运筹学概论 第6章 动态规划
动态规划(运筹学)
k阶段的允许决策集合
四、状态转移方程 sk+1与sk,xk之间必须能够建立一种明确的数量对应关系，记为
Tk(sk,xk), 即有 sk+1 = Tk(sk,xk)
这种明确的数量关系称为状态转移方程。
五、策略
由各阶段决策xk构成的决策序列,称为全过程策略,简称策略,记为
p1(s1),有
p1(s1) = { x1(s1),x2(s2),… ,xn(sn)} ∈P1
xk∈Xk
f*n+1(sn+1) = 1 积 f*k(sk)xk=∈Xok pt {vk(sk,xk) ×fk+1*(sk+1)}
k = n, n-1, …, 2, 1 k = n, n-1, …, 2, 1
11
三、基本步骤
1°建立模型
(1) 划分阶段，设定 k (2) 设定状态变量 sk
(3) 设定决策变量 xk
3） 阶段指标函数。第k阶段装载 件货物时所创的利润 。 vk xk
4） 函数的基本方程为
fk
sk
opt
xk Dk sk
vk xk fk1 sk wk xk k 1, 2,3
sk 0,1, ,6
f4
s4
0
k=3时
w3 4, v3 18
s3 0,1, , 6
x3
0,1,
六、运输时间须控制在合理范围之内（如集装箱干线船的班期）。
ZH物流公司是一家大型的集装箱多式联运经营企业，在成都设有内 陆集装箱货运站（CFS），经营成都——上海间集装箱货物运输服务，其多式 联运通道的主要节点城市为南京与郑州。现有一个货主需要将2个20英尺的集装 箱从成都运往上海，运输路线为成都-郑州-南京-上海，要求在货物起运后2530小时之内到达目的地。
运筹学之动态规划
运筹学之动态规划摘要：动态规划是运筹学的一个分支, 是一种解决多阶段决策过程最优化的数学方法, 它把复杂的多阶段决策问题分解成一系列相互联系的较容易解决的单阶段决策问题,通过解决一系列单阶段决策问题来解决多阶段决策问题。
以寻求最优决策序列的方法。
动态规划研究多阶段决策过程的总体优化, 即从系统总体出发, 要求各阶段决策所构成的决策序列使目标函数值达到最优。
在经济管理方面, 动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存问题、装载问题、排序问题、设备更新问题、生产过程最优控制问题等等, 所以它是现代经济管理中的一种重要的决策方法。
关键字：运筹学、动态规划、最优化原理运筹学作为一门新兴科学, 其应用范围是十分广泛的。
对于不同类型问题, 运筹学都有着不同的解决方法,因而形成了许分支学科。
它们虽然各有特性, 但在运用系统观念分析问题,并对问题建立模型求解这两点上都是共同的。
以下主要介绍运筹学在经济管理和物流方面的应用。
一、运筹学在经济管理中的应用在经济管理中, 常用的运筹学方法有线性规划和动态规划。
1.动态规划：动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法，也是现代企业管理中的一种重要决策方法，可用于最优路径问题、资源分配问题、资源分配的问题、生产计划和库存问题、投资问题、装载问题、排序问题及生产过程的最优控制等，用动态规划方法比用其他方法求解更为方便。
应用动态规划方法可以很好的简化一些较复杂的最优化问题的求解，特别是在解决无法用解析数学表达的离散性问题时具有明显的优点。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
二、动态规划的基本原理1．动态规划的最优化原理及其应用20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究一类多阶段决策过程（multistep decision process）的优化问题时，提出了解决动态规划问题的核心，著名的最优化原理（principle of optimality），把多阶段过程化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法，从而建立了数学规划的另一分支——动态规划（Dynamic Programming）。
第6章动态规划
第6章 动态规划动态规划（Dynamic Programming ）是解决多阶段决策过程最优化的一种有用的数学方法。
它是由美国学者Richard .Bellman 在1951年提出的，1957年他的专著《动态规划》一书问世，标志着运筹学的一个重要分支－动态规划的诞生.动态规划也是一种将多变量问题转化为单变量问题的一种方法。
在动态规划中，把困难的多阶段决策问题变换成一系列相互联系的比较容易的单阶段问题一个个地求解。
动态规划是考察解决问题的一种途径 ,而不是一种特殊的算法，不像线性规划那样有统一的数学模型和算法（如单纯形法）.事实上，在运用其解决问题的过程中还需要运用其它的优化算法。
因此，动态规划不像其它方法局限于解决某一类问题,它可以解决各类多阶段决策问题。
