初中八年级数学反比例函数
(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例
04
利用相似三角形求解线段长度或角度大小
通过相似三角形的性质，我们可以建立 比例关系，从而求解未知线段长度或角 度大小。
解方程求解未知量。
具体步骤
根据相似比建立等式关系。
确定相似三角形，找出对应边或对应角 。
经典例题讲解和思路拓展
例题1
解题思路
例题2
解题思路
已知直角三角形ABC中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，将 △ABC沿CB方向平移2个单位 得到△DEF，若AG⊥DE于点G ，则AG的长为____反比例函数$y = frac{m}{x}$的图像经过点$A(2,3)$，且与直线$y = -x + b$相 交于点$P(4,n)$，求$m,n,b$的
值。
XXX
PART 03
反比例函数与不等式关系 探讨
REPORTING
一元一次不等式解法回顾
一元一次不等式的定义
01
在材料力学中，胡克定律指出弹簧的 伸长量与作用力成反比。这种关系同 样可以用反比例函数来描述。
牛顿第二定律
在物理学中，牛顿第二定律表明物体 的加速度与作用力成正比，与物体质 量成反比。这种关系也可以用反比例 函数来表示。
经济学和金融学领域应用案例分享
供需关系
在经济学中，供需关系是决定商品价 格的重要因素。当供应量增加时，商 品价格下降；反之，供应量减少时， 商品价格上升。这种供需关系可以用 反比例函数来表示。
XXX
PART 02
反比例函数与直线交点问 题
REPORTING
求解交点坐标方法
方程组法
将反比例函数和直线的方程联立 ，解方程组得到交点坐标。
图像法
在同一坐标系中分别作出反比例 函数和直线的图像，找出交点并 确定其坐标。
八年级数学反比例函数知识点
反比例函数1、反比例函数的定义：一般地，xky =（k 为常数，k ≠0）叫做反比例函数，即y 是x 的反比例函数。
x 为自变量，y 为因变量，其中x 不能为零 2、反比例函数的等价形式：①y 是x 的反比例函数 ←→ )0(≠=k x ky （定义式） 1.u 与t 成反比，且当u ＝6时，81=t ，这个函数解析式为 ；2.矩形的面积为6cm 2，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致（ ）ABCD3.如图，为反比例函数的图象，则它的解析式为_________.4.反比例函数x k y =的图像经过（－23，5）点、（a ，－3）及（10，b ）点， 则k ＝ ，a ＝ ，b ＝ ；②)0(≠=k k xy 判断一个函数是否为反比例函数，判定两点是否在同一反比例函数上 4、已知反比例函数的图像经过点（a ，b ），则它的图像一定也经过（ ） A 、 (－a ,－b ) B 、 (a ,－b ) C 、(－a ，b ) D 、（0，0） 5、函数x k y =的图象经过点（－4，6），则下列各点中不在xky =图象上的是（ ） A 、（3，8） B 、（3，－8） C 、（－8，－3） D 、（－4，－6） 6、已知变量y 与x 成反比例，当x =3时，y =―6；那么当y =3时，x 的值是（ ） A 、6 B 、―6 C 、9 D 、―9 7.已知y 与 2x 成反比例，且当x=3时，y=61，那么当x =2时，y =_________，当y =2时，x =_________. ③)0(1≠=-k kx y 系数待定问题： 1. 已知函数22(1)m y m x -=-，当m=_____时，它的图象是双曲线．2.已知函数2(1)k y k x -=+ (k 为整数)，当k 为_________时，y 是x 的反比例函数.3、()22105m y m x-=-是y 关于x 的反比例函数，且图象在第二、四象限，则m 的值为 ；3.反比例函数性质：①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； ②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大；oyy o y o y o③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x 轴和y 轴），但不会与坐标轴相交。
初中：反比例函数基础
反比例函数基础【知识要点与方法】1、反比例函数的定义一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成ky x=（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数. 反比例函数(0)ky k x=≠还可以写成：1(0)y kx k -=≠或(0)xy k k =≠. 反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k 为常数，0k ≠；（2）kx中分母x 的指数为1； （3）自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数； （4）因变量y 的取值范围是0y ≠的一切实数.2、用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数(0)ky k x=≠中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式. 3、反比例函数的图象和性质：反比例函数)0(≠=k xky k 的符号 0k > 0k <图象性质①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠．②当0k >时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小． ①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠．②当0k <时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限．在每个象限内，y 随x 的增大而增大． 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴)(x y ±=，对称中心是坐标原点．4、k 的几何意义（1）k 与面积的关系如图1，设点P （a ，b ）是双曲线xky =上任意一点，作P A ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA 的面积是||k （三角形P AO 和三角形PBO 的面积都是||21k ）．如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥P A 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为||2k ．图1 图2 （2）k 与图像离原点远近的关系k 越大，双曲线x k y =越远离坐标原点；k 越小，双曲线xky =越靠近坐标原点.【典型例题】1、反比例函数的概念【例1】下列函数中，是反比例函数的有①x y 5=； ②x y 4.0=； ③2x y =； ④2=xy ； ⑤πxy =； ⑥x y 5-=；⑦b bx y (31-=为常数，)0≠b ； ⑧31-=xy ；⑨)0(2≠=a a x a y 为常数且；⑩xy 52-=；【例2】1、当=k 时，函数132)1(+++=k kx k y 是反比例函数；2、如果自变量取值为1-时，函数值为2，此反比例函数的关系式是 ；3、已知21y y y +=，且1y 与2x 成反比例，2y 与2+x 成正比例，且1=x 时，9=y1-=x 时，5=y .则y 与x 的函数关系式是 .【例3】某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经过测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y （亿度）与)4.0(-x （元）成反比例，且当65.0=x 元时，8.0=y ， （1）求y 与x 之间的函数关系式.（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益比上年度增加20%？2、反比例函数图象的位置与系数的关系 【例4】1、已知反比例函数x k k y 12+-=（k 为常数）则该反比例函数图像位于第 象限.2、函数a ax y +-=与)0(≠-=a xay 在同一坐标系中的图象可能是（ ）A. B. C. D. 3、已知函数32)1(-++=k kx k y 是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么k = ．3、反比例函数的图象与性质【例5】(反比例函数的增减性)1、已知()()()332211,,,,,y x y x y x 是反比例函数xy 4-=的图象上的三个点，且021<<x x ，03>x ，则的大小关系是（ ）A .213y y y <<B .312y y y <<C .321y y y <<D .123y y y <<2、如图，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线xk y 2=交于A 、B 两点，其横坐标分别为1和5，则不等式b xk x k +<21的解集是 ．