高一数学任意角的三角函数2

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高一数学三角函数知识点

高一数学三角函数知识点三角函数是高中数学中的重要内容，它在数学和其他科学领域中都有着广泛的应用。

对于高一的同学来说，掌握好三角函数的知识点是非常关键的。

接下来，让我们一起深入了解一下高一数学中三角函数的相关知识。

一、角的概念的推广在平面内，一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角。

按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角。

如果一条射线没有作任何旋转，那么就称它形成了一个零角。

为了更方便地研究角，我们将角的概念进行了推广。

角可以是任意大小的正角、负角和零角。

而且，角的终边相同的角（包括角本身）可以用集合来表示。

例如，与角α终边相同的角（连同α在内）可以表示为：｛β ｜β ＝α ＋ k×360°，k∈Z}。

二、弧度制度量角的大小有两种制度，一种是角度制，另一种是弧度制。

我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。

在弧度制下，弧长公式为 l ＝｜α|r，其中 l 表示弧长，α 表示圆心角的弧度数，r 表示半径。

扇形面积公式为 S ＝ 1/2lr 或 S ＝1/2|α|r² 。

角度与弧度的换算关系为：180°＝π 弧度，1°＝π/180 弧度，1 弧度＝（180/π）°。

三、任意角的三角函数设角α是一个任意角，它的终边上任意一点 P（x，y），r ＝√（x²＋ y²) ，那么角α的正弦、余弦、正切分别为：正弦：sinα ＝ y/r余弦：cosα ＝ x/r正切：tanα ＝ y/x （x ≠ 0）三角函数值在各象限的符号：第一象限：sinα、cosα、tanα 均为正；第二象限：sinα 为正，cosα、tanα 为负；第三象限：tanα 为正，sinα、cosα 为负；第四象限：cosα 为正，sinα、tanα 为负。

四、同角三角函数的基本关系同角三角函数有两个基本关系：平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1商数关系：tanα ＝sinα/cosα （cosα ≠ 0）这两个关系式在三角函数的化简、求值和证明中经常用到。

单位圆与任意角的三角函数课件-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

已知任意角终边上除原点外的另外一点 , ，求角的正弦函数值和余弦函数值。
分析：如图设角的终边与单位圆交于点，则点
, ，且 = 1。点 , 在角的终边上，
则 = 2 + 2 ，分别过点, 作轴的垂线, ，
垂足为, ，易知△ ∽△ ，所以
点 , ，那么：
三角函数
的正弦函
数
的余弦函
数
定义
记法
符号表示
点的纵坐标

=
点的横坐标
=
概念剖析：
（1）是一个任意角，也就是实数（弧度数）所以，设是一个任意角实际上就
是说明它是一个任意的实数
（2）终边与单位圆的交点 , ，实际上给出了两对对应关系
2 11
,
3
6
上的最值。
例7、比较函数值的大小
（1）下列结论正确的是（）
A、400 > 50
B、220 < 590
C、130 > 500
D、 −40 < 310
（2）比较下列各组数的大小
6
6
①3, 4
② ,
对点练习

1、在单位圆中， = − ：（1）画出角；（2）求角的正弦函数值和余弦函数
4
值。
2、若角的终边过点
1 3
,
2 2
，求，。
3、已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若 4, 是角终边上一
点，且 =
2 5
− ，求的值。
5
3、常见的特殊角的三角函数值
实数对应点的纵坐标，实数对应点的横坐标。
由于对于任意一个角，它的终边是唯一确定的，所以交点 , 唯一确定，也

《任意角的三角函数》说课稿

《任意角的三角函数》说课稿《任意角的三角函数》说课稿1各位领导，各位老师：我说课的课题是《任意角的三角函数》，内容取自人教版一般高中课程标准试验教科书《数学》④〔必修〕第1、2、1节。

一、教材结构与内容简析本节内容在全书及章节的地位：三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有特别广泛的应用。

