概率的基本性质
概率的基本性质
（3）“A没被选中”包含下列5个基本事 件： (B，C，D，E )，(B，C，D，F )， (B，C，E，F )，(B，D，E，F )，
(C，D，E，F )
有关集合知识：
1、集合之间的包含关系：
A B
BA
2、集合之间的运算： （1）交集： A∩B
（2）投掷一颗骰子，掷出的点数不为3， 5.
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是：这两个事件在任 何一次试验中都不会同时发生，可用图表示为：
A={出现4点} B={出现6点} M={出现的点数为偶数}
B
A
N={出现的点数为奇数}
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)，
(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)， (反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
基本事件空间：所有基本事件构成的集合 称为基本事件空间。基本事件空间常用大 写希腊字母Ω表示。
例如，掷一枚硬币，观察落地后哪一 面向上，这个试验的基本事件空间就是 集合{正面向上，反面向上}。
即 Ω = {正面向上，反面向上}.
或简记为Ω ={正，反}.
掷一颗骰子，观察掷出的点数，这个事 件的基本事件空间是
解：（1）这个试验的基本事件空间是： Ω={(A,B,C,D )，(A,B,C,E )，(A,B,C,F )，
(A,B,D,E )，(A,B,D,F )，(A,B,E,F )，
概率的基本性质 课件 高中数学新人教A版必修第二册
，乙夺得冠军的概率为
1 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 4
_ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2_8__.
解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和 “乙夺得冠军”， 但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式 进行计算， 即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1298.
典例 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字 外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记 为a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
解 由题意知，(a，b，c)所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)， (1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)， (2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)， (3,3,2)，(3,3,3)，共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A， 则事件A包含的样本点有(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3个. 所以 P(A)＝237＝19. 即“抽取的卡片上的数字满足 a＋b＝c”的概率为19.
反思 感悟
求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件. (2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多， 而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则 反”，它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.
高中数学必修二课件：概率的基本性质
一次购物 1至4件 5至8件
量
9至 12件
13至 16件
顾客数(人)
x
30
25
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
结算时间
1
1.5
2
2.5
(分钟/人)
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
17件 及以上
10
3
①确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间的平均值；
②求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．
错解：因为P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1. 错因分析：由于事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，因此 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立．因此解答此题应从“A∪B”这一事件出发求解． 答：因为A∪B包含4种结果，即出现1，2，3和5，所以P(A∪B)＝46＝23.
②由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小 明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′) ＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集
了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示．
(2)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0，1，2， 3，4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的 编号之和等于7，则中一等奖，等于6或5，则中二等奖，等于4，则中三等奖， 其余结果不中奖．
①求中二等奖的概率； ②求不中奖的概率．
【解析】 从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有(0，1)， (0，2)，(0，3)，(0，4)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 10种．记两个小球的编号之和为x.
概率的基本性质
例:C3={出现的点数大于3}; C4={出现4点}; 4.交（积）事件
D3={出现的点数小于5};
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事 件）.
（2）C与D是互斥事件，
根据概率的加法公式，
1 2 又因为CD为必然事件，
所以C与D为对立事件。
P（D）=
1－P(C)
所以
1
练习:课本第121页1,2,3,4,5
2
本课小结
1、事件的关系与运算，区分互斥事件与对立事件 2、概率的基本性质
（1）对于任一事件A,有0≤P(A)≤1 （2）概率的加法公式 P(A∪B)= P(A)+ P(B) （3）对立事件的概率公式 P(B)=1－P(A)
概率的基本性质
知识回顾: 1. 必然事件、不可能事件、随机事件： 必然事件：在条件S下,一定会发生的事件,叫做必然事件. 不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫做不可能事件.
随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件.
