小学数学六年级奥数《最值问题(2)》练习题(含答案)
小学数学人教新版六年级上册奥数系列讲座：最值问题(含答案解析)
小学数学人教新版六年级上册实用资料最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．典型问题2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，F GH×IJ 尽可能的小．则ABC×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(moda+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9t a=15+17t ⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．。
小学奥数 容斥原理之最值问题 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；A B A B +-1A B 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，C1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- A B C 3A B C ++-在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲【例1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
六年级奥数考点：极值问题
考点：极值问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、精讲精练【例题1】a和b是小于100的两个不同的自然数，求a－ba+b的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a－b a+b 的最大值是99－199+1=4950答：a－ba+b的最大值是4950。
练习1：1、（课后）设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求x－yx+y的最大值。
99 1012、a和b是小于50的两个不同的自然数，且a＞b，求a－ba+b的最小值。
1 973、设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求x+yx－y的最大值；②求x+yx－y的最小值。
（1）399 （2）201 199【例题2】有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1.（课后）有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96 ，差最大是60。
2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。
这两个两位数的和最小是多少？甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。
3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？一、二、三道工序所需的工人数的比是148：132：128＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59个工人。
小学六年级奥数专题5. 最值问题
四初一奥数培训专题4：最值问题四初一班姓名：；例1 .如果2007a=b2,其中a,b为大于0的自然数，则a的最小值是例2.将50拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大的质数是例3.在1—2007的所有自然数中，挑选出一些数，使它们中的每一个数都不是另外一个数的倍数，而且不会出现对称数（如：22，303，1001），则至多能选出个数例4若甲的身高和体重这两个数量中至少有一个比乙大，则称甲不亚于乙，在10个小伙子中如果某人不亚于其余9人，那么称之为棒小伙子，那么这10个小伙子中棒小伙子最多可以有个。
例5 学校购进作文类，奥数类，英语类，文艺类，科普类图书若干本，能够满足全校数百名学生没人从中任意借两本（同类书不能借两本），则至少有名学生中一定有两人所借的图书种类完全相同。
四初2018级数学竞赛班作业4四初一班姓名：1.六年级的几位同学合拍了一张照片，已知冲洗一张底片需要0.8元，洗一张照片需要0.35元，在每位同学得到一张照片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的人至少有多少个？2.某邮局只有1.2元，0.8元，0.6元三种邮票，某人要邮寄一个包裹，其邮资为6.2元，若刚好贴满6.2元，则至少要贴多少张邮票？3.四个人年龄之和是100岁，其中一个年龄正好是他们年龄的平均数，另外三个人的年龄最多相差7岁，最少相差2岁，求这四个人的年龄4.现有分别写着1，2，3，4，5，6六个数字卡片各若干张，从中任取出2010张摆放成一行，然后从这一行卡片中任意取出相邻的两张卡片，让其数字相乘得到一个乘积，那么在这些乘积中至少有多少个相同？5.有形状，长短，质量完全一样的6种颜色的筷子各24根，在黑暗中至少应摸出多少根筷子，才能保证摸出8双筷子（每双筷子的两根颜色相同）6.某校有201人参加数学竞赛，按照百分制计分且得分均为整数，若总分为9999 分，则至少有多少名同学的分数相同？为什么？。
小升初六年级奥数专题经典 最值问题答案
例1．1.有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不比赛。
他们一共最多能比赛多少场？解答：两组人数的乘积即为比赛场数，故最多比赛4×5=20（场） 2.直角三角形斜边长为10cm ，求这个直角三角形面积的最大值。
解答：设直角三角形三边长分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边长，根据勾股定理有a 2+ b 2=c 2=100，则当a 2= b 2=50时，a 2× b 2最大，为2500，所以面积a×b÷2最大为25.3.一个边长为30的正方形，四个角减去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？解答：假设减去的正方形边长为x ，则拼成的长方体的容积为x （30-2x ）(30-2x).由于4x+30-2x+30-2x=60,则当4x=30-2x=60÷3=20时，容积最大，为20×20×20÷4=2000.4.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字（每个数字仅用一次）组成两个多位数，那么这两个多位数的乘积最大是多少？解答：先讨论确定两个多位数应为一个四位数和一个五位数。
再确定各个数位上的数字，高位数字越大则乘积越大。
再补上一个0（放在个位，计算出乘积后去掉），根据平均值定理：两个数和一定时，这两个数越接近，乘积越大。
可以得出最大值为：96420×87531÷10＝843973902。
5.用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC 和一个两位数DE ，再用0，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH 和一个两位数IJ 。
求算式IJ FGH DE ABC ⨯-⨯的计算结果的最大值。
解答：为使IJ FGH DE ABC ⨯-⨯尽可能大，则要DE ABC ⨯尽可能大，IJ FGH ⨯尽可能小，后面类似例1的第4题，可得到算式的最大值为2046893751⨯-⨯=60483。
(完整版)小学奥数最值问题
最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．典型问题2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ 尽可能的小．则AB C×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9ta=15+17t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．。
高斯小学奥数六年级上册含答案第18讲最值问题二
第十八讲最值问题二「、最值问题中的常用方法a）极端思考在分析某些最值问题时，可以考虑把问题推向“极端”，因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解.b）枚举比较根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步缩小范围，筛选比较出题目的答案.c）分析推理根据两个事物在某些属性上都相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法.d）构造调整在寻求解题途径难以进展时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果.二、求最大值和最小值的结论1和一定的两个数，差越小，积越大；2. 积一定的两个数，差越小，和越小；3. 两点之间线段最短.例1.用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的「分析」题目的限制条件是铁丝长为80厘米，要求体积的最大值，通过什么可以把这二者联系起来呢? 练习1、（1）用一根长100 厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？（2）有一根铁丝，它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是36 立方厘米，这根铁丝的长度是多少厘米？例2．有5袋糖，其中任意 3 袋的总块数都超过60．这5袋糖块总共最少有多少块？「分析」每3 袋的总块数都超过60，要求5 袋的总块数．事实上我们以前做过类似的题：“已知三个数两两的和数，求这三个数的总和．”这样的题大家是怎么处理的呢？它的处理方法能否应用到本题中来呢？练习2、有 5 个学生参加暑期竞赛班，每人都拿了不少积分（所有积分都是整数）．如果其中每三人的积分之和都不少于500 分，那这五人的总积分最少是多少？例3．用1、2、3、4、5、6、7、8、9 各一个组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．「分析」为了让这样的三个数的乘积最大，我们当然要让三个数的首位最大．那么首位应该是多少呢？注意到这三个数都是9 的倍数，9 的倍数有什么特征呢？它对这三个数提出了怎样的要求？练习3、用1、2、3、4、5、6 各一个组成两个三位数，使得它们都是 3 的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．例4.把1至99依次写成一排，行成一个多位数：1234_ 9899 •从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是 0的多位数.请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多 少？「分析」要使得到的数最大，所得的数前面几位应该是什么？如果要最小呢？练习4、把1至20依次写成一排，行成一个多位数：1234_ 1920.从中划去20个数字, 剩下的数字组成一个首位不是 0的多位数.请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能 是多少？例5.邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长 1千米.如果邮递员从邮局出发，必么邮递员能做到这一点吗？实际上这是一个一笔画问题, 形才能一笔画出来呢?例6.如图，有一个长方体的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A 点出发，沿柜子表面爬到右上角的B 点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？ 一共有几条最短路线？请在图 中表示出来.「分析」如果邮递员恰好没有重复地走遍所有的街道,则这样走的总路程就是最短的. 那同学们回想一下，什么样的图「分析」众所周知，两点之间线段最短.然而在本题中，蚂蚁是不能穿过柜子的，只能在柜子表面爬行•这样一来，我们就要在柜子表面寻找一条从A到B的最短路线•可是蚂蚁应该怎么走才能距离最短呢？罐头装箱问题我们经常遇到把圆柱体罐头放入长方体包装箱的问题， 怎么摆放才能最有效地利用包装箱内的空间呢？一种显而易见的办法是把各圆排列成矩形的形状，像图1这样.它是一种较优排法，但不是最优的办法.没有最大限度地利用空间， 浪费不少，圆的面积只占总共的 78.5% .图1 图2比上述办法好得多的办法， 是将罐头摆放成图2所示的六边形.不难算出，正六边 形内圆所覆盖的面积超过了 90%.实际上，数学家已经证明了如果空间是无限延展的， 这种六边形摆放法是最紧密的包装方式.但是正六边形摆法的最紧密性质是有条件的，尤其在盒子不太大的时候.例如要放9个罐头，正六边形摆法需要的正方形不是最小的•如图3，它的放法就不比图 4好.当罐头数目增加时，放罐头的最佳包装法会不断在变，越来越 倾向于正六边形排法.比如，13个罐头的最优包装法，用边长大约为圆直径3.7倍的正方形就够了•如图 5，虽然它看上去乱糟糟，但已被证明为最优 解•我们可以看到，12个罐头紧紧地靠在一起，而第 13个（黄色的那个）则自由自在地放在中间.最后，大家思考一个问题：设 1角钱硬币的直径为 a 厘米，那么我们在边长为 10a 厘米的正方形中，最多可以不重叠地放入多少枚硬币呢？是 100枚吗？能否放进去更多？图3图5作业1. 用一根长120厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？2. 高、娅、莫、萱四人各有若干块高思勋章，其中任意两人的勋章合起来都少于10块，那么这四人的勋章合起来最多有多少块？3. 用1、2、3、4、5、6、7、8各一个组成两个四位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式.4. 把21至40依次写成一排，行成一个多位数：21222324. 3940 .从中划去20个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数.