x x f x x ξξξ''--=--=-<<左右两边同时求极限,于是lim[()(1)]lim '()x x f x f x f e ξ→∞→∞--==,因为1x x ξ-<<,x 趋于无穷大时,ξ也趋向于无穷大由题意,lim()lim[()(1)],x x x x c f x f x x c →∞→∞+=--- 从而2c e e =,故12c =五 【详解】 积分区域如图所示,可以写成11,1y y x -≤≤≤≤222211()()22[1],x y x y DDDy xedxdy ydxdy xyedxdy +++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中,111112(1);3y Dydxdy dy ydx y y dy --==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 221()2x y Dxyedxdy +⎰⎰22111()21x y yydy xedx +-=⎰⎰22111()2211()2x y yydy ed x +-=⎰⎰ 22111()22211[()]2x y yydy ed x y +-=+⎰⎰2211(1)21()y y ee dy +-=-⎰ 2211(1)2211()2y y e e dy +-=-⎰22111(1)222111122y y e dy e dy +--=-⎰⎰ 22111(1)2221111[(1)]22y y ed ye dy +--=+-⎰⎰22111(1)21112y y ee +--=-0= 于是221()22[1]3x y Dy xedxdy ++=-⎰⎰六【详解】方法1：依题意知,抛物线如图所示,令2()0y px qx x px q =+=+=,求得它与x 轴交点的横坐标为：120,.q x x p==-根据定积分的定义,面积S 为()3232203260q pq p q q p S px qx dx x x p --⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭⎰(注：111n n x dx x C n +=++⎰) 因直线5x y +=与抛物线2y px qx =+相切,故它们有唯一公共点. 由方程组25x y y px qx+=⎧⎨=+⎩ 求其公共解,消去y ,得2(1)50px q x ++-=,因为其公共解唯一,则该一元二次方程只有唯一解,故其判别式必为零,即22(1)4(5)(1)200,q p q p ∆=+-⨯⨯-=++=解得 21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中,得()S q 326q p =32216[(1)]20q q =-+34200.3(1)q q =+ 根据函数除法的求导公式,()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点的定义,令()0S q '=,已知有0q >,得唯一驻点3q =.当13q <<时,()0S q '>；3q >时,()0S q '<. 故根据极值判定的第一充分条件知,3q =时,()S q 取唯一极大值,即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==方法2：设抛物线2y px qx =+与直线5x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ,切点既在抛物线上,也在直线上,于是满足方程有2000y px qx =+和005x y +=.抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的,即一阶导数值相等. 在2y px qx =+左右两边关于x 求导,得2y px q '=+,在5x y +=左右两边关于x 求导,得1y '=-,把切点坐标00(,)x y 代入,得021x x y px q ='=+=-⇒012q x p+=-由005x y +=⇒005y x =-,将两结果代入2000y px qx =+得22000011155()()()222q q q y x px qx p q p p p+++=-=--=+=-+- 整理得21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中,得34200().3(1)q S q q =+ 根据函数除法的求导公式,()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义,令()0S q '=,已知有0q >,得唯一驻点3q =.当13q <<时,()0;S q '>3q >时,()0;S q '<故根据极值判定的第一充分条件知,3q =时, ()S q 取唯一极大值,即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==七【详解】将要证的等式中的ξ换成x ,移项,并命1()()()x x f x f x xϕ-'=-问题转化为证在区间(0,1)内()x ϕ存在零点. 将1()()0x f x f x x-'-= 看成一个微分方程,用分离变量法求解. 由()1()df x x dx f x x-= 两边积分得()11(1)()df x x dx dx f x x x -==-⎰⎰⎰利用1ln dx x C x =+⎰及111nn x dx x C n +=++⎰,得 1ln ()ln f x x x C =-+⇒ln ()ln xCe f x x=⇒()x Ce f x x =,即 ()x xe f x C -=,命()()x F x xe f x -=. 由110(1)(),(1)x k f k xe f x dx k -=>⎰及积分中值定理(如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则在积分区间[,]a b 上至少存在一个点ξ,使得()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰),知至少存在一点1(0,)[0,1]k η∈⊂,使1110(1)()()x k f k xe f x dx e f ηηη--==⎰且()()F e f ηηηη-=,1(1)(1)F e f -=. 把1(1)()f e f ηηη-=代入,则111(1)(1)()()()F e f e e f e f F ηηηηηηη----====那么()F x 在[,1]η上连续,在(,1)η内可导,由罗尔中值定理知,至少存在一点(,1)[0,1]ξη∈⊂,使得()()()0F e f e f ξξξξξξ--''=+=即 1() (1)().f f ξξξ-'=-八【详解】由已知条件可见1()()n x n n f x f x x e -'-=,这是以()n f x 为未知函数的一阶线性非齐次微分方程,其中1()1,()n xp x q x xe -=-=,代入通解公式()()()(())p x dx p x dxf x e q x e dx C -⎰⎰=+⎰得其通解为1(),ndx dx n x x n x f x e x e e dx C e C n --⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰由条件(1),n e f n =又1(1)n f e C n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,得0C =, 故(),n x n x e f x n =111()n x n xn n n n x e x f x e n n ∞∞∞=====∑∑∑ 记1(),nn xS x n ∞==∑则1n a n =,111limlim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===,则其收敛半径为11R ρ==,收敛区间为(1,1)-. 