动态规划在工程技术、经济管理等社会各个领域都有着广泛的应用，并且获得了显著的效果。
在经济管理方面,动态规划可以用来解决最优路径问题、资源分配问题、生产调度问题、库存管理问题、排序问题、设备更新问题以及生产过程最优控制问题等，是经济管理中一种重要的决策技术。
许多规划问题用动态规划的方法来处理,常比线性规划或非线性规划更有效。
特别是对于离散的问题，由于解析数学无法发挥作用，动态规划便成为了一种非常有用的工具。
动态规划可以按照决策过程的演变是否确定分为确定性动态规划和随机性动态规划；也可以按照决策变量的取值是否连续分为连续性动态规划和离散性动态规划。
本教材主要介绍动态规划的基本概念、理论和方法,并通过典型的案例说明这些理论和方法的应用。
6.1动态规划的基本理论6.1.1多阶段决策过程的数学描述有这样一类活动过程,其整个过程可分为若干相互联系的阶段，每一阶段都要作出相应的决策,以使整个过程达到最佳的活动效果。
任何一个阶段(stage ，即决策点)都是由输入(input ）、决策（decision ）、状态转移律（transformation function )和输出(output )构成的，如图6-1（a ）所示.其中输入和输出也称为状态(state ）,输入称为输入状态，输出称为输出状态。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、教学目标1. 了解动态规划的基本概念及其在运筹学中的应用。
2. 掌握动态规划的基本原理和方法，能够解决实际问题。
3. 学会使用动态规划解决最优化问题，提高解决问题的效率。
二、教学内容1. 动态规划的基本概念动态规划的定义动态规划与分治法的区别2. 动态规划的基本原理最优解的性质状态转移方程边界条件3. 动态规划的方法递推法迭代法表格法4. 动态规划的应用背包问题最长公共子序列最短路径问题三、教学方法1. 讲授法：讲解动态规划的基本概念、原理和方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用动态规划解决问题。
3. 编程实践法：让学生动手编写代码，加深对动态规划方法的理解。
四、教学准备1. 教材：《运筹学导论》或相关教材。
2. 课件：动态规划的基本概念、原理、方法及应用案例。
3. 编程环境：为学生提供编程实践的平台，如Python、C++等。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题，引出动态规划的概念。
2. 讲解：讲解动态规划的基本原理和方法。
3. 案例分析：分析实际问题，展示动态规划的应用。
4. 编程实践：让学生动手解决实际问题，巩固动态规划方法。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调动态规划的关键要点。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂讲解：评估学生对动态规划基本概念、原理和方法的理解程度。
2. 案例分析：评估学生运用动态规划解决实际问题的能力。
3. 编程实践：评估学生动手实现动态规划算法的能力。
4. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握情况。
七、教学拓展1. 研究动态规划与其他优化方法的联系与区别。
2. 探讨动态规划在运筹学其他领域的应用，如库存管理、生产计划等。
3. 了解动态规划在、数据挖掘等领域的应用。
八、教学反思1. 反思本节课的教学内容、方法和过程，确保符合教学目标。
2. 考虑学生的反馈，调整教学方法和节奏，提高教学效果。
3. 探讨如何将动态规划与其他运筹学方法相结合，提高解决问题的综合能力。
运筹学第6章new
6.1 动态规划问题与数学模型
动态规划是运筹学的一个重要的分支，它是 一种将复杂的多阶段决策问题转化为一系列比较 简单的最优化问题的方法，它的基本特征是优化 过程的多阶段性。
动态规划是一种用于处理多阶段决策问题的数 学方法，主要是先将一个复杂的问题分解成相互 联系的若干阶段，每个阶段即为一个子问题，然 后逐个解决，当每个阶段的决策确定之后，整个 过程的决策也就确定了，阶段一般用时间段来表 示，这就是动态的含义，把这种处理问题的方法 称为动态规划方法。
⒉状态(state):状态表示在任一阶段所处的 位置,通常一个阶段有若干个状态，它既是 某阶段过程演变的起点，又是前一阶段某种
决策的结果。
描述状态的变量称为状态变量,第k阶段的 状态变量用 sk 表示.状态变量取值的全体称 为状态空间或状态集合，记为Sk. 对于n个阶 段的决策过程有n+1个状态变量。
在实际生活中尚有许多不包含时间因素的 一类静态决策问题，就其本质而言是一次决 策问题，是非动态决策问题，但可以人为地 引入阶段的概念作为多阶段决策问题，并应 用动态规划方法加以解决。
资源分配问题便属于这类静态问题。
