2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一下学期期中数学试题(解析版)
【数学】湖北省武汉市三校联合体2019-2020学年高一下学期期中考试试题
参考答案一、 选择题1-12、ACBCA DBDDC C A二、填空题：13．锐角；14. 13-6√2；15. 5,162,2n n n =⎧⎨-≥⎩；16.3 三、解答题:17.解：解：设(,)c x y =，则cos ,cos ,,a c b c <>=<>得22221x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩，………………………………………4分即22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2(,22c=或(22-- ………………………………………10分18．解：(1)(方法一)由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .因为sin B ≠0，所以cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3. ………………………………………6分 (方法二)由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc.于是b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3. ………………………………………6分 (2)(方法一)因为AD 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →) ＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74， 所以|AD →|＝72.从而AD ＝72. ………………………………………12分 (方法二)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×112＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1， 所以AD ＝1＋34＝72. ………………………………………12分 19．（1）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4.当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-， ∴数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-……………………………………6分.（2）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立.当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==. 令2260800n n >+，即2304000n n -->，解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41.综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41. ………………………………………12分.20．解：（1）因为221+=+n n n a a a ，所以21111+=+n n a a ，即21111=-+n n a a . 所以}1{na 是以111=a 为首项，21为公差的等差数列. ………………………………………6分所以21)1(11⨯-+=n a n ，即12+=n a n . （2 ）由（1）得21)1(11⨯-+=n a n ，即12+=n a n . )2111(422121+-+=+⨯+==+n n n n a a b n n n ， 所以数列{n b }前n 项和)]2111()4131()3121[(4+-+++-+-=n n T n 22)2121(4+=+-=n n n . ………………………………………12分 21.解： (1)由0sin )()sin )(sin (=-++-B a b C A c a 及正弦定理，得0)())((=-+-+a b b c a c a ，化简，得ab c b a =-+222. 由余弦定理，得212cos 222=-+=ab c b a C . 因为π<<C 0，所以3π=C . ………………………………4分（2）因为C C B A sin )2sin(2sin 2=++，所以)sin()sin(cos sin 4B A B A A A +=-+， 所以B A B A B A B A A A sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin 4+=-+， 即B A A A sin cos cos sin 2=，所以0cos =A ，或B A sin sin 2=. （ⅰ）当0cos =A 时，ABC ∆为直角三角形，2π=A ，6π=B ，3π=C . 由2=c 得，332=b ，所以33221==∆bc S ABC （ⅱ）当B A sin sin 2=时，a b 2=，此时22223a ab b a c =-+=. 因为2=c ，所以342=a ，所以332sin 21==∆C ab S ABC . 所以，ABC ∆的面积为332. ………………………………12分 22. （1）∵a n+12﹣a n+1a n ﹣2a n 2＝0，∴（a n+1+a n ）（a n+1﹣2a n ）＝0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n+1+a n ＞0，∴a n+1﹣2a n ＝0，即a n+1＝2a n ，所以数列{a n }是以2为公比的等比数列． ∵a 3+2是a 2，a 4的等差中项，∴a 2+a 4＝2a 3+4，∴2a 1+8a 1＝8a 1+4，∴a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n ．......................................4分（2）由（1）及b n ＝12log n n a a ，得，b n ＝﹣n•2n ，∵S n ＝b 1+b 2++b n ， ∴S n ＝﹣2﹣2•22﹣3•23﹣4•24﹣﹣n•2n ①∴2S n ＝﹣22﹣2•23﹣3•24﹣4•25﹣﹣（n ﹣1）•2n ﹣n•2n+1②①﹣②得，S n ＝2+22+23+24+25++2n ﹣n•2n+1＝， 要使S n +n•2n+1＞50成立，只需2n+1﹣2＞50成立，即2n+1＞52， ∴使S n +n•2n+1＞50成立的正整数n 的最小值为5．......................................12分。
湖北省2019-2020学年高一数学下册期中检测题2-附答案(已审阅)
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一年级期中考试数 学 试 卷（文科）命题人：武汉市第四中学 审题人：武汉市第四十九中全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共６０分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１. 已知向量a =(－１ ,２)，且向量,b a ⊥ 则b 等于（ ）A. (２，１)B. (－１，２)C.(－２，１)D.(－２，－２)２. 如图，正六边形ABCDEF 中， BA CD EF ++=（ ）A ．０B ．BEC ．AD D ．CF3．实数b 是２和８的等比中项，则b 的值为（ ）A.4B.－4C.±4D.164 ．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且三内角Ａ,Ｂ,Ｃ依次成等差数列， 三边,,a b c 依次成等比数列，则ABC ∆ 的形状为（ ）A.正三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形5．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；且,c=0．则角Ｂ等于（ ） A ．600B.600或120C.15D. 150或7506．已知数列{a n }和{ b n }均为等差数列，其前n 项和分别为Ｓn 和Ｔn ，并且37n n S n T n +=，则55a b 等于（ ）A. 17B.421C.835D.327. 设点Ｏ在ABC ∆ 的内部，且有230OA OB OC ++= ，则ABC ∆的面积与的面积之比为（ ）A.32B.53C.2D.38．已知数列{a n }为等差数列，若13121a a <- 且它的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取最小正数时n 的值是（ ）A.12B.22C.23D.259．设12345,,,,A A A A A 是平面中给定的5个不同的点，则同一平面内使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M 的个数为（ ）A.5个B.0个C.1个D.10个10已知函数(x)xf ex =+，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形； ②△AB C 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形； ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是（ ） A.①③ B.①④ C.②③ D.②④11．设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为（ ） A.12B.34C.1D.5412．．设a 是已知的平面向量且≠0a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题： ①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共２０分，把答案写在题中横线上) 13．如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，=AP =14．已知数列{n b }的通项公式为12,n n b -= 数列{a n }(n N *∈)满足222,,na nb b b + 成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n＝(n N *∈)．15．已知Ｏ为坐标原点，向量(sin ,1)OA θ=,(cos ,0)OB θ=，(sin ,2)OC θ=-,()02cos sin ,1P αα=-- ．若Ｏ,Ｐ,Ｃ三点共线，求得OA OB + 的值为 .16．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；则下列命题正确的序号是 ①若cos ２Ａcos ２Ｂ≤ ，则b a ≤； ②若sinA cosB,=，则＝２πC ；③若sin sin ２Ａ２Ｂ=；则ＡＢ= ； ④若2ab c >，则3C π< ；⑤若３３３+=a b c ，则ABC 为锐角三角形．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()00,f =当0≤x 时，2()0＋b =+≤f x x x c 的解集为4,0x ⎡⎤∈-⎣⎦(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ) 求不等式(x)5≤f 的解集．18．（本小题满分12分）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。
湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题含解析
数学试卷
全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共80分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在数列 中， ， ，则 的值为（ ）
【解析】
【分析】
由 ，都有 ，可得 ，再根据等差数列的性质即可判断.
【详解】 等差数列 的公差 ， ，都有 ，
，
.
故选： .
【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.
12.给定两个单位向量 ， ，且 ，点 在以 为圆心的圆弧 上运动， ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题解析：（Ⅰ）由
又 所以 .
（Ⅱ）由余弦定理有 ，解得 ，所以
点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的
.
19.设 为等差数列 的前 项和， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 的最大值及此时 的值.
【答案】（1） ；（2）当 时， 有最大值为
【解析】
【分析】
【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前 项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将 的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出 的最大值以及取最大值时 的值.
20.已知向量 ， 且 .
（1）求 及 ；
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
【答案】（1） （2） ；
【解析】
试题分析：
②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用 这个结论．
2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体2019级高一下学期期中考试数学试卷及答案
2019-2020学年武汉市三校联合体2019级高一下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★一、选择题（共12小题）1．已知a→=（x，3），b→=（3，1），且a→∥b→，则x＝（）A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣12．若|a→|=4，|b→|=2，a→和b→的夹角为30°，则a→在b→方向上的投影为（）A．2 B．√3C．2√3D．43．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A=13，则sin B＝（）A．15B．59C．√53D．14．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3+a4+a5＝（）A．33 B．72 C．84 D．1895．在△ABC中，∠A＝90°，AB→=(2−k，2)，AC→=(2，3)，则k的值是（）A．5 B．﹣5 C．32D．−326．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若sinB−sinAsinC =√3a+ca+b，则角B的大小为（）A．π6B．5π6C．π3D．2π37．下列命题正确的是（）A ．若a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →B ．|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⋅b →=0C ．若a →与b →是共线向量，b →与c →是共线向量，则a →与c →是共线向量D ．若a →0与b →0是单位向量，则a →0⋅b →0=1 8．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →=x OA →+y OB →，且BP →=3PA →，则（ ）A ．x =23，y =13B ．x =13，y =23C ．x =14，y =34D ．x =34，y =149．已知△ABC 中，a =√5，A =π3，b +c =√2bc ，则△ABC 的面积为（ ） A ．58B ．√34C ．√3D ．5√3810．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹＝40尺，一丈＝10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为（ ）。
专题01 平面向量的概念(解析版)
专题01 平面向量的概念一、单选题1．下列说法正确的是A ．单位向量都相等B ．若a b ≠，则a b ≠C ．若a b ＝，则//a bD ．若a b ≠，则a b ≠ 【试题来源】山西省忻州市第一中学北校2019-2020学年高一下学期3月月考【答案】D【分析】根据向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，即可判断各选项．【解析】对于A ，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A 错误；对于B ，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当a b ≠时可能a b ＝，所以B 错误； 对于C ，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当a b ＝时a 和b 不一定平行，所以C 错误；对于D ，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若a b ≠，则a b ≠成立，所以D 正确．综上可知，D 为正确选项，故选D 【名师点睛】本题考查了向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，属于基础题． 2．给出下列四个说法：①若||0a =，则0a =；②若||||a b =，则a b =或a b =-；③若//a b ，则||||a b =；④若//a b ，//b c ，则//a c ．其中错误的说法有A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一上学期期末（文）【答案】D【解析】①只有零向量的模是0，因此应有0a =，不是0，错；②模相等的向量方向不确定，不一定相同或相反，错；③两向量平行，只要方向相同或相反或有一个为零向量，模不作要求，错；④当0b =时，,a c 不一定共线，错．故选D ．【名师点睛】本题考查向量的概念，掌握向量的定义是解题关键．3．下列关于向量的命题正确的是A ．若||||a b =，则a b =B ．若||||a b =，则//a bC ．若a b =，b c =，则a c =D ．若//a b ，//b c ，则//a c【试题来源】2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（人教A 版必修4）【答案】C【分析】利用向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【解析】A ． 若||||a b =，则,a b 不一定相等，因为向量是既有大小，又有方向的，||||a b =只能说明向量的大小相等，不能说明方向相同，所以该选项错误；B ． 若||||a b =，则,a b 不一定平行，所以该选项错误；C ． 若a b =，b c =，则a c =，所以该选项是正确的；D ． 若//a b ，//b c ，则//a c 错误，如：=0b ，,a c 都是非零向量，显然满足已知，但是不一定满足//a c ，所以该选项错误．故选C【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．4．下列命题正确的是A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高一数学（人教A 版2019）【答案】A【分析】根据零向量的定义，可判断A 项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B ，C ，D 项均错．【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||=时，只说明向,a b的长度相等，无法确定方向，a b所以B，C均错；a b 时，只说明,a b方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D错．故选A．【名师点睛】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题．5．下列说法中，正确的个数是①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量A．1B．2C．3D．4【试题来源】湖北省武汉市第六中学2018-2019学年高一下学期2月月考【答案】B【分析】根据向量的相关概念，逐项判定，即可得出结果．【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；②零向量的模为零，故②错；③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；④零向量与任意向量都共线，因此若向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量，即④正确．故选B．【名师点睛】本题主要考查向量有关命题的判定，熟记向量的相关概念即可，属于基础题型．6．下列说法中正确的是A．平行向量就是向量所在的直线平行的向量B．长度相等的向量叫相等向量C．零向量的长度为零D．共线向量是在一条直线上的向量【试题来源】吉林省长春市第二十九中学2019-2020学年高一下学期线上检测数学试卷【答案】C【分析】直接根据共线向量、相等向量、零向量的概念判断即可．【解析】平行向量也叫共线向量，是指方向相同或相反的两个向量，另外规定零向量与任意向量平行，故A，D错；相等向量是指长度相等、方向相同的向量，故B错；长度为零的向量叫零向量，故C对；故选C．【名师点睛】本题主要考查平面向量的有关概念，属于基础题．7．下列命题正确的是A．若,a b都是单位向量，则a b=B．两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同C．向量AB与BA是两个平行向量A B C D四点是平行四边形的四个顶点D．若AB DC=，则,,,【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测【答案】C【分析】利用单位向量的定义可判断A；利用向量相等的定义可判断B；利用平行向量的定义可判断C；利用向量相等的定义可判断D．【解析】对于A，单位长度为1的向量为单位向量，,a b都是单位向量，但方向可能不同，故A不正确；对于B，模相等，方向相同的向量为相等向量，故B不正确；对于C，向量AB与BA为相反向量，所以两个为平行向量，故C正确；A B C D四点在同一条直线上，对于D，AB DC=，若,,,A B C D 不能构成平行四边形，故D不正确；故选C,,,【名师点睛】本题考查了向量的基本概念，需理解单位向量、相等向量、共线向量的概念，属于基础题．8．下列说法错误的是A．向量OA的长度与向量AO的长度相等B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等方向相反的向量共线D．方向相反的向量可能相等【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测【答案】D【分析】向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况．向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项．【解析】A．向量OA与向量AO的方向相反，长度相等，故A正确；B ．规定零向量与任意非零向量平行，故B 正确；C ．能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C 正确；D ．长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D 不正确．【名师点睛】本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型．9．有下列命题：①若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =；③若m n =，n k =，则m k =；④零向量都相等．其中假命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】2021年高考数学复习一轮复习笔记【答案】C【分析】分别根据每个命题的条件推论即可判断．【解析】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题； 对于②，在平行四边形ABCD 中，,C AB D 是大小相等，方向相反的向量，即AB CD =-，故②是假命题；对于③，显然若m n =，n k =，则m k =，故③是真命题；对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题．故选C ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．10．下列说法中正确的是．A ．零向量没有方向B ．平行向量不一定是共线向量C ．若向量a 与b 同向且a b =，则a b =D ．若向量a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >【试题来源】吉林省松原市扶余市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试【答案】C【分析】由零向量，平行向量，相等向量的定义逐一判断可得选项．【解析】对于A ，零向量的方向是任意的，故A 错误；对于B ，平行向量就是共线向量，故B 错误；对于C ，由相等向量的定义：两向量的方向相同，大小相等可知，C 正确；对于D ，两个向量不能比较大小，故D 错误．故选C ．【名师点睛】本题考查向量的基本定义，在判断关于向量的命题时注意向量的方向，属于基础题．11．以下说法正确的是A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．零向量没有方向C ．共线向量又叫平行向量D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =【试题来源】2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（人教A 版必修4）【答案】C【分析】根据向量的基本概念逐一判断即可．