专题17.1 条件概率与全概率公式(精讲精析篇)(原卷版)

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人教版高中数学精讲精练选择性必修三7.1 条件概率及全概率(解析版)

7.1条件概率及全概率公式考法一条件概率【例1-1】（2023·云南）某校有7名同学获省数学竞赛一等奖，其中男生4名，女生3名．现随机选取2名学生作“我爱数学”主题演讲．假设事件A 为“选取的两名学生性别相同”，事件B 为“选取的两名学生为男生”，则()|P B A =（）A ．14B ．34C ．13D ．23【答案】D【解析】由题意得，事件A 包含的样本点数()2234C C 9n A =+=，事件A 和B 包含的样本点数()24C 6n AB ==，所以()()()62|93n AB P B A n A ===.故选：D【例1-2】（2024·陕西汉中）袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（）A ．0.25B ．0.4C ．0.5D ．0.6【答案】B【解析】设第一次取得白球为事件A ，第二次取得红球为事件B ，所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为：42()265(|)0.445()565P AB P B A P A ⨯⨯====⨯⨯.故选：B.【一隅三反】1．（2024·辽宁）小张､小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A ：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B ：“两家选择景点不同”.则概率()P B A =（）A ．23B ．59C ．45D ．89【答案】D【解析】由题意可知:A 两家都没选择丹东凤凰山，即()44165525P A =⨯=，所以()()9125P A P A =-=，而:AB 有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则()4255P AB ⨯=⨯，所以()()()88259925P AB P B A P A ===.故选：D2．（2024·全国·高二假期作业）现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件A =“第一次摸球摸出黑球”，事件B =“第二次摸球摸出白球”，则()P B A =（）A ．625B ．825C ．35D ．45【答案】D【解析】根据题意可知，2()5P A =第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率()2485525P A B ⋂=⨯=，则()8()4252()55P A B P B A P A ⋂===,故选：D.3．（2024·北京）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为1331，下雨的概率为1131，既刮风又下雨的概率为731.记事件A 为“8月份某天刮风”，事件B 为“8月份某天下雨”，则()P B A =（）A ．711B ．713C ．731D ．1131【答案】B【解析】根据题意可得()()()1311,,1317331P A P B P AB ===利用条件概率公式可得()()()7731131331P AB P B A P A ===.故选：B4．（2024·江西）我国的生态环境越来越好，旅游的人越来越多．现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩．记事件A 为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B 为“两位游客选择的景点相同”，则()P B A 等于（）A ．111B ．211C ．19D ．29【答案】A【解析】由题意，知()()66551111,66366636P A P AB ⨯-⨯====⨯⨯，所以()()()111P AB P B A P A ==．故选：A ．考法二条件概率性质【例2-1】（2024·湖北）已知A ，B 是一个随机试验中的两个事件，若()12P A B =，()13P B A =，则()()()P AB P AB P AB +等于（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】因为()12P A B =，所以()1()2P AB P B =，即()2()P B P AB =，同理，由()13P B A =得()3()P A P AB =，因为()()()2()P B P AB P AB P AB =+=，所以()()P AB P AB =，()()()3()P A P AB P AB P AB =+=，所以()2()P AB P AB =，所以()()3()3()()P AB P AB P AB P AB P AB +==．故选：A.【例2-2】（2023上·高二课时练习）下列式子成立的是（）A ．()()P AB P B A =∣∣B ．()01P BA <<∣C ．()()()P AB P A P BA =⋅∣D ．()()()P AB P B P BA =⋅∣【答案】C【解析】由条件概率公式知()()()()(),()P AB P AB P AB P B A P B P A ==∣∣，但是()P A 不一定等于()P B ，所以选项A 错误；根据条件概率的性质可知()01P B A ≤≤∣，所以选项B 错误；由条件概率公式()()()P AB P BA P A =∣可得出()()()P AB P A P BA =⋅∣，所以选项C 正确；由条件概率公式()()()P AB P AB P B =∣可得出()()()P AB P B P AB =⋅∣，所以选项D 错误.故选：C【例2-3】（2023·云南保山）（多选）,A B 为随机事件，已知()0.5P A =，()0.3P B =，下列结论中正确的是（）A ．若,AB 为互斥事件，则()0.8P A B +=B ．若,A B 为互斥事件，则()0.8P A B +=C ．若,A B 相互独立，则()0.65P A B +=D ．若()|0.3P B A =，则,A B 相互独立【答案】ACD【解析】A 选项，根据互斥事件的加法公式可得，()()()0.50.30.8P A B P A P B +=+=+=，A 选项正确；B 选项，若,A B 为互斥事件,故()0P AB =，类似集合的运算：A B A B = ，由()()()()1()101P A B P A B P A B P AB P AB +====-=-= ，故B 选项不正确；C 选项，由于,A B 是相互独立事件，故()()()P AB P A P B =，于是()()()()0.50.30.50.30.65P A B P A P B P AB +=+-=+-⨯=，C 选项正确；D 选项：)()(|)0.3()(P AB P B A P B A P ===，即()()()P AB P A P B =，于是,A B 相互独立，D 选项正确.故选：ACD.【一隅三反】1．（2024·广西）（多选）设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且1()2P A =，11()24P B =，7(24P AB AB +=，则下列结论中正确的是（）A ．1()8P AB =B ．5()6P A B +=C ．9()11|P A B =D ．()||)(P A B P B A =【答案】AB【解析】因为1()2P A =，11()24P B =，所以1()2P A =，13(24P B =.因为AB 与AB 为互斥事件，所以()0P AB AB ⋅=，所以(()()()()(P AB AB P AB P AB P AB AB P AB P AB +=+-⋅=+()()()()P B P AB P A P AB =-+-1112()224P AB =+-724=，所以1()3P AB =，故111()1()8()243P B P A P B AB =-=-=，故A 正确；115()(()()()()[()()](()236P A B P A P B P AB P A P B P B P AB P A P AB +=+-=+--=+=+=，故B 正确；1()83()11()1124|P AB P A B P B ===，故C 错误；1()38()11()1124|P AB P A B P B ===，11()()()123()1()()3|2P AB P A P AB P B A P A P A --===，所以()||)(P A B P B A ≠，故D 错误.故选:AB.2．（2024·福建）（多选）已知随机事件,,A B C 满足()01P A <<，()01P B <<，()01P C <<，则下列说法正确的是（）A ．不可能事件∅与事件A 互斥B ．必然事件Ω与事件A 相互独立C ．()()()P AC P AB C P AB C =+∣∣∣D ．若()()||P A B P A B =，则()()12P A P A ==【答案】ABC【解析】因为不可能事件∅与事件 A 不会同时发生，所以互斥，故选项A 正确；因为)1,()(),())()((P A P A P P A P P AΩ=Ω=Ω=,所以()()()P A P A P Ω=Ω，所以必然事件Ω与事件 A 相互独立，故选项B 正确；因为AB AB A = ，且,AB AB 互斥，所以()()()P AC P AB C P AB C =+∣∣∣，故选项C 正确；对于选项D ，假如做抛掷一枚骰子1次的试验，设事件B 为出现点数小于等于4，事件A 为出现点数小于等于2，则()()||P A B P A B =，但12(),(),()(),33P A P A P A P A ==≠故选项D 错误.故选:ABC.3．（2024下·全国·高二随堂练习）（多选）玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为1A ，“第一次取得白球”为2A ，“第二次取得黑球”为1B ，“第二次取得白球”为2B ，则（）A ．()()1122P AB P A B =B ．()()1221P A B P A B =C ．()()11211P B A P B A +<∣∣D ．()()21121P B A P B A +>∣∣【答案】BD【解析】由题意，第一次取得黑球的概率()12116C 1C 3P A ==，第一次取得白球的概率()14216C 2C 3P A ==，第一次取黑球、第二次取黑球的概率()1121111165C C 1C C 15P A B ==，第一次取白球、第二次取白球的概率()1143221165C C 2C C 5P A B ==，()()1122P A B P A B ≠，所以A 错误；第一次取黑球、第二次取白球的概率()1124121165C C 4C C 15P A B ==，第一次取白球、第二次取黑球的概率()1142211165C C 4C C 15P A B ==，()()1221P A B P A B =，所以B 正确；由()()()111111115153P A B P B A P A ===，()()()122114415153P A B P B A P A ===，得()()11211P B A P B A +=，所以C 错误；由()()()211224215253P A B P B A P A ===，得()()2112615P B A P B A +=>，所以D 正确．故选：BD4．（2023·河南平顶山）（多选）一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机取出一个球，若取到红球，则往口袋里再放入一个白球，若取到白球，则往口袋里再放入一个红球，取出的球不放回.像这样取两次球，设事件()1,2i A i =为“第i 次取到红球”，事件()1,2j B j =为“第j 次取到白球”，事件C 为“两次取到的球颜色相同”，则（）A ．1A 与2A 相互独立B ．()2135P B A =∣C ．()12825P B A =D ．()825P C =【答案】BCD【解析】对于A ，()()()112262414,,5552555552533232P A P A A P A ==⨯==⨯+⨯=，则()()()2112P P A A A P A ≠，所以1A 与2A 不相互独立，故A 错误；对于B ，()21P B A ∣是指在第一次取出红球的条件下，第二次取出白球的概率，第一次取出红球后，再放入一个白球，袋中变为2个红球和3个白球，此时取出白球的概率为35，故B 正确；对于C ，()12P B A 是第一次取到白球且第二次取到红球的概率，()122485525P B A =⨯=，故C 正确；对于D ，事件C 包含“两次都取到红球”和“两次都取到白球”两种情况，()()12123()5P C P A A P B B =+=⨯221855525+⨯=，故D 正确．故选：BCD.考法三全概率公式【例3-1】（2024·黑龙江）某人外出出差，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.1.若邻居浇水的概率为P ，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.83，则实数P 的值为（）A ．0.9B ．0.85C ．0.8D ．0.75【答案】A【解析】记A 为事件“盆栽没有枯萎”，W 为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得(),()1P W P P W P ==-，()0.8,()0.1P A W P A W ==∣∣，由对立事件的概率公式可得()1()10.830.17P A P A =-=-=.由全概率公式可得(()()()()0.1(1)0.80.17P A P W P A W P W P A W P P =+=⨯+-⨯=∣∣，解得0.9P =.故选：A【例3-2】（2024·河南南阳）长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）A ．521B ．940C ．745D ．720【答案】C【解析】令1A =“玩手机时间超过1小时的学生”，2A =“玩手机时间不超过1小时的学生”，B =“任意调查一人，此人近视”，12A A Ω= ，且12,A A 互斥，()()()()1210.10.9|0.6,0,.2 ,P A P A P B A P B ====，依题意有()()()()()()11222||0.10.60.9|0.2P B P A P B A P A P B A P B A =+=⨯+⨯=，解得()20.1470.945|P B A ==从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为745.故选：C 【一隅三反】1．（2024·黑龙江）小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A ，B ，C 三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A ，B ，C 三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A ，B ，C 三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（）A ．0.24B ．0.14C ．0.077D ．0.067【答案】C【解析】由题意，小明闯关失败的概率()()()0.210.910.310.920.510.930.077P =⨯-+⨯-+⨯-=.故选：C.2．（2024·全国·高二假期作业）某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为（）A ．