三角函数的定义是在学校对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上商量和讨论的。

三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他全部学问的动身点。

紧紧扣住三角函数定义这个珍贵的源泉，可以自然地导出本章的详细内容：三角函数线、定义域、符号推断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。

三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以关心同学更加深化理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面对量、解析几何等内容的学习作必要的预备。

三角函数学问还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。

三角函数定义必定是学好全章内容的关键，假如同学把握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性确定了本节教材的重点就是定义本身。

数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给同学数学学问，更重要的是传授给同学数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向同学展现尝试类比、数形结合等数学思想方法。

二、教学重点、难点、关键教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号规律。

教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。

教学关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值确实定性〔α确定，比值也随之确定〕与依靠性〔比值随着α的改变而改变〕。

三、学情分析同学已经把握的内容及同学学习力量1、同学在学校时已经学习了基本的锐角三角函数的定义，把握了锐角三角函数的一些常见的学问和求法。

2、同学的运算力量较差。

3、部分同学对数学的学习有相当的爱好和主动性。

任意角三角函数的定义(二)课件--2025学年高一上学期中职数学人教版(2021)基础模块上册

'
10
10

4

(4)因为
是第三象限角，所以：

2 ，可知：
3
3
3
10
tan
0
3
实例剖析
例2：设 sin 0且tan 0，确定是第几象限角 .
解：因为 sin 0 ，所以的终边在第三、四象限，或者y轴负半
轴上；又因为 tan 0 ，所以的终边在第一、三象限.
比值
叫做角的正切.记作 tan
x
P(x,y)
x
三角函数
定义域
sin
cos
tan
R
R
{ |

2
k , k Z }
O
M X
新知探究
任意角三角函数在各象限内的符号：
第一象限：
sin ＞ 0, cos ＞ 0, tan＞ 0,
第二象限：
sin ＞ 0, cos＜0,
意得：
解得：
3a 9 0

a 2 0
2 a 3
实例剖析
例1：确定下列各值的符号。
(1) cos260 ；
(3) tan(-67220’)；

(2) sin( − ) ；
3
(3)tan( 10)
3
解:（1）因为260是第三象限角，所以cos260<0;

(2)因为是第四象限角，所以 sin( ) 0 ;
因此，同时满足 sin 0且tan 0 的是第三象限角 .
04
归纳总结
任意角三角函数在各象限内的符号：
记忆口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦

三角函数的概念(第二课时)+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

新高考人教版(2019)必修第一册
§5.2.1 三角函数的概念(第二课时)
一情景引入
三角函数推广的定义：一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点
P的坐标为(x,y),它到原点O的距离为r=OP= 2 + 2 =

那么 = , = , = .
2 + 2,
；
练一练
例5 求下列三角函数值：
9
11
)
（3）tan(
4
6

解：（1） sin 1480 10 sin (40 10 4 360 ) sin 40 10 0.645

sin
1480
10(精确到 0.001 );（2） cos
（1）
9

2
（2）cos cos( 2 ) cos

sin 0 .
4
（3）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan 48 ，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（4）因为 tan 3 = tan( 2 ) tan
，
而的终边在 x 轴上，所以 tan 0

求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
练一练
例4 确定下列三角函数值的符号：
解：

（1）cos 250 （2）sin （3）tan(672) （4） tan 3
4
（1）因为 250 是第三象限角，所以 cos250 0；
（2）因为

4
是第四象限角，所以

高一数学任意角的三角函数知识精讲.doc

高一数学任意角的三角函数【本讲主要内容】任意角的三角函数（三角函数的定义、单位圆与三角函数线）【知识掌握】【知识点精析】1. 任意角的三角函数的定义：设P （x ，y ）是角α的终边上任意一点，|OP|＝r （r ＞0），则sin cos αα==y r xr， tan cot αα==y x x y ， sec csc αα==r x r y，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可以看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数。

