《函数的单调性》教案

课题函数的单调性

教学目标

1。函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

2。理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力。

3。能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性。

教材分析重点函数的单调性。

难点增函数、减函数形式化定义的形成。教具记号笔、白板、多媒体教具

教学过程

导入新课

德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850—1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵。经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准。他经过对自己的测试，得到了一些数据。

时间间

隔t

0分钟

20分

钟

60分

钟

8～9

小时

1天2天6天

一个

月

记忆量

y(百分

比)

100% 58。2% 44。2%

35。

8%

33。7% 27。8%

25。

4%

21。1%

观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数。当自变量(时间间隔t)逐渐增大时，你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗？描出这个函数图像的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线)。从左向右看，图像是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图像)

学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为横轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1所示。

图1

遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律。随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆。教师提示、点拨，并引出本节课题。

推进新课

新知探究

提出问题

①如图2所示的是一次函数y＝x，二次函数y＝x2和y＝－x2的图像，它们的图像有什么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？

教学过程

图2

②函数图像上任意点P(x，y)的坐标有什么意义？

③如何理解图像是上升的？

④对于二次函数y＝x2，列出x，y的对应值表(如下表)。完成下表并体会

图像在y轴右侧上升。

x …－4－3－2－101234…f(x)＝x2……

⑤在数学上规定：函数y＝x2在区间(0，＋∞)上是增函数。谁能给出增函

数的定义？

⑥增函数的定义中，把“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”改为“当x1＞

x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，这样行吗？

⑦增函数的定义中，“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”反映了函数值有

什么变化趋势？

⑧增函数的几何意义是什么？

⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？

⑩函数y＝f x在区间D上具有单调性，说明了函数y＝f x在区间D 上的图像有什么变化趋势？

讨论结果：①函数y＝x的图像，从左向右看是上升的；函数y＝x2的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图像在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的。

②函数图像上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，

纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小。

③按从左向右的方向看函数的图像，意味着图像上点的横坐标逐渐增大即

函数的自变量逐渐增大。图像是上升的意味着图像上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大。也就是说从左向右看图像上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大。

④在区间(0，＋∞)上，任取x1，x2，且x1＜x2，那么就有y1＜y2，也就是

有f(x1)＜f(x2)。这样可以体会用数学符号来刻画图像上升。

⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上

的任意

．．两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函

数f(x)在区间D上是增函

．．数。

⑥可以。增函数的定义：由于当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，即都是相

同的不等号“＜”，也就是说前面是“＜”，后面也是“＜”，步调一致；“当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)”都是相同的不等号“＞”，也就是说前面是“＞”，后面也是“＞”，步调一致。因此我们可以简称为：步调一致增函数。

⑦函数值随着自变量的增大而增大。

⑧从左向右看，图像是上升的。

⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意

．．两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区

间D上是减函数

．．．。．简称为：步调不一致减函数。减函数的几何意义：从左向右看，图像是下降的。函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小。总结：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y＝f(x)在这一

教学过程

区间具有(严格的)单调性

．．．，区间D叫作y＝f(x)的单调递增

．．．．(．或减

．．)．区间

．．。．⑩函数y＝f(x)在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小)，几何意义：从左向右看，图像是上升(下降)的。

应用示例

思路1

例1 说出函数f(x)＝

1

x

的单调区间，并指明在该区间上的单调性。

活动：学生思考函数单调性的几何意义，由图像得单调区间。

解：(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数f(x)＝

1

x

是减少的。

点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图像法判断函数单调性。图像法判断函数的单调性适合于选择题和填空题。如果解答题中给出了函数的图像，通常用图像法判断单调性。函数的图像类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图像可以分析出函数值的变化趋势即单调性。

图像法求函数单调区间的步骤是：第一步，画函数的图像；第二步，观察图像，利用函数单调性的几何意义写出单调区间。

变式训练

图3是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

图3

活动：教师提示利用函数单调性的几何意义。学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生。图像上升则在此区间上是增函数，图像下降则在此区间上是减函数。

解：函数y＝f(x)的单调区间是[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]。其中函数y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数。

例2 画出函数f(x)＝3x＋2的图像，判断它的单调性，并加以证明。

活动：学生自己画出图像，当学生没有证明思路时，教师再提示，及时纠正学生解答过程中出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤。

图4