当(1,1)x ∈-时,根据幂级数的性质,可以逐项求导,11111()1n n n n n n x x S x x n n x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'====⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑,其中2111n x x x x =+++++-故根据函数积分和求导的关系()()f x dx f x C '=+⎰,得00()()()(0)xxS x dx S x S x S '==-⎰又由于21000(0)012n n S n ∞===++=∑,所以01()(0)()0ln(1)1x xS x S S x dx dx x x'=+=+=---⎰⎰, 即有 1ln(1),(1,1)nn x x x n∞==--∈-∑当1x =-时, 1(1)ln 2nn n ∞=-=-∑. 级数在此点处收敛,而右边函数连续,因此成立的范围可扩大到1x =-处,即1ln(1),[1,1)nn x x x n∞==--∈-∑ 于是 1()ln(1),[1,1)x nn fx e x x ∞==--∈-∑九【详解】(1) 线性方程组AX β=有解但不唯一,即有无穷多解()()3r A r A n ⇔=<=,将增广矩阵作初等行变换,得111111112a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦21112131()01100112a a a a a aa ⎡⎤⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦行行，行行倍 11123011000(1)(2)2a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦行加到行（）因为方程组AX β=有解但不唯一,所以()()3r A r A =<,故a =−2.(2) 由(1),有112121211A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由112121211E A λλλλ---=-+---122,312111λλλλλ-+---列加到列 1121121111λλλ-+---提出列公因子1121(1)2,303303λλλ-⨯-+--行分别加到行(3)(3)0λλλ=+-=故A 的特征值为1230,3,3λλλ==-=.当10λ=时,112(0)121211E A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1121(1),20332,3033--⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行的倍分别加到行1122033000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行加到3行于是得方程组(0)0E A x -=的同解方程组为1232320330x x x x x +-=⎧⎨-=⎩ 可见,(0)2r E A -=,可知基础解系的个数为(0)321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选2x 为自由未知量,取21x =,解得对应的特征向量为1(1,1,1)T ξ=.当13λ=时,()2123151212E A -⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1511,2212212--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行互换 151212000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行-2行151********--⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦1行加到行 于是得方程组(3)0E A x -=的同解方程组为12325090x x x x -+-=⎧⎨=⎩ 可见,(3)2r E A -=,可知基础解系的个数为(3)321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选1x 为自由未知量,取11x =,解得对应的特征向量为2(1,0,1)T ξ=-.当13λ=-时,()4123111214E A --⎛⎫ ⎪--=--- ⎪ ⎪--⎝⎭11112412214---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，行互换 1111(4),2036036---⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭行倍倍分别加到2,3行1112036000---⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭行加到3行 于是得方程组(3)0E A x --=的同解方程组为123230360x x x x x ---=⎧⎨+=⎩ 可见,(3)2r E A --=,可知基础解系的个数为(3)321n r E A ---=-=,故有1个自由未知量,选2x 为自由未知量,取22x =,解得对应的特征向量为3(1,2,1)T ξ=--.由于A 是实对称矩阵,其不同特征值的特征向量相互正交,故这三个不同特征值的特征向量相互正交,之需将123,,ξξξ单位化,3121231231111,0,2.111ξξξβββξξξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥======-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥-⎣⎦⎦⎣⎦其中,123ξξξ====令[]123,,0Q βββ== 则有 1300030.000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦十【详解】(1)由题设条件,1211(,,)||n nijn i j i j A f x x x x x A ===∑∑111111n nn nij i jiijji j i j A x x x A xA A ======∑∑∑∑112211()nii i in n i x A x Ax A x A==+++∑121211(,,,)nii i in i n x x x A AA Ax =⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑121211(,,,)n i i i in i n x x x A A A A x =⎛⎫ ⎪⎡⎤ ⎪=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎪⎝⎭∑[]12111121221222121(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n nn n x x x A A A x A A A x A A A Ax ⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭11121121222212121(,,,)n n n n n nn n A A A x A A A x x x x AA A A x ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥=⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭1212(,,,)T n n x x A x x x A x *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭TT A X X A *= 1()T X A X -*其中()*的理由：A 是可逆的实对称矩阵,故111()()T T A A A ---==,因此由实对称的定义知,1A -也是实对称矩阵,又由伴随矩阵的性质A A A E *=,知1A A A *-=,因此A *也是实对称矩阵,TAA **=,故()*成立.(2) 因为()()1111TT A AA A E A ----==,所以由合同的定义知A 与1A -合同.