0.48B ．0.52C ．0.56D ．0.65【答案】B【解析】种植一等麦种和二等麦种的事件分别为12,A A ，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B ，依题意，()10.8P A =，()20.2P A =，()1|0.6P B A =，()2|0.2P B A =，由全概率公式得，()()()12P B P BA P BA =+()()()()1122||P A P B A P A P B A =+0.80.60.20.20.52=⨯+⨯=.故选：B3．（2023·湖北）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、5箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（）A ．29B ．38C ．112D ．58【答案】B【解析】用A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用1B 表示丢失的一箱为英语书，2B 表示丢失的一箱为数学书，则()()1212P B P B ==，()24129C 61C 366P A B ===，()25229C 105C 3618P A B ===，由全概率公式可得()()()()()112211152262189P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅=⨯+⨯=，所以，()()()1111326289P AB P B A P A ⨯===.故选：B.4．（2023·湖北）（多选）某儿童乐园有甲，乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则王同学（）A ．第二天去甲游乐场的概率为0.63B ．第二天去乙游乐场的概率为0.42C ．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为23D ．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为13【答案】AC【解析】设1A ：第一天去甲游乐场，2A ：第二天去甲游乐场，1B ：第一天去乙游乐场，2B ：第二天去乙游乐场，依题意可得()10.3P A =，()10.7P B =，()210.7P A A =，()210.6P A B =，对A ，()()()()()21211210.30.70.70.60.63P A P A P A A P B P A B =+=⨯+⨯=，A 正确；对B ，()()2210.37P B P A =-=，B 错误；对C ，()()()()1211220.70.620.633P B P A B P B A P A ⨯===，C 正确；对D ，()()()()()()()()121121122210.310.790.3737P A P A A P A P B A P A B P B P B ⎡⎤-⨯-⎣⎦====，D 错误，故选：AC.5．（2024·陕西汉中）某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为．【答案】0.012【解析】设事件:A “取得一件次品”事件1B ：“取得次品是甲厂生产”，2B ：“取得次品是乙厂生产”，由题意可知()()()()12120.9,0.1,0.01,0.03P B P B P A B P A B ====,所以由全概率公式知取得次品的概率为()()()()()11220.010.900.030.100.012P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=.故答案为：0.012考法四贝叶斯公式【例4】（2024·福建）根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为13和23，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为34，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为12，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周一去食堂一楼的概率为（）．A ．37B ．47C ．15D ．45【答案】A【解析】记小孔同学周一去食堂一楼为事件A ，周二去食堂一楼为事件B ，则本题所求()()()()()()()13334132173432P B A P A P A B P B A P A P B A P A ⨯⋅===⋅+⋅⨯+⨯．故选：A ．【一隅三反】1．（2024湖南）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占13，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占14，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】设事件i A 表示“取到第i 号袋子”(i =1，2，3，4，5)，事件B 表示“取到白球”，则由贝叶斯公式得1115111()()153()11111114()()5354444j j j P A P B A P A B P A P B A =⨯===⎛⎫⨯+⨯+++ ⎪⎝⎭∑，故选：A2．（2023·全国·高二课堂例题）张宇去某地参加会议，他乘汽车或飞机去的概率分别为0.6、0.4．如果他乘汽车或飞机前去，迟到的概率如图所示．结果他迟到了，求张宇乘的是汽车的概率．【答案】917【解析】记事件A 为“张宇乘汽车”，则事件A 为“张宇乘飞机”，事件B 为“张宇迟到”，则()0.6P A =，()0.4P A =，()14P B A =，()13P B A =．根据贝叶斯公式可得()()()()()()()10.69411170.60.443P A P B A P A B P A P B A P A P B A⨯===+⨯+⨯．因此，张宇迟到了，他乘的是汽车的概率为917．3．（2023·湖南）某一地区患有某疾病的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04．现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是患者的概率有多大？（保留小数点后四位）【答案】0.1066【解析】设“抽查的人是患者”为事件A ，“试验反应是阳性”为事件B ，则“抽查的人不是患者”为事件A ，由题意可知()0.005P A =，()()10.995P A P A =-=，()0.95P B A =，()0.04P B A =，则由贝叶斯公式可得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.0050.950.10660.0050.950.9950.04⨯==⨯+⨯，即抽查一个人，试验反应是阳性，此人是患者的概率为0.1066.考法五综合运用【例5-1】（2024·吉林）中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：(1)从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？(2)若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；(3)若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.【答案】(1)310(2)29(3)310【解析】（1）设事件A =“取出饺子是肉馅”，()310P A =，（2）设事件B =“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，事件C =“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，()()()3221093910P BC P C B P B ⨯===（3）设事件D =“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.设事件1A ，2A ，3A 分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，()()()()()()()112233P D P A P D A P A P D A P A P D A =++342353310111011101110=⨯+⨯+⨯=【例5-2】（2023·河北保定）某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为5：7：8，小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6、0.5、0.4.(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率；(2)如果小明获胜，求与小明比赛的棋手分别为一、二、三类棋手的概率.【答案】(1)0.485(2)3097、3597、3297.【解析】（1）记事件B ：“小明获胜”，记事件i A ：“小明与第()1,2,3i i =类棋手相遇”，由题可得，()150.2520P A ==，()270.3520P A ==，()380.420P A ==，()10.6P B A =，()20.5P B A =，()30.4P B A =（1）由全概率公式可知()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.60.350.50.40.40.485=⨯+⨯+⨯=.（2）由条件概率公式可得()()()()()()11110.250.6300.48597P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，()()()()()()22220.350.5350.48597P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====，()()()()()()33330.40.4320.48597P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====.即小明获胜，对手分别为一、二、三类棋手的概率为3097、3597、3297.【一隅三反】1．（2023下·安徽芜湖·高二统考期末）（多选）一个不透明的袋子里，装有大小相同的3个红球和2个白球，每次从中不放回地取出一球，现取出2个球，则下列说法正确的是（）A ．两个都是红球的概率为625B ．在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率为12C ．第二次取到红球的概率为35D ．第二次取到红球的条件下，第一次取到白球的概率为12【答案】BCD【解析】对于A 选项，抽取的两个都是红球的概率为2325C 3C 10=，A 错；对于B 选项，记事件:M 第一次取红球，事件:N 第二次取白球，则()35P M =，()3235410P MN ⨯==⨯，所以，()()()3511032P MN P N M P M ==⨯=，B 对；对于C 选项，记事件:M 第一次取红球，事件:Q 第二次取红球，则()35P M =，()25P M =，()12P Q M =，()34P Q M =，由全概率公式可得()()()()()3123352545P Q P M P Q M P M P Q M =+=⨯+⨯=，C 对；对于D 选项，记事件:M 第一次取红球，事件:Q 第二次取红球，则()()()2335410P MQ P M P Q M ==⨯=，所以，()()()3511032P MQ P M Q P Q ==⨯=，D 对.故选：BCD.2．（2024上·黑龙江·高二校联考期末）（多选）已知编号为1,2,3的三个盒子，其中1号盒子内装有一个1号球，一个2号球和两个3号球；2号盒子内装有一个1号球，两个3号球；3号盒子内装有两个1号球，三个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A ．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为12B ．第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为14C ．第二次抽到2号球的概率为316D ．如果第二次抽到的是2号球，则它来自1号盒子的概率最大【答案】AB【解析】记第一次取得()1,2,3i i =号球为事件i A ，则()()()123111,442P A P A P A ===，在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到2号球的概率为31512P ==+，即A 正确；第一次抽到3号球且第二次抽到2号球的概率为111224P =⨯=，即B 正确；记第二次在第i 号盒子内抽到2号球的事件分别为()1,2,3i B i =，而123,,A A A 两两互斥，和为Ω，且()()()112233111,,442P B A P B A P B A ===∣∣∣，记第二次抽到2号球的事件为B ，则()()()33111111113()4444228i i i i ii i P B P A B P A P B A =====⨯+⨯+⨯=∑∑∣，即C 错误；由于原先2号盒子没有2号球，如果第二次取到的是2号球，则它来自1号盒子的概率为()()()112211111616338P A B P A B P P B ++===，它来自3号盒子的概率()()333124338P A B P P B ===，即如果第二次抽到的是2号球，则它来自3号盒子的概率最大，故D 错误.故选：AB3．（2023下·湖北武汉·高二校联考期末）某中学篮球队根据以往比赛统计：甲球员能够胜任前锋，中锋，后卫三个位置，且出场概率分别为0.1，0.5，0.4.在甲球员出任前锋，中锋，后卫的条件下，篮球队输球的概率依次为0.2，0.2，0.7.(1)当甲球员参加比赛时，求该篮球队某场比赛输球的概率；(2)当甲球员参加比赛时，在该篮球队输了某场比赛的条件下，求甲球员在这一场出任中锋的概率；(3)如果你是教练员，应用概率统计的有关知识该如何使用甲球员？【答案】(1)0.4(2)0.25(3)应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次【解析】（1）设1A 表示“甲球员出任前锋”，2A 表示“甲球员出任中锋”，3A 表示“甲球员出任后卫”，则123A A A Ω= ，设B 表示“球队输掉某场比赛”，则()10.1P A =，()20.5P A =，()30.4P A =，()()120.2P B A P B A ==||，()30.7P B A =|，所以()()()123()P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =⋅+⋅+⋅|||0.10.20.50.20.40.7=⨯+⨯+⨯0.4=.所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛输球的概率是0.4.（2）由（1）知，球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这一场出任中锋的概率()()()()22220.50.20.25()()0.4P B A P A P A B P A B P B P B ⨯====||.（3）由（1）知，已知球队输了某场比赛的条件下，甲球员在这场出任前锋的概率()()110.10.20.05()0.4P A B P A B P B ⨯===∣；甲球员在这场出任后卫的概率()()()330.40.70.70.4P A B P A B P B ⨯===∣；由（2）知，甲球员在这一场出任中锋的概率()20.25P A B =|.