注意：①一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，而与P 点的选取无关。

②为计算方便，我们把半径为1的圆（单位圆）与角的终边的交点选为P 点的理想位置。

2. 三角函数的定义域、值域确定三角函数的定义域时，要抓住分母不为0这一关键，当角的终边在坐标轴上时，点P 的坐标中必有一个为0。

3. 三角函数值符号记忆口诀为：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”。

（注：余割和正弦互为倒数关系，正割和余弦互为倒数关系。

） 4. 诱导公式（一）：根据三角函数的定义知，角的三角函数值是由角的终边位置确定的，所以终边相同的角的同一三角函数的值相等。

即：sin()sin ()cos()cos ()tan()tan ()()k k Z k k Z k k Z ²°²°²°诱导公式一360360360+=∈+=∈+=∈⎫⎬⎪⎭⎪ααααααsin()sin ()cos()cos ()tan()tan ()()()222k k Z k k Z k k Z πααπααπαα+=∈+=∈+=∈⎫⎬⎪⎭⎪诱导公式一弧度制用途：使用诱导公式（一），可以把求任意角的三角函数值问题化为0～2π间三角函数值，具体求法是将任意角化为2k π＋α，()k Z ∈，其中0≤α＜2π，然后利用诱导公式（一）化简，再求值。

三角函数的概念(2)课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

48∘ 是第一象限角.
∴ tan(−672∘ ) > 0;
(4) ∵ tan3 = tan( + 2) = tan，而的终边在轴上，
∴ tan = 0．
课堂活动五（分组协作讨论）
确定下列各式的符号：
(1)2−2； (2)345．
解：(1) ∵ 2是第二象限角，∴ 2 < 0，
与间是否分别相等？
终边相同的角的同一三角函数值相等
sin(2 + )=
(2 + )=
tan(2 + )=
其中 ∈
应用
新知
课堂活动四（分组协作讨论）
1.确定下列三角函数的符号：

0
（1）250
（2）cos −
4
（3）(−672)0 （4）tan 3
(1)原式= (−4 + ) +

sin(360° − 30∘ ) ⋅ tan(−4 − )
13

7
6

+ )
3
⋅ 4 − (4

1 1
= sin − cos = − = 0
6
3 2 2
=
3
5
cos(−4 + 6 ) ⋅ cos 2 × 360° − 30∘
1.本题考查了三角函数值的符号，准确判断角的终边的
位置是解决问题的关键．
2.对于(3)、(4)需要利用共终边角转化再判断角度所在
象限或者轴线角.
解：(1) ∵ 250∘ 是第三象限角.
∴ cos250∘ < 0

(2) ∵ − 是第四象限角.
4

−
4
∴ sin

高一数学三角函数基本公式

⾼⼀数学三⾓函数基本公式三⾓函数是⾼中的⼀个重要知识点，是经常要考察的内容，下⾯百分⽹店铺为⼤家整理了⾼⼀数学三⾓函数的基本公式，希望能对⼤家有帮助，更多内容欢迎关注应届毕业⽣⽹！公式⼀：设α为任意⾓，终边相同的⾓的同⼀三⾓函数的值相等： sin（2kπ+α）= sinα cos（2kπ+α）= cosα tan（2kπ+α）= tanα cot（2kπ+α）= cotα 公式⼆：设α为任意⾓，π+α的三⾓函数值与α的三⾓函数值之间的关系： sin（π+α）= —sinα cos（π+α）= —cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα 公式三：任意⾓α与 —α的三⾓函数值之间的关系： sin（—α）= —sinα cos（—α）= cosα tan（—α）= —tanα cot（—α）= —cotα 公式四：利⽤公式⼆和公式三可以得到π—α与α的三⾓函数值之间的关系： sin（π—α）= sinα cos（π—α）= —cosα tan（π—α）= —tanα cot（π—α）= —cotα 公式五：利⽤公式—和公式三可以得到2π—α与α的三⾓函数值之间的关系： sin（2π—α）= —sinα cos（2π—α）= cosα tan（2π—α）= —tanα cot（2π—α）= —cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= —sinα tan（π/2+α）= —cotα cot（π/2+α）= —tanα sin（π/2—α）= cosα cos（π/2—α）= sinα tan（π/2—α）= cotα cot（π/2—α）= tanα sin（3π/2+α）= —cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= —cotα cot（3π/2+α）= —tanα sin（3π/2—α）= —cosα cos（3π/2—α）= —sinα tan（3π/2—α）= cotα cot（3π/2—α）= tanα （以上k∈Z）【拓展】⾼⼀数学三⾓函数的解题思路第⼀：三⾓函数的重要性，即使你⾼⼀勉强过了，我希望你能在暑假好好学习三⾓函数知识。

