§3.3 纯剪切§3.4圆轴扭转时的应力
在小变形前提下纵线仍为直线仅倾斜一微小角度，变形前表面的
圆轴扭转练习带答案
第六章圆轴的扭转 一、填空题 1、圆轴扭转时的受力特点是：一对外力偶的作用面均_______于轴的轴线，其转向______。 2、圆轴扭转变形的特点是：轴的横截面积绕其轴线发生________。 3、在受扭转圆轴的横截面上，其扭矩的大小等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的 _______。 4、圆轴扭转时，横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成___________。 5、试观察圆轴的扭转变形，位于同一截面上不同点的变形大小与到圆轴轴线的距离有关，显然截面边缘上各点的变形为最_______,而圆心的变形为__________。 6、圆轴扭转时，在横截面上距圆心等距离的各点其切应力必然_________。 7、从观察受扭转圆轴横截面的大小、形状及相互之间的轴向间距不改变这一现象，可以看出轴的横截面上无____________力。 8、圆轴扭转时，横截面上切应力的大小沿半径呈______规律分布。 10、圆轴扭转时，横截面上内力系合成的结果是力偶，力偶作用于面垂直于轴线，相应的横截面上各点的切应力应垂直于_________。 11、受扭圆轴横截面内同一圆周上各点的切应力大小是_______的。 12、产生扭转变形的一实心轴和空心轴的材料相同，当二者的扭转强度一样时，它们的_________截面系数应相等。 13、横截面面积相等的实心轴和空心轴相比，虽材料相同，但_________轴的抗扭承载能力要强些。16、直径和长度均相等的两根轴，其横截面扭矩也相等，而材料不同，因此它们的最大剪应力是 ________同的，扭转角是_______同的。 17、产生扭转变形的实心圆轴，若使直径增大一倍，而其他条件不改变，则扭转角将变为原来的 _________。 18、两材料、重量及长度均相同的实心轴和空心轴，从利于提高抗扭刚度的角度考虑，以采用 _________轴更为合理些。 二、判断题 1、只要在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反的外力偶，杆件就会发生扭转变形。（） 2、一转动圆轴，所受外力偶的方向不一定与轴的转向一致。（） 3、传递一定功率的传动轴的转速越高，其横截面上所受的扭矩也就越大。（） 4、受扭杆件横截面上扭矩的大小，不仅与杆件所受外力偶的力偶矩大小有关，而且与杆件横截面的形状、尺寸也有关。（） 5、扭矩就是受扭杆件某一横截面在、右两部分在该横截面上相互作用的分布内力系合力偶矩。（）
第6讲 剪切与挤压的实用计算
第6讲教学方案——剪切与挤压的实用计算
§2-13剪切和挤压的实用计算 1．工程上的剪切件 通过如图3-1所示的钢杆受剪和图3-2所示的联接轴与轮的键的受剪情况，可以看出，工程上的剪切件有以下特点： 1）受力特点 杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。 2）变形特点 两外力作用线间截面发生错动，由矩形变为平行四边形。(见动画：受剪切作用的轴栓)。 因此剪切定义为相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小相等、方向相 对（相反）的两个力，当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两个平行面间的任一（平行）横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。 2．剪应力及剪切实用计算 剪切实用计算中，假定受剪面上各点处与剪力Q 相平行的剪应力相等，于是受剪面上的剪应力为 A Q =τ （3-1） 式中：Q —剪力；A —剪切面积 τ—名义剪切力 剪切强度条件可表示为： []ττ≤=A Q （3-2） 式中：[]τ—构件许用剪切应力。
剪切面为圆形时，其剪切面积为： 4 2 d A π = 对于如图3-3所示的平键，键的尺寸为l h b? ?，其剪切面积为：l b A? =。 例2-14电瓶车挂钩由插销联接，如图3-4a。插销材料为20#钢，[]MPa 30 = τ，直径mm 20 = d。挂钩及被联接的板件的厚度分别为mm 8 = t和mm 12 5.1= t。牵引力kN 15 = P。试校核插销的剪切强度。 解：插销受力如图3-4b所示。根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿m—m和n —n两个面向左错动。所以有两个剪切面，称为双剪切。由平衡方程容易求出 2 P Q= 插销横截面上的剪应力为 () []τ π τ< = ? ? ? = = - MPa 9. 23 10 20 4 2 10 15 2 3 3 A Q 故插销满足剪切强度要求。 例2-15 如图3-8所示冲床，400 max = P kN，冲头 []400 = σMPa，冲剪钢板360 = b τMPa，设计冲头 的最小直径值及钢板厚度最大值。 解：（1）按冲头压缩强度计算d []σ π σ≤ = = 4 2 d P A P 所以
剪切力的计算方法