【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A 错误， 零向量是没有方向的向量，B 错误； 共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C 正确；若a ，b 都是单位向量，两向量的方向不定，D 错误；故选C ．12．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若,a b 都是单位向量，则a b =；③向量AB 与BA 相等．则所有正确命题的序号是A ．①B ．③C ．①③D ．①②【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教B 版2019必修第二册）【答案】A【分析】根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③．【解析】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向AB 与BA 互为相反向量，故③错误．故选A ．【名师点睛】本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可．13．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【分析】根据相等向量的有关概念判断．【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，所以正确答案只有一个．故选B ．14．下列命题中，正确命题的个数是①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是||a a ．A ．0B ．1C ．2D ．3【试题来源】天津市和平区耀华中学2019-2020学年高一下学期期中【答案】A【分析】根据单位向量，相等向量，共线向量的定义进行判断即可．【解析】因为不同的单位向量的方向可能不相同，所以①错误；相反向量的长度相等，但方向相反，则②错误；因为共线的单位向量方向可能相反，所以它们不一定相等，则③错误；与非零向量a 共线的单位向量是||a a 或||a a -，则④错误；故选A 【名师点睛】本题主要考查了对单位向量，相等向量，共线向量的辨析，属于基础题． 15．有下列命题：①若a b →→=，则a b →→=；②若AB DC →→=，则四边形ABCD 是平行四边形；③若m n →→=，n k →→=，则m k →→=；④若//a b →→，//b c →→，则//a c →→．其中，假命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 【试题来源】宁夏育才中学2019-2020学年高一5月教学质量检测 【答案】C 【分析】根据平面向量的概念及向量平行的相关知识逐个判断即可．【解析】a b →→=，则a b →→，的方向不确定，则a b →→，不一定相等， ①错误；若AB DC →→=，则,AB DC →→的方向不一定相同，所以四边形ABCD 不一定是平行四边形，②错误；若m n →→=，n k →→=，则m k →→=，③正确；若//a b →→，//b c →→，则0b →→=时，//a c →→不一定成立，所以④错误．综上，假命题的是①②④，共3个．故选C ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．16．下列说法不正确的是A ．平行向量也叫共线向量B ．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合C ．若a 为非零向量，则a a是一个与a 同向的单位向量 D ．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同【试题来源】安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一上学期期末（理）【答案】D【分析】根据共线向量的定义判断AB ；由a a 的模长为1，10a >得出a a是一个与a 同向的单位向量；举例排除D ．【解析】由于任一组平行向量都可以平移到一条直线上，则平行向量也叫共线向量，A 正确； 两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合，由共线向量的定义可知，B 正确； a a 的模长为1，10a >，则a a是一个与a 同向的单位向量，C 正确； 从同一点出发的两个相反向量，有共同的起点且模长相等，但终点不同，D 错误；故选D【名师点睛】本题主要考查了共线向量概念的辨析，属于基础题．17．下列四个命题正确的是A ．两个单位向量一定相等B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【试题来源】辽宁省阜新市第二高级中学2019-2020学年高一下学期第一次学考【答案】B【分析】由相等向量、共线向量的概念逐一核对四个选项得答案．【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a与b不共线，则a与b都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选B．【名师点睛】本题考查命题的真假判断与运用，考查了平行向量、向量相等的概念，属于基础题．18．有下列说法：①若两个向量不相等，则它们一定不共线；②若四边形ABCD是平行四边形，则AB CD=；③若//a c；b c，则//a b，//AB CD．④若AB CD=，则AB CD且//其中正确说法的个数是A．0B．1C．2D．3【试题来源】2021年新高考数学一轮专题复习（新高考专版）【答案】A【分析】对于①，根据向量相等的定义以及向量共线的定义可知结论不正确；对于②，根据向量相等的定义可知结论不正确；对于③，找特殊向量，当0b=时，可知结论不正确；对于④，AB与CD不一定平行，AB与CD可能在一条直线上，可知结论不正确．【解析】对于①，当两个向量不相等时，可能方向相反，所以可能共线，故①不正确；对于②，若四边形ABCD是平行四边形，则AB DC=，故②不正确；对于③，当0b=时，a与c可以不共线，故③不正确；AB CD或AB与CD在一条直线上”，故④不对于④，“若AB CD=，则AB CD且//正确．故选A．【名师点睛】本题考查了向量相等的定义，考查了向量共线的定义，属于基础题．19．下列说法正确的是A ．单位向量都相等B ．若//a b ，则a b =C ．若a b =，则a b =D ．若λa b ，（0b ≠），则a 与b 是平行向量 【试题来源】山西省大同市灵丘县豪洋中学2019-2020学年高一下学期期中 【答案】D 【分析】根据相等向量，共线向量的定义判断可得；【解析】对于A ，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，所以A 错误；对于B ，当//a b 时，其模长a 与b 可能相等或a b λ=0λ≥，或b a λ=0λ≥，所以B 错误；对于C ，当a b =时，不一定有a b =，因为a b =要a b =且a 与b 同向，所以C 错误； 对于D ，λa b ，（0b ≠），则a 与b 是平行向量，D 正确．故选D ． 【名师点睛】本题考查了平面向量的基本概念应用问题，属于基础题．20．如图所示，在正ABC 中，D ，E ，F 均为所在边的中点，则以下向量中与ED 相等的是A ．EFB ．BEC ．FBD ．FC【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高一数学（人教A 版2019）【答案】D【分析】由题意先证明//DE CB 且12DE CB =，再利用中点找出所有与向量ED 相等的向量【解析】DE 是ABC 的中位线，//DE CB ∴且12DE CB =， 则与向量ED 相等的有BF ，FC ．故选D ．【名师点睛】本题考查了相等向量的定义，利用中点和中位线找出符合条件的所求的向量，属于基础题．21．已知a 、b 是平面向量，下列命题正确的是A ．若||||1a b ==，则a b =B ．若||||a b <，则a b <C ．若0a b +=，则//a bD ．零向量与任何非零向量都不共线【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题【答案】C【分析】A ，根据向量的定义判断；B ．向量不能比较大小判断；C ，若0a b +=，则b a =-，由共线向量定理判断；D ，由零向量与任一向量共线判断．【解析】对于A ，向量方向不相同则向量不相等，选项A 错误；对于B ．向量不能比较大小，选项B 错误；对于C ，若0a b +=，则b a =-，//b a ∴，选项C 正确；对于D ，零向量与任一向量共线，选项D 错误．故选C ．【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念及线性运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题．22．下列命题中正确的是A ．若||a b |=|，则a b =B ．若a b ≠，则a b ≠C ．若||a b |=|，则a 与b 可能共线D ．若a b ≠，则a 一定不与b 共线【试题来源】考点18 平面向量的概念及其线性运算-备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过【答案】C【分析】利用共线向量、模的计算公式，即可得出．【解析】因为向量既有大小又有方向，所以只有方向相同､大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A 错误；两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误；无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，故C正确，D错误．故选C【名师点睛】本题考查了共线向量、模的计算公式，考查了理解能力，属于基础题．23．下列关于向量的概念叙述正确的是A．方向相同或相反的向量是共线向量B．若//a ca b，//b c，则//C．若a和b都是单位向量，则a b=D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合【试题来源】山西省2019-2020学年高一下学期期末（理）【答案】A【分析】由向量共线的定义，可知A正确；当0b=时，可知B不正确；单位向量，方向不定，不相等；向量相等即大小和方向相同即可．【解析】由向量共线的定义可知，A正确；当0b=时，可知B不正确；单位向量，方向不确定，故C不正确；向量是自由的，向量相等，只需大小和方向相同即可，不需起点终点重合，故D不正确．故选A【名师点睛】本题考查了向量的定义和基本性质，考查了理解辨析能力，属于基础题目．24．已知向量a与b共线，下列说法正确的是A．a b=或a b=-B．a与b平行C．a与b方向相同或相反D．存在实数λ，使得λa b【试题来源】安徽省合肥市庐江县2019-2020学年高一下学期期末【答案】B【分析】根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果．【解析】向量a与b共线，不能判定向量模之间的关系，故A错；向量a与b共线，则a与b平行，故B正确；a为零向量，则满足a与b共线，方向不一定相同或相反；故C错；当0a ≠，0b =时，满足a 与b 共线，但不存在实数λ，使得λa b ，故D 错．故选B ．【名师点睛】本题主要考查向量共线的有关判定，属于基础题型．25．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a b ≠，则||||a b ≠；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解析】零向量与它的相反向量相等，①错；由相等向量的定义知，②正确；两个向量平行且模相等，方向不一定相同，故不一定是相等向量，例如，在平行四边形ABCD 中，//AB CD ，且=AB CD ，但AB CD ≠，故③错； a b ≠，可能两个向量模相等而方向不同，④错；两个向量相等，是指它们方向相同，大小相等，向量可以自由移动，故起点和终点不一定相同，⑤错．故选B ．26．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同； ②若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反； ③若//a b 且//b c ，则//a c ； ④若a b =，则2a b >．其中正确的命题个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【试题来源】四川省凉山州2019-2020学年高一下学期期末考试（文）【答案】B【分析】根据相等向量、共线向量、零向量等知识确定正确命题的个数．【解析】①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是正确的．②，若//a b ，则可能b 为零向量，方向任意，所以②错误．③，若//a b 且//b c ，则可能b 为零向量，此时,a c 不一定平行，所以③错误．④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误．故正确的命题有1个．故选B【名师点睛】本题主要考查相等向量、共线向量、零向量等知识，属于基础题． 27．设,a b 是非零向量，则“2a b =”是“a a b b =” 成立的 A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【试题来源】山东省济南市莱芜第一中学2020-2021学年高三上学期11月月考【答案】B 【分析】结合共线向量、单位向量的知识，以及充分、必要条件的概念，判断出正确选项．【解析】依题意,a b 是非零向量，a a 表示与a 同向的单位向量，b b 表示与b 同向的单位向量，当2a b =时，,a b 的方向相同，所以a a b b =， 当a a b b =时，,a b 的方向相同，但不一定有2a b =，如3a b =也符合， 所以“2a b =”是“a a b b=” 成立的充分不必要条件．故选B【名师点睛】本题主要考查共线向量的知识、单位向量的知识，考查充分、必要条件的判断，属于基础题．28．若四边形ABCD 是矩形，则下列说法不正确的是A ．AB →与CD →共线B ．AC →与BD →共线 C ．AD →与CB →模相等，方向相反 D ．AB →与CD →模相等【试题来源】2020-2021学年【补习教材寒假作业】高一数学（苏教版）【答案】B【分析】根据向量的共线及模的概念即可求解．【解析】因为四边形ABCD 是矩形，所以AB →与CD →共线，AD →与CB →模相等，方向相反，AB →与CD →模相等正确， AC →与BD →共线错误，故选B29．设,a b →→是两个平面向量，则“a b →→=”是“||||a b →→=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【试题来源】浙江省金华市曙光学校2020-2021学年高二上学期期中【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义及向量的概念判断即可．【解析】因为a b →→=，则一定有||||a b →→=，而||||a b →→=推不出a b →→=，所以“a b →→=”是“||||a b →→=”的充分不必要条件，故选A30．下列关于向量的结论：（1）若||||a b =，则a b =或a b =-；（2）向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >．其中正确的序号为A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（4）D ．（3） 【试题来源】专题07 平面向量的实际背景及基本概念（重点练）-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（人教A 版必修4）【答案】D【分析】根据向量的定义可判断（1）（4）错误，向量,a b 都是零向量时，由向量,a b 平行得不出方向相同或相反，从而判断（2）错误，根据相等向量的定义可判断（3）正确．【解析】（1）若||||a b =，由于,a b 的方向不清楚，故不能得出a b =或a b =-，故（1）不正确．（2）由零向量与任何向量平行，当向量a 与b 平行时，不能得出a 与b 的方向相同或相反，故（2）不正确．（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正确．（4）向量不能比较大小，故（4）不正确．故选D ．二、多选题1．下面的命题正确的有．A ．方向相反的两个非零向量一定共线B ．单位向量都相等C ．若a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形”【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过【答案】AD【分析】根据向量的概念：方向相反或相同的非零向量共线，模相等且方向相同的向量相等，向量除了相等的情况不能比较大小，即可判断选项正误；【解析】方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A 正确；单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B 错误；向量是有方向的量，不能比较大小，故C 错误；A 、B 、C 、D 是不共线的点，AB DC =，即模相等且方向相同，即平行四边形ABCD 对边平行且相等，反之也成立，故D 正确．故选AD【名师点睛】本题考查了向量的基本概念，需要理解向量共线、相等的条件，属于简单题；2．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中正确的是A ．,AD CB 共线B ．,AC BD 相等 C ．,AD CB 模相等，方向相反 D ．,AC BD 模相等【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教B 版2019必修第二册）【答案】ACD【分析】根据向量的加法和减法的几何意义（平行四边形法则)，结合矩形的判定与性质进行分析可解．【解析】因为四边形ABCD 是矩形，,ADBC AC BD ∴=‖， 所以,AD CB 共线，,AC BD 模相等，故A 、D 正确；因为矩形的对角线相等，所以|AC|=|BD|，,AC BD 模相等，但的方向不同，故B 不正确；|AD|=|CB|且AD ∥CB ，所以,AD CB 的模相等，方向相反，故C 正确．【名师点睛】本题考查向量的共线，相等，模，向量的加减法的几何意义，属基础题，根据向量的加减法的平行四边形法则和矩形的性质综合判定是关键．3．在下列结论中，正确的有A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等【试题来源】江苏省淮安市涟水县第一中学2019-2020学年高一上学期第二次月考【答案】BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案．【解析】A ． 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误； B ． 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C ． 相等向量方向相同，模相等，正确；。
2019-2020学年湖北省武汉六中高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年湖北省武汉六中高一（下）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（2，6），b⃗⃗ =（-1，λ），若a⃗∥b⃗⃗，则λ=（）A.3B.-3C. 13D.- 132.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（x-1，2），b⃗⃗ =（2，1），则a⃗⊥ b⃗⃗的充要条件是（）A.x=- 12B.x=-1C.x=5D.x=03.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+2n（n∈N*），则a100的值是（）A.9900B.9902C.9904D.11000，则这个数列的第n项a n为（）4.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1= a n1+2a nA.2n-1B.2n+1C. 12n−1D. 12n+15.（单选题，5分）已知| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |= √2，且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗），则向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为（）A.1B. √2C. 12D. √226.（单选题，5分）数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）…的前n项和为（）A.2n-1B.n•2n-nC.2n+1-nD.2n+1-2-n7.（单选题，5分）数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A. 13B. 512C. 12D. 7128.（单选题，5分）若在△ABC中，2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形9.（单选题，5分）三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2+c2，则角A的取值范围是（）A.（π2，π）B.（π4，π2）C.（π3，π2）D.（0，π2）10.（单选题，5分）在△ABC中，若acos2C2 +ccos2A2= 32b，那么a，b，c的关系是（）A.a+b=cB.a+c=2bC.b+c=2aD.a=b=c11.（单选题，5分）△ABC中，A：B=1：2，C的平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，则cosA=（）A. 13B. 12C. 34D.012.（单选题，5分）在钝角三角形ABC中，a=1，b=2，则边c的取值范围是（）A. √5＜c＜3B. √3＜c＜√5C.1＜c＜√3或√5＜c＜3D. √3＜c＜√5或√5＜c＜313.（填空题，5分）已知向量a⃗，b⃗⃗的夹角为60°，| a⃗ |=2，| b⃗⃗ |=1，则| a⃗ +2 b⃗⃗ |=___ ．14.（填空题，5分）已知a⃗，b⃗⃗为单位向量，且a⃗• b⃗⃗ =0，若c⃗ =2 a⃗ - √5b⃗⃗，则cos＜a⃗，c⃗＞=___ ．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a= √7，b=2，A=60°，则sinB=___ ，c=___ ．16.（填空题，5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=___ ，S5=___ ．17.（问答题，10分）已知| a⃗ |=4，| b⃗⃗ |=8，a⃗与b⃗⃗夹角是120°．（1）求a⃗•b⃗⃗的值及| a⃗+b⃗⃗ |的值；（2）当k为何值时，(a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)？18.（问答题，12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB= 35，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-21．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．19.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n-1=0（n≥2），a1= 12．（1）求证：{ 1S n}是等差数列；（2）求a n的表达式．20.（问答题，12分）已知a⃗ =（cosx，2cosx），b⃗⃗ =（2cosx，sinx），f（x）= a⃗• b⃗⃗．（1）把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；（2）当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时，求f（x）的值．21.（问答题，12分）在△ABC中，AC=6，cosB= 45，C= π4．（1）求AB的长；（2）求cos（A- π6）的值．22.（问答题，12分）（1）数列{a n}的前n项和为S n=10n-n2，求数列{|a n|}的前n项和．（2）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=-10．求数列{ a n2n−1}的前n项和．2019-2020学年湖北省武汉六中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（2，6），b⃗⃗ =（-1，λ），若a⃗∥b⃗⃗，则λ=（）A.3B.-3C. 13D.- 13【正确答案】：B【解析】：根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得2λ=-6，解可得λ的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，向量a⃗ =（2，6），b⃗⃗ =（-1，λ），若a⃗∥b⃗⃗，则有2λ=-6，解可得：λ=-3；故选：B．【点评】：本题考查向量平行的坐标表示方法，掌握向量的坐标计算2.（单选题，5分）已知向量a⃗ =（x-1，2），b⃗⃗ =（2，1），则a⃗⊥ b⃗⃗的充要条件是（）A.x=- 12B.x=-1C.x=5D.x=0【正确答案】：D【解析】：直接利用向量垂直的充要条件，通过坐标运算求出x的值即可．【解答】：解：因为向量a⃗ =（x-1，2），b⃗⃗ =（2，1），a⃗⊥ b⃗⃗，所以2（x-1）+2=0，解得x=0．故选：D．【点评】：本题考查向量垂直条件的应用，充要条件的应用，考查计算能力．3.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+2n（n∈N*），则a100的值是（）A.9900B.9902C.9904D.11000【正确答案】：B【解析】：由a n+1=a n+2n，可得a n+1-a n=2n，利用“累加求和”、等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】：解：∵a1=2，a n+1=a n+2n，∴a n+1-a n=2n，∴a n=（a n-a n-1）+（a n-1-a n-2）+…+（a2-a1）+a1=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+2= 2×n(n−1)2+2=n2-n+2．