作业17【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

合集下载

精品解析：河北省衡水中学高三上学期一轮复习周测数学(理)试题(解析版)

河北省衡水中学2021-2021学年度高三一轮复习周测卷〔一〕理数一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 以下说法正确的选项是〔〕A. 0与的意义一样B. 高一〔1〕班个子比拟高的同学可以形成一个集合C. 集合是有限集D. 方程的解集只有一个元素【答案】D【解析】因为0是元素，是含0的集合，所以其意义不一样；因为“比拟高〞是一个不确定的概念，所以不能构成集合；当时，，故集合是无限集；由于方程可化为方程，所以〔只有一个实数根〕，即方程的解集只有一个元素，应选答案D。

2. 集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：,，所以.考点：集合交集，一元二次不等式.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.纯熟画数轴来解交集、并集和补集的题目.3. 设命题“〞，那么为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为全称命题的否认是存在性命题，所以为，应选答案B。

4. 集合，那么集合〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，应选答案C。

5. 设，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，所以，，但时，即，不能保证为正数，所以“〞是“〞的充分不必要条件，应选A.6. 设，假设是的充分不必要条件，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以由题意可得：，应选答案B。

7. 命题有解，命题，那么以下选项中是假命题的为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：对于m命题p：方程x2-mx-1=0，那么△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2-mx-1=0有解，可得：命题p是真命题．对于命题q：由x2-x-1≤0，解得，，因此存在x=0，1∈N，使得x2-x-1≤0成立，因此是真命题．∴以下选项中是假命题的为，应选：B．考点：复合命题的真假8. 集合，那么集合不可能是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以当时，那么；由于是点集，所以；当时，那么；由于所以，应选答案D。

作业76【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

题组层级快练(七十六)1．若A 2n 3＝10A n 3，则n ＝( ) A ．1 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析原式等价于2n(2n －1)(2n －2)＝10n(n －1)(n －2)，整理得n ＝8.2．平面内有n 条直线任意两条都相交，任意三条都不交于一点，则这n 条直线的交点的个数为( ) A ．n(n －1) B ．(n －1)(n －2) C.n （n －1）2D.（n －1）（n －2）2答案 C解析这n 条直线交点的个数为C n 2＝n （n －1）2. 3．(2014·辽宁，理)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24答案 D解析利用排列和排列数的概念直接求解．剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A 43＝4×3×2＝24.4．(2019·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2 017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( ) A ．53 B ．59 C ．66 D ．71 答案 D解析记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0，1，2，7)，(0，1，3，6)，(0，1，4，5)，(0，2，3，5)，(1，2，3，4)，共五组．其中第一组(0，1，2，7)中，7排在首位有A 33＝6种情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有2A22＝4种情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11种情形符合题设；第二组中3，6分别排在首位共有2A33＝12种情形；第三组中4，5分别排在首位共有2A33＝12种情形；第四组中2，3，5分别排在首位共有3A33＝18种情形；第五组中2，3，4分别排在首位共有3A33＝18种情形．依据分类加法计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个)，选D. 5．(2019·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有()A．60种B．20种C．10种D．8种答案 C分析先安排四盏不亮的路灯，再利用“插入法”，插入三盏亮的路灯，即可得结果．解析根据题意，可分两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C53＝10种情况．故不同的开灯方案共有10×1＝10(种)，故选C.6．(2020·山东师大附中模拟)甲、乙、丙三人轮流值日，从周一到周六每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可以排出不同的值日表有()A．50种B．72种C．48种D．42种答案 D解析先排甲．按甲是否排周六分类．第一类：甲排周六．则甲再从二、三、四、五4天中选一天有C41种选法；乙有C42种，丙有C22种．第二类：甲不排周六，则甲从二、三、四、五4天中选两天有C42种选法，乙有C32种，丙有C22种．C41·C42·C22＋C42·C32·C22＝42，故选D.7．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为()A．56 B．63C．72 D．78答案 D解析若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A33种．故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78. 8．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种答案 D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数2个偶数，故不同的取法有C54＋C44＋C52C42＝66(种)．9．(2020·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有() A．24 B．28C．36 D．48答案 D解析分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．(1)当红红之间有蓝时，则有A22A42＝24(种)；(2)当红红之间无蓝时，则有C21A22C21C31＝24(种)．因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法．故选D. 10．某电视台从录制的5个新闻报道和4个人物专访中选出5个，准备在7月1日至7月5日中每天播出一个，若新闻报道不少于3个，则不同的播出方法共有()A．81种B．810种C．9 600种D．9 720种答案 D解析(C53C42＋C54C41＋C55)·A55＝9 720种．11．(2017·天津，理)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．答案 1 080解析一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C41C53A44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A54＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．12．(2020·开封定位考试)从2019届开始，我省实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为________．答案19解析从六科中选考三科的选法有C63种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C63－1＝19(种)．13．(2020·山东日照一模)从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为________．答案112解析根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女生1个男生的方法有C82C41＝112(种)．14．一份试卷有10道考题，分为A，B两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，则每位考生有________种选答方案．答案200解析分三类：A组4题B组2题，A组3题B组3题，A组2题B组4题．共有C54C52＋C53C53＋C52C54＝50＋100＋50＝200(种)．15．(2020·四川成都二诊)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有________种．答案180解析从7个专业选3个，有C73＝35种选法，甲、乙同时兼报的有C22·C51＝5种选法，则专业共有35－5＝30种选法，则按照专业顺序进行报考的方法种数为A33×30＝180. 16．甲、乙两人从4门课程中各选2门，求(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？答案(1)24(2)30解析(1)甲、乙两人从4门课程中各选2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C42C21C21＝24(种)．(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门的选法种数为C42C42，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C42种，因此满足条件的选法种数为C42C42－C42＝30(种)．。

作业8【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

题组层级快练(八)1．函数y ＝x 2＋8x ＋12在某区间上是减函数，这区间可以是( ) A ．[－4，0] B ．(－∞，0] C ．(－∞，－5] D ．(－∞，4]答案 C2．若二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( ) A ．f(x)＝－x 2－x －1 B ．f(x)＝－x 2＋x －1 C ．f(x)＝x 2－x －1 D ．f(x)＝x 2－x ＋1 答案 D解析设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c －（ax 2＋bx ＋c ）＝2x.故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f(x)＝x 2－x ＋1.故选D. 3．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( ) A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 1<y 3<y 2 D ．y 2<y 1<y 3答案 A解析 ∵m ＞2，∴m －1＞1.∴三点均在对称轴的右边，而在[1，＋∞)上函数是增函数，∴y 1＜y 2＜y 3. 4．(2020·杭州学军中学月考)若函数f(x)＝x 2－2x ＋m ，若f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1 B ．2 C ．m －1 D ．m答案 C解析由题意知，函数的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f(1)＝m －1.故选C. 5．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5)答案 C解析二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1，2]． 6．已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，4) B ．[0，4] C ．(0，4] D ．[0，4)答案 B解析因为函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R ；当m>0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.7．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C8．已知二次函数f(x)图象的对称轴是x ＝x 0，它在区间[a ，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则( ) A ．x 0≥b B ．x 0≤a C ．x 0∈(a ，b) D ．x 0∉(a ，b)答案 D解析若x 0∈(a ，b)，f(x 0)一定为最大值或最小值．9．(2020·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2 （x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．3答案 D解析由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4.由f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2 （x ≤0），2 （x>0）.又f(x)＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．10．(2019·郑州质检)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒有y ≥0成立，则a 的最小值是( ) A ．0 B ．2 C ．－52D ．－3答案 C解析设g(x)＝ax ＋x 2＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则g(x)≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立．令h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，又h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上为单调递增函数，当x ＝12时，h(x)max ＝h ⎝⎛⎭⎫12，所以使a ≥h(x)max＝－⎝⎛⎭⎫12＋2即可，解得a ≥－52. 11．(1)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)解析函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k8≥2，解得k ≥8或k ≤－16.则k 的取值范围为(－∞，－16]∪[8，＋∞)(2)若函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5(x<2)不是单调函数，则实数b 的取值范围为________．答案 (－4，＋∞)解析函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图象是开口向上，以x ＝－b2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b2<2，解得b>－4.所以实数b 的取值范围为(－4，＋∞)．12．已知y ＝(cosx －a)2－1，当cosx ＝－1时，y 取最大值，当cosx ＝a 时，y 取最小值，则a 的取值范围是________．答案 0≤a ≤1解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1.13．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ①a<15 ②a<3解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于a<f(x)max ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝3时，f(x)max ＝15，故a 的取值范围为a<15.②f(x)>a 在区间[1，3]上恒成立，等价于a<f(x)min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x ＝1时，f(x)min ＝3，故a 的取值范围为a<3. 14．如果函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a ＝________．答案 1解析因为函数f(x)＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点处取得．因为f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a>4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.15．(2017·北京)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤12，1解析 x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2＝x 2＋(1－x)2＝2x 2－2x ＋1，x ∈[0，1]，则令f(x)＝2x 2－2x ＋1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为x ＝12，开口向上，所以函数的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2×14－2×12＋1＝12. 最大值为f(1)＝2－2＋1＝1. 则x 2＋y 2的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，1.16．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1. 答案 (1)a ＝－1＋22(2)略解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)．方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0.|x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.由韦达定理，可知x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a .代入上式，可得4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22，a ＝－1－22(舍去)．(2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4，设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩⎨⎧2a>14，b<14.∴2a －b>0.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b2a >－1.。