三角函数公式大全(高一)

常见三角函数值sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出）三角函数公式一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦函数：ry=αsin 余弦函数：r x =αcos 正切函数：x y =αtan余切函数：y x =αcot 正割函数：xr=αsec 余割函数：y r =αcsc 二、三角函数在各象限的符号三、同角三角函数的基本关系式倒数关系： 1cot tan =⋅x x 。

商数关系：x x x cos sin tan =平方关系：1cos sin 22=+x x ，x x 22sec tan 1=+，x x 22csc cot 1=+。

四、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosαtan （2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k ∈Z) 公式二：设α为任意角，π＋α的三角函数的值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan （π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三：任意角α与－α的三角函数值之间的关系：sin （－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan （－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan （π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五：απ-2与α的三角函数值之间的关系：sin （απ-2）＝cosα cos（απ-2）＝sinα tan （απ-2）＝cotα cot（απ-2）＝tanα公式六：απ+2与α的三角函数值之间的关系：sin （απ+2）＝cosα cos（απ+2）＝－sinα tan （απ+2）＝－cotα cot（απ+2）＝－tanα公式七：απ-23与α的三角函数值之间的关系： sin （απ-23）＝－cosα cos（απ-23）＝－sinαtan （απ-23）＝cotα cot（απ-23）＝tanα 公式八：απ+23与α的三角函数值之间的关系： sin （απ+23）＝－cosα cos（απ+23）＝sinα tan （απ+23）＝－cotα cot（απ+23）＝－tanα 公式九：利用公式一和公式三可以得到2π－α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan （2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。

高一数学课件：三角函数2

高一数学课件：三角函数2 复习一.任惫角的三角為敷1、角的概念的推广y负角q的终边1、角的概念的推广y负角q的终边正角零角a g (—oo,+oc)22、角度与弧度的互化X = 360° tt = 180°X = 360° tt = 180°1 弧度=(—)。

a 57.30。

= 57。

17V1° =7V180特殊角的角度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90c120°135°150°180°270°360°弧度兀兀771712271337145”~6713兀2二正弦，三两切，四余弦平方关系：sin2 二正弦，三两切，四余弦平方关系：sin2? + cos2? = ll + tan2? = sec2 al + cot2^ = csc2cif4、同角三角函数的基本关系式倒数关系：商关系：tan a ? cot a = 1sin afan zy —I dll Cv —sina-csca = 1cosacos a ?seca = 1cosacota =sin a3、任意角的三角函数定义定义：TOC \o 1-5 \h \z ? V X Vsin oc = 一，cos a = —，tan oc —一 r r x —r r xcscoc= —，sec a = —, cot cl ——y 兀 y三角函数值的符号：“一全正,5、诱导公式：诱导公式是针对竺的各三角函数值的化简2口诀为:”奇变偶不变符号看象限 (即把看作是锐角) 呪例：sin(——a)= -COSOf2cos 一 sinasin(^-a)= sin Ofcos（7i-a）=-cosa二.鬲角和鸟差的三角窗叙1、预备知识：两点间距离公式I Pl 〃2 1= J（兀1一吃尸+①―儿）2pCWi)y卩2（%2』pCWi)y卩2（%2』2o :) gl」2)cos? 土 /3) = coscir cos+ sin of sin 0 sin(a±0) =sinacos0±cosasin 0 tan(cif ± 0)=注：公式的逆用及变形的应用tan of ± tan /?1 干 tana tan0tana + tan 0 二注：公式的逆用及变形的应用tan of ± tan /?1 干 tana tan022223、倍角公式sinN = 2sinacosa2 ? 2 1 ? 2 cos a + sin a = lcos2€Z = cos a-sin a i 匚=2cos l + cos2acos a =l + cos2acos a =tan la =tan la =2 tan al-tan2 a注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幕的过程。