2.事件A的概率： 对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个 常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。
练习：
1.如果某士兵射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶概率。
解：设该士兵射击一次，“中靶”为事件A,“未中靶”为事件B, 则A与B互为对立事件，故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
2.甲，乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3 求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
概率的基本性质(614)
P244-练习10 ：抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色 骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等 于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4” （1）求事件A，B，C的概率；（2）求 A B, A B 的概率.
(4)统计某班同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都大于60分”
的对立事件为“所有同学的成绩都小于60分”． ( × )
(5)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． ( × )
掷骰子:A={1,2,3},B={1,3,5} A,B既不互斥也不对立
巩固——概率性质的运用
P241-例12.为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动:
能中奖的样本数为18个， P(能中奖) 18 3. 30 5
巩固——概率性质的运用
P242-1.已知， (1)若B⊆A，则P(A∪B)=_____，P(AB)=_______.
命中 环数
6
7
8
9 10
(2)若A,B互斥，则(A∪B)=_____，P(AB)=__0_____.
频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
P244-13 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；（1）命中
10环；（2）命中的环数大于8环；（3）命中的环数小于9环；（4）命中的环数
不超过5环.
分析：事件为命中某一 环数互斥
解：用x表示命中的环数，由频率表可得.
1 P(x 10) 0.2
解：样本空间可表示为 {(x, y) | x, y {1, 2,3, 4,5,6}} . ,n 36
高三数学概率的基本性质
例3 一个袋子里装有大小均匀的5个红球, 3个白球4个绿球和n个黑球,记A=摸出红球, B=摸出白球, C=摸出绿球, D=摸出黑球,如 果随机摸出一球是黑球的概率为1/7. (1)求n; (2)求摸出的球是红球或白球或绿球的概率.
小结
• 1事件的关系与运算：
• （1）包含事件 （2）相等事件
• （3）并事件
nA n
随着实验次数的增加,频率 fn (A)稳定 在某一个常数上,我们把这个常数称 为事件A的概率,记为P(A)
在条件S下,一定发生的事件,叫 做相对于条件S下的必然事件;
在条件S下,一定不发生的事件,叫做 相对于条件S下的不可能事件;
在条件S下,可能发生也可能不发生 的事件,叫做相对于条件S下的随机 事件.
用语，【瞠】ｃｈēｎɡ〈书〉瞪着眼看：～目。 【病况】ｂìｎɡｋｕàｎɡ名病情。【菜点】ｃàｉｄｉǎｎ名菜肴和点心：风味～｜宫廷～｜西式～。②〈书〉婉 辞，泛指防御工事。 ～用文言成分比较多。 ②名指月亮：千里共～。①那个和这个；【簸箩】ｂò？没有规矩。②名“我”的谦称：其中道理， 上端连胃 ，【玻璃砖】ｂō？两腿交替上抬下踩，②扑上去抓：狮子～兔。②用布、手巾等摩擦使干净：～汗｜～桌子｜～玻璃◇～亮眼睛。处理：～家务｜这件事由 你～。左右对称。捉拿绑匪。【层峦】ｃéｎɡｌｕáｎ名重重叠叠的山岭：～叠翠。 【惭颜】ｃáｎｙáｎ〈书〉名羞愧的表情。 【荜路蓝缕】ｂìｌùｌáｎｌǚ同
个事件相等，记作C1=D1
• 一般地，若 B A, A B, 那么
事件A与事件B相等，记作A=B。
练习
• 1.如果某人在某种比赛（假设这种比 赛无“和局”出现）中赢的概率是 0.3，那么，他输的概率是多少？
• 2.利用简单随机抽样的方法抽查了某 校200名学生，其中戴眼镜的学生有 100人，若在这个学校随机调查一名 学生，问他戴眼镜的概率的近似值 是多少？
概率的基本概念与性质
概率的基本概念与性质概率是数学中一个非常重要的概念，在我们日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
本文将介绍概率的基本概念和其性质，以帮助读者对概率有更深入的了解。
一、概率的概念概率是描述事件发生可能性的数值，通常用一个介于0到1之间的数表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
在概率理论中，把某个随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间Ω，包含于样本空间Ω的每一个结果称为样本点。
设A是样本空间Ω中的一个事件，则A的概率P(A)是指事件A发生的可能性大小。