∴a100=1002-100+2=9902．故选：B．【点评】：本题考查了“累加求和”、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.（单选题，5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1= a n1+2a n，则这个数列的第n项a n为（）A.2n-1B.2n+1C. 12n−1D. 12n+1【正确答案】：C【解析】：取倒数，推出数列{ 1a n}是等差数列，然后求解数列的通项公式即可．【解答】：解：数列{a n}中，a1=1，a n+1= a n1+2a n，1 a n+1=1a n+2，可得数列{ 1a n}是等差数列，首项为1，公差为2，所以1a n=1+(n−1)×2=2n−1，所以a n= 12n−1，故选：C．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．5.（单选题，5分）已知| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |= √2，且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗），则向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为（）A.1B. √2C. 12D. √22【正确答案】：D【解析】：利用向量的数量积以及向量的垂直关系，推出向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量即可．【解答】：解：由| a⃗ |=1，| b⃗⃗ |= √2，且a⃗⊥（a⃗ - b⃗⃗），得a⃗•（a⃗ - b⃗⃗）=0，a⃗• b⃗⃗ = a⃗• a⃗=1，所以向量a⃗在b⃗⃗方向上的正射影的数量为|a⃗|cos〈a⃗，b⃗⃗〉=a⃗⃗b⃗⃗|b⃗⃗|=√2=√22，故选：D．【点评】：本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．6.（单选题，5分）数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）…的前n项和为（）A.2n-1B.n•2n-nC.2n+1-nD.2n+1-2-n【正确答案】：D【解析】：由1+2+22+…+2n-1= 1×(1−2n)1−2=2n-1可知，数列的前n项和为：（21-1）+（22-1）+（23-1）+…+（2n-1）=21+22+23+…+2n-n= 2(1−2n)1−2−n =2n+1-2-n【解答】：解：∵1+2+22+…+2n-1=1×(1−2n )1−2=2n -1 ∴数列的前n 项和为：1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+…+2n-1） =（21-1）+（22-1）+（23-1）+…+（2n -1） =21+22+23+…+2n -n =2(1−2n )1−2−n =2n+1-2-n 故选：D ．【点评】：本题为数列的求和问题，求出数列的通项公式并应用到数列中是解决问题的关键，属中档题．7.（单选题，5分）数列{a n }、{b n }满足a n •b n =1，a n =n 2+3n+2，则{b n }的前10项之和等于（ ） A. 13 B. 512 C. 12 D. 712【正确答案】：B【解析】：先求出数列{b n }的通项公式，然后写出数列{b n }的前10项之和，利用裂项的方法求和即可．【解答】：解：∵a n •b n =1 ∴b n = 1n 2+3n+2 = 1(n+1)(n+2) ∴s10=12×3+13×4+ + 110×11+111×12 =（ 12 - 13 ）+ (13−14) + +(110−111) +(111−112) = 12- 112 = 512故选：B ．【点评】：本题考查了数列的求和对于通项公式为 1(n+1)(n+2) ，一般采取裂项的方法求前n 项和，属于基础题．8.（单选题，5分）若在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形【正确答案】：C【解析】：由题意和和差角公式易得sin（A-B）=0，进而可得A=B，可判△ABC为等腰三角形．【解答】：解：∵在△ABC中2cosBsinA=sinC，∴2cosBsinA=sinC=sin（A+B），∴2cosBsinA=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin（A-B）=0，∴A-B=0，即A=B，∴△ABC为等腰三角形，故选：C．【点评】：本题考查三角形性质的判断，涉及和差角公式的应用，属基础题．9.（单选题，5分）三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且a＞b＞c，a2＜b2+c2，则角A的取值范围是（）A.（π2，π）B.（π4，π2）C.（π3，π2）D.（0，π2）【正确答案】：C【解析】：由条件推出A为锐角，从而判断△ABC的形状，通过a＞b＞c，推出A的范围．【解答】：解：△ABC中，由a＞b＞c，说明A最大，由a2＜b2+c2，故A为锐角，故△ABC的形状是锐角三角形，因为A最大，所以A＜π2，A∈（π3，π2）故选：C．【点评】：本题主要考查三角形的形状的方法，勾股定理（或余弦定理）的应用，属于中档题．10.（单选题，5分）在△ABC中，若acos2C2 +ccos2A2= 32b，那么a，b，c的关系是（）A.a+b=cB.a+c=2bC.b+c=2aD.a=b=c【正确答案】：B【解析】：已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用正弦定理化简，整理后把sin（A+C）=sinB代入，利用正弦定理化简即可得到结果．【解答】：解：把acos2C2 +ccos2A2= 32b，化简得：a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，由正弦定理得：sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB，整理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，∵sin（A+C）=sinB，∴sinA+sinC+sinB=3sinB，即sinA+sinC=2sinB，则由正弦定理化简得，a+c=2b．故选：B．【点评】：此题考查了正弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．11.（单选题，5分）△ABC中，A：B=1：2，C的平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，则cosA=（）A. 13B. 12C. 34D.0【正确答案】：C【解析】：由A与B的度数之比，得到B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为3：2，得到BC与AC之比，再利用正弦定理得出sinA与sinB之比，将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cosA的值．【解答】：解：∵A：B=1：2，即B=2A，∴B＞A，∵角平分线CD 把三角形面积分成3：2两部分， ∴由角平分线定理得：BC ：AC=BD ：AD=2：3， ∴由正弦定理 BCsinA = ACsinB 得： sinAsinB = 23 ， 整理得： sinAsin2A = sinA2sinAcosA = 23 ， 则cosA= 34 ． 故选：C ．【点评】：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，角平分线定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．12.（单选题，5分）在钝角三角形ABC 中，a=1，b=2，则边c 的取值范围是（ ） A. √5 ＜c ＜3 B. √3 ＜c ＜ √5C.1＜c ＜ √3 或 √5 ＜c ＜3D. √3 ＜c ＜ √5 或 √5 ＜c ＜3 【正确答案】：C【解析】：题中已知△ABC 是钝角三角形，没有指明哪个角是最大角，从而无法确定边之间的关系，从而可以分两种情况进行分析，从而确定第三边c 的变化范围．【解答】：解： ① ∵当∠C 是钝角时，有∠C ＞90°， ∴c ＞ √a 2+b 2 = √5 ， 又a+b ＞c ，可得c ＜1+2=3， ∴可得边c 的取值范围是（ √5 ，3）； ② 当∠B 是钝角时，有∠B ＞90°，∴b 2＞a 2+c 2，可得4＞1+c 2，解得c ＜ √3 ， 又c ＞b-a=1， ∴1＜c ＜ √3 ，综上，边c 的取值范围是1＜c ＜ √3 或 √5 ＜c ＜3．【点评】：考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可，属于基础题．13.（填空题，5分）已知向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角为60°，| a ⃗ |=2，| b ⃗⃗ |=1，则| a ⃗ +2 b ⃗⃗ |=___ ． 【正确答案】：[1]2 √3【解析】：根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】：解：【解法一】向量 a ⃗ ， b ⃗⃗ 的夹角为60°，且| a ⃗ |=2，| b ⃗⃗ |=1， ∴ (a ⃗+2b ⃗⃗)2= a ⃗2 +4 a ⃗ • b ⃗⃗ +4 b ⃗⃗2 =22+4×2×1×cos60°+4×12 =12，∴| a ⃗ +2 b⃗⃗ |=2 √3 ． 【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ +2 b ⃗⃗ ； 在△OAC 中，由余弦定理得| OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √22+22−2×2×2×cos120° =2 √3 ， 即| a ⃗ +2 b ⃗⃗ |=2 √3 ． 故答案为：2 √3 ．【点评】：本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14.（填空题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ 为单位向量，且 a ⃗ • b ⃗⃗ =0，若 c ⃗ =2 a ⃗ - √5b ⃗⃗ ，则cos ＜ a ⃗ ， c ⃗ ＞=___ ．【正确答案】：[1] 23【解析】：根据向量数量积的应用，求出相应的长度和数量积即可得到结论．【解答】：解： a ⃗•c ⃗ = a ⃗•(2a ⃗−√5b ⃗⃗) =2 a ⃗2 - √5 a ⃗•b ⃗⃗ =2， ∵ c ⃗2 =（2 a ⃗ - √5b ⃗⃗ ）2=4 a ⃗2 -4 √5 a ⃗•b ⃗⃗ +5 b ⃗⃗2 =9， ∴| c ⃗ |=3，∴cos ＜ a ⃗ ， c ⃗ ＞= a⃗⃗•c ⃗|a ⃗⃗||c ⃗| = 23 ． 故答案为： 23【点评】：本题主要考查向量夹角的求解，根据向量数量积的应用分别求出数量积及向量长度是解决本题的关键．15.（填空题，5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a= √7 ，b=2，A=60°，则sinB=___ ，c=___ ． 【正确答案】：[1]√217; [2]3 【解析】：由正弦定理得 √7sin60° = 2sinB ，由此能求出sinB ，由余弦定理得cos60°= 4+c 2−72×2c ，由此能求出c ．【解答】：解：∵在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． a= √7 ，b=2，A=60°， ∴由正弦定理得： a sinA=b sinB ，即 √7sin60° = 2sinB， 解得sinB=2×√32√7=√217． 由余弦定理得：cos60°= 4+c 2−72×2c ，解得c=3或c=-1（舍）， ∴sinB=√217，c=3． 故答案为： √217，3．【点评】：本题考查三角形中角的正弦值、边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16.（填空题，5分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，a n+1=2S n +1，n∈N *，则a 1=___ ，S 5=___ ．【正确答案】：[1]1; [2]121【解析】：运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n＞1时，a n+1=S n+1-S n，结合条件，计算即可得到所求和．【解答】：解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=4，即a1+a2=4，即有3a1+1=4，解得a1=1；由a n+1=S n+1-S n，可得S n+1=3S n+1，由S2=4，可得S3=3×4+1=13，S4=3×13+1=40，S5=3×40+1=121．故答案为：1，121．【点评】：本题考查数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a1=S1，n＞1时，a n=S n-S n-1，考查运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知| a⃗ |=4，| b⃗⃗ |=8，a⃗与b⃗⃗夹角是120°．（1）求a⃗•b⃗⃗的值及| a⃗+b⃗⃗ |的值；（2）当k为何值时，(a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)？【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积定义及其运算性质即可得出；（2）由于(a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)，(a⃗+2b⃗⃗)• (ka⃗−b⃗⃗) =0，展开即可得出．) =-16．【解答】：解：（1）a⃗•b⃗⃗ = |a⃗||b⃗⃗| cos120°= 4×8×(−12| a⃗+b⃗⃗ |= √a⃗2+b⃗⃗2+2a⃗•b⃗⃗ = √42+82+2×(−16) =4 √3．（2）∵ (a⃗+2b⃗⃗)⊥(ka⃗−b⃗⃗)，∴ (a⃗+2b⃗⃗)• (ka⃗−b⃗⃗) = ka⃗2−2b⃗⃗2 + (2k−1)a⃗•b⃗⃗ =0，∴16k-128+（2k-1）×（-16）=0，化为k=-7．∴当k=-7值时， (a ⃗+2b ⃗⃗)⊥(ka ⃗−b ⃗⃗) ．【点评】：本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.（问答题，12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cosB= 35 ， AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-21．（1）求△ABC 的面积； （2）若a=7，求角C ．【正确答案】：【解析】：（1）先根据平面向量的数量积的运算法则化简 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−21 ，把cosB 的值代入求出ac 的值，然后由cosB 的值和B 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC 的面积，把ac 和sinB 的值代入即可求出△ABC 的面积；（2）由（1）求出的ac 的值和a 的值，求出c 的值，再由a ，c 及cosB 的值，利用余弦定理求出b 的值，再由b ，sinB 以及c 的值，利用正弦定理求出sinC 的值，利用大边对大角，由a 大于c 得到角C 为锐角，由特殊角的三角函数值即可求出角C 的度数．【解答】：解：（1）∵ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗•BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|•|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos (π−B )=−accosB =−35ac =−21 ，∴ac=35，又∵ cosB =35 ，0＜B ＜π，∴ sinB =45 ， ∴ S △ABC =12acsinB =12×35×45=14 ； （2）由（1）知：ac=35，且a=7，∴c=5，则 b 2=a 2+c 2−2accosB =49+25−2×35×35=32 ，∴ b =4√2 ，由正弦定理得： bsinB=csinC，∴ sinC =csinBb=5×454√2=√22， 又∵a ＞c ，∴ C ∈(0，π2) ，∴ C =π4 ．【点评】：此题综合考查了正弦、余弦定理以及三角形的面积公式，培养了学生分析问题，解决问题的能力．学生做题时注意以下两点：第1问中注意两向量的夹角为π-B ，不是角B ；第2问中由a ＞c ，利用大边对大角得到角C 为锐角．19.（问答题，12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n •S n-1=0（n≥2），a 1= 12 ． （1）求证：{ 1S n}是等差数列； （2）求a n 的表达式．【正确答案】：【解析】：（1）本题关键是将a n =S n -S n-1代入化简，再根据等差数列的定义进行判定即可． （2）先求出S n ，利用S n 求a n ，必须分类讨论a n = {a 1 n =1S n −S n−1n ≥2，求解可得．【解答】：（1）证明：∵-a n =2S n S n-1，∴-S n +S n-1=2S n S n-1（n≥2），S n ≠0（n=1，2，3）． ∴ 1S n- 1Sn−1=2．又 1S 1= 1a 1=2，∴{ 1S n}是以2为首项，2为公差的等差数列． （2）解：由（1）， 1S n=2+（n-1）•2=2n ，∴S n = 12n ．当n≥2时，a n =S n -S n-1= 12n - 12(n−1) =- 12n (n−1)[或n≥2时，a n =-2S n S n-1=-12n (n−1)]； 当n=1时，S 1=a 1= 12． ∴a n = {12(n =1)−12n (n−1)(n ≥2)【点评】：本题主要考查了等差数列的证明，以及已知S n 求a n ，注意分类讨论，属于基础题． 20.（问答题，12分）已知 a ⃗ =（cosx ，2cosx ）， b ⃗⃗ =（2cosx ，sinx ），f （x ）= a ⃗ • b ⃗⃗ ． （1）把f （x ）的图象向右平移 π6 个单位得g （x ）的图象，求g （x ）的单调递增区间； （2）当 a ⃗≠0⃗⃗，a ⃗ 与 b ⃗⃗ 共线时，求f （x ）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得：f(x)=√2sin(2x+π4)+1．把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象：g（x）= √2sin[2(x−π6)+π4]+1．再利用正弦函数的单调性即可得出：g（x）的增区间．（2）当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时，可得tanx=4．于是f（x）= 2cos2x+2sinxcosxsin2x+cos2x = 2+2tanxtan2x+1，即可得出．【解答】：解：（1）f（x）=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+1+sin2x= √2sin(2x+π4) +1．∴ f(x)=√2sin(2x+π4)+1．把f（x）的图象向右平移π6个单位得g（x）的图象：g（x）= √2sin[2(x−π6)+π4] +1=√2sin(2x−π12) +1．∴ g(x)=√2sin(2x−π12) +1．由2kπ−π2≤2x−π12≤ π2+2kπ，解得kπ−5π24≤x≤kπ+ 7π24，k∈Z．∴g（x）的增区间[kπ−5π24，kπ+7π24]，k∈Z．（2）∵当a⃗≠0⃗⃗，a⃗与b⃗⃗共线时，∴4cos2x-sinxcosx=0，∴tanx=4．∴f（x）=2cos2x+2sinxcosx= 2cos2x+2sinxcosxsin2x+cos2x = 2+2tanxtan2x+1= 2+2×442+1= 1017．【点评】：本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、图象变换、同角三角函数基本关系式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）在△ABC中，AC=6，cosB= 45，C= π4．（1）求AB的长；（2）求cos（A- π6）的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A- π6）的值．【解答】：解：（1）∵△ABC中，cosB= 45，B∈（0，π），∴sinB= 35，∵ AB sinC =ACsinB，∴AB= 6×√2 235=5 √2；（2）cosA=-cos（π-A）=-cos（C+B）=sinBsinC-cosBcosC=- √210．∵A为三角形的内角，∴sinA= 7√210，∴cos（A- π6）= √32cosA+ 12sinA= 7√2−√620．【点评】：本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．22.（问答题，12分）（1）数列{a n}的前n项和为S n=10n-n2，求数列{|a n|}的前n项和．（2）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=-10．求数列{ a n2n−1}的前n项和．【正确答案】：【解析】：（1）S n=10n-n2，n≥2时，a n=S n-S n-1，（n=1时也成立）．令a n≥0，解得n≤5．可得n≤5时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……+a n=S n．n≥6时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……a5-a6+……-a n=2S5-S n．即可得出T n．（2）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=0，a6+a8=-10．可得a1+d=0，2a1+12d=-10，联立解得：a1，d，可得a n．于是a n2n−1 = 2−n2n−1．利用错位相减法即可得出．【解答】：解：（1）∵S n=10n-n2，∴n≥2时，a n=S n-S n-1=10n-n2-[10（n-1）-（n-1）2]=11-2n，（n=1时也成立）．令a n≥0，解得n≤5．∴n≤5时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……+a n=S n=10n-n2．n≥6时，{|a n|}的前n项和T n=a1+a2+……a5-a6+……-a n=2S5-S n=2×（50-25）-（10n-n2）=n2-10n+50．综上可得：T n= {10n−n2，1≤n≤5n2−10n+50，(n≥6)．（2）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=0，a6+a8=-10．∴a1+d=0，2a1+12d=-10，联立解得：a1=1，d=-1，∴a n=1-（n-1）=2-n．∴ a n 2n−1 = 2−n2n−1．∴数列{ a n2n−1 }的前n项和H n=1+0- 122- 223+……+ 2−n2n−1．1 2 H n= 12+0- 123- 224+……+ 3−n2n−1+ 2−n2n．相减可得：12 H n=1- 12- 122123-……+ 12n−1- 2−n2n=2- 1−12n1−12- 2−n2n．化为：H n= n2n−1．（n=1时也成立）．【点评】：本题考查了数列递推关系、绝对值数列求和问题、等差数列与等比数列的通项公式求和公式、分类讨论方法、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
精品解析：湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题(原卷版)
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8.甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“三局两胜”，即以先赢两局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜
的概率为 0.6，则本次比赛甲获胜的概率是（ ）
A. 0.36
B. 0.504
C. 0.648
D. 0.732
9.有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取两件，若 X 表示取得次品的个数，则 P X 2 等于（ ）
1.从装有两个白球和两个黄球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取 2 个球，以下给出了四组事件
①至少有 1 个白球与至少有 1 个黄球； ②至少有 1 个黄球与都是黄球； ③恰有 1 个白球与恰有 1 个黄球； ④至少有 1 个黄球与都是白球． 其中互斥而不对立的事件共有（ ）
A. 0 组
B. 1 组
15.一个袋中装有大小相同的 5 个白球和 3 个红球，现在不放回的取 2 次球，每次取出一个球，记“第 1 次拿
出的是白球”为事件 A ，“第 2 次拿出的是白球”为事件 B ，则 P B A 是________
16.已知 1 2x6 展开式的二项式系数的最大值为 a，系数的最大值为 b，则 b 12a __________．
C. 2 组
D. 3 组
2.甲、乙两人做游戏，下列游戏不公平的是（ ） A. 抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜 B. 甲、乙两人各写一个数字 1 或 2，如果两人写的数字相同甲获胜，否则乙获胜 C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜 D. 同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜 3.下列随机变量中不是离散型随机变量的是（ ） A. 掷 5 次硬币正面向上的次数 M B. 从标有数字 1 至 4 的 4 个小球中任取 2 个小球，这 2 个小球上所标的数字之和 Y C. 某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间 T D. 将一个骰子掷 3 次，3 次出现的点数之和 X 4.给出以下四个说法： ①回归直线可以不过样本的中心点；
