陕西省数学竞赛预赛试题及其答案
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1．a,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合 P 中仍为x ，则a+b 的值等于 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．1±2．若函数()f x 满足22()log ||||f x x x x =+，则()f x 的解析式是 （ ） A ．2log xB ．2log x -C ．2x-D 2x -3．若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．2(,)(5,)3-∞-+∞B ．3(,)(5,)4-∞-+∞C ．2(,5)3-D ．23(,)34-4．已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅> 则数列{n C }的前10项和为（ ）A ．1010AB +B ．10102A B + C ．1010A B ⋅ D ．1010A B ⋅5．如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+， 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．15 B ．25C ．14D ．136．若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤< 则角θ的取值范围是（ ）A ．[0,]4π B ．[,]4ππ C ．5[,]44ππD ．3[,)42ππ7．袋中装有m 个红球和n 个白球，m>n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n≤40的数组（m,n ）的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>则ba的取值范围是（ ）A ．1(1,]2--B ．1(1,)2--C ．1(2,]2--D ．1(2,)2--9．如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ， 使l 与平面ABCD 和平面AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为 （ ）A ．1B .2C ．3D .410．如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（ ）A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定二、填空题（每十题6分，共30分） 11．已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= 12．用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 13．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若5sin α=则(4cos 2)f α的值是14．若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为15．设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为第二试一、（50分）设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围.二、（20分）已知x 、y 、z 均为正数 （1）求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++ （2）若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值三、（20分）已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = （1）求()f x 的表达式; （2）定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。
陕西省第六次大学生高等数学竞赛本科组初赛试题
111设 f ( x, y) =
( x2 + y2 ) sin
1
2
x +y
Hale Waihona Puke 2,x + y ≠0 , ( C)
2
2
lim
sin x
| x|
. - 2 [ x ] = 1
4
0, x2 + y2 = 0 则 f ( x, y) 在点 ( 0, 0 ) 处 A 1 两个一阶偏导数不存在 ; B 1 不可微 , 但两个一阶偏导数存在 ; C1 可微 , 但两个一阶偏导数不连续 ; D 1 两个一阶偏导数连续 .
co sx