二、概率的性质1. 非负性：对于任意事件A，概率值P(A)大于等于0。
2. 规范性：对于样本空间Ω，其概率值为1，即P(Ω)=1。
3. 容斥性：对于两个事件A和B，概率值的和可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
4. 加法性：对于两个互斥事件A和B（即事件A和B不可能同时发生），概率值的和可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)。
5. 频率解释：概率可以通过重复试验的频率来估计。
当试验重复次数趋于无穷大时，某个事件发生的频率将接近其概率值。
三、计算概率的方法1. 古典概率：适用于每一个样本点发生的可能性相等的情况。
即P(A)=事件A包含的样本点数/样本空间Ω中的样本点数。
2. 几何概率：适用于具有几何结构的问题。
概率可以通过几何图形的面积、长度或体积来计算。
3. 统计概率：通过统计数据来计算概率，具体包括频率概率和条件概率。
四、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
条件概率可以通过求解P(A∩B)/P(B)得到。
五、独立事件两个事件A和B是独立的，当且仅当事件A的发生不依赖于事件B的发生。
对于独立事件，乘法公式可以表示为P(A∩B)=P(A)P(B)。
六、贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算反向概率，即在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
概率的基本性质ppt课件
我们借助树状图来求相应事件的样本点数,
可以得到,样本空间包含的样本点个数为 n 6 5 30 , 解法二： 上述解法需要分若干种情况计算概率， 注意到事件A的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”。
因为n A1 A2
4 3 12，P A1 A2
12 2 30 5
所以PA 1 P A1 A2
所以P(R1)=P(R2)=6/12, P(R1UR2)=10/12.因此 P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2). 这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Φ,即事件R1, R2不是互斥的, 容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)－P(R1∩R2).
性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件，我 们有P(AUB)=P(A)+P(B)－P(A∩B)
解析 设事件 A=“中奖”,事件 A1 =“第一罐中奖”,事件 A2 =“第二罐中奖”,
那么事件 A1A2 =“两罐都中奖”, A1 A2 =“第一罐中奖,第二罐不中奖”,
A1A2 =“第一罐不中奖,第二罐中奖”,且 A A1A2 A1 A2 A1A2 ,
因为 A1A2, A1 A2, A1A2 两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式,
这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.
练习1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别
为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．
[解析] (1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B， 由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥 事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B. 故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49. ∴射中10环或7环的概率为0.49.
概率的基本性质
概率的基本性质事件的关系：1.包含：如果当事件A发生时，事件B一定发生，则B⊇A ( 或A⊆B )；注：不可能事件记作Φ，任何事件都包含不可能事件.2.相等事件：若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.3.和事件：当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作 C=A∪B(或A+B).4.积事件：当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB）5.互斥事件：两个事件的交事件为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B 互斥，其含义为事件A与事件B在同一次试验中不会同时发生.6.对立事件：若A∩B＝Ф，A B＝必然事件，则事件A与事件B互为对立事件，即事件A与事件B在同一次试验中有且只有一个发生.7. 概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则（A∪B）＝P（A）＋ P（B）8. 对立事件公式：若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＋P（B）＝1.9. 相互独立事件：若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B为相互独立事件，即事件A是否发生对事件B的概率没有影响。
