初中数学58种模型---角平分线的四大模型—角平分线上的点向两边作垂线
初中数学常见模型之角平分线四大模型
角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
N M OAB P 2图4321A CP B D AB C图1A B DC模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
热搜精练1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。
求线段BC 的长。
A B DCPP O N M B A 图2DP AB C D C 1图P B A ABCD2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。
初中数学角平分线模型汇总
，
，
，
，代入③式可得 ， .
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数学的本质在于它的自由
角平分线模型汇总
过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离 相等的性质来解决问题，例
已知：P 是
平分线上的一点，过点 P 作
于点 M，过点 P 作
若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作
型 另一边的垂线段，例：
，
即
.
如图，
的一个内角平分线和一个外角平分线交于点 D，则
.
证明：
平分
， 平分
，
，
在
① 内
在 外 模 型
中， 中，
，即 ②
由
得
，即
.
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数学的本质在于它的自由
如图，
两个外角的角平分线交于点 D，则
证明：
平分
， 平分
，
在
中，
，
即
①
. ，
，
外
外②
模 由①＝②，得
型
在
中，
即 由④可得
整理可得
，
，
成 已知：OC 平分
，点 D 是 OA 上一点，过点 D 作
交 OB 的反向延
长线于点 E，则
.
有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一 对相等的角构造相似三角形，例：
（1）已知：OC 平分
，点 E、F 分别在 OA、OB 上，过点 E 作
于
相
似 点 M，过点 F 作
于点 N，则
，如图所示：
模 （2）已知：OC 平分
，点 E、F 在 OC 上，作
角平分线的四大模型(Word版)
角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。
练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。
角平分线四大模型
第二章 角均分线四大模型M模型 1 角均分线上的点向两边作垂线A如图， P 是∠ MON 的均分线上一点，过点 P 作PA ⊥ OM 于点 A ，PB ⊥ON 于点 B 。
结论： PB=PA 。
P模型剖析OBN 利用角均分线的性质：角均分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创立更多的条件，进而可以快速找到解题的打破口。
模型实例（2）如图②，∠ 1=∠ 2， +∠ 3=∠ 4。
求证： AP均分∠ BAC。
A ACB2341CB P图 2D图 1热搜精练1．如图，在四边形ABCD中， BC>AB， AD=DC， BD均分∠ ABC。
求证：∠ BAD+∠ BCD=180°。
ADBC2．如图，△ ABC的外角∠ ACD的均分线P ，若∠ BPC=40°，则∠ CAP=CP与内角∠。
ABC的均分线BP交于点PABC D模型 2 截取构造对称全等如图， P 是∠ MON的均分线上一点，点 A 是射线 OM上任意一点，在 ON 上截取 OB=OA，连接 PB。
结论：△ OPB≌△ OPA。
MAPOB N模型剖析利用角均分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以获取对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（2）如图②所示， AD 是△ ABC的内角均分线，其他条件不变，试比较PC-PB 与 AC-AB的大小，并说明原由。
AAP PB D B CC D图1图2热搜精练1．已知，在△ ABC中，∠ A=2∠ B， CD是∠ ACB的均分线， AC=16，AD=8。
求线段 BC的长。
AB CD2．已知，在△ ABC中， AB=AC，∠ A=108°， BD均分∠ ABC。
求证： BC=AB+CD。
ADB CAEDB C模型 3 角均分线 +垂线构造等腰三角形如图， P 是∠ MO的均分线上一点，AP⊥OP于 P 点，延长 AP 于点 B。
角平分线四大基本模型
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例题4 （1）在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交 于点F，过点F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，若 BD+CE=9，则线段DE之长为________
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（2）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB， DE//AB，FD//AC，如果BC=6，求△DEF的周长
【提示】“图中有角平分线，可将图形对折看，对称以后关系现”
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例题3 （1）已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC， BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证： BD=2CE
11
（2）在△ABC中，AB=3AC，∠BAC的平分线交BC于 点D，过点B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD=DE
角平分线四大基本模型 角平分线在初中几何中常见， 现总结以下四种基本类型 已知P是∠MON平分线上一点
2
【模型1】 若PA⊥OM于点A，可过P作PB⊥ON于点B，则 PB=PA 口诀：“图中有角平分线，可向两边作垂线”
3
【模型2】 若点A是射线OM上任意一点，可在ON上截取OB=OA，连接PB， 构造△OPB≌△OPA 口诀：“图中有角平分线，可将图形对折看，对称以后关系现”
“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”
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4
