新东方优能中学-数学-第一章 集合及常用逻辑用语 (答案版)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语考点专题训练单选题1、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.2、已知集合M={x|x=m−56,m∈Z}，N={x|x=n2−13,n∈Z}，P={x|x=p2+16,p∈Z}，则集合M，N，P的关系为（）A．M=N=P B．M⊆N=PC．M⊆N P D．M⊆N，N∩P=∅答案：B分析：对集合M,N,P中的元素通项进行通分，注意3n−2与3p+1都是表示同一类数，6m−5表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，即可得到结果.对于集合M={x|x=m−56,m∈Z}，x=m−56=6m−56=6(m−1)+16，对于集合N={x|x=n2−13,n∈Z}，x=n2−13=3n−26=3(n−1)+16，对于集合P={x|x=p2+16,p∈Z}，x=p2+16=3p+16，由于集合M,N,P中元素的分母一样，只需要比较其分子即可，且m,n,p∈Z，注意到3(n−1)+1与3p+1表示的数都是3的倍数加1，6(m−1)+1表示的数是6的倍数加1，所以6(m−1)+1表示的数的集合是前者表示的数的集合的子集，所以M⊆N=P.故选：B.3、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.4、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|〉3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D5、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A6、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.7、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.8、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、已知集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，且x1、x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是（）A．x1x2∈A B．x2x3∈BC．x1+x2∈B D．x1+x2+x3∈A答案：ABC分析：本题首先可根据题意得出A表示奇数集，B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，然后依次对x1x2、x2x3、x1+x2、x1+x2+x3进行判断，即可得出结果.因为集合A={x|x=2m−1,m∈Z}，B={x|x=2n,n∈Z}，所以集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，x1、x2是奇数，x3是偶数，A项：因为两个奇数的积为奇数，所以x1x2∈A，A正确；B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以x2x3∈B，B正确；C项：因为两个奇数的和为偶数，所以x1+x2∈B，C正确；D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以x1+x2+x3∈B，D错误，故选：ABC.11、已知命题p:∃x∈R,ax2−4x−4=0，若p为真命题，则a的值可以为（）A．-2B．-1C．0D．3答案：BCD分析：根据给定条件求出p为真命题的a的取值范围即可判断作答，当a=0时，x=−1，p为真命题，则a=0，当a≠0时，若p为真命题，则Δ=16+16a≥0，解得a≥−1且a≠0，综上，p为真命题时，a的取值范围为a≥−1.故选：BCD12、已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是（）A．若A=B，则a=−3B．若A⊆B，则a=−3C．若B=∅，则a≤−6或a≥6D．若B A时，则−6<a≤−3或a≥6答案：ABC分析：求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．A={x∈R|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，故A正确.a=−3时，A=B，故D不正确.若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确.当B=∅时，a2−4(a2−27)≤0，解得a≤−6或a≥6，故C正确.故选：ABC．13、已知集合P={1,2},Q={x|ax+2=0}，若P∪Q=P，则实数a的值可以是（）A．−2B．−1C．1D．0答案：ABD分析：由题得Q⊆P，再对a分两种情况讨论，结合集合的关系得解.因为P∪Q=P，所以Q⊆P.由ax+2=0得ax=−2，当a=0时，方程无实数解，所以Q=∅，满足已知；当a≠0时，x=−2a ，令−2a=1或2，所以a=−2或−1.综合得a=0或a=−2或a=−1.故选：ABD小提示：易错点睛：本题容易漏掉a=0. 根据集合的关系和运算求参数的值时，一定要注意考虑空集的情况，以免漏解.填空题14、已知集合A={x|3≤x<7}，C={x|x>a}，若A⊆C，求实数a的取值范围_______.答案：(−∞,3)分析：根据集合的包含关系画出数轴即可计算.∵A⊆C，∴A和C如图：∴a＜3.所以答案是：(−∞,3).15、若A＝{x|x2+（m+2）x+1＝0，x∈R}，且A∩R+＝∅，则m的取值范围是__．答案：m＞﹣4．解析：根据题意可得A是空集或A中的元素都是小于等于零的，然后再利用判别式以及韦达定理求解即可.解：A∩R+＝∅知，A有两种情况，一种是A是空集，一种是A中的元素都是小于等于零的，若A＝∅，则Δ＝（m +2）2﹣4＜0，解得﹣4＜m＜0 ，①若A≠∅，则Δ＝（m +2）2﹣4≥0，解得m≤﹣4或m≥0，又A中的元素都小于等于零∵两根之积为1，∴A中的元素都小于0，∴两根之和﹣（m+2）＜0，解得m＞﹣2∴m≥0，②由①②知，m＞﹣4，所以答案是：m＞﹣4．小提示：易错点点睛：本题考查利用交集的结果求参数，本题在求解中容易忽略A=∅的讨论，导致错解，同时本题也可以采取反面考虑结合补集思想求解.16、设集合A={−4，2m−1，m2}，B={9，m−5，1−m}，又A∩B={9}，求实数m=_____．答案：−3分析：根据A∩B={9}得出2m−1=9或m2=9，再分类讨论得出实数m的值.因为A∩B={9}，所以9∈A且9∈B，若2m−1=9，即m=5代入得A={−4，9，25}，B={9，0，−4}，∴A∩B={−4，9}不合题意；若m2=9，即m=±3．当m=3时，A={−4，5，9}，B={9，−2，−2}与集合元素的互异性矛盾；当m=−3时，A={−4，−7，9}，B={9，−8，4}，有A∩B={9}符合题意；综上所述，m=−3．所以答案是：−3解答题17、已知集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}，集合C={x|x2+2x−8=0}．(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若A∩B≠∅，A∩C=∅，求实数a的值．答案：(1)−3(2)−2分析：（1）求出集合B={2,3}，由A∩B={2}，得到2∈A，由此能求出a的值，再注意3∉A检验即可；（2）求出集合C={−4,2}，由A∩B≠∅，A∩C=∅，得3∈A，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合A={x|x2−ax+a2−19=0}，集合B={x|x2−5x+6=0}={2,3}，且A∩B={2}，所以2∈A ，所以4−2a +a 2−19=0，即a 2−2a −15=0，解得a =−3或a =5．当a =−3时，A ={x |x 2+3x −10=0}={−5,2}，A ∩B ={2}，符合题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，A ∩B ={2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为−3．（2）因为A ={x |x 2−ax +a 2−19=0}，B ={2,3}，C ={x |x 2+2x −8=0}={−4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C =∅，所以3∈A ，所以9−3a +a 2−19=0，即a 2−3a −10=0，解得a =−2或a =5．当a =−2时，A ={x |x 2+2x −15=0}={−5,3}，满足题意；当a =5时，A ={x |x 2−5x +6=0}={2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为−2．18、设α:m −1≤x ≤2m ，β:2≤x ≤4，m ∈R ，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[2,3]分析：由题意可知α是β的必要不充分条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，{x |m −1≤x ≤2m }{x |2≤x ≤4}，所以{m −1≤22m ≥4，解之得2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[2,3].。
新高中数学必修一第一册第一章 讲义 集合与常用逻辑用语--第1讲集合的概念与性质(含答案)
第一章 集合与常用逻辑用语第一讲：集合的概念知识点梳理讲解：一、集合的概念 【知识梳理】1、元素与集合的概念【要点讲解】 准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. 【知识精讲】例1 (1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点A 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合；②由1，32，64，21 ，12组成的集合有五个元素；③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．【解】(1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合．②不正确．由于32＝64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝12，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，32，12这三个元素组成的． ③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合．【变式训练】1、下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有素数C ．平面直角坐标系内第一象限的一些点D ．所有小的正数 【答案】 B【解析】A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合．2 考察下列每组对象能否构成一个集合． (1)不超过20的非负数；(2)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4)3的近似值的全体．【解】(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合； (2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； (4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．3、判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)著名的数学家；(2)某校2020年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．【解】(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.【方法技巧总结】判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．二、元素的特性及集合相等【知识梳理】1．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．【要点讲解】(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.【知识精讲】例1、已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求实数x的值；(3)是否存在实数a，x，使A＝B.【解】(1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性， 只可能a －3＝0或2a －1＝0. 若a －3＝0，则a ＝3，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0,5,10}≠B . 若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧-45,25,0≠B . 故不存在这样的实数a ，x ，使A ＝B .例2、 已知集合A 中含有两个元素a 和2a ，若1∈A ，求实数a 的值． 【解】若1∈A ，则a ＝1或2a ＝1，即a ＝±1.当a ＝1时，a ＝2a ，集合A 中有一个元素，∴a ≠1. 当a ＝－1时，集合A 中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a ＝－1.【变式训练】1、已知集合M 中含有三个元素：2，a ，b ，集合N 中含有三个元素：2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值． 【解】方法一： 根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2，即错误!∵集合中的元素互异， ∴a ，b 不能同时为零．当b ≠0时，由②得a ＝0或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1或b ＝0(舍去)． 当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.2、已知集合A 中含有三个元素1,0，x ，若2x ∈A ，求实数的值．x 【解】∵2x ∈A ，∴2x 是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若2x ＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合互异性，舍去；②若2x ＝1，则x ＝±1.当x ＝1时，此时集合A 中有两个元素1，舍去；当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合题意；③若 2x ＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知，x ＝－1.【方法技巧总结】1、元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．2、元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．【易错题】【典例】若集合A 中有三个元素x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x 2＋x ，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________． 【解析】∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2.解得x ＝±1.经检验，x ＝1不适合集合元素的互异性，而x ＝－1适合． ∴x ＝－1. [答案] －1 【易错点】1．上面例题易由方程组求得x ＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论．2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性． 【易错点训练】若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． 解析：①若a －3＝－3，则a ＝0， 此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意．②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性． ③若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意； 当a ＝－1时，由②知不合题意． 综上可知a ＝0或a ＝1. 答案：0或1三、元素与集合的关系 【知识梳理】1、如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A .2、如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . 【要点讲解】(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的 3．常用的数集及其记法 （1）数集及其记法（2【知识精讲】题型1判定元素与集合的关系例3 (1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A(2)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4【解析】(1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．【答案】(1)C (2)B【变式训练】1 给出下列关系：①12∈R；②2∉Q；③|－3|∉N；④|－3|∈Q；⑤0∉N，其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】 B【解析】12是实数，①对；2不是有理数，②对；|－3|＝3是自然数，③错；|－3|＝3是无理数，④错； 0是自然数，⑤错．故选B.2 用符号 “∈”或“∉”填空． －2________R ；－3________Q ； －1________N ；π________Z. 【答案】 ∈ ∈ ∉ ∉ 3给出下列说法：①R 中最小的元素是0； ②若a ∈Z ，则－a ∉Z ； ③若a ∈Q ，b ∈N *，则a ＋b ∈Q. 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】选B 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a ∈Z ，则－a 也是整数，故－a ∈Z ，所以②也不正确；只有③正确. 【方法技巧总结】判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．题型2 根据已知的元素与集合的关系推理 例3 集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 【答案】 0,1,2【解析】∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N.当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N.∴A 中元素为0,1,2.【变式训练】1 已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则( )A．a>－4 B．a≤－2C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2【答案】 D【解析】∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4<a≤－2.【方法技巧总结】判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．(2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．【课堂小测】1．下列选项中能构成集合的是( )A．高一年级跑得快的同学B．中国的大河C．3的倍数D．有趣的书籍【解析】选C 根据集合的定义，选项A，B，D都不具备确定性．2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形【解析】选A 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．有下列说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．【解析】因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．【答案】②④4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.【解析】代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4.【答案】2或45．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．【解】因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．综上知x＝1，y＝0.【课后作业】一、选择题1．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A【答案】 C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则( )A．0∈A B．a＝AC．a∈A D．a∉A【答案】 C解析∵A中只有一个元素a且a≠0，∴0∉A，选项A错．∵a为元素，A为集合，故B错误．由已知选C.3．下列结论中，不正确的是( )A ．若a ∈N ，则－a ∉NB ．若a ∈Z ，则a 2∈ZC ．若a ∈Q ，则|a |∈QD ．若a ∈R ，则3a ∈R 【答案】 A解析 A 不对．反例：0∈N ，－0∈N.4．已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( ) A ．0∉MB ．1∈MC ．－2∉MD ．2∈M 【答案】 D【解析】①当x ，y 为正数时，代数式x |x |＋y |y |的值为2；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋y|y |的值为0；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y |y |的值为－2， 所以集合M 中的元素共有3个：－2,0,2，故选D.5．已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 【答案】 D【解析】由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等．6．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A 【答案】C【解析】令3k －1＝－1，解得k ＝0∈Z ，∴－1∈A ；令3k －1＝－11，解得k ＝－103∉Z ，∴－11∉A ； ∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A ；令3k －1＝－34，解得k ＝－11∈Z ，∴－34∈A .7．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素【答案】 A【解析】 由于|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，并且x ，－x ，|x |之中总有两个相等，所以最多含2个元素．8．由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2＋3，则( )A ．a ∈AB ．a 2∈A C.1a∉A D ．a ＋1∉A 【答案】 A【解析】a ＝2＋3<4＋4＝4<5，∴a ∈A .a ＋1<4＋4＋1＝5，∴a ＋1∈A .a 2＝(2)2＋22·3＋(3)2＝5＋26>5.∴a 2∉A .1a ＝12＋3＝3－2(2＋3)(3－2)＝3－2<5. ∴1a∈A . 故选A.二、填空题9．下列所给关系正确的个数是________．①π∈R ；②3D ∈/Q ；③0∈N *；④|－4|D ∈/N *.【答案】 2【解析】∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.10．如果有一集合含有三个元素：1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．【答案】 x ≠0,1,2，1±52【解析】由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52. 11．已知a ，b ∈R ，集合A 中含有a ，ba ，1三个元素，集合B 中含有a 2，a ＋b,0三个元素，若A ＝B ，则a＋b ＝____.【答案】 －1【解析】∵A ＝B,0∈B ，∴0∈A .又a ≠0，∴b a ＝0，则b ＝0.∴B ＝{a ，a 2,0}．∵1∈B ，a ≠1，∴a 2＝1，a ＝－1或1(舍)．由元素的互异性知，a ＝－1，∴a ＋b ＝－1.三、解答题12．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a 的值．解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足题意． ∴实数a 的值为－32. 13．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．若2∈A ，试求出A 中其他所有元素； 解：(1)2∈A ，则11－2∈A ， 即－1∈A ，则11＋1∈A ，即12∈A ，则11－12∈A ， 即2∈A ，所以A 中其他所有元素为－1，12. 证明如下：1（）若a ∈A ，a ≠1，则有11－a ∈A 且11－a≠1， 所以又有11－11－a＝a －1a ∈A 且a －1a ≠1， 进而有11－a －1a ＝a ∈A .又因为a ≠11－a (因为若a ＝11－a，则a 2－a ＋1＝0，而方程a 2－a ＋1＝0无解)，故11－a ≠a －1a，所以A 中只能有3个元素， 它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1. 四、探究与拓展14．已知集合A 中有3个元素a ，b ，c ，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．【答案】 1,2【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2， ∴集合A ＝{0,1,2}，则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}． 15．已知集合A 中的元素x 均满足x ＝m 2－n 2(m ，n ∈Z)，求证：(1)3∈A ；(2)偶数4k －2(k ∈Z)不属于集合A .证明 (1)令m ＝2∈Z ，n ＝1∈Z ，得x ＝m 2－n 2＝4－1＝3，所以3∈A .(2)假设4k －2∈A ，则存在m ，n ∈Z ，使4k －2＝m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )成立．①当m ，n 同奇或同偶时，m ＋n ，m －n 均为偶数，所以(m ＋n )(m －n )为4的倍数与4k －2不是4的倍数矛盾．②当m ，n 一奇一偶时，m ＋n ，m －n 均为奇数，所以(m ＋n )(m －n )为奇数，与4k －2是偶数矛盾．所以假设不成立．综上，4k －2∉A .。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识汇总大全(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识汇总大全单选题1、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.2、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.3、设集合A={x|−2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A∩B=（）A．{2}B．{2,3}C．{3,4}D．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .4、以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{1,2}；③∅∈{0}；④{0,1,2}={2,0,1}；⑤0∈∅；正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.对于①：是集合与集合的关系，应该是{0}⊆{0,1,2}，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，∅⊆{1,2}，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，∅⊆{0}，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{0,1,2}={2,0,1}，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B．5、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.6、集合A={x|x<−1或x≥1}，B={x|ax+2≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−2,2]B．[−2,2)C．(−∞,−2)∪[2,+∞)D．[−2,0)∪(0,2)答案：B分析：分B=∅与B≠∅两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+2≤0无解，此时a=0，满足题意.②当B≠∅时，即ax+2≤0有解，当a>0时，可得x≤−2a，要使B⊆A，则需要{a>0−2a<−1，解得0<a<2.当a<0时，可得x≥−2a ，要使B⊆A，则需要{a<0−2a≥1，解得−2≤a<0，综上，实数a的取值范围是[−2,2).故选：B.7、在下列命题中，是真命题的是（）A．∃x∈R,x2+x+3=0B．∀x∈R,x2+x+2>0C．∀x∈R,x2>|x|D．已知A={a∣a=2n},B={b∣b=3m}，则对于任意的n,m∈N∗，都有A∩B=∅答案：B分析：可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/选项A，∃x∈R,x2+x+3=0，即x2+x+3=0有实数解，所以Δ=1−12=−11＜0，显然此方程无实数解，故排除；选项B，∀x∈R,x2+x+2>0，x2+x+2=（x+12）2+74≥74＞0，故该选项正确；选项C，∀x∈R,x2>|x|，而当x=0时,0>0，不成立，故该选项错误，排除；选项D，A={a∣a=2n},B={b∣b=3m}，当n,m∈N∗时，当a、b取得6的正整数倍时，A∩B≠∅，所以，该选项错误，排除.