由实对称矩阵A B 与合同的充要条件：二次型T x Ax 与Tx Bx 有相同的正、负惯性指数.可知,()Tg X X AX =与()f X 有相同的正、负惯性指数,故它们有相同的规范形.十一【应用定理】(i) 期望的性质：()E X Y EX EY +=+；独立随机变量方差的性质：若随机变量X Y 和独立,则()D X Y DX DY +=+(ii)列维-林德伯格中心极限定理：设随机变量12,,,,n X X X 相互独立同分布,方差存在,记22(0)u σσ<<+∞与分别是它们共同的期望与方差,则对任意实数x ,恒有1lim )()ni n i P X nu x x →∞=⎫-≤=Φ⎬⎭∑ (通俗的说：独立同分布的随机变量,其期望方差存在,则只要随机变量足够的多,这些随机变量的和以正态分布为极限分布)(iii) 正态分布标准化：若2~(,)Z N u σ,则~(0,1)Z uN σ-【详解】设(1,2,)i X i n =是装运的第i 箱的重量(单位:千克), n 是所求箱数. 由题设可以将1,,i n X X X 视为独立同分布的随机变量,而n 箱的总重量12n n S X X X =+++是独立同分布随机变量之和.由题设,有()5i E X ==(单位:千克) 所以 1212()()50n n n E S E X X X EX EX EX n =+++=+++= 1212()()25n n n D S D X X X DX DX DX n =+++=+++=则根据列维—林德柏格中心极限定理,知n S 近似服从正态分布(50,25)N n n ,箱数n 根据下述条件确定{}5000n P S P ≤=≤ (将n S 标准化)0.977(2)≈Φ>=Φ由此得2,> 从而98.0199n <, 即最多可以装98箱.十二【详解】由题设条件X 和Y 是正方形{}(,):13,13G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布,则X 和Y 的联合密度为：1,13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他(二维均匀分布的概率密度为1面积) 由分布函数的定义：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤(1)当0u <时,()0F u =(因为X Y -是非负的,所以小于0是不可能事件)(2)当2u ≥时,()1F u =(因为X 和Y 最大为3,X 和Y 最小为1,所以X Y -最大也就只能为2,所以2X Y -≤是必然事件,概率为1)(3)当02u ≤<时,{}()F u P U u =≤相当于 阴影部分所占的概率大小. 如图所示：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤214(2)4S u S ⎡⎤==--⎣⎦阴影面积总面积 211(2)4u =--(二维均匀分布中各部分所占的概率,相当于用这部分的面积除以总面积,这里阴影部分面积是用总面积减去两个三角形的面积)于是随机变量U 的概率密度为：1(2),02,()'()20, u u p u F u ⎧-<<⎪==⎨⎪⎩其他。
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)1、设ye某(ain某bco某)(a,b为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________.【分析】这是二阶常系数线性齐次微分方程求解的逆问题，主要考查二阶常系数线性齐次微分方程特征方程与特征根的概念以及由通解形状要能看出对应的特征根。
由于二阶常系数线性齐次方程由其特征方程唯一确定，因此由通解表达式得到对应的特征值后，确定方程，从而得到待求微分方程。
【详解】根据二阶常系数线性齐次方程特征根与通解的对应关系可得：特征根为121i，于是特征方程为(1i)(1i)0，即2220。
故对应齐次微分方程为：y2y2y0。
2、r某2y2z2，则div(gradr)(1,2,2)=_____________.【分析】考查散度与梯度公式与计算。
直接套用公式即可。
【详解】由于gradr{某某yz222,y某yzy某yz222222,zz某yzz222}所以div(gradr)某某某2y2z2yy2z2(某yz)2223某yz某2y2222某2z2(某yz)2223(某yz)22232某yz(1,2,2)222因此div(gradr)233、交换二次积分的积分次序：01dy1y2f(某,y)d某＝_____________.【分析】考查直角坐标系下交换积分次序。
由于某的积分下限大于积分上限，无法画出积分区域的草图，只需先交换一下先积的定积分的上下限即可。
【详解】由于01dy21y2f(某,y)d某dy1021yf(某,y)d某对二次积分01dy1y21y0，于是f(某,y)d某对应的二重积分的积分域为D:1y某201某01dy21yf(某,y)d某d某1f(某,y)dy。
从而01dy1y2f(某,y)d某d某1201某f(某,y)dy。
4、设AA4E0，则(AE)1=_____________.【分析】考查矩阵的简单运算。
2001年考研数学三真题及全面解析
2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(1) 设生产函数为Q AL K αβ=, 其中Q 是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而A , α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K 关于L 的弹性为(2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以t W 表示第t 年的 工资总额(单位：百万元)，则t W 满足的差分方程是___(3) 设矩阵111111,111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且秩(A )=3,则k = (4) 设随机变量X ,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不 等式{}-6P X Y ≥≤ .(5) 设总体X 服从正态分布2(0,0.2),N 而1215,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则随机变量()221102211152X X Y X X ++=++服从___分布，参数为_______二、选择题(1) 设函数f (x )的导数在x =a 处连续,又'()lim1,x af x x a→=--则( ) (A) x = a 是f (x )的极小值点. (B) x = a 是f (x )的极大值点. (C) (a , f (a ))是曲线y = f (x )的拐点.(D) x =a 不是f (x )的极值点, (a , f (a ))也不是曲线y =f (x )的拐点.(2) 设函数0()(),xg x f u du =⎰其中21(1),012(),1(1),123x x f x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩则g (x )在区间(0,2) 内( ) (A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续(3) 设1112131414131211212223242423222113132333434333231414243444443424100010100,,,00101000a a a a a a a a a a a a a a a a A B P a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦210000010,01000001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中A 可逆,则1B -等于( ) (A)112A P P - (B)112P A P - (C)112P P A - (D)121P A P -.