§3.3 纯剪切§3.4圆轴扭转时的应力
第三章 扭转
三、切应变 剪切胡克定律 1、切应变 l
a
´
c
´
b
d t
为扭转角 r0 l
r0 即
l
纵轴 T——
T
2r02t
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动，
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
横轴
r0
l
47
2、剪切虎克定律
做薄壁圆筒的扭转试验可得
在弹性范围内切应力 与切应变成正比关系。
切应力与扭矩同向的顺流
51
切应变的变化规律：
Me
pq
Me
pq p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
_ 扭转角（rad）
x
d _ dx微段两截面的
相对扭转角
边缘上a点的错动距离：
aa' Rd dx
边缘上a点的切应变：
R d
dx
发生在垂直于半径的平面内。
52
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
③ 结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ,仍为直线。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
40
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
41
2、切应力分布规律假设
Me2
Me1
n
Me3
从动轮
主动轮
从动轮
求： 作用在该轮上的外力偶矩Me。
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学课件第3-4章
L M x( x) d x
0 GIP (x)
28
3.5 圆轴扭转时的变形与刚度条件
二. 刚度条件
对等直轴:
d
dx
Mx GIP
单位长度的扭转角
等直圆轴扭转
max
M x max GIP
180
[ ](o /m)
对阶梯轴: 需分段校核。
max
M x max GIP
180
[ ](ο /m)
2. 给出功率, 转速
(kw)
Me = 9549
P n
(N. m)
(r/min)
5
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 二.横截面上的内力
截面法求内力： 截，取，代，平
Mx 称为截面上的扭矩
Mx 0 Mx Me 0 即 Mx Me
按右手螺旋法：
指离截面为正，
M x 指向截面为负。
6
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
10
3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
一. 薄壁筒扭转实验
nm
t
实验观察 分析变形
x
r
nm l
mn没变 x = 0
x = 0
Me
nm
γ
Me
φ
x
r没变 = 0
= 0
nm
Me
nm
Mx
x
n m Mx
11
3.3 薄壁圆筒的扭转 纯剪切
Me Mx
nm
Mx
n m Mx
由于轴为薄壁,所以认
为 沿t 均布.即 =C
max
M x max Wp
31.5 103 m
M x max d 3
16
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
第3.3圆轴扭转部分内容
求：实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。
一
第四节 圆轴扭转时的应力
例题一
解：(1)对于实心轴
T=9549
P n
=
9549
7.5 100
=716.2 N.m
T
16 T
max= Wt1 = d13 =40 MPa
3
第四节 圆轴扭转时的应力
应力分析方法及过程：
变形
平面假设
应变分布
物性关系
应力公式 静力方程 应力分布
第四节
1、平面假设 变形前在圆轴
上画出母线和圆 周线
圆轴扭转时的应力
变形特点：
1、各圆周线的形状、尺 寸和间距保持不变，只 是绕轴线作相对转动。 2、各母线仍为直线，但 都倾斜了一相同的角度 。
第四节 圆轴扭转时的应力
第五节 圆轴扭转时的变形
若两截面间T值不变，且
为等直径杆，则为T/GIp
常数，于是：
AB＝
Tl GIp
对于阶梯轴：AB n Ti li , 绝对刚度条件 AB [ ] i1 GI pi
刚度条件： d T [ ] rad/m (/m)
dx GI p
一般轴，[ ]=0.5~1°/m；精密轴，[ ]=0.25~0.5°/m
80mm
N1
A
T
500
(kNm)
d2
3
16T
π τ
3
16 4210 3.14 70 106
67.4mm
N2
N3
②全轴选同一直径时
B
C
400
d d1 80mm
《化工设备机械基础3版》第三章
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R