π ) , co sx + 2 sin x = 5 sin ( x +α) , 2 α = 1 , co s α = 2, 其中 sin 5 5 π π sin ( x + ) sin [ ( x +α) + ( - α) ] π 2 1 2 1 ∴原 式 = dx = dx = [ co s ( - α) + ( α ) sin x + 2 5 sin ( x +α) 5 5 π ( α) α co s ( x +α) 1 sin co s α + co s α・co s x + ・sin ( - α) ] d x = [ sin ] dx = ・x + ln | sin ( x +α) | + ( α ) sin ( x +α) 2 sin x + 5 5 5 解 ∵co sx = sin ( x +
xϖ b xϖ b -
51设 f ( x) 在区间 [ - π,π ] 上连续 , 且满足 f ( x -
陕西省第十一次高等数学竞赛参考解答与评分标准
６２
高 等 数 学 研 究
２０１８年 ８月
ｄ —ｄ （ ｚ
Ｉｌ 一 ２
解１ 旦４ ． 由题设知厂（ｚ）一（ ） ， ｚ
ｃ蒯３＋—ｚ４ 一－『ｚ。（ ） Ｚ
＋ 一
）～ ３ 础
Ｊ
—ｚ。·ｎｚ一３［丢 。·ｎｚ一丢』 ｄｚ］
一 一 ｎｚ ＋ ＋ ｃ．
第 ２１卷 增 ２０１８年 ８月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵ Ｄ ＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ ＬＬＥＧ Ｅ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩＣＳ
Ｖｏ１．２１，Ｓｕｐ． Ａ ｕｇ．，２０１８
陕 西 省 第 十 一 次 高 等 数 学 竞 赛 参 考解 答 与 评 分 标 准
一 、 选 择 题 （１—８题 ，每 小 题 ４分 ，共 ３２分 ）
解 曲线 Ｌ的切 向量 为 ＝ ｛３ ，２￡，１｝，平 面 二 、填 空题 （９— １４题 ，每 小题 ４分 ，共 ２４分）
Ⅱ 的法 向量 为 ＝ ｛１，一 ２，１｝．
（９）
由题意知这两个 向量垂直 ，即有 ；· 一 ３ｄ一４￡＋
１—０，解得 ｔ１— １，ｔ２一 ，所求切线 只有二条．故选 Ｂ
解２ 由题设知＿厂（ｚ）一（ ） 一 ｊ ，
』ｚ。ｆ（ｘ）ｄ．ｚ—Ｊｚ（１—１ｎ ）ｄｚ 一 一 专ｚ２一 －ｒｚ。 －ｍｎｚ＋十 ＩＪＪ ．ｚ ｄｚ
一 号２ …ｎ…ｚ ＋。导４ ｚ。＋’ｃ一．。 ｃ ３，篝（ ＋古＋吉）．
解 积分 域 Ｑ关 于 ，Ｙ，ｚ具有 轮换 对称性 ，故
有ｊＩ『 ｄ 一ｊ工『 ｄ 一ｊＩ『ｚ ｄ ．
（ｃ）．成立．反证法：若∑ （１ ａ Ｉ＋１ ｂ １）收敛，
（３）选 Ａ．
陕西省数学竞赛试题及解答
17 m ,所以，点 P 的轨迹是以 (4,3) 为圆心， 17 m 为半径的圆.因此，当圆
x2 4
y2
Hale Waihona Puke 1相切.
y x2 4
xb ,消去
y2 1
y
得关于
x
的方程：
3x2 8bx (4b2 4) 0 , 0 , b 3 .
y xb y
M
o
x
法二：也可用参数方程求解.只考虑第一象限部分. 由 x2 y2 1，令 x 2sec , 4
点 M 落在 FAB 内的概率 .
解析： 1 . 3
根据抛物线的定义, S梯形AABB
1( 2
AA
BB )
AB
1 2
AB
AB
1 AB 3 p , 2
SABF
1 2
AB p ,所求概率为： SABF S梯形AABB
1 AB p 2 1 AB 3 p
D
C
A. (8,8) C. (1,8) 解析：C.
B. (1, 24) D. (0,8)
M N
A
B x
建立如图所示的直角坐标系, A(0, 0) , M 是 BC 的中点, M (8, 4) ,又 N 是 AD 边上
的一点，且 DN 3NA ， N (0, 2) ,设 P(x, y) ，则 PM (8 x, 4 y) , PN (x, 2 y)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)一试参考答案与评分标准(A卷)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ． 根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x ≤−,则2()24f x x x =−,在这一区间上的最小值为(116f −=+；2.若(13x ∈−−，则()88f x x =−+，在这一区间上的最小值为(316f =−+…………15分3.若31x ∈− ，则2()24f x x x =−+，在这一区间上的最小值为((3116f f =−+=−+；4.若13x ∈− ，则()88f x x =−，在这一区间上的最小值为(116f −+=−+；5.若3x ≥+，则2()24f x x x =−，在这一区间上的最小值为(316f =+.综上所述，所求最小值为((3116f f =−+=−.…………20分。
陕西省第八次大学生高等数学竞赛 试题 自测答案
1 x2 + x, 2
x ! 0,
2 cos e- x , x < 0; 2
(C) F( x) =
1 2
x2 +
x+
1 2
,
2 cos 2 e- x ,
x ! 0, x < 0;
( D) F( x ) =
1 2
x2 +
x-
1 2
,
- 2 co s 2 e- x ,
x ! 0, x < 0.
( 03) 如果 y = x ex + x 是微分方程 y∀ - 2y# + ay = bx + c 的解, 则( ) .