如：某工业部门或公司，拟对其所属 企业进行可用资源分配，为此需要制定出 收益最大的资源分配方案。
sk+1=Tk（sk，xk） 这种表示从第k阶段到第k+1阶段状态转移规律的 方程称为状态转移方程，它反映了系统状态转移的递
推规律。例如例1中，上一阶段的决策就是下一阶段 的状态，所以状态转移方程为：
sk+1= xk（sk）
⒍指标函数(index function):指标函数是用来衡 量实现过程优劣的一种数量指标.它是从状态 sk 出发至过程最终,当采取某种策略时,按预定标准 得到的效益值,这个值既与 sk 有关,又与 sk 以 后所选取的策略有关,它是两者的函数,称为过程 指标函数,记为 Vk,n (sk , xk , sk1, xk1, , sn ). 特别地,仅第k阶段的指标函数,可记为 vk (sk , xk )
动态规划原理
动态规划原理
动态规划是一种解决复杂问题的算法思想。
它通过将问题分解成较小的子问题，并通过寻找子问题的最优解来解决整体问题。
动态规划的核心思想是将整体问题拆分成多个重叠子问题，在解决子问题的过程中记录下每个子问题的解。
这样一来，当我们需要求解更大规模的子问题时，可以直接利用已经计算出的子问题解，避免重复计算，提高算法效率。
其中，动态规划的关键步骤包括定义状态、设计状态转移方程和确定边界条件。
首先，我们需要确定问题的状态。
状态可以理解为问题的属性，它描述了问题在不同阶段、不同状态下的特征。
在动态规划中，我们将问题的状态表示成一个或多个变量，用于描述问题的特征。
接着，我们需要设计状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的联系和转移规律。
它通过将问题的解与子问题的解联系起来，建立起子问题与整体问题的关系。
通过推导状态转移方程，我们可以由已知的子问题解计算出更大规模的问题解。
最后，我们需要确定边界条件。
边界条件表示问题的终止条件，它是最小规模子问题的解。
边界条件是问题求解的起点，也是递归求解过程的出口。
通过依次求解子问题，并利用已经计算过的子问题解，动态规
划可以高效地解决复杂问题，并得到全局最优解。
因此，它在解决优化问题、序列问题、最短路径问题等方面有着广泛的应用。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划一、引言1.1 课程背景本课程旨在帮助学生掌握运筹学中的动态规划方法，培养学生解决实际问题的能力。
1.2 课程目标通过本课程的学习，学生将能够：（1）理解动态规划的基本概念和原理；（2）掌握动态规划解决问题的方法和步骤；（3）能够应用动态规划解决实际问题。
二、动态规划基本概念2.1 定义动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为简单子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
2.2 特点（1）最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解；（2）重叠子问题：问题中含有重复子问题；（3）无后效性：一旦某个给定子问题的解确定了，就不会再改变；（4）子问题划分：问题可以分解为若干个子问题，且子问题之间是相互独立的。
三、动态规划解决问题步骤3.1 定义状态状态是指某一阶段问题的一个描述，可以用一组变量来表示。
3.2 建立状态转移方程状态转移方程是描述从一个状态到另一个状态的转换关系。
3.3 确定边界条件边界条件是指初始状态和最终状态的取值。
3.4 求解最优解根据状态转移方程和边界条件，求解最优解。
四、动态规划应用实例4.1 0-1背包问题问题描述：给定n个物品，每个物品有一个重量和一个价值，背包的最大容量为W，如何选择装入背包的物品，使得背包内物品的总价值最大。
4.2 最长公共子序列问题描述：给定两个序列，求它们的最长公共子序列。
4.3 最短路径问题问题描述：给定一个加权无向图，求从源点到其他各顶点的最短路径。
5.1 动态规划的基本概念和原理5.2 动态规划解决问题的步骤5.3 动态规划在实际问题中的应用教学方法：本课程采用讲授、案例分析、上机实践相结合的教学方法，帮助学生深入理解和掌握动态规划方法。
教学评估：课程结束后，通过课堂讨论、上机考试等方式对学生的学习情况进行评估。
六、动态规划算法设计6.1 动态规划算法框架介绍动态规划算法的基本框架，包括状态定义、状态转移方程、边界条件、计算顺序等。
第6章：动态规划《运筹学》
fk
sk 1
min
uk Dk (sk )
d (sk , sk1)
fk1(sk )
(k 1,2,3,4)
k=0时，f0(s1)= f0(s)=0，这是边界条件。
k=1时，S2={A1，A2，A3} f1( A1) 8
A1
8
f1( A2 ) 6 f1( A3 ) 4 k=2时，S3={B1，B2，B3}