请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？5. 如果例题5中的街道由“土”字形变成如下所示的形状，那么邮递员从邮局出发，要走遍所有的街道，最少需要走多少千米？第十八讲最值问题二例7. 答案：294详解：长方体满足：长宽高80 4 20 厘米，要使体积最大，就应该使三边长度尽量接近.所以当三边长度分别为7厘米、7厘米和6厘米时，体积最大，为7 7 6 294 立方厘米.例8. 答案：103详解：任意 3 袋糖果总块数都不少于61，必能取出一袋不少于21块糖果；现在余下 4 袋，同样可以有糖果数超过21块的袋子，再取走这袋.现在余下三袋了，这三袋糖果总和不少于61，所以总的糖果不少于61+21+21=103 块.由于 5 袋糖果分别有21、21、21、20、20 块，是符合要求的，所以103 就是最小值.例9.答案：954X873X621详解：每个数都是9 的倍数，说明每个数的各位数字之和都是9 的倍数.由于1到9 总的数字和是45，而且每个数的各位数字之和都不超过7+8+9=24，因而三个数的各位数字之和分别为18、18 和9.各位数字之和为9 的数最大只能是621.其余两个数乘积要尽量大且各自的各位数字之和是18，百位取9 和8，十位取7 和5，个位取4和3，有最大乘积954X872，故所求的乘法算式是954X873X521 .例10 . 答案：最大为999997585960 ...9899 ;最小是10000012345061626364 (9899)详解：（1）要使剩下的数尽量大，就要让数的最前面剩下尽可能多的9.首先，最开头的12345678 这8 个数字是要去掉的，留下了第一个9;然后去掉1011121314151617181共19个数字，留下了第二个9;再去掉 3 次的19个数，使得剩下第3、4、5个9.现在已经去掉了一共8+19X4=84 个数，剩下的数前 5 个数字都是9，然后是50515253545556575859 一直写到9899，还能再去掉15 个数.但我们到下一个9要去掉19个数，到下一个8 要去掉17个数，到下一个7 要去掉15个数，于是最后结果的第6 个数字最大是7，应该去掉的15 个数字为505152535455565.所以剩下的数最大为999997585960 (9899)（2）要使剩下的数尽量小，就要让数的首位是1，第二位起是尽量多的0．首位上的1取第一个数字 1就行了 .然后去掉 234567891共9个数，留下第一个 0;再去掉1112131415161718192共19个数，留下第2个0;再去掉3次的19个数，就能得到第 3、4、5个0.现在一共去掉了 9 19 4 85个数，剩下的数前六个数字是1、0、0、0、0、0,余下的部分是 515253545556575859 一直写到9899，还能再去掉14个数.下一 位取不到0 了，只能去掉一个 5,留下1;再下一位连1都取不到，只能去掉 1个5, 取2；再去掉一个5,留下3 ;去掉一个5,留下4 •现在还能再去掉10个数字，而剩 下的是55565758596061••…，接下来11个数中最小的数是 5,所以取一个 5•然后剩 下的数前11个数字为55657585960 ,因而我们去掉10个数字5565758596,使下一位达 到最小数字0.所以最后剩下的数最小是 1000001234506162636…9899 .例11 . 答案：26他至少应该多走1千米街道，最小是26千米.在图2中, 26千米走遍所有街道的一种方法.例12 . 答案：最短的长度是 5; 4详解：为了表示方便，我们把长方体的各个顶点都标上字母，如图3.蚂蚁要从A 处爬到B 处，途中必须经过两个相邻的面， 两个相邻面的交线必是 EH 、HF 、FG 、GC 、CD 、 DE 六条线段中的一条.一共六种情况，但由对称性，可分为三类，每类两种：交线是FG 、DE 的情形为一类，交线是 HE 、GC 的情形为一类，交线是 FH 、DC 的情形为一 类.详解: 如图1,由于的A 、 B 两点连出的边是 3条，也就是奇数条，仅当 A 与B 为出发点和终点时，才能一笔画.我们不能从邮局出发一笔把这个图画出, 即邮递员不能只把每条街道走一遍就回到邮局, 1 1 1图2我们给出了邮递员走图1图3 图4情况1：如果蚂蚁所经过的两相邻面是ACGF和FGBH ,那么我们可以沿着它们的交线FG把这两个面展开到同一个平面上，如图 4 •这样蚂蚁的整个行走路线就在这一个平面上，而且以A为起点，B为终点•此时从A到B的最短连线就是A、B两点的连线,它恰好直角三角形ABC的斜边. 由于AC 3 , BC 3 1 4，因此AB 5 •D B1图63 C 3 GHF G33 CH7D： 1B图A73 C情况2：如果两相邻面的交线是GC •同样我们也可以沿着GC,把两个相邻面展开到同一个平面上，如图 5 .此时A、B两点的连线是直角三角形ABD的斜边•由于BD 3 ,AD 3 1 4，因此AB 5 .情况3：如果两相邻面的交线是DC •同样我们也可以沿着DC ,把两个相邻面展开到同一个平面上，如图 6 .此时A、B两点的连线是直角三角形AGB的斜边，一定比直角边AG长.而AG的长度是3 36，所以AB 一定大于6・其余三种情况的最短路线与上面的情况1、2、3对应相同. 所以爬行路线长度最少是5, (1)和(2)的情形都符合要求，加上与它们对应的两种，所以一共会有4条最短路线.展开图还原到原来的图中，就是所求的最短路线(如图7) •因此在长方体表面，从到B的最短路线的长度是5, 一共有4条满足要求.练习1、答案：576简答：100 4 25 8 8 9 ，8 8 9 576 ．练习2、答案：834简答：总积分最少是167 167 500 834 ，此时 5 人分数可以是166、167、167、167、167．练习3、答案：642 X 531简答： 6 和 5 分别放在两个数的百位上，结合各位数字之和是 3 的倍数，可得到乘积最大的算式642 531 ．练习4、答案：95617181920；10111111110简答：同例4，由于题目中数位较少枚举即可，注意计算的准确性．作业6. 答案：1000简答：120 4 30 10 10 10 ，10 10 10 1000 ．7. 答案：17简答：必有两人的勋章数都不多于 4 块，余下两人勋章数之和不多于9 块，因而最多只能有 4 4 9 17 块．8. 答案：8532 7641简答：首位要尽量大，取8 和7，次位也尽量大，取 6 和5，然后是十位要尽量大，从 4 和 3 里取．也就是前三位分别取853和764能使乘积最大．但还要保证都是3的倍数，故只能是8532 和7641，所求的乘法算式是8532 7641 ．9. 答案：93333334353637383940；1012333435363738394010. 答案：36简答：这个图是可以一笔画画出的，最少路程等于街道全程36 千米．。
小学六年级最值问题
最值问题1、六年级最值问题：难度：高难度表示一个四位数，表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9的不同的数字。
已知，问：乘积的最大与最小值差多少？答：2、六年级六年级最值问题：难度：高难度一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和，问：这组数之和最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。
答：3、六年级最值问题：难度：高难度将l，2，3…49，50任意分成l0组，每组5个数，在每组中取数值居中的那个数为“中位数”，求这l0个中位数之和的最大值及最小值。
答：4、六年级最值问题：难度：中难度把37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？答：5、六年级最值问题：难度：高难度下面是一个乘法算式：问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？答：1、六年级最值问题习题答案：【解】可以看出A＝1，因为E≠O，1，所以B最大为7，这时E＝2由于D、G都不能是O，1，所以D＋G＝13，C＋F＝8由于F≠O，1，2，所以C最大为5。
从而三位数最大为759，这时＝34。
最小为234(这时＝759最大)。
＝(1000＋)×(993－)，＝1000×993－1000×＋993×一×＝993000－7×—－×于是在最大时，乘积最小，最小时，乘积最大，因此，所求的差是(993000－7×234－234×234)－(993000－7×759－759×759)＝7×(759－234)＋759×759－234×234 ＝7×(759－234)＋(759＋234)×(759－234)＝7×(759－234)＋993×(759－234)＝1000×<759－234)＝525000。
高斯小学奥数六年级上册含答案第18讲 最值问题二
第十八讲最值问题二一、最值问题中的常用方法a)极端思考在分析某些最值问题时，可以考虑把问题推向“极端”，因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解．b)枚举比较根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步缩小范围，筛选比较出题目的答案．c)分析推理根据两个事物在某些属性上都相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法．d)构造调整在寻求解题途径难以进展时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果．二、求最大值和最小值的结论1．和一定的两个数，差越小，积越大；2．积一定的两个数，差越小，和越小；3．两点之间线段最短．例1．用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？「分析」题目的限制条件是铁丝长为80厘米，要求体积的最大值，通过什么可以把这二者联系起来呢？练习1、（1）用一根长100厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？（2）有一根铁丝，它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是36立方厘米，这根铁丝的长度是多少厘米？例2．有5袋糖，其中任意3袋的总块数都超过60．这5袋糖块总共最少有多少块？「分析」每3袋的总块数都超过60，要求5袋的总块数．事实上我们以前做过类似的题：“已知三个数两两的和数，求这三个数的总和．”这样的题大家是怎么处理的呢？它的处理方法能否应用到本题中来呢？练习2、有5个学生参加暑期竞赛班，每人都拿了不少积分（所有积分都是整数）．如果其中每三人的积分之和都不少于500分，那这五人的总积分最少是多少？例3．用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一个组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．「分析」为了让这样的三个数的乘积最大，我们当然要让三个数的首位最大．那么首位应该是多少呢？注意到这三个数都是9的倍数，9的倍数有什么特征呢？它对这三个数提出了怎样的要求？练习3、用1、2、3、4、5、6各一个组成两个三位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．例4．把1至99依次写成一排，行成一个多位数：12349899L ．从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数．请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？「分析」要使得到的数最大，所得的数前面几位应该是什么？如果要最小呢？练习4、把1至20依次写成一排，行成一个多位数：12341920L ．从中划去20个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数．请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？例5．邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米．如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？「分析」如果邮递员恰好没有重复地走遍所有的街道，则这样走的总路程就是最短的．那么邮递员能做到这一点吗？实际上这是一个一笔画问题，同学们回想一下，什么样的图形才能一笔画出来呢？111例6．如图，有一个长方体的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A 点出发，沿柜子表面爬到右上角的B 点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来．「分析」众所周知，两点之间线段最短．然而在本题中，蚂蚁是不能穿过柜子的，只能在柜子表面爬行．这样一来，我们就要在柜子表面寻找一条从A 到B 的最短路线．可是蚂蚁应该怎么走才能距离最短呢？AB3 31罐头装箱问题作业1.用一根长120厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？2.高、娅、莫、萱四人各有若干块高思勋章，其中任意两人的勋章合起来都少于10块，那么这四人的勋章合起来最多有多少块？3.用1、2、3、4、5、6、7、8各一个组成两个四位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．4.把21至40依次写成一排，行成一个多位数：212223243940L．从中划去20个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数．请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？5.如果例题5中的街道由“土”字形变成如下所示的形状，那么邮递员从邮局出发，要走遍所有的街道，最少需要走多少千米？第十八讲最值问题二例7．答案：294详解：长方体满足：80420++=÷=长宽高厘米，要使体积最大，就应该使三边长度尽量接近．所以当三边长度分别为7厘米、7厘米和6厘米时，体积最大，为776294⨯⨯=立方厘米．例8．答案：103详解：任意3袋糖果总块数都不少于61，必能取出一袋不少于21块糖果；现在余下4袋，同样可以有糖果数超过21块的袋子，再取走这袋．现在余下三袋了，这三袋糖果总和不少于61，所以总的糖果不少于61+21+21=103块．由于5袋糖果分别有21、21、21、20、20块，是符合要求的，所以103就是最小值．