1 D3
16
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
Wt
Ip
/ R 1 D3
16
Wt I p /(D / 2)
§3.4 圆轴扭转的强度条件
扭转强度条件：
1. 等截面圆轴：
max
Tmax
W2.t 阶梯形圆轴：
交线。
纯剪切
三、切应变 剪切胡克定律
在切应力的作用下，单 元体的直角将发生微小的
G
τ
改变，这个改变量
应变。
称为切
G
—
剪切弹性模量(GN/m2)
当切应力不超过材料 的剪切比例极限时，切应
变与切应力τ成正比，这
个关系称为剪切胡克定律。
各向同性材料， 三个弹性常数之间的 关系：
G E
2(1 )
§3.4 圆轴扭转时的应力
Pa
21.98MPa
满足强度要求。
§3.5 圆轴扭转时的变形和刚度条件
一、圆轴扭转的变形
相对扭转角
抗扭刚度
n
Tili
i1 GIPi
二、圆轴扭转的刚度条件
单位长度扭转角
' d T
dx GI p ' T 180
GI p
rad/m ⁰/m
扭转刚度条件
' max
[' ]
[ ' ]许用单位扭转角
§3.1 扭转的概念和实例
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
圆轴扭转时的应力与强度条件
圆轴扭转时的应力与强度条件扭转是杆件的基本变形形式之一。
工程中有些杆件，因承受作用平面垂直于杆轴线的力偶作用，而发生扭转变形。
通常将这种杆件称为轴，如传动轴等。
本讲主要分析圆截面杆的扭转。
非圆截面杆受扭时，不能用材料力学的理论求解。
图1 圆轴的扭转扭转变形和受力特点：杆件受到大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用，杆件的横截面绕轴线产生相对转动。
● 外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。
力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。
● 力偶变形特点：各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。
一、圆轴扭转的应力图2 圆轴扭转的剪应力分布图图2中，tW T=max τ （1） 式（1）中，t W 为抗扭截面模量，是仅与横截面尺寸有关的量。
实心圆轴163D W n π=，空心圆轴Dd D W n16)(44-=π。
二、扭转强度分析为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力[]τ，即A Bm axm τ][max ττ≤=tW T（9-7） 根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度计算问题。
例：传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3输出扭矩分别为N.m 3.391=m 和N.m 1553=m 。
若轴的材料为45钢，[]a MP 40=τ。
根据强度确定轴的直径。
解: (1) 计算力偶距m 2 。
m N m m m .3.194312=+=（2）画扭矩图。
（3）根据强度条件计算直径。
从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。
][163maxmax max τπτ≤==DT W T t []m 0272.0104014.31551616363max=⨯⨯⨯=≥τπT D1231m 2m 3m 0.30.4mxT155N.m39.3N.m。
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
材料力学扭转
Wt
Ip R
max
抗扭截面系数
T Wt
公式适用 条件
1.等直圆杆—只有横截面不变的圆轴，才满足 平面假设的要求。
2.最大切应力低于剪切比例极限—满足胡克定 律的要求。
如何计算截面极 惯性矩和抗扭截 面系数？
§3.4 圆轴扭转时的应力
计算截面极惯性矩和 抗扭截面系数
T
实 心 轴
D/2 ρ O
M eB M eC 4.78kN.m
M eA 15.9kN.m
2.利用截面法计算各段内的扭转
MeB MeC 2 MeA MeD
CA段：
假设T2为正，由平衡方程
T2 M eB M eC 0
B C
2
A
D
MeB
MeC
T2 M eB M eC 9.56kN.m
结果为负，说明T2为负值扭矩。
同理，可以求得距圆心为ρ处的切应变为
d dx
2.物理关系
横截面上任意点的切应变与该点到圆 心的距离ρ成正比。
由剪切胡克定律求得横截面上距圆心 为ρ处的切应力为
G
d G dx
横截面上任意点的切 应力与该点到圆心的 距离ρ成正比。
图 3.10
由切应力互等定理可知，在纵向截面和横截面上，沿半径方向的 切应力分布情况如图3.10所示。