湖北省部分重点中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版)
湖北省部分重点中学2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷（解析版）一、选择题1．已知全集{}10864210,,,,,,U =，集合{}642,,A =，{}1=B ，则B A U等于（ ）A 、{}10810,,,B 、{}6421,,, C 、{}1080,, D 、∅ 【答案】A【解析】试题分析：由题意知{}10810,,,A U=，又{}1=B ，∴{}10810,,,B A U= .考点：集合的运算.2．函数()3421-=x log y 的定义域为（ ）A 、⎪⎭⎫⎝⎛+∞,43 B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-43, C 、⎥⎦⎤ ⎝⎛143, D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛143,【答案】C【解析】试题分析：由题意知()03421≥-x log ，推出()1342121log x log ≥-，而函数()3421-x log 在定义域内是减函数，所以得134≤-x ，故求得1≤x .再根据对数的定义得到034>-x ，求得43>x ，二者取交集得到函数的定义域为⎥⎦⎤ ⎝⎛143,. 考点：对数函数的定义域和单调性.3．若()32+=x x f ，()()x f x g =+2，则()x g 的表达式为（ ） A 、12+x B 、12-x C 、32-x D 、72+x【答案】B 【解析】试题分析：()()122322-+=+=+x x x g ，所以()12-=x x g . 考点：函数解析式的求解.4．已知{}22-==x y y A ；{}22+-==x y y B ，则=B A （ ）A 、()(){}0202,,,-B 、[]22,-C 、[]22,-D 、{}22,-【答案】D 【解析】试题分析：由题意知{}[)+∞-=-==,x y y A 222，{}(]222,x y y B ∞-=+-==，所以[]22,B A -=.考点：集合的表示和运算.5．方程033=--x x 的实数解落在的区间是（ ）A 、[]01,-B 、[]10,C 、[]21,D 、[]32, 【答案】C【解析】试题分析：设函数()33--=x x x f ，而()()()()()0302010001>><<<-f ,f ,f ,f ,f ，根据函数零点的存在性定理可知，()x f 在()21,内有零点，故只有C 符合题意. 考点：函数零点的存在性定理.6．设()x f 是奇函数，且在()+∞,0是增函数，又()03=-f ，则()0<x xf 的解集是（ ） A 、{}303><<-x x x 或 B 、{}303<<-<x x x 或 C 、{}33>-<x x 或 D 、{}3003<<<<-x x x 或 【答案】D 【解析】试题分析：由于()x f 是奇函数，所以()()033=--=f f ，因为()x f 在()+∞,0是增函数，所以()x f 在()-∞,0上也是增函数，故当{}303><<-x x x 或时，()0>x f ，当{}303<<-<x x x 或时，()0<x f ，因此，()0<x xf 的解集为{}3003<<<<-x x x 或. 考点：函数的奇偶性和单调性.7．对于10<<a ，给出下列四个不等式 ①()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+a log a log a a 111 ②()⎪⎭⎫ ⎝⎛+>+a log a log a a 111 ③a aaa 111++< ④aaaa111++>其中成立的是（ ）A 、①与③B 、①与④C 、②与③D 、②与④ 【答案】D 【解析】试题分析：由于10<<a ，所以函数()x log x f a =和()x a x g =在定义域上都是单调递减函数，而且aa 111+<+，所以②与④是正确的. 考点：指数函数和对数函数的单调性.8．已知()43-+=bx ax x f ，其中b ,a 为常数，若()72=-f ，则()2f 的值为（ ） A 、15 B 、7- C 、14 D 、15- 【答案】D 【解析】试题分析：设()bx ax x g +=3，()x g 显然为奇函数，而且()()4-=x g x f ，()()7422=--=-g f ，则()112=-g ，因为()()422-=g f ，()()1122-=--=g g ，所以()152-=f . 考点：函数的奇偶性.9．设10<<a ，函数()()222--=x x a a a log x f ，则使()0<x f 得x 的取值范围是（ ） A 、()0,∞- B 、()+∞,0 C 、()3a log ,∞- D 、()+∞,log a 3 【答案】C 【解析】试题分析：由于函数()10<<=a x l o g y a 在定义域内是减函数，所以()()122122022>--⇒<--⇔<x x a x x a a a log a a log x f ，解不等式得到3>x a 或1-<x a （舍去），而且 333a a xa xlog x log a log a <⇒<⇒>，所以选C. 考点：对数函数的单调性.10．设()x f 和()x g 是定义在同一个区间[]b ,a 上的两个函数，若函数()()x g x f y -=在[]b ,a x ∈上有两个不同的零点，则称()x f 和()x g 在[]b ,a 上是“关联函数”，区间[]b ,a 称为“关联区间”.若()432+-=x x x f 与()m x x g +=2在[]30,上是“关联函数”，则m 的取值范围是（ ） A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛--249, B 、[]01,- C 、(]2-∞-, D 、⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,49【答案】A 【解析】试题分析由题意知：()()m x x x g x f y -+-=-=452在区间[]30,上有两个不同的零点，所以方程0452=-+-m x x 有两个不同的实根，所以△0<,求得49->m ，而函数图像开口向上，由题意必须保证()00≥f 且()03≥f ，求得2-≤m ，综上249-≤<-m . 考点：二次函数的图像及性质.二、填空题11．已知()[]()22422,x x x x f -∈++=，则()x f 的值域为__________. 【答案】[]123, 【解析】试题分析：函数()x f 的图像对称轴为1-，开口向上，而1-在区间[]22,-上，所以()x f 最小值为()31=-f ，最大值为()122=f ，所以()x f 在[]22,-上值域为[]123,. 考点：二次函数闭区间上求最值.12．已知()1-x f 的定义域为[]33,-，则()x f 的定义域为__________. 【答案】[]24,- 【解析】试题分析：由于()1-x f 的定义域为{}33≤≤-x x ，则214≤-≤-x ，故()x f 的定义域为{}24≤≤-x x . 考点：函数的定义域.13．已知32-=a ；221-⎪⎭⎫⎝⎛=b ；502.log c =.则c ,b ,a 的大小关系是（从大到小排列）__________. 【答案】c a b >> 【解析】试题分析：8123==-a ，422122==⎪⎭⎫⎝⎛=-b ，015022=<=log .log c ，故c a b >>.考点：指数函数和对数函数比较大小（运算）.14．函数()32221+-=mx x log y 在()1,∞-上为增函数，则实数m 道的取值范围是__________.【答案】[]21, 【解析】试题分析：设()()222332m m x mx x x f -+-=+-=，则()x f 开口向上，对称轴为m x =，则原题实际等价于()()()()()⎩⎨⎧≤≥⇒⎩⎨⎧≥≥=⇒⎩⎨⎧∞-∈>∞-21011101m m f m x ,x x f ,x f 时恒成立对上为减函数在，即所求的m 取值范围是[]21,.考点：对数函数和二次函数复合的问题应用.15．已知函数()()()()⎩⎨⎧>-≤+-=12153x x log a x x a x f a 是()+∞∞-,上的减函数，则a 的取值范围是__________. 【答案】(]21, 【解析】试题分析：设()()53+-=x a x g ，()x log a x h a -=2，由题意可知：()()x h ,x g 在()+∞∞-,都为减函数，所以03<-a 且1>a ，解得31<<a ，再有()()11h g ≥，解得2≤a ，最后a 的取值范围是(]21,. 考点：分段函数的单调性.三、解答题16．计算：（1）已知全集为R ，集合{}52≤≤-=x x A ，{}61≤≤=x x B ，求A UB U.（2）33240102733e ln .lg log +--【答案】（1）{}62>-<x x x 或;（2）0【解析】试题分析：（1）先分别求集合A 和B 的补集，然后再取交集.（2）四项分别计算，然后求和.试题题析：（1）{}52>-<=x x x A U或 2分{}61><=x x x BU或 4分∴AU{}62>-<=x x x B U或 6分()0329401027333243=+---=+--e ln .lg log 12分考点：1、集合的补集和交集运算.2、指数和对数的运算.17．已知()x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，()12--=x x x f ； （1）求()x f 的解析式；（2）作出函数()x f 的图象（不用列表），并指出它的增区间.【答案】（1）()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<+--=>--=01000122x x x x x x x x f ; （2），函数的增区间为：⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,,,2121【解析】试题分析：（1）根据奇函数的性质求得，当0=x 和0<x 时的解析式，最后得到()x f 分段函数的解析式.（2）根据各段区间的解析式画出()x f 函数的图象，找到增区间. 试题题析：（1）设0<x ，则0>-x()()()1122-+=----=-∴x x x x x f 3分又 函数()x f 是奇函数()()x f x f -=-∴()()12+--=--=∴x x x f x f 6分当0=x 时，由()()00f f -=得()00=f 7分()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<+--=>--=∴01000122x x x x x x x x f 8分11分由函数图象易得函数的增区间为：⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,,,2121 12分考点：1、奇函数的定义和性质.2、分段函数图像的画法.3、二次图象的画法.4、从函数图像看单调区间.18．已知函数()()122++=x ax ln x f ；()()54221--=x x log x g（1）若()x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. （2）若()x f 的值域为R ，则实数a 的取值范围. （3）求函数()x g 的递减区间.【答案】（1）()+∞,1;（2）[]10,;（3）()+∞,5 【解析】试题分析：（1）保证内函数122++=x ax y 的值恒大于0，也就是说判别式小于0.（2）()x f 的值域为R 等价于内函数122++=x ax y 的值域包含()+∞,0,分情况考虑，当0=a ，122++=x ax y 为一次函数，值域包含()+∞,0，0≠a 时，122++=x ax y 为二次函数时，保证判别式大于等于0，最后取并集得结果.先求出()x g 的定义域，再求内函数542--=x x y 的增区间，即为()x g 的递减区间.试题题析：（1）若()x f 的定义域为R ，则122++=x ax y 的图像恒在x 轴的上方，⎩⎨⎧<-=>∴0440a Δa ， 1>∴a即a 的取值范围是()+∞,1. 4分若()x f 的值域为R ，则122++=x ax y 的图象一定要与x 轴有交点，0=∴a 或⎩⎨⎧≥-=>0440a Δa10≤≤∴a即a 的取值范围是[]10,8分 求出()x g 的定义域为{}51>-<x x x 或 10分∴()x g 的减区间为()+∞,5 12分考点：带有参数的对数函数关于定义域、值域以及单调区间讨论问题.19．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元?(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元.写出函数()x f P =的表达式; (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个，利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)【答案】（1）550;（2）()()()()()N x x x xx x f P ∈⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤<==550515501005062100060;（3）6000，,11000【解析】试题分析：（1）当实际出厂单价为51元时，相比原定价60元降低了9元，而每多订购一个全部零件的出厂单价就降低0.02元，用9除以0.02得到450，得到多订购的零件数，再加上100等于550就是一共订的零件数.（2）分情况讨论当订单数小于等于100，出厂单价不变，当订单数在100到550时，零件的实际出厂单价和零件数变化而变化.当零件数大于等于550时，出厂单价就为51，保持不变.（3）根据零件数的单价讨论，列出利润的分情况讨论，再分别求出零件数为500和1000时的利润.试题题析：（1）设每个零件实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为0x 个，则55002051601000=-+=.x ，因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元 2分当1000≤<x 时，60=P当500100<<x 时，()506210002060x x .P -=--= 当500≥x 时，51=P()()()()()N x x x xx x f P ∈⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤<==550515501005062100060 6分设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<=-=550115501005022100020402x xN x x x x x x x P L当500=x 时，6000=L ；当1000=x 时，11000=L因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润为6000元，如果订购100个利润为11000元. 12分 考点：分段函数的应用.20．已知定义域为R 的函数()abx f x x ++-=+122是奇函数.（1）求b ,a 的值；（2）若对任意的R t ∈，不等式()()0222<--+-k t t f t t f 恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）2=a ，1=b ;（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31, 【解析】试题分析：（1）根据奇函数的性质，()00=f 可以求出b 的值；再根据奇函数的定义，带入特值1，得到()()11--=f f ，求得a 的值.（2）先判断函数在定义域上是减函数，再通过已知给的式子建立不等式，得到0232>--k t t ，由于对一切t 恒成立，再根据判别式小于0得到结论.试题题析：（1）因为()x f 是奇函数，所以()00=f ，即1021=⇒=+-b a b ()1221++-=∴x x a x f ，又因为()()11--=f f 知21211421=⇒+--=+-a a a 4分由（1）知()1212122211++-=+-=+xx x x f ，易知()x f 在()+∞∞-,上为减函数.又因为()x f 是奇函数，从而不等式：()()0222<--+-k t t f t t f ，等价于()()()k t t f k t t f t t f ++-=---<-2222，因()x f 是减函数，由上式推得：即对一切R t ∈有：t t k 232-<，又31313132322-≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t t t31-<∴k ，即k 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31, 13分考点：函数的奇偶性和单调性.21．函数()x f 对于任意的实数y ,x 都有()()()y f x f y x f +=+成立，且当0>x 时()0<x f 恒成立.（1）证明函数()x f 的奇偶性；（2）若()21-=f ，求函数()x f 在[]22,-上的最大值； （3）解关于x 的不等式()()()()24212212-->--f x f x f x f 【答案】（1）见解析;（2）4;（3）{}12->-<x x x 或 【解析】试题分析：（1）先求出()00=f ，再取x y -=，证明出()()x f x f -=-，得出()x f 为奇函数.（2）先用定义法证明()x f 是在()+∞∞-,上是减函数，即得出在[]22,-上()2-f 最大.（3）通过已知给出的式子()()()y f x f y x f +=+讲不等式合并成一项，再通过当0>x 时()0<x f 恒成立，即可解出不等式.试题解析：（1）令0==y x 得()00=f ，再令x y -=，即得()()x f x f -=-，所以()x f 是奇函数 2分设任意的R x ,x ∈21，且21x x <，则021>-x x ，由已知得()012<-x x f （1） 又()()()()()121212x f x f x f x f x x f -=-+=-（2） 由（1）（2）可知()()21x f x f >，由函数的单调性定义知()x f 在()+∞∞-,上是减函数 6分[]22,x -∈∴时，()()()()()4121122=-=+-=-=-=f f f f x f m ax ，()x f ∴当[]22,x -∈时的最大值为4. 8分由已知得：()()()()24212212-->--f x f x f x f ，所以()()()()024212212<--++--f x f x f x f ， 所以()()()()0222242<--+--f x f x f x f ，所以()04622<++x x f ，当0>x 时()0<x f 恒成立，所以4622++=x x y 恒大于0，解得12->-<x x 或，即原不等式的解集是{}12->-<x x x 或. 14分考点：函数的奇偶性和单调性的综合应用.。
2020-2021学年湖北省武汉市部分重点中学高一下学期期中联考数学试题 PDF版
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人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
2019-2020学年武汉三中等六校高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年武汉三中等六校高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知a ，b ，c ，d ∈R ，给出下列四个命题，其中正确的是( )A. 若a >b ，c >d ，则a −d <b −cB. 若ac 2>bc 2，则a >bC. 若c <b <a ，且ac <0，则cb 2<ab 2D. 若a >b ，则lg(a −b)>02. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，两个非零向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角分别为π6和2π3，向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴夹角取值范围是( )A. (0,π3)B. (π3,5π6)C. (π2,2π3)D. (2π3,5π6)3. 若向量 =(2,−3)， =(x,9)，且，则x 的值是A. −6B.C. 6D.4. 不等式的解集是( )A.B.C.D.5. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为为锐角，，则为( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形6. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设A(a 1009,1)，B(2,−1)，C(2,2)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影相同，则S 2017为A. −2016B. −2017C. 2017D. 07. 小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①BC =12m ，②B 处的仰角60°，③C 处的仰角45°，④cos∠BAC =3√68，⑤∠BOC =30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为( )A. 10√3mB. 12mC. 12√2mD. 12√3m8. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinA <cosBsinC ，则△ABC 一定为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形9. 已知，向量，向量，且，则的最小值为A. 18B. 16C. 9D. 810. 已知△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，点M 是线段BC(含端点)上的一点，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=1，则|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ) A. (12,2)B. [12,1]C. (1,2]D. (1,32]11. 下列说法正确的是( )A. 当x >0时，√x x ≥2B. 当x ≠kπ+π2,k ∈Z 时，cosx +1cosx ≥2 C. 当x ≥2时，x +1x 的最小值为2 D. 当0<x ≤1时，x −1x 无最大值12. 对于非零实数a ，b ，以下四个命题都成立：①a 2+1a 2>0；②(a −b)2=a 2−2ab +b 2； ③若a 2=b 2，则a =±b ； ④若a 3−a 2b >0，则a −b >0．那么，对于非零复数a ，b ，仍然成立的命题的所有序号是( )A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）>2的解集是______．13.不等式1x14.若在△ABC中，角A，B，C对应边为a，b，c，若A=60°，b=1，S△ABC=√3，则a+b+c=______．sinA+sinB+sinC15.15.如图，从一点引出三条射线与直线分别交于三个不同的点，则下列命题正确的是．1若，则；2若先引射线与交于两点，且恰好是夹角为的单位向量，再引射线与直线交于点(在之间)，则的面积的概率是；3若，和的夹角为，和夹角为，则；4若为中点，为线段上一点(不含端点)，且，过作直线分别交射线于，若，则的最大值是16.如图，边长为的正方形的顶点，分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知a⃗=(x+1,y)，b⃗ =(x−1,y)，其中x，y∈R，且|a⃗|+|b⃗ |=4，动点P(x,y)的轨迹为L．(Ⅰ)求动点P(x,y)的轨迹方程；(Ⅱ)已知点F1(−1,0)，过点F2(1,0)的直线l与轨迹L相交于A，B两点，问△ABF1的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．18.如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥DA，CE=√7，∠ADC=2π；E为AD边上一点，DE=1，3EA=2，∠BEC=π3(Ⅰ)求sin∠CED的值；(Ⅱ)求BE的长．19.已知数列和满足，若为等比数列，且，．(1)求与；(2)设()，记数列的前项和为，求；20.已知函数，其中，，在中，分别是角的对边，且，(1)求角;(2)若，，求的面积．21.岳阳市为了改善整个城市的交通状况，对过洞庭大桥的车辆通行能力进行调查．统计数据显示：在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为85千米/小时，研究表明：当30≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)=x⋅v(x)可以达到最大，并求出最大值．22.(本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里?(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船?【答案与解析】1.答案：B解析：解：对于A ：若a >b ，c >d ，则a +c >b +d ，即a −d >b −c ，故A 错误； 对于B ：若ac 2>bc 2，则a >b ，成立； 对于C ：当b =0时，不成立； 对于D ：若0<a −b <1时，不成立； 故选：B ．分别对各个选项进行判断，从而得到结论．本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．2.答案：B解析：解：由OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角的取值范围应在向量−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角之间， 由于非零向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角分别为π6和2π3， ∴向量−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角范围是(π3,5π6) ∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角的取值范围是(π3,5π6)故选：B ．