所以有，()()()123P A B P A B P A B <<∣∣∣，所以应该多让甲球员出任前锋来增加赢球场次.一．单选题1．（2024·北京昌平）已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（）A ．22.5%B ．30%C ．40%D ．75%【答案】C【解析】设事件A 为“抽到喜欢文学阅读的学生”，设事件B 为“抽到喜欢科普阅读的学生”，则()0.75P A =，()0.3P AB =，则()()()0.320.755P AB P B A P A ===，即在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为40%.故选：C.2．（2023·广东肇庆）已知()0.5P A =，()0.3P B =，()0.1P B A ⋂=，求()|P B A =（）A ．110B ．13C ．15D ．1【答案】C【解析】由题可得()()()0.110.55|P AB P B A P A ===.故选：C.3．（2023·山东德州）掷一个均匀的骰子．记A 为“掷得点数大于2”，B 为“掷得点数为奇数”，则()P B A 为（）A ．56B ．34C ．23D ．12【答案】D【解析】掷一个均匀的骰子，有1，2，3，4，5，6共6种结果，事件A 包含点数为3,4,5,6，共4种结果，所以()4263P A ==；事件AB 包含点数为3,5共2种结果，所以()2163P AB ==，所以()()()12P AB P B A P A ==．故选：D4．（2023下·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）某货车为某书店运送书籍，共10箱，其中5箱语文书、3箱数学书、2箱英语书．到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下的9箱书中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．38【答案】B【解析】记事件:A 从剩下的9箱书中随机打开2箱，结果是1箱语文书、1箱数学书，记事件2:B 丢失的一箱是语文书，事件2:B 丢失的一箱是数学书，事件3:B 丢失的一箱是英语书，则()()()3222199914335215312C 10C 5C 3i i i P A P B P A B =⨯⨯⨯==⨯+⨯+⨯=∑，()()()3332915315C 12P AB P B P A B ⨯==⨯=，由贝叶斯公式可得()()()33113124P AB P B A P A ==⨯=.故选：B.5．（2024下·全国·高二随堂练习）袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为（）A ．14B ．16C ．110D ．25【答案】A【解析】记i A 为第i 次摸到的是红球，则()()()12122P A A P A A P A =，又()()()121212115410P A A P A P A A ==⨯=，()()()()()()()212121211212132254545P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⨯+⨯=，所以()1214P A A =，故选：A.6．（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）下列各式中不能判断事件A 与事件B 独立的是（）A ．()()()P A B P A P B ⋂=B ．()()()()()P A B P A P B P A P B =+- C ．()()1P A B P A +=D ．()()1P A B P A B +=【答案】D【解析】选项A ：因为()()P A B P AB = ,所以()()()P AB P A P B =，由事件相互独立意义可知，事件A 与事件B 独立；故A 正确；选项B ：因为()()()()P A B P A P B P A B =+- ,又()()()()()P A B P A P B P A P B =+- ，所以()()()P A B P A P B ⋂=，由选项A 可知，事件A 与事件B 独立；故B 正确；选项C ：因为()()()()()1P AB P A B P A P A P B +=+=,即()()()()1P ABP A PA PB =-=所以()()()P AB P A P B =,即事件A 与事件B 独立，所以事件A 与事件B 独立，故C 正确；故选：D.7．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）下列有关事件的说法正确的是（）A ．事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大B ．若()()()1P A B P A P B =+= ，则事件A ，B 为对立事件C ．若A ，B 为互斥事件，则()()1P A P B +≤D ．若事件A ，B ，C 满足条件()0P B >，A 和C 为互斥事件，则()()()()P A C B P A B P C B <+∣∣∣ 【答案】C【解析】对于A 中，若事件A 和B 都为不可能事件，此时两个概率相等，所以A 错误；对于B 中，若在不同试验下，虽然有()()()1P A B P A P B =+= ，但事件A 和B 不对立；若在同一试验下，说明事件A 和B 对立，则B 错误；对于C 中，若A ，B 互斥，且A ，B 对立，则()()1P A P B +=，若A ，B 不对立，则()()1P A P B +<，所以C 正确；对于D 中，若事件A ，B ，C 满足条件()0P B >，A 和C 为互斥事件，则()()()()|||P A C B P A B P C B =+ ，所以D 错误，故选：C.8．（2023下·浙江台州·高二统考期末）已知()P A ，()P B ，()P C ，()P AC ，()P AB ，()P BC 均大于0，则下列说法不正确的是（）A ．()()()P AB P A P B =B ．若()()P B A P B =，则()()P A B P A =C ．若()()P B A P A B =，则()()P A P B =D ．()()()()P ABC P A P C A P B AC =【答案】A【解析】对于A ，若,A B 相互独立，则()()()P AB P A P B =，故A 错误；对于B ，若()()P B A P B =，则()()()P AB P B P A =,即()()()P AB P A P B =，所以()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===,故B 正确；对于C ，若()()P B A P A B =，则()()()()P AB P AB P A P B =，则()()P A P B =，故C 正确；对于D ，()()()()()()()()()P AC P ABC P A P C A P B AC P A P ABC P A P AC =⋅⋅=，故D 正确.故选:A.二．多选题9．（2023·吉林长春·）盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件=i A “第i 次取球，取到白球”，事件i B =“第i 次取球，取到正品”，1,2i =．则下列结论正确的是（）A ．()1123P A B =B ．()212P B =C ．()2113P A B =D ．()2134P B A =【答案】AD【解析】对A ，()193==124P B ，()1161==122P A B ，所以()()()111112==3P A B P A B P B ,故A 正确；对B ，事件2B =“第2次取球，取到正品”，()2119392212A A A 3A 4P B +==，故B 错误；对C ，事件21A B =“第1次取球，取到正品且第2次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白），共有65+62+36+32=66⨯⨯⨯⨯种情况，()21212661=A 2P A B =，故C 错误；对D ，事件12A B =“第1次取球，取到白球且第2次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正），共有65+63+26+23=66⨯⨯⨯⨯种情况，()12212661=A 2P A B =，又因为()182==123P A ，()()()122113==4P A B P B A P A ,故D 正确；故选：AD.10．（2024·全国·高二假期作业）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件A =“第一次取出的是红球”，事件B =“第二次取出的是红球”，事件C =“取出的两球同色”，事件D =“取出的两球不同色”，则（）A ．A 与B 互斥B ．C 与D 互为对立事件C ．A 与C 相互独立D ．()13P D B =【答案】BC【解析】基本事件有12，13，14，23，24，34，21，31，41，32，42，43，共12种，事件A =“12，13，14，21，23，24”；事件B =“12，21，31，41，32，42”；事件C =“12，21，34，43”；事件D =“13，14，23，24，31，41，32，42”．∵A B ⋂≠∅，∴A 与B 不是互斥事件，故A 错误；C D =Ω ，C D ⋂=∅，∴C 与D 互为对立事件，故B 正确；事件AC =“12，21”，∴()61122P A ==，()41123P C ==，()21126P AC ==，()()()P AC P A P C =，∴A 与C 相互独立，故C 正确；事件BD =“31，41，32，42”，()12P B =，()41123P BD ==，∴()()()23P BD P D B P B ==，故D 错误．故选：BC.11．（2023下·山东聊城·高二统考期末）若A 、B 分别为随机事件A 、B 的对立事件，()0P A >，()0P B >，则下列结论正确的是（）A ．()()1P B A P B A +=B ．()()()()P A B P B P B A P A=C ．()()()P A B P A B P B +=D ．若()()P A B P A =，则()()P B A P B =【答案】BD【解析】对于A 选项，因为()()()()()()()()()()()1P AB P AB P AB P AB P A P B A P B A P A P A P A P A ++=+===，但()P B A 与()P B A 不一定相等，故()()P B A P B A +不一定等于1，A 错；对于B 选项，因为()()()P A B P B P AB =，()()()P B A P A P AB =，所以，()()()()P A B P B P B A P A =，B 对；对于C 选项，()()()()()()()()1P AB P AB P B P A B P A B P B P B P B +=+==，C 错；对于D 选项，因为()()()()P AB P A B P A P B ==，所以，()()()P AB P A P B =，所以，事件A 、B 独立，故()()()()P AB P B A P B P A ==，D 对.故选：BD.12．（2024·河南）深圳某中学社团招新活动开展得如火如荼，小王、小李、小张三位同学计划篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则（）A ．三人选择社团一样的概率为19B ．三人选择社团各不相同的概率为227C ．至少有两人选择篮球社的概率为727D ．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57【答案】ACD【解析】对于A ，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，三人选择社团一样的概率为3113(39⨯=，A 正确；对于B ，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为3126()39⨯=，B 错误；对于C ，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为213332117C C ()()3327⨯+=，C 正确；对于D ，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A ，由选项C 知，7()27P A =，小王选择羽毛球社的事件为B ，则事件AB 是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率113322115()C C ((3327P AB =⨯+=，所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为()5(|)()7P AB P B A P A ==，D 正确.故选：ACD三．填空题13．（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）已知某地区内狗的寿命超过15岁的概率是0.6，超过20岁的概率是0.2.那么该地区内，一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率是.【答案】13【解析】设A ：狗的寿命超过15岁，B ：狗的寿命超过20岁，则所要求的就是(|)P B A .依题意有2,()0.6()0.P A P B ==.又因为B A ⊆，所以B A B =I ，从而()()0.2P B A P B == ，因此()()()0.21|0.63P B A P B A P A ⋂===.所以一只寿命超过15岁的狗，寿命能超过20岁的概率是13，故答案为：13.14．（2023上·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，对其编号红球1，2，白球3，4，从中不放回的依次取出两个球，事件A =“第一次取出的是红球”，事件B =“第二次取出的是红球”，事件C =“取出的两球同色”，事件D =“取出的两球不同色”，则以下命题所有正确的序号是.①A 与B 互斥②C 与D 互为对立事件③A 与C 相互独立④1(|)3P D B =【答案】②③【解析】依题意，按取球先后次序排列取球编号，得试验的样本空间{12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43}Ω=，事件{12,13,14,21,23,24}A =，事件{12,21,31,32,41,42}B =，事件{12,21,34,43}C =，事件{13,14,23,24,31,41,32,42}D =，显然事件,A B 有公共的基本事件12,21，即,A B 不互斥，①错误；事件,C D 不能同时发生，但必有一个发生，则C 与D 互为对立事件，②正确；6141(),()122123P A P C ====，事件{12,21}AC =，21()()()126P AC P A P C ===，A 与C 相互独立，③正确；61()122P B ==，事件{31,41,32,42}BD =，41()123P BD ==，()2(|)()3P BD P D B P B ==，④错误，所以命题中所有正确的序号是②③.故答案为：②③15．（2024下·全国·高二随堂练习）甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这5个景点中随机选一个．事件:A 甲和乙选择的景点不同，事件:B 甲和乙恰好有一人。