扭转图—当作用于轴上的外力偶多于两个时，为了表示各横截
面上扭矩沿轴线变化的情况，在图中以横轴表示横截面的位置 ，纵轴表示相应截面上的扭矩，这种图线称为扭矩图。
实例：一传动轴如图所示，其转速 n = 300 r/min ，主动轮A
输入的功率为PA = 500 kW 。若不计轴承摩擦所耗的功率，三 个从动轮输出的功率分别为PB = PC = 150 kW及PD = 200 kW。 试做扭矩图。
材料力学第三章知识点总结
直升机的旋转轴
电机每秒输入功：外力偶作功完成：
×
=P W
M W
e
⋅
=
形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
τdα
τ
l
ϕ
做薄壁圆筒的扭转试验可得
l
是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，G的量纲各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：
ρργγtg ≈x
d d d ′=x d d ϕρ⋅=O 1O 2ABCD 为研究对象
D’
微段扭转变形d dx Rd dx DD tg ϕγγ==≈'d ϕ/ d x －扭转角沿x 轴的变化率
扭转变形计算式
O d A ρTρ⋅
（实心截面）
1、横截面上角点处，切应力为零；
2、横截面边缘各点处，切应力
3、切应力沿横截面周边形成与
4、横截面周边长边中点处，切应力最大。
有关，见教材P93 之表3.2。
圆轴扭转时的应力计算公式
圆轴扭转时的应力计算公式在我们学习力学的过程中，圆轴扭转时的应力计算公式可是个相当重要的家伙。
咱们今天就来好好唠唠它！先来说说啥是圆轴扭转。
想象一下，你手里拿着一根棍子，然后像拧麻花一样去转动它，这时候棍子内部就会产生应力。
圆轴扭转就是类似这样的情况啦。
那圆轴扭转时的应力计算公式到底是啥呢？它就是：τ = Tρ / Ip 。
这里的τ 表示的是扭转切应力，T 是扭矩，ρ 是所求应力的点到圆心的距离，Ip 则是极惯性矩。
咱们来仔细瞅瞅这个公式。
扭矩 T 就好比是你拧棍子的那个力气，力气越大，应力也就越大。
而ρ 呢，距离圆心越远，应力也就越大，就像离圆心远的地方更“吃力”。
极惯性矩 Ip 则反映了圆轴抵抗扭转的能力，它越大，应力就相对越小。
我记得之前在给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学瞪着大眼睛问我：“老师，这公式咋来的呀？”我就给他举了个例子。
咱们把圆轴想象成是由好多好多层薄圆环组成的。
当圆轴扭转时，每一层薄圆环都会发生相对的滑动，就像是在互相“拉扯”。
通过对这种“拉扯”的分析和计算，咱们就得出了这个公式。
在实际应用中，这个公式可太有用了。
比如说在机械设计里，要设计一根传动轴，就得先算出它在工作时扭转产生的应力，看看是不是在材料能承受的范围内。
要是应力太大，轴就可能会断掉，那可就出大问题啦！再比如，在一些工程结构中，像桥梁的支撑柱，如果受到扭转力的作用，也得用这个公式来算算应力，保证结构的安全稳定。
咱们在解题的时候，一定要搞清楚每个参数的含义和单位，千万别马虎。
有一次考试，就有同学因为把单位搞错了，结果整个答案都错了，那叫一个可惜哟！总之，圆轴扭转时的应力计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们认真理解，多做几道题练练手，就一定能掌握它，让它成为我们解决问题的有力工具。
怎么样，同学们，这回对圆轴扭转时的应力计算公式是不是更清楚啦？加油，相信大家都能学好这部分知识！。
上海电机学院材料力学第三章扭转
D
d
t
M
M
*
解：轴的扭矩等于轴传递的转矩
轴的内，外径之比
由强度条件
由刚度条件
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
d2＝0.5D2=23 mm
§3.4 圆轴扭转时的应力
*
确定实心轴与空心轴的重量之比
空心轴
D2＝46 mm
*
δ<<R0 ---薄壁圆筒
规定：矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正
m
m
薄壁圆筒的扭转
m
T
1
1
扭矩
切应力
对应
扭转
*
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
微机控制扭转试验机
*
扭转实验前
平面假设成立
相邻截面绕轴线作相对转动
横截面上各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切。
纵线
圆周线
扭转实验后
ρ
dρ
O
D
d
ρ
dρ
（2）空心圆截面
其中
*
应力公式
1)横截面上任意点：
2)横截面边缘点：
其中：
d/2
ρ
O
T
抗扭截面模量
D/2
O
T
d/2
空心圆
实心圆
扭转
*
例题2 图示空心圆轴外径D=100mm，内径d=80mm，M1=6kN·m，M2=4kN·m，材料的剪切弹性模量 G=80GPa.