例9．答案：954×873×621详解：每个数都是9的倍数，说明每个数的各位数字之和都是9的倍数．由于1到9总的数字和是45，而且每个数的各位数字之和都不超过7+8+9=24，因而三个数的各位数字之和分别为18、18和9．各位数字之和为9的数最大只能是621．其余两个数乘积要尽量大且各自的各位数字之和是18，百位取9和8，十位取7和5，个位取4和3，有最大乘积954×872，故所求的乘法算式是954×873×621．例10．答案：最大为999997585960...9899；最小是10000012345061626364 (9899)详解：（1）要使剩下的数尽量大，就要让数的最前面剩下尽可能多的9．首先，最开头的12345678这8个数字是要去掉的，留下了第一个9；然后去掉1011121314151617181共19个数字，留下了第二个9；再去掉3次的19个数，使得剩下第3、4、5个9．现在已经去掉了一共8+19×4=84个数，剩下的数前5个数字都是9，然后是50515253545556575859一直写到9899，还能再去掉15个数．但我们到下一个9要去掉19个数，到下一个8要去掉17个数，到下一个7要去掉15个数，于是最后结果的第6个数字最大是7，应该去掉的15个数字为505152535455565．所以剩下的数最大为999997585960…9899．（2）要使剩下的数尽量小，就要让数的首位是1，第二位起是尽量多的0．首位上的1取第一个数字1就行了．然后去掉234567891共9个数，留下第一个0；再去掉1112131415161718192共19个数，留下第2个0；再去掉3次的19个数，就能得到第3、4、5个0．现在一共去掉了个数，剩下的数前六个数字是1、0、0、0、0、0，余下的部分是515253545556575859一直写到9899，还能再去掉14个数．下一位取不到0了，只能去掉一个5，留下1；再下一位连1都取不到，只能去掉1个5，取2；再去掉一个5，留下3；去掉一个5，留下4．现在还能再去掉10个数字，而剩下的是55565758596061……，接下来11个数中最小的数是5，所以取一个5．然后剩下的数前11个数字为55657585960，因而我们去掉10个数字5565758596，使下一位达到最小数字0．所以最后剩下的数最小是10000012345061626364…9899．例11． 答案：26详解：如图1，由于的A 、B 两点连出的边是3条，也就是奇数条，仅当A 与B 为出发点和终点时，才能一笔画．我们不能从邮局出发一笔把这个图画出，即邮递员不能只把每条街道走一遍就回到邮局，他至少应该多走1千米街道，最小是26千米．在图2中，我们给出了邮递员走26千米走遍所有街道的一种方法．例12． 答案：最短的长度是5；4详解：为了表示方便，我们把长方体的各个顶点都标上字母，如图3．蚂蚁要从A 处爬到B 处，途中必须经过两个相邻的面，两个相邻面的交线必是EH 、HF 、FG 、GC 、CD 、DE 六条线段中的一条．一共六种情况，但由对称性，可分为三类，每类两种：交线是FG 、DE 的情形为一类，交线是HE 、GC 的情形为一类，交线是FH 、DC 的情形为一类．919485+⨯=邮局图1邮局图2情况1：如果蚂蚁所经过的两相邻面是ACGF 和FGBH ，那么我们可以沿着它们的交线FG 把这两个面展开到同一个平面上，如图4．这样蚂蚁的整个行走路线就在这一个平面上，而且以A 为起点，B 为终点．此时从A 到B 的最短连线就是A 、B 两点的连线，它恰好直角三角形ABC 的斜边．由于3AC =，314BC =+=，因此5AB =．情况2：如果两相邻面的交线是GC ．同样我们也可以沿着GC ，把两个相邻面展开到同一个平面上，如图5．此时A 、B 两点的连线是直角三角形ABD 的斜边．由于3BD =，314AD =+=，因此5AB =．情况3：如果两相邻面的交线是DC ．同样我们也可以沿着DC ，把两个相邻面展开到同一个平面上，如图6．此时A 、B 两点的连线是直角三角形AGB 的斜边，一定比直角边AG 长．而AG 的长度是336+=，所以AB 一定大于6．其余三种情况的最短路线与上面的情况1、2、3对应相同．所以爬行路线长度最少是5，（1）和（2）的情形都符合要求，加上与它们对应的两种，所以一共会有4条最短路线．把展开图还原到原来的图中，就是所求的最短路线（如图7）．因此在长方体表面，从A 到B 的最短路线的长度是5，一共有4条满足要求．AC G33图6图7 AB 331 C DE FGH A B331C DE F GHAB331 C DE F GH 图33 图43 BA 1 C D图5练习1、答案：576简答：100425889⨯⨯=．÷==++，889576练习2、答案：834简答：总积分最少是167167500834++=，此时5人分数可以是166、167、167、167、167．练习3、答案：642×531简答：6和5分别放在两个数的百位上，结合各位数字之和是3的倍数，可得到乘积最大的算式⨯．642531练习4、答案：95617181920；10111111110简答：同例4，由于题目中数位较少枚举即可，注意计算的准确性．作业6.答案：1000简答：120430101010÷==++，1010101000⨯⨯=．7.答案：17简答：必有两人的勋章数都不多于4块，余下两人勋章数之和不多于9块，因而最多只能有44917++=块．8.答案：85327641⨯简答：首位要尽量大，取8和7，次位也尽量大，取6和5，然后是十位要尽量大，从4和3里取．也就是前三位分别取853和764能使乘积最大．但还要保证都是3的倍数，故只能是8532和7641，所⨯．求的乘法算式是853276419.答案：93333334353637383940；1012333435363738394010.答案：36简答：这个图是可以一笔画画出的，最少路程等于街道全程36千米．。
六年级数学思维训练：最值问题二(六年级)竞赛测试.doc
六年级数学思维训练：最值问题二（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】用0，1，2，…，9这10个数字各一次组成5个两位数a、b、c、d、e．请问：a﹣b+c﹣d+e最大可能是多少？【答案】195.【解析】试题分析：要使a﹣b+c﹣d+e最大，应使a、c、e的值尽量大，使b、d的值尽量小；所以取a=98，b=76，c=54，剩下的4个数字是：0、1、2、3，可以取b=10，d=23，据此解答即可．解：要使a﹣b+c﹣d+e最大，应使a、c、e的值尽量大，使b、d的值尽量小；所以取a=98，b=76，c=54，剩下的4个数字是：0、1、2、3，可以取b=10，d=23，即a﹣b+c﹣d+e最大值=98﹣10+76﹣23+54=195．答：a﹣b+c﹣d+e最大可能是195．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是首先根据题意，求出a、b、c、d、e的值是多少．【题文】将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？【答案】15个；1人．【解析】试题分析：因为至多就是每个组人数尽量少，1+2+3+4+4+…15=120，而135﹣120=15，所以这15人再每个小组分给1人，最后一个小组分2人，即第一组1人，第二组3人，第三组4人，第五组5人…第15组17人，由此得出至多可以分成15个组，人数最少的那组有1人．解：因为1+2+3+4+5+…15=120，而135﹣120=15所以1+3+4+4+5+6+7+…+17=135所以至多可以分成15个组．人数最少的那组有1人．答：至多可以分成15个组．人数最少的那组有1人．点评：关键是明确至多可以分成多少个组就是每个组人数尽量少，所以应该从一个组一个人开始试着进行推算．【题文】有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？【答案】55场．【解析】试题分析：11个队进行单循环比赛，每两个队要赛一场，即每人队都要和自己以外的其它11﹣1=10个队赛一场，则所有队共参赛11×10=110场，由于比赛是在两队之间进行的，所以一共要比赛110÷2=55场．解：11×（11﹣1）÷2=11×10÷2=55（场）答：共需比赛55场．点评：在单循环比赛中，比赛场数=（参赛队数﹣1）×队数÷2．【题文】我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如8=3+5．有的数有几种不同的表示方法，例如100=3+97=11+89=17+83．请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？【答案】16=3+13=5+11．【解析】试题分析：根据质数、合数的意义，一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．以此解答解：最小的合数是4，不符合题意，6，8，9，10，12，14，15，都不符合题意，比15大的合数是16，16=3+13=5+11；故答案为：16=3+13=5+11．点评：本题考查的是质数与合数，解答此题的关键是熟知质数、合数的定义．【题文】一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？【答案】商最大是100，商最小是1．【解析】试题分析：设这个三位数为abc=100a+10b+c，这个三位数除以它的各位数字之和，可得（100a+10b+c）÷（a+b+c）=[（10a+10b+10c）+（90a﹣9c）]÷（a+b+c）=10+9（10a﹣c）÷（a+b+c）；（1）要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小，可得c=0，b=0，此时商的最大值为100；（2）要使商最小，那么被除数应最小，除数应最大，可得a=b=0，c=9，此时商的最小值为1．解：设这个三位数为abc=100a+10b+C，可得（100a+10b+c）÷（a+b+c）=[（10a+10b+10c）+（90a﹣9c）]÷（a+b+c）=10+9（10a﹣c）÷（a+b+c ）；（1）要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小，可得c=0，b=0，此时商的最大值为：10+9×10a÷a=10+90=100；（2）要使商最小，可得a=b=0，c=9，此时商的最小值为：10+9×（10×0﹣9）÷（0+0+9）=10﹣9=1．答：商最大是100，商最小是1．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是设这个三位数为abc=100a+10b+c，并求出这个三位数除以它的各位数字之和等于10+9（10a﹣c）÷（a+b+c）．【题文】（1）在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？（2）从1至9中选取四个不同的数字填人算式+中，使算式的结果小于1．这个结果最大是多少？【答案】；．【解析】试题分析：（1）要相差最小，必须分子最小，分母最大，那么分母最大就是8和9，分子最小就是1 （2）组成的最小的一个分数是，剩余数组成的最大的分数是，据此解答即可．结果最大是+=解：（1）﹣=（2）+=答：两个不相等的分数最小相差；结果最大是．点评：此题主要考查两个数的和与差，一定要综合分析题目中的条件．【题文】如图，等腰直角三角形ABC中，CA=CB=4厘米，在其中作一个矩形CDEF，矩形CDEF的面积最大可能是多少？【答案】4平方厘米．【解析】试题分析：矩形CDEF的面积最大，就是矩形变为正方形时，面积最大．即D点在CB边的中点；F点在AC 边的中点．此正方形的边长是2厘米，面积是4平方厘米．解：当D、E、F分别是各边的中点时，矩形变为边长是2厘米的正方形，面积最大．2×2=4（平方厘米）．答：矩形CDEF的面积最大可能是4平方厘米．点评：本题考查了在等腰直角三角形内作最大的矩形的知识．以及面积的求法．【题文】如图，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形，这个八边形的边长恰好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？【答案】70．【解析】试题分析：要使这个八边形的面积最大，挖去的两个小长方形应尽量小，如图所示数字，可以保证这个八边形的面积最大，用原来长方形的面积减去挖去的两个小长方形即可．据此解答．解：被挖掉的两个小长方形的面积和为：2×3+1×4=6+4=10原来一个长方形的面积为：8×（7+3）=8×10=80这个八边形的面积为：80﹣10=70答：它的面积最大可能是70．点评：此题属于最值问题，关键在于先确定出挖去的两个小长方形的边长，即可解决问题．【题文】在4×4的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点，请问：最多可以将多少个方格染成黑色？【答案】4个【解析】试题分析：可以分两种情况讨论，即：先确定第一行分含有一个或两个黑格，依次到第四行画图表示即可．解：第一行可染黑1格或2格，染1格时，相邻行只能染1格，染2格时，相邻行只能染0格，可见，相邻两行最多共染2个，则在4×4的方格表中最多可以将4个方格染成黑色；下图为例：点评：本题关键是要理解第一行可染黑1格或2格这两种情况分类研究．【题文】古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图16﹣3，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？【答案】饮马处的C点如图所示．【解析】试题分析：根据：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定．作出点A关于直线MN的对称点A′，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′B与MN 的交点即为饮马处C．解：饮马处的C点如图所示．点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，此类问题理论依据是线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和三角形的任意两边之和大于第三边．【题文】如图所示，用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架．这个长方体的体积最大可能是多少？【答案】294立方厘米．【解析】试题分析：长宽高的和是：80÷4=20厘米，长方体的体积最大，长宽高的长度必须最接近，即20=6+7+7，然后再利用长方体的体积公式计算即可解答．