第3章 剪切和挤压的实用计算 3.1 剪切的概念 在工程实际中，经常遇到剪切问题。剪切变形的主要受力特点是构件受到与其轴线相垂直的大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对外力的作用(图3-1a)，构件的变形主要表现为沿着与外力作用线平行的剪切面(n m -面)发生相对错动(图3-1b)。 图3-1 工程中的一些联接件，如键、销钉、螺栓及铆钉等，都是主要承受剪切作用的构件。构件剪切面上的内力可用截面法求得。将构件沿剪切面n m -假想地截开，保留一部分考虑其平衡。例如，由左部分的平衡，可知剪切面上必有与外力平行且与横截面相切的内力Q F (图3-1c)的作用。Q F 称为剪力，根据平衡方程∑=0Y ，可求得F F Q =。 剪切破坏时，构件将沿剪切面(如图3-la 所示的n m -面)被剪断。只有一个剪切面的情况，称为单剪切。图3-1a 所示情况即为单剪切。 受剪构件除了承受剪切外，往往同时伴随着挤压、弯曲和拉伸等作用。在图3-1中没有完全给出构件所受的外力和剪切面上的全部内力，而只是给出了主要的受力和内力。实际受力和变形比较复杂，因而对这类构件的工作应力进行理论上的精确分析是困难的。工程中对这类构件的强度计算，一般采用在试验和经验基础上建立起来的比较简便的计算方法，称为剪切的实用计算或工程计算。 3.2 剪切和挤压的强度计算 3.2.1 剪切强度计算 剪切试验试件的受力情况应模拟零件的实际工作情况进行。图3-2a 为一种剪切试验装置的简图，试件的受力情况如图3-2b 所示，这是模拟某种销钉联接的工作情形。当载荷F 增大至破坏载荷b F 时，试件在剪切面m m -及n n -处被剪断。这种具有两个剪切面的情况，称为双剪切。由图3-2c 可求得剪切面上的剪力为 2 F F Q =
单元5 剪切与扭转变形时的承载力计算
单元5 剪切与扭转变形时的承载力计算 【学习目标】 1.能深入理解剪切和挤压的概念； 2.能进行剪应力和压应力的计算和校核； 3.能灵活运用剪切虎克定律公式和剪应力互等定理； 4.能深入理解圆轴的扭矩的概念和公式； 5.能进行圆轴圆轴扭转强度计算，最大剪应力； 5.1 剪切与挤压变形实例 5.1.1剪切的概念 它是指杆件受到一对垂直于杆轴方向的大小相等、方向相反、作用线相距很近的外力作用所引起的变形，如铆钉连接中的铆钉及销轴连接中的销等都是心剪切变形为主要变形的构件。 图5.1 如图所示。此时，截面cd相对于动将发生相对ab错动，即剪切变形。若变形过大，杆件将在两个外力作用面之间的某一截面m—m处被剪断，被剪断的截面称为剪切面，如图5.1所示。 5.1.2挤压的概念 构件在受剪切的同时，在两构件的接触面上，因互相压紧会产生局部受压,称为挤压。 图5.2
如图5.2所示的铆钉连接中，作用在钢板上的拉力F，通过钢板与铆钉的接触面传递给铆钉，接触面上就产生了挤压。两构件的接触面称为挤压面，作用于接触面的压力称挤压力，挤压面上的压应力称挤压应力，当挤压力过大时，孔壁边缘将受压起“皱”，铆钉局部压“扁”，使圆孔变成椭圆，连接松动，这就是挤压破坏。因此，连接件除剪切强度需计算外，还要进行挤压强度计算。 图5.3 5.2 铆接或螺栓连接实用计算（剪切与挤压的实用计算） 5.2.1剪切的实用计算 剪切面上的内力可用截面法求得。 图5.4 假想将铆钉沿剪切面截开分为上下两部分，任取其中一部分为研究对象，由平衡条件可知，剪切面上的内力Ｑ必然与外力方向相反，大小由∑Ｘ＝０，Ｆ－Ｑ＝０，得：Ｑ＝Ｆ这种平行于截面的内力Ｑ称为剪力。 与剪力Ｑ相应，在剪切面上有剪应力η存在。剪应力在剪切面上的分布情况十分复杂，工程上通常采用一种以试验及经验为基础的实用计算方法来计算，假定剪切面上的剪应力η是均匀分布的。因此：Ｑη＝―Ａ式中Ａ——剪切面面积； Ｑ——剪切面上的剪力。 为保证构件不发生剪切破坏，就要求剪切面上的平均剪应力不超过材料的许用剪应力，即剪切时的强度条件为：Ｑ η＝―≤［η］（ 5.1 ） Ａ 式中［η］——许用剪应力，许用剪应力由剪切试验测定。
圆轴扭转时的应力与强度计算 许秀兰
教学设计--圆轴扭转时的应力与强度计算学 校 潍坊工商职业学校 执教人许秀兰授课 班级 13机电一、二班 课程名 称工程力学课 时 2节（90分钟） 课题第九章第二节 圆轴扭转时的应 力与强度计算 课 型 新授课 一、教材及教学内容分析 1．使用教材21世纪高职高专规划教材《工程力学》机械工业出版社张秉荣等主编 2．本章教材处理本章共三节：从扭转概念入手，对圆轴扭转时的内力、应力和变形进行分析，并给出扭转变形的强度和刚度的计算与校核方法。根据教学过程以及学生构建知识的思维方式，将本章五节的知识内容融为一体，安排6个课时如下： 第一、二课时扭转的概念、扭矩与扭矩图 第一部分 第三、四课时圆轴扭转时的应力与强度计算 第五、六课时圆轴扭转时的变形与刚度计算 3．教学内容分析第九章第二节圆轴扭转时的应力与强度计算 圆轴扭转时的应力 惯性矩I p和抗扭截面系数W p 圆轴发生扭转时强度计算 (1)教材的缺陷：教材中本节内容中的圆轴扭转时的应力分布规律及切应力公式的推导，理论性较强，且用到高等数学中相关的积分与求导知识，不便于学生理解与学习。 (2)教学内容的处理：为此对本节教学内容进行重新整合，力求以应用为导向，在基础理论的学习上，坚持必需、够用的原则，简化理论推导过程，注重理论应教材本节内容结构
用。 二、教学对象分析 1．学情分析 ①学生对学习工程力学有一定的热情，能在老师的引导下展开学习活动；但对学习缺乏主动性，在学习过程中对自己的学习进行调节、监控的能力较弱； ②学生分析问题、解决问题能力较差，抽象思维水平较低；但喜欢动手操作，习惯于直观性较强的学习方式； ③该班学生初步形成了民主、平等、互助的学习气氛，有利于老师在课堂上展开形式多样的教学活动。 2．分组方式全班学生分成五个小组。把学习成绩最好及学习积极性高的学生分成两组，其余的学生分为三个小组，每组由成绩中等的学生带领成绩较差的学生进行学习。 三、教学目标 1、知识目标：①掌握圆轴扭转的内力分布规律及切应力的求解； ②掌握圆轴扭转的强度条件； ③能灵活运用圆轴扭转的强度条件进行相关计算。 2、能力目标：①具有将工程实例简化成力学计算模型的能力 ②具有对构件进行承载能力验算的能力 ③具有观察问题、分析问题和解决问题的能力 3、情感目标：①善于思考，具有创新意识 ②具有一定的沟通知识和技巧 ③具有与人合作的精神和认真严谨的学习态度
剪切应力计算