【例6】（反比例函数的对称性）1、如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y =xk（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ．2、直线kx y =（0<k ）与双曲线xy 2-=交于A ()11,y x ，B ()22,y x 两点，则122153y x y x -= .4、反比例函数比例系数k 与面积问题 【例7】1、如图，已知双曲线xky =（0>x ）经过矩形OABC 的边AB ，BC 的中点F E ,，且四边 形OEBF 的面积为2，则=k ．2、如图，两个反比例函数x y 1=和xy 2-=的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形P AB 的面积为___________3、如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数xky =（k ＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为5、一次函数与反比例函数综合 【例8】若函数22++-=k kx y 与xky =)0(≠k 的图象有两个不同 的交点，则k 的取值范围是 ．【例9】如图，已知反比例函数)0(≠=k x k y 的图象经过点（21，8），直线b x y +-=经过该反比例函数图象上的点Q (4，m )．（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；（2）设该直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与反比例函数图象的另一个交点为P ，连结0P 、OQ ，求△OPQ 的面积．【例10】如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，54sin =∠AOB ，反比例函数xky =（k ＞0）在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ． （1）若OA =10，求反比例函数解析式；（2）若点F 为BC 的中点，且△AOF 的面积S =12，求OA 的长和点C 的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F 作EF ∥OB ，交OA 于点E （如图②），点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【课后强化训练】1、双曲线xky =过点)1,3(-，则=k ，双曲线在第 象限内. 2、已知反比例函数102)2(--=m x m y 的图象，在每一象限内y 随x 的增大而减小，则反比例函数的解析式为 . 3、若双曲线xy 2-=与直线3-=kx y 相交于)2(m A ，-，则直线的解析式为 ； 4、已知点（1-，1y ），（2，2y ），（3，3y ）在反比例函数xk y 12--=的图像上. 下列结论中正确的是（ ）A ．321y y y >>B ．231y y y >>C ．213y y y >>D ． 132y y y >>5、三个反比例函数:(1)y =x k1;（2）y =x k 2;（3）y =x k 3在x 轴上方的图象如图所示，由此推出k 1，k 2，k 3的大小关系是________.6、如图，如果x x >，且0<kp ，那么，在自变量x 的取值范围内，正比例函数kx y =和反比例函数xpy =在同一直角坐标系中的图象示意图正确的是（ ）A B C D7、如图，正方形ABCD 位于第一象限，边长为3，点A 在直线y =x 上，点A 的横坐标为1，正方形ABCD 的边分别平行于x 轴、y 轴．若双曲线ky x=与正方形ABCD 有公共点，则k 的取值范围为 .8、下列图形中，阴影部分面积最大的是（ ）9、如图，双曲线)0(>=k xky 与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ．10、如图，函数x y -=与函数xy 4-=的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ．则四边形ACBD 的面积为11、如图所示，在反比例函数2(0)y x x=>的图象上有点1234,,,P P P P ，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1234,,,S S S S ，则123S S S ++= .12、如图，正比例函数11y k x =与反比例函数22k y x=相交于A 、B 点，已知点A 的坐标为（4，n ），BD ⊥x 轴于点D ，且S △BDO =4。
八年级同步第15讲：反比例函数的图像及性质
第15讲 反比例函数的图像及性质知识框架反比例函数是八年级数学上学期第十八章第二节内容，主要对反比例函数的图像及性质进行讲解，重点是反比例函数的性质的理解，难点是反比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习反比例函数的应用提供依据．15.1 反比例函数的概念反比例函数的概念（1）如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，你们就说这两个变量成反比例．用数学式子表示两个变量x 、y 成反比例，就是xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于0的常数．（2）解析式形如ky x=（k 是常数，0k ≠）的函数叫做反比例函数，其中k 称也叫做比例系数．（3）反比例函数ky x=的定义域是不等于零的一切实数．【例1】若函数231(2)m m y m x -+=-是反比例函数，则m 的值为________． 【例2】如果2212n n n n y x+++=是反比例函数，那么n 的值是________．【例3】已知y 是x 的反比例函数，且当2x =时，2y =，那么当1y =时，x的值是________．【例4】如果变量1x和变量y 成正比例，变量1y 和变量z 成反比例，那么变量x 和z 成________比例关系．【例5】已知反比例函数22++=k xk y ，求k 的值，并求当x =2时的函数值【例6】已知12y y y =+，若1y 与x 正比例，2y 与x 成反比例函数，且当2x =时，14y =，当3x =时，1293y =，求y 与x 间的函数关系式．【例7】已知12y y y =+，若1y 与1x -正比例，2y 与1x +成反比例，且当0x =时5y =-，当2x =时1y =；（1）求y 与x 间的函数关系式；（2）求当3y =-时，x 的值．【例8】已知：正比例函数与反比例函数的比例系数互为相反数，且正比例函数的图像过点-，求反比例函数的解析式．15.2 反比例函数的图像和性质一、 反比例函数的图像反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像叫做双曲线，它有两支． 二、 反比例函数的性质（1）当0k >时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐减小．（2）当0k <时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值随着逐渐增大．（3）图像的两支都无限接近于x 轴和y 轴，但不会与x 轴和y 轴相交，且关于原点中心对称．【例9】已知函数ky x=的图象不经过第一、三象限，则y kx =-的图象经过第________象限． 【例10】如果反比例函数ky x=（k 是常数，0k ≠）的图像在第二、四象限，那么正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图像经过哪几个象限？【例11】若正比例函数(0)y kx k =≠，与反比例函数(0)my m x=≠的图像没有交点，那么k 与m 满足关系式可以是________．【例12】已知反比例函数1y x=-的图像上有两点11()A x y ，、22()B x y ，，且12x x <，那么下列结论正确的是（ ）（A ）12y y <； （B ）12y y >；（C ）12y y =；（D ）1y 与2y 的大小关系无法确定．【例13】反比例函数4y x=-的图像上一点的横坐标是3，那么这点到x 轴的距离是________．【例14】已知反比例函数21k y x+= （1）若该函数图像经过点(21)-，，求k 的值；（2）若该函数图像在每一象限内y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围．【例15】直线y kx =(k ＞0)与双曲线交于11()A x y ，、22()B x y ，两点，求122127x y x y -的值．【例16】反比例函数2y x=的图像上一点A ，过A 点分别作x 轴、y 轴垂线，垂足为B 、C ； （1）求矩形ABOC 的面积；（2）当点A 沿双曲线移动时（1）中矩形面积有变化吗？