7.1条件概率与全概率公式- 2020-2021学年人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册讲义

1.定义：条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P()三者之间“知二求一”的关系一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P()=为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率.2. 条件概率的定义设A 、B 是两个事件，且P(B)>0,则称()(|)()P AB P A B P B为在事件B 发生的条件下,事件A 的条件概率.若事件B 已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A 中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B 已发生, 故B 变成了新的样本空间 , 于是有了以上公式3. 条件概率的计算 1) 用定义计算:2)从加入条件后可用缩减样本空间法1.定义:由条件概率的定义，对任意两个事件A 与B ,若P(A)>0，则()()()P AB P A P B A =,我们称上式为概率的乘法公式.2.性质：设P(A)>0，则,)()()|(B P AB P B A P =P (B )>0一般地条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系若，条件概率无条件概率（1）()1P A Ω=（2）如果B 与C是两个互斥事件，则()()()()P B C A P B A P C A ⋃=+ （3）设B 和B 互为对立事件，则()()1P B A P B A =-1.全概率公式一般地，设12,,n A A A 是一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃⋃=Ω，且()0i P A ＞，1,2,,i n =，则对任意的事件B ⊆Ω,有()()()1niii P B P A P B A ==∑我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一由条件概率的定义：若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB)定理若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)全概率公式全概率就是表示达到某个目的有多种方式(或者造成某种结果有多种原因),求达到目的的概率是多少(或者造成这种结果的概率是多少).2. 贝叶斯公式设12,,n A A A 是一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃⋃=Ω，且()0i P A ＞，1,2,,i n =，则对任意的事件B ⊆Ω，()0P B ＞，有()i P A B =()()()i i P A P B A P B =()()()()1i i nkkk P A P B A P A P B A =∑，1,2,,i n =全概率公式、贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用，同学们可通过进一步的练习去掌握它们.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.全概率公式. 全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件分解为若干个已知的简单事件再求解，而这些简单事件组成一个互不相容事件组 ,使得某个未知事件A 与这组互不相容事件中至少个同时发生 ,故在应眉此全慨率公式时,关键是要找到一个合适的S 的一个划分.例题1.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成( 表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，记事件 A = “两卦的六根线中恰有两根阳线”， B = “有一卦恰有一根阳线”，则 P(A|B)= （）,A. 15B. 16C. 17D. 314【答案】 B【解析】由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个，两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个，而事件A 所包含的情况可分为两种，即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴，另一个为全阴；第二种是两卦中均为一阳两阴；而事件 A ∩B 中只包含后者，即： P(A ∩B)=C 32C 82=328,事件 B 的概率 P(B)=1−C 52C 82=914 ，所以 P(A|B)=328914=16故答案为：B例题2.已知某种产品的合格率是 90% ，合格品中的一级品率是 20% .则这种产品的一级品率为（） A. 18% B. 19% C. 20% D. 21% 【答案】 A【解析】设事件A 为合格品，事件B 为一级品，则 P(A)=90%,P(B|A)=20% 所以 P(B)=P(A)P(B|A)=90%×20%=18% 故答案为：A例题3.某种电子元件用满3000小时不坏的概率为 34 ，用满8 000小时不坏的概率为 12 ，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是（）A.34B.23C.12D.13【答案】 B【解析】记事件A“用满3000小时不坏”，P(A)=34记事件B“用满8000小时不坏，P(B)=12∵B⊂A，∴P(AB)=P(B)=1 2则P(B|A)=P(AB)P(A)=1234=12×43=23故答案为：B例题4.某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.（1）求甲同学通过测试的概率；（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.【答案】（1）解：甲同学两分球投篮命中的概率为510+410+310+610+7105=0.5，甲同学三分球投篮命中的概率为110+0+110+210+1105=0.1，设甲同学累计得分为X，则P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=0.9×0.5×0.5+0.1×0.5+0.1×0.5×0.5=0.3，所以，甲同学通过测试的概率为0.3（2）解：乙同学两分球投篮命中率为210+410+310+510+6105=0.4，乙同学三分球投篮命中率为110+210+310+110+3105=0.2 .设乙同学累计得分为Y，则P(Y=4)=0.8×0.4×0.4=0.128，P(Y=5)=0.2×0.4+0.2×0.6×0.4=0.128，设“甲得分比乙得分高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，则P(AB)=P(X=5)⋅P(Y=4)=0.075×0.128=0.0096，P(B)=[P(X=4)+P(X=5)]⋅[P(Y=4)+P(Y=5)]=0.0768，由条件概率公式可得P(A|B)=P(AB)P(B)=0.00960.0768=18【解析】（1）分别求出甲同学两分球投篮命中的概率和甲同学三分球投篮命中的概率，设甲同学累计得分为X，则P（X≥4）=P（X=4）+P（X=5），由此能求出甲同学通过测试的概率；（2）乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2，设乙同学累计得分为Y，求出P（Y=4）=0.128，P（Y=5）=0.128，设“甲得分比乙得到高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，则P（AB）=P（X=5）•P（X=4），P（B）=[P（X=4）+P（X=5）]•[P（Y=4）+P（Y=5）]，由条件概率得：P(A|B)=P(AB)P(B)=0.00960.0768=18。

高中数学选择性必修三 7 1 条件概率及全概率(精讲)(含答案)

7.1 条件概率及全概率（精讲）考法一条件概率【例1】（1）（2021·湖南长沙市·长郡中学高二期末）把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M 为“两次所得点数均为奇数”，N 为“至少有一次点数是5”，则()P N M 等于（） A ．23B ．59C ．12D ．13（2）（2020·全国高三专题练习）袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（） A ．3/5B ．3/4C ．1/2D ．3/10【答案】（1）B （2）C【解析】（1）事件M 为“两次所得点数均为奇数”，则事件为()1,1，()1,3，()1,5，()3,1，()3,3，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，故()9n M =；N 为“至少有一次点数是5”，则事件MN 为()1,5，()3,5，()5,1，()5,3，()5,5，()5n MN =，所以()59P N M =.故选：B . （2）记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”，则事件AB 为“两次都取到白球”，依题意知3()5P A =，3263()542010P AB =⨯==，所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是3110()325P B A ==．故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高三专题练习）一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S .在已知S 为偶数的情况下，S 能被3整除的概率为（） A ．14B ．13C ．512D ．23【答案】B【解析】记“S 能被3整除”为事件A ，“S 为偶数”为事件B ，事件B 包括的基本事件有{1}3，，{1}5，，{3}5，，{24}，，{26}，，{46}，共6个. 事件AB 包括的基本事件有{1}5，、{24}，共2个. 则()21(|)()63n AB P A B n B ===，故选:B .2．（2020·河北沧州市·高二期中）盒中有10个零件，其中8个是合格品，2个是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1个．已知第一次抽出的是合格品，则第二次抽出的是合格品的概率是（） A ．15B ．29C ．79D ．710【答案】C【解析】设第一次抽到的是合格品，设为事件A ，第二次抽到的是合格品，设为事件B ，则()()()()()877899P AB n AB P B A P A n A ⨯====⨯.故选：C3．（2020·全国高三专题练习）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“恰有2名同学所报项目相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()|P B A =（）A ．16B ．13C ．23D ．56【答案】A【解析】事件AB 为“4名同学所报项目恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”.()2143421439C C P A ⨯⨯== , ()21324112327C C P AB ⨯⨯== 所以()()()2127|469P AB P B A P A === 故选：A4．（2020·北海市教育教学研究室高二期末（理））根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在下雨条件下吹东风的概率为（） A ．25B ．89C ．811D ．911【答案】C【解析】在下雨条件下吹东风的概率为8830=111130，选C考法二全概率公式【例2】．（2020·全国高二课时练习）设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结核的概率为0.1%.若从该城市居民中随机地选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率. 【答案】4751474【解析】设A 表示“被诊断为肺结核”，C 表示“患有肺结核”. 由题意得，()0.001,()0.999P C P C ==，()0.95,()0.002P A C P A C ==∣∣. 由贝叶斯公式知，()()475()()()()()1474P C P A C P CA P C P A C P C P A C ==+∣∣∣∣.【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被诊断者患有癌症”，则有()|P A C 0.95=，()|0.95P A C =.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即()0.005P C =，试求()|P C A . 【答案】19218【解析】因为()|0.95P A C =，所以()|1P A C =-()|0.05P A C =，因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，所以由全概率公式可得()()()()()||P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅，因为()P AC =()|P C A ()P A ()()|P A C P C = 所以()|P C A ()()()|()0.950.005190.950.0050.050.995218|()|()P A C P C P A C P C P A C P C ⨯===⨯+⨯+.。

概率论中的条件概率与全概率公式

概率论中的条件概率与全概率公式概率论是数学中一门重要的学科，它研究的是随机事件的发生概率和规律。

在概率论中，条件概率与全概率公式是基础且常用的概念和公式。

本文将详细介绍条件概率和全概率公式，并探讨它们的应用。

一、条件概率的概念条件概率是指在已知某一事件B发生的前提下，事件A发生的概率。

用符号表示为P(A|B)，读作“A在B发生的条件下发生的概率”。

条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

二、全概率公式的概念全概率公式是一种通过已知的一些事件得到其他相关事件概率的方法。

假设{B1, B2, ..., Bn}是一组互斥且完备的事件，即它们两两不相交且并起来等于整个样本空间。

那么对于任意一个事件A，可以通过全概率公式计算出A的概率：P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)三、条件概率与全概率公式的应用1. 贝叶斯定理条件概率和全概率公式是贝叶斯定理的基础。

贝叶斯定理用于计算在已知后验概率的情况下，推导出先验概率。

公式表达为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)为先验概率，P(B|A)为看到B发生的情况下A发生的概率，P(B)为全概率。

2. 假设检验在统计学中，条件概率和全概率公式被广泛应用于假设检验。

假设检验是一种用于通过观察数据来对某个假设进行验证或推翻的方法。

通过计算条件概率和全概率，可以得到在不同假设下的概率值，从而进行假设检验。

3. 事件的独立性判断条件概率与全概率公式也可以用于判断两个事件是否独立。

如果事件A与事件B独立，那么条件概率P(A|B)应该等于先验概率P(A)。

通过计算条件概率和全概率，可以判断两个事件是否独立。

四、总结条件概率与全概率公式是概率论中的基础概念和重要工具。

新人教版高中数学选择性必修第三册7.1 条件概率与全概率公式

.
解析 (1)从这批产品中随便地取一件,则这件产品恰好是次品的概率是 81 = 27 .
1 200 400
(2)设A:取出的产品是甲厂生产的,B:取出的产品为次品,
则由已知可得P(A)= 500 ,P(AB)= 25 ,所以这件产品恰好是甲厂生产的次品的概
1 200
1 200
率是P(B|A)= P(AB) = 1 .
第七章随机变量及其散布
1 |利用定义求条件概率农历五月初五是我国的传统节日——端午节,这一天,馨馨的妈妈煮了9个粽子,其中4个大枣馅、3个腊肉馅、2个豆沙馅,馨馨随机选取两个粽子.
第七章随机变量及其散布
1.若已知馨馨取到的两个粽子的馅不同,则取到的两个粽子分别是大枣馅和豆沙馅
的概率是多少?
P(A) P(D)
+
P(B) P(D)
=
C620 12 180
+
C620 12 180
=
13 58
.
C620
C620
所以他获得优秀的概率是 13 .
58
第七章随机变量及其散布
4 |乘法公式及其应用乘法公式的特点及注意事项 1.知二求一:若P(A)>0,则已知P(A),P(B|A),P(AB)中的两个值就可以求得第三个值; 若P(B)>0,则已知P(B),P(A|B),P(AB)中的两个值就可以求得第三个值. 2.P(B)与P(B|A)的区分在于两者产生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
多少?
提示:用C表示事件“取到的两个粽子为同一种馅”,D表示事件“取到的两个粽子
都为腊肉馅”,
则P(C)=
C24
C32 C92

