陕西省数学竞赛预赛试题及其答案

2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

（4月24日上午8:30—11:00）

第一试

一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合={1,2,310}M ，，

，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（）

A.8个

B.7个

C.6个

D.5个

2

、在平面直角坐标系中，不等式组0200y x y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩

表示的平面区域的面积是（）

A.2

2

D.3、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()c a c b -⋅-的最大值是（）

A.1

1

1D.1

4、从1,2,,20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（） A.15B.110C.319D.338

5、,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则||AB 等于（）

A.3

B.4

C.

6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为（） A.πB.32π

C.4

D.8 7、设函数32

()f x x ax bx c =+++（,,a b c 均为非零整数）. 若3()f a a =，3()f b b =，则c 的值是（）

A.16-

B.4-

C.4

D.16 8、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>

A.2

B.3

D. A

C D B G

M

二、填空题（每小题8分，共32分）

9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，则2016a =_______________.

10、设,m n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是_______________.

11、设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x =+，若对[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是___________.

12、设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.

第二试

一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足sin

cos 955tan 20cos sin 55x y x y ππ

πππ+=-． （1）求y x 的值；（2）在ABC ∆中，若tan y C x

=，求sin 22cos A B +的最大值． 二、（本题满分20

分）已知直线:4l y =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．

三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ∆的外接圆O 交于另一点R ．求证：PQ QR =．

四、（本题满分30分）设函数1()ln (1),f x x a a R x

=+-∈，且()f x 的最小值为0， （1）求a 的值；（2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求n S ．

五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数2n ≥

，证明：≥