任意角的三角函数

y
（- ） +）（ o x （+） - ）（
tan cos y x y tan cos sin ；； ( x 0) x r r
sin
口诀
一全正
二正弦
三正切
四余弦
三、三角函数值在各象限的符号
y
正弦值为正
o
三角函数值全为正
x
正切值为正
余弦值为正
例3：确定下列各三角函数值的符号
对任意角 , P ( x, y ) 是终边上除原点外任意一点， x 2 y 2 ( r 0) ，我们规定： r
y （1）比值叫做的正弦，记作 sin ，即 r
y sin 正弦函数 r x （2）比值叫做的余弦，记作 cos ，即 r x cos 余弦函数 r y （3）比值 ( x 0) 叫做的正切，记作 tan ，即 x y tan ( x 0) 正切函数 x
(1) cos 260
0
(2) sin( ) 3 0 ' (3) t an(672 20 ) 10 (4) t an 3

小结
同学们，你们今天学到了什么？
（1）任意角的三角函数的定义
设为任意角, P ( x, y )是终边上除原点外任意一点，r
x 2 y 2 ( r 0)
例1. 已知角α的终边经过点P(2,3),求α的六个三角函数值.
因为 x = 2, y =－3，解：所以 r
2 2 ( 3) 2 13
y 3 3 13 所以 sin r 13 13 x 2 2 13 cos r 13 13 y 3 tan x 2
1.2.1 任意角的三角函数

高一数学三角函数必备知识点总结归纳

高一数学三角函数必备知识点总结归纳三角函数章节主要包括三角函数的图象及其性质、函数y=Asin(ax+b)、y=Acos(ax+b)及y=Atan(ax+b)的图象及其性质。

数学三角函数必备知识点是理解并掌握三角函数的图象及其性质、三角函数图象的变换。

1.任意角和弧度制任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α=y，cos α=x，tan α=，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.具体内容请点击：高一数学任意角和弧度制知识要点2、任意角的三角函把角度θ作为自变量，在直角坐标系里画个半径为1的圆(单位圆)，然后角的一边与X轴重合，顶点放在圆心，另一边作为一个射线，肯定与单位圆相交于一点。

这点的坐标为(x,y)。

3、三角函数诱导公式掌握三角函数的公式是解三角函数题的关键，尤其是要明白其中是如何变换的。

三角函数公式请点击：三角函数诱导公式知识点4、三角函数的图象与性质本节知识在段考中是必考内容，多以选择题和填空题形式考查基础知识，多以解答题的形式考查三角函数的图像和性质。

点击进入>>>>>《三角函数的图象与性质》知识点整理5、函数y=Asin（ωx+ψ）三角函数y＝Asin(ωx＋φ)是三角函数中一个较重要的内容，它是由基本函数变化而来，变化步骤也适用于余弦函数与正切函数。

在每年的高考中都有一道小题及解答题，需熟练掌握其基本图像与性质。

具体内容请点击高一数学函数y＝Asin(ωx＋φ)变换知识点总结学习三角函数必备知识点的内容就是这些，接下来需要的就是大家通过做题巩固知识，灵活运用，充实自己的过程了。

高中数学任意角的三角函数教案新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=；〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=；〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1．作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠．〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。