拉伸、压缩与剪切 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 轴力、拉（压）应力、力学性能、强度失效、拉压变形、胡克定律、应变、变形能、静不定问题、剪切、挤压。 以上概念是进行轴向拉压及剪切变形分析的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。 1.2 轴向拉压的内力、应力及变形 1．横截面上的内力：由截面法求得横截面上内力的合力沿杆的轴线方向，故定义为轴力 F N ，符号规定：拉力为正，压力为负。工程上常以轴力图表示杆件轴 力沿杆长的变化。 2．轴力在横截面上均匀分布，引起了正应力，其值为 F A σ= N 正应力的符号规定：拉应力为正，压应力为负。常用的单位为MPa 、Pa 。 3．强度条件 强度计算是材料力学研究的主要问题之一。轴向拉压时，构件的强度条件是 []F A σσ= ≤N 可解决三个方面的工程问题，即强度校核、设计截面尺寸及确定许用载荷。 4．胡克定律 线弹性范围内，杆的变形量与杆截面上的轴力F N 、杆的长度l 成正比，与截面尺寸A 成反比；或描述为线弹性范围内，应力应变成正比，即 F l l E E A σε?= =N 式中的E 称为材料的弹性模量，EA 称为抗拉压刚度。胡克定律揭示在比例极限内，应力和应变成正比，是材料力学最基本的定律之一，一定要熟练掌握。 1.3 材料在拉压时的力学性能 材料的力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面。材料力学性能的研究一般是通过实验方法实现的，其中拉压试验是最主要、最基本的一种试验，由它所测定的材料性能指标有： E —材料抵抗弹性变形能力的指标；b s σσ,—材料的强度指标； ψδ, —材料的塑性指标。低碳钢的拉伸试验是一个典型的试验。
轴扭转计算
第5章扭转 5.1 扭转的概念及外力偶矩的计算 5.1.1、扭转的概念 在工程实际中，有很多以扭转变形为主的杆件。例如图示 5.1，常用的螺丝刀拧螺钉。 图5.1 图示5.2，用手电钻钻孔，螺丝刀杆和钻头都是受扭的杆件。 图5.2 图示5.3，载重汽车的传动轴。 图5.3 图示5.4，挖掘机的传动轴。 图5.4 图5.5所示，雨蓬由雨蓬梁和雨蓬板组成（图5.5a），雨蓬梁每米的长度上承受由雨蓬板传来均布力矩，根据平衡条件，雨蓬梁嵌固的两端必然产生大小相等、方向相反的反力矩（图5.5b），雨蓬梁处于受扭状态。 图5.5 分析以上受扭杆件的特点，作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用 表示，如图5.6所示。以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。 图5.6
本章着重讨论圆截面杆的扭转应力和变形计算。 5.1.2、外力偶矩的计算 工程中常用的传动轴（图）是通过转动传递动力的构件，其外力偶矩一般不是直接给出的，通常已知轴所传递的功率和轴的转速。根据理论力学中的公式，可导出外力偶矩、功率和转速之间的关系为： n N m 9550= （5.1） 式中 m----作用在轴上的外力偶矩，单位为m N ?； N-----轴传递的功率，单位为kW ； n------轴的转速，单位为r/min 。 图5.7 5.2 圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图 5.2.1 扭矩 已知受扭圆轴外力偶矩，可以利用截面法求任意横截面的内力。图5.8a 为受扭圆轴，设外力偶矩为e M ，求距A 端为x 的任意截面n m -上的内力。假设在n m -截面将圆轴截开，取左部分为研究对象（图5.8b ），由平衡条件0=∑x M ，得内力偶矩T 和外力偶矩e M 的关系 内力偶矩T 称为扭矩。 扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负。 图5.8 图示5.8的b 和c ，从同一截面截出的扭矩均为正号。扭矩的单位是m N ?或m kN ?。 5.2.2 扭矩图 为了清楚地表示扭矩沿轴线变化的规律，以便于确定危险截面，常用与轴线平行的x 坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，
剪切应力计算精编版
拉伸、压缩与剪切 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 轴力、拉（压）应力、力学性能、强度失效、拉压变形、胡克定律、应变、变形能、静不定问题、剪切、挤压。 以上概念是进行轴向拉压及剪切变形分析的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。 1.2 轴向拉压 的内力、应力及变形 1．横截面上的内力：由截面法求得横截面上内力的合力沿杆的轴线方向，故定义为轴力 F N ，符号规定：拉力为正，压力为负。工程上常以轴力图表示杆件轴 力沿杆长的变化。 2．轴力在横截面上均匀分布，引起了正应力，其值为 F A σ=N 正应力的符号规定：拉应力为正，压应力为负。常用的单位为MPa 、Pa 。 3．强度条件 强度计算是材料力学研究的主要问题之一。轴向拉压时，构件的强度条件是 []F A σσ=≤N 可解决三个方面的工程问题，即强度校核、设计截面尺寸及确定许用载荷。 4．胡克定律 线弹性范围内，杆的变形量与杆截面上的轴力F N 、杆的长度l 成正比，与截面尺寸A 成反比；或描述为线弹性范围内，应力应变成正比，即 F l l E EA σε?==N 式中的E 称为材料的弹性模量，EA 称为抗拉压刚度。胡克定律揭示在比例极限内，应力和应变成正比，是材料力学最基本的定律之一，一定要熟练掌握。 1.3 材料在拉压时的力学性能 材料的力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面。材料力学性能的研究一般是通过实验方法实现的，其中拉压试验是最主要、最基本的一种试验，由它所测定的材料性能指标有： E —材料抵抗弹性变形能力的指标；b s σσ,—材料的强度指标； ψδ, —材料的塑性指标。低碳钢的拉伸试验是一个典型的试验。
范钦珊版材料力学习题全解第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算.
