量子力学中对易关系以及测不准原理思考

平面转子的转动惯量为I ,求其能量本征值。

现在很多书上比如教材《量子力学导论》都给出如下的求解：平面转子的哈密顿量H 为

2

22

2

22ˆϕ

∂∂

-

==I I

l H

z

，能量本征方程为ψψE ˆ=H ，最后求得本征态()ϕ

π

ϕψim m

e

21=，

能量本征值为I

m 2E 2

2m =

，,...2,1,0m ±±=

这是我见到过的书上给出的求解。我觉得求它的m E 时要用到的H 应该是I

l

H

2ˆ2

=，这样求

出来的能量本征值才是转子全部的能量本征值，因为这和不确定关系，或则测不准有关，两

个求法最后的能量是不同的。由于lm lm Y l l Y l 2

2

)1(ˆ +=，那样就有lm lm

Y I

l l Y H 2)1(ˆ2

+=，

也就是能量本征值为I

l l E l 2)1(2

+=

，....2,1,0=l 。

和原来的I

m 2E 2

2

m =

比较，也就是2m 和()1+l l 比较而已，而l l l l l m -+---=,1,...,2,1,。

只有当m=ｌ＝０时l m E E =才会成立。

当l m ≠时，两个能量不等。这在经典力学里不绝不可能的，在经典力学里我们知道转子的Ｚ方向的角动量z l 就是它所有的角动量，所以不管你用z l 还是l 结果都是一样的。但是在这里原本因该相等的能量却有一个小小的E ∆，这是测不准原理在其作用，也是他量子话后特有的情况，首先[]I

m l l I

m I

l l E 2)1(22)1(2

2

2

22

-+=

-

+=

∆，先来看看即使是l m =，也就

是磁量子数取到最大，I

l E 22

=

∆，那么这相比经典多出来的部分能量来自哪里？我个人认

为这是y x l l ,这时不为０所产生的。因为不确定关系说到底就是对易关系，在[]k ijk j i l i l l ε=,当j i ≠，也就是说我们不能同时知道三个方向的角动量中的任意两个，但我们可以同时知道2

,l l z 因为他们是对易的。既然这样，这部分的能量其实是来自于y x l l ,，因为他们都不等于０了，而有一个很小的l ∆，正是有这个小的l ∆，才会有和经典能量比较后那个小小的能量的差别。2

2

m l l y x ≥

∆∆，当ｍ＝ｌ时，，不妨取 2

l l x =

∆， 2

l l y =

∆，照这样由这

两个方向产生的微小的能量为

I

l I

l l y x 22I

22

2

2

=

∆+

∆，和上面作差求出来的能量差相等。

所以我觉得应该要用2

l 而不是z l ，因为在量子力学里我们还有不确定关系，而用后者就体现不出和经典的差别了。