条件概率和全概率公式

条件概率和全概率公式条件概率和全概率公式是概率论中的两个重要概念，用于描述和计算事件发生的可能性。

在概率论中，事件是指具有确定性的、能够被观测或验证的结果。

条件概率描述了在给定其中一条件下，事件发生的可能性，而全概率公式则用于计算两个或多个事件的联合概率。

首先，我们来看一下条件概率。

条件概率是指在已知其中一事件B发生的情况下，事件A发生的概率。

条件概率的表示方法为P(A，B)，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。

条件概率的计算公式为：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

根据这个公式，我们可以通过给定的条件概率来计算出事件的联合概率。

条件概率具有以下性质：1.若事件A和B相互独立，则P(A，B)=P(A)，即在事件B发生与否的条件下，事件A的发生与否不会受到影响。

2.若事件A和B不相互独立，则P(A，B)≠P(A)，即在事件B发生的条件下，事件A的发生概率与A和B的相互关系有关。

接下来，介绍一下全概率公式。

全概率公式用于计算事件A的概率，可以将事件A划分为几个互不相交的子事件，并计算这些子事件发生的概率，再根据这些概率加权求和即可得到事件A的概率。

全概率公式的表示为：P(A)=ΣP(A，B_i)P(Bi)其中，Bi表示一系列互不相交的事件，且它们的并集等于样本空间，即B1∪B2∪...∪Bn=Ω。

全概率公式的计算步骤如下：1.将样本空间Ω划分为几个互不相交的事件B1、B2、…、Bn。

2.计算每个子事件发生的概率P(Bi)。

3.计算给定每个子事件的条件下事件A发生的概率P(A，Bi)。

4.将这些条件概率与对应子事件发生的概率相乘，并将结果相加得到P(A)。

全概率公式的应用范围很广，可以用于各种概率计算问题中，包括生活中的实际问题和学术研究中的模型分析等。

总结起来，条件概率和全概率公式是概率论中的重要工具，用于描述事件的发生概率和计算联合概率。

条件概率和全概率公式

A P A 1 由以上两式可得 , P
即
P A 1 P A .
性质 4设 A 、 B 为两事件 , 且 A B , 则
P A B P A P B A P B . 并且 P
A B A B 证如图 , 因为 A B , 所以 AB 并且 B
例3 某城市共发行A、B、C三种报纸.调查表明,居民家庭中订购C报的占30%,同时订购A、B两报，A、C两报，B、C两报的分别各占10%，8%，5%，三种报纸都订的占3%.今在该城市中任找一户, 问 (1)该户只订A和B两种报纸的概率是多少? (2)该户只订C报的概率是多少?
第三节条件概率与全概率公式
4. 乘法公式
P( AB) 同样,由 P(B | A) 可以反求P (AB) P( A)
即若P(A)>0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (2)
(1)和(2)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率
乘法定理可以推广到多个事件的积事件 .
设 A 、 B 、 C 为三个事件 , 且 P AB 0 , 则
解
1 由于 A 、 B 互斥 , 所以
B A

于是 B A B
所以
1 . P B A P B 2
A
B
A 、 B互斥
2 因为 A B , 所以
P B A P B A P B P A 1 1 1 . 2 4 4
P ( B | A ) 1 P ( B | A ) 1 0 . 5 0 . 5
例2. 100件产品中有5件次品,现从中接连任取两件而不放回,求在第一次取得正品的条件下,第二次取得次品的概率.

事件的独立性、条件概率和全概率公式(精讲)【2024一轮复习讲义】(新高考通用)解析版

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第53讲事件的独立性、条件概率和全概率公式（精讲）题型目录一览①事件的相互独立性②条件概率③全概率公式④贝叶斯公式一、条件概率1.定义：一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．2.性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+ ．注：已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．二、相互独立与条件概率的关系1.相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，一、知识点梳理根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A = ．2.事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立．三、全概率公式1.全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()0i P A >，12i n = ，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．2.贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+（2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n = ，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω ；③()01i P A <<，12i n = ，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++ ，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：贝叶斯公式体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+.题型一事件的相互独立性1.判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．二、题型分类精讲A．332B．【答案】D【题型训练】一、单选题，从乙口袋内摸出一个白球的概率是6【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，不相互独立，所以本序号说法不正确；二、多选题不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以三、填空题四、解答题．一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让情．某市举行了一场射击表演赛，规定如下：表演赛由甲、乙两位选手进行，每次只能有一位选手射击，题型二条件概率1.判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的知事件的发生影响了所求事件的概率，也认为是条件概率问题．运用条件概率的关键是求出【题型训练】一、单选题1．核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为d二、多选题、表示事件错误；三、填空题个红球，从中任意取出一球，已知它不是白题型三全概率公式全概率公式复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．【题型训练】一、单选题小时的学生中任意调查一名学生，则（二、多选题，所以表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，，对；三、填空题记任选一人去桂林旅游的事件为B ，则123()0.4,()()0.3P A P A P A ===，123(|)0.1,(|)0.2,(|)0.15P B A P B A P B A ===,由全概率公式得112233()(|)()(|)()(5|)30.15014P P A P B A P A P B A P A P B B A =⨯⨯++==++⨯.故答案为：0.145四、解答题附：()2P K k≥0.150.100.05k 2.072 2.706 3.841 (2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每来自甲生产的概率为3，来自乙生产的概率为(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为①A获得季军的概率；②D成为亚军的概率；，其余三人实力旗鼓相当，求题型四贝叶斯公式1.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算【题型训练】一、单选题。

条件概率与全概率公式

P ( A )＝ P ( B 1 ) P ( A ｜ B 1 )＋ P ( B 2 ) P ( A ｜ B 2 )＋ P ( B 3 ) P ( A ｜ B
3 )＋
P ( B 4 ) P ( A ｜ B 4 )＝0.15×0.05＋0.20×0.04＋0.30×0.03＋
0.35×0.02＝0.031 5，

∑ ()(｜)
=1
， i ＝1，2，···， n .
[小题诊断]
1.
1
1
若 P ( A ｜ B )＝， P ( B )＝，则 P ( AB )的值是(
9
3
A )
1
1
1
由 P ( AB )＝ P ( A ｜ B ) P ( B )，可得 P ( AB )＝ × ＝ .
9
3
27
2. 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失
[解]
设第1次抽到舞蹈节目为事件 A ，第2次抽到舞蹈节目为事件 B ，
则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件 AB .
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞
()
蹈节目的概率为 P ( B ｜ A )＝
＝
()
2
5
2
3
法二：因为 n ( AB )＝12， n ( A )＝20，
总产量的15％，20％，30％和35％，且四条流水线的产品不合格率分别
为0.05，0.04，0.03和0.02，现从该厂的这一产品中任取一件，问抽到不
合格品的概率是多少？
解：设 A ＝“任取一件这种产品，抽到不合格品”，
B i ＝“任取一件这种产品，结果是第 i 条流水线的产品”( i ＝1，

高中数学选择性必修三精讲精炼 7 1 条件概率及全概率(精讲)(含答案)