圆轴纯扭转时横截面上的正应力研究
圆轴纯扭转时横截面上的正应力研究圆轴纯扭转时横截面上的正应力研究圆轴纯扭转是一种常见的力学现象，它在工程领域中得到广泛应用。
在圆轴纯扭转时，横截面上的正应力是一个重要的研究对象。
本文将介绍圆轴纯扭转时横截面上的正应力的研究。
圆轴纯扭转的基本概念圆轴纯扭转是指在轴线方向施加一个扭矩，使得轴发生扭转变形的过程。
在圆轴纯扭转时，轴的横截面上会产生正应力和剪应力。
其中，正应力是指垂直于横截面的应力，剪应力是指平行于横截面的应力。
圆轴纯扭转时横截面上的正应力在圆轴纯扭转时，横截面上的正应力可以通过以下公式计算：σ = T*r/J其中，σ是横截面上的正应力，T是施加在轴上的扭矩，r是横截面上的半径，J是横截面的极惯性矩。
从上述公式可以看出，横截面上的正应力与扭矩成正比，与半径成反比，与极惯性矩成反比。
因此，在圆轴纯扭转时，如果扭矩增大，横截面上的正应力也会增大；如果半径增大，横截面上的正应力会减小；如果极惯性矩增大，横截面上的正应力也会减小。
圆轴纯扭转时横截面上的正应力分布在圆轴纯扭转时，横截面上的正应力分布是一个圆周分布。
具体来说，横截面上的正应力最大值出现在轴的中心，随着半径的增大逐渐减小，最终趋于零。
这种分布规律可以通过以下公式表示：σ = T*rmax/J * (1-r^2/rmax^2)其中，σ是横截面上的正应力，T是施加在轴上的扭矩，r是横截面上的半径，rmax是横截面的最大半径，J是横截面的极惯性矩。
从上述公式可以看出，横截面上的正应力分布与半径的平方成反比，与最大半径的平方成正比。
因此，在圆轴纯扭转时，如果最大半径增大，横截面上的正应力分布会变得更加平均；如果半径增大，横截面上的正应力分布会变得更加集中。
结论圆轴纯扭转时，横截面上的正应力是一个重要的研究对象。
它与扭矩、半径和极惯性矩等因素密切相关，其分布规律是一个圆周分布。
研究圆轴纯扭转时横截面上的正应力，可以为工程设计和实际应用提供重要的参考依据。
圆轴受扭转变形时,最大剪应力
圆轴受扭转变形时,最大剪应力
圆轴受扭转变形时的最大剪应力是指圆轴扭转变形，使得其轴线材料在分布式外侧受力方向上出现最大的剪应力。
总体说来，这一剪应力主要取决于圆轴转角及周围环境物理参数的变化。
一般情况下，当圆轴扭转变形时，随着轴线材料离心力的增加，其受力的剪应力会随之增加。
而随着转角的增大，轴线材料从它的中心到远离它的外面，其处在不同的位置处的剪应力也会随之增大，从而最终使得其外侧的剪应力达到最大值。
因此，圆轴受扭转变形时的最大剪应力取决于轴线材料受力的离心力和转角的大小。
此外，圆轴受扭转变形时的最大剪应力还受到材料本身的物理参数变化的影响。
例如，材料的弹性模量、拉伸强度、屈服强度都可以对应影响圆轴受扭转变形时的最大剪应力。
当材料弹性模量增大时，圆轴受扭转变形时的最大剪应力会降低；当材料拉伸强度增加时，受力的剪应力也会增大；当材料的屈服强度增大时，圆轴受扭转变形时的最大剪应力也会增加。
总之，圆轴受扭转变形时的最大剪应力是由轴线材料的受力离心力及转角的大小以及材料的物理参数变化来决定的。
这一剪应力的大小对于设计工程的安全性及质量有着重要的意义，因此，在进行设计工程之前，应当对这一剪应力进行准确评估，以确保工程的安全性及质量。
圆轴扭转时的应力与强度条件
求所决定的，具体要求请查相应的规范。工程
中，单位通常采用0／m(度／米)，而 的单 位为red／m(弧度／米)，经过换算后上述刚度
条件可写为
抗扭转刚度
Tmax 180 (3 18)
GI p
Torsional rigidity
例3-5 已知：M1=1592N.m M2=955N.m M3=637N.m