由题意及图可判断出−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角之间，结合已知可得向量−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，−OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与x 轴正半轴的夹角范围是(π3,5π6)，进而可得答案．本题考查平面向量的综合运用，考查了向量的夹角，向量的相等，解题的关键是理解题意，属中档题．3.答案：A解析：∵向量 a ⃗ =(2,−3)， b ⃗ =(x,9)，且 a ⃗ // b ⃗ ， ∴−3x −2×9=0， ∴x =−6；故选A ．4.答案：C解析：试题分析：先将不等式转化为，结合二次函数的图像可得二次不等式的解集为，选C ．考点：二次不等式．5.答案：D解析：试题分析：由已知得，所以，且，由为锐角，故，由正弦定理得，则，，展开得，，故，所以，所以是等腰直角三角形考点：正弦定理和三角恒等变形．6.答案：D解析：解：∵A(a 1009,1)，B(2,−1)，C(2,2)，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影相同， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2a 1009+2=2×2−1×2， 即a 1009=0，∴a 1+a 2017=2a 1009=0， ∴S 2017=20172(a 1+a 2017)=0，故选：D ．向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 在向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影相同可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得a 1009=0，再利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．本题考查了向量的数量积运算、投影，等差数列的求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：D解析：本题考查的知识要点：三角形中仰角和俯角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．首先利用仰角和俯角求出OB 和OC 的长，进一步利用余弦定理的应用求出OA 的长． 解：选①②③⑤， 如图所示：则∠ABO =60°，∠ACO =45°， 设OA =x ，则OA =OC =x ，OB =√3． 在△BOC 中，利用余弦定理：BC 2=122=x 2+(√3)2−2x ⋅√3√32， 整理得：x =12√3，即OA =12√3m ， 故选D ．8.答案：C解析：解：∵sinA <cosBsinC ，∴由正弦定理可得：a <ccosB ，可得a <c ⋅a 2+c 2−b 22ac，∴整理可得a 2+b 2−c 2<0，∴cosC =a 2+b 2−c 22ab<0，∵C ∈(0,π)，∴C 为钝角，△ABC 为钝角三角形． 故选：C ．由正弦定理、余弦定理化简已知等式可得a 2+b 2−c 2<0，可求cosC =a 2+b 2−c 22ab<0，结合范围C ∈(0,π)，可求C 为钝角，即可得解△ABC 为钝角三角形．本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.答案：C解析：试题分析：由 所以当且仅当取“=”．所以的最小值为9，选．考点：1.平面向量的坐标运算；2.基本不等式．10.答案：B解析：解：解：如图所示，建立直角坐标系． 则B(0,c)，C(b,0)，D(b,c)，M(x,y)．∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，及四边形ABDC 为矩形， ∴|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2． ∴b 2+c 2=4． ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1， ∴bx +cy =1． |AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 2+y 2． ∵(x 2+y 2)(b 2+c 2)≥(bx +cy)2， ∴4(x 2+y 2)≥1．∴√x 2+y 2≥12.即|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥12．∵点M 在直线BC 上，∴x b +yc =1． ∴1=(bx +cy)(xb+yc )=x 2+y 2+cxy b+bxy c，∵b ，c >0，x ≥0，y ≥0．∴x 2+y 2≤1，即√x 2+y 2≤1(当且仅当x =0或y =0时取等号)，综上可得：12≤|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤1． 故选：B ．如图所示，建立直角坐标系，则B(0,c)，C(b,0)，D(b,c)，M(x,y).利用向量的坐标运算可得b 2+c 2=4.再利用数量积运算AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=1， 可得bx +cy =1.利用数量积性质可得(x 2+y 2)(b 2+c 2)≥(bx +cy)2，可得|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥12.再利用x b +y c=1，1=(bx +cy)(x b+y c)=x 2+y 2+cxy b+bxy c，可得x 2+y 2≤1，即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积运算及其性质、不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．11.答案：A解析：解：当x >0时，由基本不等式可得，√x+√x ≥2√√x√x =2，当且仅当√x =x 即x =1时取等号；故A 正确；当cosx <0时，cosx +1cosx <0，故B 错误；当x ≥2时，由对勾函数的单调性可知，y =x +1x 在[2,+∞)上单调递增，故当x =2时，函数取得最小值52，故C 错误；当0<x ≤1时，函数y =x −1x 单调递增，故当x =1时函数取得最大值0，故D 错误． 故选：A ．当x >0时，由基本不等式可得，√x√x ≥2√√x√x =2，当cosx <0时，cosx +1cosx <0，当x ≥2时，由对勾函数的单调性可知，y =x +1x 在[2,+∞)上单调递增，当0<x ≤1时，函数y =x −1x 单调递增，故当x =1时函数取得最大值，从而可求．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，及利用函数的单调性求解函数的最值，属于基础试题．12.答案：B=−2<0，①不成立；解析：解：对于①：存在非零复数a=±i使得a2+1a2对于②根据复数乘法的定义，可判断(a−b)2=a2−2ab+b2成立；对于③根据复数乘法的定义，a2=b2，则a=±b；成立；④：存在非零复数a=i，b=1+i，使a3−a2b>0，a−b<0，④不成立．答案：B．要熟悉复数的概念和性质及其基本运算本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，复数的基本概念，其中根据复数运算法则，逐一判断四个命题，并得到他们是否成立，是解答本题的关键．)13.答案：(0,12解析：解：原不等式等价于1−2x>0x等价于x(2x−1)<0解得0<x<12)故答案为(0,12通过移项、通分；利用两个数的商大于0等价于它们的积大于0；将分式不等式转化为二次不等式，解二次不等式求出原不等式的解集．本题考查将分式不等式等价转化为二次不等式、考查二次不等式的解法．14.答案：2√393解析：利用三角形面积公式求出c的值，再利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，属于中档题．解：由A =60°，得到sinA =√32，cosA =12，又b =1，S △ABC =√3， ∴12bcsinA =12×1×c ×√32=√3，解得c =4，根据余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =1+16−4=13， 解得a =√13， 根据正弦定理asinA =b sinB=c sinC=√13√32=2√393，则a+b+csinA+sinB+sinC=2√393．故答案为：2√39315.答案：①③解析：本题综合考查了向量向量共线定理、几何概率、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 故答案为：①③．16.答案：解析：试题分析：由图可知，所以()()==，显然当时，与平行，此时取到最大值，所以的最大值是．考点：本小题主要考查向量的线性运算和向量数量积的运算，考查学生的转化能力和运算能力． 点评：当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理以及解三角形等知识．17.答案：解：(Ⅰ)由a⃗=(x+1,y)，b⃗ =(x−1,y)，且|a⃗|+|b⃗ |=4，得：√(x+1)2+y2+√(x−1)2+y2=4．整理得：x24+y23=1；(Ⅱ)若△ABF1的内切圆的面积最大，即内切圆的半径最大，∵△ABF1的周长为椭圆x24+y23=1的长轴长的2倍为定值，则△ABF1的面积最大．设直线l的方程为x=my+1．联立{x24+y23=1x=my+1，得：(3m2+4)y2+6my−9=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=−6m3m2+4,y1y2=−93m2+4．∴|y1−y2|=√(y1+y2)2−4y1y2=√(−6m3m2+4)2−4×(−93m2+4)=√36m+36(3m+4)(3m2+4)2=√144(m+1)[3(m2+1)+1]2=√1449(m2+1)+1m2+1+6．当m2+1=1，即m=0时，|y1−y2|max=3．此时△ABF1的面积最大，最大值为12×2×3=3．设△ABF1的内切圆的半径为r，则12×4×2r=3，r=34，内切圆的面积为916π，此时直线l的方程为x=1．解析：(Ⅰ)直接由已知结合|a⃗|+|b⃗ |=4，求得动点P(x,y)的轨迹方程；(Ⅱ)把△ABF1的内切圆的面积最大转化为△ABF1的面积最大，设出直线l的方程为x=my+1，联立直线方程和椭圆方程，转化为关于y的一元二次方程，由函数的单调性求得使△ABF1的面积最大的m值，进一步求得内切圆面积的最大值．本题考查由平面向量求曲线的轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查计算能力，是中高档题．18.答案：解：(Ⅰ)在△CED中，由余弦定理，得CE2=CD2+DE2−2CD×DE×cos∠CDE，得CD2+CD−6=0，解得CD=2(CD=−3舍去)．在△CED中，由正弦定理，得sin∠CED=√217．(Ⅱ)设∠CED=α，由题设知α∈(0,π3)，所以，而∠AEB=2π3−α，所以cos∠AEB=cos(2π3−α)=cos 2π3cosα+sin2π3sinα=−12cosα+√32sinα=−12×2√77+√32×√217=√714．在Rt△EAB中，BE=2cos∠AEB=4√7．解析：本题主要考查了余弦定理，正弦定理的综合应用，综合性较强，属于中档题．(Ⅰ)在△CED中，由余弦定理，可解得CD=2，在△CED中，由正弦定理可解得sin∠CED的值．(Ⅱ)设∠CED=α.由题设知α∈(0,π3)，先求，而∠AEB=2π3−α，即可求cos∠AEB=cos(2π3−α)的值，进而可求BE的值．19.答案：(1)由题意，可知，所以可得，又由，得公比(舍去)所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为(2)由(1)知，，所以．解析：解：(1)由题意，可知，所以可得，又由，得公比(舍去)所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为(2)由(1)知，，，所以．20.答案：(1)(2)解析：解析： 试题分析：(1)，………………………………………………7分(2)………………………………………………14分考点：解三角形点评：结合向量的知识分析解三角形，主要是对于三角恒等变换的运用和求值，同时要熟记三角形面积公式，中档题。
高一上学期期中考试化学试题解析版
12.下列有关氧化还原反应的叙述正确的是( )
A. 氧化还原反应中有一种元素被氧化时，一定有另一种元素被还原
B. 某金属元素M由化合态变为游离态，M一定被还原
C. 用双线桥表示下列反应的电子转移
D. 非金属单质在反应中只能作氧化剂
【答案】B
【解析】
【详解】A.氧化还原反应中有一种元素被氧化时，不一定有另一种元素被还原，可能发生自身氧化还原反应，同种元素化合价既升高，又降低，故A错误；
A.Mg2+、H+、Cu2+、SO42-B.Ba2+、NO3-、OH-、CO32--
C.Ag+、H+、Cl-、NO3-D.K+、H+、Cl-、CO32-
【答案】A
【解析】
【详解】A. Mg2+、H+、Cu2+、SO42-四种离子间不反应，没有沉淀、气体和水生成，故A符合；
B. Ba2+和CO32—生成碳酸钡沉淀，故B不符；
B.金属元素只有正价，某金属元素M由化合态变为游离态，M一定被还原，故B正确；
C. 6molHCl中只有5mol作还原剂，用双线桥表示下列反应的电子转移 ，故C错误；
D.非金属元素既有负价也有正价，非金属单质在反应中可能作氧化剂，也可能作还原剂，故D错误；
故选B。
13.下列各组离子，能在溶液中大量共存且溶液呈透明的是( )
④由氯化钠溶液获取氯化钠晶体，蒸发结晶过程中要用玻璃棒搅拌；
⑤分离水与丙酮的混合物（已知：丙酮是一种可与水混溶的无色液体，密度小于水，常压下沸点约为56℃），主要用分液漏斗分液，无需使用玻璃棒；
需要使用玻璃棒进行操作的是①③④，
故选B。
8.2018年11月16日，国际计量大会通过决议，1摩尔被定义为“精确包含6.02214076×1023个原子或分子等基本单元的系统的物质的量”，这一常数被称为阿伏加德罗常数（NA），单位为mol-1。基于这一新定义，阿伏伽德罗常数的不确定性消除了。下列叙述正确的是( )
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．2．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N3．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'＝1，那么原三角形ABO面积是（）A．B．C．D．4．已知等比数列{a n}中，a5a11＝3a8，数列{b n}是等差数列，且b6＝a8，则b4+b8＝（）A．3B．6C．9D．125．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，a＝1，，则c＝（）A．B．1C．D．6．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（）A．20%，12800元B．10%，12800元C．20%，10240元D．10%，10240元7．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A．1：2B．1：C．1：D．：28．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣9．若正数a，b满足a+b＝2，则+的最小值是（）A．1B．C．9D．1610．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知正项数列{a n}满足，n∈N*，其中S n为数列{a n}的前n项和，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝（）A．135B．141C．149D．15511．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB角的平分线，I为PC 上一点，满足＝+λ（+）（λ＞0），，，则的值为（）A．2B．3C．4D．512．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1+a n＝2n+3（n∈N*）且S n＝1300，若a2＜3，则n的最大值为（）A．49B．50C．51D．52二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题纸上的相应位置．）13．设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式正确的是．（仅填写正确不等式的序号）①；②ac2＜bc2；③；④；⑤14．已知向量是平面内的一组基底，若，则称有序实数对（x，y）为向量在基底下的坐标．给定一个平面向量，已知在基底下的坐标为（1，2），那么在基底，下的坐标为．15．已知函数（e是自然对数的底数），设，n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，则S4039的值是．16．如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则CD的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸上的相应位置．）17．已知向量和，其中，，k∈R．（1）当k为何值时，有、平行；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．18．在数列{a n}，{b n}中，a1＝b1＝1，a n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1，．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．19．如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．20．已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sin A+sin B）＝1（其中R 为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S＝c2﹣（a﹣b）2．（1）求tan C的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．21．如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足＝λ，点E是边CB上一点，满足＝λ．①当λ＝时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．22．已知数列{a n}满足，n∈N*，a1＝1．（1）若a2＝3，a3＝x，a4＝6，求x的取值范围；（2）若{a n}是公比为q的等比数列，S n＝a1+a2+…+a n，≤3S n，n∈N*，求q 的取值范围；（3）若a1，a2，…，a k成等差数列，且a1+a2+…+a k＝2020，求正整数k的最大值．参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．解：∵，∴，∴x＝3，，，∴．故选：D．2．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N解：∵M﹣N═2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3）＝（a﹣1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．3．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'＝1，那么原三角形ABO面积是（）A．B．C．D．解：由斜二测直观图还原原图形如图所示，因为边O′B′在x′轴上，所以在原图形中对应的边应在x轴上，且长度不变；O′A′在y′轴上，所以在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍；因为O′A′＝1，所以O′B′＝，所以OA＝2，OB＝；所以△AOB的面积为S△ABC＝×OB×OA＝××2＝．故选：B．4．已知等比数列{a n}中，a5a11＝3a8，数列{b n}是等差数列，且b6＝a8，则b4+b8＝（）A．3B．6C．9D．12解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得a5a11＝，又a5a11＝3a8，∴，∵a8≠0，∴a8＝3．又数列{b n}是等差数列，∴b4+b8＝2b6＝2a8＝6．故选：B．5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，a＝1，，则c＝（）A．B．1C．D．解：∵，∴由正弦定理得：sin A•cos B+sin B•cos A＝，∴sin（A+B）＝sin C＝，∵A+B+C＝π，A、B、C∈（0，π），∴sin（A+B）＝sin C＞0，∴2cos C＝，即cos C＝，∵a＝1，b＝，∴由余弦定理可得：c＝＝＝1．故选：B．6．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（）A．20%，12800元B．10%，12800元C．20%，10240元D．10%，10240元解：由题意，可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列，设此等比数列为{a n}，且公比为q，设甲、乙、丙、丁按照的“衰分比”的值为x，则x＝1﹣q．依题意，a1+a2+a3+a4＝59040，a1+a3＝32800，则a2+a4＝59040﹣32800＝26240，∴q＝＝＝0.8，∴“衰分比”的值x＝1﹣0.8＝0.2＝20%，∵a1+a3＝a1+a1q2＝a1（1+q2）＝a1（1+0.82）＝1.64a1＝32800，∴a1＝＝20000，∴a3＝a1q2＝20000×0.82＝12800，∴丙所获得的奖金为12800元．故选：A．7．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A．1：2B．1：C．1：D．：2解：若圆锥的高等于底面直径，则h＝2r，则母线l＝＝r，而圆锥的底面面积为πr2，圆锥的侧面积为πrl＝πr2，故圆锥的底面积与侧面积之比为1：，故选：C．8．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且，若，则λ＝（）A．B．﹣C．﹣D．﹣解：如图，设，且，则：＝＝＝＝＝，∵，∴，解得．故选：A．9．若正数a，b满足a+b＝2，则+的最小值是（）A．1B．C．9D．16解：∵正数a，b满足a+b＝2，∴（a+1）+（b+1）＝4∴+＝（+）[（a+1）+（b+1）]＝[5++]≥（5+2）＝当且仅当＝即a＝且b＝时取等号．故选：B．10．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知正项数列{a n}满足，n∈N*，其中S n为数列{a n}的前n项和，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝（）A．135B．141C．149D．155解：由，令n＝1，得a1＝S1＝（a1+），∵a n＞0，得a1＝1．当n≥2时，S n＝（a n+）＝（S n﹣S n﹣1+），即S n2﹣S n﹣12＝1，因此，数列{S n2}是首项为1，公差为1的等差数列，∴S n2＝n，即S n＝，[S1]＝1，[S2]＝1，[S3]＝1，[S4]＝…＝[S8]＝2，[S9]＝…＝[S15]＝3，…，[S36]＝…＝[S40]＝6，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×5＝155．故选：D．11．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB角的平分线，I为PC 上一点，满足＝+λ（+）（λ＞0），，，则的值为（）A．2B．3C．4D．5解：∵，PC是∠APB角的平分线，又满足＝+λ（+）（λ＞0），即＝λ，所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA，PB于E、F，∵，，＝＝＝＝3，在直角三角形BIH中，cos∠IBH＝，所以＝cos∠IBH＝＝3．故选：B．12．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1+a n＝2n+3（n∈N*）且S n＝1300，若a2＜3，则n的最大值为（）A．49B．50C．51D．52解：a n+1+a n＝2n+3（n∈N*），可得数列{a n}中，每隔两项求和是首项为5，公差为4的等差数列，则S48＝5×24+×24×23×4＝1224＜1300，又S50＝5×25+×25×24×4＝1325＞1300，则n的最大值可能为49．由a n+1+a n＝2n+3（n∈N*），可得a n+2+a n+1＝2n+5，两式相减可得a n+2﹣a n＝2，可得数列{a n}中的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，若S49＝1300，可得a49＝1300﹣1224＝76，由a2＜3，可得a1＞2，则a49＝a1+2×24＞50，故n的最大值为49．故选：A．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题纸上的相应位置．）13．设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式正确的是④⑤．（仅填写正确不等式的序号）①；②ac2＜bc2；③；④；⑤解：（1）由于a＜b＜0，所以b﹣a＞0，ab＞0，，所以，整理得，故，所以①错误．（2）当c＝0时，ac2＝bc2，故②错误．（3）由（1）知：，且a＜b＜0，所以，﹣a＞﹣b＞0，则，故③错误④正确．（4）由（1）知：，且a＜b＜0，所以，所以，故⑤正确．故答案为：④⑤14．已知向量是平面内的一组基底，若，则称有序实数对（x，y）为向量在基底下的坐标．给定一个平面向量，已知在基底下的坐标为（1，2），那么在基底，下的坐标为（）．解：由已知：＝，∵，．∴，所以在基底，下的坐标为（）．故答案为：（）．15．已知函数（e是自然对数的底数），设，n∈N*，数列{a n}的前n项和为S n，则S4039的值是．解：根据题意，函数，则f（）＝＝，且f（1）＝＝，则有f（x）+f（）＝+＝1，又由则S4039＝f（1）+f（2）+……+f（2020+f（）+f（）+……+f（）＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+……+f（2020）+f（）＝+2019＝．