(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量.若秩0TA αα⎛⎫=⎪⎝⎭秩(A)，则线性方程组( )(A)AX =α必有无穷多解 ()B AX =α 必有惟一解.()C 00TA X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭仅有零解 ()D 00T AX y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于( )(A) -1 (B) 0 (C)12(D) 1三 、(本题满分5 分)设u = f (x ,y ,z )有连续的一阶偏导数,又函数y =y (x )及z =z (x )分别由下列两式确定:2xy e xy -=和0sin ,x zx t e dt t -=⎰求dudx四 、(本题满分6 分)已知f (x )在(−∞,+∞)内可导,且lim '(),x f x e →∞=lim()lim[()(1)],xx x x c f x f x x c→∞→∞+=--- 求c 的值.五 、(本题满分6 分)求二重积分221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰的值,其中D 是由直线y =x , y = −1及x =1围成的平面区域六、(本题满分7 分)已知抛物线2y px qx =+(其中p <0,q >0)在第一象限与直线x +y =5相切，且此抛物线与x 轴所围成的平面图形的面积为S.(1) 问p 和q 为何值时，S 达到最大? (2)求出此最大值.七、(本题满分6 分)设f (x )在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足1130(1)(),(1).x f k xe f x dx k -=>⎰证明：存在ξ∈(0,1), 使得1'() 2(1)().f f ξξξ-=-八、(本题满分7 分)已知()n f x 满足'1()()n xn n f x f x x e -=+(n 为正整数)且(1),n ef n=求函数项级数 1()ni fx ∞=∑之和.九、(本题满分9 分)设矩阵11111,1.112a A a a β⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: (1) a 的值;(2) 正交矩阵Q,使TQ AQ 为对角矩阵.十、(本题满分8 分)设A 为n 阶实对称矩阵，秩(A)=n ，ij A 是()ijn nA a ⨯=中元素ij a 的代数余子式(i ,j=1,2,…,n )，二次型1211(,,).n nij n i j i j A f x x x x x A===∑∑(1) 记12(,,),n A x x x =把1211(,,).nnij n i j i j A f x x x x x A===∑∑写成矩阵形式，并证明二次型()f X 的矩阵为1A -;(2) 二次型()Tg X X AX =与()f X 的规范形是否相同？说明理由.十一、(本题满分8 分)生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x ) 是标准正态分布函数).十二、(本题满分8 分)设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G ={(x ,y )|1≤x ≤3,1≤y ≤3}上的均匀分布，试求随机变量U ={X −Y } 的概率密度().p u2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】αβ-【使用概念】设()y f x =在x 处可导，且()0f x ≠，则函数y 关于x 的弹性在x 处的值为()()Ey x x y f x Ex y f x ''== 【详解】由Q AL K αβ=，当1Q =时，即1AL K αβ=，有1,K AL αββ--=于是K 关于L 的弹性为：EK EL LK K'=11d A L L dLA Lαββαββ----⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=111A L L A Lαββαββααββ------=⋅=-(2)【答案】 11.22t W -+【详解】t W 表示第t 年的工资总额，则1t W -表示第1t -年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得t W 满足的差分方程是：11(120)2 1.22t t t W W W --=+%+=+(3)【答案】-3【详解】方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对A 进行初等变换111111111111k k A k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11111001(1)2,3,410101001kk k k k k k ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⨯-⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦行分别加到行311101002,3,400100001k k k k +⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦列分别加到1列 可见只有当k =−3时，r (A )=3.故k =−3.方法2：由题设r (A )=3，故应有四阶矩阵行列式0A =.由111111111111k kA kk=11111001(1)2,3,41010101k k k k k kk --⨯-----行分别加到行311101002,3,4001001k k k k +---列分别加到1列3(3)(1)0,k k =+-=解得 k =1或k = −3. 当k =1时，1111111*********A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦111100001(1)23400000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行分别加到，，行 可知，此时r (A )=1，不符合题意，因此一定有k =−3. (4)【答案】112【所用概念性质】切比雪夫不等式为：{}2()()D X P X E X εε-≥≤期望和方差的性质：()E X Y EX EY +=+；()2cov(,)D X Y DX X Y DY +=++ 【详解】 把X Y +看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差. 故 ()220E X Y EX EY +=+=-+=又相关系数的定义：(,)X Y ρ=则cov(,)(,(0.5)1X Y X Y ρ==-=-()2cov(,)12(1)43D X Y DX X Y DY +=++=+⨯-+=所以由切比雪夫不等式：{}{}2()316()663612D X Y P X Y P X YE X Y ++≥=+-+≥≤==(5)【答案】F ；(10,5)【所用概念】1. F 分布的定义：12Xn F Yn =其中21~()X n χ 22~()Y n χ2. 2χ分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1)N ，则221~()ni i Z n χ=∑3. 正态分布标准化的定义：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ- 【详解】因为2(0,2)1,2,,15i X N i =，将其标准化有0(0,1)22i iX X N -=，从而根据卡方分布的定义2222221015111(10),(5),2222X X X X χχ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由样本的独立性可知，2210122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与22151122X X ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭相互独立. 