三角函数的概念课件第二课时-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

1
2

0
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2 3

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1

【例 3】求下列各式的值:
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°;
解:(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)
+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)

y
记作tan α，即 tan x 0
x
练习1：
3 4
1. 已知角α的终边与单位圆的交点是 - ， ,
5 5
则 sin α=
,cos α=
,tan α=
.
一、复习回顾
已知角的终边上任意一点的坐标，求
其三角函数的值：
根据勾股定理r x 2 y 2
(3)对于任意角，，，都有意义.( )
二、探究新知----诱导公式一
思考：当角α分别为60°,420°,-300°时,它们的终边有
什么特点?它们的三角函数值呢?
解:它们的终边重合.由三角函数的定义知,它们的三角函数
值相等.
诱
导
公
式
1
sin ( k 2 ) sin
5.2.1：三角函数的概念
第二课时
一、复习回顾
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点(，)
（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α
即y sin
（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α

高一数学错题整理

高一数学错题整理[弧度制(2)]2．把π411-表示成)(2Z k k ∈+πθ的形式，使|θ|最小的θ的值是 4．一只正常的时钟，自零点开始到分针与时针再次重合，分针所转过的弧度数为5．在直径为10cm 的轮子上有一长为6cm 的弦，P 是弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒，点P 移动的轨迹长为[任意角的三角函数(1)]4、若角α的终边经过两直线3x-2y+7=0和2x+3y+9=0的交点，则αsin = αtan =[任意角的三角函数(2)]8.已知角α的终边上有一点P(3-,y ），且y 42sin =α.求的值和ααtan cos .10．若63cos 2sin 62=-βα，求α，β[高一数学练习]12.设函数f(x)是R 上的奇函数，且f(x+2)=f(x)(x ∈R)，当0<x<45时，，若f(x)在区间[0，8]上零点个数为n ，则n 的最小值为__________20.已知定义域为[0，1]的函数f(x)同时满足：①f(x)≥0恒成立：②f(1)=1;③若x 1,x 2,x 1+x 2∈[0,1]时，恒有f(x 1+x 2) ≥f(x 1)+f(x 2)成立。

(1)求f(0)的值；(2)求f(x)的最值；(3)若18≤x ≤1，求证：f(x) ≤2x 。

[同角三角函数关系(2)]2.若tan α=2，则=+-ααααsin 3cos 5sin 4cos 3 7．已知tan 2α=，求（1）2sin 3cos 4sin 9cos αααα-- ；（2）22222sin 3cos 4sin 9cos αααα-- ；（3）224sin 3sin cos 5cos αααα--8．若sin α和cos α是方程06242=++m x x 的两个实数根（1）求m ；（2）求αα33cos sin +[高一巩固练习(3)]1.设＝ ,N={x|0≤x<2},则M ∪N=_______________8.若函数f(x)=2|x-4|-log a x+2无零点，则实数a 的取值范围为_________________10.已知A={x|1<x<2},B={x|x 2+ax+1>0},若A ∩B ≠φ，则实数m 的取值范围为_____________ 例2：求下列函数的单调区间。

1.2.1 任意角的三角函数

鸡西市第十九中学学案问题2如图，设锐角在第一象限.在αOP r【任意角三角函数的定义及定义域】问题1：如上右图，将点取在使线段的长1r=的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：sinMPOPα==；cosα；tanMPOMα==【单位圆定义任意角的三角函数】在直角坐标系中,我们称以原点以单位长度为半径的圆为单位圆如下图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点x试一试：角34π与单位圆的交点坐标为，则sin 角2π与单位圆的交点坐标为，则sin 2π【归纳】当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在等于，所以无意义.现将三角函数的定义域列表如下，请你补充完整三角函数 sin α，例2 已知角α的终边过点0(3,4)P--，求角α的正弦、余弦和正切值.（参见课本13页）变式：已知角α的终边经过P(4,-3)，求2sinα+cosα的值.练2. 求下列各角的正弦、余弦和正切值.（1）0 ；（2）π；（3）32π；（4）2π.根据三角函数的定义可知，三角函数是一个比值，是一个实数，这个数的大小和点P(x，y)离原点的距离无关，而是由角α的终边位置所确定．练习：已知角θ的终边上一点P(x,3) (x≠0)，且cos θ＝1010x，求sin θ，tan θ已知角α的终边上一点P(－15a,8a) (a∈R且a≠0)，求α的三角函数值．小结利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论．【三角函数值在各象限的符号】三角函数的定义告诉我们，三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号．例3判断下列各式的符号：(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·练3(1)若sin αcos α<0，则α是第________象限角．(2)代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是_________．小结求任意角的三角函数值，最后常常转化为求特殊角的三角函数值，因此对特殊角的三角函数值应当适当加强记忆．【当堂训练】。