故选：B.8、设集合A={2,a2−a+2,1−a}，若4∈A，则a的值为（）．A．−1，2B．−3C．−1，−3，2D．−3，2答案：D分析：由集合中元素确定性得到：a=−1，a=2或a=−3，通过检验，排除掉a=−1.由集合中元素的确定性知a2−a+2=4或1−a=4．当a2−a+2=4时，a=−1或a=2；当1−a=4时，a=−3．当a=−1时，A={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a=−1舍去；当a=2时，A={2,4,−1}满足集合中元素的互异性，故a=2满足要求；当a =−3时，A ={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a =−3满足要求．综上，a =2或a =−3．故选：D ．多选题9、已知集合A ={x ∣1<x <2}，B ={x ∣2a −3<x <a −2}，下列命题正确的是A ．不存在实数a 使得A =B B ．存在实数a 使得A ⊆BC ．当a =4时，A ⊆BD ．当0⩽a ⩽4时，B ⊆AE ．存在实数a 使得B ⊆A答案：AE分析：利用集合相等判断A 选项错误，由A ⊆B 建立不等式组，根据是否有解判断B 选项；a =4时求出B ，判断是否A ⊆B 可得C 错误，分B 为空集，非空集两种情况讨论可判断D 选项，由D 选项判断过程可知E 选项正确.A 选项由相等集合的概念可得{2a −3=1a −2=2解得a =2且a =4，得此方程组无解， 故不存在实数a 使得集合A=B ，因此A 正确；B 选项由A ⊆B ，得{2a −3≤1a −2≥2即{a ≤2a ≥4，此不等式组无解，因此B 错误； C 选项当a =4时，得B ={x ∣5<x <2}为空集，不满足A ⊆B ，因此C 错误；D 选项当2a −3≥a −2，即a ≥1时，B =∅⊆A ，符合B ⊆A ；当a <1时，要使B ⊆A ，需满足{2a −3≥1a −2≤2解得2≤a ≤4，不满足a <1，故这样的实数a 不存在，则当0≤a ≤4时B ⊆A 不正确，因此D 错误； E 选项由D 选项分析可得存在实数a 使得B ⊆A ，因此E 正确.综上AE 选项正确.故选：AE.小提示：本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.10、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件.现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④¬p 是¬s 的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是 （ ）A．①B．②C．③D．④答案：ABD分析：根据题设有p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，即知否定命题的推出关系，判断各项的正误. 由题意，p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，故①②正确，③错误；所以，根据等价关系知：¬s⇔¬q⇔¬r⇒¬p且¬p⇏¬r，故④正确.故选：ABD11、已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（）A．0∉M B．2∈M C．−4∈M D．4∈M答案：CD分析：讨论x,y,z的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项.当x,y,z均为负数时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=−4；当x,y,z两负一正时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0；当x,y,z两正一负时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=0；当x,y,z均为正数时，x|x|+y|y|+z|z|+|xyz|xyz=4；∴M={−4,0,4}，A、B错误，C、D正确.故选：CD12、已知集合A={y|y=x2+1}，集合B={(x,y)|y=x2+1}，下列关系正确的是（）．A．(1,2)∈B B．A=B C．0∉A D．(0,0)∉B答案：ACD分析：根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．由已知集合A={y}y≥1}=[1,+∞)，集合B是由抛物线y=x2+1上的点组成的集合，A正确，B错，C正确，D正确，故选：ACD．小提示：本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．13、对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（）A．a=b是ac=bc的充要条件B．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．a>b是a2>b2的充要条件D．a<5是a<3的必要条件答案：BD分析：利用充分条件和必要条件的定义进行判断解：∵“a=b”⇒“ac=bc”为真命题，但当c=0时，“ac=bc”⇒“a=b”为假命题，故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故A为假命题；∵“a+5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a+5是无理数”也为真命题，故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；∵“a>b”⇒“a2>b2”为假命题，“a2>b2”⇒“a>b”也为假命题，故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；∵{a|a<3}{a|a<5}，故“a<5”是“a<3”的必要不充分条件，故D为真命题.故选：BD.填空题14、已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．答案：a<－4或a>2分析：按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a的取值范围.①当a>3即2a>a＋3时，A＝∅，满足A⊆B；.②当a≤3即2a≤a＋3时，若A⊆B，则有{2a≤a+3a+3〈−1或2a〉4，解得a<－4或2<a≤3综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2.所以答案是：a<－4或a>215、命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的否定是__________．答案：∀x∈R，x＜1根据含有量词的命题的否定，即可得到命题的否定分析：特称命题的否定是全称命题，∴命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的等价条件为：“∃x∈R，x≥1”，∴命题的否定是：∀x∈R，x＜1．所以答案是：∀x∈R，x＜1．16、用符号∈或∉填空：3.1___N，3.1___Z， 3.1____N∗，3.1____Q，3.1___R.答案：∉∉∉∈∈分析：由元素与集合的关系求解即可因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N∗；3.1∈Q；3.1∈R.所以答案是：∉，∉，∉，∈，∈.解答题17、已知m>0,p:(x+1)(x−5)≤0,q:1−m≤x≤1+m.（1）若m=5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.答案：（1）{x|−4≤x<−1或5<x≤6}；（2）[4,+∞).分析：（1）由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，可得p与q一真一假，然后分p真q假，p假q真，求解即可；（2）由p是q的充分条件，可得[−1,5]⊆[1−m,1+m]，则有{m>01−m≤−11+m≥5，从而可求出实数m的取值范围（1）当m=5时，q:−4≤x≤6，因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，故p与q一真一假，若p真q假，则{−1≤x≤5x<−4或x>6，该不等式组无解；若p假q真，则{x<−1或x>5−4≤x≤6，得−4≤x<−1或5<x≤6，综上所述，实数的取值范围为{x|−4≤x<−1或5<x≤6}；（2）因为p是q的充分条件，故[−1,5]⊆[1−m,1+m]，故{m>01−m≤−11+m≥5，得m≥4，故实数m的取值范围为[4,+∞).18、已知集合A={x|2<x<4}，B={x|a<x<3a}.(1)若A∩B={x|3<x<4}，求实数a的值；(2)若A∩B=∅，求实数a的取值范围.答案：(1)3(2){a|a≤23或a≥4}分析：（1）根据交集结果直接判断即可.（2）按B=∅，B≠∅讨论，简单计算即可得到结果. （1）因为A∩B={x|3<x<4}，所以a=3.（2）因为A∩B=∅，所以可分两种情况讨论：B=∅，B≠∅. 当B=∅时，有a≥3a，解得a≤0；当B≠∅时，有{a>0a≥4或3a≤2，解得a≥4或0<a≤23.综上，实数a的取值范围是{a|a≤23或a≥4}.。
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语必练题总结(带答案)
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语必练题总结单选题1、已知集合A={−1,0,1}，B={a+b|a∈A,b∈A}，则集合B=（）A．{−1,1}B．{−1,0,1}C．{−2,−1,1,2}D．{−2,−1,0,1,2}答案：D分析：根据A={−1,0,1}求解B={a+b|a∈A,b∈A}即可由题，当a∈A,b∈A时a+b最小为(−1)+(−1)=−2，最大为1+1=2，且可得(−1)+0=−1,0+0=0,0+1=1，故集合B={−2,−1,0,1,2}故选：D2、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：A．5B．10C．15D．20答案：C分析：用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x=y+5，因为y max=10，所以x max=10+5=15．故选：C．小提示：关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合A,B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．3、已知p:0<x<2，q:−1<x<3，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分不必要条件答案：A分析：根据充分和必要条件的定义即可求解.由p:0<x<2，可得出q:−1<x<3，由q:−1<x<3，得不出p:0<x<2，所以p是q的充分而不必要条件，故选：A.4、命题“∀x<0,x2+ax−1≥0”的否定是（）A．∃x≥0,x2+ax−1<0B．∃x≥0,x2+ax−1≥0C．∃x<0,x2+ax−1<0D．∃x<0,x2+ax−1≥0答案：C分析：根据全称命题的否定是特称命题判断即可.根据全称命题的否定是特称命题，所以“∀x<0,x2+ax−1≥0”的否定是“∃x<0,x2+ax−1<0”.故选：C5、命题“∃x>1，x2≥1”的否定是（）A．∃x≤1，x2≥1B．∃x≤1，x2<1C．∀x≤1，x2≥1D．∀x>1，x2<1答案：D分析：根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.命题“∃x>1，x2≥1”的否定是“∀x>1，x2<1”，故选：D.6、集合M={2,4,6,8,10},N={x|−1<x<6}，则M∩N=（）A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{2,4,6,8,10}答案：A分析：根据集合的交集运算即可解出．因为M={2,4,6,8,10}，N={x|−1<x<6}，所以M∩N={2,4}．故选：A.7、已知p：√x−1>2，q：m−x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．m<3B．m>3C．m<5D．m>5答案：C分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.命题p：因为√x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，命题q：x>m，因为p是q的充分不必要条件，所以m<5.故选：C8、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.多选题9、(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（）A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}答案：ABD分析：选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，解出集合M和P.选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=[1,+∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=[1,+∞)，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．10、已知全集U=Z，集合A={x|2x+1≥0,x∈Z}，B={−1,0,1,2}，则（）A．A∩B={0,1,2}B．A∪B={x|x≥0}C．(∁U A)∩B={−1}D．A∩B的真子集个数是7答案：ACD分析：求出集合A，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.A={x|2x+1≥0,x∈Z}={x|x≥−1,x∈Z}，B={−1,0,1,2}，2A∩B={0,1,2}，故A正确；A∪B={x|x≥−1,x∈Z}，故B错误；,x∈Z}，所以(∁U A)∩B={−1}，故C正确；∁U A={x|x<−12由A∩B={0,1,2}，则A∩B的真子集个数是23−1=7，故D正确.故选：ACD11、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x=26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12= 16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．填空题12、请写出不等式a>b的一个充分不必要条件___________．答案：a>b+1 (答案不唯一)分析：根据充分不必要条件，找到一个能推出a>b，但是a>b推不出来的条件即可.因为a>b+1能推出a>b，但是a>b不能推出a>b+1，所以a>b+1是不等式a>b的一个充分不必要条件，所以答案是：a>b+1（答案不唯一）13、已知集合A={x|−2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是____________．答案：(−∞,4]分析：分情况讨论：当B=∅或B≠∅，根据集合的包含关系即可求解.当B=∅时，有m+1≥2m−1，则m≤2；当B≠∅时，若B⊆A，如图，则{m+1≥−2, 2m−1≤7,m+1<2m−1,解得2<m≤4．综上，m的取值范围为(−∞,4]．所以答案是：(−∞,4]14、已知集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，则A∩B=______．答案：(2,3)分析：利用交集定义直接求解．解：∵集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，∴A∩B=(2,3)．所以答案是：(2,3)．解答题15、已知集合A={x|−1≤x≤2},B={y|y=ax+3,x∈A}，C={y|y=2x+3a,x∈A}，（1）若∀y 1∈B ，∀y 2∈C ，总有y 1≤y 2成立，求实数a 的取值范围；（2）若∀y 1∈B ，∃y 2∈C ，使得y 1≤y 2成立，求实数a 的取值范围； 答案：（1）a ≥5；（2）a ≥−14. 分析：（1）设y 1=ax +3，y 2=2x +3a ，由题设可得y 1max ≤y 2min ，建立不等式组，解之可得答案. （2）由题设可得y 1max ≤y 2max ，建立不等式组，解之可得答案.（1）设y 1=ax +3，y 2=2x +3a ，其中−1≤x ≤2， 由题设可得y 1max ≤y 2min ，即y 1max ≤3a −2，故{−a +3≤−2+3a 2a +3≤−2+3a ， 解得a ≥5.（2）由题设可得y 1max ≤y 2max ，故{−a +3≤4+3a 2a +3≤4+3a ，解得a ≥−14.。
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点汇总(带答案)
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点汇总单选题1、设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（）A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}答案：D分析：利用并集的定义可得正确的选项.A∪B={1,2,4,6}，故选：D.2、已知集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}，则M∪N=（）A．{x|x=6k+2,k∈Z}B．{x|x=4k+2,k∈Z}C．{x|x=2k+1,k∈Z}D．∅答案：C分析：通过对集合N的化简即可判定出集合关系，得到结果.因为集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}={y|y=2(2k+1)+1,k∈Z}，因为x∈N时，x∈M成立，所以M∪N={x|x=2k+1,k∈Z}.故选：C.3、已知集合S={x∈N|x≤√5}，T={x∈R|x2=a2}，且S∩T={1}，则S∪T=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{-1，0，1，2}D．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先根据题意求出集合T，然后根据并集的概念即可求出结果.S={x∈N|x≤√5}={0,1,2}，而S∩T={1}，所以1∈T，则a2=1，所以T={x∈R|x2=a2}={−1,1}，则S∪T={−1,0,1,2}故选：C.4、已知p：√x−1>2，q：m−x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．m<3B．m>3C．m<5D．m>5答案：C分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.命题p：因为√x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，命题q：x>m，因为p是q的充分不必要条件，所以m<5.故选：C5、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.6、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．7、等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B分析：当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{S n}是递增数列时，必有a n>0成立即可说明q> 0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．由题，当数列为−2,−4,−8,⋯时，满足q>0，但是{S n}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{S n}是递增数列，则必有a n>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4答案：B分析：由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，}.求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2=1，解得：a=−2.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.多选题9、下列条件中，为“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有（）A．0≤m<4B．0<m<2C．1<m<4D．−1<m<6答案：BC分析：对m讨论：m=0；m>0，Δ<0；m<0，结合二次函数的图象，解不等式可得m的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.因为关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，当m=0时，原不等式即为1>0恒成立；当m>0时，不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，可得Δ<0，即m2−4m<0，解得：0<m<4.当m<0时，y=mx2−mx+1的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m的取值范围为：[0,4).所以“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有0<m<2或1<m<4.故选：BC.10、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x=26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12= 16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．11、对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作M−N，即M−N={x|x∈M，且x∉N}；把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作MΔN，即MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}.下列四个选项中，正确的有（）A．若M−N=M，则M∩N=∅B．若M−N=∅，则M=NC．MΔN=(M∪N)−(M∩N)D．MΔN=(M−N)∪(N−M)答案：ACD分析：根据集合的新定义得到A正确，当M⊆N时，M−N=∅，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案.若M−N=M，则M∩N=∅，A正确；当M⊆N时，M−N=∅，B错误；MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}=(M∪N)−(M∩N)，C正确；MΔN和(M−N)∪(N−M)均表示集合中阴影部分，D正确.故选：ACD.填空题12、已知集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，则A∩B=______．答案：(2,3)分析：利用交集定义直接求解．解：∵集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，∴A∩B=(2,3)．所以答案是：(2,3)．13、已知集合A={−1,3,0},B={3,m2}，若B⊆A，则实数m的值为__________.答案：0分析：解方程m2=0即得解.解：因为B⊆A，所以m2=−1（舍去）或m2=0，所以m=0.所以答案是：014、集合A={x|(x−1)(x2+ax+4)=0,x∈R}中所有元素之和为3，则实数a=________．答案：−4分析：由(x−1)(x2+ax+4)=0得x1+x2+x3=1−a，即可求解参数．由(x−1)(x2+ax+4)=0得x−1=0或x2+ax+4=0所以x1=1∈A，x2+ax+4=0，当Δ=a2−16=0时，x=2是方程x2+ax+4=0的根，解得a=−4，当Δ>0时，若方程x2+ax+4=0的一根为1，则a=−5，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程x2+ax+4=0的根，则方程两根x2+x3=−a=2，此时a=−2不满足Δ>0，舍去. 所以答案是：−4．解答题15、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。
新高中数学必修一第一册第一章 讲义 集合与常用逻辑用语--第1讲集合的概念与性质(含答案)
第一章 集合与常用逻辑用语第一讲：集合的概念知识点梳理讲解：一、集合的概念 【知识梳理】1、元素与集合的概念【要点讲解】 准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. 【知识精讲】例1 (1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点A 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合；②由1，32，64，21 ，12组成的集合有五个元素；③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．【解】(1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合．②不正确．由于32＝64，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝12，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，32，12这三个元素组成的． ③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合．【变式训练】1、下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有素数C ．平面直角坐标系内第一象限的一些点D ．所有小的正数 【答案】 B【解析】A 中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D 中没有明确的标准，所以不能构成集合．2 考察下列每组对象能否构成一个集合． (1)不超过20的非负数；(2)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4)3的近似值的全体．【解】(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合； (2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合； (4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．3、判断下列每组对象能否构成一个集合．(1)著名的数学家；(2)某校2020年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．【解】(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.【方法技巧总结】判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．二、元素的特性及集合相等【知识梳理】1．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．【要点讲解】(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.【知识精讲】例1、已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求实数x的值；(3)是否存在实数a，x，使A＝B.【解】(1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，当a －3＝－3时，a ＝0；当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或－1.(2)当x ＝0,1，－1时，都有x 2∈B ，但考虑到集合元素的互异性，x ≠0，x ≠1，故x ＝－1. (3)显然a 2＋1≠0.由集合元素的无序性， 只可能a －3＝0或2a －1＝0. 若a －3＝0，则a ＝3，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝{0,5,10}≠B . 若2a －1＝0，则a ＝12，A ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧-45,25,0≠B . 故不存在这样的实数a ，x ，使A ＝B .例2、 已知集合A 中含有两个元素a 和2a ，若1∈A ，求实数a 的值． 【解】若1∈A ，则a ＝1或2a ＝1，即a ＝±1.当a ＝1时，a ＝2a ，集合A 中有一个元素，∴a ≠1. 当a ＝－1时，集合A 中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a ＝－1.【变式训练】1、已知集合M 中含有三个元素：2，a ，b ，集合N 中含有三个元素：2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值． 【解】方法一： 根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相等，则其中的对应元素相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2，即错误!∵集合中的元素互异， ∴a ，b 不能同时为零．当b ≠0时，由②得a ＝0或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1或b ＝0(舍去)． 当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.2、已知集合A 中含有三个元素1,0，x ，若2x ∈A ，求实数的值．x 【解】∵2x ∈A ，∴2x 是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若2x ＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合互异性，舍去；②若2x ＝1，则x ＝±1.当x ＝1时，此时集合A 中有两个元素1，舍去；当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合题意；③若 2x ＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知，x ＝－1.