故答案为：．16．如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则CD的取值范围是（）．解：根据题意延长BA，CD交于点E，如图所示：则：在△ADE中，∠ADE＝105°，∠DAE＝45°，∠E＝30°，所以：设AD＝，DE＝，AE＝，AB＝m，由于BC＝2，所以（）sin15°＝1，整理得：，所以0＜x＜4，由于CD＝x+m﹣＝所以：CD的取值范围是（）．故答案为：（）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸上的相应位置．）17．已知向量和，其中，，k∈R．（1）当k为何值时，有、平行；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．解：（1），，所以：＝（﹣k，3k）﹣（12，6）＝（﹣k﹣12，3k﹣6）．＝（﹣1，3）+（4，2）＝（3，5）．由于共线，所以5（﹣k﹣12）﹣3（3k﹣6）＝0，解得k＝﹣3．（2）向量与的夹角为钝角所以，即：3×（﹣k﹣12）+5×（3k﹣6）＜0，解得．由于方向相反时，即：cos＜，＞＝，解得，即当k＝时，方向相反，此时不合题意．故实数k的取值范围（﹣）．18．在数列{a n}，{b n}中，a1＝b1＝1，a n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1，．等差数列{c n}的前两项依次为a2，b3．（1）求{c n}的通项公式；（2）求数列{（a n+b n）c n}的前n项和S n．解：（1）由题意，可知：a2＝4b1﹣a1+2×1﹣1＝4﹣1+2﹣1＝4，b2＝4a1﹣b1﹣2×1+1＝4﹣1﹣2+1＝2，则b3＝4a2﹣b2﹣2×2+1＝4×4﹣2﹣4+1＝11，设等差数列{c n}的公差为d，则：c1＝a2＝4，d＝b3﹣a2＝11﹣4＝7，故c n＝4+7（n﹣1）＝7n﹣3，n∈N*．（2）由题意，将a n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1与b n+1＝4a n﹣b n﹣2n+1相加，可得：a n+1+b n+1＝4b n﹣a n+2n﹣1+4a n﹣b n﹣2n+1＝3（a n+b n），∵a1+b1＝1+1＝2，∴数列{a n+b n}是以2为首项，3为公比的等比数列，∴a n+b n＝2•3n﹣1，∴（a n+b n）c n＝2（7n﹣3）•3n﹣1，∴S n＝（a1+b1）c1+（a2+b2）c2+（a3+b3）c3+…+（a n﹣1+b n﹣1）c n﹣1+（a n+b n）c n＝2•4•1+2•11•31+2•18•32+…+2•（7n﹣10）•3n﹣2+2•（7n﹣3）•3n﹣1，则3S n＝2•4•31+2•11•32+…+2•（7n﹣10）•3n﹣1+2•（7n﹣3）•3n，两式相减，可得：﹣2S n＝2•4•1+2•7•31+2•7•32+…+2•7•3n﹣1﹣2•（7n﹣3）•3n＝8+14•（31+32+…+3n﹣1）﹣2•（7n﹣3）•3n＝8+14•﹣2•（7n﹣3）•3n＝8+7（3n﹣3）﹣2•（7n﹣3）•3n＝﹣（14n﹣13）•3n﹣13∴S n＝•3n+．19．如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，所以PM＝100；连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100，所以△PQM为等边三角形，所以QM＝100 ；在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2+QM2得AQ＝200又在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，所以BQ＝100；在△BQA中，BA2＝BQ2+AQ2﹣2BQ•AQ cosθ＝50000+40000﹣2×100×200×＝50000；解得BA＝100．所以A，B两山顶间的距离是100m．20．已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sin A+sin B）＝1（其中R 为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S＝c2﹣（a﹣b）2．（1）求tan C的值；（2）求△ABC的面积S的最大值．解：（1）∵，∴a＝2R sin A，b＝2R sin B．代入R（sin A+sin B）＝1整理后得a+b＝2．由面积S＝c2﹣（a﹣b）2＝得，两边同除以2ab得：，代入sin2C+cos2C＝1得，因为sin C≠0，所以．∴，∴．（2）由（1）得，当且仅当a＝b＝1时取等号．∴．所以面积的最大值为．21．如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足＝λ，点E是边CB上一点，满足＝λ．①当λ＝时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．解：（1）△ABC中，CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°，由余弦定理得，AB2＝CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB＝12+22﹣2×1×2×cos60°＝3，∴AB＝，即||＝；（2）①λ＝时，＝，＝，∴D、E分别是BC，AB的中点，∴＝+＝+，＝（+），∴•＝（+）•（+）＝•+•+•+＝﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22＝；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由＝λ，得＝λ（﹣），∴＝+＝+λ（﹣）＝λ+（1﹣λ）；又＝λ，∴＝+＝（﹣）+λ（﹣）＝（1﹣λ）﹣；∴•＝λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）＝4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）＝﹣3λ2+2λ＝0，解得λ＝或λ＝0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ＝，使得⊥．22．已知数列{a n}满足，n∈N*，a1＝1．（1）若a2＝3，a3＝x，a4＝6，求x的取值范围；（2）若{a n}是公比为q的等比数列，S n＝a1+a2+…+a n，≤3S n，n∈N*，求q 的取值范围；（3）若a1，a2，…，a k成等差数列，且a1+a2+…+a k＝2020，求正整数k的最大值．解：（1）由题意可得a2≤a3≤3a2，a3≤a4≤3a3，又a2＝3，a3＝x，a4＝6，即有1≤x≤9，x≤6≤3x，即2≤x≤18，可得2≤x≤9；（2）a n＝q n﹣1，由a1≤a2≤3a1，可得≤q≤3，当q＝1时，S n＝n，≤3S n，即n≤n+1≤3n，成立；当1＜q≤3时，S n＝，≤3S n，即•≤≤3•，即≤≤3，可得，由q＞1可得3q n+1﹣q n﹣2＝q n（3q﹣1）﹣2＞2q n﹣2＞0，对于不等式q n+1﹣3q n+2≤0，令n＝1，可得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，所以q n+1﹣3q n+2＝q n（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q ﹣2）≤0成立，所以1＜q≤2；当≤q＜1时，S n＝，≤3S n，即•≤≤3•，可得≤≤3，所以，因为3q﹣1＞0，q﹣3＜0，所以3q n+1﹣q n﹣2＝q n（3q﹣1）﹣2＜2q n﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2＝q n（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0成立，所以当≤q ＜1时，不等式恒成立，综上所述，q的取值范围是[，2]；（3）设a1，a2，…，a k成公差为d的等差数列，由a n≤a n+1≤3a n，且a1＝1，可得[1+（n﹣1）d]≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d]，n＝1，2，…，k﹣1，即，n＝1，2，…，k﹣1，当n＝1时，﹣≤d≤2，当n＝2，3，…，k﹣1时，由＞，可得d≥，所以d≥≥﹣，所以2020＝ka1+•≥k+•，即k2﹣4040k+2020≤0，解得k≤4039，所以k的最大值为4039．。
湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含解析
数学试卷 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知OB 是平行四边形OABC的一条对角线，O 为坐标原点，(2,4)OA =，(1,3)OB =，若点E 满足3OC EC =，则点E 的坐标为（ ） A. 11(,)33-- B. 11(,)33C. 22(,33--） D. 22(,)33【答案】C 【解析】 【分析】首先根据向量减法法则求出C 的坐标，设(),E x y ，则()333,33EC x y =----，根据3OC EC =得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意可得()()()1,32,41,1OC OB OA =-=-=--，所以()1,1C --， 设(),E x y 则()()331,133,33EC x y x y =----=----，由3OC EC =所以331331x y --=-⎧⎨--=-⎩，解得2323x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以点E 的坐标为22,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 故选：C【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题.2.已知数列{}n a 和{}n b 都是等差数列，若22443,5a b a b +=+=，则77a b +=（ ） A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】B 【解析】试题分析：因为数列{}n a 和{}n b 都是等差数列,为等差数列,由22443,5a b a b +=+=,得．77a b +=．故选B ．考点：等差数列．3.设4a b ⋅=，若a 在b 方向上的投影为23，且b 在a 方向上的投影为3，则a 和b 的夹角等于（ ） A.3πB.6π C. 23π D.3π或23π 【答案】A 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ，运用向量的数量积的定义和投影的概念，解方程可得1cos 2θ=，进而得到夹角．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ， 由4a b ⋅=，可得||||cos 4a b θ=， 若a 在b 方向上的投影为23，则2||cos 3a θ=，所以||6b =，又b 在a 方向上的投影为3，则||cos 3b θ=， 综上可得1cos 2θ=， 由于0θπ，则3πθ=．故选：A ．【点睛】本题考查向量的数量积的定义和投影的概念，考查特殊角的三角函数值的求法，属于基础题．4.设0a b <<，0c >，则下列不等式中不成立的是（ ） A.c c a b> ab --> C. ac bc >-D.c c a b a>- 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质可逐个判断．【详解】解：0a b <<，0c >，所以10c>，∴110b aa b ab --=>，即11a b >，所以c c a b>，故A 正确， 0a b ->->a b ->-ab-->B 正确， ||||a b b >=-，所以a c bc >-，故C 正确；110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a <-，所以c c a b a<-，故D 不正确． 故选：D ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查学生运用不等式性质解决问题的能力，属于基础题．5.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且5231n n S n T n +=+，则99a b 的值为（ ）A.1752B.3752C.6752 D.8752【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质11711791791717()217()2a a a S b b b T +==+，即可得出． 【详解】解：由等差数列的性质11711791791717()217()2a a a S b b b T +==+， 又因为5231n n S n T n +=+，所以911977517287317152a Sb T ⨯+===⨯+故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6.ABC 中，31a c =-，tan 2tan B a c C c-=，则角A 为（ ） A.2πB.3π C.4π D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式化简已知等式，整理可得1cos 2B =，结合B 的范围可求B 的值，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos cos()22A C C π-=-，利用余弦函数的性质即可得解3C A π-=，进而可求C ，A 的值．【详解】解：tan 2tan B a c C c-=，得：21sinBcosC sinA sinCcosB sinC =-，可得2sinA sinAsinCcosB sinC =，(),0,A B π∈ sin 0A ∴≠整理解得：12cosB =，所以3B π=即23A C π+=31sinA sinC+=2223A C A CsincossinC+-=22A C cos sinC cos C π-⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ∴22A C C π-=-或22A C C π-=-． A C π∴+=，或3C A π-=，∴当A C π+=时，由于23A C π+=，矛盾， ∴可得：3C A π-=，结合23A C π+=，可得：512C π=，4A π=故选：C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 7.当4a <时，关于x 的不等式22(21)x ax -<的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是（ ）高考资源网（ ） 您身边的高考专家A .2549,916⎛⎤⎥⎝⎦B. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭C. 57,34⎛⎫⎪⎝⎭D. ()3,4【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得04a <<，求出不等式的解集，由11422a <<+，且解集中一定含有整数1，2，3，可得342a<-，由此求得a 的范围．【详解】解：因为不等式等价于2(4)410a x x -+-+<，其中△40a =>，且有40a ->．故04a <<22x a a<<+-，由11422a <<+，可得解集中一定含有整数1，2，3，可得342a <-， ∴5374a a >，解得2549916a <≤，所以a 的取值范围为2549,916⎛⎤⎥⎝⎦， 故选：A ．【点睛】本试题考查含有参数的一元二次不等式的解集问题的运用，考查了分类讨论思想以及逆向思维的能力，属于中档题． 8.已知,0a b >，1a b +=，则12211a b +++的最小值是（ ） A.95B.116C. 75D. 215+【答案】A 【解析】 【分析】由权方和不等式可得，212212121112a b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+≥+++++，将1a b +=代入，即可求出结果. 【详解】由权方和不等式,0a b >，1a b +=，2192212292=+11521115122221a b b a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+≥==+++++++，当且仅当2=212a +时，取等号；故选：A.【点睛】本题主要考查了权方和不等式，权方和不等式：若0,0i i a b >>，则222212121212()()n n n n a a a a a a b b b b b b ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅成立；当i i a b λ=时，等号成立. 9.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为3S c =，则ab 的最小值为（ ） A.12B.13C.16D. 3【答案】B 【解析】试题分析：由正弦定理，有，又2c·cosB＝2a ＋b ，得2sinC·cosB＝2sin A ＋sinB ，由A ＋B ＋C ＝π，得sin A ＝sin(B ＋C)，则2sinC·cosB＝2sin(B ＋C)＋sinB ，即2sinB·cosC＋sinB ＝0， 又0＜B ＜π，sinB ＞0，得cosC ＝－，因为0＜C ＜π，得C ＝，则△ABC 的面积为S △＝ab sinC ＝ab ，即c ＝3ab ，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC ，化简，得a 2＋b 2＋ab ＝9a 2b 2， ∵a 2＋b 2≥2ab，当仅当a=b 时取等号， ∴2ab＋ab≤9a 2b 2，即ab≥，故ab 的最小值是．考点：1.正弦定理和余弦定理；2.基本不等式.10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10100a >，100910100a a +<，则满足10n n S S +<的正整数n 为（ ） A. 2017 B. 2018C. 2019D. 2020【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质，即可得出． 【详解】解：10100a >，100910100a a +<，∴公差0d <，120182018100910102018()1009()02a a S a a +==+<，12019201910102019()201902a a S a +==>，因此满足10n n S S +<的正整数n 为2018． 故选：B ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.P 、Q 为三角形ABC 中不同两点,若PA PB PC AB ++=, Q A 3QB 5QC 0++=,则PABQAB S:S为A.13B.35C.57D.79【答案】B 【解析】令D 为AC 的中点PA PB PC AB ++=,化为PA PC AB PB +=-,即2PD AP =,可得3AC AP =,且点P 在AC 边上,则12PAB ABC S S ∆∆=,设点,M N 分别是,AC AB 的中点,则由350QA QB QC ++=可得260QM QN QC ++=,设点T 是CN 的中点,则2520QM QN QT ++=,设点S 是MT 的中点, 则450QS QN +=,因此可得59QAB ABC S S ∆∆=,所以3:5PAB QAB S S ∆∆=，故选B. 点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．本题的解答中利用共线向量，得到450QS QN +=，从而确定三角形的面积比.12.已知G 点为ABC ∆的重心，设ABC ∆的内角,,A B C 的对边为,,a b c 且满足向量BG CG ⊥，若tan sin a A b C λ=⋅，则实数λ=（ ）A. 2B. 3C.23D.12【答案】D 【解析】如图,连接AG 延长交AG 交BC 于D ,由于G 为重心，故D 中点，∵CG BG ⊥，∴12DG BC =，由重心的性质得，3AD DG =，即32AD BC =，由余弦定理得， 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，∵,ADC BDC CD BD π∠+∠==， ∴222222AC AB AD CD +=+，∴2222219522AC AB BC BC BC +=+= ，∴2225b c a +=，由tan sin a A b C λ=⋅，将正切化为正弦与余弦的商，利用正弦定理可得2cos a bc A λ=，∴222222222152a abc a a a λ===+--故选D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，A ，B 分别在D 处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西60方向，则A ，B 两处岛屿间的距离为__________海里．【答案】206【解析】分析：根据已知条件，分别在ADC 和BDC 中计算,AD BD ，在ADB 用余弦定理计算AB .详解：连接AB ，由题可知40CD =，105ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，30ACD ∠=︒，60ADB ∠=︒，则45DAC ∠=︒在ADC 中，由正弦定理sin sin AD CD ACD DAC=∠∠ 得202AD =BDC 为等腰直角三角形，则402BD =在ADB 中，由余弦定理得222cos 206AB AD BD AD BD ADB +-⋅∠=故答案为6.点睛：解三角形的应用问题，先将实际问题抽象成三角形问题，再合理选择三角形以及正、余弦定理进行计算.14.若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为________． 【答案】15 【解析】试题分析：因为1020T T =，所以所以{}n a 是正项递增等比数列,所以，所以最小.考点：等比数列的性质.15.已知ABC 中，点D 满足20BD CD +=，过D 的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点,E F ，AE AB λ=，AF AC μ=．若0,0λμ>>，则λμ+的最小值为________．【答案】221+ 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，即可求得λμ+的最小值． 【详解】解：因为20BD CD +=， 所以2BD DC =， 所以23AD AC CD AC CB =+=+()212333AC AB AC AC AB =+-=+因为AE AB λ=，AF AC μ=，0λ>，0μ> 所以1AB AE λ=，1AC AF μ=所以31232331AD AC AB AF AE μλ=+=+ 因为D 、E 、F 三点共线， 所以12133μλ+= 所以()12213333λμλμλμμλμλ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭因为0λ>，0μ>，所以03λμ>，203μλ>， 所以222211213333λμλμλμμλμλ+=++≥+⋅=+ 当且仅当233λμμλ=，即22λ+=，21μ+=时等号成立 综上所述，λμ+的最小值为221+， 故答案：2213+【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理以及基本不等式的应用问题，属于中档题．16.已知,,a b c 分别为ABC 的三个内角,,A B C 的对边，8b =，且223cos 5ac B a b bc =-+，O 为ABC 内一点，且满足0OA OB OC ++=，30BAO ∠=︒，则OA =__________． 【答案】6415【解析】 【分析】利用余弦定理求得cos A 的值，再根据平方关系求得sin A 的值，由题意知O 为ABC ∆的重心，且13ABO ABC S S ∆∆=，利用三角形的面积公式求出||OA 的值．【详解】解：ABC ∆中，223cos 5ac B a b bc =-+，由余弦定理可得22222325a cb aca b bc ac +-=-+， 22265b c a bc ∴+-=，222635cos 225bcb c a A bc bc +-∴===，4sin 5A ∴=； 6b =，30BAO ∠=︒，且0OA OB OC ++=，O ∴为ABC ∆的重心，且13ABO ABC S S ∆∆=，如图所示；则111||sin30sin 232c OA cb BAC ︒=⨯∠， 求得1464||823515OA =⨯⨯⨯=．故答案为：6415．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知平面内三个向量：()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-= （1）若()()//2a kc b a +-，求实数k 的值；（2）设(),d x y =，且满足()()a b d c +⊥-，5d c -=，求d . 【答案】（1）1613k =-（2）(6,0)(2,2)d =或 【解析】 【分析】（1）根据向量平行坐标表示得方程，解得实数k 的值；（2）根据向量垂直坐标表示以及模的定义列方程组解得d . 【详解】()()()()13,2,1,2,4,1,a b c ==-=()()34,2,25,2a kc k k b a ∴+=++-=- ()()//2,a kc b a 又+-()()234520,k k ∴+++=1613k ∴=-()()()22,4,4,1a b d c x y +=-=--()(),5a b d c d c +⊥--=又()()()()222441062,,02x 415x y x x y y y ⎧-+-===⎧⎧⎪∴⎨⎨⎨==-+-=⎩⎩⎪⎩解得或 ()()6,02,2d ∴=或【点睛】向量平行：1221//a b x y x y ⇒=，向量垂直：121200a b x x y y ⋅=⇒+=，向量加减： 1212(,).a b x x y y ±=±± 18.在△ABC 中，3sin223ABC AB ∠==,点D 在线段AC 上，且432,AD DC BD ==, （1）求cos ABC ∠；（2）求BC和AC的长【答案】(1)13；(2) BC=3，AC=3【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，求得cos ABC∠的值.