正方形的性质及判定提高练习

正方形的性质及判定

一、正方形的性质

【例1】 ☆⑴已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形

⑵如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且 20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为

F

E D C

B

A

⑶如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为 ．

【例2】 ☆将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个

正方形重叠形成的重叠部分的面积和为

A 5

A 4

A 3

A 2

A 1

【例3】 ☆如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连

接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为

P

N

M

E D

C B

A

【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．

E

D

C

B

A

【例4】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =.

F E

P

D

C

B A

【巩固】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于

M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程．

M N C

D

O B A

【巩固】 ☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=

P

D

C

B

A

【例5】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ∆是

等腰直角三角形．

G

E

H

D

F

C

B

A

【例6】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交

于M 、N ，若50EAF ∠=︒，则CME CNF ∠+∠= ．

N

M

F

E

D

C

B

A

【例7】 ☆如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD 相交于点F ，

则AFD ∠=

F

E

D

C

B

A

【例8】 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别

交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．

3

14

2

F

E G

H

C

D

B

A

【例9】 如图所示，在正方形ABCD 中，AK 、AN 是A ∠内的两条射线，BK AK ⊥，BL AN ⊥，DM AK ⊥，

DN AN ⊥，求证KL MN =，KL MN ⊥.

K N

M

L

D

C

B A

【巩固】 如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接,BE DG ，求证：BE DG =.

G

C F

E

D

B

A

【例10】 如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上的一点，F 为BC 延长线上的一点，CE CF =，

30FDC ∠=︒，求BEF ∠的度数.

B

D

C

A

E

F

【巩固】 ☆已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并

延长交DE 于F ．

（1）求证：BCG DCE ∆∆≌；

（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90︒得到DAE '∆，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明

理由．

【例11】 若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，3BE =，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正

方形的一边于点F ，且BF AE =，则BM 的长为 ．

【例12】 ☆如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，

HA EB FC GD ===，连接EG 、FH ，交点为O ． ⑴ 如图2，连接EF FG GH HE ，，，，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论；

⑵ 将正方形ABCD 沿线段EG 、HF 剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个

四边形．若正方形ABCD 的边长为3cm ，1cm HA EB FC GD ====，则图3中阴影部分的面积为_________2cm ．

图3

图1图2

H D

G

C F

E

B

A

O

H G

F

E

D

C B

A

【巩固】 如图，正方形ABCD 对角线相交于点O ，点P 、Q 分别是BC 、CD 上的点，AQ DP ⊥，求证：

（1）OP OQ =；（2）OP OQ ⊥.

A

B

C

D

E

F E '

G