【方法技巧总结】1、元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．2、元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．【易错题】【典例】若集合A 中有三个元素x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x 2＋x ，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________． 【解析】∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2.解得x ＝±1.经检验，x ＝1不适合集合元素的互异性，而x ＝－1适合． ∴x ＝－1. [答案] －1 【易错点】1．上面例题易由方程组求得x ＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论．2．当集合中元素含字母并要求对其求值时，求出的值一定要加以检验，看是否符合集合元素的互异性． 【易错点训练】若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． 解析：①若a －3＝－3，则a ＝0， 此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意．②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性． ③若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意； 当a ＝－1时，由②知不合题意． 综上可知a ＝0或a ＝1. 答案：0或1三、元素与集合的关系 【知识梳理】1、如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A .2、如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . 【要点讲解】(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的 3．常用的数集及其记法 （1）数集及其记法（2【知识精讲】题型1判定元素与集合的关系例3 (1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A(2)下列所给关系正确的个数是( )①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4【解析】(1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．【答案】(1)C (2)B【变式训练】1 给出下列关系：①12∈R；②2∉Q；③|－3|∉N；④|－3|∈Q；⑤0∉N，其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】 B【解析】12是实数，①对；2不是有理数，②对；|－3|＝3是自然数，③错；|－3|＝3是无理数，④错； 0是自然数，⑤错．故选B.2 用符号 “∈”或“∉”填空． －2________R ；－3________Q ； －1________N ；π________Z. 【答案】 ∈ ∈ ∉ ∉ 3给出下列说法：①R 中最小的元素是0； ②若a ∈Z ，则－a ∉Z ； ③若a ∈Q ，b ∈N *，则a ＋b ∈Q. 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】选B 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a ∈Z ，则－a 也是整数，故－a ∈Z ，所以②也不正确；只有③正确. 【方法技巧总结】判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．题型2 根据已知的元素与集合的关系推理 例3 集合A 中的元素x 满足63－x∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________． 【答案】 0,1,2【解析】∵x ∈N ，63－x ∈N ，∴0≤x ≤2且x ∈N.当x ＝0时，63－x ＝63＝2∈N ；当x ＝1时，63－x ＝63－1＝3∈N ；当x ＝2时，63－x ＝63－2＝6∈N.∴A 中元素为0,1,2.【变式训练】1 已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则( )A．a>－4 B．a≤－2C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2【答案】 D【解析】∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4<a≤－2.【方法技巧总结】判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．(2)推理法①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．【课堂小测】1．下列选项中能构成集合的是( )A．高一年级跑得快的同学B．中国的大河C．3的倍数D．有趣的书籍【解析】选C 根据集合的定义，选项A，B，D都不具备确定性．2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形【解析】选A 由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．有下列说法：①集合N与集合N*是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．【解析】因为集合N*表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．【答案】②④4．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.【解析】代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0∉A，不符合题意，舍去．所以a＝2或a＝4.【答案】2或45．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．【解】因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．综上知x＝1，y＝0.【课后作业】一、选择题1．已知集合A由x<1的数构成，则有( )A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A【答案】 C解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则( )A．0∈A B．a＝AC．a∈A D．a∉A【答案】 C解析∵A中只有一个元素a且a≠0，∴0∉A，选项A错．∵a为元素，A为集合，故B错误．由已知选C.3．下列结论中，不正确的是( )A ．若a ∈N ，则－a ∉NB ．若a ∈Z ，则a 2∈ZC ．若a ∈Q ，则|a |∈QD ．若a ∈R ，则3a ∈R 【答案】 A解析 A 不对．反例：0∈N ，－0∈N.4．已知x ，y 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( ) A ．0∉MB ．1∈MC ．－2∉MD ．2∈M 【答案】 D【解析】①当x ，y 为正数时，代数式x |x |＋y |y |的值为2；②当x ，y 为一正一负时，代数式x |x |＋y|y |的值为0；③当x ，y 均为负数时，代数式x |x |＋y |y |的值为－2， 所以集合M 中的元素共有3个：－2,0,2，故选D.5．已知集合S 中三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 【答案】 D【解析】由元素的互异性知a ，b ，c 均不相等．6．已知A 中元素满足x ＝3k －1，k ∈Z ，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A 【答案】C【解析】令3k －1＝－1，解得k ＝0∈Z ，∴－1∈A ；令3k －1＝－11，解得k ＝－103∉Z ，∴－11∉A ； ∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A ；令3k －1＝－34，解得k ＝－11∈Z ，∴－34∈A .7．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含( )A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素【答案】 A【解析】 由于|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，并且x ，－x ，|x |之中总有两个相等，所以最多含2个元素．8．由不超过5的实数组成集合A ，a ＝2＋3，则( )A ．a ∈AB ．a 2∈A C.1a∉A D ．a ＋1∉A 【答案】 A【解析】a ＝2＋3<4＋4＝4<5，∴a ∈A .a ＋1<4＋4＋1＝5，∴a ＋1∈A .a 2＝(2)2＋22·3＋(3)2＝5＋26>5.∴a 2∉A .1a ＝12＋3＝3－2(2＋3)(3－2)＝3－2<5. ∴1a∈A . 故选A.二、填空题9．下列所给关系正确的个数是________．①π∈R ；②3D ∈/Q ；③0∈N *；④|－4|D ∈/N *.【答案】 2【解析】∵π是实数，3是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.10．如果有一集合含有三个元素：1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________．【答案】 x ≠0,1,2，1±52【解析】由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52. 11．已知a ，b ∈R ，集合A 中含有a ，ba ，1三个元素，集合B 中含有a 2，a ＋b,0三个元素，若A ＝B ，则a＋b ＝____.【答案】 －1【解析】∵A ＝B,0∈B ，∴0∈A .又a ≠0，∴b a ＝0，则b ＝0.∴B ＝{a ，a 2,0}．∵1∈B ，a ≠1，∴a 2＝1，a ＝－1或1(舍)．由元素的互异性知，a ＝－1，∴a ＋b ＝－1.三、解答题12．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求实数a 的值．解：由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足题意． ∴实数a 的值为－32. 13．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．若2∈A ，试求出A 中其他所有元素； 解：(1)2∈A ，则11－2∈A ， 即－1∈A ，则11＋1∈A ，即12∈A ，则11－12∈A ， 即2∈A ，所以A 中其他所有元素为－1，12. 证明如下：1（）若a ∈A ，a ≠1，则有11－a ∈A 且11－a≠1， 所以又有11－11－a＝a －1a ∈A 且a －1a ≠1， 进而有11－a －1a ＝a ∈A .又因为a ≠11－a (因为若a ＝11－a，则a 2－a ＋1＝0，而方程a 2－a ＋1＝0无解)，故11－a ≠a －1a，所以A 中只能有3个元素， 它们分别是a ，11－a ，a －1a ，且三个数的乘积为－1. 四、探究与拓展14．已知集合A 中有3个元素a ，b ，c ，其中任意2个不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合中的元素是________．【答案】 1,2【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，b ＋c ＝2，c ＋a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝2， ∴集合A ＝{0,1,2}，则集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 中的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}． 15．已知集合A 中的元素x 均满足x ＝m 2－n 2(m ，n ∈Z)，求证：(1)3∈A ；(2)偶数4k －2(k ∈Z)不属于集合A .证明 (1)令m ＝2∈Z ，n ＝1∈Z ，得x ＝m 2－n 2＝4－1＝3，所以3∈A .(2)假设4k －2∈A ，则存在m ，n ∈Z ，使4k －2＝m 2－n 2＝(m ＋n )(m －n )成立．①当m ，n 同奇或同偶时，m ＋n ，m －n 均为偶数，所以(m ＋n )(m －n )为4的倍数与4k －2不是4的倍数矛盾．②当m ，n 一奇一偶时，m ＋n ，m －n 均为奇数，所以(m ＋n )(m －n )为奇数，与4k －2是偶数矛盾．所以假设不成立．综上，4k －2∉A .。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细单选题1、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.2、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.3、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.4、已知集合M={x|1−a<x<2a}，N=(1,4)，且M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,2]B．(−∞,0]C．(−∞,13]D．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C5、已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =（ ）A ．{x|1<x ≤2}B ．{x|2<x <3}C ．{x|3≤x <4}D ．{x|1<x <4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P ∩Q =(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6、已知集合S ={x ∈N|x ≤√5}，T ={x ∈R|x 2=a 2}，且S ∩T ={1}，则S ∪T =（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先 根据题意求出集合T ，然后根据并集的概念即可求出结果.S ={x ∈N|x ≤√5}={0,1,2}，而S ∩T ={1}，所以1∈T ，则a 2=1，所以T ={x ∈R|x 2=a 2}={−1,1}，则S ∪T ={−1,0,1,2}故选：C.7、设集合A ={x |−2<x <4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =（ ）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.多选题9、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.10、已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤7}，B ={x|m +1≤x ≤2m −1}，则使A ⊆∁U B 成立的实数m 的取值范围可以是（ ）A ．{m|6<m ≤10}B ．{m|−2<m <2}C ．{m|−2<m <−12}D ．{m|5<m ≤8}答案：ABC分析：讨论B =∅和B ≠∅时，计算∁U B ，根据A ⊆∁U B 列不等式，解不等式求得m 的取值范围，再结合选项即可得正确选项.当B =∅时，m +1>2m −1，即m <2，此时∁U B =R ，符合题意，当B ≠∅时，m +1≤2m −1，即m ≥2，由B ={x|m +1≤x ≤2m −1}可得∁U B ={x|x <m +1或x >2m −1}，因为A ⊆∁U B ，所以m +1>7或2m −1<−2，可得m >6或m <−12， 因为m ≥2，所以m >6，所以实数m 的取值范围为m <2或m >6，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1 答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ）A ．函数F (x )是偶函数B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD[0,1]13、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3答案：BD分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，A.由(−4,4)⊂≠(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B.由(−3,3)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.填空题14、已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数______答案：8分析：按x、y、z的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.因为集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，当x、y、z都是正数时，m=4，当x、y、z都是负数时，m=-4，当x、y、z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当x、y、z中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.所以答案是：815、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．答案：4分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，所以P+Q共有4个元素.所以答案是：416、已知全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，若A={1,2,3}，B={−1,0,1}，则∁U(A⊙B)______．答案：{x∈Z||x|≥4}分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，A={1,2,3}，B={−1,0,1}所以A⊙B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U(A⊙B)={x||x|≥4,x∈Z}.所以答案是：{x||x|≥4,x∈Z}解答题17、已知集合A={x|(x−a)(x+a+1)≤0}，B={x|x≤3或x≥6}.（1）当a=4时，求A∪B；（2）当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.答案：（1）A∪B={x|x≤4或x≥6}；（2）(0,3].解析：（1）当a=4时，解出集合A，计算A∪B；（2）由集合法判断充要条件，转化为A⊆B，进行计算.解：（1）当a=4时，由不等式(x−4)(x+5)≤0，得−5≤x≤4，故A={x|−5≤x≤4}，又B={x|x≤3或x≥6}，所以A∪B={x|x≤4或x≥6}.（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B，因为a>0，由不等式(x−a)(x+a+1)≤0，得A={x|−a−1≤x≤a}，又B={x|x≤3或x≥6}，要使A⊆B，则a≤3或−a−1≥6，综合可得a的取值范围为(0,3].小提示：名师点评有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．18、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点归纳总结(精华版)(带答案)
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点归纳总结(精华版)单选题1、下列说法正确的是（）A．由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}B．∅与{0}是同一个集合C．集合{x|y=x2−1}与集合{y|y=x2−1}是同一个集合D．集合{x|x2+5x+6=0}与集合{x2+5x+6=0}是同一个集合答案：A分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案集合中的元素具有无序性，故A正确；∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素0的集合，故B错误；集合{x|y=x2−1}=R，集合{y|y=x2−1}={y|y≥−1}，故C错误；集合{x|x2+5x+6=0}={x|(x+2)(x+3)=0}中有两个元素−2,−3，集合{x2+5x+6=0}中只有一个元素，为方程x2+5x+6=0，故D错误.故选：A.2、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.3、设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.①若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P （A ）＋P （B ）＝1；②投掷一枚硬币3次，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不一定是对立事件，如：事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P （A ）＝78，P （B ）＝18，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不是对立事件. 所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A小提示：本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对立事件的理解，属于基础题.4、已知命题p:∃x ∈(−1,3)，x 2−a −2≤0.若p 为假命题，则a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−2)B ．(−∞,−1)C ．(−∞,7)D ．(−∞,0)答案：A解析：由题可得命题p 的否定为真命题，即可由此求解.∵ p 为假命题，∴ ¬p:∀x ∈(−1,3)，x 2−a −2>0为真命题，故a <x 2−2恒成立，∵ y =x 2−2在x ∈(−1,3)的最小值为−2，∴a <−2.故选：A.5、若命题“∃x 0∈[−1,2],−x 02+2⩾a ”是假命题，则实数a 的范围是（ ）A ．a >2B ．a ⩾2C ．a >−2D ．a ⩽−2答案：A解析：根据命题的否定为真命题可求.若命题“∃x 0∈[−1,2],−x 02+2⩾a ”是假命题，则命题“∀x ∈[−1,2],−x 2+2<a ”是真命题，当x =0时，(−x 2+2)max =2，所以a >2.6、若不等式|x −1|<a 成立的充分条件为0<x <4，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{a ∣a ≥3}B ．{a ∣a ≥1}C ．{a ∣a ≤3}D ． {a ∣a ≤1}答案：A分析：由已知中不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，令不等式的解集为A ，可得{x |0<x <4 }⊆A ，可以构造关于a 的不等式组，解不等式组即可得到答案.解：∵不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，设不等式的解集为A ，则{x |0<x <4 }⊆A ，当a ≤0时，A =∅，不满足要求；当a >0时，A ={x ∣1−a <x <1+a}，若{x |0<x <4 }⊆A ，则{1−a ⩽01+a ⩾4，解得a ≥3. 故选：A.7、下列命题是假命题的有（ ）A ．若x ∈A ，那么x ∈A ∩B B ．若x ∈A ∩B ，那么x ∈AC ．若x ∈A ∩B ，那么x ∈A ∪BD ．若x ∈A ，那么x ∈A ∪B答案：A分析：由集合与元素的关系和交集并集的定义逐一判断，即可求解对于A ，若x ∈A ，那么x 可能不属于B ，故A 错误；对于B ，若x ∈A ∩B ，则x 是集合A 和B 的公共元素，那么x ∈A ，故B 正确；对于C ，若x ∈A ∩B ，那么x ∈A ∪B ，故C 正确；对于D ，若x ∈A ，那么x ∈A ∪B ，故D 正确．故选：A ．8、已知命题p ：∃x ∃N ，e x <0（e 为自然对数的底数），则命题p 的否定是（ ）A ．∃x ∃N ，e x <0B ．∃x ∃N ，e x >0C ．∃x ∃N ，e x ≥0D ．∃x ∃N ，e x ≥0分析：根据命题的否定的定义判断．特称命题的否定是全称命题．命题p的否定是：∃x∃N，e x≥0．故选：D．多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是（）A．(−∞，−5)B．(−3，−1]C．(3，+∞)D．[0，3]答案：AB解析：根据假命题的否定为真命题可知∀x∈M，x≤3，又∀x∈M，|x|>x，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.∵∃x∈M，x>3为假命题,∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆(−∞,3]，又∀x∈M，|x|>x为真命题，可得M⊆(−∞,0)，所以M⊆(−∞,0)，故选：AB小提示：本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.11、下列说法中不正确的是（）A．0与{0}表示同一个集合B．集合M＝{3, 4}与N＝{(3, 4)}表示同一个集合C．方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1, 1, 2}D．集合{x|4<x<5 }不能用列举法表示答案：ABC分析：根据集合的概念，以及元素与集合的关系，以及元素的特征，逐项判定，即可求解.对于A中，0是一个元素（数），而{0}是一个集合，可得0∈{0}，所以A不正确；对于B中，集合M＝{3， 4}表示数3,4构成的集合，集合N＝{(3， 4)}表示点集，所以B不正确；对于C中，方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}，根据集合元素的互异性，可得方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1， 2}，所以C不正确；对于D中，集合{x|4<x<5}含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.故选：ABC.填空题12、关于x的方程ax2+2x+1=0的实数根中有且只有一个负实数根（含两相等实根）的充要条件为____________.答案：a≤0或a=1分析：根据方程根的情况，讨论a=0和a≠0两种情况，结合一元二次方程根的分布情况，以及充要条件的概念，即可求解.，符合题意.若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负实数根，则当a=0时，x=−12当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实数根，则Δ=4−4a≥0，解得a≤1，当a=1时，方程有且仅有一个负实数根x=−1，当a<1且a≠0时，若方程有且仅有一个负实数根，则1<0，即a<0.a所以当a≤0或a=1时，关于x的方程ax2+2x+1=0的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于x的方程ax2+2x+1=0的实数根中有且仅有一个负实数根”的充要条件为“a≤0或a=1”.所以答案是：a≤0或a=1.13、设非空集合Q⊆M，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q是M的偶子集，若集合M={1,2,3,4,5,6,7}，则其偶子集Q的个数为___________.答案：63分析：对集合Q中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q的个数，综合可得结果.集合Q中只有2个奇数时，则集合Q的可能情况为：{1,3}、{1,5}、{1,7}、{3,5}、{3,7}、{5,7}，共6种，若集合Q中只有4个奇数时，则集合Q={1,3,5,7}，只有一种情况，若集合Q中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q中只含2个偶数，则集合Q可能的情况为{2,4}、{2,6}、{4,6}，共3种情况；若集合Q中只含3个偶数，则集合Q={2,4,6}，只有1种情况.因为Q是M的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q的个数为7；若集合Q中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q中的元素是2个奇数1个偶数，共6×3=18种；若集合Q中的元素为2个奇数2个偶数，共6×3=18种；若集合Q中的元素为2个奇数3个偶数，共6×1=6种；若集合Q中的元素为4个奇数1个偶数，共1×3=3种；若集合Q中的元素为4个奇数2个偶数，共1×3=3种；若集合Q中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q的个数为7+7+18+18+6+3+3+1=63.所以答案是：63.14、写出一个使得命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是假命题的实数a的值__________．（写出一个a的值即可）答案：−1分析：根据题意，假设命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，根据不等式恒成立，分类讨论当a=0和a≠0时两种情况，从而得出实数a的取值范围，再根据补集得出命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”为假命题时a的取值范围，即可得出满足题意的a的值.解：若命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，则当a=0时成立，当a≠0时有{a>0Δ=4a2−12a<0，解得：0<a<3，所以当0≤a<3时，命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，所以当a∈(−∞,0)∪[3,+∞)时，命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”为假命题，所以答案是：−1.（答案不唯一，只需a∈(−∞,0)∪[3,+∞)）解答题15、已知命题p:∀1≤x≤2,x2−a≥0，命题q:∃x∈R,x2+2ax+2a+a2=0.（1）若命题¬p为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）若命题 p 和¬q均为真命题，求实数 a 的取值范围.答案：（1）{a|a>1}；（2）{a|0<a≤1}.分析：（1）写出命题p的否定，由它为真命题求解；（2）由（1）易得命题p为真时a的范围，再由q为真命题时a的范围得出非q为真时a的范围，两者求交集可得．解：(1)根据题意，知当1≤x≤2时，1≤x2≤4.¬p:∃1≤x≤2,x2−a<0，为真命题，∴a>1.∴实数 a 的取值范围是{a|a>1}.(2)由(1)知命题 p 为真命题时，a≤1.命题 q 为真命题时，Δ=4a2−4(2a+a2)≥0，解得a≤0,∴¬q为真命题时，a>0.∴{a≤1a>0，解得0<a≤1，即实数 a 的取值范围为{a|0<a≤1}.。
