高二数学第一次月考试卷及答案
2024-2025学年重庆市南岸区广益中学高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年重庆市南岸区广益中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线3x +3y−1=0的倾斜角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62.已知直线l 1：(a−1)x +y +1=0，l 2：2ax +y +3=0，若l 1//l 2，则实数a =( )A. −1或1B. 0或1C. 1D. −13.设e 1、e 2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )A. e 1与e 1−e 2B. e 1+e 2与e 1−3e 2C. e 1−2e 2与−3e 1+6e 2D. 2e 1+3e 2与e 1−2e 24.已知空间直角坐标系O−xyz 中的点A(2,−1,−3)关于xOy 平面的对称点为B ，则|AB|的值为( )A.14B. 4C. 6D. 2105.如图，四棱锥P−OABC 的底面是矩形，设OA =a ，OC =b ，OP =c ，E 是棱PC上一点，且PE =2EC ，则BE =x a +y b +z c ，则x +y +z =( )A. 1B. −1C. −13D. −536.直线l 的方向向量为l ，平面α与β的法向量分别为m ，n ，则下列选项正确的是( )A. 若l ⊥α，则l ⋅m =0 B. 若l//β，则l =kn C. 若α⊥β，则m ⋅n =0D. 若α//β，则m ⋅n =07.已知向量a =(3,−2,−3)，b =(−2,x−1,2)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( )A. (−5,+∞) B. (−5,73)∪(73,+∞)C. (−∞,−5)D. (73,+∞)8.若θ∈R ，则直线y =xcosθ−1的倾斜角α的取值范围为( )A. [π4,3π4]B. [0,π2)⋃(π2,3π4]C. [0,π4]∪[3π4,π)D. [0,π4]⋃(π2,3π4]二、多选题：本题共3小题，共18分。
高二数学第一次月考模拟(基础卷)(空间向量与立体几何+直线方程)(解析版)
2024-2025学年高二上学期第一次月考模拟(基础卷)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.(23-24高二上·重庆·月考)已知A 1,2,-3 ，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是()A.-1,2,-3B.-1,-2,3C.-1,2,3D.1,2,3【答案】D【解析】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是(1,2,3)，故选：D ．2.(23-24高二上·河南·月考)若直线经过A 1,0 ,B 2,3 两点，则直线AB 的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.135°【答案】C【解析】由直线经过A 1,0 ,B 2,3 两点，可得直线的斜率为3-02-1=3，设直线的倾斜角为θ，有tan θ=3，又0°≤θ<180°，所以θ=60°.故选：C .3.(23-24高二上·广东湛江·月考)已知a =1,2,-y ,b =x ,1,2 ，且a +2b ∥2a -b ，则()A.x =13,y =1 B.x =2,y =14C.x =12,y =-4 D.x =1,y =-1【答案】C【解析】向量a =1,2,-y ,b =x ,1,2 ，则a +2b =1+2x ,4,4-y ,2a -b =2-x ,3,-2y -2 ，因a +2b ⎳2a -b ，于是得1+2x 2-x =43=4-y -2y -2，解得x =12,y =-4，所以x =12,y =-4.故选：C .4.(23-24高二上·福建福州·期中)两条平行直线2x -y +3=0和ax -3y +6=0间的距离为d ，则a ,d 的值分别为()A.a =6,d =63B.a =-6,d =63C.a =-6,d =55D.a =6,d =55【答案】D【解析】由已知可得，2×-3 --1 ×a =0，解得a =6.代入ax -3y +6=0化简可得，2x -y +2=0.根据两条平行线之间的距离公式可得，d =3-222+-1 2=55.故选：D .5.(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中)如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c，点M在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN等于()A.12a +12b -12c B.-23a +12b +12cC.-23a +23b -12cD.23a +23b -12c【答案】B【解析】由题意可得，MN =ON -OM =12OB +OC -23OA =-23a +12b +12c.故选：B6.(23-24高二上·山东·月考)过点P 0,-1 作直线l ，若直线l 与连接A -2,1 ，B 23,1 两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角范围为()A.π4,π6B.π6,3π4C.0,π6∪3π4,πD.π6,π2 ∪3π4,π 【答案】B【解析】设直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，0≤θ<π，k P A =-1-10--2 =-1，k PB =1--1 23-0=33，因为直线l 经过点P 0,-1 ，且与线段AB 总有公共点，所以k ∈-∞,-1 ∪33,+∞ ，因为0≤θ<π，所以π6≤θ≤3π4.故选：B .7.(23-24高二上·天津河西·月考)以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是()A.a =1,0,0 ，b =0,2,0 ，c =12,-2,0 B.a =1,0,0 ，b =0,1,0 ，c=0,0,2C.a =1,0,1 ，b =0,1,1 ，c=2,1,2D.a =1,1,1 ，b =0,1,0 ，c=1,0,2【答案】A【解析】若空间三个向量a ，b ，c 能构成空间的基底，则向量a ，b ，c 不共面，反之亦然，对于A ，由a =1,0,0 ，b =0,2,0 ，c =12,-2,0 ，得c =12a -22b，即向量a ，b ，c共面，不能构成空间基底；对于B ，令c =xa +yb ，则(0,0,2)=(x ,y ,0)，不成立，即a ,b ,c不共面，可构成基底；对于C ，令c =xa +yb ，则(2,1,2)=(x ,y ,x +y )，即x =2y =1x +y =2 无解，即a ,b ,c不共面，可构成基底；对于D ，令c =xa +yb ，则(1,0,2)=(x ,x +y ,x )，即x =1x +y =1x =2无解，即a ,b ,c不共面，可构成基底.故选：A8.(23-24高二上·江苏南京·月考)点P (-2,-1)到直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为()A.13；3x +2y -5=0B.11；3x +2y -5=0C.13；2x -3y +1=0D.11；2x -3y +1=0【答案】A【解析】将直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )变形得x +y -2+λ(3x +y -4)=0，由x +y -2=03x +y -4=0 ，解得x =1y =1 ，因此直线l 过定点A (1,1)，当AP ⊥l 时，点P (-2,-1)到直线l :(1+3λ)x +(1+λ)y -2-4λ=0(λ∈R )的距离最大，最大值为AP =(-2-1)2+(-1-1)2=13，又直线AP 的斜率k AP =-1-1-2-1=23，所以直线l 的方程为y -1=-32(x -1)，即3x +2y -5=0.故选：A二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(23-24高二上·浙江嘉兴·月考)已知AB =(-2,1,4),AC =(4,2,0),AP =(1,-2,1),AQ=(0,4,4)，则下列说法正确的是()A.AP是平面ABC 的一个法向量B.A ,B ,C ,Q 四点共面C.PQ ∥BCD.BC =53【答案】AD【解析】AP ⋅AB =(-2)×1+1×(-2)+4×1=0,AP ⋅AC=1×4+(-2)×2+1×0=0，所以AP ⊥AB ,AP ⊥AC ,AB ∩AC =A ,AB ,AC ⊂平面ABC ，所以AP ⊥平面ABC ，所以AP是平面ABC 的一个法向量，故A 正确；设AB =λAC +μAQ，则-2=4λ1=2λ+4μ4=4μ，无解，所以A ,B ,C ,Q 四点不共面，故B 错误；PQ =AQ -AP =(-1,6,3),BC =AC -AB =(6,1,-4),-16≠61≠3-4，所以PQ 与BC 不平行，故C 错误；|BC|=62+12+(-4)2=53，故D 正确；故选：AD .10.(23-24高二上·河北保定·月考)已知直线l 1：x +a -1 y +1=0，直线l 2：ax +2y +2=0，则下列结论正确的是()A.l 1在x 轴上的截距为-1B.l 2过定点0,-1C.若l 1⎳l 2，则a =-1或a =2D.若l 1⊥l 2，则a =23【答案】ABD【解析】由l 1：x +a -1 y +1=0易知y =0⇒x =-1，故A 正确；由l 2：ax +2y +2=0⇒x =0,y =-1，故B 正确；若两直线平行，则有1×2=a a -1 且1×2≠a ×1，解得a =-1，故C 错误；若两直线垂直，则有a ×1+2×a -1 =0⇒a =23，故D 正确.故选：ABD11.(24-25高二上·湖南邵阳·开学考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是正方体的上底面A 1B 1C 1D 1内(不含边界)的动点，点Q 是棱BC 的中点，则以下命题正确的是()A.三棱锥Q -PCD 的体积是定值B.存在点P ，使得PQ 与AA 1所成的角为60°C.直线PQ 与平面A 1ADD 1所成角的正弦值的取值范围为0,22D.若PD 1=PQ ，则P 的轨迹的长度为354【答案】ACD【解析】对于A ，三棱锥Q -PCD 的体积等于三棱锥P -QCD 的体积，V 三棱锥P -QCD =13S △QCD ×AA 1=13×12×2×1×2=23是定值，A 正确；以A 1为坐标原点，A 1B 1,A 1D 1,AA 1分别为x ,y ,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q (2,1,-2)，设P (x ,y ,0)(0<x <2,0<y <2)，则QP=(x -2,y -1,2)对于B ，AA 1=(0,0,2)，使得PQ 与AA 1所成的角α满足：cos α=QP ⋅AA 1 QP ⋅AA 1 =2×2x -2 2+y -1 2+4×2，因为0<x <2,0<y <2，故0<x -2 2+y -1 2<5，故cos α∈23,1，而cos60°=12∉23,1 ，B 错误；对于C ，平面A 1ADD 1的法向量n=(1,0,0)，所以直线PQ 与平面A 1ADD 1所成角β的正弦值为：sin β=x -2(x -2)2+(y -1)2+4，因为0<x <2,0<y <2，故-2<x -2<0故x -2 (x -2)2+5<x -2 (x -2)2+(y -1)2+4≤x -2(x -2)2+4，而x -2 (x -2)2+5=11+5(x -2)2∈0,23 ，x -2 (x -2)2+4=11+4(x -2)2∈0,22，故0<x -2(x -2)2+(y -1)2+4<22即sin β的取值范围为0,22，C 正确；对于D ，D 1(0,2,0),D 1P=(x ,y -2,0)，由PD 1=PQ ，可得x 2+(y -2)2=(x -2)2+(y -1)2+4，化简可得4x -2y -5=0，在xA 1y 平面内，令x =0，得y =32，令y =0，得x =54，则P 的轨迹的长度为2-54 2+32 2=354，D 正确；故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.(23-24高二上·山东德州·月考)已知a =-2,1,3 ，b =-1,2,1 ，则a与b 夹角的余弦值为.【答案】216/1621【解析】∵a =-2,1,3 ，b =-1,2,1 ，∴cos <a ，b >=a ⋅b a b=2+2+314×6=216.13.(23-24高二下·江苏扬州·月考)在空间直角坐标系中，点M 0,0,1 为平面ABC 外一点，其中A 1,0,0 、B 0,2,1 ，若平面ABC 的一个法向量为1,y 0,-1 ，则点M 到平面ABC 的距离为．【答案】233/233【解析】因为A 1,0,0 、B 0,2,1 ，所以AB=-1,2,1 ,记平面ABC 的一个法向量为n=1,y 0,-1 ，则n ⋅AB=-1 ×1+2y 0+1×-1 =0，解得y 0=1，故平面ABC 的一个法向量为n=1,1,-1 .因为M 0,0,1 ，所以MA=1,0,-1 ,所以点M 到平面ABC 的距离为d =MA ⋅n n=1+0+1 1+1+1=233.14.(23-24高二上·四川达州·月考)直线l 1:x +m +1 y -2m -2=0与直线l 2:m +1 x -y -2m -2=0相交于点P ，对任意实数m ，直线l 1，l 2分别恒过定点A ，B ，则P A +PB 的最大值为【答案】4【解析】直线l 1:x +m +1 y -2m -2=0化为x +y -2+m y -2 =0，当y -2=0x +y -2=0，得x =0y =2 ，即直线l 1恒过点0,2 ，即点A 0,2 ，直线l 2:m +1 x -y -2m -2=0化为x -y -2+m x -2 =0，当x -y -2=0x -2=0，得x =2y =0 ，即直线l 2恒过点2,0 ，即点B 2,0 ，且两条直线满足1×m +1 +m +1 ×-1 =0,∴l 1⊥l 2,即P A ⊥PB ，∴P A 2+PB 2=AB 2=22+22=8,∴P A +PB ≤2P A 2+PB 2 =4,当且仅当P A =PB 时，等号成立，∴P A +PB 的最大值为4.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(23-24高二上·广东湛江·月考)已知点P -2,0,2 ，Q -1,1,2 ，R -3,0,4 ，设a =PQ ，b =PR ，c=QR ．(1)若实数k 使ka +b 与c垂直，求k 值．(2)求a 在b上的投影向量．【答案】(1)k =2；(2)15,0,-25.【解析】(1)依题意，a =(1,1,0),b =(-1,0,2),c =(-2,-1,2)，ka +b=(k ,k ,0)+(-1,0,2)=(k -1,k ,2)，由ka +b 与c 垂直，得(ka +b )⋅c =-2(k -1)-k +2×2=0，解得k =2，所以k =2.(2)由(1)知，a ⋅b =-1，|b |=5，所以a 在b 上的投影向量为a ⋅b |b |2b =-15b =15,0,-25 .16.(23-24高二上·江苏南京·月考)已知△ABC 的三个顶点为A 4,0 ,B 0,2 ,C 2,6 .(1)求AC 边上的高BD 所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线AE 所在直线的方程.【答案】(1)x -3y +6=0；(2)4x +3y -16=0.【解析】(1)因为△ABC 的三个顶点为A 4,0 ,B 0,2 ,C 2,6 ，所以直线AC 的斜率为k AC =6-02-4=-3，所以AC 边上的高BD 所在直线的斜率为k BD =13，所以直线BD 的方程为y -2=13x ，化为一般式方程为x -3y +6=0；(2)因为B 0,2 ,C 2,6 ，所以BC 的中点为E 1,4 ，又因为A 4,0 ,E 1,4 ，所以直线AE 的斜率为k =-43，所以直线AE 的点斜式方程为y -0 =-43x -4 ，化为一般式为4x +3y -16=0.17.(23-24高二上·安徽安庆·月考)已知平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面是正方形，AD =AB =2,AA 1=1，∠A 1AB =∠DAA 1=60°,A 1C 1 =3NC 1 ,D 1B =2MB ，设AB =a ,AD =b ,AA 1 =c．(1)试用a ,b ,c表示AN ；(2)求MN 的长度．【答案】(1)AN =AA 1 +A 1N =23a +23b +c ；(2)MN =296【解析】(1)AN =AA 1 +A 1N =AA 1 +23(A 1B 1 +A 1D 1 )=c +23(a +b )=23a +23b +c.(2)AM =AB +12BD 1 =AB +12(BA +AD +DD 1 )=12a +12b +12c ，NM =AM -AN =12a +12b +12c -23a +23b +c =-16a -16b -12c ，所以|NM |=-16a -16b -12c 2=136a 2+136b 2+14c 2+118a ∙b +16a ∙c +16b ∙c=136×4+136×4+14×1+16×2×1×12+16×2×1×12=296.所以MN =296.18.(23-24高二上·湖北武汉·月考)已知直线l 过点P 4,1 且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，(1)求三角形OAB 面积取最小值时直线l 的方程；(2)求OA +OB 取最小值时直线l 的方程．【答案】(1)x +4y -8=0；；(2)x +2y -6=0.【解析】(1)由题意设A a ,0 ，B (0,b )，其中a ，b 为正数，可设直线的方程为xa +y b=1，因为直线l 过点P 4,1 ，所以4a +1b =1，由基本不等式可得1=4a +1b ≥24a ⋅1b =4ab，所以ab ≥4，ab ≥16，当且仅当4a +1b =14a=1b即a =8b =2时，ab 取得最小值16，所以△AOB 面积S =12ab ≥8，所以当a =8，b =2时，△AOB 面积最小，此时直线l 的方程为x8+y 2=1，即x +4y -8=0，(2)因为4a +1b=1，a >0,b >0 ，所以OA +OB =a +b =a +b 4a +1b =5+4b a +ab ≥5+24b a ⋅a b=5+2×2=9，当且仅当4ba =ab 4a+1b =1即a =6b =3时等号成立，所以当a =6，b =3时，OA +OB 的值最小，此时直线l 的方程为x6+y 3=1，即x +2y -6=0．19.(24-25高二上·安徽阜阳·开学考试)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ADC =∠BCD =90°，BC =1，CD =3，PD =2，∠PDA =60°，∠P AD =30°，且平面P AD ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 内过B 作BO ⊥AD ，交AD 于O ，连PO .(1)求证：PO ⊥平面ABCD ；(2)求二面角A -PB -C 的正弦值；(3)在线段P A 上存在一点M ，使直线BM 与平面P AD 所成的角的正弦值为277，求PM 的长.【答案】(1)证明见解析；(2)77；(3)32.【解析】(1)因为BO ⊥AD ，因为BC ⎳AD ，∠ADC =∠BCD =90°，所以四边形BODC 为矩形，在△PDO 中，PD =2，DO =BC =1，∠PDA =60°，则PO =PD 2+OD 2-2PD ⋅OD cos60°=3，∴PO 2+DO 2=PD 2，∴PO ⊥AD ，且平面P AD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面P AD 平面P AD ∩平面ABCD =AD ，∴PO ⊥平面ABCD ；(2)以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵PO =3，∠P AD =30°，可得AO =3，则O (0,0,0)，A (3,0,0)，P 0,0,3 ，B 0,3,0 ，C -1,3,0 ，设平面APB 的法向量为m=(x ,y ,z )，P A =3,0,-3 ，PB =0,3,-3 ，由P A ⋅m=3x -3z =0PB ⋅m =3y -3z =0，取m =1,3,3 .设平面CPB 的法向量为n=(a ,b ,c )，PC =-1,3,-3 ，由n ⋅PB=3b -3c =0n ⋅PC =-a +3b -3c =0，取n =(0,1,1)，cos m ,n =m ⋅n m n=237×2=427.∵二面角A -PB -C 是钝角，∴二面角A -PB -C 的正弦值为77.(3)设AM =λAP ，则BM =BA +AM =3,-3,0 +λ-3,0,3 =3-3λ,-3,3λ ，又平面P AD 的法向量为OB=0,3,0 ，直线BM 与平面P AD 所成的角的正弦值为cos OB ,BM =33×(3-3λ)2+3+3λ2=27，解得λ=34，∴PM =14AP =14PO 2+OA 2=32.。
高二数学上学期第一次月考试题含解析
智才艺州攀枝花市创界学校第二二零二零—二零二壹高二数学上学期第一次月考试题〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共13小题，每一小题4分，一共52分.题1—10为单项选择题，题11-13为多项选择题，多项选择题错选得0分，漏选得2分.〕 1.椭圆229225x ky +=的一个焦点是()4,0，那么k =〔〕A.5B.25C.-5D.-25【答案】B 【解析】 【分析】将椭圆方程化为HY 方程，根据焦点坐标求得c ，由此列方程求得k 的值.【详解】椭圆的HY方程为22122525x y k+=，由于椭圆焦点为()4,0，故焦点在x 轴上，且4c =.所以2225254k=+，解得25k =. 应选：B【点睛】本小题主要考察根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于根底题. 2.双曲线22412mx y -=的一条渐近线的方程为20y -=，那么m =〔〕A.3C.4D.16【答案】A 【解析】 【分析】写出双曲线的HY 方程，根据渐近线方程即可得解. 【详解】双曲线22412mx y -=20y -=，即双曲线221213m x y -=的一条渐近线的方程为y x =， 所以124,3m m==. 应选：A【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线方程求双曲线HY 方程，关键在于准确掌握双曲线的概念，找准其中的a ，b .3.“x R ∃∈，2440x x -+≤〞的否认是〔〕A.x R ∀∈，2440x x -+>B.x R ∀∈，2440x x -+≥C.x R ∃∈，2440x x -+>D.x R ∃∈，2440x x -+≥【答案】A 【解析】 【分析】 .【详解】A 选项正确. 应选：A 【点睛】. 4.〕 A.2230x x -->，B.π不是无限不循环小数C.直线与平面相交D.在线段AB 上任取一点【答案】B 【解析】【分析】 ACDB.【详解】ACD 均不能判断真假，B. 应选：B 【点睛】.5.平面内，一个动点P ，两个定点1F ，2F ，假设12PF PF -为大于零的常数，那么动点P 的轨迹为〔〕A.双曲线B.射线C.线段D.双曲线的一支或者射线 【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的定义，对动点P 的轨迹进展判断，由此确定正确选项. 【详解】两个定点的间隔为12F F ,当1212PF PF F F -<时，P 点的轨迹为双曲线的一支； 当1212PF PF F F -=时，P 点的轨迹为射线；不存在1212PF PF F F ->的情况.综上所述，P 的轨迹为双曲线的一支或者射线. 应选：D【点睛】本小题主要考察双曲线定义的辨析，属于根底题. 6.〕A.x R ∀∈，2210x x -+>B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=D.x R ∀∈，12x x+≥ 【答案】C 【解析】 【分析】 .【详解】A.x R ∀∈，2210x x -+>，当21,210x x x =-+=B.0,4x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，tan 1x <，当,tan 14x x π== C.a ∀∈R ，in s (s in )a a π-=，满足题意； D.x R ∀∈，12x x +≥，当10,2x x x<+≤-. 应选：C 【点睛】.7.假设方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么实数a 的取值范围是〔〕A.6a <B.6a <且0a≠ C.2a > D.2a >或者3a <-【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程形式得2060a a ⎧≠⎨-<⎩，即可得解.【详解】方程22216x y a a +=-表示双曲线，那么2060a a ⎧≠⎨-<⎩，解得：6a <且0a ≠.应选：B【点睛】此题考察双曲线概念辨析，根据方程表示双曲线求解参数的取值范围，关键在于纯熟掌握双曲线方程的形式.8.1F ，2F 是椭圆(222:13x y C a a+=>的两个焦点，P 是C 上一点.假设1260F PF ∠=︒，那么12F PF △的面积为〔〕B. D.与a 有关【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质结合余弦定理求得124F P PF ⋅=，利用三角形面积公式即可得解.