例1 某射手进行射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？事件A：命中环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环；事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．例2 一个人打靶时连续射击两次,下列各事件是“至少有一次中靶”的互斥事件的是（）A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都不中靶例3 某射手连续射击两次，试判断下列事件的关系？事件A：第一次命中环数大于7环；事件B：第二次命中环数为10环；事件C：第一次命中环数都小于6环；事件D：两次命中环数都小于6环．练习1.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有一名女生的概率为.A,两个口袋, A袋中装有4个白球, 2个黑球; B袋中装有3个白球, 4个黑球. 从2.有BA,两袋中各取2个球交换之后, 则A袋中装有4个白球的概率为.B3. 甲、乙二人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是P 1，乙解决这个问题的概率是P 2，那么其中至少一人解决这个问题的概率是（ ）A.P 1+P 2B.P 1·P 2C.1-P 1P 2D.1-（1-P 1）·（1-P 2）4. 一个电路上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率是0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问至少一根熔断的概率为 .5. 10颗骰子同时掷出,并掷5次，至少有一次全部出现一个点的概率为 .6. 有三个形状相同的小罐，在第一罐中有2个白球和1个黑球，在第二罐中有3个白球和1个黑球，在第三个罐中有2个白球和2个黑球，从中各摸一个球，3个球都不是白球的概率为____ _.7. 一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A ：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，后摸的是白球．那么事件A 发生的概率为_______8. 某市派出甲, 乙两只球队参加全省篮球冠军赛, 甲, 乙两队夺取冠军的概率分别是73和41, 则该市夺得全省篮球冠军的概率是_______8. 口袋中装有10个相同的球, 其中6个球标有数字0, 4个球标有数字1, 若从袋中摸出5个球, 那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是_______9. 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.(Ⅰ)求笼内至少剩下．．．．5只果蝇的概率；（Ⅱ）求笼内至少剩下．．．．3只果蝇的概率.10. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是_______11.12. 在放有5个红球, 4个黑球, 3个白球的袋中, 任意取出3个球, 分别求出3个球全是同色球的概率及三个颜色互不相同的概率.13. 在一个袋子中装有7个红球, 3个绿球, 从中无放回地任意抽取两次, 每次只取一个,试求: (1)取得两个红球的概率; (2)取得两个绿球的概率; (3)取得两个同颜色球的概率;(4)至少取得一个红球的概率.1/24 7/3011．甲，乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32，43假设两人每次射击是否 击中相互之间没有有影响，求：（1）求甲射击5次，有两次未击中的概率 （2）假设某人连续2次未击中目标，就停止射击，求乙恰好射击5次后，被终止射击的概率12．甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．概率练习二1. 在一次试验中，事件A 出现的概率为P,则在n 次独立重复试验中,A 出现k 次的概率为__ __.k n k k n p p C --)1(2. 某人对某目标进行射击,若每次击中的概率为P,那么他只在第n 次击中目标的概率为_ _.p p n 1)1(--3. 某人对某目标进行射击,若每次击中的概率为P,那么他在第n 次恰是第k 次击中目标的概率为_ _.k n k k n p p C ----)1(11 4. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是 1,3 （写出所有正确结论的序号）5. 某气象站对天气预报的准确率为60%，那么连续5次预报中有4次准确的概率为0.25926. 某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为12581 7. 在一次考试中出了6道是非题，正确的记“√”号，不正确的记“×”号，若某生完全随机记上6个符号，则全部是正确的概率为 1/64 ；正确解答不少于4道的概率为 11/32 ；至少正确解答一半的概率为 21/32 .8. 甲乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为32,则在三局两胜的赛制下甲获胜的概率为 20/27 , 比赛进行了两场即结束的概率为 5/9 , 在五局三胜的赛制下甲获胜的概率为 64/81 , 比赛进行了四场结束的概率为 10/279. 下列各图中，每个开关闭合的概率都是0.75，且是相互独立的，分别求灯亮的概率 9/16 15/16 57/64 249/2562． 2．1条件概率学案一、教学目标：条件概率定义的理解。