解：80÷4=20（厘米），要使长方体的体积最大，长宽高的长度必须最接近，即20=6+7+7，6×7×7=294（立方厘米）答：这个长方体的体积最大可能是294立方厘米．点评：本题关键是明确要使长方体的体积最大，长宽高的长度必须最接近．【题文】把14表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大，问：这个乘积最大可能是多少？【答案】162．【解析】试题分析：由于任何数乘1都得原数，所以不能有1，如果有高于4的数字是不可能的，因为比如5，还可以拆开2+3，2*3=6＞5，要使得到的乘积最大，所以只能含有2，3（因为如果有4，我们还可以变成2+2=2×2）又因为3+3=2+2+2，而2×2×2＜3×3，所以在可能的情况下应该拆开的数尽量可能多的3，所14=3+3+3+3+2以最大=3×3×3×3×2=162．解：14=3+3+3+3+23×3×3×3×2=162答：这个乘积最大是162．点评：明确不能有1，并且3要尽量多是完成本题的关键．【题文】从1，2，…中选出8个数填人下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果．口÷口×（口+口）﹣（口×口+口﹣口）．【答案】9、1、7、8、2、3、4、6．【解析】试题分析：要想使结果尽可能大，应使被除数尽可能大，除数尽可能小，因数尽可能大，减去的乘积尽可能小；首先考虑倍数，然后考虑加数，可得被除数应为9，除数应为1，括号内的两个加数应为7和8，后面的减数从2﹣6中选择4个，使得后面括号内的结果尽可能小，据此解答即可．解：根据分析，可得[9÷1×（7+8）]﹣（2×3+4﹣6）=131．即结果最大可能是131．故答案为：9、1、7、8、2、3、4、6．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是注意凑数的顺序：首先考虑倍数，然后考虑加数．【题文】有13个不同的自然数，它们的和是100．其中偶数最多有多少个？最少有多少个？【答案】最多有7个，最少有5个【解析】13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．【题文】将6、7、8、9、10这5个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的5个乘积相加，请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？【答案】最小值是312，最大值是323．【解析】试题分析：（1）5个数的顺序是：6，10，7，8，9的时候，和最小为：6×10+10×7+7×8+8×9+9×6=312；（2）5个数的顺序是：6，8，10，9，7的时候，和最大为：6×8+8×10+10×9+9×7+7×6=323．解：（1）5个数的顺序是：6，10，7，8，9的时候，和最小为：6×10+10×7+7×8+8×9+9×6=312；（2）5个数的顺序是：6，8，10，9，7的时候，和最大为：6×8+8×10+10×9+9×7+7×6=323．答：所得和数的最小值是312，最大值是323．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是确定5个数的顺序．【题文】有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60．这5袋糖块总共最少有多少块？【答案】103块．【解析】试题分析：根据任意3袋的总块数都超过60，其中必有2袋最少为20块，另3袋最少为21块，这5袋糖块总共最少有20+20+21+21+21=103（块）．解：根据任意3袋的总块数都超过60，其中必有2袋最少为20块，另3袋最少为21块，这5袋糖块总共最少有：20+20+21+21+21=103（块）．答：这5袋糖块总共最少有103块．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是：分别求出每袋糖块的最少块数，进而求出这5袋糖块总共最少有多少块即可．【题文】已知算式9984﹣8﹣8﹣…﹣8的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？【答案】9872．【解析】试题分析：根据题意，要使这个结果最大，千位、百位上应分别是9、8，至少应减去11个8，11×8=88，才能使百位上是8，此时结果是9896，不符合题意；观察发现，再减去3个8，9896﹣8×3=9872，各位数字互不相同，即为结果的最大值．解：要使这个结果最大，千位、百位上应分别是9、8，至少应减去11个8，11×8=88，才能使百位上是8，9984﹣88=9896，此时结果是9896，不符合题意；观察发现，再减去3个8，9896﹣8×3=9872，各位数字互不相同，即为结果的最大值，所以这个结果最大可能是9872．答：这个结果最大可能是9872．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是从最高位开始，逐一分析判断结果的最大值．【题文】用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．【答案】954×873×621．【解析】试题分析：根据能被9整除的数各位数之和一定能被9整除，从9个数字中列出所有可能的情况，再分别组成最大的三位数，进而找出最大乘积的乘法算式即可．解：因为能被9整除的数各位数之和一定能被9整除，所以选取的三个数满足条件的有三种情况：①选9、8、1，或7、6、5，或4、3、2，则组成最大的三位数是981、765、432；②选9、7、2，或8、6、4，或5、3、1，则组成最大的三位数是972、864、531；③选9、5、4，或8、7、3，或6、2、1，则组成最大的三位数是954、873、621；根据各个数的和一定的情况下，因数大小越接近，则它们的乘积就越大，所以这3个三位数的乘积最大的乘法算式是：954×873×621，答：乘积最大的乘法算式是：954×873×621．点评：此题主要考查了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是首先找出满足条件的三位数有哪些．【题文】所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多少？【答案】11.【解析】试题分析：根据质数和合数的定义，将自然数分为偶数和奇数两种情况讨论，求出最大的一个是多少即可．解：（1）如果这个自然数是偶数，则它一定小于8，因为不小于8的偶数，必定存在4+（x﹣4），且两数都是合数；（2）如果n为质数，则n+2是质数，n+4，n﹣2不是质数，因为n，n+2，n+4中必定有一个可以是3的倍数（n＞3时），所以，任意一个奇数，减去4、6、8以后，至少能得到一个结果是合数，即（n＞3，取5，5+8=13）以后的奇数都能分为两个合数；（3）因为13=4+9，12=4+8，11不能拆分，11=1+10，2+9，3+8，4+7，5+6，所以不能写成两个合数之和的最大的自然数是11．答：最大的一个是11．点评：此题主要考查了质数与合数的特征，考查了分析推理能力．【题文】把1至99依次写成一排，形成一个多位数：从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？【答案】最大是999997585960…9899，最小是1000006061…9899．【解析】试题分析：共由9+90×2=189个数字组成，根据数位知识可知，一个数的高位上的数字越大，则其值就越大，因此，从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，要使之最大，则应使高位上的数字9尽量多，由此可将前往后，将个位数1﹣8，两个数10﹣18，19中的1，20﹣28，29，中的2，…49中的2，50，51，52，53，54，55，56，5去掉，保留57中的7，至此共去掉99个数，即这个数是999997585960…9899．同理可知，一个数的高位上的数字越大，则其值就越大，因此，从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，要使之最小，则应使高位上的数字9尽量小，由于首位不能为0，则首位为1，后面高位尽量保留0，由此可将前往后，将个位数1﹣8中的2﹣9去掉，10去掉1，11﹣19，20中去掉2， (50)中去掉5，此时共去掉了85个，然后去掉51，52，53，54中的5，55，56，57，58，59，去掉，此进共去掉了99个，即这个数最小是1000006061…9899．解：从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，要使之最大，则应使高位上的数字9尽量多，由此可将前往后，将个位数1﹣8，两个数10﹣18，19中的1，20﹣28，29，中的2，…49中的2，50，51，52，53，54，55，56，5去掉，保留57中的7，至此共去掉99个数，即这个数是999997585960…9899．从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，要使之最小，则应使高位上的数字9尽量小，由于首位不能为0，则首位为1，后面高位尽量保留0，由此可将前往后，将个位数1﹣8中的2﹣9去掉，10去掉1，11﹣19，20中去掉2，…50中去掉5，此时共去掉了85个，然后去掉51，52，53，54中的5，55，56，57，58，59，去掉，此进共去掉了99个，即这个数最小是1000006061…9899．答：剩下的数最大是999997585960…9899，最小是1000006061…9899．点评：完成本题要细心分析所给条件，找出其中的内在规律后解答．【题文】邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米．如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？【答案】26千米．【解析】试题分析：尽量少走重复的路线，找到走完全部路程的最短的路线：最少要重复一段路，一种走法是：→→→↑←↑→↑←↑←↓→↓←↑←↓→↓→↓←↑←↓．（注：用→表示走小段街道及方向）．解：由图中可知，重复了一小段街道，所以最少要走26千米．答：最少要走26千米．点评：本题考查了最短路线问题；画出相应图形，得到最短路线是解决本题的关键．【题文】如图，有一个长方体形状的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A点出发，沿柜子表面爬到右上角的B 点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来．【答案】蚂蚁爬行路线的长度最短是5；一共有4条最短路线．如下图所示：【解析】试题分析：蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．本题中蚂蚁要跑的路径有三种类型，求出每种类型的长度，比较大小即可求得最短的途径．解：由分析可得：类型一：（如前面与左面）根据勾股定理得：AB=5；类型二：（如前面与上面）根据勾股定理得：AB=5；类型三：（如下面与左面）根据勾股定理得：AB=；5＜，即类型一，类型二最短，每种类型有两种路线，即一共有4条最短路线，如下图所示：答：蚂蚁爬行路线的长度最短是5；一共有4条最短路线．点评：解答本题的关键是知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．即蚂蚁爬的是展开图中一个长方形的对角线．【题文】一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且能进行加法运算．为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？【答案】21次．【解析】试题分析：因为222222是六位数，首先考虑最大的数由5个7组成，依次用7和0组成的最大的数，往下写出五位数、三位数，最后再试着从计算中得出问题的答案．解：700+707+707+777+70777+70777+77777=222222，一共按7的次数为：1+2+2+3+4+4+5=21（次），答：那么最少要按“7”键21次．点评：解答此类问题主要运用计算机采用逐渐缩小数的范围方法，逐一试着找到问题的答案．【题文】用1、3、5、7、9这5个数字组成一个三位数和一个两位数，再用0、2、4、6、8这5个数字组成一个三位数和一个两位数．请问：算式×﹣×的计算结果最大是多少？【答案】60085．【解析】试题分析：×﹣×的计算结果最大，必须×尽可能大，而×尽可能小．通过验证，两数的差越小，积越大，即×=731×95最大；两数的差越大，积越小，即=20×468最小．计算结果最大是731×95﹣20×468=60085．解：×﹣×=731×95﹣20×468=69445﹣9360=60085．答：×﹣×的计算结果最大是60085．点评：本题考查5个数字组成一个3位数和一个2位数，什么时候最大，什么时候最小．【题文】将1、2、3、4、5、6分别填在正方体的6个面上，计算具有公共棱的两个面上的数的乘积，这样的乘积共有12个，这12个乘积的和最大是多少？【答案】294．【解析】试题分析：设正对的两个面上的两数之和分别为a，b，c，则a+b+c=1+2+3+4+5+6=21；表示出这12个乘积的和s=（21﹣a）×a+（21﹣b）×b+（21﹣c）×c=21×（a+b+c）﹣（a2+b2+c2），进而根据不等式的性质，求出s的最大值是多少即可．解：设正对的两个面上的两数之和分别为a，b，c，则a+b+c=1+2+3+4+5+6=21；这12个乘积的和s=（21﹣a）×a+（21﹣b）×b+（21﹣c）×c=21×（a+b+c）﹣（a2+b2+c2）≤441﹣=441﹣=441﹣147=294当且仅当a=b=c=7时，取“=”．答：这12个乘积的和最大是294．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是不等式性质的灵活应用．【题文】用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式中的差最大是多少？【答案】784.【解析】试题分析：根据被减数﹣减数=差，要使这个算式中的差最大，应当使被减数最大，减数最小；则被减数的百位一定是9，减数的百位一定是1，差的百位可能是8或者7，所以被减数的十位不能选择这两个数了；然后要使差最大，考虑大的7和8已经用不了了，可以选择用一个较小的数减，因为得到的差借一位，同样得到一个大的数，所以被减数十位选3，减数十位选5，这样得到差的百位是7，十位是8；最后剩下的几个数，代入算式即可．