作业22【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

题组层级快练(二十二)1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①中，－3π4是第三象限角，故①错．②中，4π3＝π＋π3，从而②正确．③中，－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中，－315°＝－360°＋45°，从而④正确． 2．已知tan α＝33，且α∈[0，3π]，则α的所有不同取值的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B解析 ∵tan α＝33，且α∈[0，3π]，∴α的可能取值分别是π6，7π6，13π6，∴α的所有不同取值的个数为3.3．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．4．(2020·济南市三中月考)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 ∵θ为第三象限角，∴θ2为第二或第四象限角．又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，∴θ2是第二象限角．5．若tan α>0，则( ) A ．sin2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0 D ．cos2α>0 答案 A解析 ∵tan α>0，∴角α终边落在第一或第三象限，故B 、C 错；sin2α＝2sin αcos α>0，A 正确；cos2α＝cos 2α－sin 2α，正负不定，D 错，故选A.6．(2020·青岛模拟)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫－12，y ，则sin α·tan α＝( ) A ．－33B ．±33 C ．－32D ．±32答案 C解析由三角函数的定义得cos α＝－12，∴sin 2α＝1－cos 2α＝34，sin α·tan α＝sin 2αcos α＝－32.7．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0，∴选A.8．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α<0B ．tan α－sin α<0C ．cos α－tan α<0D ．tan αsin α<0答案 B解析在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A ，C ，D 三项． 9．(2020·沧州七校联考)已知角x 的终边上一点坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角x 的最小正值为( ) A.5π6 B.5π3 C.11π6D.2π3答案 B解析因为sinx ＝cos 5π6＝－32，cosx ＝sin 5π6＝12，所以x ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝5π3，即角x 的最小正值为5π3，故选B.10．若一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3 C. 3 D. 2 答案 C解析设圆的半径为R ，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R.∴该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝ 3. 11．sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1<cos1<tan1 B ．tan1<sin1<cos1 C ．cos1<tan1<sin1 D ．cos1<sin1<tan1答案 D解析如图，单位圆中∠MOP ＝1 rad>π4 rad.因为OM<22<MP<AT ，所以cos1<sin1<tan1.故选D.12．(2018·北京)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵答案 C解析设点P 的坐标为(x ，y)，利用三角函数的定义可得yx <x<y ，所以x<0，y>0，所以P 所在的圆弧是EF ︵，故选C.13．－2 020°角是第________象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．答案二 140° －220°解析 ∵－2 020°＝－6×360°＋140°，∴－2 020°角的终边与140°角的终边相同． ∴－2 020°角是第二象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是140°.又是140°－360°＝－220°，故与－2 020°终边相同的最大负角是－220°.14．若扇形的周长为6，半径为2.则其中心角的大小为________弧度．答案 1解析由⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋α·r ＝6，r ＝2，得α＝1.15．若0≤θ≤2π，则使tan θ≤1成立的角θ的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，54π∪⎝⎛⎦⎤32π，2π 16．函数y ＝lg(sinx －cosx)的定义域为________．答案 {x|π4＋2k π<x<5π4＋2k π，k ∈Z }解析利用三角函数线．如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sinx>cosx ，只需π4<x<5π4(在[0，2π]上)．所以定义域为{x|π4＋2k π<x<5π4＋2k π，k ∈Z }．17．(2020·安徽合肥市二中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3，请写出劣弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．答案 (1)－34 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝π3＋2k π，k ∈Z (3)S ＝12α－12sin α，α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3解析 (1)由题意可得B ⎝⎛⎭⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β|β＝π3＋2k π，k ∈Z .(3)若α∈⎝⎛⎦⎥⎤0，2π3，则S 扇形＝12αr 2＝12α，而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故劣弓形AB 的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2π3.。

作业68【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

( ) ( ) 3 3
(2)k∈ －2，－ ∪ ，2 22
a1
解析 (1)由题意得＝，∴a＝2，故抛物线 42
C2
的方程为
x2＝－2y.
3
x2
又 e＝，∴c＝ 2
3，∴b＝1，从而椭圆 C1 的方程为 4 ＋y2＝1.
(2)显然直线 x＝0 不满足条件，故可设直线 l：y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
|BP|，求四边形 OPAB(O 为坐标原点)面积的最小值． x2
答案 (1) ＋y2＝1 (2)2 3
6c
6
3
解析 (1)由题意知，离心率 e＝＝，所以 c＝ a，b＝ a，所以 x2＋3y2＝a2，
3a
3
3
将 y＝x＋2 代入得 4x2＋12x＋12－a2＝0，
由 Δ＝122－4×4×(12－a2)＝0，得 a＝ 3，b＝1，
4t
4
则 y1＋y2＝－t2＋2，y1y2＝－t2＋2.
( ) 1
4t 2 16
t2＋1
所以 S△OBC＝S△OAB＝2|OF|·|y1－y2|＝（y1＋y2）2－4y1y2＝
－ t2＋2
＋t2＋2＝4
2× t2＋2
1
＝4 2×
≤2 2，
1
t2＋1＋
t2＋1
当且仅当 1＝t2＋1，即 t＝0 时取等号，
解析 (1)证明：依题意得，F(1，0)，且直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为 x＝my
＋1.
{ ) 联立
x＝my＋1， y2＝4x，
消去
x得
y2－4my－4＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，

2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版

2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）0.92．（5分后）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系就是c （）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b3．（5分后）未知a＞1，a．0＜x＜1b．1＜x＜0，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0与x轴所围站图形的面积为（）5．（5分）曲线a．4b．2c．1d．36．（5分）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴7．（5分后）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）a．f（x）=x3b．f（x）=+xc．f（x）=3xd．f（x）=3+x38．（5分后）设f（x）就是奇函数，对任一的实数x、y，存有f（x+y）=f（x）+f （y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（）a．有最大值f（a）b．有最小值f（a）c．有最大值d．存有最小值9．（5分）已知函教f（x）=asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜a）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）a．[6kπ，6kπ+3]，k∈zb．[6k3，6k]，k∈zc．[6k，6k+3]，k∈zd．[6kπ3，6kπ]，k∈z1页10．（5分）若不等式lg≥（x1）lg3对任意x∈（∞，1）恒成立，则a的取值范围就是（）a．（∞，0]b．[1，+∞）c．[0，+∞）d．（∞，1]11．（5分后）设f（x）就是定义在r上的函数，其Auron函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2021，则xx不等式ef（x）＞e+2021（其中e为自然对数的底数）的边值问题为（）a．（2021，+∞）b．（∞，0）∪（2021，+∞）c．（∞，0）∪（0，+∞）d．（0，+∞）12．（5分后）设立函数f（x）=sin，若存有f（x）的极值点x0满足用户x0+[f（x0）]＜m，则m的值域222范围就是（）a．（∞，6）∪（6，+∞）b．（∞，4）∪（4，+∞）c．（∞，2）∪（2，+∞）d．（∞，1）∪（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分后）若非零向量，满足用户|+|=||=2||，则向量与+的夹角为．14．（5分后）设立函数y=f（x）在r上加定义，对于任一取值的正数p，定义函数2，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2x1，p=2，则下列结论不成立的是：．①fp[f（0）]=f[fp（0）]；②fp[f（1）]=f[fp（1）]；③fp[fp （2）]=f[f（2）]；④fp[fp（3）]=f[f（3）]．15．（5分后）未知f（x）就是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2x+|，若函数y=f（x）a在区间[3，4]上加10个零点（互不相同），则实数a的值域范围就是．16．（5分后）未知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则△abc面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2217．（10分）已知a∈r，命题p：“?x∈[1，2]，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，谋实数a的值域范围．18．（12分后）在△abc中，内角a，b，c面元的边分别为a，b，c，未知sinc+sin （ba）=sin2a，a≠．2（ⅰ）求角a的取值范围；（ⅱ）若a=1，△abc的面积s=x，c为钝角，求角a的大小．19．（12分后）未知函数f（x）=e+ax1（e为自然对数的底数）．（ⅰ）当a=1时，谋过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围起的三角形的面积；2（ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒设立，谋实数a的值域范围．20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（4，2）时，f（x）的最大值为4．（ⅰ）求实数a的值；2页，（ⅱ）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），并使f（x1）g（x2）=0，谋实数b的值域范围．21．（12分后）未知函数f（x）=x+3+ax+b，g（x）=x+3+lnx+b，（a，b为常数）．（ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（ⅱ）设立函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）x=xf′（x）存有唯一求解，谋实数b的值域范围；（ⅲ）令f（x）=f（x）g（x），若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22．（12分后）未知函数，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并推论与否存有极值；（ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（ⅲ）证明：（n∈n+，n≥2）．3页2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）（2021?重庆三模）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可．【解答】解：由a中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即a=[1，+∞）；由b中的不等式解得：4＜x＜4，即b=（4，4），则a∩b=[1，4）．故选：b．【评测】此题考查了关连及其运算，熟练掌握关连的定义就是求解本题的关键．2．（5分）（2021?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c 的大小关系是c（）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．0.9【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1，∴b＜a＜c．故选：c．【评测】本题考查了指数与对数函数的单调性，属基础题．3．（5分）（2021?南昌校级二模）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件就是0.9（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】谋出来不等式的边值问题即为不等式设立的充要条件；据当子集a?子集b且b?a时，a就是b的充份不必要条件．【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞12∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021春?玉溪校级期末）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0【分析】根据分段函数的定义域，算出f（1）的值，再根据分段函数的定义域展开代入解；4页【答疑】求解：函数2，f（1）=π+1＞0，∴f（f（1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（1）））=π，故选c；【评测】此题主要考查函数值的解，就是一道基础题；5．（5分）（2021春?进贤县校级月考）曲线a．4b．2c．1d．3上的积分可求出答案．上的积分，与x轴所围站图形的面积为（）【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤即s==3=3=3，故选：d．【评测】本题主要考查余弦函数的图象和用定分数谋面积的问题．属于基础题6．（5分）（2021?开封模拟）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2xz．由x=kπ，k∈z，解得函数y=cos（x）的对称轴为：x=kπ，k∈z．=k，k∈z，解得函数y=sin（2x）的对称轴为：x=+，k∈k=0时，二者存有相同的对称轴．由2x由x=kπ，k∈z，可解得函数y=sin（2x=k）的对称中心为：（）的对称中心为：（kπ+，0），k∈z．，0），k∈z．，k∈z，可解得函数y=cos（x故2函数没相同的对称中心．故选：a．【评测】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属基本知识的考查．7．（5分后）（2021?厦门演示）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）5页。

作业78【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

( )1
16．(2020·西安五校联考)从 4 x＋
20
的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为( )
x
5
2
A.
B.
21
7
3
3
C.
D.
10
7
答案 B
( ) ( ) 解析
4
x＋
1 x
20
的展开式的通项为
Tk＋1＝C20k(4
x)20－k
1k
3
x ＝C20kx5－4k，其中 k＝0，1，
2，…，20.
A．不含 x9 项
B．含 x4 项
C．含 x2 项
ห้องสมุดไป่ตู้
D．不含 x 项
答案 D
解析 Tr＋1＝(－1)rC6rx12－2rx－r＝(－1)rC6rx12－3r，故 x 的次数为 12，9，6，3，0，－3，－6.
选 D.
( )1
4．(2019·广东普宁一中期末)若 x6＋
n
的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于( )
A．－15x4
B．15x4
C．－20ix4
D．20ix4
答案 A
解析 (x＋i)6 的展开式的通项为 Tr＋1＝C6rx6－rir(r＝0，1，2，…，6)，令 r＝2，则含 x4 的项为 C62x4i2＝－15x4，故选 A. 6．(1－ x)4(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是( )
( )5 4
14．已知(xcosθ＋1)5 的展开式中 x2 的系数与 x＋的展开式中 x3 的系数相等，且 θ∈(0， 4
π)，则 θ＝( )
π
π 3π
A.
B. 或
4