（2）设出,BC DC的长，在三角形ABC、BDC、BDA中，分别用余弦定理列方程，解方程求得,BC DC，进而求得AC的长.【详解】(1)2231cos12sin12233ABCABC⎛⎫∠∠=-=-⨯=⎪⎪⎝⎭.(2)设,BC a DC b==则2,3AD b AC b==在ABC∆中，2222cosAC AB BC AB BC ABC=+-⋅⋅∠,即2219422,3b a a=+-⨯⨯⨯224943b a a=+-…①在ABC∆中，216443cos4322bBDAb+-∠=⨯⨯，22163432c osbBDabC+-⨯∠⨯=，由cos cos0BDC BDA∠+∠=得2236b a=-…②由①、②解得3,1a b==，所以3,3BC AC==.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查二倍角公式，考查方程的思想，属于基础题.19.已知函数2()2f x ax bx a =+-+．（1）若关于x 的不等式()0f x >的解集是(1,3)-，求实数,a b 的值； （2）若2,b =0,a ≥解关于x 的不等式()0.f x >【答案】（1）12a b =-⎧⎨=⎩；（2）答案见解析．【解析】 【分析】（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程220ax bx a +-+=的两根分别为1-和3，由此建立关于a 、b 的方程组并解之，即可得到实数a 、b 的值； （2）不等式可化成(1)(2)0x ax a +-+>，当0a =时，()0f x >，即220x +>，解得即可； 当0a >时，由此讨论1-与2a a-的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【详解】解：（1）∵不等式()0f x >的解集是(1,3)-， ∴1-，3是方程220ax bx a +-+=的两根，∴可得209320a b a a b a --+=⎧⎨+-+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．（2）当2b =时，()()()22212f x ax x a x ax a =+-+=+-+，①当0a =时，()0f x >，即220x +>，∴1x >-，即解集为{}|1x x >-； ②0a >，∴2(1)(2)0(1)0a x ax a x x a -⎛⎫+-+>⇔+-> ⎪⎝⎭， （ⅰ）当21a a --=，即1a =时，解集为{|x x ∈R 且1}x； （ⅱ）当21a a-->，即01a <<时，解集为{2|a x x a -<或1}x >-；（ⅲ）当21a a --<，即1a >时，解集为{| 1 x x <-或2}a x a->． 【点睛】本题给出二次函数，讨论不等式()0f x >的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题． 20.已知{}n b 为单调递增的等差数列，385626,168b b b b +==，设数列{}n a 满足2312322222n b n n a a a a +++⋅⋅⋅+=．（I ）求数列{}n b 的通项； （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（I ）22=+n b n ；（II ）1324,n n S n N +*=⨯-∈．【解析】 【分析】（I ）设{}n b 的公差为d ，运用等差数列的性质，解方程可得561214b b =⎧⎨=⎩，可得2d =，再由等差数列的通项公式，即可得到结果；（II ）由221224n b n n ++==，递推得8,132,2n nn a n =⎧=⎨⨯≥⎩，即可利用等比数列的求和，求解数列的和． 【详解】（I ）解法1：设{}n b 的公差为d ， ∵{}n b 为单调递增的等差数列，∴0d >且65b b >由385626168b b b b +=⎧⎨=⎩得565626168b b b b +=⎧⎨=⎩解得561214b b =⎧⎨=⎩∴652d b b =-=，()()55122522n b b n d n n =+-=+-=+，∴22=+n b n . 解法2：设{}n b 的公差为d ，∵{}n b 为单调递增的等差数列，∴0d >由385626168b b b b +=⎧⎨=⎩得()()111292645168b d b d b d +=⎧⎨++=⎩，解得142b d =⎧⎨=⎩，∴()()1142122n b b n d n n =+-=+-=+，∴22=+n b n . （II ）221224n b n n ++==由2311231222222n bn nn n a a a a a --+++⋅⋅⋅++=……①得1231123122222n b n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=……②-①②得，∴32,2nn a n =⨯≥，又∵1182b a ==不符合上式，∴8,132,2n nn a n =⎧=⎨⨯≥⎩. 当2n ≥时，()()21231212832228332412n n n nS -+-=+⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=⨯--∵18S =符合上式，∴1324,n n S n N +*=⨯-∈.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． ．21.在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且()24sin cos 3cos sin33A A B C A +=（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若2b =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1) 3A π=；（2）3232⎛ ⎝. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()sin3sin 2sin2cos cos2sin A A A A A A A =+=+，根据二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简可得3sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而可得结果；（Ⅱ）在ABC ∆中，由正弦定理得22sin 2sin 331sin sin B C c B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，又,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴(13tan B ∈，∴()1,4c ∈， 又∵13sin 2ABC S bc A ∆==，从而可得结果.试题解析：（Ⅰ）∵A B C π++=，∴()cos cos B C A +=-①，又∵32A A A =+，∴()sin3sin 2sin2cos cos2sin A A A A A A A =+=+②， 又sin22sin cos A A A =③， 将①，②，③代入已知得：2sin2cos 3cos sin2cos cos2sin 3A A A A A A A +=++整理得sin 3cos 3A A +=3sin 32A π⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又∵0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴233A ππ+=，即3A π=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得23B C π+=，∴23C B π=-， ∵ABC ∆为锐角三角形， ∴20,32B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 解得,62B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由正弦定理得：2sin sin c B C =， ∴22sin 2sin 331sin sin tan B C c B B Bπ⎛⎫- ⎪⎝⎭===+， 又,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴(13tan B ∈，∴()1,4c ∈， 又∵13sin 2ABC S bc A ∆==，∴323ABC S ∆∈⎝． 22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，数列{}n b 满足112b a =，且11n n n b a b n++=. （1）求数列{}n a ，{}n b 通项公式；（2）若11n n n b c a +=-，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）21n a n =-.2nn b =.（2）()2,3-【解析】 【分析】（1）由1n n n a S S -=-代入计算可得21n a n =-；将21n a n =-代入11n n n b a b n++=，可得12n nb b +=，可得2n n b =； （2）由11n n n b c a +=-，可得{}n c 的通项公式，由错位相减法可得n T 的值，由()112nn n n T λ--<+，可得()21142nn λ--<-，分n 为偶数与奇数进行讨论，可得实数λ的取值范围.【详解】（1）由已知可得111a S ==.当2n ≥时，2n S n =，21(1)n S n -=-，所以121n n n a S S n -=-=-. 显然11a =也满足上式， 所以21n a n =-.因为11n n n b a b n ++=，所以12112n n b n b n+-+==. 又1122b a ==，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列. 所以2nn b =.（2）由（1）可得112212n n n n n b c a n n-+===-，所以112n n nc -=. 所以21231222n n n T -=++++，所以23111231222222n n nn nT --=+++++， 两式作差，得231111111222222n n n n T -=+++++-1122212212n n n n n -+=-=-- 所以1242n n n T -+=-. 不等式()112nn n n T λ--<+，化为()21142nn λ--<-. 当n 为偶数时，则2142n λ-<-.因为数列2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递增，所以222min 1144322n --⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭. 所以3λ<.当n 为奇数时，即2142n λ--<-，即2142n λ->-.因为2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递减，所以212max 1144222n --⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭. 所以2λ>-.综上可得：实数λ的取值范围是()2,3-.【点睛】本题主要考查等差数列等比数列通项公式的求法、错位相减法求数列的和及数列与不等式的综合，考查学生的运算求解能力，需注意解题方法的积累，属于中档题.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网- 21 -。
2019-2020学年湖北省武汉市三校联合体高一下学期期中数学试卷 (解析版)
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
故选：B． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和 转化思想，属于基础题． 7．下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．
，则
0
C．若 与 是共线向量， 与 是共线向量，则 与 是共线向量
D．若 与 是单位向量，则
A．5
B．﹣5
C．
D．
【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求出 k 的值．
解：△ABC 中，∵∠A＝90°，
，
，
∴
2（2﹣k）+3×2＝0，求得 k＝5，
故选：A． 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．
6．△ABC 的三内角 A，B，C 所对边长分别是 a，b，c，若 的大小为（ ）
B．x ，y
C．x ，y
D．x ，y
【分析】由
3 ，利用向量三角形法则可得
，化为
，又
x
y ，利用平面向量基本定理即可得出．
解：∵
3，
∴
，
化为
，
又
x
y，
∴ ，y ．
故选：D．
【点评】本题考查了向量三角形法则、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题．
9．已知△ABC 中，
，，
，则△ABC 的面积为（ ）
故选：A． 【点评】本题考查函数值的计算，注意分析 f（x）+f（1﹣x）的值，属于基础题． 一、选择题 13．在△ABC 中，若 a＜b＜c，且 c2＜a2+b2，则△ABC 为 锐角 三角形． 【分析】利用余弦定理即可得出． 解：∵c2＜a2+b2，
湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2019_2020学年高一数学下学期期中联考试题
湖北省武汉市蔡甸区汉阳一中2019-2020学年高一数学下学期期中联考试题注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知OB 是平行四边形OABC 的一条对角线，O 为坐标原点，(2,4)OA =，(1,3)OB =，若点E 满足 3OC EC =，则点E 的坐标为11.(,)33A -- 11.(,)33B 22C.(,33--） 22.(,)33D2．已知数列{}n a 和{}n b 都是等差数列，若22443,5,a b a b +=+=则77a b +等于 .7A .8B .9C .10D 3．设4a b ⋅=,若a 在b 方向上的投影为23, 且b 在a 方向上的投影为3, 则a 和b 的夹角等于.3A π.6B π2.3C π 2.33D ππ或4.设a ＜b ＜0，c ＞0，则下列不等式中不成立的是.c c A a b >B > ..C a c bc >-D.c c a b a >- 5．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且1325++=n n T S n n ，则99b a的值为 17.52A 37.52B 67.52C 87.52D 6．ABC ∆中，1,a c =tan 2,tan B a cC c-=则角A 为.2A π.3B π.4C π.6D π7.当4a <时，关于x 的不等式22(21)x ax -<的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是 2549.,916A ⎛⎤⎥⎝⎦ 11.,42B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 57.,34C ⎛⎫⎪⎝⎭().3,4D 8．已知,0a b >，1a b +=，则12211a b +++的最小值是 9.5A 11.6B 7.5C.15D + 9.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为12，则ab 的最小值为 1.2A 1.3B 1.6C.3D10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10100,a >100910100,a a +<则满足10n n S S +<的正整数n 为.2017A .2018B .2019C .2020D11.,P Q 为三角形ABC 中不同两点,若PA PB PC AB ++=,350QA QB QC ++=,则:PABQABSS为1.3A 5.7B 3.5C 7.9D12．已知G 点为ABC ∆的重心，设ABC ∆的内角,,A B C 的对边为,,a b c 且满足向量BG CG ⊥，若tan sin a A b C λ=⋅，则实数λ=.2A .3B 2.3C 1.2D第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图所示，为了测量,A B 处岛屿的距离，小明在D 处观测，,A B 分别在D 处的北偏西015、北偏东045方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西060方向，则,A B 两处岛屿间的距离为__________海里．14．若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为 .15.已知ABC ∆中，点D 满足20BD CD +=，过D 的直线l 与直线AB ，AC 分别交于点,E F ，AE AB λ=，AF AC μ=.若0,0,λμ>>则λμ+的最小值为________．16．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，8b =，且223cos 5ac B a b bc =-+，O 为ABC ∆内一点，且满足0OA OB OC ++=030,BAO ∠=则OA =__________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分10分）已知平面内三个向量：(3,2),(1,2),(4,1).a b c ==-= （1）若()(2),a kc b a +-求实数k 的值；（2）设(,),d x y =且满足()(),a b d c +⊥-5d c -=，求.d18.(本小题满分12分）在ABC ∆中，,2,332sin==∠AB ABC 点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD ,（1）求ABC ∠cos ；（2）求BC 和AC 的长.19.(本小题满分12分）已知函数2()2f x ax bx a =+-+.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集是(1,3)-，求实数,a b 的值； (2)若2,b =0,a ≥解关于x 的不等式()0.f x >20.(本小题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，385626,168,b b b b +==设数列{}n a 满足23123222...22.n b n n a a a a ++++=（1）求数列{}n b 的通项； （2）求数列{}n a 的前n 项和.n S21.(本小题满分12分）在锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且24sin cos 3)sin 33A A B C A +=+(1)求A 的大小；(2)若2b =，求ABC ∆面积的取值范围．22．(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，数列{}n b 满足112b a =，且11n n n b a b n++=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若11n n n b c a +=-，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.数学参考答案：选择题： 1-5 C B A D D 6-10 C A A B B 11-12 C D 填空题：13．206 14．15 15.3＋223 16．6415解答题：17.(本小题满分10分）已知平面内三个向量：(3,2),(1,2),(4,1).a b c ==-= （1）若()(2),a kc b a +-求实数k 的值；（2）设(,),d x y =且满足()(),a b d c +⊥-5d c -=，求.d （1）(34,2)a kc k k +=++，2(5,2)b a -=-，()(2),a kc b a +-5(2)2(34)k k -+=+得1613k =-；（5分） （2）()(),a b d c +⊥- 5d c -= 2224)4(1)06202(4)(1)5x y x x y y x y -+-===⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+-=⎩⎩⎩（或 或.（10分）18.(本小题满分12分）在ABC ∆中，,2,332sin==∠AB ABC 点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD ,（1）求ABC ∠cos ； （2）求BC 和AC 的长.试题解析：（1）3133212sin 21cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=∠-=∠ABC ABC （4分）(2）设bDC a BC ==,则bAC b AD 3,2==在ABC∆中，ABC COS BC AB BC AB AC ∠⋅⋅-+=2222,即,31224922⨯⨯⨯-+=a a b a a b 344922-+=①（6分） 在ABC ∆中，bb BDA 2334244316cos 2⨯⨯-+=∠，由0cos cos =∠+∠BDA BDC得6322-=a b …②（10分）由①、②解得1,3==b a ，所以3,3BC AC ==（12分） 19.(本小题满分12分）已知函数2()2f x ax bx a =+-+.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集是(1,3)-，求实数,a b 的值； (2)若2,b =0,a ≥解关于x 的不等式()0.f x >解：(1)∵不等式f (x )＞0的解集是(－1，3)，∴－1，3是方程ax 2＋bx －a ＋2＝0的两根，∴可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －a ＋2＝0，9a ＋3b －a ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.（5分）(2)当b ＝2时，f (x )＝ax 2＋2x －a ＋2＝(x ＋1)(ax －a ＋2)， ①当a ＝0时，f (x )＞0，即2x ＋2＞0，∴x ＞－1（6分）②a ＞0，∴(x ＋1)(ax －a ＋2)＞0⇔(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －a －2a ＞0，（7分） (ⅰ)当－1＝a －2a，即a ＝1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}；（8分） (ⅱ)当－1＞a －2a ，即0＜a ＜1时，解集为{x |x ＜a －2a或x ＞－1}；（10分） (ⅲ)当－1＜a －2a ，即a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞a －2a .（12分） 20. (本小题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，385626,168,b b b b +==设数列{}n a 满23123222...22.nb n n a a a a ++++=（1）求数列{}n b 的通项；（2）求数列{}n a 的前n 项和.n S（1）设的公差为，∵为单调递增的等差数列，∴且由得解得（4分）∴，，∴（6分）（2）由……① 得……② 得，∴，（9分）又∵不符合上式，∴（10分）当时，∵符合上式，∴（12分）21.(本小题满分12分）在锐角三角形ABC ,中,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且24sin cos 3)sin 33A A B C A +=+(1)求A 的大小；(2)若2b =，求ABC ∆面积的取值范围．解：(1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(B ＋C )＝－cos A ①，∵3A ＝2A ＋A ，∴sin 3A ＝sin(2A ＋A )＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ②，（2分）又sin 2A ＝2sin A cos A ③，将①②③代入已知，得2sin 2A cos A ＋3cos A ＝sin 2A cos A ＋cos 2A sin A ＋3， 整理得sin A ＋3cos A ＝3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝32，（5分）又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＋π3＝2π3，即A ＝π3.（6分）(2)由(1)得B ＋C ＝2π3，∴C ＝2π3－B ，∵△ABC 为锐角三角形，∴2π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，解得B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，（8分）在△ABC 中，由正弦定理得2sin B ＝c sin C ，∴c ＝2sin Csin B＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B sin B＝3tan B＋1，（10分）又B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴1tan B ∈(0，3)，∴c ∈(1，4)，∵S △ABC ＝12bc sin A ＝32c ，∴S△ABC∈⎝⎛⎭⎪⎫32，23.（12分） 22．(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，数列{}n b 满足112b a =，且11n n n b a b n++=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若11n n n b c a +=-，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.（1）由已知可得111a S ==.当2n ≥时，2n S n =，21(1)n S n -=-，所以121n n n a S S n -=-=-.显然11a =也满足上式，所以21n a n =-.（2分） 因为11n n n b a b n ++=，所以12112n n b n b n+-+==.又1122b a ==，所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列.所以2nn b =.（4分）（2）由（1）可得112212n n n n n b c a n n -+===-，所以112n n n c -=.所以21231222n n nT -=++++， 所以23111231222222n n nn nT --=+++++， 两式作差，得231111111222222n n n n T -=+++++-1122212212n n nn n -+=-=--所以1242n n n T -+=-. （8分） 不等式()112n n n n T λ--<+，化为()21142nn λ--<-.当n 为偶数时，则2142n λ-<-.因为数列2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递增，所以222min 1144322n --⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.所以3λ<.当n 为奇数时，即2142n λ--<-，即2142n λ->-.因为2142n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递减，所以212max 1144222n --⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.所以2λ>-.综上可得：实数λ的取值范围是()2,3-.（12分）附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
