导数复合函数求导法则(非常实用)

例2．求下列函数的导数 ． （1） y = (2 x + 3) ）
5
ຫໍສະໝຸດ Baidu
解：（1）y=(2x+3)5， ：（ ） 令u=2x+3，则y=u5， ， 所以 [(5 x + 3) ]' = 5(u )u ' = 5 × 5u
5 5 4
=25(5x+3)4
（2） y = ln( x + 1) ）
2
解：（2）y=ln(x2+1) ：（ ） 令u=x2+1，则y=lnu， ， ，
导数的四则运算法则 (复合函数求导法则 ) 复合函数求导法则
例1．已知可导函数 ．已知可导函数y=f(u)，且u=ax+b(a， ， ， dy b为常数，a≠0)，求 . 为常数， 为常数 ， dx 有一改变量△ ，则对应于u， 分 解：设x有一改变量△x，则对应于 ，y分 有一改变量 别有改变量△ ， ， 别有改变量△u，△y， 由
π
则y=sinu
y ' = [sin(2 x + )]' = 2(sin u )u ' 3 π
= 2 cos u = 2 cos(2 x + ) 3
π
通过点(1， 例3．已知抛物线 ．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点 ，1), 通过点 且在点(2，－ 处与直线 相切， ， 且在点 ，－1)处与直线 ，－ 处与直线y=x－3相切，求a， － 相切 b，c的值 ， 的值 的值. 函数y=ax2+bx+c的导数 ’=2ax+b， 的导数y’ 解：函数 的导数 ， 由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f ’(2)=1， ， 由已知得 － ， ，
1 y ' = (ax 2 + bx + x) ⋅ (2ax + b) 3 (2ax + b) 3 ax 2 + bx + c = 3(ax 2 + bx + c)
− 2 3
7．求证：可导的奇函数f(x)的导函数 ．求证：可导的奇函数 的导函数 f ’(x)是偶函数． 是偶函数． 是偶函数 证明： 是奇函数， 证明：∵ f(x)是奇函数， 是奇函数 内任一个x， ∴ 对 f(x)定义域 D内任一个 ，有－x∈D, 定义域 内任一个 ∈ 且有f(－ － 且有 －x)=－f(x)． ． 分别对上式左、右两边求导： 分别对上式左、右两边求导： [f(－x)]’=f ’(－x)·(－x)’=－f ’(－x)， － ’ － － ’ － － ， [－f(x)]’=－f ’(x)， － ’ － ，
∆y ∆ y ∆u = ⋅ ∆ x ∆u ∆x
∆y ∆y ∆u lim lim lim 得 ∆x →0 ∆x = ∆u →0 ∆u ⋅ ∆x →0 ∆x
dy 而 = a[ f (u )]u ' 所以 dx dy 再将u=ax+b代入上式便得到 再将 代入上式便得到 dx
∆u lim = u '( x) = a ∆x → 0 ∆x
1 所以y’ 所以 ’= u
·(2x)
2x = 2 x +1
（3） y = e ）
−2 x −3
－ 解：y=e－2x－3
令u=－2x－3，则y=eu， － － ，
－ 所以y’ 所以 ’=eu·(－2)=－2e－2x－3 . － －
（4） y = sin(2 x + ) ） 解：令u=2x+
π
3
3
2．函数 y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数 ． ＝ （ ） 是（ ）D
（A）y’=Asin(ωx+φ) ） ’ （B）y’=－Asin(ωx+φ) ） ’ － （C）y’=Aωcos(ωx+φ) ） ’ （D）y’=－Aωsin(ωx+φ) ） ’ －
3．函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是 ．函数 ＋ 的导数是 （B ） （A）y’=cos(x2+1)－sin3x ） ’ － （B）y’=2xcos(x2+1)－3sin3x ） ’ － （C）y’=2xcos(x2+1)+3sin3x ） （D）y’=cos(x2+1)+sin3x ）
∴ －f ’(－x)=－f ’(x)， － － ， 即f ’(－x)=f ’(x)， － ， 是偶函数． ∴ f ’(x)是偶函数． 是偶函数
4．函数 ．函数y=(1+cosx)3是由 个函数复合而成． 个函数复合而成．
y=u3, u=1+cosx 两
5．函数y=3sin x＋l在点 5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方 在点(π，1)处的切线方 程是 y=1 .
6．求 y = 3 ax 2 + bx + c 的导数 ．
a +b + c =1 ∴ 4a + 2b + c = −1 4a + b = 1
a=3 解得 b = −11 c=9
练习题 1．函数y=(5x－4)3的导数是（ C ） ．函数 － 的导数是（ （A）y’＝3(5x－4)2 ） ’ － （B）y’＝9(5x－4)2 ） ’ － （C）y’＝15(5x－4)2 ） ’ － （D）y’＝12(5x－4)2 ） ’ －