解：1、轴的强度计算M T τ 轴max = x = 1 3 ≤ 60 × 10 6 Wp1 π d 16 T1 ≤ 60 × 10 6 × 2、轴套的强度计算π × 66 3 × 10 ?9 = 3387 N ? m 16 习题 4－6 图τ 套 max = Mx T2 = ≤ 60 × 106 3 68 4 ? Wp2 πD ??1 ? ( ? 16 ? 80 ? 6 ?? 17 ? 4 ? π × 80 3 ?9 T2 ≤ 60 × 10 × × 10 ?1 ? ??? = 2883 N ? m 16 ??? 20 ??? 3、结论Tmax ≤ T2 = 2883 N ? m = 2.883 kN ? m 4－7 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为 D、壁厚均为δ ，横截面上的扭矩均为 T = Mx。试：习题 4－7 图1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力 6 τ max ≈ τ max ≈ 2M x δπ D2 3M x 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力δ 2πD 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布。解：1．证明闭口圆管受扭时横截面上最大剪应力由于是薄壁，所以圆环横截面上的剪应力可以认为沿壁厚均匀分布（图 a1），于是有习题 4－7 解图Mx = ∫ A D D ? τd A = ? τ ? π Dδ 2 2 由此得到δπ D 2 δπ D2 2．证明开口圆管受扭时横截面上最大剪应力根据狭长矩形扭转剪应力公式，有3M x 3M x 3M x τ max = = = 2 2 hb π D ?δ δ 2π D τ= 2M x 即：τ max = 2M x 3．画出两种情形下，剪应力沿壁厚方向的分布两种情形下剪应
扭转切应力
扭转切应力 两类切应力 扭转切应力 弯曲切应力 扭转切应力 圆轴扭转时的应力变形特征 圆轴扭转时横截面上的切应力分析 矩形截面杆扭转切应力公式 圆轴扭转时的应力变形特征 外加力偶矩与功率和转速的关系 变形特征 横截面和纵截面都有切应力存在 --切应力互等定理 外加力偶矩与功率和转速的关系 应用此公式时要注意单位。 将圆轴表面如图划分为许多小方块，这些小方块可近似地看作矩形。轴受扭以后，小方块就发生变形，变成菱形。
如图是放大后的情形。产生这样的变形是因为在两个横截面上出现了切应力。作用在AB、CD面上的切应力组成一个力偶，显然它是不能使这个微元平衡的，因此，在两个纵截面上也产生切应力。通过应变知道横截面上有切应力，再通过平衡知道纵截面上也有切应力。微元的直角改? 横截面上和纵截面上的切应力有何关系？我们取出如图微元分析，横截面上的切应力τ乘以其作用面积dydz，再乘以力臂dx，组成一个力偶；纵截面上的切应力τ'也同样组成一个力偶，这两个力偶是大小相等，方向相反的。最后消掉公因子dxdydz,就得到τ=τ'。根据平衡的要求? 圆轴扭转时横截面上的切应力
根据变形特征和切应力互等定理，现在分析圆轴扭转时横截面上的切应力。 反对称分析论证平面保持平面 由平面保持平面导出变形协调方程 由物性关系得到应力分布 切应力公式 方法与过程 反对称分析论证平面保持平面 首先用反对称关系。如图，对称圆轴两端作用一对反对称的力偶，横截面上C、D两点若不保持在原来的平面上，则从A端看，力偶是顺时针方向的，这两点背离观察者而去的；若从B端看，力偶也是顺时针方向的，C、D两点也背离观察者而去。显然这是矛盾的，因此，C、D两点只能? 第一个结论
第 4 章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
基础篇之四 第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算 杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion ）。 本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。 4－1 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P 和转递n ，则传动轴所受的外加扭力矩M e 可用下式计算： [][] e kw 9549 [N m]r /min P M n =? 其中P 为功率，单位为千瓦（kW ）；n 为轴的转速，单位为转/分（r/min ）。如功率P 单位用马力（1马力=735.5 N ?m/s ），则 e [] 7024 [N m][r /min] P M n =?马力 外加扭力矩M e 确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力—扭矩，圆轴两端受外加扭力矩M e 作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截面中心的合力矩,称为扭矩（twist moment ），用M x 表示。 图4－1 受扭转的圆轴 用假想截面m －m 将圆轴截成Ⅰ、Ⅱ两部分，考虑其中任意部分的平衡，有 M x －M e = 0 由此得到
