正弦、余弦定理应用

1.2.3正弦、余弦定理应用

学习目的： 1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用； 2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；

3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 学习重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法

学习难点：实际问题向数学问题转化思路的确定

课堂过程： 一、复习引入：

上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决

二、讲解范例：

应用三：测量角度

例1 如图 一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile 后到达海岛C. 如果下次航行直接从A 出发到达C, 此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？（角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile ）

0000 ABC ABC=1807532137∠-+=解：在中，

220 AC AB BC 2AB BC cos 67.554267.554cos137

=113.15

ABC

+-⨯⨯∠+-⨯⨯⨯22根据余弦定理可知：

=BC sin AC CAB ABC =∠∠根据正弦定理可知：sin 0

sin 54sin137sin 0.3255113.15

BC ABC CAB AC ∠∠==≈ 00019 7556CAB CAB ∠=-∠=

答：此船应该沿北偏东56°的方向航行，需要航行113.15 n mile.

应用四：有关三角形计算

知识1：在△ABC 中，边BC,CA,AB 上的高分别记为h a , h b ,h c ,那么容易证明： h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =bsinC=csinB

32C B 0

ABC S 0.12例2 在中，根据下列条件，求三角形的面积(精确到cm )0

(1) 已知 a=14.8cm , c=23.5cm, B=148.50, C=65.8, 3.16 b cm

=0(2) 已知 B=62.741.4 (3) 已知三边的长分别为a=cm ,

b=27.3 cm, c=38.7 cm

01 1 S sin 21 S 23.514.5sin148.590.92

ca B ⨯⨯⨯≈2解：（）应用=可得=（cm ） b bsinC c=sinB sin sinB

c C =（2）根据正弦定理，2

11sin sin S sin 22sin C A bc A b B

==22

222

1sin 65.8sin 51.5S 3.16 4.0()2sin 62.7cm =⨯⨯≈00222

A=180()180(62.765.8)51.5B C -+=-+=

22

22

3

238.741.427.3 =0.7697238.741.4

a b ca

+-+-=⨯⨯22（）根据余弦定理可得：c cosB=22sin 1cos 10.76970.6384

B B =-≈-≈211S sin 38.741.40.6384511.4 ()22ca B cm ==⨯⨯⨯≈应用

例 3 如图 1.2—8，在某市进行城市环境建设中，

要把一个三角形的区域改造成市内公园，经过测量

得到这个三角形区域的三条边分别为68m, 88m,

127m, 这个区域的面积是多少？（精确到0.1m 2）

解：设a=68m , b=88m, c=127m, 根据余弦定理可

得： C B

A 在△ABC 中，

2222221276888cos 0.75322212768c a b B ac +-+-==≈⨯⨯2sin 10.75320.6578B =-≈ 211sin 127680.65782840.4()22

S ac B m =≈⨯⨯⨯≈答：这个区域的面积是2840.4m 2 应用五：三角形恒等式证明

22222222 ABC sin sin 1sin (2) a +b +c 2(cos cos cos )

b A B

c C

bc A ca B ab C ++==++2例4在中，求证：

a （） 1 (0)k k ===≠a

b C 证明：（）根据正弦定理可得：sinA sinB sinC

222222222222sin sin sin sin =sin sin a b k A k B A B c k C C

+++===左边右边 222222222

2222222222222=2bc ca +ab )222 ()( b c a c a b a b c bc ca ab

b c a c a b a b c a b c +-+-+-+=+-++-+-++（）根据余弦定理的推论：

右边（)+()

==左边

练习 3.5m 长的棒斜靠在石堤旁，棒的一

端在离堤足1.2m 地面上，另一端在沿堤上2.8

m 的地方，求堤对地面的倾斜面α。

四、小结 通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力

sin =　C

c B b A a sin sin =a 2=b 2+c 2－2bccosA

b 2= a 2+

c 2－2accosB

c 2=a 2+ b 2－2abcosC