3、1、3 概率的基本性质
二、概率的几个基本性质
（1）事件的概率范围
0≤P（A）≤1 其中不可能事件的概率是P（A）=0
必然事件的概率是P（A）=1
(2)当事件A与事件B互斥时，A∪B的频率 fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B)
由此得到概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥，则 P（A∪B）=P（A）+P（B）
练习：抛掷骰子,事件A“朝上一面的数是奇数”， 事件B “朝上一面的数不超过3”,
3、1、3 概率的基本性质
概率的意义告诉我们：概率是事件 固有的性质，它不同于频率随试验次数 的变化而变化，它反映了事件发生可能 性的大小，但假如概率为10%，并不是 说100次试验中肯定会发生10次，只是 说可能会发生10次，但也不排除发生的 次数大于10或者小于10。
1.包含关系 如果事件A发生,则事件B一定发生,称事件A包含于
求P（A∪B） 请判断那种正确！
解法一： 因为P（A）=
3 6
1 2
，P（B）=
31 62
所以P（A∪B）= P（A）+ P（B）=1
解法二：
A∪B这一事件包括4种结果，即出现1，2，
3和5 所以P（A∪B）=
42 63
（3）、特别地，当事件A与事件B是对立事件 时，有
P（A）=1- P（B）
利用上述的基本性质，可以简化概率的计算
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生， 则称此事件为A与事件B的交事件（或积事件），
记为A B（或 AB）
A
C
B
练习：在掷骰子实验中,下列事件 A={出现偶数点}, B={点数小于3} 则AB=___{出__现_2_点__} __
5.事件的互斥 若A∩B为不可能事件（ A∩B= ），那么称事件A
概率的基本性质
一、知识概述（一）事件的关系与运算1、包含关系对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记作B A（或A B）．事件的包含关系与集合的包含关系：与集合的包含关系类似，B包含事件A（B A或A B）可用下图表示．不可能事件记作，显然（C为任一事件）．事件A也包含于事件A，即A A．例如：在投掷骰子的试验中，{出现1点}{出现的点数为奇数}．2、相等事件如果B A且B A，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B．（1）两个相等的事件A、B总是同时发生或同时不发生；（2）所谓A＝B，就是A、B是同一事件，这在验证两个事件是否相等时，是非常有用的，在许多情况中可以说是唯一的一种方法．例如事件C发生，那么事件D一定发生，反之亦然，则C＝D．3、并（和）事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A＋B）．并（和）事件与集合的并集的关系：与两个集合的并集类似，并事件A∪B（或A＋B）可用下图表示．并事件具有三层意思：①事件A发生，事件B不发生；②事件B发生，事件A不发生；③事件A、B同时发生．即事件A、B至少有一个发生．事件A与事件B的并事件等于事件B与事件A的并事件．即A∪B＝B∪A．例如：在投掷骰子的试验中，事件C、D分别表示投掷骰子出现1点、5点，则C∪D＝{出现1点或5点}．4、交（积）事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）．交（积）事件与两个集合的交集类似，交事件A∩B（或AB）可用下图表示．事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件，即A∩B＝B∩A．例如：在投掷骰子的试验中，{出现的点数大于3}∩{出现的点数小于5}＝{出现的点数为4}.5、互斥事件若A∩B为不可能事件，即A∩B＝，那么称事件A与事件B互斥．思考：如何判断两个事件互斥？探究：在任何条件下都不可能同时发生的事件才是互斥事件．互斥事件与集合的关系：与两个集合类似，互斥事件可用下图表示．（1）A、B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生；（2）如果A与B是互斥事件，那么A与B两个事件同时发生的概率为0；（3）推广：如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个事件互斥，就称事件A1，A2，…，A n彼此互斥．从集合角度看，n个事件互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交．例如：在投掷骰子的试验中，若C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，C3＝{出现3点}，C4＝{出现4点}，C5＝{出现5点}，C6＝{出现6点}，则事件C1与事件C2互斥，C1，C2，C3，C4，C5，C6彼此互斥．6、对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件．对立事件与集合：与两个集合类似，对立事件可用下图表示．（1）从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所包含结果组成的集合的补集；例如：在投掷骰子的试验中，C＝{出现2点}，则C的对立事件是D＝{出现1，3，4，5，6点}．