图4－3 剪应力互等 M x = M e 与轴力正负号约定相似，圆轴上同一处两侧横截面上的扭矩必须具有相同的正负号。因此约定为：按右手定则确定扭矩矢量，如果横截面上的扭矩矢量方向与截面的外法线方向一致，则扭矩为正；相反为负。据此，图4－1b 和c 中的同一横截面上的扭矩均为正。 当圆轴上作用有多个外加集中力矩或分布力矩时，进行强度计算时需要知道何处扭矩最大，因而有必要用图形描述横截面上扭矩沿轴线的变化，这种图形称为扭矩图。绘制扭矩图的方法与过程与轴力图类似，故不赘述。 【例题4－1】 变截面传动轴承受外加扭力矩作用，如图4－2a 所示。试画出扭矩图。 解：用假想截面从AB 段任一位置（坐标为x ）处截开，由左段平衡得： M x = －2M e 0x l ? ≥≥ 因为扭矩矢量与截面外法线方向相反，故为负。 同样，从BC 段任一位置处将轴截为两部分，由右段平衡得到BC 段的扭矩： M x = +3M e 2l x l + ≥≥ 因为这一段扭矩矢量与截面外法线方向相同，故为正。 建立OM x x 坐标，将上述所得各段的扭矩标在坐标系中，连图线即可作出扭矩图，如图4－2b 所示。 从扭矩图可以看出，在B 截面处扭矩有突变，其突变数值等于该处的集中外加扭力矩的数值。这一结论也可以从B 截面处左、右侧截开所得局部的平衡条件加以证明。 4－2 剪应力互等定理 剪切胡克定律 4－2－1 剪应力互等定理 考察承受剪应力作用的微元元体（图4－3），假设作用在微元左、右面上的剪应力为τ ，这两个面上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然存在剪应力τˊ，二者与其作用面积相乘 后形成一对力，组成另一力偶，为保持微元的平衡 图4－2 例题4－1图
剪切力的计算方法
第3章剪切和挤压的实用计算 3.1 剪切的概念 在工程实际中，经常遇到剪切问题。剪切变形的主要受力特点是构件受到与其轴线相垂直的大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对外力的作用(图3-1a)，构件 m-面)发生相对错动(图3-1b)。的变形主要表现为沿着与外力作用线平行的剪切面(n 图3-1 工程中的一些联接件，如键、销钉、螺栓及铆钉等，都是主要承受剪切作用的构件。构件剪切面上的内力可用截面法求得。将构件沿剪切面n m-假想地截开，保留一部分考虑其平衡。例如，由左部分的平衡，可知剪切面上必有与外力平行且与横截面相切的内力Q F(图3-1c)的作用。Q F称为剪力，根据平衡方程∑=0 F Q=。 Y，可求得F 剪切破坏时，构件将沿剪切面(如图3-la所示的n m-面)被剪断。只有一个剪切面的情况，称为单剪切。图3-1a所示情况即为单剪切。 受剪构件除了承受剪切外，往往同时伴随着挤压、弯曲和拉伸等作用。在图3-1中没有完全给出构件所受的外力和剪切面上的全部内力，而只是给出了主要的受力和内力。实际受力和变形比较复杂，因而对这类构件的工作应力进行理论上的精确分析是困难的。工程中对这类构件的强度计算，一般采用在试验和经验基础上建立起来的比较简便的计算方法，称为剪切的实用计算或工程计算。 3.2 剪切和挤压的强度计算 3.2.1 剪切强度计算
剪切试验试件的受力情况应模拟零件的实际工作情况进行。图3-2a 为一种剪切试验装置的简图，试件的受力情况如图3-2b 所示，这是模拟某种销钉联接的工作情形。当载荷F 增大至破坏载荷b F 时，试件在剪切面m m -及n n -处被剪断。这种具有两个剪切面的情况，称为双剪切。由图3-2c 可求得剪切面上的剪力为 2 F F Q = 图3-2 由于受剪构件的变形及受力比较复杂，剪切面上的应力分布规律很难用理论方法确定，因而工程上一般采用实用计算方法来计算受剪构件的应力。在这种计算方法中，假设应力在剪切面内是均匀分布的。若以A 表示销钉横截面面积，则应力为 A F Q =τ (3-1) τ与剪切面相切故为切应力。以上计算是以假设“切应力在剪切面上均匀分布”为基础的，实际上它只是剪切面内的一个“平均切应力”，所以也称为名义切应力。 当F 达到b F 时的切应力称剪切极限应力，记为b τ。对于上述剪切试验，剪切极限应力为 A F b b 2= τ
圆轴扭转时的变形和刚度条件
第10讲教学方案 ——圆轴扭转时的变形和刚度条件 非圆截面杆的扭转 基 本 内 容 圆轴扭转时的变形和刚度条件、矩形截面杆扭转时的应力与变形 教 学 目 的 1、掌握圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算。 2、掌握刚度条件的建立及利用刚度条件进行相关计算。 3、了解圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算。 4、了解矩形截面杆扭转时的横截面上的应力分布与变形计算。 重 点 难 点 本节重点：圆轴扭转时变形及变形程度的描述与计算，刚度条件的建立及相关计算。 本节难点：对圆轴变形程度的理解。
§4-6 圆轴扭转时的变形和刚度条件 扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（4-10） p GI Tdx d =φ 所以 p l 0p l GI Tl dx GI T d ===∫ ∫φφ（rad ） （4-17） 式中称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量p GI 与极惯性矩乘积。越大，则扭转角p GI φ越小。 让dx d φ ?= ，为单位长度相对扭角，则有p GI T = ?（rad/m ） 扭转的刚度条件： []??≤= P max GI T （rad/m ） （4-18） 或 []?π ?≤×= 180GI T P max （°/m ） （4-19） 例4-3 如图4-13的传动轴，500=n r/min ，5001=N 马力，2002=N 马力，马力，已知[]300 3=N 70=τMPa ，[]1=?°/m ，GPa 。求：确定AB 和BC 段直径。 80=G 解： 1）计算外力偶矩 70247024 1 ==n N m A （N ·m ） 6.28097024 2 ==n N m B （N ·m ） 4.42147024 3 ==n N m C （N ·m ） 作扭矩T 图，如图4-13b 所示。 2）计算直径 d AB 段：由强度条件，