由于两层材料的界面不会发生错动
3.物理关系 两层材
料的相对扭转角分别为
1
T1l G1 I p1
2
T2 l G2 I p2
T1l T2l
b
G1 I p1
G2 I p2
4.联立求解 由式(a)和式(b)可求得两层材料各自承担的扭矩分别为
T1
G1I
G1I p1 p1 G2I
p2
Me
T2
G2 I p2 G1I p1 G2 I p2
II. 扭转时的刚度 条件
对于较长的轴，即使在线弹性范围内，两端截 面的相对扭转角也可能过大而影响正常的使用 。机械工程中对传动轴的扭转变形有严格的限 制，要求每单位长度(距离)的相对扭转角目不 得超过所能容许的限度[ ]，即
m ax m ax
(3 17)
称为容许单位长度扭转角，是由工程的精度要
NA=367kW,从动轮B、C、D输出的功率NB=147kw,NC=ND=11kW。轴的材料
为45号钢，G=80103MPa，=40MPa,=2/m，试校核轴的强度和刚度。
(1) 计算外力偶矩
TA
9550
NA n
9550 36.7 300
1170N m
TB
9550 N B n
9550 14.7 300
材料力学圆轴扭转内力、应力课件
τ
O
② 式中： —该点到圆心的距离。
T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
IP—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
GIP—扭转刚度；
29
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§ 3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
I p A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。
三、切应力互等定理：
a
´ b
dy
´
点右截面
τ 点左截面
cd z dx t
mz 0
( t dy)dx ( t dx)dy
故
T
上式称为切应力互等定理。
该定理表明：在τ 单元体T 相互垂直的两个平面上，切应力必然成对
出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同
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§ 3.1 扭转的概念和实例
请判断哪一杆件 将发生扭转？
连接汽轮 机和发电机的 传动轴将产生 扭转。
7
Mechanic of Materials
§ 3.1 扭转的概念和实例
请判断哪一部件 将发生扭转？ 唱机的心轴将产生扭转。
MD
9549
14 300
446N.m
T1 M B 350N.m
T2 (M B MC ) 700N m
446
T3 M D 446
T M 截面一侧
T (kN m)
从最外母线看，外力偶切线方向与
350
扭矩图从左到右突变方向相同。
讨论圆轴扭转时的应力状态
130一、讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。
解 根据第十九章讨论，圆轴扭转时，在横截面的边缘处剪应力最大，其数值为:n n W M=τ (e )在圆轴的最外层，按图22-5(a )，所示方式取出单元体ABCD ，单元体各面上的应力如图22-5(b )所示。
在这种情况下，ττσσ===xy y x ，0 （f ）单元体侧面上只有剪应力作用，而无正应力作用的这种应力状态称为纯剪切应力状态。
