8.t检验n

t 检验
学习要求
理解均数比较t 检验的统计思路 掌握不同设计下均数比较t 检验
方法和步骤
掌握进行t 检验注意事项
内容
单样本均数t 检验 配对样本均数t 检验 两独立样本均数t 检验 正态性检验 两独立样本方差的齐性检验 方差不齐性两独立样本均数t ’检验
t 检验（t-test）
t= X Y n
则称 t 服从自由度为 n 的t 分布.
其密度函数为
f (t) =
Γ
⎛ ⎜⎝
n
+ 2
1
⎞ ⎟⎠
nπ
Γ
⎛ ⎜⎝
n 2
⎞ ⎟⎠
⎛ ⎜1
+
⎝
t2 n
⎞− n+1 2
⎟ ⎠
−∞<t <∞
t 分布 (Student t分布)
t 分布的图形(当df =∞是标准正态分布)
单样本均数t 检验
对于总体标准差未知的样本，推断样本所代表的未知
总体均数µ与已知总体均数µ0有无差别。
应用条件是： 总体标准差未知。 理论上要求样本为来自正态分布总体的随机样本；
已知总体均数µ0 (一般(为理论值、标准值或经大量
观察所得的稳定值)。
H0： μ=μ0
统计量t的计算公式：
t = | X − μ0 | = | X − μ0 | ∼ t(n −1)
W检验在3≤n≤50时使用， D检验在50<n≤1000时使用。
两独立样本方差的齐性检验
方差齐性（homoscedasticity）检验：
检验假设为
H0
: σ 12
=
σ
2 2
或
H0
:
σ
2 1
/
σ
2 2
=1，
备择假设为
H1
:
σ
2 1
≠
σ
2 2
或
H1
:
σ
2 1
/
σ
2 2
≠1，
检验统计量 F 计算公式为：
同一个体自身前后比较的实验性研究应设平 行对照组，对照方式采用实验对照或假干预对照。
配对设计
配对设计优点： 9 增大试验对象间的均衡性; 9 减少试验次数; 9 提高检验效能。
配对样本均数t 检验
配对样本数据，利用各对差值 d，来比较均数的差别。
H0： μd = 0
配对 t 检验（paired t-test）的计算公式为：
适用于完全随机设计两独立样本均数的比较； 检验两独立样本均数所代表的未知总体均数是 否有差别；
两独立样本均数t 检验
应用条件： 正态性（normality） ：两组样本为来自正态分布
总体的随机样本； 方差齐性（homogeneity of variances） ：两总体
方差相等； 独立性（independence） ：两组样本互不影响。
t = d − μd = d , ν = n −1
Sd
Sd / n
Sd =
Σd 2 − (Σd )2 / n n −1
其中， Sd 为差值 d 的标准差。
资料成对，每对数据不可拆分。
两独立样本均数t 检验
两独立样本的t 检验（two-independent sample t-test）又称两样本均数的t 检验（two-sample ttest）或成组t 检验。
完全随机设计
完全随机设计（completely random design） 又称单因素设计，或成组设计，是医学科研中最常用 的一种研究设计方法，
将同质的受试对象随机地分配到各处理组中进 行实验观察，
从不同总体中随机抽样进行对比研究。
完全随机设计
完全随机设计特点： 适用面广， 不受组数的限制， 各组的样本含量可以相等，也可以不相等， 总样本量不变时，各组样本量相同时检验效率
SX
Sn
单样本均数比较的检验
Z = X − μ0 ~ N (0,1) σ0 n
Z = X − μ0 ≈ N (0,1)
S/ n
t = | X − μ0 | = | X − μ0 | ~ t(n −1)
SX
Sn
配对设计
配对样本均数的检验又称配对t 检验 （paired t-test），
用于配对设计的计量资料均数的比较， 检验两相关样本均数所代表的未知总体 均数是否有差别。
－2
=
X1
n1＋1
+
X2
n2＋1
( S12 + S22 )2
n1 n2
( S12 )2
(
S
2 2
)2
n1 + n2