【详解】根据椭圆几何性质可得：122F P PF a +=，12F PF △中，由余弦定理：222121212F F F P PF F P PF =+-⋅，即()221212123F F F P PF F P PF =+-⋅()22124343a a F P PF -=-⋅，解得：124F P PF ⋅=12F PF △的面积为121sin 602F P PF ⋅⋅︒=. 应选：A【点睛】此题考察椭圆的几何性质的应用，结合余弦定理和面积公式求三角形面积，关键在于纯熟掌握椭圆根本性质和三角形相关定理公式.9.1F ，2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点，直线23b y =与该椭圆交于B ，C ，假设2BF C △是直角三角形，那么该椭圆的离心率为〔〕B.【答案】D 【解析】 【分析】联立直线和椭圆求出交点坐标22,,,3333b b B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分别讨论直角情况即可得解.【详解】联立直线和椭圆方程：2222123x y a b b y ⎧=⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩ 所以直线23b y =与椭圆()222210x y a b a b+=>>的交点坐标22,33b b B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 因为椭圆焦点在x 轴，所以角B 不可能为直角，当角Cc =，即e =；当角2F 为直角时，220F B F C ⋅=，即22,,03333b b c c ⎛⎫⎛⎫--⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22254099a b c -+=，2222544099a a c c --+=225c a =，5e =.应选：D【点睛】此题考察根据直线与椭圆位置关系，结合三角形形状求解离心率，关键在于准确求出直线与椭圆的交点坐标，根据垂直关系建立等量关系求椭圆离心率.10.双曲线221916x y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为右支上一点，且1245cos F PF ∠=，那么12F PF △内切圆的面积为〔〕A.211πB.83π C.649π D.176121π【答案】C 【解析】 【分析】 根据1245cos F PF ∠=求出三角形的边长和面积，利用等面积法求出内切圆的半径，即可得到面积. 【详解】由题：1245cos F PF ∠=，那么123sin 5F PF ∠=，P 为右支上一点， 12F PF △中由余弦定理：()()22212111146265F F F P F P F P F P =++-⋅+⨯解得110F P =，12F PF △的面积121310164825F PF S =⨯⨯⨯=△，设其内切圆半径为r ，()101016482r ++=，解得：83r = 那么12F PF △内切圆的面积为286439ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭【点睛】此题考察根据双曲线的几何性质求解焦点三角形的面积和内切圆的半径，根据等面积法求解半径得到圆的面积. 11.〕A.假设a ba c ⋅=⋅，那么bc =B.正数,a b ，假设2a b+≠a bC.0x N +∃∈，使200x x ≤D.正数,x y ，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件【答案】BCD 【解析】 【分析】 考虑0a=可断定A.【详解】A 选项：假设0a =，任意向量,b c ，0a b a c ⋅=⋅=，不能推出b c =B ,a b ，假设ab =，那么2a b+= C 选项：当01x =D 选项：正数,x y ，lg lg 0x y +=等价于lg 0xy =，等价于1xy =，那么1xy =是lg lg 0x y +=的充要条件应选：BCD 【点睛】.12.〔多项选择题〕双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，那么双曲线1C 的离心率可能为〔〕C.2D.3【答案】CD 【解析】 【分析】根据渐近线的平分关系求出斜率，根据斜率为b a =b a =.【详解】双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第三象限三等分，根据双曲线对称性可得：双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>与双曲线()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线将第一象限三等分，所以第一象限的两条渐近线的倾斜角为30°和60°，其斜率为b a =b a =，所以其离心率为2或者3. 应选：CD【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线关系求离心率，关键在于对题目所给条件进展等价转化，利用双曲线根本量之间的关系求解.13.〔多项选择题〕以下说法正确的选项是〔〕 A.方程2xxy x +=表示两条直线B.椭圆221102x y m m +=--的焦距为4，那么4m =C.曲线22259x y xy +=关于坐标原点对称D.双曲线2222x y a b λ-=的渐近线方程为b y x a=±【答案】ACD 【解析】 【分析】B 选项漏掉考虑焦点在y 轴的情况，ACD 说法正确. 【详解】方程2xxy x +=即()10x x y +-=，表示0x =，10x y +-=两条直线，所以A 正确；椭圆221102x ym m+=--的焦距为4，那么()1024m m---=或者()2104m m---=，解得4m=或者8m=，所以B选项错误；曲线22259x yxy+=上任意点(),P x y，满足22259x yxy+=，(),P x y关于坐标原点对称点(),P x y'--也满足()()()()22259x yx y--+=--，即(),P x y'--在22259x yxy+=上，所以曲线22259x yxy+=关于坐标原点对称，所以C选项正确；双曲线2222x ya bλ-=即0λ≠，其渐近线方程为by xa=±正确，所以D选项正确.应选：ACD【点睛】此题考察曲线方程及简单性质辨析，涉及认识曲线方程，研究对称性，根据椭圆性质求参数的取值，求双曲线的渐近线.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.〕14.方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么实数a的取值范围是_______.【答案】()()5,66,7【解析】【分析】根据方程表示椭圆，列不等式组可得507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即可求解.【详解】由题方程22157x ya a+=--表示椭圆，那么507057aaa a->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得()()5,66,7a ∈故答案为：()()5,66,7【点睛】此题考察根据曲线方程表示椭圆求参数的取值范围，关键在于纯熟掌握椭圆的HY方程特征，此题容易漏掉考虑a =6的情况不合题意.15.假设“0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <〞m 的取值范围是________. 【答案】0m >【解析】【分析】 根据0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，实数m 的取值范围，即()min tan x m <. 【详解】0,4x π⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m <，即()min tan x m <， tan y x =在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，()min tan 0x = 即0m >.故答案为：0m >【点睛】.16.2F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，P 是椭圆上的动点，(A 为定点，那么1PA PF +的最小值为_______.【答案】6【解析】【分析】 将问题进展转化12288PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，根据动点到两个定点间隔之差的最值求解. 【详解】()22,0F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，()12,0F -是椭圆2211612x y +=的左焦点，128PF PF +=(A 在椭圆内部，1222888826PA PF PA PF PA PF AF +=+-=+-≥-=-=，当P 为2F A 的延长线与椭圆交点时获得最小值.故答案为：6【点睛】此题考察椭圆上的点到椭圆内一点和焦点的间隔之和最值问题，关键在于利用椭圆的几何性质进展等价转化，结合平面几何知识求解.17.点A ，B 分别是射线()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤上的动点，O 为坐标原点，且AOB 的面积为定值4.那么线段AB 中点M 的轨迹方程为_________. 【答案】22144-=y x ，0y > 【解析】【分析】设出中点坐标，根据面积关系建立等量关系化简即可得到轨迹方程.【详解】由题：()1:0l y x x =≥，2(:0)l y x x =-≤互相垂直，()()112212,,,,0,0A x x B x x x x -><，设线段AB 中点(),M x y ， AOB 的面积为定值4，即)12142x -=，即124x x =- 121222x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，两式平方得：222121222212122424x x x x x x x x x y ⎧++=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， 两式相减得：22124x y x x -==- 即22144-=y x ，0y >故答案为：22144-=y x ，0y > 【点睛】此题考察求轨迹方程，关键在于根据给定的条件建立等量关系，此类题目容易漏掉考虑取值范围的限制.三、解答题〔本大题一一共6小题，总分值是82分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕18.集合{}2(3)0A x x a x a =+-+=，{}0B x x =>.假设A B =∅.务实数a 的取值范围.【答案】(](),19,a ∈-∞+∞【解析】【分析】 将问题转化考虑A B =∅a 的取值范围，即可得到假设A B =∅a 的取值范围. 【详解】考虑A B =∅2(3)0x a x a +-+=没有正根， ①()2340a a ∆=--<得()1,9a ∈； ②()2340a a ∆=--=得1a =，或者9a =， 当9a =时{}{}26903A x x x =++==-符合题意，当1a =时{}{}22101A x x x =-+==，不合题意，所以9a =； ③()23403020a a a a ⎧∆=-->⎪-⎪<⎨⎪>⎪⎩无解； 综受骗A B =∅(]1,9a ∈，所以假设A B =∅(](),19,a ∈-∞+∞【点睛】.19.对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，该椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，且长轴长与短轴长之比为4:3.求该椭圆的HY 方程. 【答案】221169x y +=或者221169y x += 【解析】【分析】根据椭圆的长轴短轴长度之比设椭圆的HY 方程，根据椭圆经过的点求解参数即可得解.【详解】由题：对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，长轴长与短轴长之比为4:3，当焦点在x 轴上，设椭圆的HY 方程为221169x y m m+=，m >0，椭圆过1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭， 14414412516259m m+=⨯⨯，解得：m =1， 所以椭圆的HY 方程为221169x y += 同理可得当焦点在y 轴上，椭圆的HY 方程为221169y x +=， 所以椭圆的HY 方程为221169x y +=或者221169y x += 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据长轴短轴长度关系设方程，根据椭圆上的点的坐标求解，易错点在于漏掉考虑焦点所在位置.20.“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞.〔1〕务实数m 的取值集合A ；〔2〕设不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕{}32A m m =-≤≤；〔2〕()(),23,a ∈-∞-+∞【解析】【分析】〔1〕将问题转化为()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，即可求解；〔2〕分类讨论求解A B ⊆即可得到参数的取值范围.【详解】〔1“[]0,2x ∃∈，使方程251020x x m -+-=有解〞是.即()225102513m x x x =-+=--在[]0,2x ∈有解，所以[]3,2m ∈- 即{}32A m m =-≤≤；〔2〕不等式()()1120x a x a -+-<+的解集为集合B ，假设x B ∈是x A ∈的必要不充分条件， 当23a =不合题意； 当23<a 时，112a a -<-，()1,12B a a =--，13122a a -<-⎧⎨->⎩，得2a <-； 当23a >时，112a a ->-，()12,1B a a =--，12123a a ->⎧⎨-<-⎩，得3a >； 所以()(),23,a ∈-∞-+∞【点睛】此题考察根据方程有解求参数的取值范围，根据充分条件和必要条件关系求解参数的取值范围，关键在于弄清充分条件和必要条件关系，利用分类讨论求解.21.设1F ，2F 分别是椭圆222:14x y E b+=的左，右焦点，假设P 是该椭圆上的一个动点，12PF PF ⋅的最大值为1.求椭圆E 的方程. 【答案】2214x y += 【解析】【分析】设出焦点坐标，表示出12PF PF ⋅利用函数关系求出最大值，即可得到21b =.【详解】由题：()1F ，)2F 分别是椭圆222:14x y E b +=的左，右焦点，设(),P x y 施椭圆上的动点，即[]222221,0,4,44x y x b b+=∈<， ()22222221124444x b x b x b b ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，当2x =4时，获得最大值， 即21b =， 所以椭圆的方程为2214x y +=. 【点睛】此题考察求椭圆的HY 方程，关键在于根据椭圆上的点的坐HY 确计算，结合取值范围求解最值.22.平面直角坐标系中两个不同的定点()1,0F a -，()2,0,0F a a >，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠，求动点P 的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.【答案】见解析.【解析】【分析】 根据斜率关系化简得22221x y a ma-=，分类讨论得解． 【详解】设(),P x y ，过点1F 的直线1l 与过点2F 的直线2l 相交于点P ，假设直线1l 与直线2l 的斜率之积为(0)m m ≠， 即y y m x a x a ，222y mx ma =-，22221x y a ma-=， 当1m =-轨迹是圆，不含点()1,0F a -，()2,0,0F a a >；当0m >，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为顶点的双曲线，不含顶点()1,0F a -，()2,0F a ； 当10m -<<，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为长轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ； 当1m <-，轨迹是以()1,0F a -，()2,0F a 为短轴顶点的椭圆，不含()1,0F a -，()2,0F a ．【点睛】此题考察曲线轨迹的辨析，关键在于根据题意建立等量关系，根据曲线轨迹方程分类讨论得解.23.椭圆221:1169x y C +=和双曲线222:1169x y C -=，点A ，B 为椭圆的左，右顶点，点P 在双曲线2C 上，直线OP 与椭圆1C 交于点Q 〔不与点A ，B 重合〕，设直线AP ，BP ，AQ ，BQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k .〔1〕求证：12916k k ⋅=； 〔2〕求证：1234k k k k +++的值是定值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.【解析】【分析】〔1〕设(),P x y ，表示出斜率即可求得斜率之积；〔2〕设直线:OP y kx =，0k≠，依次求解P ，Q 坐标，表示出斜率之和化简即可得解. 【详解】〔1〕由题：()()()4,0,4,0,,A B P x y -满足221169x y -=，229116x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 21229441616y y y k k x x x ⋅=⋅==+--； 〔2〕根据曲线的对称性不妨设直线:OP y kx =，0k ≠， 联立221169y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2221169x k x +=，22144916x k =+，不妨取Q ⎛⎫，同理可得：P ⎛⎫ 所以1234k k k k +++的值是定值.【点睛】此题考察椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率求解斜率之积和斜率之和证明结论.。
四川省成都市2024-2025学年高二上学期月考(一)数学试题含答案
高二上数学月考（一）（答案在最后）一､单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）32211834297864540732524206443812234356773578905642 84421253313457860736253007328623457889072368960804 32567808436789535577348994837522535578324577892345A.623B.328C.072D.457【答案】A【解析】【分析】按照随机数表提供的数据，三位一组的读数，并取001到650内的数，重复的只取一次即可【详解】从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个是253，重复，第四个是007，第五个是328，第六个数是623，，故A正确.故选：A.2.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b，则（）A.19b= B.29b= C.310b= D.110b=【答案】D【解析】【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解.【详解】因为总体中共有10个个体，所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为91110910b=⨯=.故选：D.3.已知向量1,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，122BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则ABC ∠=（）A.30°B.150°C.60°D.120°【答案】B 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示求出向量夹角，进而求解几何角.【详解】因为向量13,22AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以13312222cos ,2AB BC AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⨯+-⨯- ⎪ ⎪⋅==⋅，又0,180AB BC ≤≤，所以,30AB BC =，所以,18030150BA BC =-= ，所以150ABC ∠=o .故选：B.4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A.若//a b ，,b a αα⊂⊄，则//a αB.若,a b αα⊥⊥，则//a bC.若,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则a β⊥D.若,a b 为异面直线，,a b αβ⊂⊂，//a β，//b α，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理判断A ，根据线面垂直的性质判断B ，当a α⊄时即可判断C ，根据异面直线的定义及线面平行的性质定理判断D.【详解】对于A ：若//a b ，,b a αα⊂⊄，根据线面平行的判定定理可知//a α，故A 正确；对于B ：若,a b αα⊥⊥，则//a b ，故B 正确；对于C ：当a α⊂时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，由面面垂直的性质定理可得a β⊥，当a α⊄时，,,b a b αβαβ⊥⋂=⊥，则//a β或a β⊂或a 与β相交，故C 错误；对于D ：因为a α⊂，//b α，所以存在b α'⊂使得//b b '，又b β⊂，b β'⊄，所以//b β'，又//a β且,a b 为异面直线，所以平面α内的两直线b '、a 必相交，所以//αβ，故D 正确.故选：C5.下列说法正确的是（）A.互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.若()()1P A P B +=，则事件A 与事件B 是对立事件C.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为25D.事件A 与事件B 中至少有一个发生的概率不一定比A 与B 中恰有一个发生的概率大【答案】D 【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可．【详解】对于A ，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A 错误;对于B ，由()()1P A P B +=，并不能得出A 与B 是对立事件，举例说明：现从a ，b ，c ，d 四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的，设事件A 表示选中a 球或b 球，则1()2P A =，事件B 表示选中b 球或c 球，则1()2P B =，所以()()1P A P B +=，但A ，B 不是对立事件，故B 错误;对于C ，该试验的样本空间可表示为：{(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9)(5,7,9)}Ω=，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9)，共3个，故所求概率310P =，故C 错误;对于D ，若A ，B 是互斥事件，事件A ，B 中至少有一个发生的概率等于A ，B 中恰有一个发生的概率，故D 正确．故选：D.6.一组数据：53，57，45，61，79，49，x ，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x =（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A 【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x ≤，79x ≥，5779x <<三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x ≤，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x ≥，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件；若5779x <<，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x 和61（或61和x ），则613x -=，解得58x =或64x =故选：A7.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面,,2ABCD FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥,,E ACD F ABC F ACE ---的体积分别为123,,V V V ，则（）A.322V V =B.31V V =C.3123V V V =-D.3123V V =【答案】D 【解析】【分析】结合线面垂直的性质，确定相应三棱锥的高，求出123,,V V V 的值，结合选项，即可判断出答案.