=
F z
;
( B)
F x
dx
+
F y
d
y
+
dz =
0;
(C)
z x
(
x y
(
y z
=
1;
( D)
二. 填空题( 6 小题, 每小题 4 分, 满分 24 分)
z x
(
x y
(
y z
=-
1.
( 09)
若 f ( x) =
x
x2
1
+
( sinx 2 lnx ) ( x -
1) , 则 f#( 1) =
.
( 0, 0)
(A ) 两相交平面;
(B) 双曲抛 物面;
( C) 双曲 柱面;
( D) 0 < I 2 < I 1 . ( D) 椭圆柱面 .
( 08)
设函数 F( x, y, z)
可微, 且
F x
陕西省第12届数学竞赛预赛试卷(非数学)-答案
故
f
( y)
=
a3b 3
1 (3y2
−
y3 6
)
+
C1 y
+
C2
.
……………… 4 分
五、(本题满分 12 分) 计算 I =
3y
−
x
dx
−
5zdz
，曲线
:
x2
x2
+ +
y2 y2
+ z2 = = 2z
8
，从
z
轴
正向往坐标原点看去取逆时针方向.
【解】
曲线
也可表示为
z x
= 2， 2 + y2
+ sin x dx
0x
x sin u du . 0u
令 F(x) = x sin u du ，则 F(x) = sin x ， lim F(x) = ，所以
0u
x
x→+
2
2
I= − 4
+ 0
F ( x) F ( x)dx
=
2 4
−
1 F(x)2
2
+ 0
=
2 4
−
1 2
2
2
=
2 8
.
【5】 设 f (x) ，g(x) 在 x = 0 的某一邻域U 内有定义，对任意 x U ，f (x) g(x) ，
y2
2
1
+
x y
=
x + yy x2 + y2
，即 (x + y)y =
y−x，
所以 f (1) = 0 ，曲线 y = f (x) 在点 (1,1) 处的切线方程为 y =1.
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 第一试（4月22日上午8：30——9：30）一、选择题（每小题5分，共50分。
）1．已知函数()()2438f x x x x R =--+∈，则()f x 的反函数()1f x -的解析式是（ ） A ．()()14f x x x R -=-+∈ B ．()()111255fx x x R -=-+∈ C ．()()()142112255x x f x x x -⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩ D ．()()()111225542x x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪-+≥⎩2．等差数列{}n a 共有21n +项()*n N ∈，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则n 的值为（ ）A ．30B ．31C ．60D ．61 3．设()sin sin 2007a =，()sin cos 2007b =，()cos sin 2007c =，()cos cos 2007d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．c d b a <<<D ．d c a b <<<4．如图，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点。
若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．2-5．长度分别为1，,,,,a a a a a 的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是（ ） A．0a <<．02a << C．a >a <<6．设,x y 都是整数，且满足()22xy x y +=+，则22x y +的最大可能值为（ ） A ．32 B ．25 C ．18 D ．167．已知04k <<，直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．14 D ．188．对于实数t ，已知等比数列{}n a 的前三项依次为2t ，51t -，62t +，且该数列的前n 项和为n S ，则满足不等式1165n S -<的最大整数n 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．89．对于非空集合,A B ，定义运算：{},A B x x AB x A B ⊕=∈∉且。
陕西省数学竞赛试题及解答
x
4
4
4
f (1) 3 ,要使正整数 n 最大，需 f (xn ) 最大,且 f (xi ) （ i 1, 2,3,, n 1）尽可能
的小，只要 f (xm ) f (xn ) 3 即可，15 1 6 6 3 1 ,此时， n 6 .
2
4
4
12.设 n 是正整数，当 n 100 时， n2 3n 1 的小数部分的前两位数是
解析： f (x) 2 cos x(cos x 3 sin x) 1 2 cos2 x 1 2 3 cos x sin x
2sin(2x ) . 6
（Ⅰ）令 2x
6
2
，得
x1
3
,
x2
x1
2
3
2
6
,函数
f
(x) 的周期
为T ,所以，函数 f (x) 在每一个区间[ k , k ]（ k Z ）都是单调递
19
18
得最小值为11时， p 2 .