−2
n1 + 1 n2 + 1
对临界值校正
Cochran & Cox 法
tα'
=
S2 X1
⋅ tα ,ν1
+ S2 X2
⋅ tα ,ν2
S2 + S2
，
X1
X2
ν= n1+n2-2
式中，ν1= n1-1 ，ν2 = n2-1
(ν1F
+ν
2
ν1 +ν 2
)2
1.5 1
0..55
v1=50 v2=30
v1=15 v2=10
v1=2 v2=2
x
0
00
1
2
3
44
不同自由度F分布密度函数曲线图
存在问题
非正态 方差不齐 非正态且方差不齐
解决思路
¾ 仅方差不齐数据¨t‘’ 检验
¾ 非正态、非正态且方差不齐的数据 ¨作变换使其满足条件¨ t检验
配对设计
配对设计（paired design）：是指按按照一定的 条件将观察对象结成对子（matching）的设计方 法。
条件：性别、病情和年龄等 ，每对中的两个个体 随机分配接受两种不同的处理。增加了组间均衡性， 提高了检验效能。
配对设计
配对设计分为： ① 同源配对：同一个体自身前后的比较。 同一个
最高。
两独立样本均数t 检验
H0： μ1 = μ2
计算公式：
t
=
X1 S
X2
~
t(n1
+ n2
- 2),
X1-X 2
ν = n1 + n2 - 2
其中，均数差的标准误
S= X1-X 2
Sc
2
(
1 n1
+
1 n2
)
∑ ∑ ∑ ∑ Sc2 =
X1 2 - ( X1 )2 / n1 + X 2 2 - ( X 2 )2 / n2 = (n1 - 1)S12 + (n2 - 1)S22
F
=
S（12 较大） S（22 较小）
,ν 1
=
n1
− 1,
ν2
= n2 −1
F 分布
F分布概率密度函数：
f (x)
2..55
22
v1=100 v2=100
f
(F)
=
Γ
⎛ ⎜⎝
ν1
+ν 2
2
ν ν ⎞ ν1 /2 ν2 /2
⎟⎠ F 1 2
ν1 −1 2
Γ
⎛ ⎜⎝
ν1
2
⎞ ⎟⎠
Γ
⎛ ⎜⎝
ν2
2
⎞ ⎟⎠
正态性检验方法： 图示法 检验法
正态性检验
图示法: P-P图Ö 频率-频率图（proportion-proportion
plot， P-P plot）和。P-P plot是以实际观测值的累积
频率（X）对被检验分布（如正态分布等）的理论或期 望累积频率（Y）作图；
Q-Q图Ö 分位数-分位数图（quantile-quantile plot ， Q-Q plot） Q-Q plot则是以实际观测值的分位数（
¾ 作变换仍不满足条件¨基于秩次的非 参数检验
两方差不齐时均数比较的t’检验
t ’ 检验亦称近似t 检验：
对自由度进行校正: 9 Satterthwaite 法(1946) 9 Welch法(1947)
对临界值校正： 9 Cochran & Cox法(1950)
t ’ 检验统计量计算公式：
n1 - 1 + n2 - 1
n1 + n2 - 2
配对t检验与独立t检验区别
研究设计不同 对资料的要求不同 统计量的计算公式不同 样本量不同 检验的效能不同
正态性检验
正态性检验的必要性: 统计描述需要根据数据的分布特征选择统计
量。 统计推断需要考察数据是否满足适用条件。
X）对被检验分布的理论或期望分位数（Y）作图。
正态性检验
检验法: 对偏度（skewness）和峰度（kurtosis）各用一
个指标来评定，常用矩法（method o
偏度
峰度
正态性检验
检验法: 仅用一个指标来综合评定: 9 W检验法 (S.S.Shapiro与M.B.Wilk提出) 9 D检验法 (Ralaph.B.D.Agostino提出)
根据校正的临界值，作出推断结论。
X1 − X2 t'=
S12 + S22 n1 n2
对自由度校正
Satterthwaite 法自由度校正公式为
ν=
(S12
/
n1
+
S
2 2
/
n2 )2
(S12 / n1 ) 2
+
(S
2 2
/
n2 )2