【详解】连接BD 交AC 于O ，连接,OE OF ，设22AB ED FB ===，由于ED ⊥平面,ABCD FB ED ∥，则FB ⊥平面ABCD ,则1211141112222,22133233323ACD ABC V S ED V S FB =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ；ED ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故ED AC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥，而,,ED BD D ED BD =⊂ 平面BDEF ，故AC ⊥平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，故AC OF ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故,ED BD FB BD ⊥⊥，222222,26,3,BD OD OB OE OD ED OF OB BF =∴===+==+=而()223EF BD ED FB =+-=，所以222EF OF OE +=，即得OE OF ⊥，而,,OE AC O OE AC =⊂ 平面ACE ，故OF ⊥平面ACE ，又22222AC AE CE ===+=，故(2231131323233434F ACE V V ACE S OF AC OF =-=⋅=⨯⋅=⨯= ，故323131231,2,,233V V V V V V V V V ≠≠≠-=，故ABC 错误，D 正确，故选：D8.已知平面向量a ，b ，e ，且1e = ，2a = .已知向量b 与e所成的角为60°，且b te b e -≥- 对任意实数t 恒成立，则12a e ab ++-的最小值为（）A.31+ B.23C.35 D.25【答案】B【解析】【分析】b te b e -≥-对任意实数t 恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出||2b =r ，借助2a =，得到122a e a e +=+ ，12a e a b ++- 的最小值转化为11222a e a b++- 的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可【详解】根据题意，1cos 602b e b e b ⋅=⋅︒=，b te b e -≥- ，两边平方22222||2||2b t e tb e b e b e +-⋅≥+-⋅ ，整理得到210t b t b --+≥ ，对任意实数t 恒成立，则()2Δ||410b b =--+≤ ，解得2(2)0b -≤ ，则||2b =r .由于2a =，如上图，122a e a e +=+ ，则111112(2)()22222a e a b a e a b a e a b ++-=++-≥+--222843e b e b b e =+=++⋅12a e ab ++- 的最小值为23当且仅当12,,2e b a -终点在同一直线上时取等号.故选：B ．二､多项选择题.本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD 【解析】【分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例10.020.040.10.30.54----=，故A 正确;由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的45%不到五成，B 错误;由不同年龄段人均参保费用图可知，1829~周岁人群人均参保费用最少()3000,4000，但是这类人所占比例为15%，54周岁以上参保人数最少比例为10%，54周岁以上人群人均参保费用6000,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C 正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D 正确;故选：ACD ．10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：甲地：中位数为2，极差为5；乙地：总体平均数为2，众数为2；丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；丁地：总体平均数为2，总体方差为3.则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（）A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地【答案】AD 【解析】【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断AD ；根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断BC ．【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，∴甲地每天疑似病例不会超过7，∴选A ．根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，∴不选BC ；假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，∴丁地每天疑似病例不会超过7，∴选D ．故选：AD ．11.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体ABCD 的棱长为2，则下列说法正确的是（）A.勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为22-B.勒洛四面体被平面ABC 截得的截面面积是(2π-C.勒洛四面体表面上交线AC 的长度为2π3D.勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：求出正四面体ABCD 的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B 选项，作出截面图形，求出截面面积；C 选项，根据对称性得到交线AC 所在圆的圆心和半径，求出长度；D 选项，作出正四面体对棱中点连线，在C 选项的基础上求出长度.【详解】A 选项，先求解出正四面体ABCD 的外接球，如图所示：取CD 的中点G ，连接,BG AG ，过点A 作AF BG ⊥于点F ，则F 为等边ABC V 的中心，外接球球心为O ，连接OB ，则,OA OB 为外接球半径，设OA OB R ==，由正四面体的棱长为2，则1CG DG ==，BG AG ==133FG BG ==，233BF BG ==3AF ===，3OF AF R R =-=-，由勾股定理得：222OF BF OB +=，即22233R R ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2R =，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ，连接BO 交平面ACD 于点E ，交 AD 于点F ，其中 AD 与ABD △共面，其中BO 即为正四面体外接球半径2R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则22r OF BF BO ==-=-，故A 正确；B 选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为(2221π333322222344⎛⎫⨯⨯⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭⎝，B 正确；C 选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线AC 所在圆的圆心为BD 的中点M ，故3MA MC ==2AC =，由余弦定理得：2221cos 23233AM MC AC AMC AM MC +-∠===⋅⨯⨯，故1arccos3AMC ∠=3AC 133，C 错误；D 选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接GH ，交AB 于中点S ，交CD 于中点T ，连接AT ，则22312ST AT AS =-=-=则由C 选项的分析知：3TG SH ==，所以323322GH =+=，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D 正确.故选：ABD.【点睛】结论点睛：勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为232a a ⎫->⎪⎪⎭，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60︒的扇形弧长之和，其圆心角为1arccos 3，半径为32a .三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中的A 型号产品有15件，那么样本容量n 为________．【答案】70【解析】【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出70n =.【详解】由题意得315347n=++，解得70n =.故答案为：7013.平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′﹣BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′﹣BCD 顶点在同一个球面上，则该球的表面积_____.【答案】3π【解析】【分析】根据BD ⊥CD ，BA ⊥AC ，BC 的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积.【详解】因为平面A′BD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABD ，∴CD ⊥BA ，又BA ⊥AD ，∴BA ⊥面ADC ，所以BA ⊥AC ，所以△BCD 和△ABC 都是直角三角形，由题意，四面体A ﹣BCD 顶点在同一个球面上，所以BC 的中点就是球心，所以BC =2所以球的表面积为：242π⋅=3π.故答案为：3π.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和球的外接问题，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14.若一组样本数据12,,n x x x 的平均数为10，另一组样本数据1224,24,,24n x x x +++ 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的方差是__________.【答案】54【解析】【分析】计算出1n ii x =∑、21nii x=∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的方差.【详解】由题意可知，数据12,n x x x 的平均数为10，所以12)101(n x x x x n =+++= ，则110ni i x n ==∑，所以数据1224,24,,24n x x x +++ 的平均数为121(242424)210424n x x x x n'=++++++=⨯+= ，方差为()(()222221111444[24241010n n n i i i i i i s x x x x n n n n n ===⎤⎡⎤=+-+=-=-⨯⨯⎦⎣⎦∑∑∑2144008n i i x n ==-=∑，所以21102nii xn ==∑，将两组数据合并后，得到新数据1212,24,24,,24,n n x x x x x x +++ ，，则其平均数为11114)4)11113]4)[(2(3(222n i nn n i i i i i i i x x x x x n n n ====''=+=⨯+=⨯++∑∑∑∑()13104172=⨯⨯+=，方差为()()2222111111172417(586458)22n n n ni i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤=-++-=-+⎢⎥⎣⎦'∑∑∑∑1(51028610458)542n n n n=⨯-⨯+=.故答案为：54.四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.（1）从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;（2）从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.【答案】（1）23（2）是公平的，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式即可求解;（2）利用列举法写出样本空间及事件的样本点，结合古典概型的计算公式及概率进行比较即可求解.【小问1详解】试验的样本空间{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}Ω=，共6个样本点，设标号和为奇数为事件B ，则B 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，所以42().63P B ==【小问2详解】试验的样本空间Ω{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}=，共有16个，设标号和为奇数为事件C ，事件C 包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,3)，共8个,故所求概率为81()162P C ==,即甲胜的概率为12，则乙胜的概率为12,所以甲、乙获胜的概率是公平的.16.（1）请利用已经学过的方差公式：()2211ni i s x xn ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x x n ==-∑；（2）如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 相互独立吗？请给予证明.【答案】（1）证明见解析；（2）独立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，对方差公式恒等变形，分析可得结论；（2）根据相互独立事件的定义，只需证明()()()P AB P A P B =即可.【详解】（1）()()()()2222212111n i n i s x xx x x x x x n n =⎡⎤=-=-+-++-⎢⎥⎣⎦∑ ()()2222121212n n x x x x x x x nx n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦ ()22221212n x x x x nx nx n ⎡⎤=+++-⨯+⎢⎥⎣⎦ ()222121n x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦ 2211n i i x x n ==-∑；（2）因为事件A 与B 相互独立，所以()()()P AB P A P B =，因为()()()P AB P AB P A +=，所以()()()()()()P AB P A P AB P A P A P B =-=-()()()()()1P A P B P A P B =-=，所以事件A 与B 相互独立.17.如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是边长为2的正三角形，底面ABCD 为矩形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为AB ，AD 的中点，二面角D PN C --的正切值为2.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）证明：DM PC⊥（3）求直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值.【答案】（1）3（2）证明见解析（3）35【解析】【分析】（1）先证明DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，可得底面ABCD 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可；（2）利用线面垂直的判定定理证明DM ⊥平面PNC ，即可证明DM PC ⊥；（3）由DM⊥平面PNC 可得MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角，计算其正弦值即可.【小问1详解】解：∵PAD △是边长为2的正三角形，N 为AD 中点，∴PN AD ^，PN =又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =∴PN ^平面ABCD又NC ⊂平面ABCD ，∴PN NC ⊥∴DNC ∠为二面角D PN C --的平面角，∴tan 2DC DNC DN∠==又1DN =，∴2DC =∴底面ABCD 为正方形.∴四棱P ABCD -的体积12233V =⨯⨯=.【小问2详解】证明：由（1）知，PN ^平面ABCD ，DM ⊂平面ABCD ，∴PN DM⊥在正方形ABCD 中，易知DAM CDN ≌△△∴ADM DCN ∠=∠而90ADM MDC ∠+∠=︒，∴90DCN MDC ∠+∠=︒∴DM CN ⊥∵PN CN N = ，∴DM ⊥平面PNC∵PC ⊂平面PNC ，∴DM PC ⊥.【小问3详解】设DM CN O ⋂=，连接PO ，MN .∵DM⊥平面PNC .∴MPO ∠为直线PM 与平面PNC 所成的角∵2,1AD AM ==，∴DM =5DO ==∴55MO ==又MN =PM ==∴35sin 5MO MPO PM ∠===∴直线PM 与平面PNC 所成角的正弦值为35.18.某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖A ，B ，C 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位：kW h ⋅），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.（1）求m 的值；（2）若去年小明家的月均用电量为234kW h ⋅，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？（3）通过进一步计算抽样的样本数据，得到A 区样本数据的均值为213，方差为24.2；B 区样本数据的均值为223，方差为12.3；C 区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）【答案】（1）0.016m =（2）不正确（3）78.26【解析】【分析】（1）利用频率和为1列式即可得解；（2）求出85%分位数后判断即可；（3）利用方差公式推导总样本方差计算公式，从而得解.【小问1详解】根据频率和为1，可知()0.0090.0220.0250.028101m ++++⨯=，可得0.016m =.【小问2详解】由题意，需要确定月均用电量的85%分位数，因为()0.0280.0220.025100.75++⨯=，()0.0280.0220.0250.016100.91+++⨯=，所以85%分位数位于[)230,240内，从而85%分位数为0.850.7523010236.252340.910.75-+⨯=>-.所以小明的估计不正确.【小问3详解】由题意，A 区的样本数为1000.440⨯=，样本记为1x ，2x ，L ，40x ，平均数记为x ；B 区的样本数1000.440⨯=，样本记为1y ，2y ，L ，40y ，平均数记为y ；C 区样本数为1000.220⨯=，样本记为1z ，2z ，L ，20z ，平均数记为z .记抽取的样本均值为ω，0.42130.42230.2233221ω=⨯+⨯+⨯=.设该市第二档用户的月均用电量方差为2s ，则根据方差定义，总体样本方差为()()()40402022221111100i j k i i i s x y z ωωω===⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()()4040202221111100i j k i i i x x x y y y z z z ωωω===⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑因为()4010ii x x =-=∑，所以()()()()404011220iii i x x x x x x ωω==--=--=∑∑，同理()()()()404011220jji i yyy y yy ωω==--=--=∑∑，()()()()202011220kki i zz z z zz ωω==--=--=∑∑，因此()()()()4040404022222111111100100i j i i i i s x x x y y y ωω====⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑()()202022111100k i i z z z ω==⎡⎤+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑，代入数据得()()222114024.2402132214012.340223221100100s ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦=⨯+⨯-+⨯-⎣+⨯()212038.32023322178.26100⎡⎤+⨯+⨯-=⎣⎦.19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B ，C ，D 三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A ，B ，C ，D 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是13，每场比赛的结果相互独立.（1）求A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A 球队胜2场，负1场，求A 球队最终小组出线的概率.【答案】（1）427（2）7981【解析】【分析】（1）分类讨论只积3分的可能情况，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）由题意，若A 球队参与的3场比赛中胜2场，负1场，根据获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，分情况讨论结合独立事件概率乘法公式运算求解.【小问1详解】A 球队在小组赛的3场比赛中只积3分，有两种情况.第一种情况：A 球队在3场比赛中都是平局，其概率为111133327⨯⨯=.第二种情况：A球队在3场比赛中胜1场，负2场，其概率为11113 3339⨯⨯⨯=.故所求概率为114 27927+=.【小问2详解】不妨假设A球队参与的3场比赛的结果为A与B比赛，B胜；A与C比赛，A胜；A与D比赛，A胜.此情况下，A积6分，B积3分，C，D各积0分.在剩下的3场比赛中：若C与D比赛平局，则C，D每队最多只能加4分，此时C，D的积分都低于A的积分，A可以出线；若B与C比赛平局，后面2场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于A，A可以出线；若B与D比赛平局，同理可得A可以出线.故当剩下的3场比赛中有平局时，A一定可以出线.若剩下的3场比赛中没有平局，则当B，C，D各赢1场比赛时，A可以出线.当B，C，D中有一支队伍胜2场时，若C胜2场，B胜1场，A，B，C争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=；若D胜2场，B胜1场，A，B，D争夺第一、二名，则A淘汰的概率为11111 333381⨯⨯⨯=.其他情况A均可以出线.综上，A球队最终小组出线的概率为1179 1818181⎛⎫-+=⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于分类讨论获胜的三队通过净胜球数等规则决出前两名，讨论要恰当划分，做到不重不漏，从而即可顺利得解.。
高二数学 1月月考试题卷(含答案)
由数形结合分析可得要使 在 上有解只需 ． ．
考点：1定积分；2用导数求最值；3转化思想，数形结合思想．
【思路点睛】求角的范围应先求出该角的某一三角函数的范围，作为切线的倾斜角，应先求出角的正切值，而其正切值是切线的斜率，同时某点的切线的斜率又是该点处的导数，因此本题应先求出导函数，然后求出导函数的值域即切线斜率（ ）的范围，从而求出角的范围．
5.【答案】D
【解析】
试题分析：由题意可知 ，所以 的取值范围是 或 ．
1.【答案】B
【解析】
试题分析：原不等式变形为 ，所以不等式解集为
考点：分式不等式解法
2.【答案】C
【解析】
试题分析：①中 时才成立；② 时不等式错误；③正确；
考点：不等式性质
3.【答案】A
4.【答案】D
【解析】
试题分析：设点P（x,y）,所以 ,所以 ,则， [0， )∪ ．故选D．
考点：利用导数求切线斜率范围，进而求切线的倾斜角范围．
考点：椭圆的标准方程．
6. 【答案】A
【解析】
试题分析：双曲线 的渐近线为 ，点 在 的渐近线上得 ，又 ， ，联立得 ，所以 的方程为 ，故选A．
考点：1、双曲线的性质；2、渐近线方程．
7. 【答案】D
8.【答案】C
【解析】
试题分析：设 在准线 上的射影分别为 ，则 ， ， ，所以 到 轴距离为 ，故选C．
A． B． C． D．
第 II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（22）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
13.函数 在定义域 内的最小值是.