8.在边长为 8 的正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点， N 是 AD 边上的一点，且
DN 3NA ，若对于常数 m .在正方形 ABCD 的边上恰有 6 个不同的点 P ，使
y
PM PN m ，则实数 m 的取值范围
的连线的斜率的相反数，当且仅当 , t 取得最小值为 3 ，即 x 4 ,
6
3
y 1 时， x y 取得最小值为 3 . 3
7.若既约分数 p （ p, q N ）化为小数是 0.18 ,则当 q 最小时， p q
全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷
2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1、a ,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则a +b 的值等于（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 1±2、若函数()f x 满足22()log ||f x x =+()f x 的解析式是（ ） A.2log x B. 2log x - C.2x- D 2x - 3、若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根，则实数a 的取值范围为（ ） A.2(,)(5,)3-∞-+∞ B. 3(,)(5,)4-∞-+∞ C. 2(,5)3- D. 23(,)34-4、已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅> 则数列{n C }的前10项和为( )A .1010AB + B.10102A B + C.1010A B ⋅5、如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 ( ) A.15 B. 25 C. 14 D.136、若33sincos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<则角θ的取值范围是( ) A.[0,]4πB. [,]4ππC. 5[,]44ππD. 3[,)42ππ7、袋中装有m 个红球和n 个白球，m>n ≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n ≤40的数组(m,n)的个数为 ( ) A .3 B. 4 C .5 D.68 、已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>则ba的取值范围是 ( )A .1(1,]2--B 1(1,)2--C 1(2,]2--D 1(2,)2--9、如图2，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ，使l 与平面ABCD 和平面AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为 ( )A. 1 B .2 C. 3 D .410、如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为 ( )A.||||MO MT b a ->-B.||||MO MT b a -=-C. ||||MO MT b a -<-D.不确定 二、填空题(每十题6分，共30分) 11、已知θ为锐角，且cos 31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= 12、用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 13、设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若sin α=则(4cos 2)f α的值 14、若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax +by +c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为15、设221,1,{log 2,log ,log (8)}x y x y S y x >>=则S 的最大值为第二试一、(20分)设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围. 二、(20分)已知x 、y 、z 均为正数 (1)求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++(2)若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值 三、(20分)已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = (1)求()f x 的表达式; (2)定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。
全国高中数学联赛陕西赛区预赛
2013 年全国高中数学联赛陕西赛区初赛试题参照答案及评分标准第一试1. 设 A 、B 是两个非空的有限集，全集，且U中含有m个元素.若() () 中含有 n 个元素，则中所含元素的个数为______.解：.注意到， () ()=() ，由韦恩图知，中含有个元素.2. 已知△ ABC 的三个内角 A 、B 、 C 所对的边分别为a、 b、 c，且知足.则的值是 ______.解：.由题设及正弦定理，得故 =.3. 在直角坐标系中，已知三点. 若向量与在向量方向上的投影相同，则的值是 ______.解： 2.[方法 1]向量、在向量方向上的投影分别为.依题意得·=·，即.故.[方法 2]因为向量与在向量方向上的投影相同，因此AB⊥ OC，即·= 0.因此，即 3a –4b = 2 .4. 已知正三棱锥 P-ABC 的侧棱与底面所成的角为 45°，则相邻两侧面所成角的余弦值为______.解： .如图 1 ，设正三棱锥P-ABC 的底面边长为 a， E 为 AB 的中点，则∠ PCE为侧棱 PC与底面 ABC所成的角，即.P 过点 A 作 AF⊥ PC，垂足为 F，由对称性知， BF⊥ PC，故∠ AFB 为F侧面 PAC 与 PBC 所成的角 .在等腰直角△EFC 中，.因此.A CE在△ AFB 中， cos∠ AFB =.B图 15.已知三个互不相等的整数 x、y、z 之和介于 40 与 44 之间，若 x，y，z 依次组成公差为 d 的等差数列，依次组成公比为q 的等比数列，则 d q 的值是 ______.解： 42.由，得.又由，得，即.因为，因此.