圆轴扭转时的应力与强度计算 许秀兰
教学设计--圆轴扭转时的应力与强度计算
1．学情分析 学生对学习工程力学有一定的热情，能在老师的引导下展开学习活动；但对学习缺乏主动性，在学习过程中对自己的学习进行调节、监控的能力较弱； 学生分析问题、解决问题能力较差，抽象思维水平较低；但喜欢动手操作，习惯于直观性较强的学习方式； 该班学生初步形成了民主、平等、互助的学习气氛，有利于老师在课堂上展开形式多样的教学活动。 2．分组方式全班学生分成五个小组。把学习成绩最好及学习积极性高的学生分成两组，其余的学生分为三个小组，每组由成绩中等的学生带领成绩较差的学生进行学习。 1、知识目标：掌握圆轴扭转的内力分布规律及切应力的求解； 掌握圆轴扭转的强度条件； 能灵活运用圆轴扭转的强度条件进行相关计算。 2、能力目标：具有将工程实例简化成力学计算模型的能力 具有对构件进行承载能力验算的能力 具有观察问题、分析问题和解决问题的能力 3、情感目标：善于思考，具有创新意识 具有一定的沟通知识和技巧 具有与人合作的精神和认真严谨的学习态度
八、教学程序 阶 段 教学内容教师活动学生活动教学意图 创 设 情 境，导入新课（5分钟）圆轴扭转时横截面上的应力 （模拟薄壁圆筒扭转实验） 教师展示 课件，模拟 薄壁圆筒 扭转实验, 积极引导 学生观 察思考， 学生根 据常识 及上节 课所学 内容回 答问题。 正式教学内容 之前，创设情 境，引起学生 的好奇与思 考，激发学生 的求知欲和内 在动机，产生 学习的愿望和 意向。
模拟练兵 提高技能 技能训练 例1：某一传动轴所传递的功率 P=80kW，其转速n=582r/min， 直径d=55mm，材料的许用切 应力MPa， 试校核该轴的强度。 例2：如图所示的实心传动轴， N k1=50KW，N k2=150KW， N k3=100KW，n=300r/min，许 用应力[τ]=100MPa，试设计此轴 的直径D。 明确提出所 求问题，巡堂 指导学生思 考、分析； ②引导学生逆 向推导所求各 项问题； ③注意根据实 际情况作出及 时的指导或提 出新的要求。 学生在 老师的引 导下，思 考所求问 题及应用 到的原理 与公式 对所求 结果能灵 活分析、 判断。 结合工程实例， 讲解圆轴扭转 强度条件应用， 培养学生分析 问题、解决问题 的能力，提高学 生的职业素养。
剪切力的计算方法
第3章 剪切和挤压的实用计算 剪切的概念 在工程实际中，经常遇到剪切问题。剪切变形的主要受力特点是构件受到与其轴线相垂直的大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对外力的作用(图3-1a)，构件的变形主要表现为沿着与外力作用线平行的剪切面(n m -面)发生相对错动(图3-1b)。 图3-1 工程中的一些联接件，如键、销钉、螺栓及铆钉等，都是主要承受剪切作用的构件。构件剪切面上的内力可用截面法求得。将构件沿剪切面n m -假想地截开，保留一部分考虑其平衡。例如，由左部分的平衡，可知剪切面上必有与外力平行且与横截面 相切的内力Q F (图3-1c)的作用。Q F 称为剪力，根据平衡方程∑=0Y ，可求得F F Q =。 剪切破坏时，构件将沿剪切面(如图3-la 所示的n m -面)被剪断。只有一个剪切面的情况，称为单剪切。图3-1a 所示情况即为单剪切。 受剪构件除了承受剪切外，往往同时伴随着挤压、弯曲和拉伸等作用。在图3-1中没有完全给出构件所受的外力和剪切面上的全部内力，而只是给出了主要的受力和内力。实际受力和变形比较复杂，因而对这类构件的工作应力进行理论上的精确分析是困难的。工程中对这类构件的强度计算，一般采用在试验和经验基础上建立起来的比较简便的计算方法，称为剪切的实用计算或工程计算。 剪切和挤压的强度计算 剪切强度计算 剪切试验试件的受力情况应模拟零件的实际工作情况进行。图3-2a 为一种剪切
试验装置的简图，试件的受力情况如图3-2b 所示，这是模拟某种销钉联接的工作情形。当载荷F 增大至破坏载荷b F 时，试件在剪切面m m -及n n -处被剪断。这种具有两个剪切面的情况，称为双剪切。由图3-2c 可求得剪切面上的剪力为 2 F F Q = 图3-2 由于受剪构件的变形及受力比较复杂，剪切面上的应力分布规律很难用理论方法确定，因而工程上一般采用实用计算方法来计算受剪构件的应力。在这种计算方法中，假设应力在剪切面内是均匀分布的。若以A 表示销钉横截面面积，则应力为 A F Q =τ (3-1) τ与剪切面相切故为切应力。以上计算是以假设“切应力在剪切面上均匀分布”为基础的，实际上它只是剪切面内的一个“平均切应力”，所以也称为名义切应力。 当F 达到b F 时的切应力称剪切极限应力，记为b τ。对于上述剪切试验，剪切极限应力为 A F b b 2= τ 将b τ除以安全系数n ，即得到许用切应力 []n b ττ= 这样，剪切计算的强度条件可表示为 []ττ≤= A F Q (3-2) 挤压强度计算 一般情况下，联接件在承受剪切作用的同时，在联接件与被联接件之间传递压力的接触面上还发生局部受压的现象，称为挤压。例如，图3-2b 给出了销钉承受挤压力作用的情况，挤压力以bs F 表示。当挤压力超过一定限度时，联接件或被联接件在挤压面附近产生明显的塑性变形，称为挤压破坏。在有些情况下，构件在剪切破坏之
工程力学教案-圆轴扭转
工程力学教案 【理、工科】