【模型3】 若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造等腰 △AOB，OP是底边AB垂线，进而利用三线合一 口诀：“角平分线加垂线，三线合一试试看”
5
【模型4】 若过点P作PQ//ON交OM于点Q，从而构造等腰△POQ 口诀：“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”
中考必会几何模型：角平分线四大模型
角平分线四大模型模型1 角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE.∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2.（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）练习1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M ∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP，PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50°模型2 截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由解题：PB+PC＞AB+AC证明：在BA的延长线上取点E,使AE＝AB,连接PE，∵AD平分∠CAE∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,AP＝AP，∴△AEP≌△ACP （SAS），∴PE＝PC∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，并说明理由解答：AC-AB>PC-PB证明:在△ABC中, 在AC上取一点E,使AE=AB ，∴AC-AE=AB-AC=BE∵AD平分∠BAC ，∴∠EAP=∠BAP ，在△AEP和△ACP中∴△AEP≌△ABP (SAS) ，∴PE=PB ，∵在△CPE中CE>CP-PE ，∴AC-AB>PC-PB练习1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,求线段BC的长解：如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE，在△ACD和△ECD中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CD ECD ACD EC AC∴△ACD ≌△ECD(SAS)∴AD ＝DE ， ∠A ＝∠1 ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠1＝2∠B ，∵∠1＝∠B ＋∠EDB ， ∴∠B ＝∠EDB ，∴EBB ＝ED ， ∴EB ＝DA ＝8，BC ＝EC ＋BE ＝AC ＋DA ＝16＋8＝242. 在△ABC 中，AB ＝AC,∠A ＝108°,BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AB ＋CD证明：在BC 上截取BE ＝BA ，连结DE ，∵BD 平分∠ABC,BE ＝AB,BD ＝BD∴△ABD ≌△EBD(SAS)，∴∠DEB ＝∠A ＝108°，∴∠DEC ＝180°－108°＝72°∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC＝12(180°－108°)＝36°，∴∠EDC ＝72° ， ∴∠DEC ＝∠EDC ，∴CE ＝CD ，∴BE ＋CE ＝AB ＋CD ，∴BC ＝AB ＋CD3.如图所示，在△ABC 中，∠A ＝100°,∠ABC ＝40°,BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE ＝AD ，求证：BC ＝AB ＋CE证明：在CB 上取点F ，使得BF ＝AB,连结DF ，∵BD 平分∠ABC ，BD ＝BD∴△ABD ≌△FBD ，∴DF ＝AD ＝DE,∠ADB ＝∠FDB ，∴BD 平分∠ABC∴∠ABD ＝20°,则∠ADB ＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE∠CDF ＝180°－∠ADB －∠FDB ＝60°，∴∠CDF ＝∠CDE ，在△CDE 和△CDF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CD CDE CDF DF DE∴△CDE ≌CDF ，∴CE ＝CF ，∴BC ＝BF ＋FC ＝AB ＋CE模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP 丄OP 于P 点，延长AP 交ON 于点.B,则△AOB 是等腰三角形.模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例如图.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°, AB=AC, BD平分∠ABC, C£丄BD.垂足为E.求证：BD=2C£.解答：如图，延长CE、BA交于点F,∵CE丄BD于E, ∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED. ∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°, ∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.∵BD平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.∴CE=EF. ∴BD=2CE.练习1.如图.在△ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.证明：延长AD交BC于F,∵AD⊥BE, ∴∠ADB=∠BDF=90°, ∵∠ABD=∠FBD,∴∠2=∠BFD. ∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.2.如图.在△ABC中. ∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线, BE丄AD于点E.求证:1()2BE AC AB=-.(2)证明:延长BE 交AC 于点F.∵AD 为∠BAC 的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE, ∴∠BAE=∠FAE,则△AEB ≌△AEF ，∴AB=AF, BE=EF, ∠ 2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC. ∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C即∠1=∠C ∴BF=FO=2BE.