作业10【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

题组层级快练(十)1．log 29·log 34的值为( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4答案 D解析原式＝log 232·log 322＝4log 23·log 32＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.2．若log a 23<1(a>0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23 B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫23，1 答案 C解析当0<a<1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a<23；当a>1时，log a 23<log a a ＝1，∴a>1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23∪(1，＋∞)． 3．(2020·河北保定模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c 答案 B解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B. 4．函数y ＝ln1|2x －3|的图象为( )答案 A解析易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D 项．当x>32时，函数为减函数，当x<32时，函数为增函数，所以选A.5．(2019·衡水中学调研卷)若0＜a ＜1，则不等式1log a x ＞1的解是( )A ．x ＞aB ．a ＜x ＜1C ．x ＞1D ．0＜x ＜a答案 B解析易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1.6．(2014·新课标全国Ⅱ，理)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>b D ．a>b>c答案 D解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a>b>c ，故选D.7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x<1，2x －1，x ≥1，则f(－2)＋f(log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析因为－2<1，所以f(－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3. 因为log 212>1，所以f(log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. 所以f(－2)＋f(log 212)＝9.故选C.8．若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a D ．a<c<b答案 C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c<log 2b<log 2a<0，可得c<b<a<1.故选C. 9．(2017·课标全国Ⅱ)设0＜a ＜1，则( ) A ．log 2a>log 2 a B ．log2a>log 2a C ．log 2a<log2aD ．log 2a<log2a答案 B解析 ∵0＜a ＜1，∴0＜a 2＜a ＜a ＜1，∴在A 中，log 2a ＝log 2a ，故A 错误；在B 中，log2a>log 2a ，故B 正确；在C 中，log 2a>log2a ，故C 错误；在D 中，log 2a>log2a ，故D 错误．10．函数f(x)＝2|log 2x|的图象大致是( )答案 C解析 ∵f(x)＝2|log 2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x<1，∴选C.11．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．[2，＋∞) C ．[2，3) D ．(1，3)答案 C解析当0<a<1时，由复合函数与对数函数的性质知，不合题意；当a>1时，要满足⎩⎪⎨⎪⎧12－a ＋2>0，a 2≥1，解得2≤a<3.故a 的取值范围是[2，3)． 12．(2020·湖北宜昌一中模拟)已知函数f(x)＝xln(e 2x ＋1)－x 2＋1，f(a)＝2，则f(－a)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2 答案 B解析方法一：f(x)＋f(－x)＝xln(e 2x ＋1)－x 2＋1＋[－xln(e －2x ＋1)－(－x)2＋1] ＝x[ln(e 2x ＋1)－ln(e －2x ＋1)]－2x 2＋2＝xlne 2x ＋1e －2x ＋1－2x 2＋2＝xlne 2x －2x 2＋2＝2x 2－2x 2＋2＝2，所以f(a)＋f(－a)＝2，因为f(a)＝2，所以f(－a)＝2－f(a)＝0.故选B.方法二：∵f(a)＝aln(e 2a ＋1)－a 2＋1＝2，∴f(－a)＝－aln(e －2a ＋1)－a 2＋1＝－aln 1＋e 2ae2a －a 2＋1＝－aln(1＋e 2a )＋2a 2－a 2＋1＝－aln(e 2a ＋1)＋a 2＋1＝－[aln(e 2a ＋1)－a 2＋1]＋2 ＝－f(a)＋2＝0.故选B.13．(1)若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则a ∈________，x ∈________． (2)若log a 3<log a π，则实数a 的取值范围是________． (3)若log 3a<log πa ，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)(1，＋∞) (1，＋∞) (2)a>1 (3)0<a<1 14．(2020·沧州七校联考)函数f(x)＝log 2x ·log 2(2x)的最小值为________．答案－14解析 f(x)＝12log 2x ·[2(log 2x ＋1)]＝(log 2x)2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14，∴当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f(x)最小值为－14. 15．(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)＝lgx ，若f(ab)＝1，则f(a 2)＋f(b 2)＝________．答案 2解析由f(ab)＝1，得ab ＝10.于是f(a 2)＋f(b 2)＝lga 2＋lgb 2＝2(lg|a|＋lg|b|)＝2lg|ab|＝2lg10＝2.16．设函数f(x)＝|lgx|，(1)若0<a<b 且f(a)＝f(b)．证明：ab ＝1； (2)若0＜a ＜b 且f(a)＞f(b)．证明：ab ＜1. 答案略证明 (1)由|lga|＝|lgb|，得－lga ＝lgb.∴ab ＝1. (2)由题设f(a)＞f(b)，即|lga|＞|lgb|.上式等价于(lga)2＞(lgb)2，即(lga ＋lgb)(lga －lgb)＞0，lg(ab)lg ab ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜ab＜1. ∴lg ab ＜0，故lg(ab)＜0.∴ab ＜1.。

作业89【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

5 A.
6 25 C. 36 答案 B
6 B.
5 36 D. 25
[( ) ( ) ] ( ) 1 2 1 2
1
12
解析由柯西不等式得[( 2x)2＋( 3y)2]· ＋ ≥ 2x· ＋ 3y·
23
2
3
5
6
32
即(2x2＋3y2)· ≥1，∴2x2＋3y2≥ ，当且仅当 x＝，y＝时取等号．故选 B.
因为 a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，所以(ac＋bd)2≤64，因此 ac＋bd≤8.
{ ){ ) 方法二：∵a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，∴
a＝2cosα， b＝2sinα，
c＝4cosβ， d＝4sinβ，
∴ac＋bd＝8cosαcosβ＋8sinαsinβ＝8cos(α－β)≤8.
( ) ax＋by 2 a2x＋b2y
∴ a＋ b＋2 c≤ 3.
11
1
当且仅当 a＝，b＝，c＝时取等号．选 B.
3 3 12
6．若 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，则 a＋ b＋ c的最大值为________．
答案 3
解析方法一：( a＋ b＋ c)2＝a＋b＋c＋2 ab＋2 bc＋2 ca≤a＋b＋c＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c
a＋3＋ a＋1 a＋2＋ a
1
1
2．若 a>b>1，x＝a＋，y＝b＋，则 x 与 y 的大小关系是( )
a
b
A．x>y
B．x<y
C．x≥y
1
1
ab－1
解析方法一：x－y＝ a＋－ b＋＝(a－b)· ，
a
b
ab