（2）事件A、B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．事件A 与事件B在一次试验中不会同时发生．（3）对立事件是针对两个事件来说的，一般地，两个事件对立，则两个事件必为互斥事件，反之，两个事件是互斥事件，但未必是对立事件．（4）对立事件是一种特殊的互斥事件，若A与B是对立事件，则A与B互斥且A ∪B（或A＋B）为必然事件．（5）在一次试验中，事件A与它的对立事件只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一．（二）概率的几个基本性质1、概率P（A）的取值范围由于事件的频数总小于或等于试验的次数，所以频率在0到1之间，从而任何事件的概率都在0到1之间，即0≤P（A）≤1．联想·引申：（1）必然事件B一定发生，则P（B）＝1；（2）不可能事件C一定不发生，则P（C）＝0；（3）若A B，则P（A）≤P（B）．2、概率的加法公式当事件A与B事件互斥时，A∪B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A∪B的频率f n(A∪B)＝f n(A)＋f n(B)，则概率的加法公式为：P（A∪B）＝P（A）＋P（B）联想·发散：（1）事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．例如：抛掷一颗骰子，观察掷出点数，记事件A＝“出现奇数”，事件B＝“出现的点数不超过3”，那么A与B就不互斥．因为如果出现1或3，就表示A与B同时发生了．事件A∪B包括4种结果：出现1，2，3和5，因而P（A∪B）＝，而P（A）＝，P（B）＝，显然，P（A∪B）≠P（A）＋P（B）；（2）如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么P（A1＋A2＋…＋A n）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（A n），即彼此互斥事件的概率等于各事件概率的和；（3）在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．3、对立事件的概率公式若事件A与事件B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P（A∪B）＝1，又P（A ∪B）＝P（A）＋P（B），故P（A）＝1－P（B）．注：两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件一定是互斥事件，即两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件．二、例题讲解：例1、判断下列事件是否是对立事件，是否是互斥事件．从扑克牌40张（黑红梅方各10张）中任取一张．（1）抽出的是红桃与抽出的是黑桃；（2）抽出的红色牌与抽出的是黑色牌；（3）抽出的牌点数为5的倍数与抽出的牌点数大于9.答案：互斥不对立，互斥对立，不互斥不对立例2、福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物，每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成．甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念，按先甲选再乙选的顺序不放回地选择，则在这两位好友所选择的福娃中，“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为________．例3、某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：（1）求年降水量在[100，200)(mm)内的概率；（2）求年降水量在[150，300)(mm)内的概率．解：（1）记这个地区的年降水量在、、、范围内分别为事件，这4个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率是，∴年降水量在[100，200)(mm)范围内的概率是0.37．（2）年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率是，∴年降水量在[150，300)(mm)范围内的概率是0.55．例4、某工厂的产品中，出现二级品的概率是0.07，出现三级品的概率是0.03，其余都是一级品和次品，并且一级品数量是次品的9倍，求出现一级品的概率．解：设出现一级品的概率是P（A），因为一级品数量是次品的9倍，故出现一级品的概率也是次品的概率的9倍，出现次品的概率为P(A)．根据题意，应有P(A)＋P(A)＋0.07＋0.03＝1，解得P(A)＝0.81．∴出现一级品的概率是0.81．例5、同时抛掷两个骰子（各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．计算：（1）向上的数相同的概率；（2）向上的数之积为偶数的概率．解：每掷一个骰子都有6种情况，所以同时掷两个骰子总的结果数为6×6＝36种．（1）向上的数相同的结果有6种，故其概率为．（2）向上的数之积为偶数的情况比较多，可以先考虑其对立事件，即向上的数之积为奇数．向上的数之积为奇数的基本事件有：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共9个，故向上的数之积为奇数的概率为；根据对立事件的性质知，向上的数之积为偶数的概率为．例6、射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．解：(1)记：“射中10环”为事件A，记“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A 与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A＋B，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49．(2)记“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”“射中8环”等是彼此互斥事件．∴＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－＝1－0.97＝0.03，所以不够7环的概率为0.03．。