发，采取某种策略到第n阶段的终止状态时的效益，它与所选 取的策略有关，因此常记作：
Vk,n (sk ,uk , sk 1,, sn ,un ) (k 1,2,, n) 常用的指标函数的形式有各阶段指标函数的和的形式和积的 形式两种。
①和的形式
n
Vk,n (sk ,uk , sk 1,,un ) v j (s j ,u j ) vk (sk , uk ) Vk1,n (sk1 , uk1 ,, un )
uskk
Sk
sk
Dk
sk
k 1,2,,n
建立实际问题的动态规划模型一般可遵循以下步骤：
第一，按时间或空间顺序将多阶段决策问题划分为适当的 阶段；
第二，恰当选择状态变量sk，使它既能确切地描述过程的演 变，又满足过程的无后效性；
第三，确定决策变量uk 及每阶段的容许决策集Dk(sk)。状态 变量和决策变量可以是连续的，也可以是离散的；
在例6-4中，第一阶段有一个状态s，则S1={s}；第二阶段的 状态有A1、A2、A3三个，则S2={A1,A2,A3}；第三阶段的状态 也有B1、B2和B3三个，则S3={B1,B2,B3}；第四阶段的状态有两 个，C1和C2，记为则S4={C1,C2}。
3.决策和策略 当各阶段的状态确
运筹学第六章答案
6.1试用动态规划方法，求解图6-2 从Q 到T 的最短路。
解：由上图可知，从Q 到T 的最短路是8用逆序解法，由题意，递推方程为()(){}()1,2,3,4,min )(11=+=++k x f u x w x f k k k k k k k终端条件为()05=T f当k=4时，()30314=+=C f()10124=+=C f()50534=+=C f当 k=3时， ()()()()()()113342414135352min C B u C f C f C f B f ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++=()()()()()()123342414234241min C B u C f C f C f B f ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++=当k=2时，()()()()()212231312734min B A u B f B f A f ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=()()()()()122231322731min B A u B f B f A f ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=()()()()()132231332853min B A u B f B f A f ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=当k=1 时，()()()()()()2132221218123min A Q u A f A f A f Q f ==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+++=最优解策略为()2*1A Q u = ()12*2B A u = ()11*3C B u = ()T C u =1*4最短路长为86.2用动态规划方法求解 （1）3221max x x x F ⋅⋅=⎩⎨⎧=≥=++3,2,1,04..321i x x x x t s i解：3211x x x S ++=322x x S += 33x S = 121x S S +=232x S S += 33x S =()(){}3max 22022222f x s f sx ⋅=≤≤=(){}2220222max x s x sx -⋅≤≤由导数法求得，当3222s S =时，()22x f 有最大值27432s ()(){}22140111max x f x s f x ⋅=≤≤=()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅=≤≤274max 32140111s x s f x =()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋅=≤≤2744max 31140111x x s f x解得：11=x 时，()4max 11=x f∴ ()⎪⎩⎪⎨⎧+==++322323241x x x x x∴⎩⎨⎧==1232x x ∴1,2,1321===x x x （2）321232223222124222min x x x x x x x x F ---+-++=⎩⎨⎧=≥=++3,2,1,03..321i x x x x t s i解： 31=S 112x S S -= 223x S S -=()(){}41min 23333--==x s f x s =(){}4123--s()()(){}4112min 