作业18【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

专题层级快练(十八)1．(2019·山东陵县一中月考)已知函数f(x)＝x 2e x ，当x ∈[－1，1]时，不等式f(x)<m 恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．[1e ，＋∞)B ．(1e ，＋∞)C ．[e ，＋∞)D ．(e ，＋∞)答案 D解析由f ′(x)＝e x (2x ＋x 2)＝x(x ＋2)e x ，得当－1<x<0时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当0<x<1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，且f(1)>f(－1)，故f(x)max ＝f(1)＝e ，则m>e.故选D. 2．已知函数f(x)＝x ＋4x ，g(x)＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2 D ．a ≥2 答案 A解析由题意知f(x)min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g(x)min (x ∈[2，3])，因为f(x)min ＝5，g(x)min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.3．(2020·衡水中学调研)设函数f(x)＝ax 2－xlnx －(2a －1)x ＋a －1(a ∈R )．若对任意的x ∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞解析 f ′(x)＝2ax －1－lnx －(2a －1)＝2a(x －1)－lnx(x>0)，易知当x ∈(0，＋∞)时，lnx ≤x －1，则f ′(x)≥2a(x －1)－(x －1)＝(2a －1)(x －1)．当2a －1≥0，即a ≥12时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x)≥0恒成立，f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(1)＝0，符合题意．当a ≤0时，由x ∈[1，＋∞)得f ′(x)≤0恒成立，f(x)在[1，＋∞)上单调递减， f(x)≤f(1)＝0，显然不合题意，a ≤0舍去．当0<a<12时，由lnx ≤x －1，得ln 1x ≤1x －1，即lnx ≥1－1x ，则f ′(x)≤2a(x －1)－⎝⎛⎭⎫1－1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x (2ax －1)． ∵0<a<12，∴12a>1.当x ∈⎣⎡⎦⎤1，12a 时，f ′(x)≤0恒成立，∴f(x)在⎣⎡⎦⎤1，12a 上单调递减， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤1，12a 时，f(x)≤f(1)＝0，显然不合题意，0<a<12舍去．综上可得，a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞.4．(2020·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝ax －e x (a ∈R )，g(x)＝lnxx .(1)求函数f(x)的单调区间；(2)∃x 0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－e x 成立，求a 的取值范围．答案 (1)当a ≤0时，f(x)在R 上单调递减；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)，单调递减区间为(lna ，＋∞) (2)(－∞，12e ]解析 (1)因为f ′(x)＝a －e x ，x ∈R .当a ≤0时，f ′(x)＜0，f(x)在R 上单调递减；当a ＞0时，令f ′(x)＝0得x ＝lna.由f ′(x)＞0得f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)；由f ′(x)＜0得f(x)的单调递减区间为(lna ，＋∞)．(2)因为∃x 0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－e x ，则ax ≤lnx x ，即a ≤lnxx 2.设h(x)＝lnx x 2，则问题转化为a ≤⎝⎛⎭⎫lnx x 2max ，由h ′(x)＝1－2lnx x 3，令h ′(x)＝0，则x ＝ e.当x 在区间(0，＋∞)内变化时，h ′(x)，h(x)的变化情况如下表：由上表可知，当x＝e时，函数h(x)有极大值，即最大值为12e.所以a≤12e.5．(2017·课标全国Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．答案(1)f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增(2)[1，＋∞)解析(1)f′(x)＝(1－2x－x2)e x.令f′(x)＝0得x＝－1－2或x＝－1＋ 2.当x∈(－∞，－1－2)时，f′(x)<0；当x∈(－1－2，－1＋2)时，f′(x)>0；当x∈(－1＋2，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)e x.方法一：当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)e x，h′(x)＝－xe x<0(x>0)，因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，而h(0)＝1，故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.当0<a<1时，设函数g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1>0(x>0)，所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，故e x≥x＋1.当0<x<1时，f(x)>(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝5－4a－12，则x0∈(0，1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)>ax0＋1.当a≤0时，取x0＝5－12，则x0∈(0，1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．方法二：令g(x)＝f(x)－ax－1＝(1－x2)e x－(ax＋1)．g(0)＝0.即当x≥0时，g(x)≤0＝g(0)．g′(x)＝(1－x2－2x)e x－a.g″(x)＝－(x2＋4x＋1)e x.当x ≥0时，g ″(x)<0. ∴g ′(x)在[0，＋∞)单调递减．∴g ′(x)≤g ′(0)＝1－a ，要使g(x)≤g(0)在[0，＋∞)恒成立． ∴1－a ≤0，∴a ≥1.6．已知函数f(x)＝x －(a ＋1)lnx －a x (a ∈R )，g(x)＝12x 2＋e x －xe x .(1)当x ∈[1，e]时，求f(x)的最小值；(2)当a<1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2，0]，f(x 1)<g(x 2)成立，求a 的取值范围．答案 (1)当a ≤1时，f(x)min ＝1－a ；当1<a<e 时，f(x)min ＝a －(a ＋1)lna －1；当a ≥e 时，f(x)min ＝e －(a ＋1)－a e (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1 解析 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝（x －1）（x －a ）x 2.①当a ≤1时，x ∈[1，e]，f ′(x)≥0，f(x)为增函数，f(x)min ＝f(1)＝1－a.②当1<a<e 时，x ∈[1，a]时，f ′(x)≤0，f(x)为减函数；x ∈[a ，e]时，f ′(x)≥0，f(x)为增函数；所以f(x)min ＝f(a)＝a －(a ＋1)lna －1.③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x)≤0，f(x)在[1，e]上为减函数． f(x)min ＝f(e)＝e －(a ＋1)－ae .综上，当a ≤1时，f(x)min ＝1－a ；当1<a<e 时，f(x)min ＝a －(a ＋1)lna －1；当a ≥e 时，f(x)min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知f(x)(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g(x)(x ∈[－2，0])的最小值．由(1)知当a<1时f(x)在[e ，e 2]上单调递增，f(x)min ＝f(e)＝e －(a ＋1)－ae .g ′(x)＝(1－e x )x.当x ∈[－2，0]时，g ′(x)≤0，g(x)为减函数，g(x)min ＝g(0)＝1，所以e －(a ＋1)－ae<1，即a>e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.7．(2020·石家庄市高三一检)已知函数f(x)＝axe x －(a ＋1)(2x －1)． (1)若a ＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a 的取值范围．答案 (1)y ＝－3x ＋2 (2)⎣⎡⎭⎫1e －1，＋∞解析 (1)若a ＝1，则f(x)＝xe x －2(2x －1)， f ′(x)＝xe x ＋e x －4，则f ′(0)＝－3，f(0)＝2，所以所求切线方程为y ＝－3x ＋2. (2)由已知可得，f(1)≥0，得a ≥1e －1>0， f(x)≥0对任意的x>0恒成立可转化为aa ＋1≥2x －1xe x 对任意的x>0恒成立．设函数F(x)＝2x －1xe x (x>0)，则F ′(x)＝－（2x ＋1）（x －1）x 2e x.则函数F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以F(x)max ＝F(1)＝1e .于是a a ＋1≥1e ，解得a ≥1e －1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e －1，＋∞.。

作业3【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

题组层级快练(三)
1．下列命题中是假命题的是( )
A．∃x∈R，log2x＝0 C．∀x∈R，x2>0
B．∃x∈R，cosx＝1 D．∀x∈R，2x>0
答案 C
解析因为 log21＝0，cos0＝1，所以 A、B 均为真命题，02＝0，C 为假命题，2x>0，选项 D 为真命题．
2．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( )
B．∃x0∈∁RQ，x03∈Q D．∀x∈∁RQ，x3∉Q
解析该特称命题的否定为“∀x∈∁RQ，x3∉Q”．
5．已知命题 p：若 x>y，则－x<－y；命题 q：若 x>y，则 x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈
q)；④(綈 p)∨q 中，真命题是( ) A．①③ C．②③
B．①④ D．②④
( )1 x
C．∀x∈R， <0 3
( )1 x
B．∀x∈R， ≤0 3
( )1 x0
D．∃x0∈R， 3 ≤0
答案 D
( )1 x
解析全称命题“∀x∈R， >0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论进行否定， 3
即把“>”改为“≤”．故选 D.
4．命题“∃x0∈∁RQ，x03∈Q”的否定是( ) A．∃x0∉∁RQ，x03∈Q C．∀x∉∁RQ，x3∈Q 答案 D
[ ] 1 9
π
解析令 f(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋ )2－，由于 x∈ 0，，所以 cosx48 Nhomakorabea2
∈[0，1]．于是 f(x)∈[－1，2]，因此实数 m 的取值范围是[－1，2]． 16．已知命题 p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”命题 q：“∃x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，求实数 a 的取值范围．答案 a≤－2 或 a＝1 解析由“p∧q”是真命题，则 p 为真命题，q 也为真命题，若 p 为真命题，a≤x2 恒成立，∵ x∈[1，2]，∴x2∈[1，4]，∴a≤1.若 q 为真命题，即 x2＋2ax＋2－a＝0 有实根，Δ＝4a2－4(2 －a)≥0，即 a≥1 或 a≤－2，综上所求实数 a 的取值范围为 a≤－2 或 a＝1.

作业86【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

题组层级快练(八十六)1．在极坐标系中，极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6的点到极点和极轴的距离分别为( )A ．1，1B ．1，2C ．2，1D ．2，2答案 C解析点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sin θ|，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到极点和极轴的距离分别为2，2sin π6＝1.2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线答案 C解析因为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)．ρ＝1⇒x 2＋y 2＝1，得x 2＋y 2＝1，表示圆心在原点的单位圆；θ＝π(ρ≥0)表示x 轴的负半轴，是一条射线． 3．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，－π3到圆ρ＝－2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B. 4＋π29C.9＋π29D.7答案 D解析在直角坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，圆ρ＝－2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2x ，即(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，所以所求距离为（1＋1）2＋（－3－0）2＝7.故选D.4．(2019·皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π6B.⎝⎛⎭⎫2，π3C.⎝⎛⎭⎫4，π6D.⎝⎛⎭⎫4，π3答案 A解析 ρ(3cos θ－sin θ)＝2可化为直角坐标方程3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，故选A.5．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4 D ．ρcos θ＝－4答案 B解析方法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，C 、D 选项都不符合题意．方法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA|＝4，直线l 和圆相切， l 交极轴于点B(2，0)，点P(ρ，θ)为l 上任意一点，则有cos θ＝|OB||OP|＝2ρ，得ρcos θ＝2.6．在极坐标系中，曲线ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．215 D ．4答案 B解析方法一：化极坐标方程为直角坐标方程得x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0，易知此曲线是圆心为(3，1)，半径为2的圆，如图所示．可计算|AB|＝2 3.方法二：令θ＝0代入方程，得ρ2－6ρ＋6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρA ＋ρB ＝6，ρA ·ρB ＝6.∴|AB|＝|ρA －ρB |＝2 3. 7．(2016·北京)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB|＝________．答案 2解析将直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将圆ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，则圆心坐标(1，0)，半径为1，由于圆心(1，0)在直线x －3y －1＝0上，因此|AB|＝2.8．(2018·北京，理)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a(a>0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________．答案 1＋ 2解析利用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得直线的方程为x ＋y －a ＝0，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心(1，0)，半径r ＝1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a|2＝1，∴a ＝1＋2或1－2，又a>0，∴a ＝1＋ 2.9．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2与曲线C 2：ρ＝4sin θ(π2<θ<π)交点的极坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎫2，5π6解析由题意分析可得，曲线C 1是圆心为(0，0)，半径为2的圆，曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝4.对ρ＝4sin θ变形得ρ2＝4ρsin θ，所以曲线C 2的方程为x 2＋y 2＝4y.联立两个方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1.又∵π2<θ<π，∴交点为(－3，1)，转化为极坐标ρ＝2，tan θ＝1－3，由题意θ＝5π6，所以交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，5π6.10．在极坐标系中，设曲线C 1：ρ＝2sin θ与C 2：ρ＝2cos θ的交点分别为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为________．答案 ρsin θ＋ρcos θ＝1⎝⎛⎭⎫或ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22解析曲线C 1：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 2：ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，所以AB 的方程为－x ＋y ＝0.又易知AB 的垂直平分线斜率为－1，经过圆C 1的圆心(0，1)，所以AB 的垂直平分线的方程为x ＋y －1＝0，化为极坐标方程为ρsinθ＋ρcos θ＝1，或化成ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.11．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，半径r ＝2，点P 的极坐标为(2，π)，过P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点． (1)求圆C 的直角坐标方程； (2)求|PA|·|PB|的值．答案 (1)(x －1)2＋(y －1)2＝2 (2)8解析 (1)圆C 的圆心的极坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)点P 的极坐标为(2，π)，化为直角坐标为P(－2，0)．当直线l 与圆C 相切于点D 时，则|PD|2＝|PC|2－r 2＝(－2－1)2＋(0－1)2－(2)2＝8. ∴|PA|·|PB|＝|PD|2＝8.12．(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1: x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．答案 (1)C 1：ρcos θ＝－2 C 2：ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0 (2)S ＝12解析 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2，|MN|＝ρ1－ρ2＝2，因为C 2的半径为1，则△C 2MN 的面积S ＝12×2×1×sin π4＝12.13．(2020·福州质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝2.已知点Q 为曲线C 1上的动点，点P在线段OQ 上，且满足|OQ|·|OP|＝4，动点P 的轨迹为C 2. (1)求C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△AOB 面积的最大值．答案 (1)⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1(不包含点(0，0)) (2)32 解析 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ )(ρ>0)，Q 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设，知|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，由|OQ|·|OP|＝4，得C 2的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π6)(ρ>0)，因此C 2的直角坐标方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1，但不包括点(0，0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)，由题设知|OA|＝2，ρB ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，于是△AOB 面积S ＝12|OA|·ρB ·sin ∠AOB ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3|＝2|sin 2α－34|≤32，当α＝0时，S 可取得最大值32，所以△AOB 面积的最大值为32.14．(2019·课标全国Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A(2，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎫2，3π4，D(2，π)，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ，曲线M 2是弧BC ，曲线M 3是弧CD.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP|＝3，求P 的极坐标．答案 (1)ρ＝2cos θ(0≤θ≤π4) ρ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫π4≤θ≤3π4 ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎫3π4≤θ≤π (2)⎝⎛⎭⎫3，π6或⎝⎛⎭⎫3，π3或(3，2π3)或(3，5π6)解析 (1)由题意可知M 1，M 2，M 3的直角坐标方程分别为：(x －1)2＋y 2＝1(2≥x ≥1，1≥y ≥0)，x 2＋(y －1)2＝1(－1≤x ≤1，1≤y ≤2)，(x ＋1)2＋y 2＝1(－2≤x ≤－1，0≤y ≤1)，所以M 1，M 2，M 3的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ(0≤θ≤π4)，ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，ρ＝－2cosθ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π. (2)设P(ρ，θ)由题设及(1)知，若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，cos θ＝32，θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，sin θ＝32，θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，cos θ＝－32，θ＝5π6，所以P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或(3，2π3)或(3，5π6)．。