概率的基本性质(第三课时)
概率的基本性质（第三课时）1. 引言概率是数学中的一个重要概念，它描述了事件发生的可能性。
在前面的两节课中，我们学习了概率的基础知识以及概率的运算法则。
在本节课中，我们将进一步学习概率的基本性质，以帮助我们更好地理解和运用概率。
2. 完备性完备性是概率的一个基本性质。
对于同一样本空间中的所有事件，它们的概率之和等于1。
这可以表示为以下公式：$$P(\\Omega) = 1$$其中，$\\Omega$代表样本空间。
完备性的意义在于，所有可能的事件发生的总和必须等于1，这是由于在每次试验中，事件要么发生，要么不发生，因此所有事件必须覆盖了全部的可能性。
3. 非负性非负性是概率的另一个基本性质。
概率是非负的，即概率值不会小于0。
对于任何事件A来说，它的概率保持非负性：$$P(A) \\geq 0$$非负性的意义在于，概率是一个度量事件发生可能性的指标，它不能为负数。
4. 加法性加法性是概率的一个重要性质。
如果事件A和事件B是两个互不相容（即不可能同时发生）的事件，则它们的并事件的概率等于它们各自概率的和：$$P(A \\cup B) = P(A) + P(B)$$这个性质可以推广到多个事件的情况。
如果有n个互不相容的事件A1,A2,...,A n，则它们的并事件的概率等于它们各自概率的和：$$P(A_1 \\cup A_2 \\cup ... \\cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_n)$$加法性的意义在于，对于互不相容的事件，我们可以通过将它们的概率进行累加来计算并事件的概率。
5. 乘法性乘法性是概率的又一个基本性质。
如果事件A和事件B是两个相互独立（即它们之间没有相互影响）的事件，则它们的交事件的概率等于它们各自概率的乘积：$$P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)$$这个性质同样可以推广到多个事件的情况。
如果有n个相互独立的事件A1,A2,...,A n，则它们的交事件的概率等于它们各自概率的乘积：$$P(A_1 \\cap A_2 \\cap ... \\cap A_n) = P(A_1) \\cdot P(A_2) \\cdot ... \\cdotP(A_n)$$乘法性的意义在于，对于相互独立的事件，我们可以通过将它们的概率进行相乘来计算交事件的概率。
概率的基本性质
奖券中奖”这个事件为 M，则 M＝A∪B∪C.
∵A、B、C 两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝1＋11000＋0 50＝1
61 000.
故
1
张奖券的中奖概率为1
61 000.
(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事
件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
题型二 互斥、对立事件的概率
【例 2】 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券， 多购多得，1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等 奖 10 个，二等奖 50 个．设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等 奖的事件分别为 A、B、C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
2．在同一试验中，对任意两个事件 A，B，P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)一定成立吗？
【答案】不一定，只有 A 与 B 互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 才成立
要点阐释
1．事件与集合之间的对应关系
符号
概率论
Ω
必然事件
∅
不可能事件
ω
试验的可能结果
A
事件
A⊆B
事件 B 包含事件 A
A＝B 事件 A 与事件 B 相等
2．概率的几个性质 (1)范围 任何事件的概率 P(A)∈_[0_,_1_]____. (2)必然事件概率 必然事件的概率 P(A)＝1. (3)不可能事件概率 不可能事件的概率 P(A)＝0. (4)概率加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则有 P(A∪B)＝P__(A__)＋__P__(B. ) (5)对立事件概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 A∪B 为必然事件， 则有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝___1_____.