§4-1 扭转的概念和实例 工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。扭转有如下特点： 1. 受力特点： 在杆件两端垂直于杆轴线的平面作用一对大小相等，方向相反的外力偶--扭转力偶。其相应力分量称为扭矩。 2. 变形特点 横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。若杆件横截面上只存在扭矩这一个力分量则这种受力形式称为纯扭转。 §4-2 扭矩扭矩图 1.外力偶矩 如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率和转速n计算得到的。
如轴在m作用下匀速转动角，则力偶做功为，由功率定义 角速度(单位：弧度/秒，rad/s)与转速n(单位：转/分，r/min)的关系为。 因此功率N的单位用千瓦（KW）时有关系，即 (4-1a) 式中：-传递功率（千瓦，KW），-转速（r/min） 如果功率单位是马力(PS)，由于1KW =1000 N·m/s =1.36 PS，式（4-1a）成为 (4-1b) 式中：-传递功率（马力，PS） -转速（r/min） 2. 扭矩 求出外力偶矩后，可进而用截面法求扭转力--扭矩。如图4-4所示圆轴，由，从而可得A-A截面上扭矩T ， 称为截面A-A上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，矢量离开截面为正，指向截面为负。或矢量与横截面外法线方向一致为正，反之为负。
【例4-4】传动轴如图4-5a所示，主动轮A输入功率马力，从动轮B、C、D输出功率分别为马力，马力，轴的转速为 。试画出轴的扭矩图。 【解】按外力偶矩公式计算出各轮上的外力偶矩 从受力情况看出，轴在BC，CA，AD三段的扭矩各不相等。现在用截面法，根据平衡方程计算各段的扭矩。 在BC段，以表示截面I-I上的扭矩，并任意地把的方向假设为如图4-5b所示。
剪切应力计算
剪切应力计算 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】
拉伸、压缩与剪切 1基本概念及知识要点 1.1基本概念 轴力、拉（压）应力、力学性能、强度失效、拉压变形、胡克定律、应变、变形能、静不定问题、剪切、挤压。 以上概念是进行轴向拉压及剪切变形分析的基础，应准确掌握和理解这些基本概念。 1.2轴向拉压的内力、应力及变形 1．横截面上的内力：由截面法求得横截面上内力的合力沿杆的轴线方向，故定义为轴 ，符号规定：拉力为正，压力为负。工程上常以轴力图表示杆件力F N 轴力沿杆长的变化。 2．轴力在横截面上均匀分布，引起了正应力，其值为 正应力的符号规定：拉应力为正，压应力为负。常用的单位为MPa、Pa。 3．强度条件 强度计算是材料力学研究的主要问题之一。轴向拉压时，构件的强度条件是 可解决三个方面的工程问题，即强度校核、设计截面尺寸及确定许用载荷。4．胡克定律 、杆的长度l成正比，与截面线弹性范围内，杆的变形量与杆截面上的轴力F N 尺寸A成反比；或描述为线弹性范围内，应力应变成正比，即 式中的E称为材料的弹性模量，EA称为抗拉压刚度。胡克定律揭示在比例极限内，应力和应变成正比，是材料力学最基本的定律之一，一定要熟练掌握。 1.3材料在拉压时的力学性能
材料的力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面。材料力学性能的研究一般是通过实验方法实现的，其中拉压试验是最主要、最基本的一种试验，由它所测定的材料性能指标有： E —材料抵抗弹性变形能力的指标；b s σσ,—材料的强度指标； ψδ, —材料的塑性指标。低碳钢的拉伸试验是一个典型的试验。 详见教材，应理解本部分知识。 1.4 简单拉压静不定问题 1． 未知力的个数超过静力平衡方程个数的问题为静不定问题，其中未知力可以是结构的约束反力或 构件的内力。 2． 解决静不定问题，除列出静力平衡方程外，还需列出一定数量的补充方程，这些补充方程可由结 构各部分变形之间的几何关系以及变形和力之间的物理关系求得，将补充方程和静力平衡方程联立求解，即可得出全部未知力。 3． 静不定结构还有一个特性，即由于杆件在制造中的误差，将引起装配应力；由于温度变化会引起 温度应力。 1.5 应力集中的概念 工程实际中，由于结构上和使用上的需要，有些零件必须有切口、切槽和螺纹等。在构件尺寸的突变处，发生局部应力急剧增加的现象，称为应力集中现象。 剪切和挤压的实用计算 1． 工程中经常使用到联接件，如铆钉、销钉、键或螺栓等。联接件一般受剪切作用， 并伴随有挤压作用，因而联接件应同时满足剪切强度和挤压强度。有时还要考虑被联接部分的拉伸强度问题。 2． 两作用外力之间发生相互错动的面称为剪切面。剪切面上的切应力为F A τ= s ，其中F s 为剪力，A 为剪切面的面积，即假设切应力在剪切面上均匀分布。剪切强度条件 []F A ττ= ≤s 3． 产生相互挤压的表面称为挤压面。挤压面上的挤压应力为bs bs F A σ= ，式中F 为挤压力，A bs 为挤压面积，即假设挤压应力在挤压面上均匀分布。挤压强度条件为 []bs bs bs F A σσ= ≤
圆轴扭转时的应力与强度条件