作业77【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

专题层级快练(七十七)1．(2020·湖北宜昌一中月考)从1到10十个数中，任意选取4个数，其中，第二大的数是7的情况共有( )A ．18种B ．30种C ．45种D ．84种答案　C解析　分两步：先从8，9，10这三个数中选取一个数做最大的数有C 31种方法；再从1，2，3，4，5，6这六个数中选取两个比7小的数有C 62种方法，故共有C 31C 62＝45种情况，应选择C.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 答案　B解析　将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C 53C 22×2＝20(种)，故选B.3．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．16种 C ．18种 D ．36种答案　C解析　可先分组再排列，所以有C 42A 33＝18种放法．124．(2020·广东省实验中学月考)甲、乙、丙三个部门分别需要招聘工作人员2名，1名，1名，现从10名应聘人员中招聘4人到甲、乙、丙三个部门，那么不同的招聘方法共有( ) A ．1 260种 B ．2 025种 C ．2 520种 D ．5 040种答案　C解析　先从10人中选2人去甲部门，再从剩下的8人中选2人去乙、丙两个部门，有C 102A 82＝2 520种不同的招聘方法．5．(2020·长春普通高中检测)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A ，B ，C 三个班级中，要求每个班级至少分到1人，则甲被分到A 班的分法种数为( ) A ．6B ．12C ．24D ．36答案　B解析　甲和另一个人一起分到A 班的方法有C 31A 22＝6(种)，甲一个人分到A 班的方法有C 32A 22＝6(种)，所以共有12种分法．故选B.6．(2017·课标全国Ⅱ，理)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种答案　D解析　因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2，1，1，有＝6(种)，再分配C 42C 21C 11A 22给3个人，有A 33＝6种，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．7．(2020·安徽毛坦厂中学月考)今年，我校迎来了安徽师范大学数学系5名实习教师，若将这5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有( ) A ．180种 B ．120种 C ．90种 D ．60种答案　C解析　将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少一名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1个，另两组都是2人，有＝15种方法．再将3组分到3个班，C 51·C 42A 22共有15·A 33＝90种不同的分配方案．故选C.8．(2019·山西大同一模)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为( ) A ．C 102A 84 B ．C 91A 95 C ．C 81A 95 D ．C 81A 85 答案　C解析　先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C 81种方法，再排剩余的瓶子，有A 95种方法，故不同的放法共有C 81A 95种，故选C.9．把甲、乙等6人分成两组(各组人数不一定相同)，则甲、乙不在同一组的分法共有( ) A ．12种 B ．16种 C ．24种 D ．32种答案　B解析　当甲所在的组只有1人时，共有C 40＝1种分法；当甲所在的组有2人时，共有C 41＝4种分法；当甲所在的组有3人时，共有C 42＝6种方法；当甲所在的组有4人时，共有C 43＝4种分法；当甲所在的组有5人时，共有C 44＝1种分法．所以共有1＋4＋6＋4＋1＝16种分法．故选B.10．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( ) A ．18 B ．24 C ．30 D ．36答案　C解析　排除法．先不考虑甲、乙同班的情况，将4人分成三组有C 42＝6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A 33＝6种分配方法，再考虑甲、乙同班的分配方法有A 33＝6种，所以共有C 42A 33－A 33＝30种分法．故选C.11．某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( ) A ．144 B ．72 C ．36 D ．48答案　C解析　分两步完成：第一步将4名调研员按2，1，1分成三组，其分法有种；第二C 42C 21C 11A 22步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有×A 33C 42C 21C 11A22＝36(种)．12．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( ) A ．24 B ．36 C ．40 D ．44答案　D解析　分以下四种情况讨论：(1)两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有C 42×2×2＝24种情况；(2)四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有C 42C 21＝12种情况；(3)一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有C 41＝4种情况；(4)一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有C 41＝4种情况．综上所述，共有24＋12＋4＋4＝44种不同的情况．故选D.13．某学校有5位教师参加某师范大学组织的暑期骨干教师培训，现有5个培训项目，每位教师可任意选择其中一个项目进行培训，则恰有两个培训项目没有被这5位教师中的任何一位教师选择的情况数为( ) A ．5 400 B ．3 000 C ．150 D ．1 500答案　D解析　分两步：第一步：从5个培训项目中选取3个，共C 53种情况；第二步：5位教师分成两类：①选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，1人，3人，共C 53种情况；②选择选出的3个培训项目的教师人数分别为1人，2人，2人，共C 52C 32A22种情况．故选择情况数为C 53··A 33＝1 500(种)． (C 53＋C 52C 32A22)14．(2020·人大附中期末)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．答案　60解析　分情况：一种情况将有奖的奖券按2张，1张分给4个人中的2个人，种数为C 32C 11A 42＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 43＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)．15．某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A 不分配到甲班的分配方案种数是________．答案　100解析　A 的分配方案有2种，若A 分配到的班级不再分配其他学生，则把其余四人分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是(C 43＋)A 22＝14；若A 分配到的班级再分配一名C 42C 22A 22学生，则把剩余的三名学生分组后分配到另外两个班级，分配方法种数是C 41C 31A 22＝24；若A 分配到的班级再分配两名学生，则剩余的两名学生就分配到另外的两个班级，分配方法种数是C 42A 22＝12.故总数为2×(14＋24＋12)＝100.16．(2020·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有________种不同的抽调方法．答案　84解析　方法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 71种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 72种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 73种．故共有C 71＋A 72＋C 73＝84种抽调方法．方法二：(隔板法)，由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有C 96＝84种抽调方法．。

作业70【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

x02 y02
又因为点
P
在椭圆上，所以＋ 2c2
c2
＝1，由以上两式可得
3x02＋4cx0＝0.
因为 P 不是椭圆的顶点，
( ) 4
1
41
所以
x0＝－3c，y0＝3c，故
P
－ c， c 33
.
2
2
设圆心为(x1，y1)，则 x1＝－3c，y1＝3c，
5 圆的半径 r＝（x1－0）2＋（y1－c）2＝ c.
∴4t＝2，即 t＝ . 2
∴直线 l 的方程为 2x－y－1＝0.
( )p
(2)∵抛物线 C：y2＝2px(p>0)，∴焦点 F 的坐标为，0 . 2
p 由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0，直线 l 过焦点 F，故设直线 l 的方程为 x＝ty＋ (t≠0)，
2
设 A (x1，y1)，B(x2，y2)．
＝－，整理得 m＝
＝
4k2
k
4k2＋3
∈ 0， .
3
4
m－4k2＋3
4＋k2
( )1
所以在线段 OF2 上存在点 M(m，0)，使得 MN⊥PQ，m 的取值范围为 0，4 .
2．(2019·吉林一中二模)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)与直线 x－ 2y＋4＝0 相切．
(1)求该抛物线的方程；
得 x1＋x2＝4k2＋3，故 x0＝
2
＝
.
4k2＋3
y1＋y2 k（x1－1）＋k（x2－1） k
－3k
又点 N 在直线 PQ 上，所以 y0＝ 2 ＝
2
＝2(x1＋x2－2)＝4k2＋3，所以
( ) 4k2 －3k