7.1 条件概率及全概率(精讲)考点一条件概率公式【例1】(2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校)甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为13，乙命中目标的概率为12，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为( )A．14B．13C．12D．23【答案】C【解析】设事件:A目标至少被命中1次，事件:B甲命中目标．则1111112 ()(1)(1)3232323P A=⨯+-⨯+⨯-=，11111()(1)32323P AB=⨯+⨯-=，所以113(|)223P B A==．故选：C．【一隅三反】1．(2021·全国·高二课时练习)下面几种概率是条件概率的是( )A．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率B．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，小明在一次上学途中遇到红灯的概率【答案】B【解析】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率. A：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率；B：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率；C：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率；D：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率..故选：B2．(2021·四川成都 )若随机事件A，B满足1()3P A=，1()2P B=，3()4P A B+=，则()P A B=( )A．29B．23C．14D．16【答案】D【解析】由题可知：()()()()P A B P A P B P AB +=+- 所以()()()1131()32412P AB P A P B P A B =+-+=+-=所以()()1()6P AB P A B P B ==故选：D 3．(2021·河南平顶山 )从某高中2021名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从2021名学生中剔除21名，再从余下的2000名学生中随机抽取50名.则其中学生丙被选取和被剔除的概率分别是( ) A ．140，212021B ．502021，212021C ．140，212000 D ．212000，502021【答案】B【解析】由已知丙被剔除的概率是1212021P =，那么丙不被剔除的概率是2212000120212021P =-=，只有在丙不被剔除的情况下，丙才可能被抽取，因此概率为50200050200020212021P =⨯=．故选：B ．4(2021·全国·高二课时练习)7名同学从左向右站成一排，已知甲站在中间，则乙站在最右端的概率是( ) A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】C【解析】记“甲站在中间”为事件A ，“乙站在最右端”为事件B ，则()6677A A P A =，()5577A A P AB =，所以()()()55776677A A 1|A 6A P AB P B A P A ===，故选：C. 考点二全概率公式【例2】(2021·全国·高二课时练习)一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是( )A ．13B ．23C ．34D ．14【答案】B【解析】设A 表示“考生答对”，B 表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得()()()()()121113342P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=.又由贝叶斯公式得()()()()1123132P B P A B P B A P A ⨯===.故选：B 【一隅三反】1．(2021·全国·高二课前预习)设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的概率为( ) A ．310B ．21100C ．730D ．2990【答案】D【详解】设A ＝“先取到的是女生表”，B i ＝“取到第i 个地区的表”，i ＝1,2,3， ∴P (A )＝(B i )P (A |B i )＝×＋×＋×＝.2．(2021·全国·高二)播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为( ) A ．0.8 B ．0.532C ．0.482 5D ．0.312 5【答案】C【解析】设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是A 1，A 2，A 3，A 4，则Ω＝A 1∪A 2∪A 3∪A 4，且A 1，A 2，A 3，A 4两两互斥，设B ＝“从这批种子中任选一颗，所结的穗含50颗以上麦粒”，则P (B )＝(A i )·P (B |A i )＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.3．(2021·全国·高二课时练习)有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，则从这批产品中任取一件是次品的概率是( ) A ．0.013B ．0.04C ．0.002D ．0.003【解析】设事件A 为“任取一件为次品”，事件B i 为“任取一件为i 厂的产品”，i ＝1，2，3，则Ω＝B 1∪B 2∪B 3，且B 1，B 2，B 3两两互斥，易知P (B 1)＝0.3，P (B 2)＝0.5，P (B 3)＝0.2，P (A |B 1)＝0.02，P (A |B 2)＝0.01，P (A |B 3)＝0.01. ∴P (A )＝P (A |B 1)P (B 1)＋P (A |B 2)P (B 2)＋P (A |B 3)·P (B 3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013. 故选：A4．(2021·全国·高二课时练习)两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是( ) A ．275B ．7300C ．7375D ．9731000【答案】C【解析】设=i A “任意取出一个零件是第i 台机床生产的”，1,2i =；B =“任意取出一个零件是合格品”， ()()()()()21212927310.0310.023330075i i i P B P A P B A =∴==⨯-+⨯-==∑.故选：C. 考点三叶贝斯公式【例3】(2021·全国·高二课时练习)8支步枪中有5支已校准过，3支未校准．一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为 0.8；用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3．现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶，则所用的枪是校准过的概率为________．【答案】4049【解析】设B 1＝{使用的枪校准过}， B 2＝{使用的枪未校准}， A ＝{射击时中靶}，则P (B 1)＝58，P (B 2)＝38，P (A |B 1)＝0.8，P (A |B 2)＝0.3．由贝叶斯公式，得111112250.8()()408()53()()()()490.80.388P A B P B P B A P A B P B P A B P B ⨯===+⨯+⨯．所以，所用的枪是校准过的概率为4049，故答案为：4049【一隅三反】1．(2021·福建·莆田第二十四中学高二月考)设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________．【答案】0.80【解析】设“中途停车修理”为事件B ， “经过的是货车”为事件1A ， “经过的是客车” 为事件2A ，则12B A B A B =+，12()3P A =，21()3P A =，1(|)0.02P B A =，2(|)0.01P B A =，由贝叶斯公式有1111122()(|)(|)()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A +=20.023210.020.0133⨯=⨯+⨯0.80=. 故答案为：0.802(2021·全国·高二单元测试)通信渠道中可传输的字符为AAAA ，BBBB ，CCCC 三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6，收到其他字符的概率为0.2，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为ABCA ，则传输的字符是AAAA 的概率为________．【答案】0.5625【解析】以B 表示事件“收到的字符是ABCA ”，1A 表示事件“传输的字符为AAAA ”，2A 表示事件“传输的字符为BBBB ”，3A 表示事件“传输的字符为CCCC ”，根据题意有：()10.3P A =，()20.4P A =，()30.3P A =，()10.60.20.20.60.0144P B A =⨯⨯⨯=，()20.20.60.20.20.0048P B A =⨯⨯⨯=，()30.20.20.60.20.0048P B A =⨯⨯⨯=；根据贝叶斯公式可得： ()()()()()111310.01440.30.56250.01440.30.00480.40.00480.3iii P B A P A P A B P B A P A =⨯===⨯+⨯+⨯∑. 故答案为：0.5625.3(2021·全国·高二课时练习)计算机中心有三台打字机A ，B ，C ，某打字员使用各台打字机打字的概率依次为0.6，0.3，0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01，0.05，0.04.已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度，求该打字员使用A ，B ，C 打字的概率分别为多少. 【答案】0.24；0.6；0.16【解析】设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件M ， “该打字员用A 打字”为事件1N ，“该打字员用B 打字”为事件2N ， “该打字员用C 打字”为事件3N ，则根据全概率公式有()()()130.60.010.30.050.10.040.025i i i P M P N P M N ===⨯+⨯+⨯=∑，根据贝叶斯公式，可得该打字员使用A ，B ，C 打字的概率分别为：()()()()1110.60.010.240.025P N P M N P N M P M ⨯===，()()()()2220.30.050.60.025P N P M N P N M P M ⨯===，()()()()3330.10.040.160.025P N P M N P N M P M ⨯===.4．(2021·全国·高二课时练习)在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0．现假设发送信号为0和1的概率均为12；又已知发送信号为0时，接收为0和1的概率分别为0.7和0.3，发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．求已知收到信号0时，发出的信号是0(即没有错误接收)的概率．【答案】0.875【解析】设事件0A =“发送信号为0”，事件1A =“发送信号为1”，事件0B =“收到信号为0”，事件1B =“收到信号为1”．因为收到信号为0时，除来自发送信号为0外，还有发送信号为1时，由于干扰接收的信号0，因此导致事件0B 发生的原因有事件0A 与1A ，且它们互不相容，故0A 与1A 构成一完备事件组．由题意有()()0112P A P A ==，()000.7P B A =，()010.1P B A =，故()()()()()0000101110.70.10.422P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=．由贝叶斯公式得收到信号0时，发出的信号是0的概率为()()()()0000000.875P A P B A P A B P B ==．。

条件概率与全概率公式课堂讲义

第 3节条件概率与全概率公式基础知识诊断回顾教材务实基础【知识梳理】1．条件概率（一）定义一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．|()P B A 读作A 发生的条件下B 发生的概率．注意：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．（二）性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即|0()1P B A ≤≤．（2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0．（3）如果B 与C 互斥，则()|||()()P BC A P B A P C A =+．注意：（1）如果知道事件A 发生会影响事件B 发生的概率，那么|()()P B P B A ≠；（2）已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()()|n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω．（三）计算方法（1）利用定义计算：先分别计算概率()P AB 和()P A ，然后代入公式()()()|P AB P B A P A =即可．（2）借助古典概型计算概率的公式：先求事件A 包含的基本事件数()n A ，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数()n AB ，则()()()n AB P B A n A =． 2．相互独立与条件概率的关系（一）相互独立事件的概念及性质（1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果(|)()P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =．由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立．（2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()()()|P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．（4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A =．（二）事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B ⋅=．（2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是())|(P A B P A =．（3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()(|)()()()()P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立． 3．全概率公式（一）全概率公式（由因求果）（1）()()()()()||P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1 若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足： ①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n =，，，，，i j ≠； ②12n A A A +++=Ω；③()0i P A >，12i n =，，，. 则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++，且11()()()()|n ni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑.证明：如下图所示，因为事件12n A A A ，，，中有且只有一个与事件B 同时发生，其中12n A A A ，，，互斥，即∑==ni iBA B 1，显然12nBA BA BA ，，也互不相容. 所以由概率的加法公式和概率的乘法公式得： 1()()ni i P B P BA ==∑()12n P BA BA BA =++12()() ()n P BA P BA P BA =+++1122()(|)()(|)()(|) n n P A P B A P A P B A P A P B A =+++1()(|)ni i i P A P B A ==∑即得到全概率公式：1()()()|ni i i P B P A P B A ==∑注：（1）内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题.我们认真分析定理1中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为B ，而导致事件B 发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为12n A A A ，，，，而且只有12n A A A ，，，发生了才有事件B 的发生，那么全概率公式做出了由因求果的推断.（2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.合理选择12n A A A ，，，，()(|)(12)i i P A P B A i n ，，，，易求. （二）贝叶斯公式（执果求因）(1)一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()(|(||))|P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+(2)定理2 若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足：①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n =，，，，，i j ≠；②12n A A A +++=Ω；③()01i P A <<，12i n =，，，. 则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++，且1()()()()()())|||(()j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公式的意义是导致事件B 发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.（2）贝叶斯公式充分体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的转关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，()()()()()||P B P A P B A P A P B A =+之间的内在联系．考点聚焦突破分类讲练以例求法考点一条件概率【例1】一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A ；事件“第二次抽到黑球”为B . （1）分别求事件A ，B ，A B 发生的概率；（2）求|()P B A ．【解题总结】用定义法求条件概率)(A B P 的步骤（1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算()P A ，()P AB ；（3）代入公式求(()|))(P A B P B A P A =.【例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【解题总结】1．例2第(3)问利用了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法． 2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间A Ω中计算事件B 发生的概率，即|()P B A ． (2)在原样本空间Ω中，先计算()P AB ，()P A ，再利用公式(()|))(P A B P B A P A =计算求得|()P B A ．【例3】在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．【解题总结】为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率（如例3）．利用公式()|||()()P B C A P B A P C A=+可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．【训练1】根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为45，连续2天有客人入住的概率为35,在该房间第一天有客人入住的条件下,求第二天也有客人入住的概率．【训练2】从1、2、3、4、5、6、7、8、9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，求在A的条件下B发生的概率.【训练3】某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，求他在周六晚上或周五晚上值班的概率．考点二相互独立与条件概率的关系【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件．（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；（3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．【解题总结】判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件A，B相互独立⇔()()()P A B P A P B⋅=．（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．（3）条件概率法：当()0P A>时，可用(|)()P B A P B=判断．【例2】面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13.求：（1）他们都研制出疫苗的概率；（2）他们都失败的概率；（3）他们能够研制出疫苗的概率．【解题总结】1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤（1）首先确定各事件之间是相互独立的；（2）确定这些事件可以同时发生；（3）求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．【例3】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．【解题总结】1．求复杂事件的概率一般可分三步进行（1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；（2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；（3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．2．计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题，考虑逆向思维，考查原事件的对立事件，用间接法处理．【训练1】在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为45和34.在同一时间内，求：（1）甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；（2）至少有一个气象台预报准确的概率．【训练2】一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A ＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：（1）家庭中有两个小孩；（2）家庭中有三个小孩．考点三全概率公式考向1 全概率公式及其应用【例1】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品． (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．【解题总结】全概率公式1()()()|ni i i P B P A P B A ==∑在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．考向2 贝叶斯公式及其应用【例2】一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病．在患有此种疾病的人群中，通过化验有0095的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有001的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的000.5．若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？【解题总结】1．利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算()P A ，即1()()()|ni i i P A P B P A B ==∑；第二步：计算()P AB ，可利用()()()|P AB P B P A B =求解；第三步：代入()()()|P AB P B A P A =求解． 2．贝叶斯概率公式反映了条件概率()()()|P AB P B A P A =，全概率公式1()()()|ni i i P A P B P A B ==∑及乘法公式()()()|P AB P B P A B =之间的关系，即1|()()()()()()()()()(||)j j j j j j niii P B A P B P A B P B P A B P B A P A P A P B P A B ====∑.考向3 全概率公式与贝叶斯公式的综合应用【例3】假定具有症状}{1234S S S S S =，，，的疾病有1d ，2d ，3d 三种，现从20000份患有疾病1d ，2d ，3d 的病历卡中统计得到下列数字：试问当一个具有S诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？【解题总结】1．若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.2．“由因求果”用全概率公式，“执果求因”用贝叶斯公式.【训练1】某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别有2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，求该小组在比赛中射中目标的概率．【训练2】袋中有10个黑球，5个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，求掷出3点的概率．【训练3】设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为17，15，14.现从这三个地区任抽取一个人．（1）求此人感染此病的概率；（2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．。

