陕西省数学竞赛预赛试题及其答案

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2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

(4月24日上午8:30—11:00)

第一试

一、选择题(每小题6分,共48分.给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1、已知集合={1,2,310}M ,,

,A 是M 的子集,且A 中各元素的和为8,则满足条件的子集A 共有()

A.8个

B.7个

C.6个

D.5个

2

、在平面直角坐标系中,不等式组0200y x y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩

表示的平面区域的面积是()

A.2

2

D.3、设,,a b c 是同一平面内的三个单位向量,且a b ⊥,则()()c a c b -⋅-的最大值是()

A.1

1

1D.1

4、从1,2,,20这20个数中,任取3个不同的数,则这3个数构成等差数列的概率为() A.15B.110C.319D.338

5、,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点,则||AB 等于()

A.3

B.4

C.

6、如图,在棱长为1的正四面体ABCD 中,G 为BCD ∆的重心,M 是线段AG 的中点,则三棱锥M BCD -的外接球的表面积为() A.πB.32π

C.4

D.8 7、设函数32

()f x x ax bx c =+++(,,a b c 均为非零整数). 若3()f a a =,3()f b b =,则c 的值是()

A.16-

B.4-

C.4

D.16 8、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>

A.2

B.3

D. A

C D B G

M

二、填空题(每小题8分,共32分)

9、在数列{}n a 中,4111,9a a ==,且任意连续三项的和都是15,则2016a =_______________.

10、设,m n 均为正整数,且满足424m n =,则m 的最小值是_______________.

11、设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且()()2x f x g x =+,若对[1,2]x ∈,不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立,则实数a 的取值范围是___________.

12、设x R ∈,则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.

第二试

一、(本题满分20分)设,x y 均为非零实数,且满足sin

cos 955tan 20cos sin 55x y x y ππ

πππ+=-. (1)求y x 的值;(2)在ABC ∆中,若tan y C x

=,求sin 22cos A B +的最大值. 二、(本题满分20

分)已知直线:4l y =+,动圆222:(12)O x y r r +=<<,菱形ABCD 的一个内角为060,顶点,A B 在直线l 上,顶点,C D 在圆O 上,当r 变化时,求菱形ABCD 的面积S 的取值范围.

三、(本题满分20分)如图,圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点,圆1O 的弦PA 与圆2O 相切,圆2O 的弦PB 与圆1O 相切,直线PQ 与PAB ∆的外接圆O 交于另一点R .求证:PQ QR =.

四、(本题满分30分)设函数1()ln (1),f x x a a R x

=+-∈,且()f x 的最小值为0, (1)求a 的值;(2)已知数列{}n a 满足11a =,1()2(N )n n a f a n ++=+∈,设[][][][]123n n S a a a a =++++,其中[]m 表示不超过m 的最大整数.求n S .

五、(本题满分30分)设,,a b c 为正实数,且满足1abc =,对任意整数2n ≥

,证明:≥

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