作业87【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

题组层级快练(八十七)1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tsin70°，y ＝2＋tcos70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°答案 B解析方法一：将直线参数方程化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos20°，y ＝2＋tsin20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B.方法二：tan α＝cos70°sin70°＝sin20°cos20°＝tan20°，∴α＝20°.另外，本题中直线方程若改为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－tsin70°，y ＝2＋tcos70°，则倾斜角为160°.2．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案 D3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，这是圆心为(－3，4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.4．(2020·皖南八校联考)若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 为( )A ．－4或6B ．－6或4C ．－1或9D ．－9或1答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m)2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋1＝5，解得m ＝－4或m ＝6.5．(2019·北京朝阳二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个答案 B解析直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t(t 为参数)化为普通方程得x －y ＋4＝0；曲线C ：ρ＝42sin(θ＋π4)化成普通方程得(x －2)2＋(y －2)2＝8，∴圆心C(2，2)到直线l 的距离为d ＝|2－2＋4|2＝22＝r.∴直线l 与圆C 只有一个公共点，故选B.6．(2019·人大附中模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＋2sin θ＝0，若在圆C 上存在一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小，则点P 的直角坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫32，－12解析由已知，得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋1＋23，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，在圆C 上任取一点P(cos α，－1＋sin α)(α∈[0，2π))，则点P 到直线l 的距离为d＝|3cos α＋sin α－2－23|1＋3＝|2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2－23|2＝2＋23－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π32.∵α∈[0，2π]，∴当α＝π6时，d min ＝3，此时P ⎝⎛⎭⎫32，－12.7．(2018·天津，理)已知圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为C ，直线⎩⎨⎧x ＝－1＋22t ，y ＝3－22t (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则△ABC 的面积为________．答案 12解析直线的普通方程为x ＋y －2＝0，圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C(1，0)，半径为1，点C 到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|1＋0－2|2＝22，所以|AB|＝21－⎝⎛⎭⎫222＝2，所以S △ABC ＝12×2×22＝12.8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为________．答案 2 2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t (t 为参数)消去t ，得直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0.由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ，得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2. 方法一：设曲线C 上的点为P(1＋2cos α，1＋2sin α)，则点P 到直线l 的距离为d ＝|1＋2cos α＋1＋2sin α－4|2＝|2（sin α＋cos α）－2|2＝|2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－2|2.当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，d max ＝22，所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2.方法二：设与直线l 平行的直线为l ′：x ＋y ＋b ＝0，当直线l ′与圆C 相切时，得|1＋1＋b|2＝2，解得b ＝0或b ＝－4(舍去)，所以直线l ′的方程为x ＋y ＝0.所以直线l 与直线l ′的距离为d ＝|0＋4|2＝2 2.所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2.方法三：圆心到直线l 的距离为|1＋1－4|2＝2，所以直线l 与圆相切，因此圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为直径长，即2 2.9．(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝10，求l 的斜率．答案 (1)ρ2＋12ρcos θ＋11＝0 (2)153或－153解析 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB|＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.10．(2018·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝2＋tsin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率．答案 (1)x 24＋y 216＝1 x ＝1或y ＝xtan α＋2－tan α (2)－2解析 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝xtan α＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.11．(2019·天星大联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝－1＋22t(t 为参数)．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos(θ＋π4)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)若P(0，－1)，求|PA|＋|PB|；(2)若点M 是曲线C 上不同于A ，B 的动点，求△MAB 的面积的最大值．答案 (1)2103 (2)1059解析 (1)ρ＝22cos(θ＋π4)可化为ρ＝2cos θ－2sin θ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.将直线l 的参数方程化为⎩⎨⎧x ＝13t ′，y ＝－1＋223t ′(t ′为参数)，代入(x－1)2＋(y ＋1)2＝2，得t ′2－23t ′－1＝0，设方程的解为t ′1，t ′2，则t ′1＋t ′2＝23，t ′1t ′2＝－1，因而|PA|＋|PB|＝|t ′1|＋|t ′2|＝|t ′1－t ′2| ＝（t ′1＋t ′2）2－4t ′1t ′2＝2103.(2)将直线l 的参数方程化为普通方程为22x －y －1＝0，设M(1＋2cos θ，－1＋2sin θ)，由点到直线的距离公式，得M 到直线AB 的距离为d ＝|22（1＋2cos θ）＋1－2sin θ－1|3＝|22＋4cos θ－2sin θ|3＝|22＋32sin （φ－θ）|3，故d 的最大值为523，由(1)知|AB|＝|PA|＋|PB|＝2103，因而△MAB 面积的最大值为12×523×2103＝1059.12．(2020·唐山摸底考试)在极坐标系中，曲线C 的方程ρ2－22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－4＝0，以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数，0≤α<π)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求||OA|－|OB||的取值范围．答案 (1)(x －1)2＋(y －1)2＝6 (2)[0，22]解析 (1)由ρ2－22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－4＝0得，ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ－4＝0，所以x 2＋y 2－2x －2y －4＝0，即曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝6.(2)将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2－2x －2y －4＝0并整理得t 2－2(sin α＋cos α)t －4＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)，t 1t 2＝－4<0.||OA|－|OB||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝|2(sin α＋cos α)|＝|22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4|，因为0≤α<π，所以π4≤α＋π4<5π4，从而得－2<22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤2 2.所以||OA|－|OB||的取值范围是[0，22]．13．(2020·福建省高三质检)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t (t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4. (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM|. 答案 (1)x 22＋y 2＝1 (1，1) (2)5541解析 (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2，① 将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y)，因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1)．(2)方法一：将⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t ，代入x22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM|＝|t 1＋t 22|＝5541.方法二：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880>0，所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M ⎝⎛⎭⎫841，－341. 所以|PM|＝⎝⎛⎭⎫841－12＋⎝⎛⎭⎫－341－12＝⎝⎛⎭⎫－33412＋⎝⎛⎭⎫－44412＝5541.。

作业16【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

题组层级快练(十六)1．当x>0时，f(x)＝x ＋4x 的单调递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)答案 B解析 f ′(x)＝1－4x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2<0，又∵x>0，∴x ∈(0，2)，∴选B.2．已知e 为自然对数的底数，则函数y ＝xe x 的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1] 答案 A解析令y ′＝(1＋x)e x ≥0.∵e x >0，∴1＋x ≥0，∴x ≥－1，选A.3．(2015·陕西)设f(x)＝x －sinx ，则f(x)( ) A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数答案 B解析易得f(x)是奇函数，由f ′(x)＝1－cosx ≥0恒成立，可知f(x)是增函数，故选B. 4．函数f(x)＝lnx －ax(a>0)的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1a B.⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，1a D ．(－∞，a)答案 A解析由f ′(x)＝1x －a>0，得0<x<1a .∴f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . 5．(2020·广东六校联考)已知函数f(x)＝1＋x －sinx ，则f(2)，f(3)，f(π)的大小关系正确的是( )A ．f(2)>f(3)>f(π)B ．f(3)>f(2)>f(π)C ．f(2)>f(π)>f(3)D ．f(π)>f(3)>f(2)答案 D解析 f ′(x)＝1－cosx ，当x ∈(0，π]时，f ′(x)>0，所以f(x)在(0，π]上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)．故选D.6．(2020·湖北宜昌一中模拟)已知函数f(x)＝12x 3＋ax ＋4，则“a>0”是“f(x)在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f ′(x)＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件．故选A.7．(2019·四川双流中学)若f(x)＝x 3－ax 2＋1在(1，3)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，3] B.⎣⎡⎭⎫92，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫3，92 D ．(0，3)答案 B解析因为函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(1，3)上单调递减，所以f ′(x)＝3x 2－2ax ≤0在(1，3)上恒成立，即a ≥32x 在(1，3)上恒成立．因为32<92，所以a ≥92.故选B.8．若函数y ＝a(x 3－x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－33，33，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0 C ．a ＞1 D ．0＜a ＜1答案 A解析 y ′＝a(3x 2－1)＝3a ⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33，若函数y ＝a(x 3－x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－33，33，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－33，33时，y ′＜0，∵⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33＜0，∴a ＞0. 9．f ′(x)是f(x)的导函数，若f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )答案 C解析由导函数的图象可知，当x<0时，f ′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x 1时，f ′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x 1时，f ′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C 正确．故选C.10．(2020·河北邯郸一中模拟)函数y ＝ln|x|x的图象大致是( )答案 C解析易知函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除B.又当x>0时，y ＝lnxx ，y ′＝1－lnx x 2，当x ∈(0，e)时，y ′>0，当x ∈(e ，＋∞)时，y ′<0，所以函数y ＝ln|x|x在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，排除A 、D.故选C.11．若函数f(x)＝kx －lnx 在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 D解析因为f(x)＝kx －lnx ，所以f ′(x)＝k －1x.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x>1时，f ′(x)＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.12．(2019·合肥一中模拟)函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)·f ′(x)<0，设a ＝f(0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f(3)，则( ) A ．a<b<c B ．c<a<b C ．c<b<a D ．b<c<a答案 B解析由f(x)＝f(2－x)，可得对称轴为x ＝1，故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)．又x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x)<0，可知f ′(x)>0.即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)<f(0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即c<a<b.13．(2020·湖北荆州质检)函数f(x)＝lnx －12x 2－x ＋5的单调递增区间为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，再由f ′(x)＝1x －x －1>0可解得0<x<5－12.14．已知函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)． (1)实数k 的值为________；(2)若f(x)在(0，4)上为减函数，则实数k 的取值范围是________．答案 (1)13(2)⎝⎛⎦⎤0，13 解析 (1)f ′(x)＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)＝0，解得k ＝13.(2)由f ′(x)＝3kx 2＋6(k －1)x ≤0并结合导函数的图象可知，必有－2（k －1）k ≥4，解得k ≤13.又k>0，故0<k ≤13.15．函数f(x)＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上单调递减，求实数a 的取值范围．答案 ⎣⎡⎭⎫103，＋∞解析方法一：f ′(x)＝x 2－ax ＋1.∵f(x)在⎝⎛⎭⎫12，3上单调递减， ∴f ′(x)≤0在⎝⎛⎭⎫12，3上恒成立，即x 2－ax ＋1≤0在⎝⎛⎭⎫12，3上恒成立， ∴ax ≥x 2＋1，∴a ≥⎝⎛⎭⎫x ＋1x max.令g(x)＝x ＋1x ，g(x)在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，在(1，3)上单调递增．当x ＝3时，g(3)＝103>g ⎝⎛⎭⎫12＝52，∴a ≥103.方法二：由题意f ′(x)＝x 2－ax ＋1，∵函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫12，3上单调递减，∴f ′(x)≤0在区间⎝⎛⎭⎫12，3上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫12≤0，f ′（3）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧14－12a ＋1≤0，9－3a ＋1≤0，解得a ≥103，∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫103，＋∞.方法三：f ′(x)＝x 2－ax ＋1，Δ＝a 2－4， ①a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，f ′(x)≥0恒成立，此时f ′(x)单调递增．②a 2－4>0即a>2或a<－2时，令f ′(x)<0，此时a －a 2－42<x<a ＋a 2－42， ∴f(x)的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42. 由题意⎝⎛⎭⎫12，3⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －a 2－42≤12，a ＋a 2－42≥3，解得a ≥103.16．设函数f(x)＝x(e x －1)－ax 2. (1)若a ＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围．答案 (1)单调递增区间为(－∞，－1]，[0，＋∞)，单调递减区间为(－1，0) (2)(－∞，1]解析 (1)当a ＝12时，f(x)＝x(e x －1)－12x 2，f ′(x)＝e x －1＋xe x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1]时，f ′(x)＞0；当x ∈(－1，0)时，f ′(x)＜0；当x ∈[0，＋∞)时，f ′(x)＞0. 故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减． (2)f(x)＝x(e x －1－ax)．令g(x)＝e x －1－ax ，则g ′(x)＝e x －a.若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x ≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.若a ＞1，则当x ∈(0，lna)时，g ′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x ∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综上得a 的取值范围为(－∞，1]． 17．(2018·天津)已知函数f(x)＝a x ，g(x)＝log a x ，其中a>1. (1)求函数h(x)＝f(x)－xlna 的单调区间；(2)若曲线y ＝f(x)在点(x 1，f(x 1))处的切线与曲线y ＝g(x)在点(x 2，g(x 2))处的切线平行，证明x 1＋g(x 2)＝－2lnlnalna.答案 (1)h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞) (2)略解析 (1)由已知，h(x)＝a x －xlna ，有h ′(x)＝a x lna －lna. 令h ′(x)＝0，解得x ＝0.由a>1，可知当x 变化时，h ′(x)，h(x)的变化情况如下表：所以函数h(x)(2)证明：由f ′(x)＝a x lna ，可得曲线y ＝f(x)在点(x 1，f(x 1))处的切线斜率为ax 1lna.由g ′(x)＝1xlna，可得曲线y ＝g(x)在点(x 2，g(x 2))处的切线斜率为1x 2lna.因为这两条切线平行，故有ax 1lna ＝1，即x2ax1(lna)2＝1，两边取以a为底的对数，得log a x2＋x1＋2log a lna＝0，所以x1＋g(x2) x2lna＝－2lnlnalna.。