又，因此.因为 y 为整数，因此. 进而.因此.故 d· q = 42 .6 . 设点 P、Q 分别在直线和上运动，线段PQ的中点为，且.则的取值范围是______.解： [1，3) .[方法 1]设 P() 、Q()，则，，且.两式相加，得，即.因此，则.进而，在上单一递加 .故 1.[ 方法 2] 易知，点 M 在直线上 .又点 M 的坐标知足，因此点 M 在如图 2 所示的射线： y=3x-4 (x≥2)上，其中点.因为表示射线上的点与原点O 连线的斜率，因此.7.在一个圆上随机取三个点，按次连接成一个三角形，则该三角形为锐角三角形的概率是 ______ .解： .没关系设△ ABC 是半径为 1 的圆的任一内接三角形，∠A、∠ B 所对的弧长分别为 x、 y，则有，.这个不等式组表示如图 3 所示的△ POQ 地区（不含界线），其面积为.若△ ABC 为锐角三角形，则x、 y 知足，，.这个不等式组表示如图 3 所示的△ DEF 地区（不含界线），其中 D、 E、 F分别为 OP、 OQ、 PQ 的中点，其面积为.故所求概率为.8. 设，则M的个位数字为______.解： 1.y4M2M0o24x图 2yQ 2πEFo2πD P x图 3设 a、 b 为正整数，则的个位数字与的个位数字相同.进而，的个位数字与的个位数字相同3.因此的个位数字与的个位数字相同 3.又的个位数字与的个位数字相同8，故 M 的个位数字与的个位数字相同 1.9. 若随意，都有，的是 ______.解： .[方法 1]由知，随意，都有，其中，的系数，⋯ .因此，，，，解得，，，，..故.[方法2]在已知等式中，令，得.代入已知等式，化得.令，得.代入上式，化得.再令，得.用同的方法，得，.故.10.若______ .解： 4.(1)若存在正整数j，使得(⋯， 5，定)，.上式等号能够建立. 比方，取，，，，.(2)若随意正整数i，都有(⋯， 5，定)，要么且，要么或.若是且，有，，矛盾.因此，或.以上两种情况，都有.进而，.合 (1)、 (2)， M的最大 4.。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)与答案
说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，102024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12．又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12．…………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21mC m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ． 若021mm，则121m a k m ．若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121ma a r kr r r m ． …………30分另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n ma m m，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m ma m K m m，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21mC m 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为212(1)m rm r．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)rr ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CFCB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF ABAL KA． …………20分同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE ADAL KA．又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KFAB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2bS n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2wS n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥. 综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ； (4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ． 证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。
陕西省奥数竞赛试题
陕西省奥数竞赛试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 如果一个整数能被4整除，那么它的最后两位数之和也能被4整除。
这个说法是：A. 正确B. 错误2. 一个圆的半径增加1厘米，其面积增加的值是：A. πB. 2πC. 4πD. 6π3. 以下哪个数不是质数？A. 2B. 3C. 9D. 74. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 所有选项5. 一个等差数列的前三项分别为3, 5, 7，那么第10项是：A. 17B. 19C. 21D. 23二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米和4厘米，其体积是________厘米³。
7. 如果一个数的平方减去这个数等于5，那么这个数是________。
8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，其斜边长是________厘米。
9. 一个数列的前三项是2, 4, 8，如果这是一个等比数列，那么第四项是________。
10. 如果一个分数的分子和分母同时乘以一个相同的数，这个分数的值不变，这个数是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：对于任意正整数n，(1+1/n)^n的值总是大于2。
12. 一个圆内接正六边形的边长为a，求这个圆的半径。
13. 给定一个数列1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，这个数列的每一项都是前两项的和。