为什么？【例17】若P （a ，b ）是反比例函数图像上的一点，且a是b是数部分，求反比例函数的解析式．xy 4=【例18】已知：点A 、B 是函数3y x=-图像上关于原点对称的任意两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，求△ABC 的面积．【例19】反比例函数xky =(0)k <的图像经过点()A m ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为3，求k 和m 的值．【例20】已知：反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于A ，B 两点，若点A 在第二象限，且点A 的横坐标为-3，且AD ⊥x 轴，垂足为D ，△AOD 的面积是4． （1）写出反比例函数的解析式； （2）求出点B 的坐标；（3）若点C 的坐标为（6，0），求△ABC 的面积．15.2 课堂检测1. 在同一平面直角坐标系内，分别画出下列函数的图像． ①4y x =； ②4y x =-． 求：（1）这两个函数的图像分别位于哪几个象限内？（2）在每一象限内，随着图像上的点的横坐标x 逐渐增大，纵坐标y 是怎样变化的？（3）图像的每支都向两方无限延伸，它们可能与x 轴、y 轴相交吗？为什么？2. 已知正比例函数y kx =与反比例函数xky -=6图像的一个交点坐标是（1，3），则反比例函数的解析式是________． 3. 已知反比例函数xk y 1+=，11()x y ，、22()x y ，为其图像上的两点，若当120x x <<时，12y y >，则k 的取值范围是________．4. 若点(34)，是反比例函数221m m y x++=图像上一点，则此函数图像必经过点 （ ）（A ）(34)-，；（B ）(26)-，；（C ）(43)-，；（D ）(26)，．5. 已知M 是反比例函数ky x=(0)k ≠ (k ≠0)图像上一点，MA x ⊥轴于点A ，若 4AOM S =V ，则这个反比例函数的解析式是（ ）（A ）8y x =； （B ）8y x=-； （C ）8y x =或8y x=-；（D ）4y x =或4y x=-． 6. 已知122y y y =+，若1y 与(1)x +正比例，2y 与x 成反比例函数，且当1x =时，1y =-；当3x =-时，3y =，求y 与x 间的函数关系式．7. 已知第三象限内的点B （3m ，m ）在反比例函数的图像上，且OB =，而点A （1，y ）也在双曲线上，求反比例函数的解析式，并求出△AOB 的面积． 8.11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点P 1、P 2在4y x=（x ＞0）的图像上，斜边OA 1、A 1A 2都在x 轴上，求点A 2的坐标．9. 两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图像如图所示，点P 在k y x=的图像上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图像于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图像于点B ，当点P 在ky x=的图像上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化； ③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．15.4 课后作业1. 已知长方形的面积为20平方厘米，它的一边长为x 厘米，求这个边的邻边长y （厘米）关于x （厘米）的函数解析式，并写出这个函数的定义域．2. 反比例函数ky x=的图像上有两点111()p x y ，，222(,)p x y ，若120x x <<，12y y >，则k ________0，图像经过第________象限．3. 在平面直角坐标系内，从反比例函数ky x=(0)k ≠上一点作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴围成面积为3的矩形，求函数解析式．4. （1）已知y 与2x -成反比例，当4x =时，3y =，求5x =时，y 的值；（2）已知y 与2x 成反比例，并当3x =时，2y =，求 1.5x =时，y 的值．5. 已知12y y y =+，1y 与x 成正比例，2y 与2x 成反比例，当2x =与3x =时，19y =，求y关于x 的函数解析式．6. 点A 是反比例函数6y x=的图像上的一点，AB ⊥y 轴于点B ，求△AOB 的面积．7. 已知n 是正整数，111()P x y ，，222()P x y ，，…()n n n P x y ，，…是反比例函数图像上的一列点，其中11x =， 22x =，…，n x n =，…．记112A x y =，223A x y =，…，1n n n A x y +=，…，若1A a =(a 是非零常数)，求12n A A A ⋅⋅⋅K 的值(用含a 和n 的代数式表示)．。
八年级反比例函数知识点
八年级反比例函数知识点反比例函数是初中数学中比较难理解的重点之一，也是必修内容。
下面我们将为大家详细介绍八年级反比例函数的相关知识点。
一、什么是反比例函数反比例函数是指形式为y=k/x的函数，其中k为常数，x≠0，y≠0 。
反比例函数的图像是一个“开口朝下”的双曲线。
二、反比例函数的性质1.值域反比例函数的值域是由x取值的范围决定的，当x趋近于正无穷时，y趋近于0，当x趋近于0时，y趋近于正无穷。
2.特殊函数值当x=1/k时，y=k/(1/k)=k²，即x=1/k时，反比例函数的函数值为k²。
3.增减性反比例函数在定义域上是单调递减函数。
4.对称性反比例函数的图像在y轴上具有对称性。
5.渐近线反比例函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴。
当x趋近于0或正无穷时，y趋近于0，此时y轴成为反比例函数的一个渐近线；当y趋近于0或正无穷时，x趋近于0，此时x轴成为反比例函数的一个渐近线。
三、反比例函数的图像及基本形状反比例函数的图像是一条双曲线，其基本形状为“开口朝下”的形式。
四、如何求反比例函数的解析式当已知反比例函数的函数图像时，我们可以通过图像上的两个点来求解析式。
对于y=k/x来说，只需给出两组x和y的值即可确定k的取值。
如已知函数图像经过点(1,3)和(2,1.5)，则可列出方程组：3=k/11.5=k/2通过方程组求解k的值，即可得到反比例函数的解析式为y=k/x，其中k=4.5。
另外，还有一种方法，即设已知反比例函数的解析式为y=k/x，将待求的常数k表示成y和x的函数，即k=xy，代入原方程中，可得yx=k或xy=k，这样就求出了反比例函数的解析式。
综上所述，反比例函数是初中数学中重点难点之一，希望同学们能够认真掌握，熟练应用。
初中数学反比例函数知识点及经典例题
反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。
还可以写成2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.⑵比例系数⑶自变量的取值为一切非零实数。
⑷函数的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法1 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）2 描点（有小到大的顺序）3 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。
⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。
4．反比例函数性质如下表：的取值图像所在象限函数的增减性一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（）即（）又在第二，四象限内，则可以求出的值【答案】由反比例函数的定义，得：解得时函数为【例2】在反比例函数的图像上有三点，，，，，。
若则下列各式正确的是（）A． B． C． D．【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。
解法一：由题意得，，，所以选A解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像描出三个点，满足观察图像直接得到选A解法三：用特殊值法【例3】如果一次函数相交于点（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（）【解析】【例4】如图，在中，点是直线与双曲线在第一象限的交点，且，则的值是_____.图解:因为直线与双曲线过点,设点的坐标为.则有.所以.又点在第一象限,所以.所以.而已知.所以.。
苏科版八年级数学下_11.1反比例函数
感悟新知
知2－讲
特别解读 ： 实际问题中函数的自变量的取值范围，不仅使函
数的表达式有意义，而且使实际问题有意义.