2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷(十七)理科数学

2021届河北衡水金卷新高考原创预测试卷（十七）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题1. 函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（） A. ()1,0- B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()1,2【答案】C 【解析】【分析】根据零点存在原理求出每个区间端点的函数值即可选出正确答案.【详解】311(1)(1)()302f --=--=-<，301(0)0()102f =-=-<，13211112()()()022282f =-=-<，31111(1)1()10222f =-=-=>， 321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C【点睛】本题考查了零点存在原理，考查了数学运算能力.2. 垃圾分类是一种新时尚，沈阳市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现对沈阳市甲、乙两个小区进行评比，从中各随机选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分.评分后得到如下茎叶图.通过茎叶图比较甲、乙两个小区得分的平均值及方差大小（）A. x x <甲乙，22s s <甲乙 B. x x >甲乙，22s s <甲乙 C. x x <甲乙，22s s >甲乙D. x x >甲乙，22s s >甲乙【答案】C 【解析】【分析】根据茎叶图数据分布，比较最小值与最大值以及中间数值可以确定平均值大小，根据数据分布集中情况确定方差大小，即可选择.【详解】因为甲的最大值比乙小，甲的最小值比乙小，甲的中间数值没乙的中间数值大，所以x x <甲乙；因为甲数据没有乙的数据集中，所以22s s >甲乙.故选：C【点睛】本题考查根据茎叶图判断平均值与方差大小，考查基本分析判断能力，属基础题.3. 已知复数z 在复平面中对应的点(,)x y 满足22(1)1x y -+=，则|(22)|z i -+的最大值是（）12+D. 2【答案】B 【解析】【分析】|(22)|z i -+转化为圆22(1)1x y -+=上的点(,)x y 与点()2,2的距离，利用圆心到直线的距离可得答案.【详解】解：|(22)|z i -+的几何意义为圆22(1)1x y -+=上的点(,)x y 与点()2,2的距离，则max |(22)|1z i -+=.故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查圆上一点到定点的距离最值问题，是基础题. 4. 已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（） A.14B.12C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】结合等差中项的性质，将已知条件转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值.【详解】由于467,1,a a a +成等差数列，所以()64721a a a +=+，所以()64735214a a a a a ⎧+=+⎨=⎩，即()5361112411214a q a q a q a q a q ⎧+=+⎪⎨⋅=⎪⎩，解得11,24a q ==.故选：C【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等差中项的性质，属于基础题.5. 已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值A. (–1,3)B. (–1,3)C. (0,3)D. (0,3)【答案】A 【解析】由题意知：双曲线的焦点在x轴上，所以2324m n mn ++-=，解得21m=，因为方程21231xnyn+--=表示双曲线，所以{1030n n +>->，解得{13n n >-<，所以n 的取值范围是(1,3)-，故选A ．【考点】双曲线的性质【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c 而不是c,这一点易出错.6. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(2,4)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：()2~,X Nμσ则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=．）A. 906B. 340C. 2718D. 3413【答案】B 【解析】由正态分布曲线的特点，数形结合可得落入阴影部分的概率，乘以10000可得答案. 【详解】解：∵()2~,4X N -， ∴阴影部分的面积11(02)[(62)(40)](0.95450.6827) 0.135922S P X P x P x =≤≤=-≤≤--≤≤=-=，则在正方形中随机投一点，该点落在阴影内的概率为0.13594P =，∴落入阴影部分的点的个数的估计值为0.135910000339.753404⨯=≈. 故选：B.【点睛】本题考查正态分布曲线的特点，数形结合是解决问题的关键，属基础题.7. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞和0,1x x ==处函数的特征即可确定函数图像.【详解】函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =处取得极大值，∴当1x >时，()0f x '<；当1x =时，()0f x '=；当1x <时，()0f x '>.0x ∴<时，()0y xf x '=->，01x <<时，()0y xf x '=-<，当0x=或1x=时，()0y xf x'=-=；当1x>时，()0xf x'->.故选：B【点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.8. 若x，y满足约束条件40,20,20,x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y=+的最大值为26a+，则a的取值范围是（）A. [1,)-+∞ B. (,1]-∞- C. (1,)-+∞ D. (,1)-∞-【答案】A【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y=+的最大值为26a+，所以z ax y=+在点(2,6)A处取得最大值，则1a-≤，即1a≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．9. 已知实数0x>,0y>，则“224x y+≤”是“1xy≤”的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.【详解】22x y +≥且224x y+≤ ，422x y ∴≤⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.故选:C【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.10. 如果将函数y x x =+的图象向右平移02πθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位得到函数3sin cos (0)y x a x a =+<的图象，则tan θ的值为（）A. 2B.12C.13D. 3【答案】A 【解析】【分析】先根据左右平移不改变最值求得a ，再根据平移规律列θ等量关系，最后根据两角差正切公式解得结果.2101a a a ==<∴=-因为)4y x x x π==+，向右平移θ个单位得到)cos()sin sin()cos 444y x x x πππθθθ=-+=--，而3sin cos 3sin cos y x a x x x =+=-，cos()sin()144ππθθ-=-=-，即1tan()43πθ-=- 从而11()3)]tan ta 211()3n[(44ππθθ--+-==-=-故选：A【点睛】本题考查三角函数图象变换以及两角差正切公式，考查综合分析求解能力，属中档题.11. 过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=，由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，从而得到()2||21AB p k =+，同理可得21||2(1)CD p k=+，再利用111||||4AB CD +=求得p 的值，当Q ，P ，M 三点共线时，即可得答案. 【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为(0,)2p，则直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为2p y kx =+，代入22x py =得：2220x pkx p --=. 由根与系数的关系得2A B x x pk +=，2A B x x p =-，所以()2||21AB p k=+.又直线CD 的方程为12p y x k =-+，同理21||2(1)CD p k=+，所以221111111||||2(1)242(1)AB C p k p kD p +=+==++，所以24p =.故24x y =.过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得||||PF PM =.所以||||||||||3PF PQ PM PQ MQ +=+≥=，当Q ，P ，M 三点共线时，等号成立. 故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件. 12. 如图，矩形ABCD 中，2,AB AD E =为边AB 的中点，将ADE ∆直线DE 翻转成1(A DE A ∆∉平面ABCD )，若,M O 分别为线段1,A C DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（）A. 与平面1A DE 垂直的直线必与直线MB 垂直B. 异面直线BM 与1A E 所成角是定值C. 一定存在某个位置，使DE MO ⊥D. 三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值【答案】C 【解析】【详解】取DC 中点N ，连MN,NB,则1/?/,//MN A D NB DE ，所以平面/?/MNB 平面1A DE ，即/?/MB 平面1A DE ，A 正确；取1A D 的中点为F,连接MF,EF ，则平面BEFM 是平行四边形，所以1A EF ∠为异面直线BM 与1A E 所成角，故B 正确；A 关于直线DE 对称点N ，则DE ⊥平面1A AN ，即过O 与DE 垂直的直线在平面1A AN 上，故C 错误；三棱锥1A ADE-外接球的半径为2AD，故D正确.故选C.二、填空题13. 已知单位向量a与向量()1,2b=方向相同，则向量a的坐标是______.【答案】5555⎛⎫⎪⎪⎝⎭【解析】【分析】设向量(),a x y=，由条件列方程组求解.【详解】设向量(),a x y=，则2212x yx y⎧+=⎨=⎩，解得525xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或525xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由于向量a与向量b 方向相同，所以525,55a⎛=⎝⎭.故答案为：5555⎛⎫⎪⎪⎝⎭【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，意在考查基本公式和计算，属于基础题型.14. 已知等差数列{}n a的前n项和为n S，且1310a a+=，972S=.数列{}n b中，12b=，12n nb b+=-.则72020a b=________.【答案】10-【解析】【分析】先根据条件解得等差数列{}n a 公差与首项，即得7a ；再根据12n n b b +=-解得{}n b 通项公式，即得2020b ，最后求积得结果. 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，则由1310a a +=，972S =得112210,93672a d a d +=+=，1714,1610a d a a d ∴==∴=+= 112222n n n n n n b b b b b b ++++=-∴=-∴=因为12b =，所以1222020211b b b b =-⇒=-∴=-7202010a b ∴=-故答案为：10-【点睛】本题考查等差数列通项公式以及由递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.15. 若35()(2)x y x y a +-+的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x 且x 的次数为1的项的系数为___________. 【答案】0 【解析】【分析】取1x y ==，计算得到1a =，再利用二项式定理计算系数得到答案.【详解】取1x y ==，则35()(2)x y x y a +-+的展开式中各项系数的和为：()5321256a ⨯+=.故1a =，则()()3355()(2)21x y x y x y x y a +-+=+-+，()3x y +的展开式：313m m m m T C x y -+=；()521x y -+的展开式：()()51521nnnn T C x y -+=-+取2,5m n ==得到：()5225351C xy C y ⋅-+，取1y =得到系数为0；取3,4m n ==得到：()43343521C y C x y ⋅⋅-+，取1y =得到系数为0；综上所述：该展开式中含字母x 且x 的次数为1的项的系数为0。