故，根据F 分布的定义()22101221102222111515112210(10,5).2225X X X X Y F X X X X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++==⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故Y 服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F 分布.二、选择题(1)【答案】 [ B] 【详解】 方法1：由'()lim1,x af x x a→=--知 lim '()x af x →()'()limx af x x a x a →=⋅--()'()lim lim x a x af x x a x a →→=⋅--10=-⋅0=又函数()f x 的导数在x a =处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以()0f a '=，于是有'()'()'()"()limlim 1,x ax a f x f a f x f a x ax a →→-===--- 即()0f a '=，()10f a ''=-<，根据判定极值的第二充分条件：设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=，0()0f x ''≠，当0()0f x ''<时，函数()f x 在0x 处取得极大值. 知x a =是()f x 的极大值点，因此，正确选项为(B). 方法2：由'()lim1,x af x x a→=--及极限保号性定理：如果()0lim x x f x A →=，且0A >(或0A <)，那么存在常数0δ>，使得当00x x δ<-<时，有()0f x >(或()0f x <)，知存在x a =的去心邻域，在此去心邻域内'()0f x x a<-.于是推知，在此去心邻域内当x a <时()0f x '>；当x a >时()0.f x '<又由条件知()f x 在x a =处连续，由判定极值的第一充分条件：设函数()f x 在0x 处连续，且在0x 的某去心δ领域内可导，若()00,x x x δ∈- 时，()0f x '>，而()00,x x x δ∈ +时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值，知()f a 为()f x 的极大值. 因此，选 (B).(2)【答案】(D)【详解】应先写出g (x )的表达式.当01x ≤<时， 21()(1)2f x x =+，有 ()g x ()0x f u du =⎰201(1)2x u du =+⎰3001162x x u u =+311,62x x =+当12x ≤≤时， 1()(1)3f x x =-，有0()()x g x f u du =⎰101()()x f u du f u du =+⎰⎰120111(1)(1)23x u du u du =++-⎰⎰1132010111116263x x u u u u =++-()221136x =+- 即 ()3211,0162()211,1236x x x g x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+-≤≤⎪⎩因为 311112lim ()lim 623x x g x x x --→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()211212lim ()lim 1363x x g x x ++→→⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，且 ()2212(1)11363g =+-=， 所以由函数连续的定义，知()g x 在点1x =处连续，所以()g x 在区间[0,2]内连续，选(D).同样，可以验证(A)、(B)不正确，01x <<时，321111()06222g x x x x '⎛⎫'=+=+> ⎪⎝⎭，单调增，所以(B)递减错；同理可以验证当12x <<时，()()2211()110363g x x x '⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，单调增，所以()()()02g g x g ≤≤，即()506g x ≤≤与选项(A)无界矛盾.(3)【答案】 (C)【详解】由所给矩阵,A B 观察，将A 的2,3列互换，再将A 的1,4列互换，可得B . 根据初等矩阵变换的性质，知将A 的2,3列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以23E ，将A 的1,4列互换相当于在矩阵A 的右侧乘以14E ，即2314AE E B =，其中2310000010********E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，140001010000101000E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由题设条件知114223,P E P E ==，因此21B AP P =.由于对初等矩阵ij E 有，1ij ij E E -=，故111122,P P P P --==.因此，由21B AP P =，及逆矩阵的运算规律，有()111111211212B AP P P P A PP A ------===.(4)【答案】 ()D【详解】由题设，A 是n 阶矩阵，α是n 维列向量，即Tα是一维行向量，可知0TA αα⎛⎫⎪⎝⎭是1n +阶矩阵. 显然有秩0TAαα⎛⎫= ⎪⎝⎭秩()A 1,n n ≤≤+ 即系数矩阵0T Aαα⎛⎫⎪⎝⎭非列满秩，由齐次线性方程组有非零解的充要条件：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组00T A X y αα⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭必有非零解.(5) 【答案】A【详解】 掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-， 故 ()DY D n X DX =-=由方差的定义：22()DX EX EX =-， 所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：cov(,)0X c = (c 为常数)；cov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以 cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX =-=-=-=- 由相关系数的定义，得 (,)1X Yρ===-三【变限积分求导公式】()[()][()]()f x x ag t dt g f x f x ''=⎰【详解】 根据复合函数求导公式，有.du f f dy f dz dx x y dx z dx∂∂∂=++∂∂∂ (*) 在2xye xy -=两边分别对x 求导，得()()0,xy dy dye y xy x dx dx+-+= 即.dy y dx x =- 在0sin x z xt e dt t-=⎰两边分别对x 求导，得 sin()(1),xx z dze x z dx-=⋅-- 即()1.sin()x dz e x z dx x z -=-- 将其代入(*)式，得du dx f f dy f dz x y dx z dx ∂∂∂=++∂∂∂()1.sin()x f y f e x z f x x y x z z⎛⎫∂∂-∂=-+- ⎪∂∂-∂⎝⎭四 【详解】因为1lim(1)xx e x→∞+=lim()x x x c x c →∞+-2lim()xx x c c x c→∞-+=- (把x c +写成2x c c -+)222lim()x c cx c x cx x c c x c-⋅-→∞-+=- (把x 写成22x c cx c x c -⋅-) 222lim (1)cx x cx ccx c x c --→∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦(利用幂函数的性质()mnm n aa =)222ln (1)lim cxx c x cc c x c x e--⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质ln ()()f x ef x =)222ln (1)lim x c c cx c x c x c x e-⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦→∞= (利用对数性质()ln ()()ln ()g x f x g x f x =)222limln (1)x cc x cx c x c x c e-→∞⎡⎤⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦= (利用x y e =函数的连续性，lim ()()lim x f x f x x ee →∞→∞=)222limlim ln (1)x c c x x cx c x c x c e-→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦=(当各部分极限均存在时，lim ()()lim ()lim ()x x x f x g x f x g x →∞→∞→∞⋅=⋅)222lim ln lim (1)x c c x x cx c x c x c e -→∞→∞⎡⎤⎢⎥⋅+--⎢⎥⎣⎦= (利用ln y x =函数的连续性，lim[ln ()]ln[lim ()]x x f x f x →∞→∞=)2ln c e e ⋅= (利用1lim(1)x x e x→∞+=)2c e = (ln 1e =)又因为()f x 在(),-∞+∞内可导，故在闭区间[1,]x x -上连续，在开区间(1,)x x -内可导，那么又由拉格朗日中值定理，有()(1)()[(1)](),1f x f x f x x f x x ξξξ''--=--=-<<左右两边同时求极限，于是lim[()(1)]lim '()x x f x f x f e ξ→∞→∞--==，因为1x x ξ-<<，x 趋于无穷大时，ξ也趋向于无穷大由题意，lim()lim[()(1)],x x x x c f x f x x c →∞→∞+=--- 从而2c e e =，故12c =五 【详解】 积分区域如图所示，可以写成11,1y y x -≤≤≤≤222211()()22[1],x y x y DDDy xedxdy ydxdy xyedxdy +++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中，111112(1);3y Dydxdy dy ydx y y dy --==-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 221()2x y Dxyedxdy +⎰⎰22111()21x y yydy xedx +-=⎰⎰22111()2211()2x y yydy ed x +-=⎰⎰ 22111()22211[()]2x y yydy ed x y +-=+⎰⎰2211(1)21()y ye e dy +-=-⎰2211(1)2211()2y y e e dy +-=-⎰22111(1)222111122y y e dy e dy +--=-⎰⎰ 22111(1)2221111[(1)]22y y ed ye dy +--=+-⎰⎰22111(1)21112y y e e +--=-0=于是221()22[1]3x y Dy xedxdy ++=-⎰⎰六【详解】方法1：依题意知，抛物线如图所示，令2()0y px qx x px q =+=+=，求得它与x 轴交点的横坐标为：120,.q x x p==- 根据定积分的定义，面积S 为()3232203260q pq p q q p S px qx dx x x p --⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭⎰(注：111n n x dx x C n +=++⎰) 因直线5x y +=与抛物线2y px qx =+相切，故它们有唯一公共点. 由方程组25x y y px qx +=⎧⎨=+⎩求其公共解，消去y ，得2(1)50px q x ++-=，因为其公共解唯一，则该一元二次方程只有唯一解，故其判别式必为零，即22(1)4(5)(1)200,q p q p ∆=+-⨯⨯-=++=解得 21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中，得()S q 326q p =32216[(1)]20q q =-+34200.3(1)q q =+ 根据函数除法的求导公式，()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点的定义，令()0S q '=，已知有0q >，得唯一驻点3q =.当13q <<时，()0S q '>；3q >时，()0S q '<. 故根据极值判定的第一充分条件知，3q =时，()S q 取唯一极大值，即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==方法2：设抛物线2y px qx =+与直线5x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，切点既在抛物线上，也在直线上，于是满足方程有2000y px qx =+和005x y +=.抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的，即一阶导数值相等. 在2y px qx =+左右两边关于x 求导，得2y px q '=+，在5x y +=左右两边关于x 求导，得1y '=-，把切点坐标00(,)x y 代入，得021x x y px q ='=+=-⇒012q x p+=-由005x y +=⇒005y x =-，将两结果代入2000y px qx =+得22000011155()()()222q q q y x px qx p q p p p+++=-=--=+=-+- 整理得21(1).20p q =-+ 将p 代入S 中，得34200().3(1)q S q q =+根据函数除法的求导公式，()S q '344342(200)[3(1)][3(1)](200)[3(1)]q q q q q ''⨯+-+⨯=+25200(3)3(1)q q q -=+ 根据驻点(即使得一阶导数为零的点)的定义，令()0S q '=，已知有0q >，得唯一驻点3q =.当13q <<时，()0;S q '>3q >时，()0;S q '<故根据极值判定的第一充分条件知，3q =时， ()S q 取唯一极大值，即最大值.从而最大值为225(3).32S S ==七【详解】将要证的等式中的ξ换成x ，移项，并命1()()()x x f x f x xϕ-'=-问题转化为证在区间(0,1)内()x ϕ存在零点. 将1()()0x f x f x x-'-= 看成一个微分方程，用分离变量法求解. 由()1()df x x dx f x x-= 两边积分得()11(1)()df x x dx dx f x x x -==-⎰⎰⎰利用1ln dx x C x =+⎰及111nn x dx x C n +=++⎰，得 1ln ()ln f x x x C =-+⇒ln ()ln xCe f x x=⇒()x Ce f x x =， 即 ()xxef x C -=，命()()x F x xe f x -=. 