解：根据被减数﹣减数=差，要使这个算式中的差最大，应当使被减数最大，减数最小；则被减数的百位一定是9，减数的百位一定是1，差的百位可能是8或者7，所以被减数的十位不能选择这两个数了；要使差最大，考虑大的7和8已经用不了了，可以选择用一个较小的数减，因为得到的差借一位，同样得到一个大的数，所以被减数十位选3，减数十位选5，这样得到差的百位是7，十位是8；这个算式中的差最大是：936﹣152=784．答：这个算式中的差最大是784．点评：此题主要考查了最大与最小问题，注意从最高位开始，逐一分析即可．【题文】有的偶数可以写成两个奇合数之和，例如24=9+15，100=25+75．所有不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的一个是多少？【答案】38.【解析】试题分析：根据奇数、合数、奇合数的意义，将偶数进行举例，即可得出答案．解：奇合数有：9，15，21，25，27，35，39…以上分别为：3×3，3×5，3×7，5×5，3×9，3×11，5×7，3×13…可以知道：3×（2K+1）为两个奇数之积，一定是奇合数，40=15+25，42=21+21，44=9+35，46=21+25…所以大于等于40的偶数都能写成两个奇合数之和，而38=1+37=3+35=5+33=7+31=9+29=11+27=13+25=15+23=17+21=19+19，均不为两个奇合数之和，所以38即为不能写成两个奇合数之和的最大偶数；答：最大的一个是38．点评：此题主要考查奇数、合数、奇合数的概念，侧重于逻辑推理，难度较大，要深刻理解．【题文】如图，有一个圆锥形沙堆的底面直径BC为4厘米，圆锥的侧面展开圆心角为120度，母线AC的长度为6厘米．请问：（1）如果一只蚂蚁想从B点去C点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线（蚂蚁只能在圆锥表面走）；（2）如果一只蚂蚁需要由B点出发到达线段AC上（可以到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？【答案】（1）B′C即为最短路线．（2）线段B′D即为最短路线．解答作图如下：【解析】试题分析：（1）要求蚂蚁爬行的最短距离，将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”线段B′C即为最短路线．（2）根据“垂线段最短”，在圆锥的侧面展开图中，从点B′向AC所在的直线作垂线，垂线段B′D即为最短路线．解：解答作图如下：点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，运用弧长公式即可求出扇形的圆心角．【题文】如图，一个边长为10的正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？【答案】立方厘米．【解析】试题分析：首先分析题目求边长为30厘米的正方形纸片做一个无盖长方体，且长方体盒子的体积最大．故可设正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，根据长方体的体积公式列出关于x的方程，分析即可求得最值．解：设正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，则长方体体积=（10﹣2x）2x=4（5﹣x）（5﹣x）x=2（5﹣x）（5﹣x）2x因为5﹣x+5﹣x+2x=10所以当5﹣x=2x时，体积最大．x=．则（10﹣2x）2x=（10﹣2×）2×=（立方厘米）．答：这个纸盒的最大容积是立方厘米．点评：考查了长方体的体积，本题答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．【题文】一个5×5的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成等差数列．已知任取n个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表补填完整，那么，n的最小值是多少？【答案】3.【解析】试题分析：因为每一行、每一列的数都构成等差数列，所以要知道每一行、每一列的公差，因为是两个公差，所以要需要4个数才可求得，又由于是在方格中填数，所以可以共用行和列相交的那个数，然后剩下的两个数取和它相邻的行和列上的数即可．解：因为每一行、每一列的数都构成等差数列，所以要知道每一行、每一列的公差，因为是两个公差，所以要需要4个数才可求得，又由于是在方格中填数，所以可以共用行和列相交的那个数，然后剩下的两个数取和它相邻的行和列上的数，即需要1+2=3个数，所以，n的最小值是3．答：n的最小值是3．点评：本题关键是结合方格中数的排列特点以及等差数列的特点确定需要几个数才能得出公差．。
最值问题(六年级奥数题及答案)
最值问题
阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就坐时，某些排坐着的人数就一样多．我们希望人数一样的排数尽可能少，则相同人数的至少有排．
解：至少有4排．
如果排人数各不相同，那么这10排最多分别坐16、15、14、13、……、7人，则最多坐16+15+14+13+12+1பைடு நூலகம்+10+9+8+7=115
（人）；
如果最多有2排人数相同，那么最多坐（16+15+14+13+12）×2＝140（人）；
如果最多有3排人数一样，那么最多坐（16+15+14）×3+13＝148（人）；
如果最多有4排人数一样，那么最多坐（16+15）×4+14×2＝152（人）．
由于148<150<152，所以只有3排人数一样的话将不可能坐下150个人，相同人数的至少有4排．
小学六年级奥数计算题及答案：最值问题(20211003231047)
小学六年级奥数计算题及答案：最值问题(20211003231047)
小学六年级奥数计算题及答案：最值问题
★这篇【小学六年级奥数计算题及答案：最值问题】，是专门为大家整理的，希望对大家有所帮助！
一把钥匙只好开一把锁 .此刻有 4 把钥匙 4 把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试 ()次才能配好所有的钥匙和锁.
剖析：第一把钥匙最坏的状况要试 3 次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的3 把锁和3 把钥匙，最坏的状况要试2 次，把这把钥匙和这把锁取出 ;剩下的 2 把锁和 2 把钥匙，最坏的状况要试 1 次，把这把钥匙和这把锁取出 ;剩下的 1 把锁和 1 把钥匙就不用试了 .
解： 3+2+1=6(次);
答：最多要试 6 次才能配好所有的钥匙和锁.
故答案为： 6.。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 六年级上 第8讲最值问题
我们已经在四年级的时候接触过最值问题，并学习了两个重要的结论：（1）两个数的和一定，它们差最小时乘积最大；（2）几个数的和一定，它们越接近乘积越大．我们先通过例题1来复习一下这个结论．分析 题目的限制条件是铁丝长为80厘米，要求体积的最大值，怎样把这二者用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？例题1联系起来呢？练习1. （1）用一根长100厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？（2）有一根铁丝，它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是36立方厘米，这根铁丝的长度是多少厘米？除了上面的两个重要结论以外，我们最重要的还是学习了几种分析最值问题的方法：枚举法、调整法、极端思考、整体思维等．本讲我们将进一步学习这些思想，并作一些综合性的运用．分析 每3袋的总块数都超过60，要求5袋的总块数．事实上我们以前做过类似的题：“已知三个数两两的和数，求这三个数的总和．”这样的题大家是怎么处理的呢？它的处理方法能否应用到本题中来呢？练习2. 有5个学生参加暑期竞赛班，每人都拿了不少积分（所有积分都是整数）．如果其中每三人的积分之和都不少于500分，那这五人的总积分最少是多少？ 罐头装箱问题 我们经常遇到把圆柱形罐头放入长方体包装箱的问题，怎么摆放才能最有效地利用总共最少有多少块？包装箱内的空间呢？一种显而易见的办法是把各圆排列成矩形的形状，像图1这样．它是一种较优排法，但不是最优的办法．它没有最大限度地利用空间，浪费不少，圆的面积只占总共的78.5%．比上述办法好得多的办法，是将罐头摆放成图2不难算出，正六边形内圆所覆盖的面积超过了90％．实际上，数学家已经证明了如果空间是无限延展的，这种六边形摆放法是最紧密的包装方式．但是正六边形摆法的最紧密性质是有条件的，尤其在盒子不太大的时候．例如要放9个罐头，正六边形摆法需要的正方形不是最小的．如图3，它的放法就不比图4好．当罐头数目增加时，放罐头的最佳包装法会不断变化，越来越倾向于正六边形排法．比如，13个罐头的最优包装法，用边长大约为圆直径3.7倍的正方形就够了．如图5，虽然它看上去乱糟糟，但已被证明为最优解．我们可以看到，12个罐头紧紧地靠在一起，而第13个（黄色的那个）则自由自在地放在中间．最后，大家思考一个问题：设1角钱硬币的直径为a厘米，那么我们在边长为10a厘米的正方形中，最多可以不重叠地放入多少枚硬币呢？是100枚吗？能否放进去更多？有些最值问题同时也是数论、数字谜问题．这类问题在求最值时，一定要注意同数论、数字谜的知识联系起来．图2图3图4图5么首位应该是多少呢？注意到这三个数都是9的倍数，9的倍数有什么特征呢？它对这三个数提出了怎样的要求？练习3. 用1、2、3、4、5、6各一个组成两个三位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．分析 要使得到的数最大，所得的数前面几位应该是什么？如果要最小呢？练习4. 把1至20依次写成一排，形成一个多位数：12341920 ．从中划去20个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数．请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？最后，我们来考虑两个图形方面的最值问题，求解这类问题往往需要灵活运用一些最基本的图形性质．从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是下的数最大可能是多少？最小可能是多少？例题4小段街道长所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？分析 如果邮递员恰好没有重复地走遍所有的街道，则这样走的总路程就是最短的．那么邮递员能做到这一点吗？实际上这是一个一笔画问题，同学们回想一下，什么样的图形才能一笔画出来呢？练习5. 由于城市扩建，例题字形．现在邮递员从邮局出发，要走遍所有的街道，最少需要走多少 分析 众所周知，两点之间线段最短．然而在本题中，蚂蚁是不能穿过柜子的，只能在柜子表面爬行．这样一来，我们就要在柜子表面寻找一条从A 到B 的最短路线．可是蚂蚁应该怎么走才能距离最短呢？练习6. 如图，有一个正方体的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A 沿柜子表面爬到右上角的B 点去取食物，一共有几条最短路线？蚁要从左下角的点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请在图中表示出来．例题6本讲知识点汇总一、几个数的和一定，它们越接近乘积越大．二、用极端思想与整体思维解最值问题．三、与数论有关的最值问题．四、与几何有关的最值问题．作业1. 用一根长120厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大是多少立方厘米？2. 小高、卡莉娅、墨莫、萱萱四人各有若干枚高思勋章，其中任意两人的勋章合起来都少于10枚，那么这四人的勋章合起来最多有多少枚？5个方格内，使得每列两数之差（大减小）的显示的3. 用1、2、3、4、5、6、7、8各一个组成两个四位数，使得它们都是3的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．4.把21至40依次写成一排，形成一个多位数：212223243940．从中划去20个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数．请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？5.如果例题5中的街道由“土”字形变成如下所示的形状，那么邮递员从邮局出发，要走遍所有的街道，最少需要走多少千米？。
小学奥数最值问题进阶习题答案
小学奥数最值问题进阶习题答案
1、 几个小孩的年龄之和为 22，则他们年龄之乘积最大为？
2、 两个正整数的乘积为 99，则这两个正整数的和最大是多少，最
小是多少？
3、 如图，一个长方形被分成 4 个小长方形，其中长方形 A 、B 、C 的
周长分别是 10 厘米、12 厘米、14 厘米，那么长方形 D 的面积最大是______平方厘米。
4、将 99 个人分为两组，同组的两个人两两之间握一次手，两组至少共可以握多少次手？
5、用 0 至 9 十个数字组成一个四位数、一个三位数、一个两位数和一个一位数，数字不可重复使用，则这四个数的乘积最大是多少？最小是多少？
6、将自然数 1 至 9 无重复地填入下面算式的方框中，使得结果最小。
则这个最小值是多少？
7、如图，在长方形 ABCD 中， AB =67, BC=30, BE+BF = 49 ，那么，三角形 DEF 面积的最小值是多少？。
高斯小学奥数六年级上册含答案第18讲最值问题二
（ 2）有一根铁丝，它能焊接成的棱长都是整数厘米的最大长方体的体积是
36 立方厘米，
这根铁丝的长度是多少厘米？
例 2． 有 5 袋糖，其中任意 3 袋的总块数都超过 60 ．这 5 袋糖块总共最少有多少块？ 「分析」 每 3 袋的总块数都超过 60 ，要求 5 袋的总块数．事实上我们以前做过类似的 题：“已知三个数两 两的和数， 求这三个数的总和． ”这样的题大家是怎么处理的呢？它 的处理方法能否应用到本 题中来呢？
那么邮递员从邮局出发，要走
1 1 1 邮局 111
第十八讲 最值问题二
例 7. 答 案： 294 详解： 长方体满足： 长 宽 高 80 4 20 厘米，要使体积最大，就应该使三边长度 尽量接近 . 所 以当三边长度分别为 7 厘米、 7 厘米和 6 厘米时，体积最大，为 7 7 6 294 立方厘米 .