14． ，则 ．
四川省南充2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题含答案
南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4.考试结束后将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“2sin 2θ=”是“π4θ=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】判断“sin 2θ=”和“π4θ=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当2sin 2θ=时，π2π,Z 4k k θ=+∈或3π2π,Z 4k k θ=+∈，推不出π4θ=；当π4θ=时，必有2sin 2θ=，故“sin 2θ=”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：C2.设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若//l α，//l β，则//αβC.若l α⊥，m α⊥，则//l mD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.【详解】对选项A ，若//l α，//m α，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故A 错误.对选项B ，若//l α，//l β，则α与β的位置关系是平行和相交，故B 错误.对选项C ，若l α⊥，m α⊥，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故C 正确.对选项D ，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β的位置关系是平行和相交，故D 错误.故选：C3.若sin 2αα-+=，则tan(π)α-=（）A. B.C.3D.3-【答案】C 【解析】【分析】由sin 2αα-+=两边同时平方，从而利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化，【详解】由sin 2αα-+=两边同时平方，可得22sin cos 3cos 4αααα-+=，∴222222sin cos 3cos tan 34sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++，解得tan 3α=-.()tan tan 3παα∴-=-=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.23B.33C.23D.13【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA 与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.在三棱锥S ABC -中，()()20SC SA BS SC SA ++⋅-=，则ABC V 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算得到2,SC SA BS BC BA SC SA BC BA ++=+-=- ，从而说明22BC BA = ，即可求解.【详解】()()22,SC SA BS SC SA SB SC SB SA SB BC BA SC SA AC BC BA ++=+-=-+-=+-==- ，()()()()2220SC SA SB SC SA BC BA BC BA BC BA ∴+-⋅-=+⋅-=-= ，BC BA ∴=，即BC BA =，所以ABC V 是等腰三角形.故选：C6.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.38B.29C.59D.34【答案】B 【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，(),x y 代表依次摸出的卡片，{},,,x y A B C ∈，则基本事件分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C B A B B B C C A C B C C ，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,A B B A ，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：B.7.已知函数()3f x x =，若正实数a ，b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得49a b +=，再结合基本不等式“1”的代换可得解.【详解】由已知()3f x x =，定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则()f x 是R 上的奇函数，且函数()3f x x =在R 上单调递增，又()()490f a f b +-=，即()()()499f a f b f b =--=-，则49a b =-，即49a b +=，且0a >，0b >，所以()1111114144415999a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又44a b b a +≥=，即()11141554199a b a b b a ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即32a =，3b =时，等号成立，即11a b+的最小值为1.故选：A.8.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈=，则集合T 所表示的曲线长度为（）A.5πB.2πC.3D.π【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后即可求解.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，集合T 所表示的曲线长度为2π故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分.）9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π6ϕ=C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得ϕ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5ππ2ππ,π,2,sin 22632T T f x x ωϕω=-=∴==∴==+，π2sin π133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<，所以2πππ,326ϕϕ+==-，所以A 选项正确，B 选项错误.()ππππsin 2,2π,,66122k f x x x k x k ⎛⎫=--==+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，得π12x =，所以()f x 关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263k x k k x k k -+<-<+-+<<+∈Z ，当11k =时，得()f x 在54π,π63⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 选项正确.故选：ACD10.对于随机事件A 和事件B ，()0.3P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.3P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B ⋃=C.若A 与B 相互独立，则()0.12P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.7P A B ⋃=【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A ：若A 与B 互斥，则()0P AB =，故A 错误；对于B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B =+= ，故B 正确；对于C ：若A 与B 相互独立，则()()()0.12P AB P A P B ==，故C 正确；对于D ：若A 与B 相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-⨯=，故D 错误.故选：BC11.如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列结论中正确的有（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D.(a ∀∈，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面【分析】利用向量的线性运算可得()1MN a BC aBE =-+，结合向量的模的计算可判断B 的正误，结合向量夹角的计算可判断C 的正误，结合共面向量可判断D 的正误.【详解】因为四边形ABCD 正方形，故CB AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB BE ⊥.设MC AC λ=，则= BN BF λ，其中()0,1λ=，由题设可得MN MC CB BN AC CB BF λλ=++=++，()()()1BC BA CB BA BE BC BE λλλλ=-+++=-+，对于A ，当12λ=即2a =时，111222MN BC BE CE =-+= ，故A 正确；对于B ，()22222111221222MN λλλλλ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，故22MN ≥，当且仅当12λ=即2a =时等号成立，故min 22MN =，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+，而平面ABEF 的法向量为BC 且()211MN BC BC λλ⋅=-=-，故cos ,MN BC =，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+ ，故,,MN BC BE为共面向量，而MN ⊄平面BCE ，故//MN 平面BCE ，故D 正确；故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.复数2i12iz +=-的共轭复数z =______．【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解.【详解】因为2i 12i z +=-()()()()2i 12i 12i 12i ++=-+5i i 5==，所以z =i -.故答案为：i-13.已知向量()2,1,1a =- ，()1,,1b x = ，()1,2,1c =-- ，当a b ⊥ 时，向量b 在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1-【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x =，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以210a b x ⋅=-+=，所以3x =．因为()1,3,1b = ，所以b 在c 上的投影向量为()1,2,1||||b c cc c c ⋅⋅=-=-．故答案为：()1,2,1-14.已知在ABC V 中，满足)34AB AC AB ACAB AC AB AC++=+,点M 为线段AB 上的一个动点，若MA MC ⋅ 取最小值3-时，则BC 边的中线长为______．【答案】1112【解析】【分析】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，根据题意可推得||3,||4AD AN == ，2π3ADE ∠=，进一步根据MA MC ⋅ 取最小值3-时，求得对应的AC =AB =，由此即可得解.【详解】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，则//,//AD EN AN DE ，四边形ADEN为平行四边形，||||3||3,||4,||4||||AB AD AD AN AE AC AN =====，22343712πcos 23423ADE ADE +-∴∠==-⇒∠=⨯⨯，又四边形ADEN 为平行四边形，3πBAC ∴∠=，设,,0,0MA AD AC AN λμλμ==≤≥，()()296MA MC MA MA AC AD AD AN λλμλλμ⋅=⋅+=⋅+=+，由题意2963λλμ+≥-即29630λλμ++≥恒成立，且存在,R λμ∈使得29630λλμ++=成立，其次29630λλμ++=当且仅当2296303Δ361080λλλμμμ⎧⎧=-++=⎪⇔⎨⎨=-=⎩⎪=⎩，此时AC ==AB ==所以BC边的中线长为122AB AC +===.故答案为：2.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图,四边形ABCD 为矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,1PA =,E 为BC 的中点．（1）求证：PE DE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的外接球体积．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接AE ，由线面垂直得到PA DE ⊥，再由线面垂直的判定定理得到DE ⊥平面PAE ，即可证明；（2）由底面为矩形利用长方体的性质可得四棱锥外接球的半径，再由体积公式计算体积.【小问1详解】连结,AE E 为BC 的中点,1EC CD ==，∴DCE △为等腰直角三角形,则45DEC ∠=︒，同理可得45AEB ∠=︒，∴90AED ∠=︒，∴DE AE ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥，又∵AE PA A = ，,AE PA ⊂平面PAE ，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥．【小问2详解】∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，∴P ABCD -的外接球直径2R =∴2R =，故：3344ππ332V R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，∴四棱锥P ABCD -．16.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A b c -=+.（1）求角A 的值；（2）若a ABC = ，求,b c .【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】cos cos a B b A b c -=+ ，由正弦定理可得：sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B ∴-=++，即2sin cos sin B A B -=，sin 0B ≠ ，1cos 2A ∴=-，(0,π)A ∈ ，2π3A ∴=.【小问2详解】由题意，1sin 24ABC S bc A bc ===△，所以4bc =，由222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，得()2216b c a bc +=+=，所以4b c +=，解得：2b c ==.17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响.（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.【答案】（1）35（2）13【解析】【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；（2）先应用对立事件的概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件1A ，1B ，1C ，在实践考试中合格依次为2A ，2B ，2C ，设甲没有获得执业医师证书的概率为P124131()1525P P A A =-=-⨯=.【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为12A A ，12B B ，12C C ，并且1A 与2A ，1B 与2B ，1C 与2C 相互独立，则()12412525P A A =⨯=，()12321432P B B =⨯=，()12224339P C C =⨯=,由于事件12A A ，12B B ，12C C 彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++，概率为212142141(1)(1)(1)52952952934P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.18.为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】（1）0.030（2）84（3）平均数为62；方差为23【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据百分位数的计算公式即可求解，（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a +++++=，解得0.030a =．【小问2详解】成绩落在[)40,80内的频率为0.050.10.20.30.65+++=，落在[)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，显然第75百分位数[)80,90m ∈，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，所以第75百分位数为84；【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，所以10562065621020z ⨯+⨯==+；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，且ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB AA B ∠=∠=．（1）若1A BC 为等边三角形，证明：平面1AAB ⊥平面ABC ；（2）若二面角1A AB C --的平面角为π3，求以下各值：①求点1B 到平面1A CB 的距离；②求平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2217，②277【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据二面角的定义可值1CEA 为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角.【小问1详解】设AB 的中点为E ，连接CE ，1A E ，如图所示，因为ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB A AB ∠=∠=，故1cos 452BC A B AB ==⋅︒=CE AB ⊥，且112CE AB ==，1112A E AB ==，因为1A BC 为等边三角形，故12==AC BC ，故22211A C CE A E =+，即1CE A E ⊥，又AB ，1A E ⊂平面1AA B ，1A E AB E ⋂=，故CE ⊥平面1AA B ，且CE ⊂平面ABC ，故平面1AA B ⊥平面ABC ；【小问2详解】①由（1）知，CE AB ⊥，1A E AB ⊥，且平面1AA B ⋂平面ABC AB =，故1CEA ∠即二面角1A AB C --的平面角，即1π3CEA ∠=，故1CEA 为等边三角形，则111CA CE A E ===，因为CE AB ⊥，1A E AB ⊥，1A E CE E ⋂=，且CE ，1A E ⊂平面1CEA ，所以AB ⊥平面1CEA ，设线段1A E 中点为F ，则1CF A E ⊥，AB CF ⊥，又AB ，1A E ⊂平面11ABB A ，1AB A E E = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又在三角形1CEA中易知：2CF =，∴11111112133226C A BB A BB V CF S -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，又在三角形1A BC 中，由11AC =，1BC A B ==则22211113cos 24BC A B A CA BC BC AB +-∠==⋅，1sin 4A BC ∠=，则11117sin 24A BC S AB BC A BC =⋅⋅∠= ，设点1B 到平面1A CB 的距离为d ，又由1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△，可得7d =，即求点1B 到平面1A CB 的距离为2217；②由①知，AB ⊥平面1CEA ，而11//AB A B ，故11A B ⊥平面1CEA ，且1A C ⊂平面1CEA ，故111A B AC ⊥，则2211115B C A B AC =+=，设1AC 和1B C 的中点分别为M ，N ，连接MN ，BN ，BM，则11//MN A B ，11112MN A B ==，1MN AC ⊥，又因为12BC A B ==1BM A C ⊥，且MN ⊂平面11A B C ，BM ⊂平面1A BC ，故BMN ∠即二面角11B A C B --的平面角，且222211722BM BC CM BC A C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为112BB AA BC ===，故1BN B C ⊥，则222211322BN BC CN BC B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222731744cos 277212BM MN BN BMN BM MN +-+-∠==⋅⨯⨯，故平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值为277．。
2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省抚州市临川二中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若直线3x +2y−3=0和直线6x +my +1=0互相平行，则m 的值为( )A. −9B. 32C. −4D. 42.若两个非零向量a ，b 的夹角为θ，且满足|a |=2|b |，(a +3b )⊥a ，则cosθ=( )A. −23B. −13C. 13D. 233.已知直线3x−(a−2)y−2=0与直线x +ay +8=0互相垂直，则a =( )A. 1B. −3C. −1或3D. −3或14.为了得到函数y =sin (5x +π3)的图象，只要将函数y =sin5x 的图象( )A. 向左平移π15个单位长度 B. 向右平移π15个单位长度C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度5.过点(3,−2)且与椭圆4x 2+9y 2−36=0有相同焦点的椭圆方程是( )A. x 215+y 210=1 B. x 25+y 210=1 C. x 210+y 215=1 D. x 225+y 210=16.已知圆的方程为x 2+y 2−2x =0，M(x,y)为圆上任意一点，则y−2x−1的取值范围是( )A. [− 3,3]B. [−1,1]C. (−∞,− 3]∪[3,+∞)D. [1,+∞)∪(−∞,−1]7.已知圆C ：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(−m ，0)，B(m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB =90°，则m 的最大值为 ( )A. 7B. 6C. 5D. 48.已知向量a ，b 满足|a |=1，|2a +b |+|b |=4，则|a +b |的取值范围是( )A. [2−3,2]B. [1,3]C. [2− 3,2+3]D. [3,2]二、多选题：本题共3小题，共18分。
福建师大附中2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(解析版)
福建师大附中2024-2025学年第一学期高二第一次月考数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分）1. 若角α的终边上一点的坐标为(11)−，，则cos α=( )A. 1−B.C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】∵角α的终边上一点的坐标为(11)−，，它与原点的距离r=，∴cos x r α==， 故选：C.2. 下列函数中，在区间()1,2上为增函数的是 A. 1y x=B. y x =C. 21y x =−+D. 243y x x =−+【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性判断出各选项中函数在区间()1,2上的单调性，可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数1y x=在区间()1,2上为减函数； 对于B 选项，当()1,2x ∈时，y x =，则函数y x =在区间()1,2上为增函数；对于C 选项，函数21y x =−+在区间()1,2上为减函数； 对于D 选项，二次函数243y x x =−+在区间()1,2上为减函数. 故选B.【点睛】本题考查基本初等函数在区间上的单调性的判断，熟悉一次、二次、反比例函数的单调性是解题的关键，考查推理能力，属于基础题.3. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）A. 甲班众数小于乙班众数B. 乙班成绩的75百分位数为79C. 甲班的中位数为74D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值【答案】D 【解析】【分析】根据已知数据图，判断A ；根据频率分布直方图计算乙班成绩的75百分位数，判断B ；求出甲班的中位数，判断C ；求出两个班级的平均分，即可判断D.【详解】由甲、乙两个班级学生的物理成绩的数据图可知甲班众数为79， 由频率分布直方图无法准确得出乙班众数，A 错误； 对于乙班物理成绩的频率分布直方图，前三个矩形的面积之和为(0.0200.0250.030)100.75++×=， 故乙班成绩的75百分位数为80，由甲班物理成绩数据图可知，小于79分的数据有9个，79分的数据有6个， 故甲班的中位数为79，C 错误； 甲班平均数57258596768269279687882899874.820x ×++++×+×+×++×++=甲，乙班平均数估计值为10550.02650.025750.03+850.02950.00571.57= 4.8x =×+×+××+×=<乙（）， 即甲班平均数大于乙班平均数估计值，D 正确， 故选：D 4.的直三棱柱111ABC A B C −中，ABC 为等边三角形，且ABC的外接圆半径为 ） A. 12π B. 8π C. 6π D. 3π【答案】A为【解析】【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设ABC 的边长为a ，由ABC可得2πsin3a =，故a =则ABC的面积2S.可得11S AA AA ⋅==1AA =， 设三棱柱外接球的半径为R，则2221723233AA R =+=+=， 故该三棱柱外接球的表面积为24π12πR =. 故选：A ．5. 已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+−<<，将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后所得的函数图象关于y 轴对称，则关于函数()f x ，下列命题正确的是 A. 函数()f x 在区间,63ππ−上有最小值 B. 函数()f x 的一条对称轴为12x π=C. 函数()f x 在区间,63ππ−上单调递增 D. 函数()f x 的一个对称点为,03π【答案】C 【解析】【分析】根据平移关系求出函数的解析式，结合函数的奇偶性求出φ的值，利用三角函数的性质进行判断即可．【详解】将()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到2[2]233y sin x sin x ππϕϕ=++=++（）（），此时函数为偶函数， 则232k k Z ππϕπ+=+∈，， 即06k k Z πϕππϕ=−+∈− ，，＜＜，∴当0k =时，6，πϕ=−则26f x sin x π=−（）（），当63x ππ−＜＜时22233262x x πππππ−−−，＜＜，＜＜， 则此时函数()f x 在区间,63ππ − 上单调递增，且()f x 在区间,63ππ−上没有最小值， 故C 正确， 故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数性质判断，结合三角函数的平移关系求出函数的解析式是解决本题的关键．6. 如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，AC =6BC =，D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，Q 为DE 上一点，AQ GQ ⊥，当AQG 的面积取得最小值时，三棱锥Q AEF −外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 28πC. 32πD. 36π【答案】B 【解析】【分析】连接GF ，GD ，根据中位线性质得到线线平行关系，再利用线面垂直的性质得到线线垂直，设EQ x =，DQ y =，根据222AQ GQ AG +=得到()2221697x y x y +++=++，得到12AQG S AQ GQ =⋅= ，再根据基本不等式即可求出最值，再转化为长方体外接球问题即可.【详解】连接GF ，GD ，因为D ，E ，F ，G 分别为PB ，AB ，AC ，PC 的中点，的所以2//,11,//,2GF GF PA PA DE PA PA DE ==，1//,2GD BC GD BC =，1//,2EF BC EF BC =，则//GF DE ，因为PA ⊥平面ABC ， 所以GF ⊥平面ABC ，DE ⊥平面ABC ，AE ⊂ 平面ABC ，所以DE AE ⊥，所以DE GD ⊥，AF ⊂ 平面ABC ，所以GF AF ⊥．设EQ x =，DQ y =，则AQ ，GQ ，AG ==，因为AQ GQ ⊥，所以222AQ GQ AG +=，即()2221697x y x y +++=++， 整理得9xy =，所以12AQGS AQ GQ =⋅= 由基本不等式得2216924216y x xy +≥=，当且仅当43y x =，即x =y =所以当AQC S 取得最小值时，EQ =，DQ =． 因为AF EF ⊥，QE ⊥平面AEF ，所以可将三棱锥Q AEF −补形为如图所示的长方体，则三棱锥Q AEF −的外接球即该长方体的外接球，易知该长方体外接球的直径为AQ =，故三棱锥Q AEF −，故三棱锥Q AEF −外接球的表面积为4π728π×=，故选：B ．