∴()1122BE FC AC AB ==-模型4 角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例解答下列问题：(1)如图①.△ABC 中，EF ∥BC,点D 在EF 上,BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB.写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？(2)如图②，BD 平分∠ABC,CD 平分外角∠ACG. DE//BC 交AB 于点E,交AC 于点F ，线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？并说明理由.(3)如图③，BD 、CD 为外角∠CBM 、∠BCN 的平分线，DE//BC 交AB 延长线于点E.交AC 延长线于点F,直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么数关系？解答：(1) ∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC=EDB. ∴EB=ED. 同理：DF=FC. ∴EF=ED+DF=BE+CF.(2)图②中有EF=BE=CF，BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC. ∴DE=EB.同理可证：CF=DF ∴EF=DE-DF=BE-CF.(3) EF=BE+CF.练习1.如图. 在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点. 交AC于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为.解答：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN//BC, ∴∠EBC=∠MEB, ∠NEC=∠ECB. ∴∠MBE-∠MEB, ∠NEO=∠ECN.∴BM=ME, EN=CN. ∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.2. 如图. 在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：EF=AC.证明：如图，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4. ∵DE=CD, ∠5=∠6, ∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM. ∵AB//CM,∴∠2=∠4. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC.证明：延长AD 、BE 交于点F.∵AD ∥BC,∴∠2=∠F. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF. ∵AE 平分∠BAD ∴BE=EF. ∵∠DEF=∠CEB,∴△DEF ≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.。
初中数学解题模型专题讲解2---角平分线的四大模型—角平分线上的点向两边作垂线
初中数专题2模型模型 1 1 ：：角平分线上的点向如图，P 是∠MON 的平分线上结论：PB=PA。
模型证明模型证明：：∵OP平分∠MON，∴∠AOP=∠BOP；又 PA⊥OM ，PB⊥ON，∴∠OAP=∠OBP=90°；OP=OP；∴RT△OAP≌RT△OBP,初中数学解题模型专题讲解2 角平分线的四大模型的点向两边作垂线的点向两边作垂线分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ONON 于点 B。
∴PB=PA。
模型分析利用角平分线的性质：角平分为边相等、角相等、三角形全突破口。
模型实例模型实例（1）如图①，在△ABC 中到直线 AB 的距离是_____（2）如图②，∠1=∠2，∠求证：AP 平分∠BAC。
解析解析：（：（1）由角平分线模型知（2）如图分别做AB ∴AP 平分∠BAC角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么___；∠3=∠4。
模型知模型知，，D 到AB 的距离等于DC=2AB 、BC 、AC 三边的高三边的高，，由题意易得三边高相等由题意易得三边高相等，，模型， 到解题的 那么点 D ，模型练习1．如图，在四边形 ABCD 求证：∠BAD+∠BCD=180°证明证明：：如图延长BA ，过D 作DE 、DF ∵BD 平分∠ABC∴DE=DF,又AD=DC∴RT△DEA≌RT△DFC ∴∠DAE=∠BCD∴∠BAD+∠BCD=180°2．如图，△ABC 的外角∠P，若∠BPC=40°，则∠CAP=CD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。
°。
垂直BA 延长线延长线、、BC 于E 、F 两点两点，， DFC°∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP CAP= 。
初中数学建模案例集精之2第二章 角平分线四大模型
N MOA B P 2图4321A CP B D AB C图1A B D C AB D CPP ONM BA 第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
图2DP AB C D C 1图P B A ABC DA BC DE DC B AP ONM B A 模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
初中几何模型之——角平分线模型
初中几何模型之——角平分线模型
前面我们说过了手拉手模型，十字架模型，对角互补模型，半角模型，最短路径模型，倍长中线模型以及一线三等角模型，今天我们来说角平分线模型。
此模型首先出现在七年级，然后作为基础模型在八九年级经常使用。
一、角平分线+平行线
模型分析：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
可记为“角平分线，平行线，等腰三者知其二可得其一”，这个基本图形使用频率那是相当的高，切记。
二、截取构造对称全等
模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。
三、角平分线+垂线构造等腰三角形
模型分析：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”。
四、角平分线上的点向两边作垂线
模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