感悟新知
例2 [二模·唐山] 下列各问题中，两个变量之间的关系不
知2－讲
是反比例函数的是( C )
A. 小明完成100 m 赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)
之间的关系
取值范围是不等于0 的一切实数.
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知1－讲
2. 反比例函数的表达式的三种形式
①特别y=提kx醒, ②: 形y如=kyx=－11x,
③ xy=k.(其中k 为常数，k ≠ 0) +1、(x+1)y=3、y=(x+1)－1 等函数
都不是y 关于x 的反比例函数.
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3. 反比例关系与反比例函数的关系 (1)如果xy=k(k 为常数，k ≠ 0), 那么x 与y 这两个量成反比
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知识点 2 根据实际问题确定反比例函数的表达式 知2－讲
反比例函数是继正比例函数和一次函数后学生学习的 一种新的函数，揭示的是两个变量之间的反比例关系，是 刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型.
能根据实际问题中的已知条件，或已有的数量关系确 定函数的表达式，判断两个变量之间是否成反比例关系.
方法提醒 ： 判断一个函数是不是反比例函数的两种方法： 1. 按照反比例函数的定义判断. 2. 看两个变量的关系式是否符合反比例函数的表达式的三种
形式中的一种.
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解：① y ＝ x－2 是一次函数；② y ＝ 3 是反比例函 数；③ y ＝ x－1 是反比例函数；④ y ＝ xx＋2 1不是y 关 于x的反比例函数. 则y是x 的反比例函数的是：②③， 共2 个．
苏教版八年级下学期-反比例函数-知识要点及典型例题专项训练
第9章 反比例函数【知识要点】1.反比例函数：一般地，形如：xky =（k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数，k 是比例系数．反比例函数有三种表示形式： 、 、 选 2.反比例函数图象及画法：一般地，反比例函数xky =（k 为常数，k ≠0）的图象是由两个分支组成的，是双曲线．这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．双曲线两个分支关于原点对称，由于反比例函数中，自变量x ≠0，函数值y ≠0，所以它的图象与 x 轴和y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限地接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．反比例函数图象既是以直线 和直线为对称轴的轴对称图形；又是是以 为对称中心的中心对称图形。
过原点任意画一条直线，与两个分支交于两点，则这两个交点是关于 对称的，即若一个交点是)(b a P ，，则另一个交点是 ．画反比例函数的图象的基本步骤为： ① 列表；描点；③ 连线．选3.反比例函数性质：（1）反比例函数图象的位置和函数值的增减性都是由比例系数k 来确定的：① 当 k ＞0时， x ，y 同号，图象在第一、三象限，在每一个象限内，由左至右呈下降趋势，y 随x 的增大而减小；② 当 k ＜0时， x ，y 异号，图象在第二、四象限，在每一个象限内，由左向右呈上升趋势，y 随x 的增大而增大．（2，否则，若笼统地说：“当k ＞0时，y 随x 的增大而减小”，就会出现与事实不符的错误，如函数xy =，当x 2-=时，y 3-=；当 x=2 时，y=3 ．显然不是y 随x 的增大而减小．选 4.求反比例函数关系式的基本方法．（1）待定系数法是最基本的方法；（2）若已知两个函数的交点，可把交点坐标直接代入关系式；（3）若有两个函数时，先分别设出解析式（用 k 1， k 2分别表示比例系数），将两个解析式联立建立方程组，利用方程组的相关知识求解；（4）过反比例函数图象上的任意一点作 x 轴的垂线，那么这点与垂足、坐标系原点构成的三角形的面积是一个定值，即22k xy S ==。
八年级数学反比例函数的图解和性质
三、练习
（一）填空
1、当m 时，反比例函数y=(1-2m)/x的图象在一、 三象限。 2、若反比例函数y=K/x的图象在二、四象限，则直 线y=kx-3不经过第 象限。 3、当k>0时，反比例函数y=(k+1)/x的图象在 象 限。 4、当k<0时，反比例函数y=-k/x的图象在 象 限。 5、反比例函数y=（k2 +1）/x的图象在 象 限。
-2
2
-3
3
-6
6
6
-6
3
-3
2
-2
1.5
-1.5
… … …
Y=3/x … Y=-3/x …
-0.75 -1
0.75 1
-1.5 -3
1.5 3
3
-3
1.5
2
0.75
-1.5 -2 -0.75
… …
y y﹦6∕x y＝－6/x
y
o
x
o
x
gx = hx =
6 x 数的概念 1、什么是反比例函数？其 自变量的取值范围是什么， 你能说明为什么吗？ 2、试举出几个反比例的例 子。
反比例函数定义：
形如Y=K/X（K≠0）的函数叫反 比例函数。注意反比例函数的另 两种形式：y=kx-1 xy=k (k≠0)
回顾： 一般反比例函数解析式中有 几个待定系数？需要几组X和Y 的对应值可以求出其解析式？ 例 1： 已知Y与X的平方成反比例，并 且当X=3时，Y=4；求X=6时， Y的值.