【点睛】方法点睛：求解有关三棱锥外接球的问题时，常见方法有两种：一种是补形，解题时要认真分析图形，看能否把三棱锥补形成一个正方体（长方体），若能，则正方体（长方体）的顶点均在外接球的球面上，正方体（长方体）的体对角线为外接球的直径；另一种是直接法，三棱锥中过任意两个面的外接圆圆心的垂线的交点即三棱锥外接球的球心．7. 、，外接球表面积为20π，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D.12或32【答案】C 【解析】【分析】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，取截面11AAC C ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，分析可知球心在直线1OO 上，对球心的位置进行分类讨论，求出1OO 的长，利用线面角的定义可求得结果.【详解】在正四棱台1111ABCD A B C D −中，设其上底面为正方形ABCD ，下底面为正方形1111D C B A ，设正方形ABCD 、1111D C B A 的中心分别为O 、1O ，由正四棱台的几何性质可知，1OO ⊥平面1111D C B A ，取截面11AAC C ， 则正四棱台的外接球球心E 在直线1O O 上，分以下两种情况讨论： ①E 在AC 、11A C 的同侧，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11211OO EO EO =−=−=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF AC ⊥， 因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且11AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 1AFAA F A F∠==； ②若球心E 在线段1OO 上，如下图所示：设球E 的半径为R ，则24π20πR =，可得R =由圆的几何性质可知EO AC ⊥，111EO A C ⊥，且2AC ==，11114A C B =，所以，2OE =，11EO ，所以，11213OO EO EO =+=+=， 过点A 在平面11AAC C 内作11AF A C ⊥，因为11//AC A C ，11AF A C ⊥，111OO A C ⊥，1//AF OO ∴，则四边形1AOO F 为矩形，且13AF OO ==，11O FAO ==，111211A F AO O F =−=−=， 因为1//AF OO ，则AF ⊥平面1111D C B A ，则1AA 与平面1111D C B A 所成角为1AA F ∠， 且11tan 3AFAA F A F∠==. 综上所述，正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为1或3. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=.8. 在ΔΔΔΔΔΔΔΔ中，BC CA CA AB ⋅=⋅ ，2BA BC += ，且233B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是A [2,1)− B. 2,13C. 22,3 −D. 22,3−【答案】D 【解析】【分析】由BC CA CA AB ⋅=⋅，可以得到()0CA BC BA ⋅+= ，利用平面向量加法的几何意义，可以构造平行四边形BCDA ，根据()0CA BC BA ⋅+=，可知平行四边形BCDA 是菱形，这样在Rt BOA ∆中，可以求出菱形的边长，求出BA BC ⋅的表达式，利用233B ππ≤≤，构造函数，最后求出BA BC ⋅的取值范围.【详解】()0()0BC CA CA AB CA BC AB CA BC BA ⋅=⋅⇒⋅−=⇒⋅+=，以,BC BA 为邻边作平行四.边形BCDA ，如下图：所以BC BA BD += ，因此0CA BD CA BD ⋅=⇒⊥,所以平行四边形BCDA 是菱形，设CA BD O ∩=，2BA BC +=，所以=21BD BO ⇒=，在Rt BOA ∆中， 1cos cos 2BO ABO AB ABC AB ∠=⇒=∠ 212cos ()cos 1cos cos 2ABCy ABC ABC AB A C C B B ∠==⋅∠=⋅∠+∠ ， 设211cos [,]3322x ABC ABC x ππ=∠≤∠≤∴∈− ， 所以当11[,]22x ∈− 时，'22201(1)x y y x x =⇒=>++，21x y x =+是增函数，故2[2,]3y ∈−，因此本题选D.【点睛】本题考查了平面加法的几何意义、以及平面向量数量积的取值范围问题，利用菱形的性质、余弦的升幂公式、构造函数是解题的关键.二、多选题（每小题6分，共18分）9. 一组样本数据12,,,n x x x …的平均数为()0x x ≠，标准差为s ．另一组样本数据122,,,n n n x x x ++…，的平均数为3x ，标准差为s ．两组数据合成一组新数据1212,,,,,,n n n x x x x x +⋅⋅⋅⋅⋅⋅，新数据的平均数为y ，标准差为s ′，则（ ） A. 2y x > B. 2y x = C. s s ′> D. s s ′=【答案】BC 【解析】【分析】由平均数与标准差的定义求解判断． 【详解】由题意322nx n xyx n+⋅=， 222222121()()()nn k k ns x x x x x x x nx ==−+−++−=−∑，同理222222211(3)9nnkkk n k n ns xn x xnx=+=+=−⋅=−∑∑ 两式相加得22221210nk k ns x nx ==−∑，22222221122(2)8nnkk k k ns x n x x nx ==′=−⋅=−∑∑，所以2222ns ns ′>，s s ′>． 故选：BC ．10. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点E ，F 分别为棱BC 与11D C 的中点，则下列选项正确的有（ ）A. 1//A B 平面1AECB. EF 与1BC 所成的角为30°C. ⊥EF 平面1B ACD. 平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面面积为 【答案】ABD 【解析】【分析】设点M 为棱11A D 的中点，得到四边形1AEC M 为平行四边形，利用线面平行的判定定理，证得1//A B 平面1AEC ，可判定A 正确；再得到四边形1AEC M 为菱形，求得截面的面积，可判定D 正确；设1CC 的中点为N ，证得1//EN BC ，得到NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，利用余弦定理求得cos NEF ∠，可判定B 正确；假设⊥EF 平面1B AC 正确，得到1EF B C ⊥，结合11FC B C ⊥，证得1B C ⊥平面1EFC ，得到11B C EC ⊥，进而判定C 错误．【详解】如图1所示，设点M 为棱11A D 的中点，则1MC AE ，平行且相等，所以四边形1AEC M 为平行四边形，又1//A B ME ，1⊄A B 平面1AEC ，ME ⊂平面1AEC ，所以1//A B 平面1AEC ，故A 正确； 由上可知，四边形1AEC M 为平面1AEC 截正方体1111ABCD A B C D −的截面，易得11AE EC C M MA ====，故四边形1AEC M 为菱形，又其对角线EM =，1AC =12××，故D 正确； 设1CC 的中点为N ，连接,EN FN ，因为,E N 分别为BC 与1CC 的中点，所以1//EN BC ，故NEF ∠为EF 与1BC 所成的角，又EN FN ==，EF =由余弦定理可得222cos 2EN EF NF NEF EN EF +−∠==⋅ 所以EF 与1BC 所成的角为30°，故B 正确；如图2所示，假设⊥EF 平面1B AC 正确，则1EF B C ⊥，又11FC B C ⊥，1EF FC F ∩=，所以1B C ⊥平面1EFC ，得11B C EC ⊥． 在正方形11B C CB 中，11B C EC ⊥，显然不成立，所以假设错误， 即⊥EF 平面1B AC 错误，故C 错误． 故选：ABD ．11. 已知,a b 均为正数且11a b a b+=+，下列不等式正确的有（ ）A. 23+≥B.2+≥C. 3a +≥D.23a b a+≥ 【答案】BCD 【解析】【分析】由已知条件可得1ab =，然后逐个分析判断即可 【详解】由11a b a b+=+，得a b a b ab ++=，所以()()0ab a b a b +−+=，()(1)0a b ab +−= 因为,a b 均为正数，所以1ab =，对于A ，2≥===，即ab 时取等号，所以A 错误，对于B 2+≥=，即1a b ==时取等号，所以B 正确，对于C ，因为1ab =，所以1a b=，所以13a b +=+≥=，=，即1a b ==时取等号，所以C 正确，对于D ，因为1ab =，所以22223a a ba b b b a ab++==++≥，当且仅当2a b =，即1a b ==时取等号，所以D 正确，故选：BCD三、填空题（每小题5分，共15分）12. 已知1x >−，则41x x ++的最小值为___________. 【答案】3 【解析】【分析】由1x >−可得10x +>，将41x x ++整理为4111++−+x x ，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为1x >−，所以10x +>，所以441111x x x x +=++−++13≥−=， 当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号， 所以41x x ++的最小值为3， 故答案为：3【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 13. 已知函数222log ,1()32,1x a x f x x ax a x + =++<， ①若a ＝1，f （x ）的最小值是_____；②若f （x ）恰好有2个零点，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】 ①. ﹣14 ②. 1(1,][0,)2−−+∞ 【解析】【分析】（1）对分段函数的两段函数分别求最小值，然后比较可得； （2）结合函数性质与解方程()0f x =，可得结论．【详解】（1）由题意22log 1,1()32,1x x f x x x x +≥ =++< ， 1x ≥时，2()log 1f x x =+单调递增，min ()(1)1f x f ==， 1x <时，2231()32()24f x x x x =++=+−，min 31()()24f x f =−=−， 所以32x =−时，min 1()4f x =−；（2）若0a =，则22log ,1(),1x x f x x x ≥ = <，恰有两个零点0和1，满足题意，若0a >，则1x ≥时，2()log 0f x x a a =+≥>无零点， 但1x <时，22()32f x x ax a =++有两个零点a −和2a −，满足题意，当0a <时，则1x ≥时，2()log f x x a =+是增函数，min ()0f x a =<，有一个零点， 1x <时，由22()320f x x ax a =++=得x a =−或2x a =−，因为()f x 只有两个零点，所以121a a −< −≥，解得112a −<≤−， 综上，a 的取值范围是1(1,][0,)2−−+∞ ．【点睛】本题考查求分段函数的最值，由分段函数的零点个数求参数取值范围．解题时需分类讨论，按分段函数的定义分类讨论．14. 如图所示，在△ABC 中，AB =AC =2，AD DC = ，2DE EB =，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=− ，则AE AC ⋅= ____.【答案】229【解析】【分析】过点D 做DG AF ,可得16EF AF =，15BF BC =，4155AF AB AC =+ 由45AF BC ⋅=− 可得2cos 3BAC ∠=，可得541()655AE ACAB AC AC ⋅=+⋅ ，代入可得答案. 【详解】解：如图，过点D 做DG AF ,易得：13EF BE DG BD ==,13EF DG =,12DG CD AF AC ==,故12DG AF =,可得：16EF AF =， 同理：12BF BE FG ED ==,11FG AD GC CD ==,可得15BF BC =, 1141()5555AF AB BF AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+ ,由45AF BC ⋅=− ，可得22411424()()555555AB AC AC AB AC AB AB AC +⋅−=−+⋅=− , 可得：14244422cos 5555BAC ×−×+××∠=−,可得：2cos 3BAC ∠=， 255412122122()2246655353369AE AC AF AC AB AC AC AB AC AC ⋅=⋅=+⋅=⋅+=×××+×= ,故答案为：229. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出DG AF 是解题的关键.四、解答题（共77分）15. 如图1，在平面四边形PBCD 中，已知BC PB ⊥，PD CD ⊥，6PB =，2BC =，2DP CD =，DA PB ⊥于点A .将PAD △沿AD 折起使得PA ⊥平面ABCD ，如图2，设MD PD λ=（01λ≤≤）.（1）若23λ=，求证：PB //平面MAC ； （2）若直线AM 与平面PCD，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）12λ= 【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用空间向量的坐标表示，表示出线面夹角的余弦值即可求解. 【小问1详解】在平面四边形PBCD 中，BC PB ⊥，6PB =，2BC =，所以CP =tan BPC ∠= 又PD CD ⊥，2DP CD =，所以CD =，PD =，1tan 2DPC ∠=， 所以()1123tan tan 111123BPD BPC DPC +∠=∠+∠==−×，所以45BPD ∠=°. 所以在Rt PAD △中，易得4PA AD ==. 因为DA PB ⊥，BC PB ⊥，所以//AD BC .在四棱锥P ABCD −中，连接BD ，设BD AC F ∩=，连接MF ，因为23λ=，所以2DMMP =， 又2AD DFBC FB==，所以MF PB ∥. 因为MF ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，所以PB ∥平面MAC .【小问2详解】由题意易知AB ，AD ，AP 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ， 则()2,2,0CD =− ，()0,4,4PD =−.设平面PCD 法向量为(),,n x y z =，则00n CD n PD ⋅= ⋅=，即220440x y y z −+= −= ， 令1x =，得11y z == ，即()1,1,1n = . 由MD PD λ=，得()0,4,4MD λλ=− ， 故()0,44,4M λλ−，()0,44,4AM λλ=−.由直线AM 与平面PCD，的得cos ,AM n AM n AM n⋅==，解得12λ=. 16. 如图，直三棱柱111ABC A B C −的体积为1，AB BC ⊥，2AB =，1BC =．（1）求证：11BC A C ；（2）求二面角11B A C B −−的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可；（2）法一：过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，由已知得出BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解． 【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C −的体积为：111121122V AB BC AA AA =×⋅⋅=×××=， 则11AA BC ==，四边形11BCC B 为正方形，法一：在直棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥面ABC ，11AB A B ∥， 又AB ⊂平面ABC ，则1AB BB ⊥，因为AB BC ⊥，1AB BB ⊥，1BB BC B = ，1,BB BC ⊂平面11BCC B ， 所以AB ⊥平面11BCC B ，又1BC⊂平面11BCC B ， 所以1AB BC ⊥，因为11AB A B ∥，所以11A B ⊥1BC ， 在正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，因为11BC B C ⊥，11A B ⊥1B C ，1111A B B C B = ，111,A B B C ⊂平面11A CB ， 所以1⊥BC 平面11A CB ，又1A C ⊂平面11A CB ， 所以11BC A C ．法二：直棱柱111ABC A B C −，1BB ⊥平面ABC ，又AB BC ⊥，以B 为原点，BC ，BA ，1BB 所在直线为x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0B ，()10,0,1B ，()1,0,0C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，1(1,0,1)BC =，1(1,2,1)A C =−− ，11110(2)1(1)0BC A C ⋅=×+×−+×−=，所以11BC A C ．【小问2详解】由（1）得11BC A C ，设11B C BC O = ，在11A B C 中，过O 作1OH A C ⊥于H ，连接BH ，因为1OH A C ⊥，11BC A C ，1,OH BC ⊂平面BHO ，且1OH BC O ∩=， 所以1A C ⊥平面BHO ，又BH ⊂平面BHO ，所以1AC BH ⊥，所以BHO ∠为二面角11B A C B −−的平面角， 因为11Rt Rt COH CA B ∽△△，111CA CO OH A B =，得OH = 又在Rt BOH中，BO =BH =，cos OH BHO BH ∠=， 所以二面角11B A C B −−法二：()0,0,0B ，()10,0,1B ，()C ，1(0,2,1)A ，1(1,0,1)C ，(1,0,0)BC =，1(0,2,1)BA = ，设平面1BCA 的法向量：1111(,,)n x y z = ， 则111111020n BC x n BA y z ⋅== ⋅+ ，取11y =，得1(0,1,2)n =− ，1(1,0,1)B C=−，11(0,2,0)B A = ，设面11B CA 的法向量2222(,,)n x y z = ， 则21222112020n B C x z n B A y ⋅=−= ⋅== ，取21x =，得2(1,0,1)n = ， 设二面角11B A C B −−的大小为θ，则：121212|||cos ||cos ,|||||n n n n n n θ⋅=<>==因为θ为锐角，所以二面角11B A C B −−17. 如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD=BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；． 【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．计算可得12MNcos DMN DM∠==．则异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD所成的角．计算可得CMsin CDM CD∠=．即直线CD 与平面ABD． 详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM =1，故DMAD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN．在等腰三角形DMN 中，MN =1，可得12cos MN DMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD（Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CMABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．Rt △CAD 中，CD=4．在Rt △CMD中，sin CM CDM CD ∠=． 所以，直线CD 与平面ABD点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．18. 棱柱1111ABCD A B C D −的所有棱长都等于4，60ABC ∠=°，平面11AA C C ⊥平面ABCD ，160A AC ∠=°.（1）证明：1DB AA ⊥；（2）求二面角1D AA B −−的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使//BP 平面11DA C ？若存在，求出点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =. 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合10AA BD ⋅=，即可证得1DB AA ⊥；在（2）分别求得平面1AA D 和平面1AA B 的一个法向量，解向量的夹角公式，即可求解；（3）设1CP CC λ= ，求得BP 的坐标和平面11DA C 的法向量，结合30n BP ⋅= ，求得1λ=−，即可得到结论.【详解】由题意，连接BD 交AC 于O ，则BD AC ⊥，连接1A O ，在1AAO 中，14AA =，2AO =，160AAO ∠=°，∴2221112cos 60AO AA AO AA AO =+−=°⋅22211AO A O AA +=， ∴1A O AO ⊥，由于平面11AA C C ⊥平面ABCD ，所以1A O ⊥底面ABCD ，所以以OB 、OC 、1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,2,0A −，()B ，()0,2,0C，()D −，(10,0,A ， （1）由于()BD =−，(10,2,AA =，()2,0AB = ， 则10AA BD ⋅= ，∴1BD AA ⊥.（2）设平面1AA D 的法向量()2,,n x y z = ，则21200n AA n AD ⋅= ⋅=，即0y y += + ，取1x =，可得()21n =− ， 同理，可得平面1AA B的法向量()11,n = ， 所以1212123cos 5n n n n n n ⋅⋅==− ， 又由图可知成钝角，所以二面角1D A A B −−的平面角的余弦值是35. （3）假设在直线1CC 上存在点P ，使//BP 平面11DA C ，设1CP CC λ= ，(),,P x y z ，则()(,2,0,2,x y z λ−=，得(0,22,)P λ+，(22,)BP λ−+， 设3n ⊥ 平面11DA C ，则31131n A C n DA ⊥ ⊥ ，设()3333,,n x y z = ，得到333200y = +=，不妨取()31,0,1n =− ，又因为//BP 平面11DA C ，则30n BP ⋅= 即0−=得1λ=−.即点P 在1C C 的延长线上且使1C C CP =.【点睛】本题主要考查了空间向量在线面位置关系的判定与证明中的应用，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记空间向量与线面位置关系的关系，以及线面角的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19. 已知非空集合A 是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意()f x A ∈，()f x 均存在反函数1()f x −，且1()f x A −∈；②对任意()f x A ∈，方程()f x x =均有解；③对任意()f x 、()g x A ∈，若函数()g x 为定义在R 上的一次函数，则(())f g x A ∈.（1）若1()()2x f x =，()23g x x =−，均在集合A 中，求证：函数12()log (23)h x x A =−∈； （2）若函数2()1x a f x x +=+（1x ≥）在集合A 中，求实数a 的取值范围； （3）若集合A 中的函数均为定义在R 上的一次函数，求证：存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.【答案】（1）见详解；（2）[]1,3a ∈；（3）见详解； 【解析】【分析】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③即可证明.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，可得1a ≥，变形21()1211x a a f x x x x ++==++−++，[)()1,x ∈+∞.与2的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可求解.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =）， 由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=，可得ad b bc d +=+，即11b d a c =−−，即可得证. 【详解】（1）由1()()2x f x A =∈，根据性质①可得112()log f x x A −=∈，且存在00x >，使得 1002log x x =，由()23g x x A =−∈，且为一次函数，根据性质③可得：()()112()log (23)hx x f g x A −=−=∈.（2）由性质②，方程()211x a x x x +=≥+，即a x =在[)1,x ∈+∞上有解，1a ∴≥， 由22111()12111x a x a a f x x x x x +−+++===++−+++[)()1,x ∈+∞,2>，3a >时，112a −>，且()112a f f − =， ∴此时()f x 没有反函数，即不满足性质①.2≤，13a ≤≤时，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，∴此时()f x 有反函数，即满足性质①.综上：[]1,3a ∈.（3）任取()1f x ax b =+，()2f x cx d A =+∈，由性质①,0a c ≠，不妨设,1a c ≠，（若1a =，则0b =，()1f x x =），由性质③函数()()()()12g x f f x acx ad b A ==++∈， 由性质①：()()1x bc d h x A ac −−+=∈，由性质③：()()()()()1()acx bd b bc d ad b bc d h g x x A ac ac−++−++−+===∈ 由性质②方程：()()ad b bc d x x ac+−++=， ∴ad b bc d +=+，即11b d ac =−−， ()1f x x =，可得ax b x +=，1b x a =−, ()2f x x =，可得cx d x +=，1d x c =−, 由此可知：对于任意两个函数()1f x ，()2f x ，存在相同的0x 满足：()()10020f x x f x =，∴存在一个实数0x ，使得对一切()f x A ∈，均有00()f x x =.质，难度较大.。
高二上册数学月考试卷
高二上册数学月考试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1.下列说法正确的是（）A. 一个骰子掷一次得到2的概率是1/6，则掷6次一定会出现一次2B. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元C. 随机事件发生的概率是随着试验次数的增加而改变的D. 随机事件发生的概率与试验次数无关答案：D2.在棱长均等的正三棱柱ABC-A'B'C'中，直线AB与A'C'所成角的余弦值为（）A. -√3/2B. √3/3C. -√2/2D. √2/2答案：（此处需要具体计算，但选项未直接给出，需通过空间向量或几何法求解）3.已知直线l经过点P(4,1)，且与直线2x-y-3=0垂直，则直线l的方程是（）A. x+2y-8=0B. x+2y+8=0C. 2x-y-4=0D. 2x-y+4=0答案：A4.在四面体ABCD中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在AB上，且OM=2MA，N为BC中点，则MN等于（）A. -(1/2)a-(1/2)b+(1/2)cB. (1/2)a+(1/2)b+(1/2)cC. -(1/2)a-(1/2)b-(1/2)cD. -(1/2)a+(1/2)b-(1/2)c答案：B（通过向量运算求解）5-8. （其他选择题，题目和选项略）二、填空题（每小题5分，共20分）9.已知直线l的方程为x-3y-2=0，则直线l的倾斜角为______。
答案：30°（通过斜率求解）10.在空间直角坐标系中，已知点A(1,2,3)，点B(4,5,6)，则AB的中点坐标为______。
答案：(5/2, 7/2, 9/2)（通过中点公式求解）11-12. （其他填空题，题目和答案略）三、解答题（共40分）13.已知向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2-x,2-y)，且a⊥b，a⊥c。
（1）求x+y的值；（2）求向量a+b与2a-c的夹角。
2024-2025学年广东省三校高二数学上学期第一次月考试卷及答案解析