（ 2）要使剩下的数尽量小，就要让数的首位是
1，第二位起是尽量多的 0．首位上的 1
取第一个数字 1 就行了 . 然后去掉
234567891 共 9 个数，留下第一个
0; 再去掉
1112131415161718192 共 19 个数，留下第 2 个 0; 再去掉 3 次的 19 个数，就能得到第
3、4、5 个 0. 现在一共去掉了 9 19 4 85 个数，剩下的数前六个数字是
「分析」 为了让这样的三个数的乘积最大， 我们当然要让三个数的首位最大． 那么首位 应该
是多少呢？注意到这三个数都是
9 的倍数， 9 的倍数有什么特征呢？它对这三个数
提出了怎样的要求？
练习 3、用 1、2、 3、4、 5、6 各一个组成两个三位数，使得它们都是 要求乘积最大，请写出这个乘法算式．
小学奥数思维训练最值问题二_通用版
2019年六年级数学思维训练：最值问题二1．用0，1，2，…，9这10个数字各一次组成5个两位数a、b、c、d、e．请问：a﹣b+c﹣d+e最大可能是多少？2．将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时，人数最少的那组有多少人？3．有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么他们最少需要比赛多少场？4．我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如8=3+5．有的数有几种不同的表示方法，例如100=3+97=11+89=17+83．请问：恰好有两种表示方法的最小数是多少？5．一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？6．（1）在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？（2）从1至9中选取四个不同的数字填人算式+中，使算式的结果小于1．这个结果最大是多少？7．如图，等腰直角三角形ABC中，CA=CB=4厘米，在其中作一个矩形CDEF，矩形CDEF的面积最大可能是多少？8．如图，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形，这个八边形的边长恰好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？9．在4×4的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点，请问：最多可以将多少个方格染成黑色？10．古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图16﹣3，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？11．如图所示，用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架．这个长方体的体积最大可能是多少？12．把14表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大，问：这个乘积最大可能是多少？13．从1，2，…中选出8个数填人下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果．口÷口×（口+口）﹣（口×口+口﹣口）．14．有13个不同的自然数，它们的和是100．其中偶数最多有多少个？最少有多少个？15．将6、7、8、9、10这5个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的5个乘积相加，请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？16．有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60．这5袋糖块总共最少有多少块？17．已知算式9984﹣8﹣8﹣…﹣8的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？18．用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式．19．所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多少？20．把1至99依次写成一排，形成一个多位数：从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是多少？21．邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米．如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？22．如图，有一个长方体形状的柜子，一只蚂蚁要从左下角的A点出发，沿柜子表面爬到右上角的B点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？第1页/共11页请在图中表示出来．23．一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且能进行加法运算．为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？24．用1、3、5、7、9这5个数字组成一个三位数和一个两位数，再用0、2、4、6、8这5个数字组成一个三位数和一个两位数．请问：算式×﹣×的计算结果最大是多少？25．将1、2、3、4、5、6分别填在正方体的6个面上，计算具有公共棱的两个面上的数的乘积，这样的乘积共有12个，这12个乘积的和最大是多少？26．用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式中的差最大是多少？27．有的偶数可以写成两个奇合数之和，例如24=9+15，100=25+75．所有不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的一个是多少？28．如图，有一个圆锥形沙堆的底面直径BC为4厘米，圆锥的侧面展开圆心角为120度，母线AC的长度为6厘米．请问：（1）如果一只蚂蚁想从B点去C点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线（蚂蚁只能在圆锥表面走）；（2）如果一只蚂蚁需要由B点出发到达线段AC上（可以到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？29．如图，一个边长为10的正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的长方体容积最大是多少？30．一个5×5的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都构成等差数列．已知任取n个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表补填完整，那么，n的最小值是多少？参考答案1．195.【解析】试题分析：要使a﹣b+c﹣d+e最大，应使a、c、e的值尽量大，使b、d的值尽量小；所以取a=98，b=76，c=54，剩下的4个数字是：0、1、2、3，可以取b=10，d=23，据此解答即可．解：要使a﹣b+c﹣d+e最大，应使a、c、e的值尽量大，使b、d的值尽量小；所以取a=98，b=76，c=54，剩下的4个数字是：0、1、2、3，可以取b=10，d=23，即a﹣b+c﹣d+e最大值=98﹣10+76﹣23+54=195．答：a﹣b+c﹣d+e最大可能是195．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是首先根据题意，求出a、b、c、d、e的值是多少．2．15个；1人．【解析】试题分析：因为至多就是每个组人数尽量少，1+2+3+4+4+…15=120，而135﹣120=15，所以这15人再每个小组分给1人，最后一个小组分2人，即第一组1人，第二组3人，第三组4人，第五组5人…第15组17人，由此得出至多可以分成15个组，人数最少的那组有1人．解：因为1+2+3+4+5+…15=120，而135﹣120=15所以1+3+4+4+5+6+7+…+17=135所以至多可以分成15个组．人数最少的那组有1人．答：至多可以分成15个组．人数最少的那组有1人．点评：关键是明确至多可以分成多少个组就是每个组人数尽量少，所以应该从一个组一个人开始试着进行推算．3．55场．【解析】试题分析：11个队进行单循环比赛，每两个队要赛一场，即每人队都要和自己以外的其它11﹣1=10个队赛一场，则所有队共参赛11×10=110场，由于比赛是在两队之间进行的，所以一共要比赛110÷2=55场．解：11×（11﹣1）÷2=11×10÷2=55（场）答：共需比赛55场．点评：在单循环比赛中，比赛场数=（参赛队数﹣1）×队数÷2．4．16=3+13=5+11．【解析】试题分析：根据质数、合数的意义，一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）；一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．以此解答解：最小的合数是4，不符合题意，6，8，9，10，12，14，15，都不符合题意，比15大的合数是16，16=3+13=5+11；故答案为：16=3+13=5+11．点评：本题考查的是质数与合数，解答此题的关键是熟知质数、合数的定义．5．商最大是100，商最小是1．第1页/共11页【解析】试题分析：设这个三位数为abc=100a+10b+c，这个三位数除以它的各位数字之和，可得（100a+10b+c）÷（a+b+c）=[（10a+10b+10c）+（90a﹣9c）]÷（a+b+c）=10+9（10a﹣c）÷（a+b+c）；（1）要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小，可得c=0，b=0，此时商的最大值为100；（2）要使商最小，那么被除数应最小，除数应最大，可得a=b=0，c=9，此时商的最小值为1．解：设这个三位数为abc=100a+10b+C，可得（100a+10b+c）÷（a+b+c）=[（10a+10b+10c）+（90a﹣9c）]÷（a+b+c）=10+9（10a ﹣c）÷（a+b+c）；（1）要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小，可得c=0，b=0，此时商的最大值为：10+9×10a÷a=10+90=100；（2）要使商最小，可得a=b=0，c=9，此时商的最小值为：10+9×（10×0﹣9）÷（0+0+9）=10﹣9=1．答：商最大是100，商最小是1．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是设这个三位数为abc=100a+10b+c，并求出这个三位数除以它的各位数字之和等于10+9（10a﹣c）÷（a+b+c）．6．；．【解析】试题分析：（1）要相差最小，必须分子最小，分母最大，那么分母最大就是8和9，分子最小就是1（2）组成的最小的一个分数是，剩余数组成的最大的分数是，据此解答即可．结果最大是+=解：（1）﹣=（2）+=答：两个不相等的分数最小相差；结果最大是．点评：此题主要考查两个数的和与差，一定要综合分析题目中的条件．7．4平方厘米．【解析】试题分析：矩形CDEF的面积最大，就是矩形变为正方形时，面积最大．即D点在CB边的中点；F点在AC边的中点．此正方形的边长是2厘米，面积是4平方厘米．解：当D、E、F分别是各边的中点时，矩形变为边长是2厘米的正方形，面积最大．2×2=4（平方厘米）．答：矩形CDEF的面积最大可能是4平方厘米．点评：本题考查了在等腰直角三角形内作最大的矩形的知识．以及面积的求法．8．70．【解析】试题分析：要使这个八边形的面积最大，挖去的两个小长方形应尽量小，如图所示数字，可以保证这个八边形的面积最大，用原来长方形的面积减去挖去的两个小长方形即可．据此解答．