作业答案-第一单元-集合与常用逻辑用语
数学 (理科 ) RJA课时作业 ( 一)1.D[解析 ] P= [0, ],m= >,故选 D.2.B[解析 ] 由题可知A={-1,0,1,2,3}, 则?A B={-1,2,3} .故选 B.3.D[解析 ] 因为集合M={-4,-3,-2, -1,0,1}, N= {x∈R|x2+3 x<0} ={x|-3 <x<0},所以M∩N={-2,-1} .4.B[解析 ] 由题意得 , 集合N=x <2 = x x<0或 x> ,所以 M N.故选B .5.0 [解析 ] 由A=B且 0 ∈B,得 0∈A.若x= 0,则集合B中的元素不满足互异性,∴x≠0, 同理y≠0,∴或解得或-∴ x+y=0.-6.B[解析 ] ∵A∩B= ?,∴a≥1,故选 B .7.C[解析 ] 因为B= {x|-1 <x<2},所以A∩B= {0,1}, 即A∩B的元素个数为2,选 C.8.D[解析 ] 阴影部分所表示的集合为B∩(?U A),∵ A={x|x2- 3x- 4> 0} ={x|x<-1或 x>4},U= R,∴? U A={x|-1≤x≤4},又∵B={x|-2≤x≤2},∴B∩(? U A)={x|-1≤x≤2}.9.D[解析 ] 由题知 ,1 ∈M,1?N;0∈N,0 ?M;3 ∈M,3∈N.∴M? N且N? M.10 .C[解析 ] ∵集合Q={x|2 x2-5 x≤0,x∈N}, ∴Q={0,1,2}, 共有 3 个元素.∵P Q,又集合Q的真子集的个数为 2 3-1 =7,∴集合P的个数为7 .11 .C[解析 ] A= {x|x>0}, B={y|y≥1}, 那么A∩(? U B)=(0,1), 故选 C .12 .B [解析 ] 由|x+1 |-1 >0,得|x+1 |>1,即x<-2 或x>0,∴A={x|x<- 2 或x>0},则?U A={x|-2≤x≤0};由 cos πx=1,得πx=2 kπ,k∈Z, ∴x=2k,k∈Z, 则B={x|x= 2k,k∈Z} .∴(?U A)∩B={ x|-2 ≤x≤0} ∩{x|x= 2k,k ∈Z} ={-2,0}, ∴(? U A)∩B的元素个数为 2 .13 .D[解析 ] ∵A={y|y=,0≤x≤1} ={y|0≤y≤1}, ∴B={y|y=kx+ 1,x∈A}={y|y=kx+ 1,0 ≤x≤1},又∵A? B,∴或解得 k≤-1 . ∴实数k 的取值范围为k≤-1 .14 .②[解析 ] ①中 ,-4 +(-2) =-6 不属于A,所以①不正确 ;②中 ,设n1,n2∈B,n1=3 k1,n2=3 k2 ,k1,k2∈Z, 则n1+n2∈B,n1-n2∈B,所以②正确 ;对于③,令A1={n|n= 5 k,k∈Z}, A2={n|n=2 k,k∈Z}, 则A1, A2为闭集合 ,但A1∪A2不是闭集合 ,所以③不正确.15 .A[解析 ] ∵A对应椭圆+=1上的点集,B 对应指数函数 y= 3x图像上的点集,画出椭圆和指数函数的图像 (图略 )可知 ,两个图像有两个不同交点 ,故∩有 2 个元素 ,其子集个数为A B224故选 A.= .16 .B[解析 ] 因为C(A)=2,A*B=1,所以C(B)=1 或C(B) =3 .由x2+ax=0得 x1 =0,x2=-a,当 a=0时, B={0}, C(B)= 1,满足题设.当a≠0 时 ,对x2+ax+ 2=0,当Δ=0 时 ,a=±2,此时C(B)=3,符合题意; 当Δ>0 时 ,a<-2 或a> 2,此时必有C(B)=4,不符合题意 ;当Δ<0 时 ,-2 ≤a<0 或 0<a≤2,此时C(B)=2,不符合题意.所以 S={0, -2 ,2 },故选B.课时作业 ( 二)1.B[解析 ] 若x2<1,则 (x+1)( x- 1) <0,∴-1 <x<1,∵(-∞,1) ? (-1,1), ∴“x<1 ”是x“2<1”的必要不充分条件.故选B.2.B [解析 ] 对于一个命题的否命题 ,就是把命题的条件与结论分别否定 ,故原命题的否命题是“若f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数”.故选B.3.A [解析 ] 当x>0,y> 0 时 ,由基本不等式得+ ≥2成立 .当 + ≥2时,只需要 xy>0,不能推出x> 0,y>0.所以是充分不必要条件,故选 A .4.C [解析]对于原命题 ,若c=0,则ac2=bc 2,故原命题为假,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假 ;对于逆命题 ,22,20,由不等式的基本性质得, 逆命题为真 ,由等价命∵ ac>bc∴c>a>b ∴题同真同假知否命题也为真有 2 个真命题.. ∴5 .必要不充分[解析] 若⊥ ,则· (x-1,x)·(2,x-4)(x-1)(x+2)(x-4)=22 3 2=0,解得a b a b=x+=+x x - x-x= 2或 x=- ;若 x=2,则 a·b= 0,即“a⊥b”.所以“a⊥b”是x=“2”的必要不充分条件 .6.B [解析 ] 若直线y=x+b与圆x2+y2=1 相交 ,则<1,∴- <b<,不一定有 0<b<1; 当 0 <b<1时, 直线y=x+b上的点 (0, b)在圆内 ,∴直线y=x+b与圆x2+y2= 1 相交.故选 B.7.C[解析 ]根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,命题p的逆否命题是:若A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于70 分.8.B[解析 ]若, , , 依次成等差数列,则有a+d=b+c;反之 ,如 2 3 1+4,但 2,1,4,3 不成等a b c d+ =差数列 .所以“a+d=b+c ”是a“,b,c,d 依次成等差数列”的必要不充分条件 .9.C[解析 ]由三角形边角关系有A>B>C?a>b>c,由正弦定理有a>b>c? 2sin2R sinR A>B>2R sin C? sin A>sin B>sin C(其中2R 是△ABC 的外接圆直径),所以sin A>sin B> sin C?A>B>C ,选C .10 .C[解析 ] 若α=120°,β=60°,则α>β,sinα=sin β,故 A 错误 ;命题“?x>1,x2>1 ”的否定是“?x0>1,≤1”,故 B 错误 ;命题“若x≤ ,则-≥3 ”的逆命题是“若≥3,则x≤”,解≥3 得 1<x≤ ,此--时满足x ≤,故 C 正确 ;“若0, 则x=0或y=0 ”的逆否命题为“若≠0 且y≠0, 则xy≠0”,故 D 错xy=x误.11 .A [解析 ] ∵函数f(x)是奇函数 , ∴若x1+x2=0,则x1=-x2,则f(x1)=f (-x2)=-f(x2),即f(x1)+f(x2)=0成立 ,即充分性成立 ;若f(x)=0,满足f(x)是奇函数 ,当x1=x2=2 时 ,满足f(x1)=f(x2) =0,此时满足f(x1)+f( x2)=0,但 x1+x2= 4≠0,即必要性不成立.故“x1+x 2=0”是f“(x1)+f(x2)= 0”的充分不必要条件 .12.B [解析]对于①,“x+y= 0的充要条件是 =-1”是假命题,比如 y=0时,不成立 ,因此不正确 ;对于②,其中满足条件的两直线m,n 也可以平行,因此不正确;对于③,从等价命题的角度考虑,因为“若x= 2且 y=3,则 x+y= 5”是真命题,“若x+y=5,则 x= 2且 y=3”是假命题,所以 p?q, q p,即 q? p,p q,故③正确;对于④,原命题的逆命题为“若 a,b 中至少有一个不小于1,则a+b≥2”,而 a=2,b=-2满足 a,b 中至少有一个不小于1,但此时a+b= 0,故④正确.所以选 B.13.若log a2≥0( a>0且 a≠1),则函数 f(x)=log a x 在其定义域内不是减函数[解析 ] “若函数f(x)=log x( a>0且 a≠1)在其定义域内是减函数,则log2<0 ”的条件的否定是“在定义域内不是a a减函数”,结论的否定是 log a2≥0 .14.充分不必要[解析 ] 因为 sin( α+β)=sin αcosβ+cos αsin β<sin α+sin β,所以若 sin α+sin β<,则有 sin( α+β)< , 故充分性成立 ;当α=β=时 ,有 sin( α+β)=sin π= 0< ,而 sin α+sinβ=1+1 =2,不满足 sin α+sin β<,故必要性不成立.所以“sinα+sinβ<”是“sin(α +β)< ”的充分不必要条件 .15 .C [解析 ] 若公比q=1,则a1> 0? S2017>0;若q≠1,则S2017=-,∵1 -q与 1 -q2017符号-相同 ,∴a1与S2017的符号相同 ,则a1>0? S2017> 0.∴“a1> 0”是S“2017>0”的充分必要条件 , 故选 C.16 .[ 解析 ] 由a> 0,m2-7 am+12 a2<0, 得 3a<m< 4 a,即p:3a<m< 4a,a> 0.由方程-+ - =1表示焦点在 y 轴上的椭圆,可得2 -m>m- 1 >0,解得1<m< ,即 q:1<m< .因为 p 是 q的充分不必要条件,所以或解得≤a≤ ,所以实数 a 的取值范围是, .课时作业 ( 三)1.C[解析 ] 根据逻辑联结词“且”的含义 ,可知 C 符合.A 不是命题 ,B,D 不是“p且q”形式.2.C[解析 ] 易知命题p和命题q均为假命题 ,只有选项 C 正确.3.B[解析 ]根据全称命题与特称命题互为否定的关系可知p:? x1,x2∈R,[ (2)(1)]( 2-x 1)0.f x-f x x<4 .B[解析 ]∩, ?,由图可知 A 错误 ,B 正确 ,C 错误 ,D 错误故选 B.∵P Q=P ∴P Q.5.? x0∈(0,+∞), +x0+1≤0 [解析]命题“?x∈(0, +∞), x2+x+1 >0”的否定是“?x0∈(0, +∞),+x0 +1≤0”.6.B[解析 ] 对于命题p,若△为钝角三角形 ,则当B为钝角时 ,cos0<sin A,不等式 sinABC B<A<cos B不成立 ,即命题p是假命题 ,故命题p是真命题 ;对于命题q“若≠2,则≠1或yx+y x -≠3 ”,其逆否命题为“若x=-1 且y= 3,则x+y= 2”,为真命题 ,所以命题q是真命题.所以依据复合命题的真假判别法可知命题∧是真命题 ,应选 B.p q7.B[解析 ] 若x=0,则 20=3 0=1,∴p是假命题.∵方程x3=1 -x2有解 ,∴q是真命题 , ∴p∧q是真命题 .8.A[解析 ] 对于命题p,幂函数y=a2017在 R 上单调递增 , 因此若a2017>-1,则a>-1,故p是真命题 .对于命题 q,取 x=,则x2tan x2=tan=-<0,因此命题 q 是假命题 .则B,C,D都为假命题 ,只有 A 是真命题.故选 A.9.A[解析 ]函数()在 R 上单调递增 ,?0∈R, ( 0 1 ) ≤(log 20 2 ), 等价为?0∈R,01|∵ f x∴ x f |x + | f a-|x + |x|x+≤log 2a-|x0+2 |成立 ,即|x+1 |+|x+2 |≤log 2a有解 ,∵|x+1|+|x+ 2|≥|x+ 2-x- 1|=1,∴log 2a≥1,即a≥2 .10 D[解析] 当a=0 时,命题p为真 ;当a≠0 时 ,若命题p为真 ,则a>0 且 2 4a<0,即 04.=a-<a< .故命题 p 为真时,0≤a<4 .命题 q为真时 ,Δ=1-4 a≥0,即a≤.命题p∧q为真命题时 ,p,q均为真命题, 则实数a的取值范围是0,.11 .A[解析 ] f'(x)=e x ln x+,令g(x)=ln x+,则g'(x)= -= -,∴当0 <x< 1时 ,g'(x)<0,当x>1时, g'(x)>0,∴g(x)在,1 上单调递减 ,在 (1,e)上单调递增 ,∴g(x) ≥g(1) =1,∴(f'x)>0,∴f(x)在,e 上单调递增 ,∴x0∈ ,e时 ,f(x0)∈[-,e e ],因此 [-,e e ]? [-a,a]? 0<a≤.选 B .12 .0[解析 ] 令f(x)=tan x+1,则函数 f(x)在 - ,上为增函数,故 f(x)的最小值为 f -=0,∵?x ∈-, ,m≤tanx+1, 故m≤(tanx+1) min ,≤0,故实数m的最大值为 0.∴m13 .①②[解析 ] 对于①,命题“?x∈(0,2),3 x>x3”的否定是“?x0∈(0,2),≤”,故①为真命题;对于②,若f(x)=2x-2 -x,则?x∈R, f(-x)= 2-x-2 x=-(2 x-2 -x)=-f(x), 故②为真命题 ;对于③,对于函数( )=x+,当且仅当x=0 时,( ) 1,故③为假命题.f x f x =故答案为①②.14 .m< 1 或m>2[解析 ]若对任意 x∈R,不等式 x2-2x-1≥m2-3 m 恒成立,则[(x-1)2-2]min≥m 2-3 m,即 m2-3 m≤-2,解得1≤m ≤2,∵ p 为真命题,∴ m<1或 m> 2.15 A[解析 ]()---(),故 () 是奇函数 ,命题p 是真命题 ;对()32,x∈.f-x=-==-f x f x g x=x -x (0, +∞),g'(x)= 3x2-2 x=x (3 x-2), 令g'(x)>0,解得x> ,令g'(x)<0,解得0 <x< ,故g( x)在 0,上单调递减 ,在 ,+∞上单调递增 ,故命题q是假命题.故p∨q是真命题 ,p∧q是假命题 ,p∧q 是假命题 ,p∨q 是假命题,故选A.16 .解析由“ 且q ”为真命题知p真q真由题意得, p:?x∈ , ,2x<m (x2+1),即[]p.m>=在,上恒成立,当x=时,x+取得最小值,此时取得最大值,最大值为,所以m>;设t=2x ,则∈(0,), 则原函数化为( )22t+m-1,由题知()在 (0,)上存在零点 ,令t+∞g t=t+g t+∞()0,得(t+1)22, 又t>0,所以 1 所以实数m的取值范围是1g t =m=-+m< .<m< .。
第一章 集合与常用逻辑用语(答案)
答案 高三课标版 数学(理) 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念与运算基础自测1．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×2．[解析] 由题意知B ＝{x |－2<x <1}，所以A ∩B ＝{－1,0}．故选A.[答案] A3．[解析] 由已知条件可得B ＝{x |(x －1)(x ＋1)>0}＝{x |x >1或x <－1}，∴A ∪B ＝{x |0<x <2}∪{x |x >1或x <－1}＝{x |x >0或x <－1}，故选C.[答案] C4．[解析] 解不等式|x －1|<2得－1<x <3，所以A ＝{x |－1<x <3}．要使函数y ＝lg(x 2＋x )有意义，须x 2＋x >0，解得x <－1或x >0，所以B ＝{x |x <－1或x >0}，∁U B ＝{x |－1≤x ≤0}，所以A ∩(∁UB )＝(－1,0]，故选B.[答案] B5．[解析] ∵a ∈A ，b ∈A ，x ＝a ＋b ，∴x ＝2,3,4,5,6,8，∴B 中有6个元素．[答案] 6 考点一 集合的基本概念例1:[解题指导] 切入点：集合中元素的特征；关键点：集合中元素的互异性．[解析] (1)逐个列举可得．x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B 的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，因为当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意．所以m ＝－32.[答案] (1)C (2)－32对点训练1．[解析] 由题意得，ax 2＋ax ＋1＝0只有一个实数解，当a ＝0时，方程无实数解；当a ≠0时，则Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4(a ＝0不合题意舍去)，故选A.[答案] A2．[解析] 由集合A ＝{t 2＋s 2|t ，s ∈Z }(即A 中元素均可以表示为两个整数平方和的形式)，可得1＝02＋12,2＝12＋12，所以x ＝1∈A ，y ＝2∈A ，但1＋2＝3∉A ，故A.“x ＋y ∈A ”不成立；又1－2＝－1∉A ，故B.“x －y ∈A ”不成立；又12∉A ，故D.“xy ∈A ”不成立．故选C.[答案] C3．[解析] 因为B 是一个集合，由集合元素的互异性可知y ≠－3且y ≠1，A 是函数y ＝x 2－2的值域[－2，＋∞)，从而y 的取值集合就是{y |y ≥－2且y ≠1}．[答案] {y |y ≥－2且y ≠1} 考点二 集合间的基本关系例2:[解题指导] 切入点：子集的定义；关键点：含有字母参数时，应对Ø关注．[解析] (1)集合N ＝{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x >3或x <－1}，所以∁R N ＝{x |－1≤x ≤3}，又M ＝{x |0≤x ≤2}，所以M ⊆∁R N ，故选B. (2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø，满足B ⊆A ；若B ≠Ø，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3.∴2≤m ≤3.故m <2或2≤m ≤3，即m 的取值范围为{m |m ≤3}．[答案] (1)B (2){m |m ≤3} 对点训练1．[解析] ∵A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，∴2,3∈A 且2,3∈B,1∈A 但1∉B ，∴B ⊂≠A .[答案] D 2．[解析] 由题意得，P ＝{－3,2}． 当a ＝0时，S ＝Ø，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a，为满足S ⊆P ，可使－1a ＝－3，或－1a＝2，即a ＝13，或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.[答案] D 3．[解析] 集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．[答案] (－∞，－2]考点三 集合的基本运算例3:[解题指导] 切入点：集合的交、并、补的概念；关键点：化简集合，准确运算． [解析] (1)先求得集合B 的补集，再进行交集运算．由题意得∁U B ＝{2,5,8}，∴A ∩∁U B ＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}．(2)y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，y ＝－x 2＋2x ＋6＝－(x －1)2＋7≤7， ∴A ＝{y |y ≥－1}，B ＝{y |y ≤7}，故A ∩B ＝{y |－1≤y ≤7}．[答案] (1)A (2){y |－1≤y ≤7}[拓展探究] [解] (1)因A 中元素是函数自变量，则A ＝R ，而B ＝{y |y ≤7}，则A ∩B ＝{y |y ≤7}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ，y ＝－x 2＋2x ＋6⇒x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1.于是，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，故A ∩B ＝{(3,3)，(－1,3)}．考点四 与集合有关的新定义问题例4:[解题指导] 切入点：拓扑的概念；关键点：从概念出发解决问题．[解析] (1)τ＝{Ø，{a }，{c }，{a ，b ，c }}，而{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，故(1)不是集合X 上的拓扑；(2)满足：①X 属于τ，Ø属于τ，②τ中任意多个元素的并集属于τ，③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此(2)是集合X 上的拓扑；(3){a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故(3)不是集合X 上的拓扑；(4)满足：①X 属于τ，Ø属于τ，②τ中任意多个元素的并集属于τ，③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此(4)是集合X 上的拓扑．[答案] (2)(4) 对点训练[解析] m ，n 同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m ，n 一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)．[答案] 15课时跟踪训练(一)一、选择题1．[解析] 由题知A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，所以∁R B ＝{x |x >2或x <0}，所以A ∩(∁R B )＝{x |－3≤x <0}，所以选D.[答案] D 2．[解析] ∵P ＝{1,3}，∴集合P 的子集个数为4，故选C.[答案] C3．[解析] 先化简集合P ，再应用集合的补集与交集的定义进行计算．由x 2－2x ≥0，得x ≤0或x ≥2，即P ＝{x |x ≤0或x ≥2}，所以∁R P ＝{x |0<x <2}＝(0,2)．又Q ＝{x |1<x ≤2}＝(1,2]，所以(∁R P )∩Q ＝(1,2)．[答案] C4．[解析] 因为A ＝{x |x (x ＋3)<0}＝{x |－3<x <0}，∁U B ＝{x |x ≥－1}，阴影部分为A ∩(∁U B )，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x <0}，故选C.[答案] C5．[解析] ∵A ＝{x |y ＝x x }＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ＝－x 2}＝{y |y ≤0}，∴∁U B ＝{y |y >0}，从而有A ∩(∁U B )＝{x |x >0}．[答案] C6．[解 ∵B ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}，∴B ＝{x |－2<x <1}，∵A ＝{x |x ≥1}，∴A ∩B ＝Ø.[答 A 7．[解析] 由A ∪B ＝A ，可得B ⊆A ，则m ＝3或m ＝m ，得m ＝3或0或1.经检验m ＝1时，集合A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，显然不成立．综上有m ＝0或3，故选B.[答案] B8．[解 当x ＝1时，y ＝2或3或4；当x ＝2时，y ＝3，所以集合B 中的元素个数为4.[答 C 9．[解析] 因为本题涉及的集合间的运算以及关系较为抽象，可以考虑利用Venn 图辅助解题．作出满足题意的Venn 图，如图所示，容易知道M ∩N ＝Ø，故选B.[答案] B10．[解 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1图象的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0，根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43，即34≤a <43，故选B.[答 B 二、填空题11．[解析] 若a ＝4，则a 2＝16∉(A ∪B )，所以a ＝4不符合要求；若a 2＝4，则a ＝±2，又－2∉(A ∪B )，所以a ＝2.[答案] 212．[解析] 集合A 表示以原点为圆心，7为半径的圆在x 轴及其上方的部分，A ∩B ≠Ø，表示直线y ＝x ＋m 与半圆有交点，作出示意图可得实数m 的取值范围是[－7，72]．[答案] [－7,72]13．[解析] ①当A 中的元素为非正数时，A ∩B ＝Ø，即方程x 2＋(a ＋2)x ＋1＝0只有非正数解，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋2－4≥0，a ＋2≥0，解得a ≥0；②当A ＝Ø时，Δ＝(a ＋2)2－4<0，解得－4<a <0.综上，a >－4.所以a 的取值范围是(－4，＋∞)．[答案] (－4，＋∞) 三、解答题14．[解] 由A ＝B 可知，(1)⎩⎪⎨⎪⎧m ＋d ＝mq ，m ＋2d ＝mq 2，或(2)⎩⎪⎨⎪⎧m ＋d ＝mq 2，m ＋2d ＝mq .解(1)得q ＝1，解(2)得q ＝1或q ＝－12.又因为当q ＝1时，m ＝mq ＝mq 2，不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以q ＝－12.15．[解] 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3. 16．[解] 由x －5x ＋1≤0，解得－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}． (1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， 所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}， 所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件基础自测1．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2．[解:根据逆否命题的定义可以排除A ，D ，因为x 2－3x －4＝0，所以x ＝4或－1，故选C. 3．[解析] 方程x 2－2x ＋a ＝0有实数根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1.因此，“a ＝1”是“关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0有实数根”的充分不必要条件，故选A.4．[解析] 因为a >b ⇒a >b －1，但a >b －1推不出a >b ，故A 是a >b 的必要不充分条件；B 是a >b 的充分不必要条件；C 是a >b 的既不充分也不必要条件；D 是a >b 的充要条件，故选A. 5．[解析]xx －1<0⇔0<x <1.由已知，得(0,1)(0，m )，所以m >1.[答案] (1，＋∞)考点一 命题的关系及命题真假的判断例1:[解题指导] 切入点：四种命题的概念；关键点：分清命题的条件和结论．[解:(1)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”，故选D. (2)原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，如z 1＝3＋4i ，z 2＝4＋3i ，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B. [答案] (1)D (2)B 对点训练1．[解析] 对于选项A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项D 为假命题．综上可知，选B.2．[解析] 由f (x )，g (x )均为奇函数可得h (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，反之则不成立，如h (x )＝x 2是偶函数，但函数f (x )＝x 2x 2＋1，g (x )＝x 2＋1都不是奇函数，故其逆命题不正确，其否命题也不正确，只有其逆否命题正确．故选B.3．[解析] 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4，解得1≤x <2，故x ∈[1,2)．[答案] [1,2)考点二 充分条件与必要条件的判断例2:[解题指导] 切入点：充分、必要条件的概念；关键点：从集合的角度进行判断．[解析] (1)∵x>1⇒log12(x＋2)<0，log12(x＋2)<0⇒x＋2>1⇒x>－1，∴“x>1”是“log12(x＋2)<0”的充分而不必要条件．(2)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.[答案] (1)B (2)C对点训练1．[解析] 因为m＝1时，A＝{0,1}，A∪B＝{0,1,2}，所以充分性成立；反之，若A∪B＝{0,1,2}，则A＝{0,1}或A＝{0,2}，当m2＝1时，m＝1或m＝－1；当m2＝2时，m＝2或m＝－2，所以必要性不成立，即“m＝1”是“A∪B＝{0,1,2}”的充分不必要条件，故选A.2．[解析] 据已知可得非p q，q⇒非p，因为原命题与其逆否命题等价，故有非q p，p⇒非q，故有p是非q的充分不必要条件，故选A.3．[解析] △ABC中，sin A>32得，A∈⎝⎛⎭⎪⎫π3，2π3，故sin A>32是A>π3的充分条件，而当A＝56π时，sin A＝12<32故为不必要，选A.考点三充分条件与必要条件的应用例3:[解题指导] 切入点：充分、必要条件的判断；关键点：弄清条件、结论．[解析] (1)若a<0，b<0，则一定有a＋b<0，故选A.(2)由q：(x－a)(x－a－4)>0，得x<a或x>a＋4.设p：A＝{x|－2≤x≤1}，q：B＝{x|x<a或x>a＋4}，∵p是q成立的充分不必要条件，∴A B.∴a＋4<－2或a>1，即a<－6或a>1. [答案] (1)A (2)(－∞，－6)∪(1，＋∞)[拓展探究] [解] 由q：(x－a)(x－a－4)>0，得x<a或x>a＋4.设p：A＝{x|x≤－2或x≥1}，q：B＝{x|x<a或x>a＋4}，∵p 是q 的必要不充分条件，∴BA .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2，a ＋4≥1，解得－3≤a ≤－2.课时跟踪训练(二)一、选择题1．[解析] q ：2x>1⇔x >0，且(1,2)⊆(0，＋∞)，所以p 是q 的充分不必要条件．[答案] A 2．[解析] 结合韦恩图可知，A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，反之，若A ⊆B ，即集合A 为集合B 的子集，故A ∩B ＝A ，故“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件，选C.3．