可记为“图中有角分线，可向两边作垂线”。
五、夹角模型。
三角形角平分线四大模型
N MOA B P 2图4321A CP B D AB C图1A B D C AB D CP角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
16．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．17．如图∠BAC＝30°，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC且交AB于F．（1）求证：△ADF是等腰三角形．（2）若DF＝10cm，求DE的长．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5cm，求AB的长．19．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB．（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．20．如图，已知∠1＝∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA＝PC．求证：∠PCB+∠BAP＝180°．P O N M B A 图2DP AB C D C 1图P B A ABC DA BC DE DC BA模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
(完整版)角平分线的四大模型(Word版)
角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。
练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。
中考数学必考几何模型：角平分线四大模型
角平分线四大模型模型1 角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE.∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2.（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）练习1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP，PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50°模型2 截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由解题：PB+PC＞AB+AC证明：在BA的延长线上取点E,使AE＝AB,连接PE，∵AD平分∠CAE∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,AP＝AP，∴△AEP≌△ACP （SAS），∴PE＝PC∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，并说明理由解答：AC-AB>PC-PB证明:在△ABC中, 在AC上取一点E,使AE=AB ，∴AC-AE=AB-AC=BE ∵AD平分∠BAC ，∴∠EAP=∠BAP ，在△AEP和△ACP中∴△AEP≌△ABP (SAS) ，∴PE=PB ，∵在△CPE中CE>CP-PE ，∴AC-AB>PC-PB练习1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,求线段BC的长解：如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE，在△ACD和△ECD中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CDCDECDACDECAC∴△ACD≌△ECD(SAS)∴AD＝DE ，∠A＝∠1 ，∵∠A＝2∠B，∴∠1＝2∠B，∵∠1＝∠B＋∠EDB ，∴∠B＝∠EDB，∴EBB＝ED ，∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝242.在△ABC中，AB＝AC,∠A＝108°,BD平分∠ABC，求证：BC＝AB＋CD证明：在BC上截取BE＝BA，连结DE，∵BD平分∠ABC,BE＝AB,BD＝BD∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠DEB＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－108°＝72°∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝12(180°－108°)＝36°，∴∠EDC＝72°，∴∠DEC＝∠EDC，∴CE＝CD ，∴BE＋CE＝AB＋CD，∴BC＝AB＋CD3.如图所示，在△ABC中，∠A＝100°,∠ABC＝40°,BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE ＝AD，求证：BC＝AB＋CE证明：在CB上取点F，使得BF＝AB,连结DF，∵BD平分∠ABC，BD＝BD∴△ABD≌△FBD，∴DF＝AD＝DE,∠ADB＝∠FDB，∴BD平分∠ABC∴∠ABD＝20°,则∠ADB＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE∠CDF＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°，∴∠CDF＝∠CDE，在△CDE和△CDF中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CDCDCDECDFDFDE∴△CDE≌CDF，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CE模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP丄OP于P点，延长AP交ON于点.B,则△AOB是等腰三角形.模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例如图.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°, AB=AC, BD平分∠ABC, C£丄BD.垂足为E.求证：BD=2C£.解答：如图，延长CE、BA交于点F,∵CE丄BD于E, ∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED.∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°, ∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.