由110(1)(),(1)x k f k xe f x dx k -=>⎰及积分中值定理(如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在积分区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使得()()()()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰)，知至少存在一点1(0,)[0,1]kη∈⊂，使1110(1)()()x k f k xe f x dx e f ηηη--==⎰且()()F ef ηηηη-=，1(1)(1)F e f -=. 把1(1)()f e f ηηη-=代入，则111(1)(1)()()()F e f e e f e f F ηηηηηηη----====那么()F x 在[,1]η上连续，在(,1)η内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点(,1)[0,1]ξη∈⊂，使得()()()0F e f e f ξξξξξξ--''=+=即 1() (1)().f f ξξξ-'=-八【详解】由已知条件可见1()()n x n n f x f x x e -'-=，这是以()n f x 为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中1()1,()n xp x q x xe -=-=，代入通解公式()()()(())p x dx p x dxf x e q x e dx C -⎰⎰=+⎰得其通解为1(),ndx dx n x x n x f x e x e e dx C e C n --⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰由条件(1),n e f n =又1(1)n f e C n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0C =， 故(),n x n x e f x n = 111()n x n xn n n n x e x f x e n n∞∞∞=====∑∑∑记1(),nn x S x n ∞==∑则1na n =，111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，则其收敛半径为11R ρ==，收敛区间为(1,1)-. 当(1,1)x ∈-时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，11111()1n n n n n n x x S x x n n x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'====⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑，其中2111n x x x x =+++++-故根据函数积分和求导的关系()()f x dx f x C '=+⎰，得00()()()(0)xxS x dx S x S x S '==-⎰又由于21000(0)012n n S n ∞===++=∑，所以01()(0)()0ln(1)1xxS x S S x dx dx x x'=+=+=---⎰⎰， 即有 1ln(1),(1,1)nn x x x n∞==--∈-∑ 当1x =-时， 1(1)ln 2nn n ∞=-=-∑. 级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的范围可扩大到1x =-处，即1ln(1),[1,1)nn x x x n∞==--∈-∑ 于是 1()ln(1),[1,1)x nn fx e x x ∞==--∈-∑九【详解】(1) 线性方程组AX β=有解但不唯一，即有无穷多解()()3r A r A n ⇔=<=，将增广矩阵作初等行变换，得111111112a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦21112131()01100112a a a a a aa ⎡⎤⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦行行，行行倍 11123011000(1)(2)2a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦行加到行（）因为方程组AX β=有解但不唯一，所以()()3r A r A =<，故a =−2.(2) 由(1)，有112121211A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由112121211E A λλλλ---=-+---122,312111λλλλλ-+---列加到列 1121121111λλλ-+---提出列公因子1121(1)2,303303λλλ-⨯-+--行分别加到行(3)(3)0λλλ=+-=故A 的特征值为1230,3,3λλλ==-=.当10λ=时，112(0)121211E A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1121(1),20332,3033--⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行的倍分别加到行1122033000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行加到3行于是得方程组(0)0E A x -=的同解方程组为1232320330x x x x x +-=⎧⎨-=⎩ 可见，(0)2r E A -=，可知基础解系的个数为(0)321n r E A --=-=，故有1个自由未知量，选2x 为自由未知量，取21x =，解得对应的特征向量为1(1,1,1)Tξ=.当13λ=时，()2123151212E A -⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭1511,2212212--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行互换 151212000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行-2行151********--⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦1行加到行 于是得方程组(3)0E A x -=的同解方程组为12325090x x x x -+-=⎧⎨=⎩ 可见，(3)2r E A -=，可知基础解系的个数为(3)321n r E A --=-=，故有1个自由未知量，选1x 为自由未知量，取11x =，解得对应的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.当13λ=-时，()4123111214E A --⎛⎫ ⎪--=--- ⎪ ⎪--⎝⎭11112412214---⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，行互换 1111(4),2036036---⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭行倍倍分别加到2,3行1112036000---⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭行加到3行 于是得方程组(3)0E A x --=的同解方程组为123230360x x x x x ---=⎧⎨+=⎩ 可见，(3)2r E A --=，可知基础解系的个数为(3)321n r E A ---=-=，故有1个自由未知量，选2x 为自由未知量，取22x =，解得对应的特征向量为3(1,2,1)Tξ=--.