[解析] 当a <0时，Δ＝1－4a >0，所以方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，故原命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知其逆否命题为真；逆命题为：“若方程x 2＋x ＋a ＝0有实根，则a <0”，因为方程有实根，所以判别式Δ＝1－4a ≥0，所以a ≤14，显然a <0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题真假一致，可知否命题为假．故正确的命题有2个．[答B 4．[解析] 注意到x 2－3x >0⇔x <0或x >3，x －4>0⇔x >4.由x 2－3x >0不能得出x －4>0；反过来，由x －4>0可得出x 2－3x >0，因此“x 2－3x >0”是“x －4>0”的必要不充分条件，选B. 5．[解:依题意，注意到由|a －b |＝|a |＋|b |不能得知ab <0，如取a ＝0，b ＝3；反过来，由ab <0可得|a －b |＝|a |＋|b |.因此，“|a －b |＝|a |＋|b |”是“ab <0”的必要不充分条件，选B. 6．[解析] q ：3x ＋1<1⇒3x ＋1－1<0⇒2－xx ＋1<0⇒(x －2)·(x ＋1)>0⇒x <－1或x >2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，故选B.7．[解:若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝Ø；若A ∩B ＝Ø，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C . 故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝Ø”的充要条件.答C8．[解析] 原命题的逆否命题：若a ，b 都小于1，则a ＋b <2，是真命题，所以原命题为真命题；原命题的逆命题：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2，如a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但此时a ＋b ＝0，故逆命题为假命题，故选A.9．[解析] 由f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数可得3a －1<0,0<a <1,7a －1≥0，即17≤a <13，所求应该是⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13的真子集，故选C.10．[解析] 将ab ＋1>a ＋b 变形为(a －1)(b －1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <1，b <1.在平面直角坐标系中分别作出满足条件a 2＋b 2<1和⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <1，b <1，的点(a ，b )，若分别构成集合P 和Q .P是圆内的点，Q 是直线x ＝1和y ＝1两直线把平面分成四部分中右上和左下对角区域的部分，显然有P 是Q 的真子集，所以选C. 二、填空题11．[解:首先将原命题写成“若p 则q ”的形式，其中p ：两个三角形全等，q ：两个三角形相似，则其逆否命题为“若非q 则非p ”．[答案] 若两个三角形不相似，则它们一定不全等 12．[解析] 若a ＝4时，函数f (x )＝x ＋a x在(2，＋∞)上单调递增，而当函数f (x )在(2，＋∞)上为增函数时，只需a ≤4即可，故“a ＝4”是函数f (x )在(2，＋∞)上为增函数的充分不必要条件．[答案] 充分不必要13．[解析] 由题意知，p ：x ∈(－∞，1)∪(2，＋∞)，q ：(x －1)(x ＋a )>0，由p 是q 的充分不必要条件可知p 中不等式的解集是q 中不等式的解集的真子集，从而有－a ＝1或1<－a <2，所以实数a 的取值范围是(－2，－1]．[答案] (－2，－1] 三、解答题14．[解] 设A ＝{x |(4x －3)2≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}， 易知A ＝{x |12≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．∵q 是p 的必要不充分条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 15． [证明] (1)充分性：∵0<m <13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m >0，且3m >0，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，3m >0，∴0<m <13.综合(1)(2)可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.16．解 (1)当a =12时，A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x －2x －52<0=⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2<x <52，B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －94x －12<0=⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <94， ∴∁U B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥94.∴(∁U B )∩A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪94≤x <52. (2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2＋2}． ①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝Ø，不符合题意；③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a <13.综上所述：实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础自测1．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2．[解析] 根据指数函数值域为(0，＋∞)，得p 为真命题；而“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题．根据复合命题的真假规律，可得p ∧(非q )为真命题，故选D.3．[解析] 依据含有一个量词的命题的否定判定即可．因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，非p (x )”，所以命题“∃x ∈N ，n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n”．故选C.4．解:由命题∃x 0∈R ,使x 20＋mx 0＋2m －3<0为假命题得Δ＝m 2－4(2m －3)≤0,即2≤m ≤6,选A. 5．[解析] 先求p ∧q 是真命题时m 的取值范围，再求其补集．命题p 是真命题时，m ≤－1，命题q 是真命题时，m 2－4<0，解得－2<m <2，所以p ∧q 是真命题时，－2<m ≤－1，故p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是m ≤－2或m >－1.[答案] m ≤－2或m >－1 考点一 含有逻辑联结词的命题及其真假判断例1:[解题指导] 切入点：判断p ，q 的真假；关键点：根据真值表判断．[解:(1)命题p 、q 均为真命题，则非p 、非q 为假命题．从而结论①②③④均正确，故选D. (2)当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而非p 为假命题．当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而非q 为真命题． 由真值表知，①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧非q 为真命题；④(非p )∨q 为假命题．故选C. [答案] (1)D (2)C 对点训练1．[解:由于非p 是真命题,则命题p 是假命题．又p ∨q 是真命题,则命题q 是真命题．[答A2．[解析] 因为当x >0，a >0时，x ＋a x≥2x ·ax＝2a ，由2a ≥2可得a ≥1，所以命题p 为假命题；因为当x ＝2时，x 2＋x －2＝22＋2－2＝4>0，所以命题q 为真命题．所以(非p )∧q为真命题，故选B.3.[解析] 函数y ＝2－a x ＋1的图象可看出是先把函数y ＝a x的图象向左平移一个单位，再将所得图象沿x 轴作翻折，最后再将所得图象向上平移2个单位得到，而y ＝a x的图象恒过(0,1)，所以y ＝2－ax ＋1的图象恒过(－1,1)，因此p 为假命题；若函数f (x －1)为偶函数，即图象关于y 轴对称，f (x )的图象即f (x －1)向左平移一个单位得到，所以f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，因此q 为假命题．故p ∨(非q )为真命题，故选D.考点二 全(特)称命题的否定例2:[解题指导] 切入点：确定量词；关键点：根据含有一个量词的命题的否定形式进行判断． [解析] (1)特称命题的否定是全称命题，故选A.(2)根据全称命题的否定是特称命题求解．写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．[答案] (1)A (2)D 对点训练1．[解:特称命题的否定为全称命题，所以“存在”对“任意”，“x >1”对“x ≤1”．选C. 2．[解析] 依题意，非p 是“∃x >2，x 3－8≤0”，故选B.3．[解析] 命题“存在x ∈R ，使得|x －1|－|x ＋1|>3”的否定是“对任意的x ∈R ，都有|x －1|－|x ＋1|≤3”．[答案] “对任意的x ∈R ，都有|x －1|－|x ＋1|≤3”考点三 利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围例3:[解题指导] 切入点：当p ，q 为真时，求出实数a 的范围；关键点：对复合命题的真假情况分类讨论．[解析] (1)若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.因为p 或q 是真命题，分为p 真q 真，p 真q 假，p 假q 真，所以a ∈R ，即a 的取值范围是(－∞，＋∞)．(2)根据指数函数的单调性，可知命题p 为真时，实数a 的取值集合为P ＝{a |0<a <1}； 对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立． 当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立； 当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝－2－4a ×a ≤0，解得a ≥12.综上，命题q 为真时，a 的取值集合为Q ＝⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≥12.由“p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题”，可知命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，a 的取值范围是P ∩(∁R Q )＝{a |0<a <1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <12＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪0<a <12； 当p 假q 真时，a 的取值范围是(∁R P )∩Q ＝{a |a ≤0或a ≥1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥12＝{a |a ≥1}． 综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[1，＋∞)．[答案] (1)(－∞，＋∞) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[1，＋∞)[拓展探究] [解] (1)∵p ∧q 为真，∴p 和q 均为真，∴a 的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)．(2)∵p ∧q 为真命题时，a 的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞)， ∴p ∧q 为假命题时，a 的取值范围为(－∞，－12)∪(－4,4)．(3)根据指数函数的单调性，可知命题p 为真时，实数a 的取值集合为P ＝{a |0<a <1}； 对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立． 当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立； 当a ≠0时，不等式恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝－2－4a 2≤0，解得a ≥12.综上，命题q 为真时，a 的取值集合为Q ＝⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≥12.由“非p 是真命题，p ∨q 是真命题”，可知命题p 假q 真．由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a ≥12，得a ≥1.故实数a 的取值范围是[1，＋∞)．课时跟踪训练(三)一、选择题1．[解:对于D 选项,sin x ＋cos x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤ 2,故D 错,易得A 、B 、C 正确．[答D2．[解析] 把量词“∃”改为“∀”，并把结论“>”改为“≤”，应选D.3．[解析] 由指数函数性质可得∀x ∈(－∞，0]，2x≤1，所以p 是真命题．其否定是∃x ∈(－∞，0]，2x>1，故选C.4．[解析] 对于命题p ，当x ＝0时，20＝30＝1，所以命题p 为假命题，非p 为真命题；对于命题q ，作出函数y ＝x 3与y ＝1－x 2的图象，可知它们在(0,1)上有一个交点，所以命题q 为真命题，所以(非p )∧q 为真命题，故选C.5．[解析] 命题：“∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题．当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0，且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0.综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．[答案] B6．[解析] 对于命题p ：取x ＝－1，则x ＋1x＝－2<2，所以命题p 是真命题，则非p 是假命题；对于q ，Δ＝1－4＝－3<0，所以不等式x 2＋x ＋1>0的解集为R ，所以命题q 是真命题，命题非q 是假命题，所以p ∧q 为真命题，故选A.7．[解析] 由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，故非p ：－3≤x ≤1.又非q ：x ≤a ，且非q 的一个充分不必要条件为非p ，则实数a 的取值范围为[1，＋∞)．[答案] A 8．[解析] 易知选项A ，C ，D 均不正确，选项B 正确，故选B.9．[解析] 依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1>0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.[答案] A10．[解析] 由题意知，p ，q 中一个为真，一个为假，分p 真q 假和p 假q 真讨论．若p 真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝－m <0，x 1x 2＝1>0，解得m >2；若q 真，则Δ<0，解得1<m <3.当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，得1<m ≤2；当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，得m ≥3.综上所述，实数m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．[答案] B 二、填空题11．[解析] 全称命题的否定是特称命题，非p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)<0.[答案] ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<012．[解析] 因为命题p 是假命题，所以非p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0恒成立．当a＝0时，x >－12，不满足题意；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4×12×a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >12，所以a >12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞13．[解析] 由对任意实数x ，ax 2>－ax －1，即ax 2＋ax ＋1>0，得a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，解得0≤a ≤4，故命题p ：0≤a <4；由关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根，得1－4a ≥0，解得a ≤14，故命题q ：a ≤14.由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题可知p ，q 一真一假．若p 真q 假，则14<a <4；若p 假q 真，则a <0.所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4. [答案] (－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4三、解答题14．[解] (1)非p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，是假命题．(2)非q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(3)非r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，是真命题．(4)非s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，是假命题．15．[解] 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0，∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2.∵命题“p 或q ”为假命题，∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}． 16．[解] ∵函数y ＝a x在R 上单调递增，∴p ：a >1. 不等式ax 2－ax ＋1>0对∀x ∈R 恒成立，且a >0， ∴a 2－4a <0，解得0<a <4，∴q ：0<a <4.∵“p ∧q ”为假，“p ∨q ”为真，∴p ，q 中必有一真一假． ①当p 真，q 假时，{a |a >1}∩{a |a ≥4}＝{a |a ≥4}． ②当p 假，q 真时，{a |0<a ≤1}∩{a |0<a <4}＝{a |0<a ≤1}． 故a 的取值范围是{a |0<a ≤1或a ≥4}．。
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语基本知识过关训练(带答案)
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语基本知识过关训练单选题1、已知A ={1,x,y }，B ={1,x 2,2y }，若A =B ，则x −y =（ ）A ．2B ．1C ．14D ．23答案：C分析：由两集合相等，其元素完全一样，则可求出x =0,y =0或x =1,y =0或x =12，y =14，再利用集合中元素的互异性可知x =12，y =14，则可求出答案. 若A =B ，则{x =x 2y =2y 或{x =2y y =x 2 ，解得{x =0y =0 或{x =1y =0 或{x =12y =14 ， 由集合中元素的互异性，得{x =12y =14 ， 则x −y =12−14=14， 故选：C ．2、已知集合A ={x|x 2−3x −4<0},B ={−4,1,3,5}，则A ∩B =（ ）A ．{−4,1}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}答案：D分析：首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A ∩B ，得到结果. 由x 2−3x −4<0解得−1<x <4，所以A ={x|−1<x <4}，又因为B ={−4,1,3,5}，所以A ∩B ={1,3}，故选：D.小提示：本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.3、已知集合M ={x |1−a <x <2a }，N =(1,4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,2]B ．(−∞,0]C ．(−∞,13]D ．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4 ⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13].故选：C4、设全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={−1,0,1,2}, B ={−3,0,2,3}，则A ∩(∁U B )=（）A ．{−3,3}B ．{0,2}C ．{−1,1}D ．{−3,−2,−1,1,3}答案：C分析：首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.由题意结合补集的定义可知：∁U B ={−2,−1,1}，则A ∩(∁U B )={−1,1}.故选：C.小提示：本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.5、下面四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0答案：D分析：对于①，计算判别式或配方进行判断；对于②，当x 2＝2时，只能得到x 为±√2，由此可判断；对于③，方程x 2＋1＝0无实数解；对于④，作差可判断.解：x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.当且仅当x＝±√2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.故选：D小提示：此题考查特称命题和全称命题真假的判断，特称命题要为真，只要有1个成立即可，全称命题要为假，只要有1个不成立即可，属于基础题.6、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.7、若集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,2,4}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=（）．A．{3}B．{5}C．{3,4,5}D．{1,3,4,5}答案：A分析：根据补集的定义和运算求出∁U A，结合交集的概念和运算即可得出结果.由题意知，∁U A={1,3,5}，又B={3,4}，所以(∁U A)∩B={3}.故选：A8、集合A={x|x<−1或x≥3}，B={x|ax+1≤0}若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−13,1)B．[−13,1]C．(−∞,−1)∪[0,+∞)D．[−13,0)∪(0,1)答案：A分析：根据B⊆A，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a的取值范围．解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+1⩽0无解，此时a=0，满足题意．②当B≠∅时，即ax+1⩽0有解，当a>0时，可得x⩽−1a，要使B⊆A，则需要{a>0−1a<−1，解得0<a<1．当a<0时，可得x⩾−1a，要使B⊆A，则需要{a<0−1a⩾3，解得−13⩽a<0，综上，实数a的取值范围是[−13,1)．故选：A．小提示：易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为∅. 多选题9、设全集U={1,2,3,4,5}，集合S={1,2,3,4}，则∁U S的子集为（）A．{5}B．{1,2,5}C．{2,3,4}D．∅答案：AD分析：根据补集和子集的定义即可求出答案.因为C U S={5}，集合{5}的子集有：∅，{5}.故选：AD.10、设全集U={0,1,2,3,4}，集合A={0,1,4}，B={0,1,3}，则（）A．A∩B={0,1}B．∁U B={4}C．A∪B={0,1,3,4}D．集合A的真子集个数为8答案：AC分析：根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.因为全集U={0,1,2,3,4}，集合A={0,1,4}，B={0,1,3}，所以A∩B={0,1}，∁U B={2,4}，A∪B={0,1,3,4}，因此选项A、C正确，选项B不正确，因为集合A={0,1,4}的元素共有3个，所以它的真子集个数为：23−1=7，因此选项D不正确，故选：AC11、下列存在量词命题中真命题是（）A．∃x∈R,x≤0B．至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数C．∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数D．∃x0∈Z,1<5x0<3答案：ABC分析：结合例子，逐项判断即可得解.对于A，∃x=0∈R，使得x≤0，故A为真命题.对于B，整数1既不是合数，也不是素数，故B为真命题；对于C，若x=π，则x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，故C为真命题.对于D，∵1<5x0<3,∴15<x0<35，∴∃x0∈Z,1<5x0<3为假命题.故选：ABC.填空题12、已知集合A={2,3,4,5,6}，B={(x,y)|x∈A,y∈A,x−y∈A}，则集合B中元素的个数为______.答案：6分析：由已知，根据条件给的集合A，按照集合B给的定义列举即可完成求解.因为x∈A，y∈A，x−y∈A，所以x=4时，y=2；x=5时，y=2或y=3，x=6时，y=2或3或4.B= {(4,2),(5,2),(5,3),(6,2),(6,3),(6,4)}，所以集合B中元素的个数为6.所以答案是：6.13、已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.答案：(−∞,2]分析：根据充分性和必要性，求得参数a的取值范围，即可求得结果.因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，故集合(2,3)为集合(a,+∞)的真子集，故只需a≤2.所以答案是：(−∞,2].14、已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 _____．答案：{0}∪[94，+∞）．分析：分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，解得x=13，故成立；当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，解得a≥94；综上所述，a的取值范围是{0}∪[94，+∞）．所以答案是：{0}∪[94，+∞）．解答题15、已知A={x∣x2+4x=0},B={x∣x2+2(a+1)x+a2−1=0}.(1)若A是B的子集，求实数a的值；(2)若B是A的子集，求实数a的取值范围.答案：(1)a=1；(2)a⩽−1或a=1.分析：（1）由题得B=A={−4,0}，解{Δ>0−4+0=−2(a+1)−4×0=a2−1即得解；（2）由题得B⊆A，再对集合B分三种情况讨论得解. （1）解：由题得A={−4,0}.若A是B的子集，则B=A={−4,0}，所以{Δ>0−4+0=−2(a+1)−4×0=a2−1,∴a=1.（2）解：若B是A的子集，则B⊆A.①若B为空集，则Δ=4(a+1)2−4(a2−1)=8a+8<0，解得a<−1；②若B为单元素集合，则Δ=4(a+1)2−4(a2−1)=8a+8=0，解得a=−1. 将a=−1代入方程x2+2(a+1)x+a2−1=0，得x2=0，即x=0,B={0}，符合要求；③若B为双元素集合，B=A={−4,0}，则a=1.综上所述，a⩽−1或a=1.。
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识汇总笔记(带答案)