∵BD平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.∴CE=EF. ∴BD=2CE.练习1.如图.在△ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.证明：延长AD交BC于F,∵AD⊥BE, ∴∠ADB=∠BDF=90°, ∵∠ABD=∠FBD,∴∠2=∠BFD. ∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.2.如图.在△ABC中. ∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线, BE丄AD于点E.求证:1()2BE AC AB =-.(2)证明:延长BE 交AC 于点F.∵AD 为∠BAC 的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE, ∴∠BAE=∠FAE,则△AEB ≌△AEF ，∴AB=AF, BE=EF, ∠ 2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC. ∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C 即∠1=∠C ∴BF=FO=2BE.∴()1122BE FC AC AB ==-模型4 角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例 解答下列问题：(1)如图①.△ABC 中，EF ∥BC,点D 在EF 上,BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB.写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？(2)如图②，BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG. DE//BC交AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由.(3)如图③，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE//BC交AB延长线于点E.交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数关系？解答：(1) ∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC=EDB. ∴EB=ED.同理：DF=FC. ∴EF=ED+DF=BE+CF.(2)图②中有EF=BE=CF，BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC.∴DE=EB.同理可证：CF=DF ∴EF=DE-DF=BE-CF.(3) EF=BE+CF.练习1.如图. 在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点. 交AC 于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为.解答：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN//BC,∴∠EBC=∠MEB, ∠NEC=∠ECB. ∴∠MBE-∠MEB, ∠NEO=∠ECN.∴BM=ME, EN=CN.∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.2. 如图. 在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：EF=AC.证明：如图，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4.∵DE=CD, ∠5=∠6, ∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM. ∵AB//CM,∴∠2=∠4. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC.证明：延长AD、BE交于点F.∵AD∥BC,∴∠2=∠F. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF.∵AE平分∠BAD∴BE=EF. ∵∠DEF=∠CEB, ∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.。
初中数学几何模型(一)角平分线模型
初中数学几何模型（一）角平分线模型角平分线模型：角平分线上的点到角两边的距离相等。
1、过角平分线上的点作角两边的垂线，构造全等。
条件中出现角平分线，我们可以通过角平分线上的点作角两边的垂线，从而构造全等三角形。
如图，OC是∠AOB的平分线，过OC上一点P，作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E,易证△OPD≌△OPE。
2、过角平分线上的点作角平分线的垂线，构造全等三角形和等腰三角形。
条件中出现角平分线，我们可以通过角平分线上的点作角平分线的垂线，从而构造全等三角形和等腰三角形。
如图，OC是∠AOB的平分线，过点P作OC的垂线，分别交OA、OB与点D、E。
易得，△OPD≌△OPE，△ODE是等腰三角形。
3、过角平分线上一点作角一边的平行线，与另一边相交，构造等腰三角形。
如图，OC平分∠AOB，过OC上的一点D作DE//OB，交OA与点E，易得△ODE是等腰三角形。
4、以角平分线为对称轴翻折（也可以采用截长补）构造全等三角形。
如图，BD是△ABC的角平分线，在BC上截取BE，使BE=BA，易得，△ABD≌△EBD；BA与ED的延长线交于点F，易得，△BDF≌△BDC、△ADF≌△EDC；5、内角平分线性质：如图，AD是△ABC的内角平分线，则ABAC =BDCD。
过点C作CE//DA，交BA的延长线于点E。
易得，△ACE是等腰三角形，则AC=AE；∵DA//CE，∴ABAE =BDCD，∴ABAC =BDCD典型例题：1、感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，易证：DB=DC；探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，求证：DB=DC；应用：如图③，在四边形ABCD中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a，用a的代数式表示AB-AC。
探究略解：方法1：在AB上截取线段AE，使AE=AC。
易证，△ADC≌△ADE，∴DC=DE。
初中数学常见模型之角平分线四大模型
模型实例
1.如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直 线AB的距离是 .