下列（ ）是函数y=kx-k和y=k/x的大致图象
y
o x
y y o x o x
y o
x
A
B
C
八年级数学反比例函数知识点归纳和典型例题
反比例函数知识点归纳和典型例题知识点归纳（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．例题分析1．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P （a ，b ）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（5）若P （2，2）和Q （m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m 的图象经过（ ）．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．7、已知120k k <<，则函数1y k x =和2k y x=的图象大致是（ ）3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（ ）．y xOyxOyxOyxO（A ）（B ）（C ）（D ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数（2）在函数（a 为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（ ）． A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y 随x 的增大而减小的函数有（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x 和y=x+1的图象过同一点，则当x ＞0时，这个反比例函数的函数值y 随x 的增大而 （填“增大”或“减小”）． 5、 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（ ）．A ．x ＜－1B ．x ＞2C ．－1＜x ＜0，或x ＞2D ．x ＜－1，或0＜x ＜24．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y 是z 的（ ）．A ．正比例函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．不能确定（6）若正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m ），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（7）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．ABOxy第4题2 1 23 －3 －1 －2 13－3－1－2（8）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？5．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC 的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．（5）如图在Rt△ABO 中，顶点A 是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B 且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积．第（5）题图6.如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积；(3)求不等式kx+b-xm <0的解集(直接写出答案)．OC A Byx7．如图，已知反比例函数y ＝mx的图象经过点A (－1，3)，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A 和点C (0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B ．(1)求这两个函数的解析式； (2)求点B 的坐标．8、如图所示，一次函数y x m =+和反比例函数1(1)m y m x+=≠-的图象在第一象限内的交点为(,3)P a ．⑴求a 的值及这两个函数的解析式； ⑵根据图象，直接写出在第一象限内，使反 比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．(,3)P aOxy6．综合应用（1）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．① 求反比例函数和一次函数的解析式；② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（2）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．① 求点A、B、D的坐标；② 求一次函数和反比例函数的解析式．3．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（﹣1，﹣2）两点，与x轴交于点C．（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；（2）连接OA，求△AOC的面积．4．如图，一次函数y=x+1与反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC．5．已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标与B点的纵坐标都是2，如图：（1）求这个一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）在y轴是否存在一点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请在坐标轴相应位置上用P1，P2，P3…标出符合条件的点P；（尺规作图完成）若不存在，请说明理由．6．如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，﹣1）．（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；（4）在反比例函数的图象上找点P，使得点A，O，P构成等腰三角形，直接写出两个满足条件的点P的坐标．7．如图，已知反比例函数的图象经过点，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为．（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求|AO|：|AC|的值；（3）若D为坐标轴上一点，使△AOD是以AO为一腰的等腰三角形，请写出所有满足条件的D点的坐标．。
初中数学 反比例函数的一般形式是什么
初中数学反比例函数的一般形式是什么反比例函数的一般形式是y = k/x，其中k 是一个常数。
这个形式表示了两个变量y 和x 之间的反比关系。
在反比例函数中，当一个变量的值增大时，另一个变量的值会减小，并且两个变量的乘积始终保持不变。
在这个一般形式中，y 表示因变量，x 表示自变量，k 是一个常数，表示两个变量的乘积。
k 的值可以是任意实数，但不可以为零，因为当x 等于零时，反比例函数的定义无效。
反比例函数的一般形式可以进一步解释如下：1. y：表示因变量，即根据自变量x 的取值而变化的量。
它是反比例函数中的依赖变量。
2. x：表示自变量，即独立变量，它的取值决定了因变量y 的值。
3. k：表示一个常数，它是反比例函数中的比例系数。
它决定了因变量y 和自变量x 的反比关系。
k 的值越大，反比例函数的曲线越陡峭；k 的值越小，曲线越平缓。
反比例函数的一般形式可以用于描述多种实际问题。
例如：1. 速度和时间：当一个物体的速度增加时，所需要的时间就会减少。
反比例函数可以描述速度和时间之间的关系。
2. 电阻和电流：当一个电阻上的电流增大时，电压降就会减小。
反比例函数可以描述电阻和电流之间的关系。
3. 水池的出水口和水位下降的速度：当一个水池的出水口增大时，水位下降的速度会加快。
反比例函数可以描述出水口的大小和水位下降速度之间的关系。
4. 人口密度和土地面积：当一个地区的人口密度增大时，每个人拥有的土地面积就会减少。
反比例函数可以描述人口密度和土地面积之间的关系。
总结起来，反比例函数的一般形式是y = k/x，其中y 表示因变量，x 表示自变量，k 是一个常数。
这个形式可以描述两个变量之间的反比关系，当一个变量的值增大时，另一个变量的值会减小，并且两个变量的乘积保持不变。
反比例函数的一般形式可以应用于多个实际问题中，帮助我们理解和分析变量之间的关系。
初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析