高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识汇总笔记单选题1、已知a、b、c、d∈R，则“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的（）注：max{p,q}表示p、q之间的较大者.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：B分析：利用特殊值法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.充分性：取a=d=1，b=c=−1，则max{a,b}+max{c,d}=max{1,−1}+max{−1,1}=1+1>0成立，但max{a+c,b+d}=max{0,0}=0，充分性不成立；必要性：设max{a+c,b+d}=a+c，则max{a,b}≥a，max{c,d}≥c，从而可得max{a,b}+max{c,d}≥a+c>0，必要性成立.因此，“max{a,b}+max{c,d}>0”是“max{a+c,b+d}>0”的必要不充分条件.故选：B.小提示：方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.2、命题“∃x>1，x2≥1”的否定是（）A．∃x≤1，x2≥1B．∃x≤1，x2<1C．∀x≤1，x2≥1D．∀x>1，x2<1答案：D分析：根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.命题“∃x>1，x2≥1”的否定是“∀x>1，x2<1”，故选：D.3、设a,b ∈R ，A ={1,a}，B ={−1,−b}，若A ⊆B ，则a −b =（ ）A ．−1B ．−2C ．2D ．0答案：D分析：根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a 、b ，即可求a −b .由A ⊆B 知：A =B ，即{a =−1−b =1，得{a =−1b =−1，∴a −b =0.故选：D.4、设集合A 、B 均为U 的子集，如图，A ∩(∁U B )表示区域（ ）A ．ⅠB ．IIC ．IIID ．IV答案：B分析：根据交集与补集的定义可得结果.由题意可知，A ∩(∁U B )表示区域II.故选：B.5、集合A ={−1,0,1,2,3}，B ={0,2,4}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{0,2}B ．{−1,1,3,4}C ．{−1,0,2,4}D ．{−1,0,1,2,3,4}答案：B分析：求∁(A∪B)(A ∩B)得解.解：图中阴影部分所表示的集合为∁(A∪B)(A ∩B)={−1,1,3,4}.故选：B6、已知集合A={x|x≤1}，B={x∈Z|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0<x<1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤4}D．{0,1}答案：D分析：根据集合的交运算即可求解.由B={x∈Z|0≤x≤4}得B={0,1,2,3,4}，所以A∩B={0,1}，故选：D7、已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立；若a2>36，则a>6或a<−6，推不出a>6，故必要性不成立；所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.故选：A.8、已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（）A．{−1,0,1}B．{0,1}C．{−1,1}D．{0,1,2}答案：A分析：先计算集合B里的不等式，将B所代表的区间计算出来，再根据交集的定义计算即可. 不等式x2≤1，即−1≤x≤1，B=[−1,1]，A={−1,0,1,2}，B={x|−1≤x≤1}，所以A∩B={−1,0,1}；故选：A．多选题9、已知集合A={x|1<x<2}，B={x|2a−3<x<a−2}，下列说法正确的是（）A．不存在实数a使得A=BB ．当a =4时，A ⊆BC ．当0≤a ≤4时，B ⊆AD ．存在实数a 使得B ⊆A答案：AD分析：选项A 由集合相等列方程组验算；选项B 由a =4得B =∅，故不满足A ⊆B ；选项C 、D 通过假设B ⊆A 求出实数a 的取值范围可判定.选项A ：若集合A =B ，则有{2a −3=1,a −2=2,，因为此方程组无解，所以不存在实数a 使得集合A =B ，故选项A 正确.选项B ：当a =4时，B ={x |5<x <2 }=∅，不满足A ⊆B ，故选项B 错误.若B ⊆A ，则①当B =∅时，有2a −3≥a −2，a ≥1；②当B ≠∅时，有{a <1,2a −3>1,a −2<2此方程组无实数解；所以若B ⊆A ，则有a ≥1，故选项C 错误，选项D 正确.故选：AD .10、图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）A ．A ∩(B ∪C )B ．A ∪(B ∩C )C ．A ∩∁U (B ∩C )D．(A∩B)∪(A∩C)答案：AD分析：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，从而可得答案解：由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C 的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为A∩(B∪C)或(A∩B)∪(A∩C)，故选：AD11、下列四个选项中正确的是（）A．{∅}⊆{a,b}B．{(a,b)}={a,b}C．{a,b}⊆{b,a}D．∅⊆{0}答案：CD分析：注意到空集和由空集构成的集合的不同，可以判定AD；注意到集合元素的无序性，可以判定C；注意到集合的元素的属性不同，可以否定B.对于A选项，集合{∅}的元素是∅，集合{a,b}的元素是a,b，故没有包含关系，A选项错误；对于B选项，集合{(a,b)}的元素是点，集合{a,b}的元素是a,b，故两个集合不相等，B选项错误；对于C选项，由集合的元素的无序性可知两个集合是相等的集合，故C选项正确；对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确.故选：CD.填空题12、设α：m+1≤x≤2m+4(m∈R)；β：1≤x≤3．若β是α的充分条件，则实数m的取值范围为______．答案：−1≤m≤02分析：根据给定条件可得β所对集合包含于α所对集合，再利用集合的包含关系列式作答.令α所对集合为：{x|m+1≤x≤2m+4(m∈R)}，β所对集合为：{x|1≤x≤3}，因β是α的充分条件，则必有{x|1≤x≤3}⊆{x|m+1≤x≤2m+4(m∈R)}，于是得{m +1≤12m +4≥3，解得−12≤m ≤0， 所以实数m 的取值范围为−12≤m ≤0. 所以答案是：−12≤m ≤013、建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了100人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中a =___________；b =___________；c =___________.答案： 9 8 10分析：根据韦恩图，结合看每部电影的人数可构造方程组求得结果.由题意得：{28+a +b +6=5135+a +c +6=6026+b +c +6=50 ，解得：{a =9b =8c =10.所以答案是：9；8；10.14、集合P ={x|6x−3∈Z 且x ∈Z}，用列举法表示集合P =________答案：{−3,0,1,2,4,5,6,9}解析：由已知可得6x−3∈Z ，则−6≤x −3≤6，解得−3≤x ≤9且x ∈Z ，结合题意，逐个验证，即可求解.由题意，集合P ={x|6x−3∈Z 且a ∈Z}，可得6x−3∈Z ，则−6≤x −3≤6， 解得−3≤x ≤9且x ∈Z ，当x =−3时，6−3−3=−1∈Z ，满足题意；当x=−2时，6−2−3=−65∉Z，不满足题意；当x=−1时，6−1−3=−32∉Z，不满足题意；当x=0时，60−3=−2∈Z，满足题意；当x=1时，61−3=−3∈Z，满足题意；当x=2时，62−3=−6∈Z，满足题意；当x=3时，63−3，此时分母为零，不满足题意；当x=4时，64−3=6∈Z，满足题意；当x=5时，65−3=3∈Z，满足题意；当x=6时，66−3=2∈Z，满足题意；当x=7时，67−3=32∉Z，不满足题意；当x=8时，68−3=65∉Z，不满足题意；当x=9时，69−3=1∈Z，满足题意；综上可得，集合P={−3,0,1,2,4,5,6,9}.所以答案是：{−3,0,1,2,4,5,6,9}.解答题15、已知集合A={x|−3≤x≤2}，B={x|2m−1≤x≤m+3}．(1)当m=0时，求∁R(A∩B)；(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围．答案：(1){x|x<−1或x>2}(2)m>4或m=−1分析：（1）先求交集，再求补集，即可得到答案；（2）由集合间的基本关系可得：B⊆A，对集合B进行讨论，即可得到答案；（1）当m=0时，B={x∣−1≤x≤3}，∴ A ∩B ={x ∣−1⩽x ⩽2}，∴ ∁R (A ∩B)={x|x <−1或x >2}（2）∵ A ∪B =A ⇒B ⊆A ，当B =∅时，2m −1>m +3⇒m >4；当B ≠∅时，m ⩽4且{2m −1⩾−3m +3⩽2，解得：m =−1， 综上所述：m >4或m =−1。
深圳东方英文书院必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知直线,m n 和平面α，n ⊂α，则“//m n ”是“//m α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．24x >成立的一个充分非必要条件是（ ）A ．23x >B ．2xC ．2x ≥D ．3x >3．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．04．若命题“∃x 0∈R ，x ＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．[－1，3]C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)5．已知1:12p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4]-∞B ．[1,4]C ．(1,4]D ．(1,4)6．设集合{}1,0,1,2,3A =-， 2{|30}B x x x =->，则()R A C B （ ）A ．{－1}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}7．函数()31f x x ax =--在()1,1-上不单调的一个充分不必要条件是（ ） A ．[]0,3a ∈B ．()0,5a ∈C ．()0,3a ∈D ．()1,2a ∈8．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．若命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥B ．“3sin x =的一个必要不充分条件是“3x π=”C ．若+=-a b a b ，则a b ⊥D ．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥9．已知命题P ：∃0x R ∈，20010x x -+≥；命题Q ：若a ＜b ，则1a ＞1b，则下列为真命题的是（ ） A ．P Q ∧B ．P Q ⌝∧ C ．P Q ⌝∧D ．P Q ⌝⌝∧10．已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c R =+++∈，则“230a b -≤”是“()f x 在R 上只有一个零点”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知,a b →→为非零不共线向量，设条件:()M b a b →→→⊥-，条件:N 对一切x ∈R ，不等式||||a x b a b →→→→-≥-恒成立，则M 是N 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B ，则()U C A B （ ）A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,3,5}D ．{2,3,4,5}二、填空题13．设集合{}260,M xx mx x R =-+=∈∣，且{2,3}M M =，则实数m 的取值范围是____. 14．已知集合(){},320,A a b a b a N =+-=∈，()(){}2,10,B a b k a a b a N =-+-=∈，若存在非零整数k ，满足A B ⋂≠∅，则k =______.15．命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题，则m 的取值范围是________. 16．给出下列命题： ①“1a >”是“11a<”的充分必要条件； ②命题“若21x <，则1x <”的否命题是“若21x ≥，则1x ≥”；③设x ，y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要不充分条件； ④设a ，b R ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件. 其中正确命题的序号是_________.17．已知命题“0x ∃∈[1，2]， 200210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为______．18．已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞0，则p ⌝为__________．19．设命题21:01x p x -<-，命题2:2110q x a x a a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．20．在正项等比数列{}n a 中，已知120151a a <=，若集合1212111|0,t t A t a a a t N a a a *⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-+-++-≤∈⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭，则A 中元素个数为______．三、解答题21．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-． （1）若2A ∈，则A 中至少还有几个元素？（2）集合A 是否为双元素集合？请说明理由． （3）若A 中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ．22．设集合{|33},{|13}A x x B x a x a =-≤≤=-≤≤+． （1）若1a =，求,A B A B ；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围．23．已知集合{}30A x x a =->，{}260B x x x =-->． （Ⅰ）当3a =时，求A B ，A B ；（Ⅱ）若()RA B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围．24．已知函数()f x =A ，()()()lg 12(1)g x x a a x a ⎡⎤=---<⎣⎦的定义域为B .（1）求A .（2）记2222222040/2/22300B A AB v v a m s m s S --===-⨯ :q x B ∈，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．25．设集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-. （1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围； （2）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；（3）当x ∈R 时，不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围. 26．已知0a >，设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足()231x -<．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】从充分性和必要性两方面分别分析判断得解. 【详解】直线,m n 和平面α，n ⊂α，若//m n ，当m α⊂时，//m α显然不成立，故充分性不成立；当//m α时，如图所示，显然//m n 不成立，故必要性也不成立．所以“//m n ”是“//m α”的既不充分又不必要条件. 故选：D 【点睛】方法点睛：判定充要条件常用的方法有三种：（1）定义法：直接利用充分必要条件的定义分析判断得解； （2）集合法：利用集合的包含关系分析判断得解； （3）转化法：转化成逆否命题分析判断得解.2．D解析：D 【分析】根据题意，找到24x >解集的一个真子集即可求解. 【详解】由24x >解得2x >或2x <-，所以24x >成立的一个充分非必要条件是(2)(2,)-∞-+∞的真子集，因为3+∞（，） (2)(2,)-∞-+∞，所以24x >成立的一个充分非必要条件是3x >， 故选：D 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，真子集的概念，属于中档题.3．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,22⎛-- ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4．C解析：C 【分析】根据二次函数的图象与性质，得到关于a 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<，则2(1)40a ∆=-->，解得3a >或1a <-， 所以实数a 的取值范围是(,1)(3,)-∞-+∞，故选C.【点睛】本题主要考查了存在性命题的真假判定及应用，其中熟记转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.5．C解析：C【分析】求出p ，q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由112x ≥-，即302x x -≤-，解得23x <≤， 由||2x a -<得22a x a -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤，实数a 的取值范围为(]1,4， 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于中档题.6．B解析：B 【分析】解出集合B ，进而求出R C B ，即可得到()R A C B ⋂. 【详解】{}{}{}23003,03,R B x x x x x x C B x x =->=∴=≤≤或故(){}{}{}1,0,1,2,3030,1,2,3R A C B x x ⋂=-⋂≤≤=. 故选B. 【点睛】本题考查集合的综合运算，属基础题.7．D解析：D 【分析】先求出()f x 在()1,1-上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案. 【详解】由已知，当()1,1x ∈-时，()[)23,3f x x a a a '=-∈--，当0a ≤时，()0f x '≥，当3a ≥时，()0f x '≤， 所以()f x 在()1,1-上单调，则0a ≤或3a ≥， 故()f x 在()1,1-上不单调时，a 的范围为()0,3，A ､B 是必要不充分条件，C 是充要条件，D 是充分不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.8．A解析：A 【分析】对选项逐个分析，对于A 项，根据特称命题的否定是全称命题，得到其正确；对于B 项，根据充分必要条件的定义判断正误；对于C 项根据向量垂直的条件得到其错误，对于D 项，从空间直线平面的关系可判断正误. 【详解】对于A ，命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥，A 正确；对于B ，当3x π=时， sin x =成立，所以“3x π=”是“sin x =”的充分条件，所以B 错误； 对于C ，a b >且两向量反向时 +=-a b a b 成立， a b ⊥不成立C 错误； 对于D ，若m n ⊥，m α⊥，βn//，则α，β的位置关系无法确定，故D 错误. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关选择正确命题的问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，充分必要条件的判断，空间直线和平面的关系，属于简单问题.9．B解析：B 【分析】判断命题P 为真命题，命题Q 为假命题，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】取00x =，则200110x x -+=≥，故命题P 为真命题；取2a =-，1b =，满足a b <，但是11a b<，故命题Q 为假命题. 故P Q ∧为假命题，P Q ⌝∧为真命题，P Q ⌝∧为假命题，P Q ⌝⌝∧为假命题.故选：B. 【点睛】本题考查了命题的真假判断，命题的否定，且命题，意在考查学生的计算能力和推断能力.10．A解析：A 【分析】求出()f x '，由230a b -≤知()0f x '≥恒成立，即函数()f x 在R 上单调递增，只有一个零点，然后可举例说明在230a b ->，即()f x 有两个极值点时，()f x 也可能只有一个零点，由此可得结论． 【详解】因为32()f x x ax bx c =+++，2()32f x x ax b '=++，若230a b -≤， 则24120a b ∆=-≤，则()0f x '≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增． 当x →+∞时，()f x →+∞，当x →-∞时，()f x →-∞， 所以()f x 在R 上只有一个零点，即充分性成立．令32a =，0b =，1c =-，则323()12f x x x =+-，2()333(1)f x x x x x '=+=+， 则()f x 在(,1)-∞-，(0,)+∞上单调递增，在(1,0)-上单调递减，又1(1)02f -=-<，3(1)02f =>，则()f x 在R 上只有一个零点，但不满足“230a b -≤”，即必要性不成立，所以“230a b -≤”是“()f x 在R 上只有一个零点”的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断、函数的零点的概念．注意区别A 是B 的充分不必要条件（A B ⇒且B A ⇒/）与A 的充分不必要条件是B （B A ⇒且A B ⇒/）两者的不同．11．C解析：C 【分析】条件M ：()b a b →→→⊥-20a b b ⇔⋅-=，条件N ：对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥-成立，化为：222220.x b a bx a b b -⋅+⋅-≥进而判断出结论． 【详解】条件M ：0b a a b ⊥⇔⋅=．条件N ：对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥-成立，化为：222220x b a bx a b b -⋅+⋅-≥．因为20b ≠，()2224()420a b b a b b ∴=⋅-⋅-≤， 22()0a b b →→→∴⋅-≤，即20a b b →→→⋅-=，可知：由M 推出N ，反之也成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．B解析：B 【分析】根据补集的运算，求得{3,5}U C A =，再根据集合交集的运算，即可求得()U C A B ⋂. 【详解】由题意，全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，可得{3,5}U C A =， 所以()U C A B {3,5}.故选：B . 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】由题意可得是集合的子集按集合中元素的个数结合根与系数之间的关系分类讨论即可求解【详解】由题意可得是集合的子集又当是空集时即方程无解则满足解得即此时显然符合题意；当中只有一个元素时即方程只有一解析：({}5m ∈-【分析】 由题意{}2,3MM =，可得M 是集合{}2,3的子集，按集合M 中元素的个数，结合根与系数之间的关系，分类讨论即可求解. 【详解】 由题意{}2,3MM =，可得M 是集合{}2,3的子集，又{}260,M x x mx x R =-+=∈，当M 是空集时，即方程260x mx -+=无解，则满足()2460m ∆=--⨯<，解得m -<<(m ∈-，此时显然符合题意；当M 中只有一个元素时，即方程260x mx -+=只有一个实数根，此时()2460m ∆=--⨯=，解得m =±x =x ={}2,3的子集中的元素，不符合题意，舍去；当M 中有两个元素时，则2,3M，此时方程260x mx -+=的解为12x =，23x =，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故235m =+=；当5m =时，可解得2,3M ，符合题意.综上m的取值范围为({}5m ∈-.故答案为：({}5m ∈-【点睛】方法点睛：根据集合的运算求参数问题的方法：要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；若集合表示的不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需要注意端点值是否取到.14．【分析】首先根据条件得到有实数解从而得到又根据为非零整数所以再分别验证的值即可得到答案【详解】因为存在非零整数满足所以有实数解且整理得：有实数解且所以解得因为为非零整数所以当时解得或符合题意当时解得 解析：1-【分析】首先根据条件得到()2231b a b k a a =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩k ≤≤，又根据k 为非零整数，所以1,1,2k =-，再分别验证k 的值即可得到答案. 【详解】因为存在非零整数，满足A B ⋂≠∅，所以()2231b ab k a a =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩有实数解，且a N ∈.整理得：()2320ka k a k +-+-=有实数解，且0k ≠，a N ∈.所以()()23420k k k ∆=---≥k ≤≤， 因为k 为非零整数，所以1,1,2k =-当1k =-时，2430a a -+=，解得1a =或3，符合题意. 当1k =时，2210a a +-=，解得a N ∉，舍去. 当2k =时，220a a +=，解得a N ∉，舍去. 综上1k =-. 故答案为：1- 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时一元二次不等式的解法，属于中档题.15．【分析】对分类讨论计算可得【详解】解：因为命题使得不等式是真命题当时恒成立满足条件；当时则解得综上可得即故答案为：【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围属于中档题 解析：[]0,4【分析】对m 分类讨论，计算可得. 【详解】解：因为命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题 当0m =时，10≥恒成立，满足条件；当0m ≠时，则2040m m m >⎧⎨-≤⎩解得04m <≤综上可得04m ≤≤即[]0,4m ∈ 故答案为：[]0,4 【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，属于中档题.16．②④【解析】【分析】逐项判断每个选项的正误得到答案【详解】①当时成立但不成立所以不具有必要性错误②根据否命题的规则得命题若则的否命题是若则；正确③因为且是的充分不必要条件所以错误④因为且所以是的必要解析：②④ 【解析】 【分析】逐项判断每个选项的正误得到答案. 【详解】①当1a =-时，11a<成立，但1a >不成立，所以不具有必要性，错误 ②根据否命题的规则得命题“若21x <，则1x <”的否命题是“若21x ≥，则1x ≥”；，正确.③因为2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分不必要条件，所以错误④因为00ab a ≠⇔≠且0b ≠，所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件.正确. 故答案为②④【点睛】本题考查了充分必要条件，否命题，意在考查学生的综合知识运用.17．【分析】由题意可得2a ＜x0在12的最大值运用对勾函数的单调性可得最大值即可得到所求a 的范围【详解】命题∃x0∈12x02﹣2ax0+1＞0是真命题即有2a ＜x0在12的最大值由x0在12递增可得x 解析：5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【分析】由题意可得2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a 的范围．【详解】命题“∃x 0∈[1，2]，x 02﹣2ax 0+1＞0”是真命题，即有2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值， 由x 001x +在[1，2]递增，可得x 0＝2取得最大值52， 则2a 52＜，可得a 54＜，则实数a 的取值范围为（﹣∞，54）． 故答案为（﹣∞，54）． 【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 18．【详解】根据全称命题的否定的概念可知p 为解析：00R,20x x ∃∈≤【详解】根据全称命题的否定的概念，可知⌝p 为00R,20x x ∃∈≤.19．【详解】试题分析：由题意得解得所以由解得即要使得是的充分不必要条件则解得所以实数的取值范围是考点：充分不必要条件的应用；不等式的求解【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用分式不等式 解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【详解】 试题分析：由题意得，21:01x p x -<-，解得112x <<，所以1:12p x <<，由2:2110q x a x a a ，解得1a x a ≤≤+，即1q a x a ≤≤+:，要使得p 是q的充分不必要条件，则11{12a a +≥≤，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：充分不必要条件的应用；不等式的求解．【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用、分式不等式和一元二次不等式的求解等知识的应用，本题的解答中根据分式不等式的求解和一元二次不等式的求解，求解,p q 的解集，再由p 是q 的充分不必要条件，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．20．4029【解析】试题分析：设等比数列公比为的公比为因为所以即所以解得考点：等比数列求和公式解析：4029【解析】试题分析：设等比数列公比为{}n a 的公比为，因为，所以,, 即，所以，解得.考点：等比数列求和公式. 三、解答题21．（1）A 中至少还有两个元素；（2）不是双元素集合，答案见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 【分析】（1）由x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-，结合2A ∈可计算得出集合A 中的元素；（2）由x A ∈，逐项可推导出11A x ∈-，1x A x -∈，结合集合元素满足互异性可得出结论；（3）由（2）A 中有三个元素为x 、11x -、1x x -（1x ≠且0x ≠），设A 中还有一个元素m ，可得出11A m ∈-，1m A m-∈，由已知条件列方程求出x 、m 的值，即可求得集合A 中的所有元素.