2.如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。求证：AP平分∠BAC。
A
C
D
B
图1
A
B
2 1
C
34
P图 2
典例精选
1．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。
A DE
B
C
典例精选
1．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C
A
E 12 D
C
B
2．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E
求证：BE= （AC-AB）
A
E
B
D
C
模型4：角平分线+平行线
如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。 结论：△POQ是等腰三角形
2.如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与ACAB的大小，并说明理由。
A A
P
P
B
C图 1
D
B
D
C
图2
典例精选
1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。求线 段BC的长
A
B
D
C
2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。求证：BC=AB+CD
M A
P
O
BN
模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等
专题16 角平分线四大模型(原卷版)
中考常考几何模型专题16 角平分线四大模型1、角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。
结论：PB=PA。
2、截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。
结论：△OPB≌△OPA。
3、角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。
结论：△AOB 是等腰三角形。
4、角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。
结论：△POQ 是等腰三角形。
模型精练：1．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°2．（2019•桂平市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm3．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定4．（2019•兰山区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB 于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为．5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．6．如图，在△ABC中，∠ABE＝2∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，垂足为E （1）若∠C＝30°，求证：AB＝2BE．（2）若∠C≠30°，求证：BE=12（AC﹣AB）．7．（2019•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．8．（2019•临洮县期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．9．（2019•自贡期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，（1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长；（2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．10．（2019•宜昌期中）（1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD＝AB+AC；（2）对于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．11．（2019•潮南区期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D．（1）求证：∠2＝∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．12．（2019•蔡甸区校级月考）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．13．（2019•崇安区校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．14．（2019•江夏区校级月考）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；（2）如图（2），若∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；（3）在（1）的条件下，当∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．15．（2019•东湖区校级月考）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是，△AEF的周长是（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC ＝10”其余条件不变，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．。
2021年山西省中考数学重点题型讲解——角平分线问题四大模型
1
2020年山西中考专题讲解2——角平分线
问题四大模型
模型一、过角平分线上的点向两边作垂线 （一）模型总结
（二）针对训练
1.如图，点P 是∠AOB 的角平分线OC 上一点，PD ⊥OA ，垂足为点D ，PD=2，M 为OP 的中点，则点M 到射线OB 的距离为________.
2.如图，点P 是∠BAC 的平分线上一点，PB ⊥AB 于点B ，且PB=4，PC=5,AC=12,则△ABP 的面积是________.
模型二、利用角平分线构造对称图形
（一）模型总结
（二）针对训练
模型三、作角平分线的垂线构造等腰三角形
（一）模型总结
（二）针对训练
模型四、作角的一边的平行线构造等腰三角形
（一）模型总结
（二）针对训练
综合提升。
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3、角平分线的四大模型
模型 1 ：角平分线上的点向两边作垂线
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。
结论：PB=PA。
模型证明：
∵OP平分∠MON，
∴∠AOP=∠BOP；
又 PA⊥OM ，PB⊥ON，
∴∠OAP=∠OBP=90°；
OP=OP；
∴RT△OAP≌RT△OBP,
∴PB=PA。
模型分析
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，
为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的
突破口。
（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离是_____；
（2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC。
解析：（1）由角平分线模型知，D到AB的距离等于DC=2
（2）如图分别做AB、BC、AC三边的高，由题意易得三边高相等，
∴AP 平分∠BAC
1．如图，在四边形 ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
证明：如图延长BA，
过D作DE、DF垂直BA延长线、BC于E、F两点，
∵BD 平分∠ABC
∴DE=DF,
又AD=DC
∴RT△DEA≌RT△DFC
∴∠DAE=∠BCD
∴∠BAD+∠BCD=180°
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。