把(f )式代入公式(22-6)得:min maxσσ ττσσσσ±=+-±+=22)2(2xy y x y x 由公式（22-5）：yx xytg σστα--=220 →∞-所以 2709020--=或α450-=α 或 1350-=α以上结果表明，从x 轴量起，由 450-=α(顺时针方向)所确定的主平面上的主应力为max σ；而由 1350-=α所确定的主平面上的主应力为min σ。
按照主应力的记号规定：τσσστσσ-=====min 32max 10所以，纯剪切是二向应力状态，两个主应力的绝对值相等，都等于剪应力τ，但一个为拉应力，一个为压应力。
圆截面铸铁试件扭转时，表面各点max σ所在的主平面联成倾角为︒45的螺旋面[图22-5（a ）]。
由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏，如(a )(c ) 图22-5131图22-5（c ）所示。
二、 图22-6（a ）所示为一横力弯曲下的梁，求得截面m －n 上的弯矩M 及剪力Q 后，算出截面上一点A 处弯曲正应力和剪应力分别为：MPa MPa 50,70=-=τσ[图22-6（b ）]试确定A 点处的主应力及主平面的方位，并讨论同一横截面上其它点处的应力状态。
解 把从A 点处截取的单元体放大如图22-6（c ）所示。
选定x 轴的方向垂直向上，则0=x σ MPa y 70-=σ MPa xy 50-=τ由公式（22-5）得： 429.1)70(0)50(2220=----=--=yx xytg σστα︒=5520α或︒235 ︒=5.270α或︒5.117从x 轴量起，按逆时针方向量取的角度︒5.27，确定max σ所在主平面，以同一方向量取的角度,5.117︒确定min σ所在的另一主平面。
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dd
3
D 32
4
d
4
D 4
32
1
4
式中
IP D 3 4 4 D d 1 4 Wt R 16 D 16
α =d/D
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三、强度条件
max
（1）强度计算 ①校核 ②设计截面 Wt
Tmax Wt
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§3.3 纯剪切
在讨论扭转的应力和变形之前，对于切应力和切应变的规律以及二者关 系的研究非常重要。 一、薄壁圆筒扭转时的切应力 连接件的剪切面上非但有切应力，而且有正应力，剪切面附近变形十分 复杂。纯剪切是指截面上只有切应力而无正应力。纯剪切的典型例子薄 壁圆筒的扭转。 （1）观察变形及分析 变形前纵线与圆周线形成方格。 变形后方格左右两边相对错动，距离保持不 变，圆周半径长度保持不变，这表示横截面上 无正应力，只有切应力。由于切应变发生在纵 截面，故横截面上的切应力与半径正交。 对薄壁圆筒而言，切应力沿壁厚不变化。 （2）力矩平衡Σ Mx=0
D23≥71.5mm
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895
358 1433
例 3—4 图示传动轴外力偶矩某度为 m M=500N·m/m D=30mm 试求： τ
max
l=1000mm
解： Σ Mx=0 当 x=0 时，T=0
T(x)=mx
扭矩沿轴线线性变化
当 x=l 时，Tmax=ml=500N·m ∴ max
rd x Rd d r R dx d r dx
（a）
讨论： a.