初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析知识要点梳理知识点一：反比例函数的应用 在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．知识点二：反比例函数在应用时的注意事项 1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题． 2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系． 3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．知识点三：综合性题目的类型 1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等. 2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．规律方法指导 这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．经典例题透析类型一：反比例函数与一次函数相结合 1．（2010四川成都）如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点． （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围． 思路点拨: 由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。
根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围． 解析：（1）∵已知反比例函数经过点， ∴，即 ∴ ∴A(1，2) ∵一次函数的图象经过点A(1，2)， ∴ ∴ ∴反比例函数的表达式为， 一次函数的表达式为。
（2）由消去，得。
即,∴或。
∴或。
∴或 ∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。
八年级数学反比例函数的图解和性质
声速
声速与频率和介质有关，在一定 介质中，声速与频率成反比关系。
磁场
在磁场中，磁感应强度与电流成 正比，与导线长度成反比，这是
电磁感应现象的基础。
在经济中的应用
供需关系
01
在市场经济中，商品的价格与供应量成反比关系，当需求量一
定时，供应量增加会导致价格下降。
投资回报
02
投资回报率与投资额成反比关系，当风险一定时，投资额越大，
中心对称
分布在第二和第四象限
由于k的正负性，反比例函数的图像分 布在第二和第四象限。
反比例函数的图像关于原点中心对称。
反比例函数图像的变换
k值变化
改变k的值会影响反比例函 数图像的形状和位置。
x轴和y轴的变换
通过伸缩x轴和y轴，可以 改变反比例函数图像的形 状。
图像的旋转
通过旋转反比例函数图像， 可以观察其在不同角度下 的形态。
01
02
03
确定函数表达式
首先确定反比例函数的表
达式，例如$y
=
frac{k}{x}$（其中k为常
数）。
ห้องสมุดไป่ตู้
确定坐标轴
在平面直角坐标系中，选 择适当的x和y轴范围。
绘制图像
根据反比例函数的表达式， 在坐标系中逐点绘制函数 图像。
反比例函数图像的特性
无限接近x轴和y轴
反比例函数的图像会无限接近x轴和y 轴，但不会与它们相交。
反比例函数可以看作是幂函数的一种特殊情况，即当n=-1时 的幂函数。因此，反比例函数与幂函数在性质上有一定的相 似性，例如它们的导数都与自身有关。
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「初中数学」求反比例函数解析式的六种常用方法
「初中数学」求反⽐例函数解析式的六种常⽤⽅法解有关函数的习题，⾸要的⼯作应该是知道函数的解析式，每⼀类函数都有各⾃解析式的求法，那么反⽐例函数的解析式如何求解呢？下边⼀⼀介绍.⽅法⼀.利⽤反⽐利函数的定义求解析式【分析】反⽐例函数有三种表达形式:(1)y=K/x;(2)y=Kx-';(3)xy=K，其中K是常数，且K≠0.(第⼆种形式是y等于K与x的负1次⽅的积)，特别要注意K≠0，1.解:由m²⼀10=⼀1，解得m=±3，⽽m=⼀3时K=(m+3)=0，∴m=3，则K=m+3=6，∴反⽐例函数解析式为y=6/x2.解:由3m²+m⼀5=⼀1，解得m=1或m=⼀4/3，⽽m=1时，K=m²⼀1=0，∴m=⼀4/3，则m²⼀1=7/9，所以反⽐例函数解析式为y=7/(9x).⽅法⼆.利⽤反⽐例函数的性质求解析式【分析】由反⽐例函数的概念知，第3题n²+2n⼀9=⼀1，由于反⽐例函数在每个象限内，y随x的增⼤⽽减⼩，所以n+3为正数;第4题m²⼀5=⼀1，⼜由于反⽐例函数的图象在每个象限内y随x值的增⼤⽽增⼤，所以m为负值.3.解:由题意得，n²+2n⼀9=⼀1，解得n=⼀4或n=2，由于其图象在每个象限内y随x值的增⼤⽽减⼩，所以n+3>0，∴n=2，则n+3=5，所以反⽐例函数图象为y=5/x.4.解:由题意得，m²⼀5=⼀1，解得m=±2，⼜由于其图象在每个象限内y随x值的增⼤⽽增⼤，所以m=⼀2，所以反⽐例函数的解析式为y=⼀2/x.⽅法三.利⽤反⽐例函数的图象求解析式5.如图，在△ABC中，AC=BC，AB⊥x轴，垂⾜为A，反⽐例函数y=K/x(x>0)的图象经过点C，交AB于点D.已知AB=4，BC=5/2.(1)若OA=4，求反⽐例函数的解析式;(2)连接OC，若BD=BC，求OC的长.【分析】这类题的特征⼀般是通过条件求图象上某⼀点的坐标，然后根据xy=K，从⽽确定解析式.第⼀问，根据AC=BC=5/2，过C点作CE⊥AB于E，则E为AB的中点，则AE=BE=2，由于AB⊥x轴，所以C点纵坐标为2，在Rt△BEC中，求出CE的长为3/2，因为OA=4，所以C点横坐标为4⼀3/2=5/2，则C点坐标确定，所以反⽐例函数解析式可得.第⼆问，由于BD=BC=5/2，所以AD=AB⼀BD=4⼀5/2=3/2，所以D点纵坐标为3/2，⽽C点纵坐标还是2，C到AB的距离长CE=3/2，若设出A点坐标为(m，0)，则C点坐标为(m⼀3/2，2)，D点坐标为(m，3/2)，由于C，D两点都在反⽐例函数图像上，利⽤xy=K建⽴⽅程可求得m，进⽽求得C点坐标，利⽤勾股定理可得OC的长.解:(1)过C点作CE⊥AB于E，如图，∵AC=BC，AB=4，∴AE=BE=2，在Rt△BCE中，BC=5/2，BE=2，∴CE=3/2，∵OA=4，∴C点坐标为(5/2，2)，⼜C点在y=K/x的图象上，∴xy=K，即K=2×5/2=5，所以反⽐例函数的图象为y=5/x.(x>0).(2).如图，作CF⊥x轴，垂⾜为F，设A点的坐标为(m，0)，∵BD=BC=5/2，AB=4，∴AD=3/2，∴D点坐标为(m，3/2)，由(1)知CE=3/2，AE=BE=2，∴C点坐标为(m⼀3/2，2)，∵C，D两点都在y=K/x的图象上，∴3m/2=2(m ⼀3/2)，解得m=6，∴C点坐标为(9/2，2)，∴OF=9/2，CF=2，在Rt△OFC中，由勾股定理可得，OC=√97/2.6.如图，矩形AOCB的两边OC，OA分别在x轴，y轴上，点B的坐标为(⼀20/3，5)，D是AB上的⼀点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对⾓线OB上的点E处，若点E在⼀反⽐例函数的图象上，求该反⽐例函数的解析式.【分析】求反⽐例函数解析式，实质上是求系数K，那么就只需要⼀个条件，⼤多数是求图象上点的坐标，本题只要求出E点坐标即可，由于折叠A点落在E处，则OA=BC=OE=5，过E作EF⊥x轴于F，则△OEF∽△OBC，则OE/OB=EF/BC=OF/OC，由题意知BC=5，OC=20/3，则OB=25/3，可求出OF，EF，则E点坐标求出，反⽐例函数解析式可求出.当然也可⽤三⾓函数求E点坐标.解:如图，过E点作EF⊥x轴于F，设过E点的反⽐例函数解析式为y=K/x，(K≠0).由矩形AOCB知BC⊥x轴，∴△OEF∽△OBC，∴OE/OB=EF/BC=OF/OC，∵B点坐标为(⼀20/3，5)，∴BC=5，OC=20/3，由于△ADO沿OD翻折，A点落在OB上E处，∴OE=OA=BC=5，在Rt△BCO中，由勾股定理求得OB=25/3，∴可求得，EF=3，OF=4，∴E点坐标为(⼀4，3)，代⼊y=K/x，得K=⼀12，所以反⽐例函数解析式为y=⼀12/x.⽅法四，利⽤待定系数法求解析式7.已知y1与x成正⽐例，y2与x成反⽐例，若y=y1+y2的图象经过点(1，2)，(2，1/2)，求y与x的函数解析式.【分析】这种题型，根据题意，设出对应的函数解析式，利⽤条件列⽅程组，解出相应的待定系数即可，注意待定系数在不同的函数中应⽤不同的字母.解:∵y1与x成正⽐例，∴设y1=Kx(K≠0)，∵y2与x成反⽐例，∴设y2=m/x(m≠0)，由y=y1+y2得，y=Kx⼗m/x，⼜∵y=Kx+m/x的图象经过(1，2)和(2，1/2)两点，∴可得8.已知y=y1+y2，y1与x成正⽐例，y2与x²成反⽐例，且x=2与x=3时，y的值都等于19，求y与x 间的函数关系式解∵y1与x成正⽐例，∴设y1=Kx(K≠0)，∵y2与x²成反⽐例，∴设y2=m/x²(m≠0)，∴y=y1+y2=Kx⼗m/x，∵当x=2时y=19，当x=3时y=19，∴可得⽅法五.利⽤图形的⾯积求解析式9.如图，点A在双曲线y=1/x上，点B在双曲线y=K/x上，且AB∥x轴，C，D两点在x轴上，若矩形ABCD的⾯积为6，求点B所在双曲线对应的函数解析式.【分析】反⽐例函数y=K/x的系数K具有⼀定的⼏何意义，|K|等于图象上任意⼀点向两坐标轴所作垂线与坐标轴所围成的矩形的⾯积.