作业30【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

专题层级快练(三十)1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c)，然后给出了三种测量方案： ①测量A ，C ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a ，则一定能确定A ，B 间的距离的方案的序号为()A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③答案 D解析由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.2.(2019·广东中山上学期期末)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为()A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m答案 A解析由题意，得B ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsinB，∴AB ＝AC·sin ∠ACB sinB ＝50×2212＝50 2 (m)．故选A.3．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为( ) A ．1千米 B ．2sin10° 千米 C ．2cos10° 千米 D ．cos20° 千米答案 C解析由题意知DC ＝BC ＝1，∠BCD ＝160°，∴BD 2＝DC 2＋CB 2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1·cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos 210°，∴BD ＝2cos10°.4.(2019·湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝( ) A ．5 6 B ．15 3 C ．5 2 D ．15 6答案 D解析在△BCD 中，∠CBD ＝180°－45°＝135°.由正弦定理得BC sin30°＝30sin135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BCtan ∠ACB ＝152×3＝15 6.故选D.5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m 答案 A解析设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得(3h)2＝h 2＋1002－2·h·100·cos60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.6.(2014·课标全国Ⅰ)如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°.从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m. 答案 150解析在△ABC 中，AC ＝1002，在△MAC 中，MA sin60°＝AC sin45°，解得MA ＝1003，在△MNA中，MN1003＝sin60°＝32，故MN＝150，即山高MN为150 m.7．(2020·江西南昌市模拟)某高一学习小组为测出一绿化区域的面积，进行了一些测量工作，最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，AB＝2 km，BC＝1 km，∠BAD＝45°，∠B＝60°，∠BCD＝105°，则该绿化区域的面积是________km2.答案6－34解析如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝ 3 km，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°.由正弦定理，得ACsin∠ADC＝ADsin∠DCA，即AD＝AC×sin∠DCAsin∠ADC＝3×6－2412＝32－62(km)，故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝12×1×3＋12×⎝⎛⎭⎪⎫32－622×12＝6－34(km2)．8．(2020·河北唐山摸底)一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶80海里到M处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处，再沿南偏东30°方向行驶303海里至B岛，则A，B两岛之间的距离是________海里．答案70解析在△AMN中，由余弦定理得AN2＝AM2＋MN2－2AM·MN·cos∠AMN∴AN＝70.cos∠MAN＝AM2＋AN2－MN22AM·AN＝1114.∴cos∠ANB＝cos(30°＋∠MAN)＝3314.∴由余弦定理得AB ＝AN 2＋NB 2－2·AN·NB·cos ∠ANB ，代数得AB ＝70.∴在△ANB 中，AB ＝70.9．(2020·衡水中学调研)衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D.(1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414) 答案 (1)7米(2)小李的设计建造费用较低，为86 600元解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理，得cosC ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5.①在△ABD 中，由余弦定理，得cosD ＝72＋72－AB 22×7×7.②由∠C ＝∠D ，得cosC ＝cosD. ∴AB ＝7，∴AB 长为7米．(2)小李的设计建造费用较低，理由如下： S △ABD ＝12AD ·BD ·sinD ，S △ABC ＝12AC ·BC ·sinC.∵AD ·BD>AC ·BC ，∴S △ABD >S △ABC . 故选择△ABC 建造环境标志费用较低．∵AD ＝BD ＝AB ＝7，∴△ABD 是等边三角形，∠D ＝60°.∴S △ABC ＝103＝10×1.732＝17.32. ∴总造价为5 000×17.32＝86 600(元)．10．(2020·上海市徐汇区模拟)如图，某快递小哥从A 地出发，沿小路AB →BC 送快件到C 处，平均速度为20公里/时，已知BD ＝10公里，∠DCB ＝45°，∠CDB ＝30°，△ABD 是等腰三角形，∠ABD ＝120°. (1)试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到C 处？(2)快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD →DC 追赶，若汽车平均速度为60公里/时，问汽车能否先到达C 处？答案 (1)不能 (2)能解析 (1)由题意知，AB ＝10公里，在△BCD 中，由BD sin45°＝BCsin30°，得BC ＝52(公里)，快递小哥行走的路程为AB ＋BC ＝10＋52(公里)，其需要的时间t ＝10＋5220×60≈51.21(分)，因为51.21>50，所以快递小哥不能在50分钟内将快件送到C 处．(2)在△ABD 中，由AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ×BD ×cos120°＝102＋102－2×10×10×⎝⎛⎭⎫－12＝300，得AD ＝103(公里)，在△BCD 中，∠CBD ＝105°，由CD sin105°＝52sin30°，得CD ＝5(1＋3)(公里)，则汽车到达C 处所需时间t ′＝103＋5（1＋3）60×60＋15＝20＋153≈45.98(分)，因为45.98<51.21，所以汽车能先到达C 处．。

作业12【2021衡水中学高考一轮总复习理科数学(新课标版)】

题组层级快练(十二)1．(2020·河北献县一中月考)函数y ＝x|x|的图象经描点确定后的形状大致是( )答案 D 2．函数y ＝1－1x －1的图象是( )答案 B解析方法一：y ＝1－1x －1的图象可以看成由y ＝－1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得到的．方法二：由于x ≠1，故排除C 、D.又函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为增函数，排除A ，所以选B. 3．下列函数f(x)图象中，满足f ⎝⎛⎭⎫14>f(3)>f(2)的只可能是( )答案 D解析因为f ⎝⎛⎭⎫14>f(3)>f(2)，所以函数f(x)有增有减，不选A 、B.又C 中，f ⎝⎛⎭⎫14<f(0)＝1，f(3)>f(0)，即f ⎝⎛⎭⎫14<f(3)，所以不选C ，选D.4．(2020·济南市质量评估)函数y ＝x 28－ln|x|的图象大致为( )答案 D解析令f(x)＝y ＝x 28－ln|x|，则f(－x)＝f(x)，故函数为偶函数，排除选项B ；当x>0且x →0时，y →＋∞，排除选项A ；当x ＝22时，y ＝1－ln22<1－lne ＝0，排除选项C.故选D. 5．(2019·山东师大附中月考)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )答案 A解析易探索知x ＝2和x ＝4是函数的两个零点，故排除B 、C ；再结合y ＝2x 与y ＝x 2的变化趋势，可知当x →－∞时，0<2x <1，而x 2→＋∞，因此2x －x 2→－∞，故排除D ，选A.6．设a ＜b ，函数y ＝(x －a)2(x －b)的图象可能是( )答案 C解析由解析式可知，当x ＞b 时，f(x)＞0，由此可以排除A 、B 选项．又当x ≤b 时，f(x)≤0，从而可以排除D.故本题选C.7．(2018·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝e x －e －x x 2的图象大致为( )答案 B解析因为f(－x)＝e －x －e x（－x ）2＝－e x －e －xx 2＝－f(x)(x ≠0)，所以f(x)是定义域上的奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点(0，0)中心对称，排除选项A ；因为f(1)＝e －1e >2，所以排除选项C 、D.故选B.8．已知lga ＋lgb ＝0，函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 ∵lga ＋lgb ＝0，∴lgab ＝0，ab ＝1，∴b ＝1a.∴g(x)＝－log b x ＝log a x ，∴函数f(x)与g(x)互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称，故选B. 9．(2019·衡水中学调研卷)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lgx 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 C解析 ∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1.∴选C.10．函数f(x)＝4x －12x 的图象关于( )A ．原点对称B ．直线y ＝x 对称C ．直线y ＝－x 对称D ．y 轴对称答案 A解析由题意可知，函数f(x)的定义域为R ，且f(x)＝4x －12x ＝2x －2－x ，f(－x)＝2－x －2x ＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.11．现有四个函数①y ＝x·sinx ，②y ＝x·cosx ，③y ＝x ·|cosx|，④y ＝x·2x 的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①答案 A解析 ①y ＝x·sinx 在定义域上是偶函数，其图象关于y 轴对称；②y ＝x·cosx 在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称；③y ＝x·|cosx|在定义域上是奇函数，其图象关于原点对称，且当x>0时，其函数值y ≥0；④y ＝x·2x 在定义域上为非奇非偶函数，且当x>0时，其函数值y>0，且当x<0时，其函数值y<0.故选A.12．(2018·课标全国Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )答案 D解析方法一：易得函数y ＝－x 4＋x 2＋2为偶函数，y ′＝－4x 3＋2x ＝－2x(2x ＋1)(2x －1)，令y ′>0，即2x(2x ＋1)(2x －1)<0，解得x<－22或0<x<22，所以当y ′<0时，－22<x<0或x>22，所以函数y ＝－x 4＋x 2＋2在⎝⎛⎭⎫－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0，22上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－22，0，⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递减，故选D. 方法二：令x ＝0，则y ＝2，排除A 、B ；令x ＝12，则y ＝－116＋14＋2＝316＋2，排除C.故选D.13．(2018·浙江)函数y ＝2|x|sin2x 的图象可能是( )答案 D解析设f(x)＝2|x|sin2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y ＝f(x)是奇函数，故排除A 、B ；令f(x)＝0，所以sin2x ＝0，所以2x ＝k π(k ∈Z )，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除C ，故选D.14．(2015·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案－12解析函数y ＝|x －a|－1的大致图象如图所示，∴若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，只需2a ＝－1，可得a ＝－12.15．设函数f(x)，g(x)的定义域分别为F ，G ，且FG.若对任意的x ∈F ，都有g(x)＝f(x)，则称g(x)为f(x)在G 上的一个“延拓函数”．已知函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≤0)，若g(x)为f(x)在R 上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则函数g(x)的解析式为________．答案 g(x)＝2|x|解析画出函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≤0)的图象关于y 轴对称的这部分图象，即可得到偶函数g(x)的图象，由图可知，函数g(x)的解析式为g(x)＝2|x|. 16．已知函数f(x)＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x 的方程f(x)－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．答案 (1)单调递增区间[1，2]，[3，＋∞)；单调递减区间(－∞，1]，[2，3] (2)⎣⎡⎦⎤－1，－34 解析 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－1，x ∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2＋1，x ∈（1，3）.作出图象如图所示．(1)单调递增区间为[1，2]，[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]，[2，3]．(2)原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象，如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1，0)时，a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a)＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎡⎦⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根．。

作业17【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

精品解析：河北省衡水中学高三上学期一轮复习周测数学(理)试题(解析版)

作业76【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

作业8【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

作业22【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

作业68【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版

作业78【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

作业10【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

作业89【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

作业18【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

作业3【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

作业86【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

作业77【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

作业70【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

作业87【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】

作业16【2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)】