解：被挖掉的两个小长方形的面积和为：2×3+1×4=6+4=10原来一个长方形的面积为：8×（7+3）=8×10=80这个八边形的面积为：80﹣10=70答：它的面积最大可能是70．点评：此题属于最值问题，关键在于先确定出挖去的两个小长方形的边长，即可解决问题．9．4个【解析】试题分析：可以分两种情况讨论，即：先确定第一行分含有一个或两个黑格，依次到第四行画图表示即可．解：第一行可染黑1格或2格，染1格时，相邻行只能染1格，染2格时，相邻行只能染0格，可见，相邻两行最多共染2个，则在4×4的方格表中最多可以将4个方格染成黑色；下图为例：点评：本题关键是要理解第一行可染黑1格或2格这两种情况分类研究．10．饮马处的C点如图所示．【解析】试题分析：根据：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定．作出点A关于直线MN的对称点A′，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′B与MN的交点即为饮马处C．解：饮马处的C点如图所示．点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，此类问题理论依据是线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和三角形的任意两边之和大于第三边．11．294立方厘米．【解析】试题分析：长宽高的和是：80÷4=20厘米，长方体的体积最大，长宽高的长度必须最接近，即20=6+7+7，然后再利用长方体的体积公式计算即可解答．解：80÷4=20（厘米），要使长方体的体积最大，长宽高的长度必须最接近，即20=6+7+7，6×7×7=294（立方厘米）答：这个长方体的体积最大可能是294立方厘米．点评：本题关键是明确要使长方体的体积最大，长宽高的长度必须最接近．12．162．【解析】试题分析：由于任何数乘1都得原数，所以不能有1，如果有高于4的数字是不可能的，因第3页/共11页为比如5，还可以拆开2+3，2*3=6＞5，要使得到的乘积最大，所以只能含有2，3（因为如果有4，我们还可以变成2+2=2×2）又因为3+3=2+2+2，而2×2×2＜3×3，所以在可能的情况下应该拆开的数尽量可能多的3，所14=3+3+3+3+2以最大=3×3×3×3×2=162．解：14=3+3+3+3+23×3×3×3×2=162答：这个乘积最大是162．点评：明确不能有1，并且3要尽量多是完成本题的关键．13．9、1、7、8、2、3、4、6．【解析】试题分析：要想使结果尽可能大，应使被除数尽可能大，除数尽可能小，因数尽可能大，减去的乘积尽可能小；首先考虑倍数，然后考虑加数，可得被除数应为9，除数应为1，括号内的两个加数应为7和8，后面的减数从2﹣6中选择4个，使得后面括号内的结果尽可能小，据此解答即可．解：根据分析，可得[9÷1×（7+8）]﹣（2×3+4﹣6）=131．即结果最大可能是131．故答案为：9、1、7、8、2、3、4、6．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是注意凑数的顺序：首先考虑倍数，然后考虑加数．14．最多有7个，最少有5个【解析】13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．15．最小值是312，最大值是323．【解析】（1）5个数的顺序是：6，10，7，8，9的时候，和最小为：6×10+10×7+7×8+8×9+9×6=312；试题分析：（2）5个数的顺序是：6，8，10，9，7的时候，和最大为：6×8+8×10+10×9+9×7+7×6=323．解：（1）5个数的顺序是：6，10，7，8，9的时候，和最小为：6×10+10×7+7×8+8×9+9×6=312；（2）5个数的顺序是：6，8，10，9，7的时候，和最大为：6×8+8×10+10×9+9×7+7×6=323．答：所得和数的最小值是312，最大值是323．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是确定5个数的顺序．16．103块．【解析】试题分析：根据任意3袋的总块数都超过60，其中必有2袋最少为20块，另3袋最少为21块，这5袋糖块总共最少有20+20+21+21+21=103（块）．解：根据任意3袋的总块数都超过60，其中必有2袋最少为20块，另3袋最少为21块，这5袋糖块总共最少有：20+20+21+21+21=103（块）．答：这5袋糖块总共最少有103块．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是：分别求出每袋糖块的最少块数，进而求出这5袋糖块总共最少有多少块即可．17．9872．【解析】试题分析：根据题意，要使这个结果最大，千位、百位上应分别是9、8，至少应减去11个8，11×8=88，才能使百位上是8，此时结果是9896，不符合题意；观察发现，再减去3个8，9896﹣8×3=9872，各位数字互不相同，即为结果的最大值．解：要使这个结果最大，千位、百位上应分别是9、8，至少应减去11个8，11×8=88，才能使百位上是8，9984﹣88=9896，此时结果是9896，不符合题意；观察发现，再减去3个8，9896﹣8×3=9872，各位数字互不相同，即为结果的最大值，所以这个结果最大可能是9872．答：这个结果最大可能是9872．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是从最高位开始，逐一分析判断结果的最大值．18．954×873×621．【解析】试题分析：根据能被9整除的数各位数之和一定能被9整除，从9个数字中列出所有可能的情况，再分别组成最大的三位数，进而找出最大乘积的乘法算式即可．解：因为能被9整除的数各位数之和一定能被9整除，所以选取的三个数满足条件的有三种情况：①选9、8、1，或7、6、5，或4、3、2，则组成最大的三位数是981、765、432；②选9、7、2，或8、6、4，或5、3、1，则组成最大的三位数是972、864、531；③选9、5、4，或8、7、3，或6、2、1，则组成最大的三位数是954、873、621；根据各个数的和一定的情况下，因数大小越接近，则它们的乘积就越大，所以这3个三位数的乘积最大的乘法算式是：954×873×621，答：乘积最大的乘法算式是：954×873×621．点评：此题主要考查了最大与最小问题的应用，解答此题的关键是首先找出满足条件的三位数有哪些．19．11.【解析】试题分析：根据质数和合数的定义，将自然数分为偶数和奇数两种情况讨论，求出最大的一个是多少即可．第5页/共11页解：（1）如果这个自然数是偶数，则它一定小于8，因为不小于8的偶数，必定存在4+（x﹣4），且两数都是合数；（2）如果n为质数，则n+2是质数，n+4，n﹣2不是质数，因为n，n+2，n+4中必定有一个可以是3的倍数（n＞3时），所以，任意一个奇数，减去4、6、8以后，至少能得到一个结果是合数，即（n＞3，取5，5+8=13）以后的奇数都能分为两个合数；（3）因为13=4+9，12=4+8，11不能拆分，11=1+10，2+9，3+8，4+7，5+6，所以不能写成两个合数之和的最大的自然数是11．答：最大的一个是11．点评：此题主要考查了质数与合数的特征，考查了分析推理能力．20．最大是999997585960…9899，最小是1000006061…9899．【解析】试题分析：共由9+90×2=189个数字组成，根据数位知识可知，一个数的高位上的数字越大，则其值就越大，因此，从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，要使之最大，则应使高位上的数字9尽量多，由此可将前往后，将个位数1﹣8，两个数10﹣18，19中的1，20﹣28，29，中的2，…49中的2，50，51，52，53，54，55，56，5去掉，保留57中的7，至此共去掉99个数，即这个数是999997585960…9899．同理可知，一个数的高位上的数字越大，则其值就越大，因此，从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，要使之最小，则应使高位上的数字9尽量小，由于首位不能为0，则首位为1，后面高位尽量保留0，由此可将前往后，将个位数1﹣8中的2﹣9去掉，10去掉1，11﹣19，20中去掉2，…50中去掉5，此时共去掉了85个，然后去掉51，52，53，54中的5，55，56，57，58，59，去掉，此进共去掉了99个，即这个数最小是1000006061…9899．解：从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，要使之最大，则应使高位上的数字9尽量多，由此可将前往后，将个位数1﹣8，两个数10﹣18，19中的1，20﹣28，29，中的2，…49中的2，50，51，52，53，54，55，56，5去掉，保留57中的7，至此共去掉99个数，即这个数是999997585960…9899．从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数，要使之最小，则应使高位上的数字9尽量小，由于首位不能为0，则首位为1，后面高位尽量保留0，由此可将前往后，将个位数1﹣8中的2﹣9去掉，10去掉1，11﹣19，20中去掉2，…50中去掉5，此时共去掉了85个，然后去掉51，52，53，54中的5，55，56，57，58，59，去掉，此进共去掉了99个，即这个数最小是1000006061…9899．答：剩下的数最大是999997585960…9899，最小是1000006061…9899．点评：完成本题要细心分析所给条件，找出其中的内在规律后解答．21．26千米．【解析】试题分析：尽量少走重复的路线，找到走完全部路程的最短的路线：最少要重复一段路，一种走法是：→→→↑←↑→↑←↑←↓→↓←↑←↓→↓→↓←↑←↓．（注：用→表示走小段街道及方向）．解：由图中可知，重复了一小段街道，所以最少要走26千米．答：最少要走26千米．点评：本题考查了最短路线问题；画出相应图形，得到最短路线是解决本题的关键．22．蚂蚁爬行路线的长度最短是5；一共有4条最短路线．如下图所示：【解析】试题分析：蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．本题中蚂蚁要跑的路径有三种类型，求出每种类型的长度，比较大小即可求得最短的途径．解：由分析可得：类型一：（如前面与左面）根据勾股定理得：AB=5；类型二：（如前面与上面）根据勾股定理得：AB=5；类型三：（如下面与左面）根据勾股定理得：AB=；5＜，即类型一，类型二最短，每种类型有两种路线，即一共有4条最短路线，如下图所示：答：蚂蚁爬行路线的长度最短是5；一共有4条最短路线．点评：解答本题的关键是知道当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短．即蚂蚁爬的是展开图中一个长方形的对角线．23．21次．【解析】试题分析：因为222222是六位数，首先考虑最大的数由5个7组成，依次用7和0组成的最大的数，往下写出五位数、三位数，最后再试着从计算中得出问题的答案．解：700+707+707+777+70777+70777+77777=222222，一共按7的次数为：1+2+2+3+4+4+5=21（次），答：那么最少要按“7”键21次．点评：解答此类问题主要运用计算机采用逐渐缩小数的范围方法，逐一试着找到问题的答案．24．60085．【解析】试题分析：×﹣×的计算结果最大，必须×尽可能大，而×尽可能小．通过验证，两数的差越小，积越大，即×=731×95最大；两数的差越大，积越小，即=20×468最小．计算结果最大是731×95﹣20×468=60085．解：×﹣×=731×95﹣20×468=69445﹣9360=60085．答：×﹣×的计算结果最大是60085．点评：本题考查5个数字组成一个3位数和一个2位数，什么时候最大，什么时候最小．25．294．【解析】试题分析：设正对的两个面上的两数之和分别为a，b，c，则a+b+c=1+2+3+4+5+6=21；表示出这12个乘积的和s=（21﹣a）×a+（21﹣b）×b+（21﹣c）×c=21×（a+b+c）﹣（a2+b2+c2），进而根据不等式的性质，求出s的最大值是多少即可．