如图|K|=S矩形AEOC=S矩形BFOD，|K|/2=2S△AOC=2S△BOD=2S△AOE=S△BOF.灵活运⽤K的⼏何意义，通过⾯积求出K，也就求得解析式.所以延长BA交y轴于点E，则四边形AEOD，BEOC 均为矩形，则由题意得，S矩形AEOD=1，S矩形BEOC=|K|，∴|K|=1+6=7，由于反⽐例函数图象在第⼀，三象限，K>0，∴K=7，∴反⽐例函数解析式为y=7/x.如图.解:延长BA交y轴于点E，由题意可知S矩形AEOD=1，S矩形BEOC=K，∵S矩形ABCD=6，∴K ⼀1=6，K=7，∴B点所在双曲线对应的函数解析式是y=7/x.10.如图，A，B是双曲线y=K/x(K≠0)上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂⾜为C，若△ADO的⾯积为1，D为OB的中点，求反⽐例函数的解析式.【分析】反⽐例函数有些与⾯积有关的习题，灵活运⽤|K|的⼏何意义，结合题中的条件建⽴关于K的⽅程，是这类题的常见的解法，本题过B作BE⊥x轴于E，由于D为OB的中点，则BE=2CD，AD=AC⼀CD=AC⼀BE/2，OE=2OC，如图，设A点坐标为(x，K/x)，(K>0)，∵C，A两点横坐标都为x，则B点横坐标2x，∴B点坐标为(2x，K/2x)，∴CD=k/4x，AD=K/x⼀K/4x，∵S△AOD=1，即1/2(K/x⼀K/4x)x=1，解得K=8/3.所以反⽐例函数解析式为y=8/3x.(反⽐例函数有这样的优势，通过设坐标，引进系数K，也就引进了⾯积，这⼀点同学们多体会⼀下).⽅法六.利⽤实际问题的关系求解析式11.某运输队要运300t物资到江边防洪.(1)运输时间t(单位:h)与运输速度v(单位:t/h)之间有怎样的函数关系？(2)运了⼀半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2h之内运到江边，则运输速度⾄少为多少？【分析】实际问题往往通过具体的量的关系，抽象为数学模型，⽤对应模型的数学知识解决实际问题.(1)本题数量关系为:物资总量=运输时间×运输速度，由于物资总量300t⼀定，所以运输时间与运输速度成反⽐例关系即t=300/v.(2)运输物资剩下⼀半即150t时，剩下的要在2h运到江边，所以运输速度⾄少为150÷2=75(t/h).(实际问题中的数量关系求反⽐例函数解析式，必须是a×b=c，c⼀定的数学模型).12.某汽车的功率P(单位:W)为⼀定值，它的速度v(单位:m/s)与它所受的牵引⼒F(单位:N)有关系:v=P/F，且当F=3000时，v=20.(1)这辆汽车的功率是多少⽡？请写出这⼀函数的解析式.(2)当它所受的牵引⼒为2500N时，汽车的速度为多少？(3)若限定汽车的速度不超过30m/s，则牵引⼒在什么范围？解:(1)由v=P/F，得P=Fv=3000×20=60000所以这辆汽车的功率为60000W，此函数解析式为v=60000/F.(2)当F=2500N时，代⼊v=60000/F，得v=60000÷2500=24，所以汽车的速度为24m/s.(3)由v≤30m/s，∴60000÷F≤30，∵F>0，∴F≥2000，所以牵引⼒⼤于或等于2000N.【总结】求反⽐例函数解析式，⼀般不太难，同学们把常见的⽅法掌握好，求出解析式为进⼀步攻克难题打下基础关.。
初中数学(4)--函数(2)--反比例函数与二次函数
6．（2005 徐州） 已知正比例函数 1).求这两个函数关系式.
y k1 x 与反比例函数 y
k2 x
的图象都经过点(2，
7． （2004 贵阳）如图，一次函数
y ax b 的图象与反比例函数 y
k 的图象交于 M 、 N 两点 . x
17 已知关于ｘ的一次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ＋７，如果ｙ随ｘ的增大而减小，则ｍ的取值范围是 18 某乡粮食总产值为ｍ吨，那么该乡每人平均拥有粮食ｙ（吨） ，与该乡人口数ｘ的函数关系式是 19、函数ｙ＝ ｘ－５ 中，自变量ｘ的取值范围 (Ａ)ｘ＞５ (Ａ)第一象限 (Ａ)０ (Ｂ)ｘ＜５
２
（ （
） (Ｄ)ｘ≥５ ） (Ｄ) 第四象限 （ ） ） （D） （3，－5）
y O
3/5
y x O x
y O x
y O x
数学复习
版权所有，翻版必究
By fangjiyong
y 4． （2005 安徽）任意写出一个图象经过二、 四象限的反比例函数的解析式:__________ M（2，m） O N（-1，-4） x
k 2 5． （2005 苏州）已知反比例函数 y ，其图象在第一、第三象限内，则 k 的值 x
28．某幢建筑物，从 10 米高的窗口 A 用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平 面与墙面垂直， （如图）如果抛物线的最高点 M 离墙 1 米，离地面 距离 OB 是（ （A）2 米 ） （B）3 米 （C）4 米 （D）5 米 40 米，则水流下落点 B 离墙 3
29．求下列函数的最大值或最小值． （1）
x1 x2 2 y1 y2 2
2、函数平移规律（中考试题中，只占 3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮 助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减 随堂练习：
初二数学《反比例函数》说课稿（通用5篇）
初二数学《反比例函数》说课稿初二数学《反比例函数》说课稿（通用5篇）作为一无名无私奉献的教育工作者，常常要根据教学需要编写说课稿，编写说课稿助于积累教学经验，不断提高教学质量。
写说课稿需要注意哪些格式呢？下面是小编为大家收集的初二数学《反比例函数》说课稿（通用5篇），仅供参考，大家一起来看看吧。
初二数学《反比例函数》说课稿1各位评委：大家好！今天我要说的课题是义务教育人教版初中八年级十七章第一节“反比例函数”。
我将从如下步骤进行。
一、说教材1、内容分析：本节课是“反比例函数”的第一节课，是继正比例函数、一次函数之后，二次函数之前的又一类型函数，本节课主要通过丰富的生活事例，让学生归纳出反比例函数的概念，并进一步体会函数是刻画变量之间关系的数学模型，从中体会函数的模型思想。
因此本节课重点是理解和领悟反比例函数的概念，所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。
2、学情分析：对八年级学生来说，虽然他们已经对函数，正比例函数，一次函数的概念、图象、性质以及应用有所掌握，但他们面对新的一次函数时，还可能存在一些思维障碍，如学生不能准确地找出变量之间的自变量和因变量，以及如何从事例中领悟和总结出反比例函数的概念，因此，本节课的难点是理解和领悟反比例函数的概念。
二、说教学目标根据本人对《数学课程标准》的理解与分析，考虑学生已有的认知结构、心理特征，我把本课的目标定为：1、从现实的情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。
2、经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
三、说教法本节课从知识结构呈现的角度看，为了实现教学目标，我建立了“创设情境→建立模型→解释知识→应用知识”的学习模式，这种模式清晰地再现了知识的生成与发展的过程，也符合学生的认知规律。
于是，从教学内容的性质出发，我设计了如下的课堂结构：创设出电流、行程等情境问题让学生发现新知，把上述问题进行类比，导出概念，获得新知，最后总结评价、内化新知。
八年级数学下册《反比例函数》知识点总结
八年级数学下册《反比例函数》知识点总结.定义：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式xy=k2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和y=-x。
对称中心是：原点3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
5.反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。
、反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成的形式。
自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质反比例函数k的符号k>0k<0图像性质①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。
在每个象限内，y随x的增大而减小。
①x的取值范围是x0，y的取值范围是y0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。
在每个象限内，y随x的增大而增大。
4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
八年级数学反比例函数的图象和性质2
2.反比例函数的图象与性质
复习回顾
1.反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是一 个怎样的图象？
反比例函数的图象是双曲线 2.反比例函数的图象的位置与k有 怎样关系？
当k>0时，两支曲线分别位于第一、 三象限内；
当k<0时，两支曲线分别位于第二、 四象限内.