2024-2025学年广东省三校高二数学上学期第一次月考试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.如图所示，在三棱台A B C ABC '''-中，截去三棱锥A ABC '-，则剩余部分是（）A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.组合体【答案】B 【解析】【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台A B C ABC '''-中，沿平面A BC '截去三棱锥A ABC '-，剩余的部分是以A '为顶点，四边形BCC B ''为底面的四棱锥A BCC B '''-．故选：B2.棱长为1的正四面体的表面积为（）A.B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为1的正四面体的表面积为2211341sin 6041222S =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= .故选：A.3.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为棱1111,,,A D B C BC AD 的中点，则（）A.直线HE 与直线GF 是异面直线B.直线HE 与直线1BB 是异面直线C.直线HE 与直线1CC 共面D.直线HE 与直线BF 共面【答案】C 【解析】【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，,HE GF 的延长线必过此点，可判断选项中的线线位置关系.【详解】延长1111,,,AA BB CC DD ，由正四棱台的性质可得侧棱1111,,,AA BB CC DD 的延长线交于同一点，设该交点为P .,,,E F G H 分别为棱1111,,,A D B C BC AD 的中点，延长,HE GF ，则,HE GF 的延长线必过点P ，则直线HE 与直线GF 相交于点P ；与直线1BB 相交于点P ；与直线1CC 相交于点P ；与直线BF 是异面直线.故选：C.4.底面积是π，侧面积是3π的圆锥的体积是（）A. B.C.2π3D.π3【答案】D 【解析】【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为l ，高为h ，半径为r ，则2ππS r ==底且=π3πS r l ⨯⨯=侧，故1,3r l ==h ∴===∴圆锥的体积为21π1π33⨯⨯⨯=．故选：D ．5.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11B C 中点，则异面直线1BA 与C 所成角的余弦值为（）A.10B.5C.10D.5【答案】D 【解析】【分析】连接1CD ，1D E ，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D CE ∠（或其补角），然后在1D CE 中用余弦定理即可解得.【详解】连接1CD ，1D E，如图：因为1111ABCD A B C D -为正方体可得11//CD BA ，所以1D CE ∠（或其补角）是异面直线1BA 与C 所成角，设正方体的棱长为a，1CD ===，155,22CE D E a ===，在1D CE 中，2221111cos 2CD CE D E D CE CD CE +-∠=⋅⋅22255244a a a +-=5=，所以异面直线1BA 与C 所成角的余弦值是5.故选：D.6.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,3AB A B AA ===，则该正四棱台的体积为（）A.1129B.1409C.1123D.1403【答案】A 【解析】【分析】作出截面，过点1A 作1A E AC ⊥，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.【详解】过11,AC A C 作出截面如图所示，过点1A 作1A E AC ⊥，垂足为E ，易知1A E 为正四棱台1111ABCD A B C D -的高，因为1124,AB A B ==，所以由勾股定理得11AC A C ==，又113CC AA ==，则在等腰梯形11ACC A 中，AE =，所以143A E ===，所以所求体积为11111114112((1643339ABCD A B C D V S S A E =⨯++⋅=⨯++⨯=.故选：A .7.我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈10=尺，则葛藤最少长（）A.21尺 B.25尺C.29尺D.33尺【答案】C 【解析】【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为21（尺），高为20尺，则葛藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即圆木长）为20尺，矩形的底边长为7321⨯=（尺），29=（尺）.故选：C.8.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1AA ，AB 上的中点，且E F P 点是正方形11ABB A 内的动点，若1C P ∥平面1CD EF ，则P 点的轨迹长度为（）A. B.3πC.D.π【答案】C 【解析】【分析】取11A B 的中点H ，1B B 的中点为G ，连接11,,,,GH C H C G EG HF ，可得四边形11EGC D 是平行四边形，可得1C G ∥1D E ,同理可得1C H ∥CF .可得面面平行，进而得出P 点的轨迹.【详解】如图所示，取11A B 的中点H ，1B B 的中点为G ，连接11,,,,GH C H C G EG HF ，则11A B ∥EG ，11A B EG =，且11A B ∥11C D ，1111A B C D =，可得EG ∥11C D ，且11EG C D =，可知四边形11EGC D 是平行四边形，则1C G ∥1D E ，且1C G ⊄平面1CD EF ，1D E ⊄平面1CD EF ，可得1C G ∥平面1CD EF ，同理可得：1C H ∥平面1CD EF ，且111C H C G C = ，11,C H C G ⊂平面1C GH ，可知平面1C GH ∥平面1CD EF ，又因为P 点是正方形11ABB A 内的动点，1C P ∥平面1CD EF ，所以点M 在线段GH 上，由题意可知：1111,22GH A B EF A B ==，可得GH EF ==，所以P 故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9.已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是（）A.若αβ⊥，l β⊥，则l α∥B.若m β⊥，l m ∥，l α⊂，则αβ⊥C.若αβ∥，m α⊥，l β⊂，则l m ⊥D.若m αβ= ，l α∥，则l m∥【答案】BC 【解析】【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC 的正误，根据线面平行定义可判断D 的正误.【详解】对于A ，若αβ⊥，l β⊥，则l α∥或l α⊂，故A 错误；对于B ，若m β⊥，l m ∥，则l β⊥，而l α⊂，故αβ⊥，故B 正确；对于C ，若αβ∥，m α⊥，则m β⊥，而l β⊂，故l m ⊥，故C 正确；对于D ，若m αβ= ，l α∥，则l m ∥或,l m 异面，故D 错误，故选：BC10.在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器1111ABCD A B C D -，如图（1），2AB BC ==，15A A =，在容器内灌进一些水()14D H DH =，现固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A.有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B.棱11A D 与水面所在平面平行C.水面EFGH 所在四边形的面积为定值D.当容器倾斜成如图（3）所示时，EF 的最小值为【答案】ABD 【解析】【分析】由棱柱的概述判断A ；由线面平行判定定理判断B ；计算EFGH S 可判断C ；利用基本不等式可判断D.【详解】由棱柱的定义知，选项A 正确；对于选项B ，由于11A D BC ∥，BC FG ∥，所以11A D FG ∥，且11A D 不在水面所在平面内，所以棱11A D 与水面所在平面平行，选项B 正确；对于选项C ，在图（1）中，4EFGH S FG EF BC AB =⋅=⋅=，在图（2）中，4EFGH S FG EF AB BC =⋅>⋅=，选项C 错误；对于选项D ，12212V BE BF BC =⨯⨯=⋅⋅⋅水，所以4BE BF ⋅=．22228EF BE BF BE BF =+≥⋅=，当且仅当2BE BF ==时，等号成立，所以EF 的最小值为，选项D 正确．故选：ABD ．11.半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A.BF ⊥平面EABB.该二十四等边体的体积为203C.该二十四等边体外接球的表面积为6πD.PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为2【答案】BD 【解析】【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】对于A ，假设A 对，即BF ⊥平面EAB ，于是BF AB ⊥，90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾，所以A 错误；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=，所以B 对；对于C ，取正方形A C P M 对角线交点O ，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为R =24π8πR =，所以C 错误；对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ，所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠，其正弦值为2PS PN ==，所以D 对．故选：BD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12.如下图，三角形A'B'C'是三角形ABC 的直观图，则三角形ABC 的面积是_______.【答案】2【解析】【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得ABC V 是等腰三角形，且2,2BC OA ==，所以三角形ABC 的面积12222S =⨯⨯=.故答案为:2.13.圆柱的底面半径为1，侧面积为10π，则该圆柱外接球的表面积为______．【答案】29π【解析】【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.【详解】设圆柱的高为h ，其外接球的半径为R ，由圆柱的底面半径为1，侧面积为10π，得2π10πh =，解得5h =，由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，因此2R ==，所以球的表面积为24π29πS R ==.故答案为：29π14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =.如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，ππ,63AOC BOD ∠∠==，扇形COD 的面积为π，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________.【答案】)61π【解析】【分析】首先求出DOC ∠，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点C 作CE AB ⊥交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥交AB 于点F ，即可求出,,,,,CE OE AE OF BF DF ，将扇形DOC 绕直线AB 旋转一周形成的几何体为一个半径R 的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为ππ,63AOC BOD ∠∠==，所以π2DOC ∠=，设圆的半径为R ，又2COD 1ππ22S R =⨯⨯=扇形，解得2R =（负值舍去），过点C 作CE AB ⊥交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥交AB 于点F ，则ππsin 1,cos 66CE OC OE OC ====，所以2AE R OE =-=-，同理可得1DF OF ==，将扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体为一个半径2R =的球中，上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高12h =，上面圆锥的底面半径11r =，高为1h ='，下面球缺的高21h =，下面圆锥的底面半径2r =21h ='，则上面球冠的表面积(112π2π228πs Rh ==⨯⨯-=-，下面球冠的表面积222π2π214πs Rh ==⨯⨯=，球的表面积24π16πS R ==球，上面圆锥的侧面积111ππ122πS rl ==⨯⨯='，下面圆锥的侧面积222ππ2S r l ==='，所以几何体的表面积())''121116π8π4π2π61πS S S S S S =--++=---++=球.故答案为：)61π+.【点睛】关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点.（1）求证：B ，C ，H ，G 四点共面；（2）求证：平面//BCHG 平面1A EF ；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）证明出//GH BC ，得到四点共面；（2）先得到1//A E BG ，//GH EF ，证明出线面平行，面面平行.【小问1详解】∵G ，H 分别是11A B ，11A C 的中点，∴GH 是111A B C △的中位线，∴11//GH B C ，又在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，∴//GH BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面.【小问2详解】∵在三棱柱111ABC A B C -中，11//A B AB ，11A B AB =，∴1//A G EB ，1111122A G AB AB EB ===，∴四边形1A EBG 是平行四边形，∴1//A E BG ，∵1A E ⊂平面1A EF ，BG ⊂/平面1A EF ，∴//BG 平面1A EF .又E ，F 是AB ，AC 的中点，所以//EF BC ，又//GH BC .所以//GH EF ，∵EF ⊂平面1A EF ，GH ⊂/平面1A EF ，∴//GH 平面1A EF .又BG GH G = ，,BG GH ⊂平面BCHG ，所以平面//BCHG 平面1A EF .16.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若2PA AM BM ===，Q 为PB 的中点，求三棱锥Q ABM -的体积；（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.【答案】（1）23（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先得到1433P AMB AMB V S PA -=⋅= ，根据Q 为PB 的中点，故1223Q ABM P AMB V V --==；（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM ⊥平面PAM .，故BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，从而得到线面垂直；（3）由(1)知AN ⊥平面PBM ，故AN ⊥PB ，又AQ ⊥PB ，故PB ⊥平面ANQ ，得到答案.【小问1详解】因为AB 为⊙O 的直径，所以AM ⊥BM ，又2AM BM ==，故122AMB S AM BM =⋅= ，又PA 垂直于⊙O 所在的平面，2PA =，故11422333P AMB AMB V S PA -=⋅=⨯⨯= ，因为Q 为PB 的中点，所以11422233Q ABM P AMB V V --==⨯=.【小问2详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，BM ⊂平面ABM ，∴PA ⊥BM .又∵PA AM A = ，PA ，AM ⊂平面PAM ，∴BM ⊥平面PAM .又AN ⊂平面PAM ，∴BM ⊥AN .又AN ⊥PM ，且BM PM M = ，BM ，PM ⊂平面PBM ，∴AN ⊥平面PBM .【小问3详解】由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，AN ，AQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥．（1）证明：三棱锥A BCD -为鳖臑；（2）若E 为AD 上一点，点,P Q 分别为,BC BE 的中点．平面DPQ 与平面ACD 的交线为l ．①证明：直线//PQ 平面ACD ；②判断PQ 与l 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.【小问1详解】∵BC CD ⊥，∴BCD △为直角三角形，∵AB ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，⊂BC 平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB BC ⊥，AB BD ⊥，AB CD ⊥，∴ABC V 和ABD △为直角三角形，∵BC AB B ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面ABC ，又∵AC ⊂平面ABC ，∴CD AD ⊥，∴ACD 为直角三角形，∴三棱锥A BCD -为鳖曘.【小问2详解】①连接CE ，∵点,P Q 分别为,BC BE 的中点，∴//PQ CE ，且PQ ⊄平面ACD ，CE ⊂平面ACD ，所以直线//PQ 平面ACD ，②平行，证明：//PQ 平面ACD ，PQ ⊂平面DPQ ，平面DPQ ⋂平面ACD =l ，所以//PQ l .18.一块四棱锥木块如图所示，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，且60BAD ∠=︒，224AB BC SD ===.（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱SA ，在木料表面该怎样画线？并说明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【答案】（1）,ED EB 即为要画的线，理由见解析；（2（3）5【解析】【分析】（1）要使截面与SA 平行，考虑构造线线平行，取SC 的中点E ，取ABCD 的对称中心O ,连接OE ,证明//SA OE 即得截面BDE ；（2）分别计算BDE 的三边，再利用三角形面积公式计算即得；（3）利用等体积求出点C 到平面BDE 的距离，再由线面所成角的定义即可求得.【小问1详解】如图，取SC 的中点E ，连接,,ED EB ,则,ED EB 即为要画的线.理由如下：连接BD 与AC 交于点O ，连接OE .因四边形ABCD 为平行四边形，则点O 为AC 的中点，故//SA OE ,又因SA ⊄平面BDE ,OE ⊂平面BDE ,故有SA ∥平面BDE ；【小问2详解】如图中，过点E 作EF DC ⊥于点F ，连接BF ,因SD ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ，则SD CD ⊥,故//EF SD ,⊥EF 平面ABCD ,112EF SD ==,12DE SC ===因12,60,22CF DC DCB BC ==∠== ，则2BF =,因BF ⊂平面ABCD ，则EF FB ⊥，故BE ==,又由余弦定理，22224224cos6012BD =+-⨯⨯=，故得BD =.又DE DB =，O 为BD 中点，则OE BD ⊥，于是截面的面积为12BDE S =⨯ ；【小问3详解】过点C 作CH ⊥平面BDE ，交平面BDE 于点H ,连接EH,则CEH ∠即直线SC 与截面BDE 所成的角.由E BCD C BED V V --=可得，1133BCD BED S EF S CH ⨯=⨯ ,即得：124sin 6012BCD BED S EF CH S ⨯⨯⨯⨯==，则sin 5CH CEH EC ∠===,即直线SC 与平面BDE所成角的正弦值为5.【点睛】思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.19.空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为π2π3π3-⨯=.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点A 的曲率为2π3，M 为1CC 的中点，且AB AC =.（1）判断ABC V 的形状，并说明理由；（2）若124A A AB ==，求点B 到平面1AB M 的距离；（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有：2D L M -+=.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【答案】（1）ABC V 为等边三角形，理由见解析（2）5（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得1AA AC ⊥，1AA AB ⊥，即可根据曲率的定义求解，（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.【小问1详解】因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，,AC AB ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥，1AA AB ⊥，所以点A 的曲率为π2ππ2232BAC -⨯-∠=，得π3BAC ∠=，因为AB AC =，所以ABC V 为等边三角形.【小问2详解】取BC 中点D ，连接AD 、AM ，因为D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，因为1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以1BB AD ⊥，因为1BB BC B = ，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以AD ⊥平面11BB C C ；所以AD 是三棱锥1A BB M -的高.设点B 到平面1AB M 的距离为h ，则有11B AB M A BB M V V --=，即11AB M BB M S h S AD =⋅.在11Rt AA B △中有1AB ==，同理计算得1AM B M BM ===，AD =.所以112AB M S =⨯=，114242BB M S =⨯⨯=，所以455h ==.【小问3详解】证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1,2,,M ⋅⋅⋅号，设第i 号()1i M ≤≤多边形有i L 条边，则多面体共有122M L L L L ++⋅⋅⋅+=条棱，由题意，多面体共有12222M L L L D M L M ++⋅⋅⋅+=-+=-+个顶点，i 号多边形的内角之和为π2πi L -，所以所有多边形的内角之和为()12π2πM L L L M ++⋅⋅⋅+-，所以多面体的总曲率为()122ππ2πM D L L L M ⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎣⎦()12122π2π2π4π2M M L L L M L L L M ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎡⎤=-+-++⋅⋅⋅+-= ⎪⎣⎦⎝⎭.所以简单多面体的总曲率为4π.。
高二上学期数学第一次月考试卷与答案解析
高二上学期数学第一次月考卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第1.1~2.1章（直线与圆+椭圆）。
5．难度系数：0.68。
第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．点()1,1到直线3420x y +−=的距离是（ ） A ．1 B ．2 CD ．32．已知方程2212x y m m +=−表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,)+∞D ．(0,1)(1,2)3．圆()2249x y −+=和圆()2234x y +−=的公切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．已知实数x ，y 满足方程y yx的最大值为（ ） A ．0B ．1CD ．25．某同学数星星的时候，突然想到了哈雷彗星：信息技术老师给他找了一幅哈雷彗星图片和轨道图片，地理老师告诉他哈雷彗星近日点距离太阳约0.6A.U.，将于2023年12月9日出现的远日点距离太阳约35A.U.（A.U.是天文单位，天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，1A.U.149597870=千米）.物理老师告诉他该彗星的周期约76年，质量约1510kg.化学老师说：彗核的成分以水冰为主，占70%，它只是个很松散的大雪堆而已，数学老师问：哈雷彗星的轨迹可以近似看成椭圆，那么该椭圆的离心率约是（ ）试卷第2页，共4页A ．0.03B ．0.97C ．0.83D ．0.776．已知直线l ：10x my m −+−=，则下列说法不正确的是（ ） A ．直线l 恒过点()1,1B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 的斜率可以等于0D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =−7．若圆222610x y x y +−−+=上恰有三点到直线y kx =的距离为2，则k 的值为（ ）A ．12B ．34C ．43D ．28．已知椭圆2214x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，当12F PF 的面积为1时，12PF PF ⋅ 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．12二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +−=，下列结论正确的是（ ） A ．若12//l l ，则6a = B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为74C ．若12l l ⊥，则323a =D ．若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交10．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（ ）A ．1y =B ．2x =C ．3450x y −−=D ．4350x y −−=11．已知椭圆2221(03)9x y b b +=<<的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的最小值为4，则（ ） AB ．22AF BF +的最大值为8C D ．椭圆上不存在点P ，使得1290F PF ∠=第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
浙江省宁波市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷含答案
2026届高二数学秋季月考卷第一期（答案在最后）考试范围：大部分学校已经学习过的内容：考试时间：120分钟：满分：150分注意事项：1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量()2,4a =，()1,1b =- ，则2a b -=A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9【答案】A 【解析】【详解】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A.考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2.已知直线12:320,:310l x y l x ay -+=--=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（）A.1B.12C.12-D.1-【答案】D 【解析】【分析】对a 进行分类讨论，代入121k k =-g 求解即可.【详解】当0a =时，直线1:320l x y -+=的斜率113k =，直线2:310l x ay --=的斜率不存在，此时两条直线不垂直；当0a ≠时，直线1:320l x y -+=的斜率113k =，直线2:310l x ay --=的斜率23k a=，因为12l l ⊥，所以121k k =-g ，所以13113a a⨯==-，解得：1a =-.故选：D.3.已知m 是实常数，若方程22240x y x y m ++++=表示的曲线是圆，则m 的取值范围为（）A.(),20-∞ B.(),5-∞ C.()5,+∞ D.()20,+∞【答案】B 【解析】【分析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.【详解】由于方程22240x y x y m ++++=表示的曲线为圆，则222440m +->，解得5m <.因此，实数m 的取值范围是(),5-∞.故选：B.【点睛】本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.4.设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A.若a b ，与α所成的角相等，则∥B.若a αβ∥，b∥，αβ∥，则∥C.若a b a b αβ⊂⊂ ，，，则αβ∥D.若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥r r【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；B 项中两直线a b ，还可能相交或异面,错误；C 项两平面αβ，还可能是相交平面，错误；故选D.5.直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M 、N 两点，若MN =，则k 等于（）A.0B.23-C.23-或0 D.34-或0【答案】D 【解析】【分析】求出MN 到圆心的距离和圆心(3,2)到直线3y kx =+的距离，即可求出k 的值.【详解】由题意，∵MN =，∴MN 到圆心的距离为1=，∴圆心(3,2)到直线3y kx =+的距离为：1=，即229611k k k ++=+.解得：0k =或34-，故选：D.6.过点()1,3P 作直线l ，若l 经过点(),0A a 和()0,B b ，且,a b 均为正整数，则这样的直线l 可以作出（），A.1条B.2条C.3条D.无数条【答案】B 【解析】【分析】假设直线截距式方程，代入已知点坐标可得,a b 之间关系，根据,a b 为正整数可分析得到结果.【详解】,a b 均为正整数，∴可设直线:1x yl a b+=，将()1,3P 代入直线方程得：131a b+=，当3b =时，10a =，方程无解，3331333b b a b b b -+∴===+---，a *∈N ，303b ≠-，33b *∴∈-N ，31b ∴-=或33b -=，44b a =⎧∴⎨=⎩或62b a =⎧⎨=⎩，即满足题意的直线l 方程有2条.故选：B.7.已知长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，若棱AB 上存在点P ，使得1D P PC ⊥，则AD 的取值范围是（）A.[)1,2 B.(C.(]0,1 D.()0,2【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设AD a =，求出1D P 、CP，利用10D P CP ⋅= ，求出a 的范围．【详解】解：如图建立坐标系，设(0)AD a a =>，(02)AP x x =<<，则(),,2P a x ，()0,2,2C ，()10,0,0D ，∴()1,,2D P a x = ，(),2,0CP a x =-，1D P PC ⊥ ，∴10D P CP ⋅=，即2(2)0a x x +-=，所以a =，当02x <<时，所以(]2(1)10,1x --+∈，所以(]0,1a ∈．故选：C ．8.已知点P 在直线3y x =--上运动，M 是圆221x y +=上的动点，N 是圆22(9)(2)16x y -+-=上的动点，则PM PN +的最小值为（）A.13B.11C.9D.8【答案】D 【解析】【分析】根据圆的性质可得5PM PN PO PC +≥+-，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.【详解】如图所示，圆22(9)(2)16x y -+-=的圆心为()9,2C ，半径为4，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知44,11PC PN PC PO PM PO -≤≤+-≤≤+，所以5PM PN PO PC +≥+-，故求PM PN +的最小值，转化为求PC PO +的最小值，设()0,0O 关于直线3y x =--的对称点为G ，设G 坐标为(),m n ，则1322nm n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得33m n =-⎧⎨=-⎩，故()3,3G --，因为PO PG =，可得13PO PC PG PC GC +=+≥=，当,,P G C 三点共线时，等号成立，所以PM PN +的最小值为1358-=.故选：D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.三条直线0x y +=，0x y -=，3x ay +=构成三角形，则a 的值不能为（）A.1B.2C.1-D.－2【答案】AC【解析】【分析】由三条直线可构成三角形可知，直线3x ay +=不经过两条直线的交点，且与两条直线任意一条不平行.【详解】直线0x y +=与0x y -=都经过原点，而无论a 为何值，直线3x ay +=总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线3x ay +=与另两条直线不平行，所以1a ≠±．故选：AC.10.正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A.直线1AD 与直线11A C 所成角为3π B.直线1AD 与平面ABCD 所成角为3πC.二面角1D AB D --的大小为4π D.平面11AB D ⊥平面11B D C【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1AC B ,利用1ABC 为正三角形，即可判断；选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=，即可判断；选项C ：二面角1D AB D --的平面角为14DAD π∠=，即可判断；选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，可以判断出AOC ∠即为二面角11A B D C --的平面角.在三角形ACO 中，求出各边长，可以判断出90AOC ∠≠︒，即可判断.【详解】选项A ：先判断出1AD 与11A C 所成角即为1BC 与11A C 所成角，1ABC 为正三角形，所以该角为3π；故A 正确.选项B ：1AD 与平面ABCD 所成角为14DAD π∠=；故B 错误.选项C ：二面角1D AB D --的平面角为14DAD π∠=；故C 正确.选项D ：设1111D B AC O = ，连结,,AO CO AC ，因为11AD AB =，所以11AO B D ⊥.同理可证：11CO B D ⊥,所以AOC ∠即为二面角11A B D C --的平面角。