1.2.1 任意角的三角函数2ppt

P(x,y)
y
rห้องสมุดไป่ตู้

P 1
O
x
复习巩固
2.三个三角函数的定义域
三角函数定义域
sin
cos
tan
{ | k , k Z } 2
R R
复习巩固
3.三角函数值的符号问题
y
正弦为正正切为正
三角函数全为正
x
o
余弦为正
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
新知探究终边相同的角的三角函数
9 ; （5）cos 4
11 tan( ;（6） ) 6
.
3.写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合(不包括边界).
作业：
P20-21：4，7，
9：（1）（2）
《学海导航》第三课时
3.在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？
例1. 求证：当且仅当不等式组
sin 0 成立时，角θ 为第三象限角. tan 0
例2.确定下列三角函数值的符号. （1）cos 250 ;（2）sin( ) ;（3）tan(672 ) ;
4
（4） tan3
1.终边相同的角的同名三角函数值相等.
k Z
sin( 2k ) sin
公式一：
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan
k Z
2p
新知探究
1.若sinα =sinβ ，则角α 与β 一定相同吗？
2p
2.函数的对应形式有一对一和多对一两种，三角函数是哪一种对应形式？
【湖南师大附中内部资料】高一数学必修4课件： 1.2.1 任意角的三角函数 2（新人教A版）

高一下册数学必修四第一章三角函数.知识点及同步练习

巩固练习
1、在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的
关系一定是（）
A．α=－β B．α+β=k·360°(k∈Z) C．α－β=k·360°(k∈Z)
D．以上答案都不对
2、圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是
（）
A．等于1弧度 B．大于1弧度 C．小于1弧度
D．无法
判断
（2）角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角
α终边相同的所有角．例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－ 360°≤β＜720°的元素β写出来．思考题：已知α角是第三象限角，则α/2，α/3，α/4各是第几象限角？
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
11、下列命题是真命题的是（）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是
锐角
C．不相等的角终边一定不同
D．=
12、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、
C关系是（）
A．B=A∩C B．B∪C=C
度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
3．思考：
（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确
定的？与圆的半径大小有关吗？
弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为
②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数．
④负角的弧度数是一
个负数．
⑤零角的弧度数是零．
⑥角α的弧度数的绝
对值|α|=
始边终边顶点 A O B