2322222--+-=≤s x s f x x=()(){}411222222---+-x s x=1422224222222222222+-+-+-++-x s x x s s x x()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=≤222221413423221min 1s s x s f x =()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-≤1342632321min 21212141x x x x=()()112194219212221211121--+-++-++-x x x x x x =96930915121+-x x =30301-x =011=x6.3 有四台设备分给甲，乙，丙，丁四厂，各厂盈利如表6-6所示。
运筹学第六章 动态规划
f
3
(C
2
)
min
((CC22,,DD21
) )
f f
4 4
( (
D1 D2
) )
6 5
11
min
5
2
min
7
7
最优决策C2 D2
15
f3(C1)=8
2
A5
1
B1 12 14
10
6
B2 10
4 13
B3
12 11
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
f3(C2)=7
6
C2
5 8
C3
10
f3(C3)=12
f4(D1)=5
D1
5 f5(E)=0
E
D2 2
f4(D2)=2
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1
22
f1(A)=19
A
f2(B1)=21
B1 12 14
2 f2(B2)=110 4
6
5
B2 10
4
1
13
B3
12 11
f2(B3)=19
f3(C1)=8
C1
3
9
运筹学第六章 动态规划
第六章 动态规划主要内容：1、动态规划的基本概念2、动态规划的最优性原理和基本方程3、动态规划的模型及其应用重点与难点：动态规划的状态转移方程、基本方程；动态规划的建模思路与方法；运用递推原理确定最优解的方法与技巧。
要 求：理解动态规划的基本概念，掌握动态规划的建模步骤和求解方法，能够创造性地建立数学模型，并能运用动态规划方法解决实际问题。
§1 动态规划的基本概念例1 最短线路问题。
给定一个运输网络（如图），两点之间的数字表示两点间的距离，试求一条从A 0到A 4的运输线路，使总距离为最短?1、阶段对于一给定的多阶段过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便能按一定的次序去求解。
描述阶段的变量称为阶段变量，常用K 表示。
1）阶段数固定的问题称为定期多阶段决策问题；如例1，可分为四个阶段。
2）阶段数不固定的问题称为不定期多阶段决策问题。
如2、状态状态表示某阶段的出发位置。
它既是某阶段过程演变的起点，又是前一阶段决策的结果。
例1中，第一阶段有一种状态即A 0点，第二阶段有三个状态，即点集合{A 1，B 1，C 1}，一般第K 阶段的状态就是第K 阶段所有始点的集合。
描述过程状态的变量称为状态变量。
第K 阶段的状态变量，记为k x 。
3、决策决策表示当过程处于某一阶段的某个状态时，可以作出不同的决定（或选择），从而确定下一阶段的状态，这种决A 0A 1B 1C 1A 2B 2C 2B 3A 3A 420 40 3070 5030 2040 40 1050 10 4060 3030 3030 40B ACDE4 724 2621 1定称为决策。
描述决策的变量称为决策变量，常用)(k k x u 表示处于状态k x 时的决策变量，它是状态变量的函数。
如： 21A B → ， 记为()212A B U =决策变量可取值的全体，称为允许决策集合。
常用()k k x D 表示状态k x 的允许决策集合。
运筹学动态规划
运筹学动态规划运筹学是一门综合运筹学、优化学、决策学和统计学等多学科知识的学科，它的核心内容是对决策问题进行建模和分析，并通过数学方法进行求解和优化。
动态规划是运筹学中的一种重要方法，它通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。
下面将详细介绍运筹学中的动态规划方法。
动态规划方法的核心思想是将原问题分解为若干个相互重叠的子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。
为了可以使用动态规划方法，必须满足以下两个条件：子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分；子问题之间必须具有重叠性，即一个子问题可以被多次使用。
动态规划方法的具体步骤如下：首先，将原问题分解为若干个子问题，并定义出每个子问题的状态和状态转移方程；其次，通过迭代求解每个子问题的最优解，直到求解出原问题的最优解；最后，根据子问题的最优解和状态转移方程，得到原问题的最优解。