7.1 条件概率与全概率公式课时2 全概率公式

（1）由全概率公式得．
（2）由贝叶斯公式得，，．由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．
1.春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为0.6，则此人在鼻炎发作的条件下，他感冒的概率为0.75,则他鼻炎发作且感冒的概率为( ).
A. B. C. D.
A. B. C. D.
C
[解析] 由全概率公式得．
4.袋中有10个黑球，5个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出3点的概率为________．
0.04835
[解析] 设取出的球全是白球掷出点，则由贝叶斯公式得．
探究1 乘法公式
第七章随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
课时2 全概率公式
学习目标
1.理解并掌握乘法公式与全概率公式.（数学抽象）
2.能运用乘法公式与全概率公式解决简单的概率问题.（数据分析、数学运算）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1. ，，（其中）之间存在怎样的等量关系？
新知运用
例3 假定具有症状的疾病有，，三种，现从20000份患有疾病，，的病历卡中统计得到下列数字：
疾病
人数
出现症状的人数
7750
7500
5250
4200
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ7000
3500
试问当一个具有症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的资料可依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？
同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95、0.90、，三家产品数所占比例为，将三家产品混合在一起．

20-21版：7.1.1　条件概率（步步高）

2 题型探究
PART TWO
一、条件概率的定义及计算
命题角度1 利用定义求条件概率例1 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求 (1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
解设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. 从 6 个节目中不放回地依次抽取 2 个，总的事件数 n(Ω)＝A26＝30. 根据分步乘法计数原理，有 n(A)＝A14A15＝20，所以 P(A)＝nnΩA＝2300＝23.
延伸探究 1.在本例条件下，求乙抽到偶数的概率.
解在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的情形有(1,2)，(1,4)，(1,6)， (3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率 P＝195＝35.
2.若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B： “甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A).
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
解因为 n(AB)＝A24＝12，所以 P(AB)＝nnAΩB＝1320＝25.
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.
解方法一由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下， 2
第 2 次抽到舞蹈节目的概率 P(B|A)＝PPAAB＝52＝35. 3
12345
3.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，
连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，
则随后一天的空气质量为优良的概率是
√A.0.8
B.0.75
C.0.6

条件概率与全概率公式评课稿

条件概率与全概率公式评课稿
（原创版）
目录
1.条件概率的定义与公式
2.全概率公式的定义与公式
3.条件概率与全概率公式的区别与联系
4.条件概率与全概率公式在实际应用中的案例分析
正文
一、条件概率的定义与公式
条件概率是指在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率。

这个概率可以用公式表示为：P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。

二、全概率公式的定义与公式
全概率公式是指在所有可能的事件集合中，某个事件发生的概率。

全概率公式的公式表示为：P(A) = ΣP(A|B_i)，其中 P(A|B_i) 表示在事件 B_i 发生的条件下，事件 A 发生的概率，Σ表示对所有可能的事件
B_i 求和。

三、条件概率与全概率公式的区别与联系
条件概率和全概率公式在定义和公式上有明显的区别，但它们在实际应用中却有着紧密的联系。

条件概率可以看作是全概率公式的一个特例，当全概率公式中的所有可能事件 B_i 只有一个时，全概率公式就变成了条件概率公式。

四、条件概率与全概率公式在实际应用中的案例分析
条件概率和全概率公式在实际应用中可以帮助我们更好地理解和预
测事件的发生概率。

例如，在医疗诊断中，通过观察病人的症状和各项检查指标，医生可以利用条件概率和全概率公式来判断病人患某种疾病的概率，从而给出正确的诊断结果。

在保险行业中，保险公司可以根据历史数据和统计模型，利用条件概率和全概率公式来预测投保人出险的概率，从而制定合理的保费和风险控制策略。

7.1条件概率与全概率公式-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)

7.1条件概率与全概率公式【基础梳理】一、条件概率的概念条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B A )三者之间“知二求一”的关系一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B A )=()()P AB P A 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率. 知识点二、概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A 与B ,若P(A)>0，则()()()P AB P A P B A =,我们称上式为概率的乘法公式.知识点三、条件概率的性质设P(A)>0，则（1）()1P A Ω=（2）如果B 与C 是两个互斥事件，则()()()()P B C A P B A P C A ⋃=+ （3）设B 和B 互为对立事件，则()()1P B A P B A =- 知识点四、全概率公式 1.全概率公式一般地，设12,,n A A A 是一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃⋃=Ω，且()0i P A ＞，1,2,,i n =，则对任意的事件B ⊆Ω,有()()()1ni i i P B P A P B A ==∑我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一 2. 贝叶斯公式设12,,n A A A 是一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃⋃=Ω，且()0i P A ＞，1,2,,i n =，则对任意的事件B ⊆Ω，()0P B ＞，有()i P A B =()()i i P A P B A P B =()()()()1i i nkkk P A P B A P A P B A =∑，1,2,,i n =【课堂探究】例1.近几年新能源汽车产业正持续快速发展，动力蓄电池技术是新能源汽车的核心技术.已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为90%，充放电次数达到1000次的概率为36%.若某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电100次的概率为（） A ．0.324B ．0.36C ．0.4D ．0.54例2．某学校高三（5）班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件:A 男生甲被选中，事件:B 有两名女生被选中，则()P B A =（）A ．18B ．17C ．38D ．37【课后练习】1.在[]0,2上有两个连续型随机数x ，y ，记事件A ：x y >，事件B ：2x y >，则()|P B A =（）A ．512B ．1124C ．56D ．11122．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（）A ．12B ．13C ．14D ．163．某次校园活动中，组织者给到场的前1000名同学分发编号000999的号码纸，每人一张，活动结束时公布获奖规则.获奖规则为：①号码的三位数字之和是7的倍数者可获得纪念品M ；②号码的三位数字全是奇数者可获得纪念品N .已知某同学的号码满足获得纪念品N 的条件，则他同时可以获得纪念品M 的概率是（） A ．0.016B ．0.032C ．0.064D ．0.1284．已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（）A ．1127B ．1124C ．827D ．9245．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )A ．0.72B ．0.8C ．89D ．0.96．从345678910,1112，，，，，，，，中不放回地依次取2个数，事件A = “第一次取到的数可以被3整除”,B = “第二次取到的数可以被3整除”，则()P B|?A =( ) A ．59B ．23C ．13D ．297．如图所示的平面图形是由正方形和其内切圆及另外4个四分之一圆弧构成，若在正方形内随机取一点，用A 表示事件“点落在正方形的内切圆内”，B 表示事件“点落在阴影部分内”，则(|)P B A =（）A ．4π B ．14π-C ．24π- D ．2ππ-8．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为（）A ．8225B ．12C ．34D ．38答案【课堂探究】例1 【答案】C 【分析】事件A 表示“充放电次数达到800次”，事件B 表示“充放电次数达到1000次”，则()0.9=P A ，()0.36P AB =，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】设事件A 表示“充放电次数达到800次”，事件B 表示“充放电次数达到1000次”，则()90%0.9,()36%0.36P A P AB ====，所以某用户的该品牌新能源汽车已经经过了800次的充放电，那么他的车能够达到充放电1000次的概率为：()0.36(|)0.4()0.9P AB P B A P A ===. 故选：C. 例2 【答案】B 【分析】计算出事件A 、AB 的概率，利用条件概率公式可求得()P B A 的值. 【详解】由题意可得()273838C P A C ==，事件:AB 男生甲与两名女生被选中，则()2338356C P AB C ==，因此，()()()3815637P AB P B A P A ==⨯=. 故选：B.【课后练习】 1.【答案】D 【分析】根据P （B|A ）＝()()()()P AB S AB P A S A =可得，其中S （AB ）表示A 和B 同时发生所构成区域的面积，S （A ）表示事件A 发生构成区域的面积．【详解】设S （AB ）表示A 和B 同时发生所构成区域的面积，S （A ）表示事件A 发生构成区域的面积．由211y x x y x y ==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或00x y =⎧⎨=⎩，如图所示，根据条件概率的计算公式P （B|A ）＝()()()()()1123200111222232111212222x x x x dx P AB S AB P A S A ⎛⎫--⨯⨯-- ⎪⎝⎭====⨯⨯⎰．故选：D ． 2.【答案】B 【分析】记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，分别求出A 、B 的结果个数，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式求解即可. 【详解】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则{A =（男，女），（女，男），（女，女）}，{B =（男，女），（女，男），（女，女）}，{AB =（女，女）}．于是可知3()4P A =，1()4P AB =．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式，得()114334P B A ==．故选：B ． 3【答案】D 【分析】记某同学获得纪念品M ､纪念品N 分別为事件A ､B ，由分步乘法计数原理结合古典概型概率公式可得125()1000P B =；再由分类加法、排列组合的知识结合古典概型概率公式可得16()1000P AB =；最后由条件概率公式即可得解. 【详解】记某同学获得纪念品M ､纪念品N 分別为事件A ､B ，则事件B 发生的充要条件是：三位数字均是1，3，5，7，9五个数中的一个，对应的概率555125()10001000P B ⨯⨯==；事件AB 是在三位数字均为奇数的基础上，还需满足三位数字之和为7的倍数，三个09之间的数字之和范围为027，又因为每位数字都是奇数，故其和亦为奇数，故三位数字之和只可能是7或21，所以三位数字从小到大排列只有以下五种可能：①1，1，5，对应的三位数个数为133C =； ②1，3，3，对应的三位数个数为133C =； ③3，9，9，对应的三位数个数为133C =；④5，7，9，对应的三位数个数为336A =；⑤7，7，7，对应的三位数有1个；故3336116()10001000P AB ++++==.于是所求概率为16()161000()0.128125()1251000P AB P A B P B ====. 故选：D. 4、【答案】C 【分析】先求出1号箱取到红球的概率，再求出在1号箱取到红球的条件下，2号箱取到红球的概率，利用条件概率的计算公式()()()|P AB P B A P A =，可求出两次都取到红球的概率【详解】设“从1号箱取到红球”为事件A ，“从2号箱取到红球”为事件B. 由题意，()42243P A ==+，()314819P B A +==+，所以()()()4289327P AB P B A P A =⋅=⨯=, 所以两次都取到红球的概率为827. 故选：C 5.【答案】A 【分析】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =，出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，根据条件概率公式计算即可，【详解】设一批种子的发芽率为事件A ，则()0.9P A =，出芽后的幼苗成活率为事件B ，则()|0.8P B A =，∴这粒种子能成长为幼苗的概率()()()|0.90.80.72P P AB P A P B A ===⨯=. 故选：A ． 6.【答案】C 【解析】分析：先求()P AB ，()P A ，再根据()(|)()P AB P B A P A =得结果. 详解：因为214421101022(),()155C C P AB P A C C ====，所以2()115(|)2()35P AB P B A P A ===, 选C. 7、【答案】D 【解析】分析：利用几何概型概率公式分别求出()P A 与()P AB 的值，由条件概率公式可得结果. 详解：正方形面积为4，正方形内切圆面积为()21,4P A πππ⨯=∴=，内切圆内阴影部分的面积为2114111242ππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭， ()24P AB π-∴=，()()()224/4P AB P B A P A ππππ--===，故选D. 8、【答案】D 【解析】分析：根据条件概率求结果.详解：因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮风的概率为13104815=，选D.。