圆轴扭转时的应力与强度条件 扭转是杆件的基本变形形式之一。工程中有些杆件，因承受作用平面垂直 于杆轴线的力偶作用，而发生扭转变形。通常将这种杆件称为轴，如传动轴等。本讲主要分析圆截面杆的扭转。非圆截面杆受扭时，不能用材料力学的理论求解。 图1 圆轴的扭转 扭转变形和受力特点：杆件受到大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用，杆件的横截面绕轴线产生相对转动。 ● 外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。 ● 力偶变形特点：各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。 一、圆轴扭转的应力 图2 圆轴扭转的剪应力分布图 图2中， t W T =max τ （1） 式（1）中，t W 为抗扭截面模量，是仅与横截面尺寸有关的量。实心圆轴 16 3 D W n π= ，空心圆轴D d D W n 16) (44-= π。 二、扭转强度分析 为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力[]τ，即 A B m ax m τ
][max ττ≤= t W T （9-7） 根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度计算问题。 例：传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3输出扭矩分别为N.m 3.391=m 和N.m 1553=m 。若轴的材料为45钢，[]a MP 40=τ。根据强度确定轴的直径。 解: (1) 计算力偶距m 2 。 m N m m m .3.194312=+= （2）画扭矩图。 （3）根据强度条件计算直径。 从扭矩图上可以看出，齿轮2与3 间的扭矩绝对值最大。 ][163 max max max τπτ≤== D T W T t [] m 0272.010 4014.3155 16163 6 3 max =???= ≥ τπT D 1 2 3 1 m 2 m 3 m 0.3 0.4m x T 155N.m 39.3N.m
剪切力的计算方法
精心整理 第3章剪切和挤压的实用计算 3.1剪切的概念 在工程实际中，经常遇到剪切问题。剪切变形的主要受力特点是构件受到与其轴线相垂直的大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对外力的作用(图3-1a)， (图F F Q =。 3-1剪切试验试件的受力情况应模拟零件的实际工作情况进行。图3-2a 为一种剪切试验装置的简图，试件的受力情况如图3-2b 所示，这是模拟某种销钉联接的工作情形。当载荷F 增大至破坏载荷b F 时，试件在剪切面m m -及n n -处被剪断。这种具有两个剪切面的情况，称为双剪切。由图3-2c 可求得剪切面上的剪力为
图3-2 (3-1) τ 将 τ b (3-2) 一般情况下，联接件在承受剪切作用的同时，在联接件与被联接件之间传递压力的接触面上还发生局部受压的现象，称为挤压。例如，图3-2b给出了销钉承受挤压力作用的情况，挤压力以 F表示。当挤压力超过一定限度时，联接件或被联接件 bs 在挤压面附近产生明显的塑性变形，称为挤压破坏。在有些情况下，构件在剪切破坏之前可能首先发生挤压破坏，所以需要建立挤压强度条件。图3-2a中销钉与被联
接件的实际挤压面为半个圆柱面，其上的挤压应力也不是均匀分布的，销钉与被联接件的挤压应力的分布情况在弹性范围内如图3-3a 所示。 图3-3 与上面解决抗剪强度的计算方法类同，按构件的名义挤压应力建立挤压强度条件 ] bs F (3-3) 式中bs σ为td ；在例3-1图3-4中，已知钢板厚度mm 10=t ，其剪切极限应力MPa 300=b τ。若用冲床将钢板冲出直径mm 25=d 的孔，问需要多大的冲剪力F ? 图3-4 解剪切面就是钢板内被冲头冲出的圆柱体的侧面，如图3-4b 所示。其面积为 冲孔所需的冲力应为
圆轴扭转里分析
6．1 圆轴扭转的概念扭转变形Torsion 轴Shaft ——发生扭转变形的杆件。 圆轴扭转Torsional Loads on Circular Shafts 工程背景Background： 力学模型model 扭转变形的特点：
1)受力特点在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。 2)变形特点横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。 6．2 扭矩和扭矩图 首先计算作用于轴上的外力偶矩，再分析圆轴横截面的内力，然后计算轴的应力和变形，最后进行轴的强度及刚度计算。 6．2．1外力偶矩的计算 式中，M e 为外力偶矩Torque （N·mm ）； P Power 为功率（kW ）； n为转速Rotational velocity （r／min ）。 主动轮的输入功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相同； 从动轮的输出功率所产生的力偶矩转向与轴的转向相反。 6．2．2圆轴扭转时的内力——扭矩torque 截面法求横截面的内力 规定扭矩的正负（右手螺旋法则）：
以右手手心对着轴，四指沿扭矩的方向屈起，拇指的方向离开截面，扭矩为正，反之为负。 6．2．3扭矩图 例输入一个不变转矩Me1 ，不计摩擦，轴输出的阻力矩为Me2 ＝2Me1 ／3，Me3 ＝Me1 ／3，外力偶矩Me1 、Me2 、Me3 将轴 分为AB和BC两段，应用截面法可求出各段横截面的扭矩。 扭矩图——用平行于杆轴线的x 坐标表示横截面的位置，用垂直于x 轴的坐标M T 表示横截面扭矩的大小，描画出截面扭矩随截面位置变化的曲线。 6．3 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算 6．3．1圆轴扭转时横截面上的应力 ?受扭圆轴横截面上有何应力？ ?应力如何计算？