解：设正对的两个面上的两数之和分别为a，b，c，则a+b+c=1+2+3+4+5+6=21；这12个乘积的和s=（21﹣a）×a+（21﹣b）×b+（21﹣c）×c=21×（a+b+c）﹣（a2+b2+c2）≤441﹣第7页/共11页=441﹣=441﹣147=294当且仅当a=b=c=7时，取“=”．答：这12个乘积的和最大是294．点评：此题主要考查了最大与最小问题，解答此题的关键是不等式性质的灵活应用．26．784.【解析】试题分析：根据被减数﹣减数=差，要使这个算式中的差最大，应当使被减数最大，减数最小；则被减数的百位一定是9，减数的百位一定是1，差的百位可能是8或者7，所以被减数的十位不能选择这两个数了；然后要使差最大，考虑大的7和8已经用不了了，可以选择用一个较小的数减，因为得到的差借一位，同样得到一个大的数，所以被减数十位选3，减数十位选5，这样得到差的百位是7，十位是8；最后剩下的几个数，代入算式即可．解：根据被减数﹣减数=差，要使这个算式中的差最大，应当使被减数最大，减数最小；则被减数的百位一定是9，减数的百位一定是1，差的百位可能是8或者7，所以被减数的十位不能选择这两个数了；要使差最大，考虑大的7和8已经用不了了，可以选择用一个较小的数减，因为得到的差借一位，同样得到一个大的数，所以被减数十位选3，减数十位选5，这样得到差的百位是7，十位是8；这个算式中的差最大是：936﹣152=784．答：这个算式中的差最大是784．点评：此题主要考查了最大与最小问题，注意从最高位开始，逐一分析即可．27．38.【解析】试题分析：根据奇数、合数、奇合数的意义，将偶数进行举例，即可得出答案．解：奇合数有：9，15，21，25，27，35，39…以上分别为：3×3，3×5，3×7，5×5，3×9，3×11，5×7，3×13…可以知道：3×（2K+1）为两个奇数之积，一定是奇合数，40=15+25，42=21+21，44=9+35，46=21+25…所以大于等于40的偶数都能写成两个奇合数之和，而38=1+37=3+35=5+33=7+31=9+29=11+27=13+25=15+23=17+21=19+19，均不为两个奇合数之和，所以38即为不能写成两个奇合数之和的最大偶数；答：最大的一个是38．点评：此题主要考查奇数、合数、奇合数的概念，侧重于逻辑推理，难度较大，要深刻理解．28．（1）B′C即为最短路线．（2）线段B′D即为最短路线．解答作图如下：【解析】试题分析：（1）要求蚂蚁爬行的最短距离，将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”线段B′C即为最短路线．（2）根据“垂线段最短”，在圆锥的侧面展开图中，从点B′向AC所在的直线作垂线，垂线段B′D即为最短路线．解：解答作图如下：点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，运用弧长公式即可求出扇形的圆心角．29．立方厘米．【解析】试题分析：首先分析题目求边长为30厘米的正方形纸片做一个无盖长方体，且长方体盒子的体积最大．故可设正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，根据长方体的体积公式列出关于x的方程，分析即可求得最值．解：设正方形纸片的四角分别剪去一个边长为xcm的小正方形，则长方体体积=（10﹣2x）2x=4（5﹣x）（5﹣x）x=2（5﹣x）（5﹣x）2x因为5﹣x+5﹣x+2x=10所以当5﹣x=2x时，体积最大．x=．则（10﹣2x）2x=（10﹣2×）2×=（立方厘米）．答：这个纸盒的最大容积是立方厘米．点评：考查了长方体的体积，本题答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．30．3.【解析】试题分析：因为每一行、每一列的数都构成等差数列，所以要知道每一行、每一列的公差，因为是两个公差，所以要需要4个数才可求得，又由于是在方格中填数，所以可以共用行和列相交的那个数，然后剩下的两个数取和它相邻的行和列上的数即可．解：因为每一行、每一列的数都构成等差数列，所以要知道每一行、每一列的公差，因为是两个公差，所以要需要4个数才可求得，又由于是在方格中填数，所以可以共用行和列相交的那个数，然后剩下的两个数取和它相邻的行和列上的数，即需要1+2=3个数，所以，n的最小值是3．答：n的最小值是3．点评：本题关键是结合方格中数的排列特点以及等差数列的特点确定需要几个数才能得出公差．第9页/共11页。
小学六年级奥数计算试题及答案：最值问题
小学六年级奥数计算试题及答案：最值问题
这篇【小学六年级奥数计算试题及答案：最值问题】，是特地为大家整理的，供大家学习参考！
一把钥匙只能开一把锁.现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试( )次才能配好全部的钥匙和锁.
分析：第一把钥匙最坏的情况要试3次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的3把锁和3把钥匙，最坏的情况要试2次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的2把锁和2把钥匙，最坏的情况要试1次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的1把锁和1把钥匙就不用试了.
解：3+2+1=6(次);
答：最多要试6次才能配好全部的钥匙和锁.
故答案为：6.。
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小学数学六年级奥数《最值问题(2)》练习题（含答案）
一、填空题
1.下面算式中的两个方框内应填 ,才能使这道整数除法题的余数最大. □÷25=104…□
2.在混合循环小数 2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点,使新产生的循环小数尽可能大.写出新的循环小数:
3.一个整数乘以13后,乘积的最后三位数是123,那么这样的整数中最小的是 .
4.将37拆成若干个不同的质数之和,使得这些质数的乘积尽可能大,那么,这个最大乘积等于 .
5.一个五位数,五个数字各不同,且是13的倍数.则符合以上条件的最小的数是 .
6.把1、2、3、4...、99、100这一百个数顺序连接写在一起成一个数. Z =1234567891011 (9899100)
从数Z 中划出100个数码,把剩下的数码顺序写成一个Z ',要求Z '尽可能地大.请依次写出Z '的前十个数码组成一个十位数 .
7.用铁丝扎一个空心的长方体,为了使长方体的体积恰好是216cm 3,长方体的长,宽,高各是 cm 时,所用的铁丝长度最短.
8.若一个长方体的表面积为54平方厘米,为了使长方体的体积最大,长方体的长,宽,高各应为 厘米.
9.把小正方体的六个面分别写上1、2、3、4、5、6.拿两个这样的正方体,同时掷在桌子上.每次朝上的两个面上的数的和,最小可能是 .最大可能是 ,可能出现次数最多的两个面的数的和是 .
10.将进货的单价为40元的商品按50元售出时,每个的利润是10元,但只能卖出500个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个.为了赚得最多的利润,售价应定为 .
二、解答题
11.王大伯从家(A 点处)去河边挑水,然后把水挑到积肥潭里(B 点处).请帮他找一条最短路线,在下图表示出来,并写出过程.
12.某公共汽车线路上共有15个车站(包括起点站和终点站),公共汽车从起点站到终点站的行驶过程中,每一站(包括起点站)上车的人中恰好在以后的各站都各有1人下车,要使汽车在行驶中乘客都有座位,那么在车上至少要安排乘客A B ·
· 河
座位多少个?
13.有一块长24厘米的正方形厚纸片,如果在它的四个角各剪去一个小正方形,就可以做成一个无盖的纸盒,现在要使做成的纸合容积最大,剪去的小正方形的边长应为几厘米?
14.某公司在A,B两地分别库存有某机器16台和12台,现要运往甲乙两家客户的所在地,其中甲方15台,乙方13台.已知从A地运一台到甲方的运费为5百元,到乙方的运费为4百元,从B地运一台到甲方的运费为3百元,到乙方的运费为6百元.已知运费由公司承担,公司应设计怎样的调运方案,才能使这些机器的总运费最省?
———————————————答案——————————————————————
1. 2426和24
因为除数是25,余数最大应是24,所以被除数为25⨯104+24=2426.算式应为2624÷25=104…24.
2. 1
.2
8
71
28
3. 471
设这个整数为1000K+123,其中K是整数.因1000K+123=(1001K+117)+(K-6),1001K和117都是13的倍数,因而(K-6)是13的倍数,K的最小值是6,这个数为6123,6123÷13=471.
4. 2618
因37=17+11+7+2,它们的积为17⨯11⨯7⨯2=2618.
5. 10257
五位数字各不相同的最小的五位数是10234.10234÷13=787…3.故符合题意的13的最小倍数为788.
验算:13⨯788=10244有两个重复数字,不合题意,13⨯789=10257符合题意.
6. 9999978956
由计算可知,Z共有192位数,去掉100位数码,还剩92个数字,所以Z'是92位数.对Z'来说,前面的数字9越多,该数越大.因此Z'中开头应尽可能多保留9.在Z中先划去第一个9前的8个数码,再分别划去第二个9、第三个9、第四个9、第五个9前各19个数码，这时共划去了84个数,这时得到的数是: 99999505152535455565758596061……
还需要划去16个数码,第六个9前面有19个小于9的数码,划掉7以前的6和6以下的所有数码,这样又划掉16个数码,还剩下7、8、5等3个数码,新组成的数为:999997859606162…99100,前十个数码组成的十位数是9999978596.
7.6,6,6
设长方体的长、宽、高分别为xcm,ycm和zcm.则有xyz=216.
铁丝长度之和为(4x+4y+4z)cm,故当x=y=z=6时,所用铁丝最短.
8.3,3,3
设长、宽、高分别为x、y、z厘米,体积为V厘米3,则有2(xy+yz+zx)=54,从
而xy +yz +zx =27.因V 2=(xyz )2=(xy )(yz )(zx ),故当xy =yz =zx 即x =y =z =3时, V 2有最大值,从而V 也有最大值.
9. 7
每次朝上的两个面上的和,最小可能是2,这时两个面都出现1,最大可能是12.
以朝上的两个面上的数为加数,依次列出的加法算式共有6⨯6=36个,其中和为7的算式共有6个:6+1,5+2,4+3,3+4,2+5,1+6.故每次朝上的两个面上的数的和,可能出现的次数最多是7.
10. 20元
设每个商品售价为(50+x )元,则销量为(500-10x )个,总共可获利(50+x -40) ⨯(500-10x )=10⨯(10+x )⨯(50-x )元.因(10+x )+(50-x )=60为一定值.故当10+x =50-x ,即x =20时,它们的积最大.
11. 以河流为轴,取A 点的对称点C ,连结BC 与河流相交于D 点,再连续AD .则王大伯可沿着AD 走一条直线去河边D 点挑水,然后再沿DB 走一条直线到积肥潭去.这就是一条最短路线.
12. 从第一站开始,车上人数为1⨯14,到第二站时,车上人数为2⨯13,依次可算出以下各站车上人数为3⨯12、4⨯11、5⨯10、6⨯9、7⨯8、8⨯6…车上最多的人数为56人,故车上至少应安排乘客座位56个.
13. 如图,设剪去的小正方形边长为x 厘米,则纸盒容积
为:V =x (24-2x )(24-2x )=2⨯2x (12-x )(12-x )
因2x +(12-x )+(12-x )=24是一个定值,故当2x =12-x 时,即x =4时,其乘积最大从而纸盒容积也最大.
14. 设由A 地运往甲方x 台,则A 地运往乙方(16-x )台,B 地运往甲方 (15-x )台,B 地运往乙方(x -3)台.于是总运价为(单位:元):
S =500x +400(16-x )+300(15-x )+600(x -3)=400x +9100.
显然x 满足不等式153≤≤x .故当x =3时,总运费最省,为
400⨯3+9100=10300(元).
A B D 河流
x。