动态规划方法的应用非常广泛，可以用于求解各种各样的优化问题。
例如，在物流配送中，可以使用动态规划方法求解最短路径问题；在生产计划中，可以使用动态规划方法求解最优生产计划；在股票投资中，可以使用动态规划方法求解最优投资策略等。
动态规划方法的优点是可以通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解，避免了穷举法的复杂性。
此外，动态规划方法还可以通过引入一定的约束条件，来对问题进行更精确的建模和求解。
然而，动态规划方法也存在一些局限性。
首先，动态规划方法要求问题能够满足子问题的最优解可以作为原问题的最优解的一部分，这限制了动态规划方法的应用范围。
其次，动态规划方法通常需要建立较为复杂的状态转移方程，并进行复杂的计算，使得算法的实现和求解过程比较困难。
综上所述，动态规划是运筹学中的一种重要方法，通过将问题划分为相互重叠的子问题，并通过解决子问题的最优解来求解原问题的最优解。
动态规划方法的优点是可以高效地求解优化问题，但同时也存在一些局限性。
运筹学教案动态规划
运筹学教案动态规划教案章节一：引言1.1 课程目标：让学生了解动态规划的基本概念和应用领域。
让学生掌握动态规划的基本思想和解决问题的步骤。
1.2 教学内容：动态规划的定义和特点动态规划的应用领域动态规划的基本思想和步骤1.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本概念和特点。
案例分析法：分析动态规划在实际问题中的应用。
教案章节二：动态规划的基本思想2.1 课程目标：让学生理解动态规划的基本思想。
让学生学会将问题转化为动态规划问题。
2.2 教学内容：动态规划的基本思想状态和决策的概念状态转移方程和边界条件2.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的基本思想。
练习法：通过练习题让学生学会将问题转化为动态规划问题。
教案章节三：动态规划的求解方法3.1 课程目标：让学生掌握动态规划的求解方法。
让学生学会使用动态规划算法解决问题。
3.2 教学内容：动态规划的求解方法：自顶向下和自底向上的方法动态规划算法的实现：表格化和递归化的方法3.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划的求解方法。
练习法：通过练习题让学生学会使用动态规划算法解决问题。
教案章节四：动态规划的应用实例4.1 课程目标：让学生了解动态规划在实际问题中的应用。
让学生学会使用动态规划解决实际问题。
4.2 教学内容：动态规划在优化问题中的应用：如最短路径问题、背包问题等动态规划在控制问题中的应用：如控制库存、制定计划等4.3 教学方法：讲授法：介绍动态规划在实际问题中的应用。
案例分析法：分析实际问题，让学生学会使用动态规划解决实际问题。
教案章节五：总结与展望5.1 课程目标：让学生总结动态规划的基本概念、思想和应用。
让学生展望动态规划在未来的发展。
5.2 教学内容：动态规划的基本概念、思想和应用的总结。
动态规划在未来的发展趋势和挑战。
5.3 教学方法：讲授法：总结动态规划的基本概念、思想和应用。
讨论法：让学生讨论动态规划在未来的发展趋势和挑战。
教案章节六：动态规划的优化6.1 课程目标：让学生了解动态规划的优化方法。
运筹学-第6章动态规划
f2(B1)=20
f3(C1)=8
12 14
B1
f1(A)=19
2 5 10 f2(B2)=14 6
C1
f3(C2)=7
9 6
3
f4(D1)=5
D1
5
f5(E)=0
A
B2
4 13
10
C2
5 8
E D2
f4(D2)=2
2
1
B3
f2(B3)=19
12
11
C3
f3(C3)=12
10
状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 最优决策 状态 A （ A，B2） B2 （B2，C1） C1 （C1，D1） D1 （D1，E） E 从A到E的最短路径为19，路线为A→B 2→C1 →D1 →E
2018/8/17
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6.1 多阶段决策过程及其问题举例
动态规划研究的问题-----多阶段决策问题（顺序决策问题）
研究的问题可以在时间或空间上划分为若干个相互联系 阶段，称为”时段”。 在每一个时段都需要做出决策,每时段的决策将影响到
下一时段的决策, 因此决策者每段决策时, 不仅要考虑 本阶段目标最优,还应考虑最终目标的最优, 最终达到整 个决策活动的总体目标最优.
离散确定型
离散随机型
连续确定型 连续随机型
其中离散确定性是最基本的, 本章主要介绍这种类型的问题,介 绍动态规划的基本思想、原理和方法.