吉林省2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷含答案
2024—2025学年上学期高二年级数学学科阶段验收考试试卷（答案在最后）考试时间：90分钟满分：120分命题人：一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则下列说法不正确的是（）A.事件{}1,2P =是随机事件B.事件{}0,1,2Q =是必然事件C.事件{}1,2M =--是不可能事件D.事件{}1,0-是随机事件【答案】D 【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念判断即可.【详解】随机试验的样本空间为{}Ω0,1,2=，则事件{}1,2P =是随机事件，故A 正确；事件{}0,1,2Q =是必然事件，故B 正确；事件{}1,2M =--是不可能事件，故C 正确；事件{}1,0-是不可能事件，故D 错误.故选：D2.已知点()1,0A ，(1,B -，则直线AB 的倾斜角为（）A.5π6B.2π3C.π3 D.π6【答案】B 【解析】【分析】由两点坐标求出斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求【详解】0tan 11AB k α-===--，()0,πα∈，故直线AB 的倾斜角2π3α=.故选：B3.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（）A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【答案】A 【解析】【分析】由独立事件概率乘法公式可得.【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件123,,A A A ，由题知()()()()()()1231230.6,0.4P A P A P A P A P A P A ======，则3人中至少有2人投中的概率为：()()()()123123123123P P A A A P A A A P A A A P A A A =+++320.630.60.40.648=+⨯⨯=.故选：A.4.设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()131,,+252P A P B P A B ===，则()P AB =（）A.13B.15C.25D.110【答案】D 【解析】【分析】先利用和事件的概率公式求出()P AB ，然后利用()()()P AB P A P AB =-求解即可.【详解】因为1()2P A =，3()5P B =，所以()251,()2P A P B ==，又()()()()()122512P A B P A P B P AB P AB +=+-=+-=，所以()25P AB =，所以()()()1102512P P P A AB A B ==-=-.故选：D.5.若()2,2,1A ，()0,0,1B ，()2,0,0C ，则点A 到直线BC 的距离为（）A.5B.5C.5D.5【答案】A 【解析】【分析】由题意得()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =-，再根据点线距离的向量公式即可求解.【详解】()2,2,0BA = ，()2,0,1BC =- ，则BA 在BC上的投影向量的模为BA BC BC⋅= 则点A 到直线BC5=．故选：A.6.某乒乓球队在长春训练基地进行封闭式集训，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流．．．．发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为14，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．则该局打4个球甲赢的概率为（）A.13B.16C.112 D.524【答案】C 【解析】【分析】由于连胜两局者赢，则可写出四局的结果，计算即可.【详解】由于连胜两局者赢，甲先发球可分为：该局：第一个球甲赢、第二个球乙赢、第三个球甲赢、第四个球甲赢，则概率为22133231441⨯⨯⨯=；故选：C.7.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T 表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（）A.13B.12C.23D.35【答案】B 【解析】【分析】根据6根算筹，分为五类情况：51,42,33,24,15+++++，逐一分类求解满足要求的两位数，即可求解概率.【详解】根据题意可知：一共6根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为51,42,33,24,15+++++一共五类情况；第一类：51+，即十位用5根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是5或者9，个位为1，则两位数为51或者91；第二类：42+，即十位用4根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是4或者8，个位可能为2或者6，故两位数可能42，46，82，86；第三类：33+，即十位用3根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是3或者7，个位可能为3或者7，故两位数可能是33，37，73，77；第四类：24+，即十位用2根算筹，个位用4根算筹，那么十位为2或6，个位可能为4或者8，则该两位数为24或者28或者64或者68，第五类：15+，即十位用1根算筹，个位用5根算筹，那十位是1，个位为5或者9，则两位数为15或者19；综上可知：用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有：15，19，24，28，33，37，42，46，51，64，68，73，77，82，86，91共计16个，则不小于50的有：51，64，68，73，77，82，86，91共计8个，故概率为81=162，故选：B.8.正三棱柱111ABC A B C -中，12,3,AB AA O ==为BC 的中点，M 为棱11B C 上的动点，N 为棱AM上的动点，且MN MOMO MA=，则线段MN 长度的取值范围为（）A.4⎡⎫⎢⎣⎭B.,27⎢⎣⎦C.34747⎢⎣⎦D.【答案】B 【解析】【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱11ABC A B C -中,O 为BC 的中点，取11B C 中点Q ，连接OQ ，如图，以O 为原点，,,OC OA OQ 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,,1,0,,1,0,O A B C -，因为M 是棱11B C上一动点，设(M a ，且[1,1]a ∈-，所以(()0OM OA a ⋅=⋅=，则OA OM ⊥，因为ON AM ⊥，且MN MOMO MA=所以在直角三角形OMA 中可得：~OMN AMO 即222MO MN MA===，于是令tt =∈，2233tt t t-==-，t ∈，又符合函数3=-y t t 为增增符合，所以在t ∈上为增函数，所以当t =min 32t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN 长度的最小值为62，当t =时，max 37t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，即线段MN长度的最大值为7，故选：B.【点睛】关键点睛：1.找到~OMN AMO ，再利用函数单调性求出最值.2.建系，设出动点(M a ，利用空间向量法求出ON AM ⊥，再结合线线关系求线段MN 的表达式，利用函数求最值即可.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题中正确的是（）A.若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，则这两个向量可能相等；B.在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，BD ⊥平面11ACC A ；C.对于空间三个非零向量,,a b c，一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 成立；D.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是棱11A D ，AB 的中点，则异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25．【答案】ABD 【解析】【分析】由相等向量的概念即可判断选项A ，利用线面垂直的判定定理证明即可判断选项B ，由数量积的性质即可判断选项C ，建立空间直角坐标系利用向量的坐标即可计算异面直线MD 与NC 所成角的余弦值判断选项D.【详解】若表示两个空间向量的有向线段的终点不同，而当两向量方向和长度相等时，这两个向量相等；故A 正确；在所有棱长都相等的直平行六面体1111ABCD A B C D -中，即直棱柱1111ABCD A B C D -中底面为菱形，因为BD AC ⊥，1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又1AA AC A = ，所以BD ⊥平面11ACC A ；故B 正确；对于空间三个非零向量,,a b c ，有()a b c c λ⋅⋅= ，()a b c a μ⋅⋅=，所以不一定有()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅成立，故C错误；建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,2M ，()2,1,0N ，()0,2,0C ，所以()1,0,2DM = ，()2,1,0NC =-，所以2cos ,5DM NC ==-，所以异面直线MD 与NC 所成角的余弦值为25，故D 正确.故选：ABD.10.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x 表示第一次抛掷骰子的点数，数字y 表示第二次抛掷骰子的点数，用(),x y 表示一次试验的结果．记事件A =“7x y +=”，事件B =“3x ≤”，事件C =“()21N xy k k *=-∈”，则（）A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】用列举法列出所有可能结果，再结合互斥事件、对立事件、相互独立事件及古典概型的概率公式计算可得．【详解】依题意依次抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6636⨯=个；其中事件A =“7x y +=”包含的样本点有：()1,6，()2,5，()3,4，()4,3，()5,2，()6,1共6个；事件C =“()*21Nxy k k =-∈”，包含的样本点有：()1,1，()3,3，()5,5，()1,3，()1,5，()3,1，()3,5，()5,1，()5,3共9个，事件B =“3x ≤”，包含的样本点有：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()3,5，()3,6共18个，对于A ，()91364P C ==，故A 正确；对于B ，事件AB 包含的样本点有()1,6，()2,5，()3,4共3个，所以()()()6118131,,3663623612P A P B P AB ======，所以()()()P A P B P AB =，所以A 与B 相互独立，故B 正确；对于C ，A C U 包含的样本点个数满足691536+=<，所以A 与C 不为对立事件，故C 错误；对于D ，事件BC 包含的样本点有：()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，共6个，而()14P C =，()12P B =，()61366P BC ==，从而()()()1816P P P BC B C ≠==，所以B 与C 不相互独立，故D 错误.故选：AB.11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1BB 上一点，且12B P PB =，Q 为正方形11BB C C 内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（）A.若1D Q ∥平面1A PD ，则动点Q 的轨迹是一条长为3的线段B.存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD C.三棱锥1Q A PD -的最大体积为518D.若12D Q =，且1D Q 与平面1A PD 所成的角为θ，则sin θ【答案】ACD 【解析】【分析】在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，证得平面//DEF 平面1A PD ，进而得到1//D Q 平面1A PD ，可判定A 正确；以1D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面1A PD 的一个法向量(3,2,3)m =-，根据1D Q m λ= ，得出矛盾，可判定B 不正确；利用向量的数量积的运算及三角形的面积公式，求得16A PD S =,在求得点Q 到平面1A PD的最大距离max d =，结合体积公式，可判定C 正确；根据题意，求得点点Q 的轨迹，结合线面角的公式，求得11(,1,)22Q 时，取得最大值，进而可判定D 正确.【详解】对于A 中，如图所示，分别在111,BC CC 取点,E F ，使得1112,2C E B E C F CF ==，可得1//EF B C ，因为11//A D B C ，所以1//EF A D ，因为1A D ⊂平面1A PD ，EF ⊄平面1A PD ，所以//EF 平面1A PD ，又由11//D F A P ，且1A P ⊂平面1A PD ，1D F ⊄平面1A PD ，所以1//D F 平面1A PD ，又因为1EF D F F ⋂=，且1,EF D F ⊂平面DEF ，所以平面//DEF 平面1A PD ，且平面DEF ⋂平面11BCC B EF =，若1//D Q 平面1A PD ，则动点Q 的轨迹为线段EF ，且223EF =，所以A 正确；对于B 中，以1D 为原点，以11111,,D A D C D D 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得12(1,0,0),(0,0,1),(1,1,)3A D P ，则112(1,0,1),(0,1,)3A D A P =-= ，设(,1,)(01,01)Q x z x z ≤≤≤≤，可得1(,1,)D Q x z =，设(,,)m a b c = 是平面1A PD 的一个法向量，则110203m A D a c m A P b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3c =，可得3,2z b ==-，所以(3,2,3)m =-，若1D Q ⊥平面1A PD ，则1//D Q m，所以存在R λ∈，使得1D Q m λ= ，则3[0,1]2x z ==-∉，所以不存在点Q ，使得1D Q ⊥平面1A PD ，所以B 错误；对于C 中，由112(1,0,1),(0,1,3A D A P =-=，可得1111132,33A D A P A D A P ==⋅=，则11cos ,A D A P =11sin ,A D A P = ，所以111111sin 2236A PD S A D A P DA P =⋅∠=⨯ ,要使得三棱锥1Q A PD -的体积最大，只需点Q 到平面1A PD 的距离最大，由1(1,1,)AQ x z =- ，可得点Q 到平面1A PD的距离1)5A Q m d x z m ⋅==+-，因为01,01x z ≤≤≤≤，所以当0x z +=时，即点Q 与点1C重合时，可得max d =，所以三棱锥1Q A PD -的最大体积为111533618A PD S =⋅=，所以C 正确；对于D 中，在正方体中，可得11D C ⊥平面11BCC B ，且1C Q ⊂平面11BCC B ，所以111D C C Q ⊥，则12C Q ==，所以点Q 的轨迹是以1C为圆心，以2为半径的圆弧，其圆心角为π2，则1(,0,)C Q x z =，所以12C Q == ，即2212x z +=，又由1(,1,)D Q x z =，设1D Q 与平面1A PD 所成的角θ，所以111sin cos ,m D Q m D Q m D Qθ⋅===，因为2212x z +=，可得222()2()x z x z +≤+，当且仅当x z =时，等号成立，所以1x z +≤，即12x z ==时，1D Q 与平面1A PD 所成的角最大值，sin θ=D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略：1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，第14题第一个空2分，第二个空3分，共15分．12.已知()3,2,1a =- ，()2,1,2b =r，当()()2ka b a b +⊥- 时，实数k 的值为____________．【答案】6【解析】【分析】由题意依次算得22,,a b a b ⋅ 的值，然后根据()()2ka b a b +⊥-列方程即可求解.【详解】因为()3,2,1a =-，()2,1,2b = ，所以()2294114,4149,3221126a ba b =++==++=⋅=⋅+⋅+-⋅=，因为()()2ka b a b +⊥-，所以()()()()22221214186122120ka b a b ka b k a b k k k +⋅-=-+-⋅=-+-=-=，解得6k =.故答案为：6.13.柜子里有3双不同的鞋子，分别用121212,,,,,a a b b c c 表示6只鞋，从中有放回地．．．．取出2只，记事件M =“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件M 的概率是____________．【答案】13【解析】【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解.【详解】设111,,a b c 表示三只左鞋，222,,a b c 表示三只右鞋，则从中有放回取出2只的所有可能为：()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,b a b a b b b b b c b c ()()()()()()111211121112,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ()()()()()()212221222122,,,,,,,,,,,c a c a c b c b c c c c ，共计36种，其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种，()121363P M ∴==.故答案为：13.14.已知正四面体ABCD 的棱切球1T （正四面体的中心与球心重合，六条棱与球面相切）的半径为1，则该正四面体的内切球2T 的半径为______；若动点,M N 分别在1T 与2T 的球面上运动，且满足MN x AB y AC z AD =++，则2x y z ++的最大值为______．【答案】①.3②.26+【解析】【分析】第一空：将正四面体ABCD 放入正方体中，由等体积法可知，只需求出正四面体的表面积以及体积即可列式求解该正四面体的内切球2T 的半径；第二空：由不等式可知，()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，只需求出max MN 、minAT 即可.【详解】第一空：连接,AD EF ，设交点为M ，则M 是AD 中点，如图所示，将正四面体ABCD 放入正方体中，由对称性可知正方体中心就是正四面体ABCD 的中心，设正方体棱长为2a ，则棱切球球心到正四面体ABCD 的六条棱的距离都等于a ，设正四面体ABCD 的棱切球1T 的半径为1r ，所以11r a ==，正方体棱长为2，AD =，而正四面体ABCD 的体积为1182224222323A BCD V -⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，正四面体ABCD的表面积为(21422A BCD S -=⨯⨯⨯=设该正四面体的内切球2T 的半径为r，则由等体积法可知，1833⨯=，解得33r =；第二空：取任意一点T ，使得()22x y z AT MN xAB y AC z AD xAO y AC z AD ++==++=++，所以点T 在面OCD 内（其中O 是AB 中点），所以()13213x y z AT MN r r ++=≤+=+，而点A 到平面OCD 的距离为d AO ==所以()1232226x y z AT x y z x y z AT+++++≤++=≤+，等号成立当且仅当2x y z ++是正数且,T O重合且13MN =+ ，综上所述，2x y z ++的最大值为26+.故答案为：33，2626+.【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出()maxmin222MN x y z AT MN x y z x y z AT AT AT++++≤++==≤，由此即可顺利得解.四、解答题：本大题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，,M N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2A M MB B N NC ==．设1,,AB a AC b AA c ===．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，求异面直线MN 与AC 的夹角的余弦值．【答案】（1）122333a b c-++（2）11【解析】【分析】（1）由空间向量的基本定理求解即可；（2）先用基向量,,a b c 表示AC 与MN ，然后求解MN 与AC 以及数量积MN AC ⋅，然后计算夹角的余弦值即可.【小问1详解】由图可得：()()1111111112123333MN MB BB B N A B AA B C AB AA AA AC AB=++=++=-++- 1122122333333AB AC AA a b c =-++=-++.【小问2详解】由（1）可知122333MN a b c =-++ ，因为11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=∠=∠====，所以0a b ⋅=，12a c ⋅= ，12b c ⋅= ，2222212214444814424110333999999999999MN a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=-++=++-⋅-⋅+⋅=++--+= ⎪⎝⎭ ，所以113MN = ，AC b = ，1AC =，212212221·133333333MN AC a b c b a b b c b ⎛⎫⋅=-++=-⋅++⋅=+= ⎪⎝⎭所以cos ,11MN AC MN AC MN AC⋅==，所以异面直线MN 与AC的夹角的余弦值为11.16.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，,E F 分别为1BB ，1CC的中点．（1）证明：1A F ∥平面CDE ；（2）求三棱锥1A CDE -的体积；（3）求直线1A E 与平面CDE 所成的角．【答案】（1）证明过程见解析（2）16（3）π6【解析】【分析】（1）借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量1A F与平面CDE 的法向量后，借助空间向量计算即可得；（2）求出空间向量1A E与平面CDE 的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，进一步求得三棱锥的高以及底面积即可得解.（3）由（2）可知直线1A E 与平面CDE 所成的角的正弦值，从而即可得解.【小问1详解】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ，AD ，1AA 两两垂直，且122AA AB ==，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,2A.因为E ，F 分别为11,BB CC 的中点，所以()1,0,1E ，()1,1,1F ，则()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =- ，()11,1,1A F =-，设平面CDE 的法向量为(),,m x y z = ，则00CD m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则有0x =，1z =，即()0,1,1m =，因为()11011110A F m ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以1A F m ⊥ ，又1⊄A F 平面CDE ，所以1//A F 平面CDE ；【小问2详解】由（1）可知，()11,0,1A E =-，1111cos ,2A E m A E m A E m⋅==-，所以1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12.注意到1A E =所以点1A 到平面CDE122=，而()1,0,0CD =- ，()0,1,1CE =-，从而0CD CE =⋅，1,CD CE == 所以CD CE ⊥，三角形CDE的面积为1122⨯=，所以三棱锥1A CDE -的体积为113226⨯⨯=；【小问3详解】由（2）可知，1A E 与平面CDE 所成角的正弦值为12，所以直线1A E 与平面CDE 所成的角为π6.17.2023年10月31日，东北师大附中以“邂逅数学之美，闪耀科技之光”为主题的第17届科技节在自由、青华两校区开幕.在科技节中数学教研室组织开展了“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表：游戏一游戏二游戏三箱子中球的颜色和数量大小质地完全相同的红球4个，白球2个（红球编号为“1，2，3，4”，白球编号为“5，6”）取球规则取出一个球有放回地依次取出两个球不放回地依次取出两个球获胜规则取到白球获胜取到两个红球获胜编号之和不超过m 获胜（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；（2）甲同学先玩了游戏一，当m 为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大．【答案】（1）13，49（2）m 可能取值为7,8,9,10,11【解析】【分析】（1）利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解；（2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解.【小问1详解】设事件A 表示“游戏一获胜”，B 表示“游戏二获胜”，C 表示“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为{}1Ω1,2,3,4,5,6=，则()1Ω6n =，()2n A =，()2163P A ∴==，所以游戏一获胜的概率为13．游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间(){}21Ω,,Ωx y x y =∈，则()2Ω36n =，而(){}{},,1,2,3,4B x y x y =∈，所以()16n B =，()164369P B ∴==，所以游戏二获胜的概率为49．