求第20项的值。
四、综合题（每题15分，共30分）14. 一个农场主有一块土地，他想将这块土地划分成若干个正方形区域，使得每个区域的面积都相等。
他发现，如果划分成边长为1米的正方形，他将有剩余的土地；如果划分成边长为2米的正方形，他将有剩余的土地；但是如果划分成边长为3米的正方形，土地刚好用完。
求这块土地的最小可能面积。
15. 一个班级有50名学生，老师想通过抽签的方式选出5名学生参加一个活动。
如果班级中的每个学生被选中的概率相等，求至少有两名学生生日在同一天的概率。
陕西初一初中数学竞赛测试带答案解析
陕西初一初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下表是我国几个城市某年一月份的平均气温，其中气温最低的城市是（）A．哈尔滨B．广州C．武汉D．北京2.下列所画的数轴中正确的是（）A．B．C．D．3.下列说法中，正确的是（）．A．两个有理数的和一定大于每个加数B．3与互为倒数C．0没有倒数也没有相反数D．绝对值最小的数是04.对于(－2)4与－24，下列说法正确的是（）A．它们的意义相同B．它的结果相等C．它的意义不同，结果相等D．它的意义不同，结果不等5.下列计算错误的是（）A．0.14＝0.0001B．3÷9×（－）＝－3C．8÷（－）＝－32D．3×23＝246.在有理数（－1）2，－24，－（+）3，0，－，－（－5），（－2）3中负数的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7.在数轴上与－3的距离等于4的点表示的数是 ( )A．1B．－7C．1或－7D．无数个8.两个有理数的积是负数，和也是负数，那么这两个数（）A．都是负数B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C．互为相反数D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数9.一个有理数的绝对值等于其本身，这个数是（）A．正数B．非负数C．零D．负数10.你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第( )次后可拉出64根细面条．A．5；B．6；C．7；D．8．二、填空题1.一天早晨的气温是－5℃，中午又上升了10℃，半夜又下降了8℃，则半夜的气温是________.2.用“＜”“＝”或“＞”号填空：－2_____0 ____－(＋5) ____－（－|－5|）3.计算：=___________；=___________.4.若a与－5互为相反数，则a＝_________；若b的绝对值是，则b＝_________．5.如果n＞0，那么＝________，如果＝－1，则n________0。
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2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
（4月24日上午8:30—11:00）
第一试
一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合={1,2,310}M ，，
，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（）
A.8个
B.7个
C.6个
D.5个
2
、在平面直角坐标系中，不等式组0200y x y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩
表示的平面区域的面积是（）
A.2
2
D.3、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()c a c b -⋅-的最大值是（）
A.1
1
1D.1
4、从1,2,,20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（） A.15B.110C.319D.338
5、,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则||AB 等于（）
A.3
B.4
C.
6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为（） A.πB.32π
C.4
D.8 7、设函数32
()f x x ax bx c =+++（,,a b c 均为非零整数）. 若3()f a a =，3()f b b =，则c 的值是（）
A.16-
B.4-
C.4
D.16 8、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>
A.2
B.3
D. A
C D B G
M
二、填空题（每小题8分，共32分）
9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，则2016a =_______________.
10、设,m n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是_______________.
11、设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x =+，若对[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.
12、设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.
第二试
一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足sin
cos 955tan 20cos sin 55x y x y ππ
πππ+=-． （1）求y x 的值；（2）在ABC ∆中，若tan y C x
=，求sin 22cos A B +的最大值． 二、（本题满分20
分）已知直线:4l y =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．
三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：PQ QR =．
四、（本题满分30分）设函数1()ln (1),f x x a a R x
=+-∈，且()f x 的最小值为0， （1）求a 的值；（2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．
五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥
，证明：≥。