【详解】（1）2A ∈，1112A ∴=-∈-． 1A -∈，()11112A ∴=∈--． 12A ∈，12112A ∴=∈-． A ∴中至少还有两个元素为1-，12； （2）不是双元素集合．理由如下：x A ∈，11A x ∴∈-，11111x A x x-=∈--， 由于1x ≠且0x ≠，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，则210x x -+≠， 则()11x x -≠，可得11x x≠-，由221x x x -+≠-，即()21x x -≠-，可得111x x x-≠-， 故集合A 中至少有3个元素，所以，集合A 不是双元素集合．（3）由（2）知A 中有三个元素为x 、11x -、1x x -（1x ≠且0x ≠）， 且1111x x x x-⋅⋅=--， 设A 中有一个元素为m ，则11A m ∈-，1m A m -∈，且1111m m m m -⋅⋅=--， 所以，1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，且集合A 中所有元素之积为1. 由于A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，设2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =（舍去）或2x =或12x =． 此时，2A ∈，1A -∈，12A ∈， 由题意得1111421213m m m m -+-+++=-，整理得3261960m m m -++=， 即()()()621320m m m -+-=，解得12m =-或3或23， 所以，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 【点睛】 关键点点睛：本题考查集合中元素相关的问题，解题时要结合题中集合A 满足的定义推导出其它的元素，以及结合已知条件列方程求解，同时注意集合中元素满足互异性. 22．（1）{}34A B x x ⋃=-≤≤,{}03A B x x ⋂=≤≤；（2）20a -≤≤.【分析】（1）代入a 的值，根据交集和并集的概念以及运算求解出,AB A B ； （2）根据AB B =分析出B A ⊆，由此列出关于a 的不等式，求解出a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，{}04B x x =≤≤且{}33A x x =-≤≤， 所以{}34A B x x ⋃=-≤≤，{}03A B x x ⋂=≤≤；（2）因为A B B =，所以B A ⊆，且31a a +>-，所以B ≠∅，所以1333a a -≥-⎧⎨+≤⎩，所以20a -≤≤. 【点睛】结论点睛：常见集合的交集、并集运算性质：（1）若A B B =，则B A ⊆；（2）若A B B ⋃=，则A B ⊆.23．（Ⅰ）{}3A B x x ⋂=>，{|2A B x x ⋃=<-或1}x >；（Ⅱ）(),9-∞.【分析】（Ⅰ）解不等式求得集合,A B ，再由交并集的定义求解；（Ⅱ）求出A 与B R ，然后分析两集合有公共元素时的不等关系，可得a 的范围． 【详解】由30x a ->得3a x >，所以3a A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭ 由260x x -->，得()()230x x +->，解得2x <-或3x >，所以{}2B x x =<-或3}x >．（Ⅰ）当3a =时，{}1A x x =>， 所以{}3A B x x ⋂=>，{|2A B x x ⋃=<-或1}x >（Ⅱ）因为{|2B x x =<-或3}x >， 所以{}23B x x =-≤≤R ．又因为()R A B ⋂≠∅，所以33a <，解得9a <． 所以实数a 的取值范围是(),9-∞．【点睛】本题考查集合的表示、运算，考查集合间的关系，考查一元二次不等式的解法．属于基础题．24．（1） {|11}A x x x =≥≤-或 (2)][1,2,12⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二次根式有意义条件,可解不等式得定义域A.（2）根据对数函数真数大于0,解不等式得集合B.根据p 是q 的的必要不充分条件,即可得关于a 的不等式,进而求得a 的取值范围.【详解】（1）要使()f x 有意义，则()()3x 22x 0-+-≥化简整理得()()x 1x 10+-≥解得x 1x 1≥≤-或 ∴ A {x |x 1x 1}=≥≤-或（2）要使()g x 有意义，则()()x a 12a x ]0--->即()()x a 1x 2a ]0---<又a 1<a 12a ∴+> B {x |2a x a 1}∴=<<+p 是q 的必要不充分条件B ∴是A 的真子集2a 1a 11∴≥+≤-或解得1a 1a 22≤<≤-或 a ∴的取值范围为][1,2,12⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法,充分必要条件的应用,根据集合的关系求参数的取值范围,属于基础题.25．（1）{}3|m m ≤（2）254 （3）{}|24m m m <>或【分析】（1）对集合B 分空集和非空集两种情况讨论得解；（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，再求A 的非空真子集个数；（3）分B =∅和B ≠∅两种情况讨论得解.【详解】（1）当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆.当121m m +≤-，即2m ≥时，要使B A ⊆成立，只需12,215,m m +≥-⎧⎨-≤⎩即23m ≤≤. 综上，当B A ⊆时，m 的取值范围是{}3|m m ≤.（2）当x ∈Z 时，{}2,1,0,1,2,3,4,5A =--，∴集合A 的非空真子集个数为822254-=.（3）∵x ∈R ，且{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-，又不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，∴当B =∅，即121m m +>-，得2m <时，符合题意；当B ≠∅，即121m m +≤-，得2m ≥时，2,15,m m ≥⎧⎨+>⎩或2,212,m m ≥⎧⎨-<-⎩解得4m >. 综上，所求m 的取值范围是{}|24m m m <>或.【点睛】本题主要考查集合的关系和真子集的个数的计算，考查集合的元素和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．(1) 23x <<;(2) 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）p 为真时实数x 的取值范围是13x <<，q 为真时实数x 的取值范围是，然后求交集即可；（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件即即q 是p 的充分不必要条件，易得：2a ≤且43a ≤.试题（1）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<当1a =时，13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.由()231x -<，得24x <<，即q 为真时实数x 的取值范围是24x <<因为p q ∧为真，所以p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<. （2）由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<， 所以，p 为真时实数x 的取值范围是3a x a <<.因为 p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件 所以2a ≤且43a ≤所以实数a 的取值范围为：4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
专题一 集合与常用逻辑用语第一讲 集合答案
专题一集合与常用逻辑用语第一讲集合答案部分1．A【解析】由题意A B ={0, 2}，故选A．2．C【解析】因为U = {1, 2,3, 4,5}，A = {1,3} ，所以U A= {2，4，5}．故选C．3．C【解析】因为A ={1,3,5, 7}，B ={2,3, 4,5}，所以A B ={3,5} ，故选C．4．A【解析】A ={x || x |< 2} = (-2, 2) ，B ={-2, 0,1, 2}，∴A B ={0,1} ，故选A．5．C【解析】由题意知，A ={x | x -1≥0}，则A B ={1, 2} ．故选C．6．C【解析】由题意A 0,1, 2,3, 4}，∴(A B) C = {-1, 0,1}，故选C．7．A【解析】∵B ={x | x <3}，∴A B ={x | x <3} ，选A．2 28．A【解析】由并集的概念可知，A B ={1, 2,3, 4} ，选A．9．B【解析】由集合交集的定义A B ={2, 4}，选B．10．B【解析】∵A B ={1, 2, 4, 6} ，( A B) C ={1, 2, 4} ，选B．11．C【解析】M ={x | 0 <x < 2}，所以M N ={x | 0 <x < 2}，选C．12．C【解析】U A ={x | -2≤x ≤2}，选C．13．A【解析】由题意可知P Q ={x | -1 <x < 2} ，选A．14．B【解析】由题意得，A = {1,3,5,7} ，B = {x | 2 x 5} ，则A B = {3,5} ．选B．15．D【解析】易知B = {x | -3 <x < 3}，又A = {1, 2,3}，所以A B = {1, 2}故选D．16．C【解析】由补集的概念，得AB = {0,2,6,10}，故选C．17．A【解析】∵A = (-1, 2) ，B = (0,3) ，∴A B = (-1,3) ．18．D【解析】集合A = {x | x = 3n + 2, n ∈N} ，当n = 0 时，3n + 2 = 2 ，当n = 1 时，3n + 2 = 5 ，当n = 2 时，3n + 2 = 8 ，当n = 3 时，3n + 2 = 11 ，当n = 4 时，3n + 2 =14 ，∵B = {6,8,10,12,14} ，∴A B 中元素的个数为2，选D．B ={-1,19．A 【解析】 A B = {x | -3 < x < 2} ．20．B 【解析】 U B = {2,5}，∴ AUB = {2, 5}．21．A 【解析】∵ M = {0,1}， N = {x | 0 < x ≤1}，∴ M N =[0,1]．22．C 【解析】因为 B ={x |1 < x < 3}，所以 A B = (2,3) ，故选 C ．23．D 【解析】∵ MN ={0,1} ．24．B 【解析】 MN = {1} ．25．C 【解析】由题意知， A = {(x , y ) x 2 + y 2 ≤ 1, x , y ∈ Z } = {(1, 0),(-1, 0),(0,1),(0, -1)}，B = {(x , y ) | x |≤ 2 , | y |≤ 2, x , y ∈ Z }，所以由新定义集合 A ⊕ B 可知， x 1 = ±1, y 1 = 0或 x 1 = 0, y 1 = ±1 .当 x 1 = ±1, y 1 = 0 时， x 1 + x 2 = -3, -2, -1,0,1, 2,3 ，y 1 + y 2 = -2, -1,0,1, 2 ，所以此时 A ⊕ B 中元素的个数有： 7 ⨯ 5 = 35 个； 当 x 1 = 0, y 1 = ±1 时， x 1 + x 2 = -2, -1, 0,1, 2 ， y 1 + y 2 = -3, -2, -1, 0,1, 2,3，这种情形下和第一种情况下除 y 1 + y 2 的值取-3 或3 外均相同，即此时有5 ⨯ 2 = 10 ，由分类计数原理知， A ⊕ B 中元素的个数为35 +10 = 45 个，故应选 C ． 26．A 【解析】 A = {x | x ≤ -1或x ≥3}，故 A B =[ - 2, - 1]． 27．D 【解析】 N = {x |1≤ x ≤ 2}，∴ MN =｛1，2｝．28．B 【解析】∵ B = {-1, 2}，∴ A B = {2}．29．C 【解析】| x -1|< 2 ⇒ -1 < x < 3 ，∴ A = (-1,3) ， B = [1, 4] ．∴ A B = [1,3) ．30．C 【解析】∵ A = (0, 2) ， B = [1, 4] ，所以 A B = [1, 2) ．31．C 【解析】 M ⋃ N = {-1, 0,1}⋃{0,1, 2} = {-1, 0,1, 2}，选 C ． 32．A 【解析】 P Q = {x 3 ≤ x < 4}．33．B 【解析】由题意知U = {x ∈ N | x ≥ 2}， A = {x ∈ N | x ≥ 5}，所以 U A ={x ∈ N | 2 ≤ x < 5}，选 B ．N T = 34．C 【解析】∵ A = {x | x 2 - 2x = 0}= {0, 2}．∴ A B = ={0, 2}． 35．C 【解析】 A B = {x | 2 < x < 3} ． 36．B 【解析】∵ x 2 < 1，∴ -1 < x < 1 ，∴ MN = {x | 0 ≤x < 1}，故选 B ．37．C 【解析】 A = {x | -3, x < 3} ， R B = {x | x ≤ -1或x > 5}，∴ A ( R B ) = {x | -3≤x ≤ -1}． 38．D 【解析】由已知得， A B = {x x ≤ 0 或 x ≥ 1}，故 U ( A B ) = {x | 0 < x < 1}．39．A 【解析】 A = {x | -1 ≤ x ≤ 2}， B = Z ，故 AB = {-1, 0,1, 2}．40．C 【解析】 U A = {2, 4, 7} ．41．C 【解析】“存在集合C 使得 A ⊆ C , B ⊆UC ” ⇔ “ A B = ∅ ”，选 C ．42．B 【解析】A =( - ∞ ,0)∪(2，+ ∞ )，∴A B =R ，故选 B ． 43．A 【解析】 B = {1, 4,9,16}，∴ A B = {1, 4}． 44．A 【解析】∵ M = (-1,3) ，∴ M N = {0,1, 2}．45．C 【解析】因为 M = {x -3 < x < 1} ， N = {-3, -2, -1, 0,1},所以 M = {- 2, -1,0} ，选 C ．46．A 【解析】由题意 A B = {1, 2,3} ，且 B = {1, 2} ，所以 A 中必有 3，没有 4，UB = {3, 4}，故 AUB = {3}．47．C 【解析】 x = 0, y = 0,1, 2, x - y = 0, -1, -2 ； x = 1, y = 0,1, 2, x - y = 1, 0, -1；x = 2, y = 0,1, 2, x - y = 2,1, 0．∴ B 中的元素为-2, -1, 0,1, 2 共 5 个．48．A 【解析】A ： x > -1， R A ={x | x ≤-1} ， ( R A ) B = {-1, -2}，所以答案选 A49．D 【解析】由集合 A ，1 < x < 4 ；所以 A B = (1, 2] ．50．B 【解析】集合 B 中含- 1，0，故 A B = {-1, 0}．51．A 【解析】∵ S = {-2, 0}， T = {0, 2}，∴ S {0}．52．B 【解析】特殊值法,不妨令 x = 2, y = 3, z = 4 , w = 1 ,则( y , z , w ) = (3, 4,1)∈ S ,R M (x , y , w ) = (2,3,1)∈ S ,故选 B ．如果利用直接法：因为(x , y , z )∈ S ，(z , w , x )∈S ，所以 x < y < z …①， y < z < x …②， z < x < y …③三个式子中恰有一个成立； z < w < x …④， w < x < z …⑤，x < z < w …⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时 w < x < y < z ，于是( y , z , w )∈S ， (x , y , w )∈S ；第二种：①⑥成立， 此时 x < y < z < w ，于是( y , z , w )∈S ， (x , y , w )∈S ；第三种：②④成立， 此时 y < z < w < x ，于是( y , z , w )∈S ， (x , y , w )∈S ；第四种：③④成立， 此时 z < w < x < y ，于是( y , z , w )∈S ， (x , y , w )∈S . 综合上述四种情况，可得( y , z , w )∈S ， (x , y , w )∈S .53．D 【解析】 f (x ) 的定义域为 M =[ - 1,1],故 = (-∞, -1) ⋃ (1, +∞) ,选 D54．A 【解析】当a = 0 时，1 = 0 不合，当a ≠ 0 时， ∆ = 0 ，则a = 4 ． 55．C 【解析】 A = [0, +∞)， B = [2, 4]，∴ ARB = [0, 2) (4, +∞) ．56．A 【解析】57．D 【解析】 ={2, 4, 6}．Q = {3, 4, 5}，∴ U Q ={1, 2, 6}，∴ PUQ ={1, 2}．58．D 【解析】由 M ={1，2，3，4}，N ={ - 2，2}，可知- 2∈N ，但是- 2∉M ，则 N ⊄ M ，故 A 错误．∵M N ={1，2，3，4， - 2}≠M ，故 B 错误．M∩N ={2}≠N ，故 C 错误，D 正确．故选 D ．59．B 【解析】A =（ - 1,2），故 B ⊂≠ A ，故选B ． 60．D 【解析】 A = {x -3 ≤ 2x -1 ≤ 3} = [-1, 2] ， B = (1, +∞) ⇒ A B = (1, 2] ． 61．C 【解析】根据题意容易看出 x + y 只能取- 1,1,3 等 3 个数值．故共有 3 个元素．62．D 【解析】 P = {x | x < 1} ∴ R P ={x | x ≥1}，又∵ Q = {x | x > 1} ，∴ Q ⊆ R P ，故选 D ．63．B 【解析】 P = M N = {1,3}，故 P 的子集有 4 个．64．C 【解析】因为 P M = P ，所以 M ⊆ P ，即a ∈ P ，得a 2≤ 1，解得-1 ≤ a ≤ 1 ，所以a 的取值范围是[-1,1] ．U MN = M 2 2⎩ ⎪2 ⎩ 2 1 65．D 【解析】因为 MN = {1, 2,3, 4}，所以( U M ) ( UN )=U(M N ) ={5, 6} ．66．B 【解析】因为 ，所以 N = N= U [( U N ) M ] ={1, 3, 5}．⎧x 2 + y 2 = 1 67．C 【解析】由⎨ x + y = 1消去 y ，得 x 2 - x = 0 ，解得 x = 0 或 x = 1 ，这时 y = 1或 y = 0 ，即 A B = {(0,1), (1, 0)}，有 2 个元素．68．A 【解析】集合 MN = {-1, 0,1} {0,1, 2}={0,1}．69．C 【解析】对于集合 M ，函数 y =| cos 2x | ，其值域为[0,1] ，所以 M = [0,1] ，根据复数模的计算方法得不等式则 MN = [0,1] ．< 2 ，即 x 2 < 1 ，所以 N = (-1,1) ，70．A 【解析】根据题意可知， N 是 M 的真子集，所以 M．71．C 【解析】 M N = {1, 2,3} {2,3, 4} = {2,3}故选 C.72．D 【解析】 R B = {x | x ≥1}, ARB = {x |1≤ x ≤ 2}73．B 【解析】Q = {x - 2＜x ＜2}，可知 B 正确，⎧ x > 0 74．A 【解析】不等式log x 1，得⎪ ，得 x ，1⎨log 2所以 A = (-∞, 0] ⎛ 2 , +∞ ⎫．R 2 ⎪⎝ ⎭75．D 【解析】因为 A B = {3}，所以 3∈ A ，又因为U B A = {9} ，所以 9∈A ，所以选D ．本题也可以用 Venn 图的方法帮助理解．76．{1，8}【解析】由集合的交运算可得 A B = {1，8}．77．1【解析】由题意1∈ B ，显然 a = 1 ，此时a 2+ 3 = 4 ，满足题意，故a = 1 ． 78．5【解析】 A B = {1, 2,3} {2, 4,5} ={1, 2,3, 4,5} ，5 个元素．79．{1,2,3}【解析】 U B ={2} ， A( U B )={1, 2,3} ．U M ⊂ N ( U M ) = U ( U N ) ( U M ) x 2 +1 log 1 ( 2 1 12 )29 1080．{-1,3}【解析】 A B = {-1,3}．81．{7,9}【解析】U = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10},U A = {4, 6, 7,9,10},82．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1, 4) ， (3, 2,1, 4) ；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1, 2, 4) ；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1, 4,3) ， (3,1, 4, 2) ， (4,1,3, 2) ．综上符合条件的有序数组的个数是 6． 83．{6,8} 【解析】(={6,8} {2, 6,8} = {6,8} ．84．【解析】（1）5 根据k 的定义，可知k = 21-1+ 23-1 = 5 ；（2）{a 1 , a 2 , a 5 , a 7 , a 8} 此时k = 211，是个奇数，所以可以判断所求集中必含元素a 1 ，又28 , 29均大于 211，故所求子集不含 a , a ，然后根据2j ( j =1,2, ⋅⋅⋅ 7)的值易推导出所求子集为{a 1 , a 2 , a 5 , a 7 , a 8} ．85．1【解析】考查集合的运算推理．3∈ B ， a + 2 = 3 ， a = 1 ．( U A ) B = {7,9}．UA ) B。
高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识点总结全面整理(带答案)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识点总结全面整理单选题1、设x∈R，则“1<x<2”是“−2<x<2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要答案：A分析：根据集合{x|1<x<2}是集合{x|−2<x<2}的真子集可得答案.因为集合{x|1<x<2}是集合{x|−2<x<2}的真子集，所以“1<x<2”是“−2<x<2”的充分不必要条件.故选：A小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含．2、集合M={2,4,6,8,10},N={x|−1<x<6}，则M∩N=（）A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{2,4,6,8,10}答案：A分析：根据集合的交集运算即可解出．因为M={2,4,6,8,10}，N={x|−1<x<6}，所以M∩N={2,4}．故选：A.3、已知集合A={x|x2−2x≤0}，B={−1,0,3}，则(∁R A)∩B=（）A．∅B．{0,1}C．{−1,0,3}D．{−1,3}答案：D分析：先由一元二次不等式的解法求得集合A，再由集合的补集和交集运算可求得答案.因为A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，所以∁R A={x|x<0或x>2}，又B={−1,0,3}，所以(∁R A)∩B={−1,3}，故选：D．4、若集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,2,4}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=（）．A．{3}B．{5}C．{3,4,5}D．{1,3,4,5}答案：A分析：根据补集的定义和运算求出∁U A，结合交集的概念和运算即可得出结果.由题意知，∁U A={1,3,5}，又B={3,4}，所以(∁U A)∩B={3}.故选：A5、下列说法正确的是（）A．由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}B．∅与{0}是同一个集合C．集合{x|y=x2−1}与集合{y|y=x2−1}是同一个集合D．集合{x|x2+5x+6=0}与集合{x2+5x+6=0}是同一个集合答案：A分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案集合中的元素具有无序性，故A正确；∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素0的集合，故B错误；集合{x|y=x2−1}=R，集合{y|y=x2−1}={y|y≥−1}，故C错误；集合{x|x2+5x+6=0}={x|(x+2)(x+3)=0}中有两个元素−2,−3，集合{x2+5x+6=0}中只有一个元素，为方程x2+5x+6=0，故D错误.故选：A.6、2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C分析：因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C ．7、若a 、b 为实数，则“ab >1”是“b >1a ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：D分析：利用推理判断或举特例说明命题“若ab >1，则b >1a ”和“若b >1a ，则ab >1”的真假即可作答.若ab >1成立，取a =−1,b =−2，而−2<1−1，即命题“若ab >1，则b >1a ”是假命题， 若b >1a 成立，取a =−1,b =2，而(−1)⋅2<0，即命题“若b >1a ，则ab >1”是假命题，所以“ab >1”是“b >1a ”的既不充分也不必要条件.故选：D8、下列命题中正确的是（ ）①∅与{0}表示同一个集合②由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}③方程(x −1)2(x −2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2}④集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对答案：C分析：由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．解：对于①，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而ϕ不含任何元素，所以①不正确；对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.综上可得只有②正确.故选：C.多选题9、已知集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，若A⊆B，则实数a可以为（）A．12B．1C．0D．以上选项都不对答案：ABC解析：由子集定义得A=∅或A={1}或A={2}，从而1a 不存在，1a=1，1a=2，由此能求出实数a．解：∵集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，A⊆B，∴A=∅或A={1}或A={2}，∴1a 不存在，1a=1，1a=2，解得a=1，或a=1，或a=12．故选：ABC．小提示：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．10、以下满足{0,2,4}⊆A{0,1,2,3,4}的集合A有（）A．{0,2,4}B．{0,1,3,4}C．{0,1,2,4}D．{0,1,2,3,4}答案：AC分析：直接写出符合题意要求的所有集合A ，再去选项中选正确答案.由题意可知，集合A 包含集合{0,2,4}，同时又是集合{0,1,2,3,4}的真子集，则所有符合条件的集合A 为{0,2,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4}.选项BD 均不符合要求，排除.故选：AC11、已知集合A ={x|x 2−x −6=0},B ={x|mx −1=0},A ∩B =B ，则实数m 取值为（ ）A ．13B ．−12C ．−13D ．0 答案：ABD解析：先求集合A ，由A ∩B =B 得B ⊆A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可解：由x 2−x −6=0，得x =−2或x =3，所以A ={−2,3}，因为A ∩B =B ，所以B ⊆A ，当B =∅时，方程mx −1=0无解，则m =0，当B ≠∅时，即m ≠0，方程mx −1=0的解为x =1m ， 因为B ⊆A ，所以1m =−2或1m =3，解得m =−12或m =13，综上m =0，或m =−12，或m =13，故选：ABD小提示：此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题12、已知关于x 的方程x 2+(m −3)x +m =0，下列结论正确的是（ ）A ．方程x 2+(m −3)x +m =0有实数根的充要条件是m ∈{m|m <1或m >9}B ．方程x 2+(m −3)x +m =0有一正一负根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}C ．方程x 2+(m −3)x +m =0有两正实数根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}D ．方程x 2+(m −3)x +m =0无实数根的必要条件是m ∈{m|m >1}答案：CD解析：根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.在A中，二次方程有实数根，等价于判别式Δ=(m−3)2−4m≥0，解得m≤1或m≥9，即二次方程有实数根的充要条件是m∈{m|m≤1或m≥9}，故A错误；在B中，二次方程有一正一负根，等价于{(m−3)2−4m>0m<0，解得m<0，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B错误；在C中，方程有两正实数根，等价于{Δ=(m−3)2−4m≥03−m>0,m>0,解得0<m≤1，故方程有两正实数根的充要条件是m∈{m∣0<m≤1}，故C正确；在D中，方程无实数根，等价于Δ=(m−3)2−4m<0得1<m<9，而{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故m∈{m|m>1}是方程无实数根的必要条件，故D正确；故选：CD．小提示：名师点评关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的充分条件，则p可推出q，即p对应集合是q对应集合的子集；（2）若p是q的必要条件，则q可推出p，即q对应集合是p对应集合的子集；（3）若p是q的充要条件，则p，q可互推，即p对应集合与q对应集合相等.13、已知M为给定的非空集合，集合T={T1,T2,⋯,T n}，其中T i≠∅，T i⊆M，且T1∪T2∪⋯∪T n=M，则称集合T是集合M的覆盖；如果除以上条件外，另有T i∩T j=∅，其中i=1,2,3,⋯,n，j=1,2,3,⋯,n，且i≠j，则称集合T是集合M的划分.