【小问2详解】设M 表示“先玩游戏二，获得书券”，N 表示“先玩游戏三，获得书券”，则M ABC ABC ABC =⋃⋃，且ABC ，ABC ，ABC 互斥，,,A B C 相互独立，()()()()()P M P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ∴=⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P B P C P A P B P C P A P B P C ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()1424141393939P C P C P C ⎡⎤=⨯-+⨯+⨯⎣⎦()482727P C =+，则N AC B ACB ACB =⋃⋃，且,AC B ACB ACB 互斥，,,A B C 相互独立，()P N =()()()()P ACB ACB ACB P ACB P ACB P ACB ⋃⋃=++()()()()()()()()()11P A P C P B P A P C P B P A P C P B ⎡⎤⎡⎤=-+-+⎣⎦⎣⎦()()()152414393939P C P C P C =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1727P C =，若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大，则()()P N P M >，即()()1748272727P C P C >+，解得()49P C >，设游戏三中两次取球的编号和为X ，则()26113C 15P X ===，()26114C 15P X ===，()26225C 15P X ===，()26226C 15P X ===，()26337C 15P X ===，()26228C 15P X ===，()26229C 15P X ===，()261110C 15P X ===，()261111C 15P X ===，所以当3m =时，()()143159P C P X ===<，不合题意；当4m =时，()()()2434159P C P X P X ==+==<，不合题意；当5m =时，()()()()44345159P C P X P X P X ==+=+==<，不合题意；当6m =时，()()()()()643456159P C P X P X P X P X ==+=+=+==<，不合题意；当7m =时，()()()()()()9434567159P C P X P X P X P X P X ==+=+=+=+==>，符合题意；所以当7m ≥时，都有()49P C >，所以符合题意的m 的取值有7,8,9,10,11.18.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A 、B 、C 为球面上的三点，设a O 表示以O 为圆心，且过B 、C 的圆，劣弧BC 的长度记为a ，同理，圆b O ，c O 的劣弧AC 、AB 的长度分别记为b ，c ，曲面ABC （阴影部分）叫做球面三角形．如果二面角,,C OA B A OB C B OC A ------的大小分别为,,αβγ，那么球面三角形的面积为()2++πABC S R αβγ=- 球面．（1）若平面OAB 、平面OAC 、平面OBC 两两垂直，求球面三角形ABC 的面积；（2）若平面三角形ABC 为直角三角形，AC BC ⊥，设1AOC θ∠=，2BOC θ∠=，3AOB θ∠=．①求证：123cos cos cos 1θθθ+-=；②延长AO 与球O 交于点D ，若直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，,(0,1]BE BD λλ=∈，S 为AC 的中点，T 为BC 的中点．设平面OBC 与平面EST 的夹角为θ，求cos θ的最大值及此时平面AEC 截球O 的面积．【答案】（1）2π2R （2）①证明见解析；②cos 5θ=，253π78R 【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式分析可知点E ，再利用空间向量求球心O 到平面AEC 距离，结合球的性质分析求解.【小问1详解】若平面,,OAB OAC OBC 两两垂直，有π2αβγ===，所以球面三角形ABC 面积为()22ππ2ABC S R R αβγ=++-= 球面.【小问2详解】①证明：由余弦定理有：2222122222222232cos 2cos 2cos AC R R R BC R R R AB R R R θθθ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩，且222AC BC AB +=，消掉2R ，可得123cos cos cos 1θθθ+-=；②由AD 是球的直径，则,AB BD AC CD ⊥⊥，且AC BC ⊥，CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AC ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，则AC BD ⊥，且AB AC A ⋂=，,AB AC ⊂平面ABC ，可得BD ⊥平面ABC ，由直线DA ，DC 与平面ABC 所成的角分别为ππ,43，所以ππ,43DAB DCB ∠=∠=，不妨先令R =，则2AD AB BD BC AC =====，由AC BC ⊥，AC BD ⊥，BC BD ⊥，以C 为坐标原点，以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 作BD 的平行线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设(,BE t t =∈，则())()0,2,0,,0,0,0,A B C D ，可得()20,1,0,,0,02S T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，)26,,1,22E t O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则),22CB CO ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，,1,0,22ST TE t ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面OBC 法向量()111,,m x y z =，则11110022m CB m CO x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取12z =-，则110y x ==，可得()2m =- ，设平面EST 法向量()222,,n x y z =，则222202202n ST x y n TE x tz ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取2x =，则22,1y t z ==-，可得),,1n t =- ，因为cos cos ,m n m n m n θ⋅======，令(]1,1,13m m=+∈，则()2218mt t-==，可得()2221888293129621218m mt m mm mm+===≤=+-+--+-+，当且仅当3,m t==取等．则cosθ5=，此时点E，可得CE=，()0,2,0CA=，设平面AEC中的法向量(),,k x yz=，则20k CE zk CA y⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩，取1x=，则0,y z==-，可得(1,0,k=-，可得球心O到平面AEC距离为AO kdk⋅==设平面AEC截球O圆半径为r，则2225326r R d=-=，所以截面圆面积为225353πππ2678r R==.【点睛】方法点睛：1.利用空间向量求线面角的思路:直线与平面所成的角θ主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角ϕ求得，即sin cosθϕ=.2.利用空间向量求点到平面距离的方法:设A为平面α内的一点，B为平面α外的一点，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离AB ndn⋅=.。
2024-2025学年湖州市高二数学上学期第一次月考试卷及答案解析
2024-2025学年湖州市高二数学上学期第一次月考试卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）2024.10一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知直线l 经过()1,4A -，()1,2B 两点，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π4C ．2π3D ．3π42．已如点()1,1,0A ，()1,0,2B -，()0,2,0C 都在平面α内，则平面α的一个法向量的坐标可以是（）A ．()2,2,3B ．11,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,2,1--3．直线240ax y ++=与直线(1)20x a y +-+=平行，则a 的值为（）A ．2a =B ．0a =C ．1a =-D ．1a =-或2a =4．在四面体OABC 中，,,OA a OBb OCc === ，点M 在OA 上，且2OM MA =,N 为BC 中点，则MN =（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．111222a b c+- D ．221332a b c++5．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程是()A ．x 2＋(y ＋1)2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．(x ＋1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝16．已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞7．直线:10l ax y ++=与连接(2,3),(3,2)A B -的线段相交，则a 的取值范围是（）A ．[1,2]-B ．[2,)(,1)+∞-∞- C ．[2,1](2,3)- D ．(,2][1,)-∞-+∞ 8．若直线1y kx =-与曲线243y x x =-+-恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，正确的有（）A ．过点(1,2)P 且在x 轴，y 轴截距相等的直线方程为30x y +-=B ．直线2y kx =-在y 轴的截距是2C ．直线10x +=的倾斜角为30°D ．过点(5,4)且倾斜角为90°的直线方程为50x -=10．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A.点P 到直线AB 的距离小于10B.点P 到直线AB 的距离大于2C.当PBA ∠最小时，PB =D.当PBA ∠最大时，PB =11．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA AB =，,O P 分别是,AC SC 的中点，M 是棱SD 上的动点，则下列说法中正确的是（）A ．OM AP⊥B ．存在点M ，使//OM 平面SBCC ．存在点M ，使直线OM 与AB 所成的角为30︒D ．点M 到平面ABCD 与平面SAB 的距离和为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．过点()1,1且与直线230x y -+=垂直的直线方程为.13．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆221(2)(1)2x y ++-=上，则ABP 面积的取值范围是___________.14．为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面β与水平面α的交线为l ，小明分别在水平面α和斜坡面β选取A B ，两点，且7AB =，A 到直线l 的距离13AA =，B 到直线l 的距离14B B =，11A B =，则该斜坡的坡度是.四．解答题：本小题共5题，共77分。
2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年北京市海淀区首都师大附中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z i =i−1，则|z|=( )A. 0B. 1C. 2D. 22.如图，在平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AB −AD −AA 1=( )A. −AC 1B. A 1CC. D 1BD. −DB 13.已知A(2,−3,−1)，B(−6,5,3)，则AB 的坐标为( )A. (−8,8,−4)B. (−8,8,4)C. (8,−8,4)D. (8,−8,−4)4.如图，已知正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，AA′⋅DB′=( )A. 1B. 2C. 3D. −15.设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，其中n 1=(1,y,−2)，n 2=(x,−2,1)，若α//β，则x +y =( )A. −92B. −72C. 3D. 726.已知直线l 1的方向向量为u =(0,0,1)，直线l 2的方向向量为v =(0, 3,−1)，则直线l 1与l 2所成角的度数为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°7.已知n 为平面α的一个法向量，a 为直线l 的方向向量，则“a ⊥n ”是“l//α”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.已知点O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量a =OA +OB +OC ，向量b =OA +OB−OC ，则与a 、b 不能构成空间基底的向量是( )A. OA B. OB C. OC D. OA 或OB9.在空间直角坐标系Oxyz 中，点A(2,1,1)在坐标平面Oxz 内的射影为点B ，且关于y 轴的对称点为点C ，则B ，C 两点间的距离为( )A. 17 B. 3 2 C. 2 5 D. 2110.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则直线AM和CN 夹角的余弦值为( )A. 23B. 34C. 12D. 23二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
2024-2025学年湖南省邵阳市邵东一中高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省邵阳市邵东一中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x−y +2=0的倾斜角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°2.已知两条直线l 1与l 2不重合，则“l 1与l 2的斜率相等”是“l 1与l 2平行”的( )A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3.若向量a =(2,0)，b =(3,1)，则向量a 在向量b 上的投影向量为( )A. 3 105 B. (95,35) C. (3 105, 105) D. (5,1)4.如图所示，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM =2MA ，N 为BC 的中点，MN =x a +y b +z c ，则x 、y 、z 分别为( )A. 12,−23,12B. −23,12,12C. 12,12,−23D. 23,23,−125.到直线l ：x +2y−1=0的距离为 5的点的坐标是( )A. (−1,0) B. (−1,3) C. (4,1) D. (6,−2)6.直线2x−y +3=0关于直线x−y +2=0对称的直线方程是( )A. x−2y +3=0B. x−2y−3=0C. x +2y +1=0D. x +2y−1=07.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值(不为1)的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(−1,0)和B(2,1)，且该平面内的点P 满足|PA |=2|PB |，若点P 的轨迹关于直线mx +ny−2=0(m,n >0)对称，则2m +5n的最小值是( )A. 10B. 20C. 30D. 408.如图，棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上动点(包括端点)．①三棱锥P−A 1BD 中，点P 到面A 1BD 的距离为定值2 33②过点P 且平行于面A 1BD 的平面被正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为2 3③直线PA 1与面A 1BD 所成角的正弦值的范围为[ 33, 63] ④当点P 为B 1D 1中点时，三棱锥P−A 1BD 的外接球表面积为11π以上命题为真命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年重庆十一中高二(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年重庆十一中高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知{a ,b ,c }是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是( )A. {a ,b ,a +c } B. {a ,b ,a +2b }C. {a +2c ,b ,c }D. {a ,a +b ,a +c }2.如图，四面体ABCD 中，点E 是CD 的中点，记AB =a ，AC =b ，AD =c ，则BE =( )A. a−12b +12c B. −a +12b +12c C. 12a−b +12cD. −12a +b +12c3.已知点A(a,−3,5)，B(0,b,2)，C(2,7,−1)，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的值分别是( )A. −2，3B. −1，2C. 1，3D. −2，24.已知向量a =(2,−1,1)，b =(1,x,1)，c =(1,−2,−1)，当a ⊥b 时，向量b 在向量c 上的投影向量为( )(用坐标表示)A. (−1,2,1)B. (1,2,1)C. (−1,−2,1)D. (1,2,−1)5.空间内有三点P(3,1,−4)，E(2,1,1)，F(1,2,2)，则点P 到直线EF 的距离为( )A.14B. 32C.3D. 236.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥P−ABCD 为阳马，PA ⊥平面ABCD ，且AB =AD =AP =3，EC =2PE ，则AE ⋅DE =( )A. −3B. 3C. 2D. 57.正方体不在同一表面上的两顶点A(−1,2,−1)，B(3,−2,3)，则正方体的体积是( )A. 4B. 43C. 64D. 19238.已知向量a =(2,−1,3)，b =(−4,2,t)的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为( )A. (−∞,−6) B. (−∞,−6)∪(−6,103)C. (103,+∞)D. (−∞,103)二、多选题：本题共3小题，共18分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学月考试卷答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某公共汽车上有15位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有() A．515种B．155种C．50种D．50625种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有515种可能的下车方式，故选A.【答案】A2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有() A．6种B．12种C．18种D．24种【解析】种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选C.【答案】C3．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】B4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A．0.04B．0.16C．0.24D．0.96【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】D5．正态分布密度函数为f(x)＝122πe－x－128，x∈R，则其标准差为()A．1B．2C．4D．8【解析】根据f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，对比f(x)＝122πe－x－128知σ＝2.【答案】B6．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A.16B．11C．2.2D．2.3【解析】由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】A7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有()A．18种B．24种C．45种D．90种【解析】不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C26·C24·C22＝90(种)．【答案】D8．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140B．240C．360D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】B9．设随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，则参数n，p 的值为()【导学号：97270066】A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】由二项分布的均值与方差性质得＝2.4，1－p＝1.44，＝6，＝0.4，故选B.【答案】B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是()A.16B.18C.112D.124【解析】由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A44A22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P＝1 12 .【答案】C11．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况概率方案盈利(万元)S i PiA1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4【解析】利用方案A 1，期望为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；利用方案A 2，期望为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；利用方案A 3，期望为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；利用方案A 4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6；因为A 3的期望最大，所以应选择的方案是A 3，故选C.【答案】C12.如图12，用五种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．264种B．360种C．1240种D．1920种【解析】由于A 和E 或F 可以同色，B 和D 或F 可以同色，C 和D 或E 可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C 13C 12A 55种；当五种颜色选择四种时，选法有C 45C 13×3×A 44种；当五种颜色选择三种时，选法有C 35×2×A 33种，所以不同的涂色方法共C 13C 12A 55＋C 45C 13×3×A 44＋C 35×2×A 33＝1920.故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】514．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于________．【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②①＋②得a0＋a2＋a4＝16，①－②得a1＋a3＋a5＝－16，故(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于－256.【答案】－25615．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.9的3次方×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.1的4次方.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中恰好击中目标3次的概率应为C34×0.93×0.1＝0.93×0.4，只有①③正确．答案：①③16.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400<X<450)＝0.3，则P(550<X<600)＝________.【解析】由下图可以看出P(550<X<600)＝P(400<X<450)＝0.3.【答案】0.3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10x n ＝C 2xn ，x ＋1n ＝113C x －1n，试求x ，n 的值.【解】∵C x n ＝C n －x n ＝C 2xn ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得n ！x ＋1！n －x －1！＝113·n ！x －1！n －x ＋1！，整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．18．(本小题满分12分)要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录同学甲击中目标的环数为X 1的分布列为X 15678910P 0.030.090.200.310.270.10同学乙击目标的环数X 2的分布列为X 256789P 0.010.050.200.410.33(1)请你评价两位同学的射击水平(用数据作依据)；(2)如果其它班参加选手成绩都在9环左右，本班应派哪一位选手参赛，如果其它班参赛选手的成绩都在7环左右呢？（1）利用期望和方差公式求出两变量的期望和方差；（2）根据第（1）问的结论选择水平高的选手解：（1）EX 1＝，EX 2＝=8DX 1=1.50DX 2=0.8两位同学射击平均中靶环数是相等的，同学甲的方差DX1大于同学乙的方差DX2，因此同学乙发挥的更稳定。
(2)如果其它班的参赛选手的射击成绩都在9环左右就派甲同学去参加，若其它班的参赛选手的成绩都在7环左右，就派同学乙去参加。
19．(本小题满分12分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1.(2)a6即为含x6项的系数，Tr＋1＝C r10(2x)10－r·(－1)r＝C r10(－1)r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝C410(－1)426x6＝13440x6，即a6＝13440.20．(本小题满分12分)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(3)全体站成一排，女生必须站在一起；(4)全体站成一排，男生互不相邻．【解】(1)共有A77＝5040种方法．(2)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3600种方法．(3)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，有A44种方法，故共有A44×A44＝576种方法．(4)(插空法)男生不相邻，而女生不做要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A44×A35＝1440种方法．21．(本小题满分12分)口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次取出的都是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率是多少？【解】记事件A ：第一次取出的是红球；事件B ：第二次取出的是红球．(1)第一次取出红球的概率P (A )＝4×56×5＝23.(2)第一次和第二次取出的都是红球的概率P (A ∩B )＝4×36×5＝25.(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率为P (B |A )＝P A ∩B P A＝2523＝35.22.(本小题满分13分)现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当时，求q 的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于4/5，求p 的取值范围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知P=1/2,q=1/6，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．【详细解析】试题分析：（Ⅰ）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以++=1.又因为，解方程即可求出结果.（Ⅱ）记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则，且A，B独立.由上表可知，，.所以，所以，又因为，，即可求出的取值范围；（Ⅲ）假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量的可能取值为4，0，-2，列出分布列，即可求出期望；假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量的可能取值2,0，-1列出分布列，即可求出期望.试题解析：（Ⅰ）【解析】因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以++=1.又因为，所以=．（Ⅱ）记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，分则，且A，B独立.由上表可知，，.所以5分.因为，所以.2020下学期高二数学第一次月考试卷沉着冷静，诚信应考又因为，，所以.所以.（Ⅲ）【解析】假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：40则.10分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量的分布列为：Y20则.12分因为，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．考点：1.概率的意义；2.数学分布列、期望.。