高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题

1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数的定义及应用在初中我们已经学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数．你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？改变终边上的点的位置，这个比值会改变吗？把角扩充为任意角，结论成立吗？一、任意角的三角函数1．单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为________．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合．在平面直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P (x ，y )，则r ＝|OP |＝1.那么：(1)y 叫做________，记作sin α，即y ＝sin α； (2)x 叫做________，记作cos α，即x ＝cos α； (3)y x 叫做________，记作tan α，即y x＝tan α(x ≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为________．答案：1.单位圆2．(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切三角函数二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin α＝y r，其中r >0，于是sin α的符号与y 的符号相同，即：当α是第________象限角时，sin α>0；当α是第________象限角时，sin α<0.cos α＝x r，其中r >0，于是cos α的符号与x 的符号相同，即：当α是第__________象限角时，cos α>0；当α是第________象限角时，cos α<0.tan α＝y x，当x 与y 同号时，它们的比值为正，当x 与y 异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限角时，tan α>0；当α是第 ________象限角时，tan α<0.2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin α＝yr ：上正下负横为0；cos α＝x r ：左负右正纵为0；tan α＝y x：交叉正负．” 形象的识记口诀2：“一全正、二正弦、三正切、四余弦．” 答案：1.一、二三、四一、四二、三一、三二、四三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z. 答案：相等四、三角函数线1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是________、 ________的．在平面直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．三角函数线的作法如下：设角α的终边与单位圆的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP ，OM 就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP ＝y ＝sin α，OM ＝x ＝cos α.过点A (1，0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T ，则有向线段AT 就是角α的正切线，即AT ＝tan α.3．填写下表中三角函数的定义域、值域：函数定义域值域 y ＝sin α y ＝cos α y ＝tan α答案：1.有长度有正负 2.方向正负长度大小 3.函数定义域值域 y ＝sin α R [－1，1] y ＝cos α R[－1，1]y ＝tan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈ZR任意角的三角函数的定义1．正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．2．三角函数值是比值，是一个实数．这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而是由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也是唯一确定的．因此，三角函数是角的函数．(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关，与点P 在终边上的位置无关． (2)三角函数值是一个比值，没有单位．三角函数值的符号三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式记，也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三角函数线对于三角函数线，须明确以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致，三种有向线段的长度与三种三角函数值相同．三角函数的定义域1．由三角函数的定义式可以知道，无论角α终边落在哪里，sin α，cos α都有唯一的值与之对应，但对正切则要求α终边不能落在y轴上，否则正切将无意义．2．角和实数建立了一一对应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数，所以就可以借助单位圆，利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数．基础巩固1．sin 810°＋tan 765°＋tan 1125°＋cos 360°＝________．答案：42．若α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－3 23．若角α的终边过点P (3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限角)，则sin α＝________．答案：454．cos θ·tan θ＜0，则角θ是________象限角．答案：第三或第四5．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．答案：二6．角α的正弦线与余弦线长度相等，且符号相同，那么α(0＜α＜2π)的值为________．答案：π4或54π7．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________．答案：sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1能力升级8．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z)9．已知角α的终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝－255，cos α<0，则k ＝________．解析：∵sin α＝－255，cos α<0，∴α的终边在第三象限．令角α的终边上一点的坐标为(a ，ka )，a <0，则r ＝－1＋k 2·a ，sin α＝－ka 1＋k 2a＝－255，∴k ＝2. 答案：210．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值X 围是________．解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π11．解不等式2＋2cos x ≥0. 解析：2＋2cos x ≥0⇔cos x ≥－22，利用单位圆，借助三角函数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋34π(k ∈Z)．12．若π4＜θ＜π2，则下列不等式中成立的是( )A ．sin θ＞cos θ＞tan θB ．cos θ＞tan θ＞sin θC ．sin θ＞tan θ＞cos θD ．tan θ＞sin θ＞cos θ解析：作出角θ的三角函数线(如图)，数形结合得AT ＞MP ＞OM ，即tan θ>sin θ>cosθ.答案：D13．函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域是( C )A ．{－1，0，1，3}B ．{－1，0，3}C ．{－1，3}D ．{－1，1}14．若0＜α＜π2，证明：(1)sin α＋cos α＞1； (2)sin α＜α＜tan α.证明：(1)在如图所示单位圆中， ∵0＜α＜π2，|OP |＝1，∴sin α＝MP ，cos α＝OM . 又在△OPM 中，有 |MP |＋|OM |＞|OP |＝1. ∴sin α＋cos α＞1.(2)如图所示，连接AP ，设△OAP 的面积为S △OAP ，扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ，△OAT 的面积为S △OAT .∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， ∴12OA ·MP ＜12AP ︵·OA ＜12OA ·AT .∴MP <AP ︵<AT ，即sin α＜α＜tan α.15．已知f (n )＝cosn π5(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值．解析：角n5π(n ＝1，2，…，10)表示10个不同终边的角，这10条终边分成五组，每组互为反向延长线．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，f (11)＋f (12)＋…＋f (20)＝0，…f (2 001)＋f (2 002)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5.由定义知cos π5与cos 4π5，cos 2π5与cos 3π5互为相反数，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝0.。