对于集合A={a,b,c}，下列命题错误的是（）A．集合S={{a,b},{b,c}}是集合A的覆盖B．集合Q={{a},{a,b},{a,c}}是集合A的划分C．集合E={{a},{b},{c}}不是集合A的划分D．集合F={{a},{a,c}}既不是集合A的覆盖，也不是集合A的划分答案：BC分析：根据集合新定义以及集合的交、并运算，逐一判断即可.对于A，集合S={{a,b},{b,c}}满足{a,b}⊆A，{b,c}⊆A，且{a,b}∪{b,c}=A，故集合S是集合A的覆盖，选项A正确；对于B，集合Q={{a},{a,b},{a,c}}中，{a,b}∩{a,c}≠∅，不满足题目定义中“T i∩T j=∅”，故集合Q={{a},{a,b},{a,c}}不是集合A的划分，选项B错误；对于C，集合E={{a},{b},{c}}是集合A的划分，因为{a}⊆A，{b}⊆A，{c}⊆A，且{a}∪{b}∪{c}=A，{a}∩{b}=∅，{b}∩{c}=∅，{a}∩{c}=∅，满足定义中的所有要求，选项C错误；对于D，集合F={{a},{a,c}}中，{a}∪{a,c}≠A，{a}∩{a,c}≠∅，故集合F={{a},{a,c}}既不是集合A的覆盖，也不是集合A的划分，选项D正确. 故选：BC.填空题14、命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是__________．答案：存在一个无理数，它的平方不是有理数分析：根据全称命题的否定形式，即可求解结论.存在一个无理数，它的平方不是有理数，全称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，故所求的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”．所以答案是：存在一个无理数，它的平方不是有理数小提示：本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题. 15、若命题“∀x∈(3,+∞),x>a”是真命题，则a的取值范围是__________.答案：(−∞,3]分析：根据不等式恒成立求解即可.对于任意x>3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,∴a⩽3.所以答案是：(−∞,3].16、若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．答案：m>3分析：由题，“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件，则是(3,+∞)的真子集，可得答案. 因为“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件，所以是(3,+∞)的真子集，所以m >3，故答案为m >3.小提示：本题考查了不要不充分条件，属于基础题.解答题17、在①A ∪B =B ；②“x ∈A ”是 “x ∈B ”的充分不必要条件；③A ∩B =∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合A ={x |a −1≤x ≤a +1}，B ={x |x 2−2x −3≤0}(1)当a =2时，求A ∪B ；(2)若______，求实数a 的取值范围.答案：(1)A ∪B ={x|−1≤x ≤3}(2)条件选择见解析，(−∞,−2)∪(4,+∞)分析：（1）化简集合A 与B 之后求二者的并集（2）先判断集合A 与B 的关系，再求a 的取值范围（1）当a =2时，集合A ={x|1≤x ≤3}，B ={x|−1≤x ≤3}，所以A ∪B ={x|−1≤x ≤3}；（2）若选择①A ∪B ＝B ，则A ⊆B ，因为A ={x|a −1≤x ≤a +1}，所以A ≠∅，又B ={x|−1≤x ≤3}，所以{a −1≥−1a +1≤3，解得0≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是[0,2]．若选择②，“x ∈A “是“x ∈B ”的充分不必要条件，则AB ，因为A ={x|a −1≤x ≤a +1}，所以A ≠∅， 又B ={x|−1≤x ≤3}，(),m +∞(),m +∞所以{a −1≥−1a +1≤3，解得0≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是[0,2]．若选择③，A ∩B =∅，因为A ={x|a −1≤x ≤a +1}，B ={x|−1≤x ≤3}，所以a −1>3或a +1<−1，解得a >4或a <−2，所以实数a 的取值范围是(−∞,−2)∪(4,+∞)．18、已知集合A ={x |x ≤−3或x ≥−1}，B ={x|2m <x <m −1}，且A ∪B =A ，求m 的取值范围． 答案：m ≤−2或m ≥−1分析：因为A ∪B =A ，所以B ⊆A ，分别讨论B =ϕ和B ≠ϕ两种情况然后求并集.解：因为A ∪B =A ，所以B ⊆A ，当B =ϕ时，2m ≥m −1，解得：m ≥−1；当B ≠ϕ时，{2m <m −1m −1≤−3或{2m <m −12m ≥−1解得：m ≤−2或m ∈ϕ 所以m ≤−2或m ≥−1.。
(精选试题附答案)高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识点归纳总结(精华版)
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识点归纳总结(精华版)单选题1、已知集合A={1，2，3，5，7，11}，B={x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5答案：B分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B={5,7,11}，故A∩B中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2、已知集合A={x|x2−2x=0}，则下列选项中说法不正确的是（）A．∅⊆A B．−2∈A C．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}答案：B分析：根据元素与集合的关系判断选项B，根据集合与集合的关系判断选项A、C、D.由题意得，集合A={0,2}．所以−2∉A，B错误；由于空集是任何集合的子集，所以A正确；因为A={0,2}，所以C、D中说法正确．故选：B．3、集合A={0,1,2}的非空真子集的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：根据真子集的定义即可求解.由题意可知，集合A的非空真子集为{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6个.故选：B.4、设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7}，则M∩N=（）A．{7,9}B．{5,7,9}C．{3,5,7,9}D．{1,3,5,7,9}答案：B分析：求出集合N后可求M∩N.,+∞)，故M∩N={5,7,9}，N=(72故选：B.5、集合A={0,−1,a2},B={−2,a4}.若A∪B={−2,−1,0,4,16}，则a=（）A．±1B．±2C．±3D．±4答案：B分析：根据并集运算，结合集合的元素种类数，求得a的值.由A∪B={−2,−1,0,4,16}知，{a2=4，解得a=±2a4=16故选：B6、设集合A={−1,0,1,2}，B={1,2}，C={x|x=ab,a∈A,b∈B}，则集合C中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：分别在集合A,B中取a,b，由此可求得x所有可能的取值，进而得到结果.当a=−1，b=1时，ab=−1；当a=−1，b=2时，ab=−2；当a=0，b=1或2时，ab=0；当a=1，b=1时，ab=1；当a=1，b=2或a=2，b=1时，ab=2；当a=2，b=2时，ab=4；∴C={−2,−1,0,1,2,4}，故C中元素的个数为6个.故选：B.7、已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A分析：由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立；若a2>36，则a>6或a<−6，推不出a>6，故必要性不成立；所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.故选：A.8、设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则（）A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M答案：A分析：先写出集合M,然后逐项验证即可由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误故选:A9、设集合A={2,a2−a+2,1−a}，若4∈A，则a的值为（）．A．−1，2B．−3C．−1，−3，2D．−3，2答案：D分析：由集合中元素确定性得到：a=−1，a=2或a=−3，通过检验，排除掉a=−1.由集合中元素的确定性知a2−a+2=4或1−a=4．当a2−a+2=4时，a=−1或a=2；当1−a=4时，a=−3．当a=−1时，A={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a=−1舍去；当a=2时，A={2,4,−1}满足集合中元素的互异性，故a=2满足要求；当a=−3时，A={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a=−3满足要求．综上，a=2或a=−3．故选：D．10、已知非空集合A、B、C满足：A∩B⊆C，A∩C⊆B．则（）．A．B=C B．A⊆(B∪C)C．(B∩C)⊆A D．A∩B=A∩C答案：C分析：作出符合题意的三个集合之间关系的venn图即可判断.解：因为非空集合A、B、C满足：A∩B⊆C，A∩C⊆B，作出符合题意的三个集合之间关系的venn图，如图所示，所以A∩B=A∩C．故选：D．填空题11、已知p:x>2，q:x>1，则p是q的_______________（充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空）．答案：充分条件分析：根据集合关系判断即可得答案.设命题p:x>2对应的集合为A={x|x>2},命题q：x>1对应的集合为B={x|x|x>1},因为A⊊B,所以命题p是命题q的充分条件.所以答案是：充分条件.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）若p是q的既不充分又不必要条件，则q对的集合与p对应集合互不包含．12、已知[x]表示不超过x的最大整数.例如[2.1]=2，[−1.3]=−2，[0]=0，若A={y∣y=x−[x]}，B={y∣0≤y≤m}，y∈A是y∈B的充分不必要条件，则m的取值范围是______.答案：[1,+∞)分析：由题可得A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求.∵[x]表示不超过x的最大整数，∴[x]≤x，0≤x−[x]<1，即A={y∣y=x−[x]}=[0,1)，又y∈A是y∈B的充分不必要条件，B={y∣0≤y≤m}，∴A⊊B，故m≥1，即m的取值范围是[1,+∞).所以答案是：[1,+∞).13、设集合A={−1,1,3}，B={a+2,a2+4}，A∩B={3}.则实数a=_______.答案：1分析：由A∩B={3}可得3∈A,3∈B，从而得到a+2=3，即可得到答案.因为A∩B={3}，所以3∈A,3∈B，显然a2+4≠3，所以a+2=3，解得：a=1.所以答案是：1.小提示：本题考查利用集合的基本运算求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.14、满足{1}⊆A{1，2，3}的所有集合A是___________．答案：{1}或{1，2}或{1，3}分析：由题意可得集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，从而可求出集合A因为{1}⊆A{1，2，3}，所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}，所以答案是：{1}或{1，2}或{1，3}15、已知命题“存在x∈R，使ax2−x+2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是___________.答案：a>18分析：转化为命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题，根据二次函数知识列式可解得结果. 因为命题“存在x∈R，使ax2−x+2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题，当a=0时，得x<2，故命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是假命题，不合题意；当a≠0时，得{a>0Δ=1−8a<0，解得a>1 8 .所以答案是：a>18小提示：关键点点睛：转化为命题“∀x∈R，使得ax2−x+2>0”是真命题求解是解题关键. 解答题16、已知m>0,p:(x+1)(x−5)≤0,q:1−m≤x≤1+m.（1）若m=5，p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数x的取值范围；（2）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：（1）{x|−4≤x <−1或5<x ≤6}；（2）[4,+∞).分析：（1）由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，可得p 与q 一真一假，然后分p 真q 假，p 假q 真，求解即可；（2）由p 是q 的充分条件，可得[−1,5]⊆[1−m,1+m]，则有{m >01−m ≤−11+m ≥5，从而可求出实数m 的取值范围（1）当m =5时，q:−4≤x ≤6，因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，故p 与q 一真一假，若p 真q 假，则{−1≤x ≤5x <−4或x >6，该不等式组无解； 若p 假q 真，则{x <−1或x >5−4≤x ≤6，得−4≤x <−1或5<x ≤6， 综上所述，实数的取值范围为{x|−4≤x <−1或5<x ≤6}；（2）因为p 是q 的充分条件，故[−1,5]⊆[1−m,1+m]，故{m >01−m ≤−11+m ≥5，得m ≥4，故实数m 的取值范围为[4,+∞).17、已知p:A ={x|x <−2或x >10},q:B ={x|x <1−m 或x >1+m,m >0}，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.答案：{m|m ≥9}.分析：由题设p 、q 间的关系可得B ⊂≠A ，根据集合A 、B 的描述列方程组求m 的参数即可. 由p 是q 的必要不充分条件，所以B ⊂≠A ，则{m >01−m ⩽−21+m >10或{m >01−m <−21+m ⩾10 ，解得：m ⩾9. ∴m 的取值范围是{m|m ≥9}.18、集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x <a}．（1）若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．答案：（1）a>2；（2）a≤−1解析：（1）由A∩B=A，可得A⊆B，即可列出不等关系，求出a的取值范围；（2）由A∩B=∅，且B≠∅，可列出不等关系，求出a的取值范围.（1）由集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x<a}，因为A∩B=A，所以A⊆B，则a>2，即实数a的取值范围为a>2.（2）因为A∩B=∅，且B≠∅，所以a≤−1，故实数a的取值范围为a≤−1.19、已知全集为R，集合A={x|x2−5x+6≥0}，集合B={x||x+1|<3}．求：（1）A∪B；（2）(∁R A)∩B．答案：（1）A∪B={x|x≤2orx≥3}；（2）(∁R A)∩B=∅．分析：结合集合的交、并、补集的混运算即可.解：∵A={x|x2−5x+6≥0}={x|x≤2或x≥3}，B={x||x+1|<3}={x|−4<x<2}，∴(∁R A)={x|2<x<3}，（1）A∪B={x|x≤2orx≥3}；（2）(∁R A)∩B=∅．。
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第一章 集合及常用逻辑用语1.1集合概念及运算一、选择题1、★（2014东城一模）已知集合{()()}021≥-+=x x x A ，则R A =ð（ ）A ．{1-<x x 或}2>x B ．{1-≤x x 或}2≥x C ．{}21<<-x xD ．}{21≤≤-x x1、答：C2、★（2014丰台一模）设集合}{11≤≤-∈=x R x A ，}{0)3(≤-∈=x x R x B ，则B A I 等于（ ）A. }{31≤≤-∈x R xB.}{30≤≤∈x R x C. }{01≤≤-∈x R x D. }{10≤≤∈x R x 2、答：D3、★（2014海淀一模）已知集合11,2,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，集合}{A x x y yB ∈==,2，则=B A I （ ）A.12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.{}2C.{}1D.∅ 3、答：C4、★（2014西城一模）设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合()U A B =U ð（ ）A.(,2]-∞B.(,1]-∞C.(2,)+∞D.[2,)+∞ 4、答：C5、★（2014朝阳一模）已知集合1{|()1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =U （ ）A.{|0}x x >B.{|1}x x >C.{|1}{|0}x x x x ><UD.∅ 5、答：A6、★（2014东城二模）设集合{12}A x x =∈+≥R ，集合{2,1,0,1,2}--，则A B I =（ ）A.{2}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{1,0,1,2}- 6、答：B7、★（2013朝阳一模）若集合}{32<<-=x x M ，}{121≥=+x x N ，则=N M I （ ）A.()+∞,3B.()3,1-C.)[3,1-D.](1,2-- 7、答：C8、★（2013海淀一模）集合{6}A x x =∈≤N | ，2{30}B x x x =∈->N | ，则A B =I （ ）A.{1,2}B.{3,4,5}C.{4,5,6}D.{3,4,5,6} 8、答：C9、★（2013石景山一模）设集合{}42≤=x x M ，{}1log 2≥=x x N ，则=N M I （ ）A.[]2,2-B.{}2C.)[+∞,2D. )[+∞-,29、答：B10、★（2013西城期末）已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =I （ ）A.1(0,)2B.1(,1)2C.1(,1)(0,)2-∞-UD.1(,1)(,1)2-∞-U 10、答：B11、★（2013朝阳期末）设集合{02}A x x =<<，2{log 0}B x x =>，则A B I =（ ）A.{}|2x x <B.{}|x x >0C.{}|02x x <<D.{}|12x x <<11、答：D12、★（2013朝阳一模）集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则M N =I （ ） A.(2,)-+∞ B.(2,3)- C.(2,1]-- D.[1,3)- 12、答：D13、★★（2013朝阳期末）设集合{}2A=230x x x +->，{}2B=210,0x xax a --≤>.若A B I 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A.30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B.34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.()1,+∞13、答：B14、★★（2014西城二模）已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是（ ）A.(,2]-∞-B.[2,)-+∞C.(,2]-∞D.[2,)+∞14、答：D15、★★（2013房山一模）设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以1为聚点的有：{|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n ∈N ； ③Z ； ④{|2}x y y = （ ）A ．①④B ．②③C ．①②D ．①②④ 15、答：A 二、填空题16、★★（2014海淀二模）已知集合{}100......3,21，，，=M ，A 是集合M 的非空子集，把集合A 中的各元素之和记作()A S .①满足()8=A S 的集合A 的个数为_____；②()A S 的所有不同取值的个数为_____. 16、答：6，505017、★★（2013丰台一模）已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥L 的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。
17、答：3，21k- 三、解答题18、★★★（2013西城一模）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N L L ． 对于12(,,,)n A a a a =L ，12(,,,)n n B b b b S =∈L ，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---u u u rL ；1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a λλλλλ=∈R L L ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．问：当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ； 18、答：当5n =时，由51(,)||7iii d A B a b ==-=∑，得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=． 由 *5a ∈N ，得 51a =，或55a =．19、★★★（2014东城一模）已知集合{})3(,......,4,3,2,1≥n n ，若该集合具有下列性质的子集：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任意两个元素之差的绝对值大于1，则称这些子集为T 子集，记T 子集的个数为n a ．（1）当5=n 时，写出所有T 子集； （2）求10a ；19、答：（Ⅰ）当5=n 时，所以T 子集：{}3,1，{}4,1，{}5,1，{}4,2，{}5,2，{}5,3，{}5,3,1． （Ⅱ）{}2,1,,......,4,3,2,1++k k k 的T 子集可分为两类： 第一类子集中不含有2+k ，这类子集有1+k a 个；第二类子集中含有2+k ，这类子集成为{}k ,......,4,3,2,1的T 子集与{}2+k 的并，或为{}k ,......,4,3,2,1的单元素子集与{}2+k 的并，共有k a k +个． 所以k a a a k k k ++=++12． 因为13=a ，34=a ，所以75=a ，146=a ，267=a ，468=a ，799=a ，13310=a ．1.2命题及充分必要条件一、选择题1、★（2014丰台一模） “1>>n m ”是 “2log 2log n m <”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 1、答：A2、★（2014海淀一模）在数列{}n a 中，“12,2,3,4,n n a a n -==L ”是“{}n a 是公比为2的等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、答：B3、★（2014西城一模）“8m <”是“方程221108x y m m -=--表示双曲线”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3、答：A4、★（2014朝阳一模）在ABC △中，π4A =，BC =“AC =是“π3B =”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4、答：B5、★（2014西城二模）设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5、答：B6、★（2014顺义二模）“0=ϕ”是“函数()ϕ+=x y sin 为奇函数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6、答：A7、★（2014海淀高三期中）若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7、答：B8、★（2013海淀二模）在四边形ABCD 中，“R ∈∃λ，使得AB CD AD BC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r，”是“四边形ABCD 为平行四边形”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8、答：C9、★（2013丰台二模）已知数列{}n a ， 则“{}n a 为等差数列”是“2312a a a =+”的( ) （A ）充要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分又不必要条件 9、答：C10、★（2013东城一模）已知复数()()()R 212∈-+-=a i a a z ，则“1=a ”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 10、答：A11、★（2012西城一模）等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 11、答：B12、★★（2011海淀一模）已知函数221, 1,()1, 1,x ax x f x ax x x ⎧++≥⎪=⎨++<⎪⎩ 则“20a -≤≤”是“()f x 在R 上单调递增”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 12、答：B13、★★（2012丰台一模）已知a b <，函数()sin ,()cos .f x x g x x ==命题:()()0p f a f b ⋅<，命题:()(,)q g x a b 在内有最值，则命题p 是命题q 成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13、答：A 二、填空题14、★★（北京101中学2014届高三上学期10月阶段性考试） “函数()3+=ax x f 在[]2,1-上存在零点”的充要条件是 . 14、答：3≥a 或23-≤a1.3简单逻辑连接词及量词1、★（2014海淀二模）已知命题1e 0, :≥>∀aa p 有“成立”，则p ⌝为（ ） A. 0≤∃a ，有1≤ae 成立 B. 0≤∃a ，有1≥ae 成立 C. 0 >∃a ，有1<ae 成立 D. 0 >∃a ，有1≤ae 成立 1、答：C2、★（2012西城期末）已知函数2()cos sin f x x x =+，那么下列命题中假命题．．．是（ ） A.()f x 既不是奇函数也不是偶函数 B.()f x 在[,0]π-上恰有一个零点C.()f x 是周期函数D.()f x 在(,2π5π)6上是增函数2、答：B3、★（2013昌平二模）已知命题 2R :≥∈∀x x p ，，那么下列结论正确的是 ( )A. 命题2R :≤∈∀⌝x x p ， B ．命题2R :<∈∃⌝x x p ， C ．命题2R :-≤∈∀⌝x x p ， D ．命题2R :-<∈∃⌝x x p ，3、答：B4、★（2013房山二模）若q p ∨⌝是假命题，则( )A. q p ∧是假命题B. q p ∨是假命题C. p 是假命题D. q ⌝是假命题 4、答：A5、★（2012丰台期末）命题p ：x R ∃∈，2lg x x ->，命题q ：x R ∀∈，20x >，则（ ）A.命题p q ∨是假命题B.命题p q ∧是真命题C.命题()p q ∨⌝是假命题D.命题()p q ∧⌝是真命题5、答：D6、★（2011丰台二模）下列四个命题中，假命题为( )A. x ∀∈R ，20x >B. x ∀∈R ，2310x x ++>C. x ∃∈R ，lg 0x >D. x ∃∈R ，122x =6、答：B7、★（2012房山一模）命题:p ∀x ∈R ，012>+x ，:q R ∈∃θ,22sin cos 1.5θθ+=，则下列命题中真命题是 （ ）A.q p ∧B.q p ∧⌝C.q p ∨⌝D.)(q p ⌝∧ 7、答：D8、★（2012朝阳一模）已知命题p ：01R,2>-+∈∀x x x ；命题q ：2cos sin R =+∈∃x x x ，.则下列判断正确的是（ ）A.p ⌝是假命题B.q 是假命题C.q p ⌝∨是真命题D.()q p ∧⌝是真命题8、答：D9、★（2012昌平期末）已知α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，下列命题中假命题．．．是（ ） A.若m ∥n ,m α⊥, 则n α⊥ B.若m ∥α,n αβ=I , 则m ∥n C.若m α⊥,m β⊥, 则α∥β D.若m α⊥,m β⊂, 则α⊥β9、答：B10、★★（2011丰台二模）已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a >0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,]2 B 1[,3]2C. (0,3]D. [3,)+∞10、答：D11、★★（2012丰台一模）已知命题:(0,),32xxp x ∀∈+∞>；命题:(,0),32q x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是（ ）A.p q ∧B.()p q ∧⌝C.()p q ⌝∧D.()()p q ⌝∧⌝ 11、答：B 二、填空题12、★（2012东城一模理）命题“000(0,),tan sin 2x x x π∃∈>”的否定是 12、答： (0,),tan sin 2x x xπ∀∈≤。