d 为扭转角φ 沿轴线 dx
x 的变化率对给定截面上的各点而言，
（即 x 相同）它是常量。 b. 横截面上任意点的切应变γ P 与该点到圆心的距离 P 成正比。 （任 意半径圆周处的切应变均相等） 。
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max
T
Me3=2866N·m Me4=1075N·m Me5=358N·m [τ ]=20MPa 试设计阶梯轴各段的直径 D （1）求各段轴的扭矩，作出扭矩图 （2）求各段轴的直径 D ∵
Wt
T
D 3
16
T
∴
D3
16T
D12 3
16 895 1000 61.1mm 20
Tmax
D 3
16
Tmax
4
D3
16Tmax
D 3
16
1 T
max
D3
16Tmax 1 4
③确定许用载荷 Tmax≤[τ ]Wt 2）讨论：对变截面杆、如阶梯杆、圆锥形杆，Wt 不是常量，τ 并不一定发生在扭矩为 Tmax 的截面上， 这要综合考虑 T 和 Wt 寻求 最大值。 四、强度计算举例 例 3—3 图示传动轴 Me1=895N·m Me2=538N·m
切应力互等定律 圆轴扭转时的强度条件及其应用 教 学 内 容 与 教 学 过 程
提示与补充
1、 薄壁圆筒扭转时的切应力 （1） 观察变形及分析 （2） 力矩平衡 2、 切应力互等定律 3、 切应变剪切胡可定律 4、 圆轴扭转时的应力分布规律、切应力计算公式 5、 IP、Wt 的计算 6、 强度条件 例 3—3 ，例 3—4 。
Tmax 16Tmax 16 500103 94.3 Mpa Wt D3 303
x
l
x
500
I A 2 dA （截面
对圆心 O 的板惯性矩）
T GI P
于是：
d dx d T dx GI P
（c） 式（c）代入式（b）得
②讨论
T I
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D
TR Ip
d D
max
引入
（e）
Wt
IP R
（抗扭截面系数）
则
max
（2）物理关系 ①剪切胡克定律
Gr
Байду номын сангаас G
②结论 a. 距圆心等距的圆周上各点处的切 应力均相等。τ
P
d dx
（b）
与半径垂直（即各点处的
圆周切线方向） 。 b. 切应力沿半径直线分布。 （3）静力关系 ①内力为分布力系的合力
T A dA G
令
d 2 dA A dx
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课 题 教 学 目 的 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 切应力互等定律 圆轴扭转时的应力分布，IP、Wt 的计算及强度条件的应用
编写日期 年 月 日
§3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
需 2 课时
了解薄壁圆筒扭转时的切应力，掌握圆轴扭转时的应力分布规律，IP、Wt 的计算及强度条件的应用
τ = Gγ
G——比例常数，材料的切变模 量。单位 GPa 四、三个弹性常数之间的关系 对各向同性材料
G
E 21
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§3.4 圆轴扭转时的应力 一、. 应力分布规律： 几何学方面 物理学方面 静力学方面 （1）变形几何关系 ①观察试验（在小变形前提下） a.圆周线大小、形状及相邻 二圆周线之间的距离保持不变， 仅 绕轴线相对转过一个角度。 b.在小变形前提下纵线仍为直线仅倾斜一微小角度， 变形前表面的 矩形方格，变形后错动成菱形。 ②平面假设： 圆轴扭转变形前的平面横截面变形后仍保持平面， 形 状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻二截面间的距离保持不变。 ③结论：横截面上只有切应力而无正应力。 ④取 dx 一段轴讨论：
T Wt
（f）
二、IP、Wt 计算公式 （1）实心圆截面 dA=ρ dθ dρ
D
I P P dA
2 A
2 R
OO
3
dpdt
R 4
2
D 4
32
I P R 3 D 3 Wt R 2 16
（2）空心圆截面
2 D/2
I P dA
2 A
0
d /2
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M e 2r · · r Me 2r 2
二、切应力互等定理 取出单元体如左图
Me 2r 2
τ ′=τ
Σ Fx=0 Σ Mz=0
dydx dxdy
τ ′=τ
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，其 方向都垂直于两平面交线，或共同指向或共同背离两平面交线。这就是 切应力互等定理，也称为切应力双生定理。 三、切应变剪切胡克定律 上述单元体，属于纯剪切状态 胡克定律：试验表明，当切应力不 超过比例极限时，切应力与切应变成正 比。