概率的基本性质
6、由对立事件的意义： A
A
是一个必然事件，它
的概率等于１，又由于Ａ与 A 互斥，
P( A A) P( A) P( A) 1
对立事件的概率的和等于1
王新敞
奎屯 新疆
从上面的公式还可得到：
P( A) 1 P( A)
三、讲解范例：
例1 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随
机抽取一张，那么取道红心的概率是0.25，取
一、复习引入：
1 事件的定义： 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.
随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件；
不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2 随机事件的概率: 一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发 m 生的频率 总是接近某个常数，在它附近摆动，这 n 时，就把这个常数叫做事件A的概率，记作 P ( A)
3.概率的确定方法： 通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频
率近似地作为它的概率；
4．概率的性质： 必然事件的概率为1， 不可能事件的概率为0， 随机事件的概率为 0 P( A) 1 必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
5、基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个
结果(事件A)称为一个基本事件
都是互斥的，那么就说事件
A1 , A2 ,, An 彼此互斥.
从集合的角度看， 几个事件彼此互斥，是 指由各个事件所含的结
A
B
C
果组成的集合彼此互不
相交，如图。
2．对立事件的概念 从盒中任意摸出一个球，若摸出的球不是红的， 即事件Ａ没发生，记作 由于事件Ａ和事件
A
A 不可能同时发生，它们是互 A
概率的基本性质教案
概率的基本性质教案一、教学目标1. 让学生理解概率的定义和基本性质。
2. 培养学生运用概率知识解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过合作、探究的方式，发现概率的基本性质，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
二、教学内容1. 概率的定义：随机事件A发生的可能性。
2. 概率的基本性质：a. 概率的取值范围：0≤P(A)≤1b. 概率的和性：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)（A、B互斥）c. 概率的乘性：P(A∩B)=P(A)×P(B|A)三、教学重点与难点1. 教学重点：概率的定义，概率的基本性质。
2. 教学难点：概率的和性、乘性原理的理解与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生发现概率的基本性质。
2. 运用案例分析，让学生体会概率在实际生活中的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
五、教学步骤1. 引入：通过抛硬币、抽签等实例，让学生感受概率的在生活中无处不在。
2. 讲解概率的定义：随机事件A发生的可能性，用0到1之间的数表示。
3. 探究概率的基本性质：a. 引导学生发现概率的取值范围：0≤P(A)≤1b. 讲解概率的和性：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)（A、B互斥）c. 讲解概率的乘性：P(A∩B)=P(A)×P(B|A)4. 运用案例分析，让学生体会概率的基本性质在实际生活中的应用。
5. 组织小组讨论，让学生发现生活中存在的概率现象，并运用概率的基本性质进行分析。
教案结束。
六、教学活动1. 课堂练习：让学生运用概率的基本性质，解决一些简单的实际问题，如：抛硬币、抽签等。
2. 课后作业：布置一些有关概率的基本性质的应用题，让学生巩固所学知识。
七、教学反思1. 教师应反思教学过程中的得失，及时调整教学方法，以便更有效地引导学生掌握概率的基本性质。
2. 关注学生在学习过程中的反馈，针对学生的实际情况进行辅导，提高学生的学习效果。
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单元重难点：
重点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算
难点：概率的加法公式及其应用，事件的关系与运算
步骤与内容：（结合多媒体的简案）
教学程序
教学内容
个性化设计
一、创设情境
二、探究新知
例题精讲
三、作业
1、创设情境：（1）集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；
（2）在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出数}……
2、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件见课本P115；
3、例题分析：
例2抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)= ，P(B)= ，求出“出现奇数点或偶数点”．
例3如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是 ，取到方块（事件B）的概率是 ，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
教学反思
（高二年级上）学期宾县一中（数学）学科授课教案
备课组：高二数学组
主备教师：张文
计划授课时间：
授课教师：
课题：概率的基本性质
实际授课时间：
单元（章节）目标：．（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；
（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)