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2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．在数列{}n a 中，114a =-，111(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ．45B ．14-C ．5D ．以上都不对【答案】A【解析】列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得2019a 的值. 【详解】 依题意23411231141115,1,154a a a a a a a =-==-==-=-=，故数列是周期为3的周期数列，故2019345a a ==，故选A. 【点睛】本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.2．向量(2,)a t =v，(1,3)b =-v ，若a v ，b v 的夹角为钝角，则t 的范围是（ ）A ．23t <B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-【答案】C【解析】若a v，b v的夹角为钝角，则0a b v n v<且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若a v ，b v 的夹角为钝角，则0a b v n v <且不反向共线，230a b t =-+<v v n ，得23t <. 向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-. 故选C. 【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.3．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC V 为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】余弦定理得222222cos ,cos 22c b a c a b A B bc ac +-+-==代入原式得2222222222222222,22222c a b c b a c b a c a b c b a a c bc c ac bc-++-+--++-=-=解得2220a b c a b 或=-+= 则形状为等腰或直角三角形,选D.点睛：判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.5．已知平面向量a v ,b v 是非零向量,|a v |=2,a v ⊥(a v +2b v ),则向量b v在向量a v 方向上的投影为( ) A ．1 B ．-1C ．2D ．-2【答案】B【解析】先根据向量垂直得到a r g (a r +2b r ),=0，化简得到a r g b r =﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】∵平面向量a r ,b r 是非零向量,|a r |=2,a r ⊥(a r +2b r), ∴a r g (a r +2b r),=0，即()2·20a a b +=vv v即a r g b r=﹣2∴向量b r 在向量a r 方向上的投影为·22a b a -=vv v =﹣1，故选B ． 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．6．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ） A ．48πB ．12πC ．12πD ．3π【答案】D【解析】先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R∴=,所以ABC∆的外接圆面积为=3ππ.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．已知数列{a n}中，a n＝n2－kn(n∈N)，且{a n}单调递增，则k的取值范围是( ) A．(－∞，2]B．(－∞，2)C．(－∞，3]D．(－∞，3)【答案】D【解析】根据函数的单调性可得a n+1﹣a n＞0对于n∈N恒成立，建立关系式，解之即可求出k的取值范围．【详解】∵数列{a n}中()2*na n kn n N=-∈，且{a n}单调递增∴a n+1﹣a n＞0对于n∈N恒成立即（n+1）2﹣k（n+1）﹣（n2﹣kn）=2n+1﹣k＞0对于n∈N恒成立∴k＜2n+1对于n∈N恒成立，即k＜3故选D．【点睛】本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n的取值是解题的关键，属于易错题．8．在ABCV中，已知,2,60a xb B===o，如果ABCV有两组解，则x的取值范围是( )A．23⎛⎫⎪⎪⎝⎭，B．23⎡⎢⎣⎦，C．23⎡⎢⎣⎭，D．2,3⎛⎝⎦【答案】A【解析】已知,,a b B，若ABCV有两组解，则sina Bb a<<，可解得x的取值范围. 【详解】由已知可得sina Bb a<<，则sin602x x︒<<，解得23x<<.故选A.【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC V 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解.9．一艘海轮从A 处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东15°的方向直线航行，20分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察此灯塔，其方向是南偏东60°，在B 处观察，灯塔在其正东方向，那么B ，C 两点间的距离是（ ） A ．102海里 B ．103海里C ．202海里D ．203海里【答案】C【解析】由题意画出图形，利用正弦定理即可直接得解. 【详解】如图所示，易知，在ABC V 中，20AB =海里，45CAB ∠=︒，30ACB ∠=︒， 根据正弦定理得sin 45sin 30BC AB=︒︒，解得202BC =（海里）．故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理的实际应用，关键是转化出条件，属于基础题.10．若||1OA =u u u v ，||3OB u u u v 0OA OB ⋅=u u u v u u u v，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ）A ．13B ．3C 3D 3【答案】B【解析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】解：30AOC ︒∠=Qcos ,2OC OA ∴<>=u u u r u u u rOC OA OC OA⋅∴=u u u r u u u r u u u r u u u r ()2mOA nOB OA mOA nOBOA+⋅∴=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r2= 1OA =u u u r Q，OB =u u u r ，0OA OB ⋅=u u u r u u ur= 229m n ∴=又C Q 在AB 上0m ∴>，0n >3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．11．若等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若*n N ∀∈，都有10n S S ≤，则（ ） A ．0d > B ．9100a a ⋅>C ．217S S >D ．190S ≥【答案】D【解析】由*n N ∀∈，都有10n S S ≤，可得10110,0,0d a a <≥≤，再根据等差数列的性质即可判断. 【详解】Q 等差数列{}n a 的公差0d ≠，*n N ∀∈，都有10n S S ≤，10110,0a a ∴≥≤，()1191019101919219022a a a S a +⨯∴===≥.故选：D . 【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.12．给定两个单位向量OA u u u v ，OB uuu v ，且3OA OB ⋅=-u u u v u u u v，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，OC xOA yOB =+u u u v u u u v u u u v，则3x y -的最小值为（ ）A ．3-B ．1-C ．2-D ．0【答案】B【解析】给定两个单位向量OA u u u v ，OB uuu v ，且3OA OB ⋅=-u u u v u u u v 则56AOB π∠=，建立如图所示的坐标系，则A （1，0），B （cos150°，sin150°），即312B ⎫-⎪⎪⎝⎭设∠AOC=5,06παα⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ ，则()cos ,sin OC αα=u u u v 因为OC xOA yOB =+u u u v u u u v u u u v 则3cos cos 32,12sin sin 2x y x y y ααααα⎧-=⎪⎧=+⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩， 3x y -)3cos 32sin 3sin 2sin 3παααααα⎛⎫-=+=+⎪⎝⎭因为506πα≤≤，[]71sin ,131,233632x y ππππαα⎛⎫⎡⎤≤+≤∴+∈--∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 所3x y -有最小值-1.故选B二、填空题13．下列命题中正确的有________.(填序号) ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若 =a b r r ，则a b=r r ； ③若AB DC =u u u r u u u r，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；④在▱ABCD 中，一定有AB DC =u u u r u u u r； ⑤若a b =r r，b c =rr，则a c =r r；⑥若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r r ；【答案】④⑤【解析】根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案. 【详解】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；=a b r r ,由于 a r 与b r 方向不确定，所以 a r与b r 不一定相等，故②不正确；AB DC =u u u r u u u r，可能有A ，B ，C ，D 在一条直线上的情况，所以③不正确；在▱ABCD 中，,//AB CD AB CD =,所以一定有AB DC =u u u r u u u r，所以④正确；⑤显然正确；零向量与任一向量平行，故//a b r r ，//b c r r时，若0b =r r，则a r 与c r不一定平行，故⑥不正确．故答案为：④⑤. 【点睛】本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题.14．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆的面积为)2224a b c --，则A =____________. 【答案】23π（或120︒） 【解析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解． 【详解】解：由余弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝﹣2bc cos A ， △ABC的面积为)2224a b c --cos A ， 又因为S △ABC ＝1sin 2bc Acos A ， 所以tan A由A ∈（0，π）可得A ＝23π． 故答案为：23π. 【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题． 15．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，11n n n a S S ++=-，则2020S =_______． 【答案】12020【解析】代入11n n n a S S ++=-,再证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,继而求得1n S 的通项公式再计算2020S 即可.【详解】因为11n n n a S S ++=-,所以,11n n n n S S S S ++-=-,即：1111n n S S +-=,所以,数列｛1nS ｝是以1为首项,1为公差的等差数列, 所以,1n S ＝1＋（n －1）×1＝n ,所以,1n S n =,所以,202012020S =故答案为：12020【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题. 16．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+，若ABC △的面积为4，则当a c +的值最小时ABC △的周长为____________．【答案】【解析】由222sin sin sin sin sin A C B A C +=+及正弦定理可得222a c b ac +=+，所以由余弦定理的推论可得2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，因为0B π<<，所以3B π=．因为ABC V 的面积为4，所以11sin sin 22344ac B ac ac π===，即3ac =，所以a c +≥=a c ==a c +的最小值为此时a c =，3B π=，所以ABC V 是等边三角形，故a c +的值最小时ABC V 的周长为．三、解答题17．已知a r ，b r ，c r在同一平面内，且()1,2a =r .（1）若||c =r //c a r r，求c r ；（2）若||b =r ()()22a b a b +⊥-r r r r ，求a r 与b r 的夹角.【答案】（1）(2,4)c =r 或(2,4)c =--r（2）π.【解析】（1）设(),c x y =r，根据//c a r r ，得到 20x y -=，再根据||c =r方程组求解.（2）根据22a b a b +⊥-rrrr，得到(2)(2)0a b a b +⋅-=r r ，结合2||5a =r，||b =求得a b ⋅rr ，再求夹角. 【详解】（1）设(),c x y =r，//c a r rQ ，(1,2)a =r， ∴20x y -=，∴2y x =，∵||c =r=∴2220x y +=，即22420x x +=， ∴24x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=-⎩∴(2,4)c =r或(2,4)c =--r. （2）∵22a b a b +⊥-rrrr， ∴(2)(2)0a b a b +⋅-=r r， ∴222320a a b b +⋅-=rrrr ，即222||32||0a a b b +⋅-=rr r r又∵2||5a =r，225||24b ==r， ∴5253204a b ⨯+⋅-⨯=rr ，∴52a b ⋅=-rr ，∵||a =r||2b =r∴5cos 1||||a ba b θ-⋅===-⋅r r r r∵[]0,θπ∈，∴θπ=. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+． （1）求B 的大小；（2）若4b a c =+=，求ABC ∆的面积． 【答案】（1）23B π= （2）1sin 2ABC S ac B ∆== 【解析】试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出3ac =，再利用三角形的面积公式进行求解. 试题解析：（Ⅰ）由cos cos 2B b C a c =-+ cos sin cos 2sin sin B BC A C⇒=-+ 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒+=- 2sin cos cos sin sin cos A B B C B C ⇒=--()2sin cos sin A B B C ⇒=-+ 2sin cos sin A B A ⇒=- 1cos 2B ⇒=-又0πB <<，所以2π3B =. （Ⅱ）由余弦定理有()22222π2cos 22cos 3b ac ac B a c ac ac =+-=+-- ，解得3ac =，所以1sin 2ABC S ac B V ==点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的()22222π2cos 22cos3b ac ac B a c ac ac =+-=+--. 19．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，310a =，1111S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及此时n 的值.【答案】（1）319n a n =-+；（2）当6n =时，n S 有最大值为651S =【解析】（1）根据已知条件列出关于1,a d 的方程组，求解出1,a d 即可求出通项公式； （2）利用0d <对应{}n a 为递减等差数列，根据10n n a a +≥⎧⎨≤⎩确定出n 的取值，从而n S 的最大值以及取最大值时n 的值都可求. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由310a =可得1210a d +=，由1111S =可得1115511a d +=，所以1121051a d a d +=⎧⎨+=⎩，所以1163a d =⎧⎨=-⎩，所以16(1)(3)319n a n n =+-⨯-=-+；（2）由131903160n n a n a n +=-+≥⎧⎨=-+≤⎩，解得161933n ≤≤，所以当6n =时，n S 有最大值，此时最大值为651S =. 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前n 项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将n S 的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出n S 的最大值以及取最大值时n 的值.20．已知向量33cos ,sin 22x x a r ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r 且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求a b ⋅r r 及a b +r r ；（2）若()sin f x a b b x =⋅+r rr r ，求()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）2,2cos a b cos x a b x r rr r n =+= （2）()min 2f x =- ；()max 1f x =【解析】试题分析：(Ⅰ)由平面向量数量积的坐标运算法则可得：cos2a b x ⋅=r r ， 2cos a b x +=r r . (Ⅱ)首先化简函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得()min 2f x =- ；()max 1f x =. 试题解析：（1）33cos cos sin sin cos22222x x x x a b x ⎛⎫⋅=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭rra b +==rrQ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos 0x ∴≥∴ 2cos a b x +=rr（2）由（1）知：()cos22cos sin f x x x x =⋅cos22cos 23x x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭Q 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 42,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()min 2233x x f x 当即时，πππ∴+===-()max 2=0133x x f x ππ+==当即时，21．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos B CA B C+=+.（1）求角A 的大小； （2）若a =22b c +的取值范围.【答案】(1) 3A π=； (2) (5,6].【解析】（1）利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角A 的大小；（2）先求得 B +C=23π，根据B 、C 都是锐角求出B 的范围，由正弦定理得到b=2sinB ，c=2sinC ，根据 b 2+c 2=4+2sin （2B ﹣6π） 及B 的范围，得 12＜sin （2B ﹣6π）≤1，从而得到b 2+c 2的范围． 【详解】 （1）由sinA cosA =sinB sinCcosB cosC++ 得sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC ， 即sin （A ﹣B ）=sin （C ﹣A ）， 则A ﹣B = C ﹣A ，即2A=C+B ， 即A=3π．. （2）当∵B+C=23π，∴C=23π﹣B ．由题意得 22032B B πππ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜， ∴6π＜B ＜2π．由 a b c sinA sinB sinC ===2，得 b=2sinB ，c=2sinC ， ∴b 2+c 2=4 （sin 2B+sin 2C ）=4+2sin （2B ﹣6π）．∵6π＜B ＜2π，∴12＜sin （2B ﹣6π）≤1，∴1≤2sin （2B ﹣6π）≤2．∴5＜b 2+c 2≤6．故22b c +的取值范围是(]5,6. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，其中判断sin （2B ﹣6π）的取值范围是本题的难点．22．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且()2*,,n n n a S a n N∈成等差数列.（1）写出1a 、2a 、3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式n a ； （2）证明（1）中的猜想；（3）设102n n b a =-，n T 为数列{}||n b 的前n 项和，求n T .【答案】（1）11a =，22a =，33a =，猜想n a n =（2）证明见解析（3）229,15940,6n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩【解析】（1）由22n nn a a S +=，分别令1,2,3n n n ===求解，猜想n a n =.（2）利用数列的通项与前n 项和的关系证明，分2n ≥和1n =两种情况讨论.（3）根据102n b n =-，分15n ≤≤和6n ≥两种情况讨论求解. 【详解】（1）由已知22n nn a a S +=所以11a =，22a =，33a =， 猜想n a n =.（2）证明当2n ≥时，22n n n a a S +=，21112n n n a a S ---+=所以2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为()*0n a n >∈N ，所以11n n a a --=数列{}n a 为等差数列， 又由（1）11a =，22a = 所以()*n a n n =∈N . （3）102n b n =-，当15n ≤≤时，()()12128102 (92)2n n n n b b n n T b b b n n ++-=+++===-+当6n ≥时，()()()2125612516......2 (940)n n n T b b b b b b b b b b b n n =+++-++=+++-++++=-+∴229,15940,6n n n n T n n n ⎧-+≤≤=⎨-+≥⎩. 【点睛】本题主要考查数列的通项与前n 项和的关系以及等差数列的求和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。