3 反比例函数的图象可能与x轴相交吗？ 可能与y轴相交吗？为什么？
x2
y1 A(x1,y1)
B(x2,y2)
y2
观察反比例函数 y 2 , y 4 , y 6
xxx
的图象，回答下列问题：
（3）在每个象限内，随着x值的增大，y的 值怎样变化？
在每一象限内，y的值随x值的增大而减小。
如果k=－2, －4,－6,那么函数 的图象有又什么共同特征？
y
k x
不能与x轴、y轴相交。
因为x≠0，所以不与y轴相交； 因为y ≠0，所以不与x轴相交。
结论：图像的两个分支无限接近x轴和 y轴，但永远不会与X轴、y轴相交。
4、 将反比例函数的图象绕原点旋转 180°后，
5、 将反比例函数的图象沿着直线y=x或 直线y=-x折叠后，两部分图象能重合吗？
（1）函数图象分别位于哪个象限内？
x>0时，图象在第四象限； x<0 时，图象在第二象限。
如果k=－2, －4,－6,那么函数 的图象有又什么共同特征？
原力，使我们变成行义的人，以真诚涵摄了现实的人，则不足为奇的恋爱，因容纳而与恒河等长，生命因
观察反比例函数 y 2 , y 4 , y 6
xxx
的图象，回答下列问题：
（1）函数图象分别位于哪几个象限内？ 第一、三象限内。
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八年级下数学周末测试(3)---反比例函数3.25
出卷:陈国萍,审卷:史珏 姓名 成绩 一、选择（每题3分）
（1）下列函数中y 是x 的反比例函数的有（ ）个
（1）x
a y =
（2）xy= -1 （3）11
+=x y （4）13y x =
A 1
B 2
C 3
D 4
（2）函数5
2
)2(--=a
x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ）
A ．－1
B ．－2
C ．2
D ．2或－2
（3）如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数（4）若反比例函数
2
2)12(--=m x
m y 的图象在第二、四象限，则m 的值是（ ）
A 、 －1或1;
B 、小于1
2
的任意实数; C 、－1; Ｄ、不能确定 （5）已知0k >，函数y kx k =+和函数k
y x
=在同一坐标系内的图象大致（ ）
（6）下列函数中，当0x <
时，y 随x 的增大而增大的是（ ）
A ．34y x =-+
B ．123
y x =-- C ．4
y x
=- D ．12y x =．
（7）若点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）和（3x ，3y ）分别在反比例函数2
y x
=- 的图
象上，且1230x x x <<<，则下列判断中正确的是（ ）
A ．123y y y <<
B ．312y y y <<
C ．231y y y <<
D ．321y y y << （8）矩形的面积为6cm 2
，那么它的长y （cm ）与宽x （cm ）之间的函数关系用图象
表示为（ ）
x
x
x
x
（
9）、如图，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2y x
=的图象相交于A 、C 两
点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结BC ．则ΔABC A ．1 B ．2 C ．4 D ．随k 的取值改变而改变．
二、填空（每题2分） 1.若x
k y 1
+=
的图像经过（-1，3），则k= 2.写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ．
3.正比例函数2x y =
和反比例函数2
y x
=的图象有 个交点． 4.正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k
y k x
=≠的图象相交于点A （1，
a ），则k ＝ ．
5.老师在同一个直角坐标系中画了一个反比例函数(0)k
y k x
=≠的图象以
及正比例函数2y x =-的图象，请同学观察有什么特点。
甲同学说：双曲线与直线
2y x =-有两个交点,乙同学说,双曲线上任意一点到两坐标轴的距离的积都
是5．请你根据甲、乙两位同学的说法，写出这个反比例函数的解析式 ．
6.直线y=kx+b 过一、三、四象限，则y=bx
k
的图像分布在第 象限 7. 在反比例函数x
k y 1
+=
的图象上有两点11()x y ，和22()x y ，，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是 ．
三、简答题 1. 反比例函数(0k
y k x
=
≠）
的图象经过（—2，5， n ）， 求（1）n 的值；（2）判断点B （24，由
A B C D
2.已知函数12y y y =-，其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝1；x ＝3时，y ＝5．求：（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x ＝2时，y 的值．
3..如图,在平面直角坐标系中，直线2k y x =+
与双曲线k
y x
=在第一象限交于点A ，与x 轴交于点C ，AB ⊥x 轴，垂足为B ，且AOB S Λ＝1．求： （1）求两个函数解析式； （2）求△ABC 的面积．
四、应用题
1.一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则6小时可到达乙地．
（1）写出时间t （时）关于速度v （千米／时）的函数关系式，说明比例系数的实际意义．
（2）因故这辆汽车需在5小时内从甲地到乙地，则此时汽车的平均速度至少应
是多少？
2.、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：拉面师傅在一定体积的面团的条件下制做拉面，通过一次又一次地拉长面条，测出每一次拉长面条后面条的总长度与面条的粗细(橫截面积)
（1）请根据右表中的数据求出面条的总长度y（m）与面条的粗细(橫截面积) s(mm2)的函数关系式；
面条的总长度是多少？
(3)根据表格画出函数图像。