高中数学选择性必修三 7 1 1条件概率7 1 2全概率公式

第七章随机变量及其分布7.1 条件概率与全概率公式7.1.1 条件概率 7.1.2 全概率公式课后篇巩固提升基础达标练1.已知P (B|A )=13,P (A )=25,则P (AB )等于 ( )A.56B.910C.215D.115(AB )=P (B|A )·P (A )=13×25=215.2.市场上供应的灯泡中,甲厂灯泡占70%,乙厂灯泡占30%,甲厂灯泡的合格率是95%,乙厂灯泡的合格率是80%,则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是 ( )A.0.665B.0.564C.0.245D.0.285A 为“买到一个甲厂灯泡”,事件B 为“买到一个合格灯泡”,则P (A )=0.7,P (B|A )=0.95,故P (AB )=P (A )·P (B|A )=0.7×0.95=0.665.3.(2020北京临川学校高三月考)将三枚骰子各掷一次,设事件A 为“三个点数都不相同”,事件B 为“至少出现一个6点”,则P (A|B )的值为( ) A.6091B.12C.518D.91216,P (AB )=6063=518,P (B )=1-P (B )=1-5363=1-125216=91216,故P (A|B )=P (AB )P (B )=51891216=6091.4.某班学生考试成绩中,数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%.已知某学生数学不及格,则他语文也不及格的概率是( ) A.0.2B.0.33C.0.5D.0.6“数学不及格”为事件A ,“语文不及格”为事件B ,则P (AB )=0.03,P (A )=0.15,故P (B|A )=P (AB )P (A )=0.030.15=0.2.5.(多选)(2019广东高二期末)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有6个红球、2个白球和2个黑球,先从甲罐中随机取岀一个球放入乙罐,分别以事件A 1,A 2,A 3表示由甲罐取岀的球是红球、白球和黑球,再从乙罐中随机取出一个球,以事件B 表示由乙罐取出的球是红球,下列结论正确的是( )A.事件B 与事件A 1不相互独立B.A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件C.P (B )=35 D.P (B|A 1)=711A,由题意可知,事件A 1发生与否影响事件B 的发生,故事件B 与事件A 1不相互独立,故A 正确;对于B,A 1,A 2,A 3两两不可能同时发生,故B 正确; 对于C,P (B )=510×711+510×611=1322,故C 不正确;对于D,已知从甲罐中取出一个红球放入乙罐,这时乙罐中有11个球,其中红球有7个,因此,在事件A 1发生的条件下,事件B 发生的概率为P (B|A 1)=711,故D 正确.故选ABD .6.(2020湖南衡阳高二月考)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12,两次闭合后都出现红灯的概率为15,则在第一次闭合后出现红灯的条件下,第二次闭合后出现红灯的概率为 .“第一次闭合后出现红灯”为事件A ,“第二次闭合后出现红灯”为事件B ,则P (A )=12,P (AB )=15,故在第一次闭合后出现红灯的条件下,第二次闭合后出现红灯的概率为P (B|A )=P (AB )P (A )=25.7.某种元件用满6 000小时未坏的概率是34,用满10 000小时未坏的概率是12,现有一个此种元件,已经用过6 000小时未坏,则它能用到10 000小时的概率为 .“用满6 000小时未坏”为事件A ,“用满10 000小时未坏”为事件B ,则P (A )=34,P (AB )=P (B )=12,故P (B|A )=P (AB )P (A )=1234=23.8.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取两瓶,若取得的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率为 .A 为“其中一瓶是蓝色”,事件B 为“另一瓶是红色”,事件C 为“另一瓶是黑色”,事件D 为“另一瓶是红色或黑色”,则D=B ∪C ,且B 与C 互斥.又P (A )=C 21C 41C 52=45,P (AB )=C 21C 11C 52=15,P (AC )=C 21C 21C 52=25,故P (D|A )=P (B ∪C|A )=P (B|A )+P (C|A )=P (AB )P (A )+P (AC )P (A )=34.9.在某次考试中,要从20道题中随机抽出6道题,考生至少能答对其中4道题即可通过,至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.A 为“该考生6道题全答对”,事件B 为“该考生答对了其中5道题”,事件C 为“该考生答对了其中4道题”,事件D 为“该考生在这次考试中通过”,事件E 为“该考生在这次考试中获得优秀”,则A ,B ,C 两两互斥,且D=A ∪B ∪C ,E=A ∪B ,由题意可知P (D )=P (A ∪B ∪C )=P (A )+P (B )+P (C )=C 106C 206+C 105C 101C 206+C 104C 102C 206=12 180C 206,P (AD )=P (A ),P (BD )=P (B ),故P (E|D )=P (A|D )+P (B|D )=P (A )P (D )+P (B )P (D )=210C 20612 180C 206+2 520C 20612 180C 206=1358. 故获得优秀成绩的概率为1358.10.坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋,其中有3个是绿皮的,2个是白皮的.如果不放回地依次拿出2个鸭蛋,求:(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率;(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率;(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A ,“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B ,则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.(1)从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个鸭蛋包含的样本点的个数为n (Ω)=A 52=20.又n (A )=A 31×A 41=12,于是P (A )=n (A )n (Ω)=1220=35.(2)因为n (AB )=3×2=6, 所以P (AB )=n (AB )n (Ω)=620=310. (3)由(1)(2),可得在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下,第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B|A )=P (AB )P (A )=31035=12.能力提升练1.某班有6名班干部,其中4名男生、2名女生,从中选出3人参加学校组织的社会实践活动,在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为( ) A.15 B.25C.12D.23“男生甲被选中”为事件A ,“女生乙被选中”为事件B.则P (A )=C 52C 63=12,P (AB )=C 41C 63=15,故P (B|A )=P (AB )P (A )=25.2.抛掷两枚质地均匀的骰子,在已知它们点数不同的情况下,有一枚出现6点的概率是( ) A.13 B.118C.16D.19“有一枚出现6点”为事件A ,“两枚骰子的点数不同”为事件B ,则n (B )=6×5=30,n (AB )=10,所以P (A|B )=n (AB )n (B )=13.3.7名同学站成一排,已知甲站在中间,则乙站在末尾的概率是( ) A.14B.15C.16D.17“甲站在中间”为事件A ,“乙站在末尾”为事件B ,则n (A )=A 66,n (AB )=A 55,故P (B|A )=A 55A 66=16.4.(2020山东潍坊检测)甲袋中有5个白球、7个红球,乙袋中有4个白球、2个红球,从两个袋中任选一袋,从中任取一球,则取到的球是白球的概率为( ) A.512B.23C.12D.1324A 表示“选中甲袋”,B 表示“选中乙袋”,C 表示“取到的球是白球”,则P (A )=12,P (B )=12,P (C|A )=512,P (C|B )=46=23,故P (C )=P (C|A )·P (A )+P (C|B )·P (B )=512×12+23×12=1324.5.设A ,B 为两个事件,若事件A 和B 同时发生的概率为310,在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率为12,则事件A 发生的概率为 .P (B|A )=P (AB )P (A ),P (AB )=310,P (B|A )=12,∴12=310P (A ),解得P (A )=35.6.先后掷两次骰子(骰子的六个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6),落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x ,y ,记事件A 为“x+y 为偶数”,事件B 为“x ,y 中有偶数且x ≠y ”,则概率P (B|A )= .P (A )=1836=12,P (AB )=636=16,故P (B|A )=P (AB )P (A )=13.7.甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,再从乙箱中任取一个产品,求取出的这个产品是正品的概率.从甲箱中任取2个产品包含的样本点数为C 82=28,这2个产品都是次品包含的样本点数为C 32=3,所以这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A 为“从乙箱中取一个正品”,事件B 1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”,事件B 2为“从甲箱中取出1个正品,1个次品”,事件B 3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”,则事件B 1,B 2,B 3彼此互斥.P (B 1)=C 52C 82=514, P (B 2)=C 51C 31C 82=1528,P (B 3)=C 32C 82=328,P (A|B 1)=23, P (A|B 2)=59, P (A|B 3)=49.所以P (A )=P (B 1)P (A|B 1)+P (B 2)P (A|B 2)+P (B 3)P (A|B 3)=514×23+1528×59+328×49=712.素养培优练某电子设备厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件厂提供的.根据以往的记录,这三个厂家的次品率分别为0.02,0.01,0.03,提供元件的份额分别为0.15,0.8,0.05,设这三个厂家的产品在仓库是均匀混合的,且无区别的标志.(1)在仓库中随机地取一个元件,求它是次品的概率.(2)在仓库中随机地取一个元件,若已知它是次品,则此次品来自哪个厂家的可能性大?A=“取到的元件是次品”,B=“取到的元件来自甲厂”,B 2=“取到的元件来自乙厂”,B 3=“取到的元件来自丙厂”,则P (B 1)=0.15,P (B 2)=0.8,P (B 3)=0.05,P (A|B 1)=0.02,P (A|B 2)=0.01,P (A|B 3)=0.03. (1)P (A )=P (B 1)P (A|B 1)+P (B 2)P (A|B 2)+P (B 3)P (A|B 3) =0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03 =0.012 5. (2)P (B 1|A )=P (B 1)P (A |B 1)P (A )=0.15×0.020.012 5=0.24,P (B 2|A )=P (B 2)P (A |B 2)P (A )=0.8×0.010.012 5=0.64, P (B 3|A )=P (B 3)P (A |B 3)P (A )=0.05×0.030.012 5=0.12.故此次品来自乙厂的可能性大.。

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