由于A 是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，之需将123,,ξξξ单位化，3121231231111,0,2.111ξξξβββξξξ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎥⎢⎥======-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥-⎣⎦⎦⎣⎦其中，123ξξξ======令[]123,,0Q βββ==则有 1300030.000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦十【详解】(1)由题设条件，1211(,,)||n nijn i j i j A f x x x x x A ===∑∑111111n nn nij i jiijji j i j A x x x A xA A ======∑∑∑∑112211()nii i in n i x A x Ax A x A==+++∑121211(,,,)nii i in i n x x x A AA Ax =⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑121211(,,,)n i i i in i n x x x A A A A x =⎛⎫ ⎪⎡⎤ ⎪=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎪⎝⎭∑ []12111121221222121(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n nn n x xx A A A x A A A x A A A Ax ⎛⎫ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭11121121222212121(,,,)n n n n n nn n A A A x A A A x x x x AA A A x ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥=⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭1212(,,,)T n n x x A x x x Ax *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭TT A X X A *= 1()T X A X -*其中()*的理由：A 是可逆的实对称矩阵，故111()()TT A A A ---==，因此由实对称的定义知，1A -也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质A A A E *=，知1A A A *-=，因此A *也是实对称矩阵，TAA **=，故()*成立.(2) 因为()()1111TTAAA AE A ----==，所以由合同的定义知A 与1A -合同.由实对称矩阵A B 与合同的充要条件：二次型Tx Ax 与Tx Bx 有相同的正、负惯性指数. 可知，()Tg X X AX =与()f X 有相同的正、负惯性指数，故它们有相同的规范形.十一【应用定理】(i) 期望的性质：()E X Y EX EY +=+；独立随机变量方差的性质：若随机变量X Y 和独立，则()D X Y DX DY +=+(ii)列维-林德伯格中心极限定理：设随机变量12,,,,n X X X 相互独立同分布，方差存在，记22(0)u σσ<<+∞与分别是它们共同的期望与方差，则对任意实数x ，恒有1lim )()ni n i P X nu x x →∞=⎫-≤=Φ⎬⎭∑ (通俗的说：独立同分布的随机变量，其期望方差存在，则只要随机变量足够的多，这些随机变量的和以正态分布为极限分布)(iii) 正态分布标准化：若2~(,)Z N u σ，则~(0,1)Z uN σ-【详解】设(1,2,)i X i n =是装运的第i 箱的重量(单位:千克)， n 是所求箱数. 由题设可以将1,,i n X X X 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量12n n S X X X =+++是独立同分布随机变量之和.由题设，有()5i E X ==(单位:千克) 所以 1212()()50n n n E S E X X X EX EX EX n =+++=+++= 1212()()25n n n D S D X X X DX DX DX n =+++=+++=则根据列维—林德柏格中心极限定理，知n S 近似服从正态分布(50,25)N n n ，箱数n 根据下述条件确定{}5000n P S P ≤=≤ (将n S 标准化)0.977(2)≈Φ>=Φ由此得2,> 从而98.0199n <， 即最多可以装98箱.十二【详解】由题设条件X 和Y 是正方形{}(,):13,13G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布，则X 和Y 的联合密度为：1,13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 (二维均匀分布的概率密度为1面积) 由分布函数的定义：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤(1)当0u <时，()0F u =(因为X Y -是非负的，所以小于0是不可能事件)(2)当2u ≥时，()1F u =(因为X 和Y 最大为3，X 和Y 最小为1，所以X Y -最大也就只能为2，所以2X Y -≤是必然事件，概率为1)(3)当02u ≤<时，{}()F u P U u =≤相当于 阴影部分所占的概率大小. 如图所示：{}{}()F u P U u P X Y u =≤=-≤214(2)4S u S ⎡⎤==--⎣⎦阴影面积总面积 211(2)4u =--(二维均匀分布中各部分所占的概率，相当于用这部分的面积除以总面积，这里阴影部分面积是用总面积减去两个三角形的面积)于是随机变量U 的概率密度为：1(2),02,()'()20, u u p u F u ⎧-<<⎪==⎨⎪⎩其他XX 学校支部“示范岗”考核评分表被评党员姓名： 评议时间： 年 月 日满分：100分 被评得分：。
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2001年浙江大学436数学分析考研真题 浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析（436）
一、（30分)
()i 用“εδ-语言”证明2211lim 3233n n n n n →∞-+=+-；
()ii 求极限tan 21lim(2)x x x π→-；
()iii 设101(ln )1x f x x x <≤⎧'=⎨>⎩，且(0)0f =，求()f x .
二、（10分) 设()y y x =是可微函数，求(0)y '，其中
2sin 7x y y ye e x x =-+-.
三、（10分) 在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==之下，变换方程2222(,)z z f x y x y ∂∂+=∂∂.
四、（20分)
()i 求由半径为a 的球面与顶点在球心，顶角为2α的圆锥面所围成区域的体积； ()ii 求曲面积分222()()()s I y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-⎰⎰，其中S 是曲面 222(12)z x y z =--≤≤的上侧.
五、（15分) 设二元函数(,)f x y 在正方形区域
[][]0,10,1⨯上连续，记[]0,1J =. ()i 试比较inf sup (,)y J y J f x y ∈∈与supinf (,)y J y J f x y ∈∈的大小并证明之；
()ii 给出一个使等式inf sup (,)supinf (,)y J y J y J y J f x y f x y ∈∈∈∈=成立的充分条件并证明之.
六、（15分) 设()f x 是在
[]1,1-上可积且在0x =处连续的函数，记 (1)01()10n n nx x x x e x ϕ⎧-≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩ . 证明：11lim
()()(0)2n n n f x x dx f ϕ-→∞=⎰.。