2018/8/17 2
本章主要内容
多阶段决策过程及其问题举例
最短路问题
动态规划的基本概念和基本方程
动态规划应用举例
运筹学概论 第6章 动态规划
越陈旧所需的维修费用越多，但购买新设备则要一次性支出
较大的费用。现某企业要决定一台设备未来8年的更新计划， 已预测了第 j 年购买设备的价格为 Kj，设 Gj 为设备经过 j 年后 的残值，Cj为设备连续使用j-1年后在第j年的维修费(j＝1， 2，…，8)，问应在哪些年更新设备可使总费用最小。
这是一个8阶段决策问题，每年年初要作出决策，是继续
过程中,总可以按照时间（也可人为引入）进程分为状态相
互联系而又相互区别的各个阶段； （2）整个活动过程总体效果最优。各时段决策有机联 系，上阶段影响下一阶段决策，进而影响总体。每个阶段 都要进行决策,但最终要使整个过程的决策达到最优效果。
动态规划问题的特点：
1、系统所处的阶段和状态是进行决策的重要因素； 2、在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系统所处的状态，
3. 决策、决策变量
过程的某一阶段、 某个状态, 可以做出不同的决定(选择), 下一阶段的状态，这种决定称为决策。 决定
描述决策的变量，称为决策变量。常用 u k (sk ) 表示第 k 阶段当状态 为sk 时的决策变量。 决策变量是状态变量的函数。 在实际问题中决策变量的取值往往在某一范围之内，此范围称为允许 决策集合。常用 Dk(sk) 表示第 k 阶段从状态sk出发的允许决策集合。
sk Sk
2 4
C1 C2 C3
8 4
5 8 5 3 4 4
B1
3 6 8 7 7
D1 D2 D3
3 6 2 1 5
E1 E2
4 3
A
5
F
B2
3
C4 1 2
3
4
5
在例2中，第一阶段状态为A，第二阶段则有二个状态：Bl，B2。状 态变量s1的集合 S1 A ，后面各段的状态集合分别是：
运筹学课件(动态规划)
（二）、动态规划的基本思想 1、动态规划方法的关键在于正确地写出基本的递推 关系式和恰当的边界条件（简称基本方程）。要做到 这一点，就必须将问题的过程分成几个相互联系的阶 段，恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函 数，从而把一个大问题转化成一组同类型的子问题， 然后逐个求解。即从边界条件开始，逐段递推寻优， 在每一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问题 的最优化结果，依次进行，最后一个子问题所得的最 优解，就是整个问题的最优解。
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 (最短路线为B1→C1 →D) 5
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。
f 2 ( 40)
g2 ( y) y 0 ,10 ,, 40
max
f1 ( 40 y )
90
最优策略为（20，20），此时最大利润为90万元。
f 2 (30)
g2 ( y) y 0 ,10 , 20 , 30
max
f1 (30 y )
70
最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。
f 2 ( 20) ma 0 ,10 , 20
50
最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。
f 2 (10) maxg 2 ( y ) f1 (10 y )
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3
运筹学动态规划的概念
运筹学动态规划的概念运筹学中的动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。
它适用于需要做出一系列决策才能获得最优解的情况。
在这种情况下，每个决策都会对接下来的决策产生影响，因此需要考虑整个过程的影响。
动态规划的实质是将多阶段决策过程拆解成一系列子问题，每个子问题都可以用一个状态来描述。
通过求解每个子问题的最优解，就可以逐步得到整个过程的最优解。
动态规划的基本思想是以最优子结构为基础，避免重复计算已经求解过的子问题的过程。
也就是说，如果我们已经知道了子问题的最优解，那么整个问题的最优解就可以通过这些子问题的最优解推导出来。
通常情况下，动态规划问题需要满足以下几个条件：1.具有最优子结构特征：问题的最优解是由子问题的最优解组合而成的。
2.无后效性：子问题的解一旦确定，就不会被改变。
3.子问题重复性：不同的子问题可能会对应相同的状态。
4.边界性：即为问题的较小的子问题需要单独处理。
通过以上条件，我们就可以将动态规划问题分解为一个个子问题，并求解每个子问题所对应的最优值。
动态规划的基本流程分为三个步骤：1.定义状态：构建状态转移方程需要定义状态，状态通常用一个或多个变量来表示，变量的取值代表状态。
2.写出状态转移方程：根据定义好的状态，写出各个状态之间的转移方程。
3.确定边界条件：对较小的子问题需要单独处理，因此当状态变量为边界值时，需要特殊处理。
动态规划的应用广泛，它可以用于解决大量的问题。
例如，求解最长公共子序列问题、背包问题、最短路问题、字符串编辑距离问题等等。
它在图像处理、自然语言处理、生物信息学等领域中也有广泛的应用，如图像去噪、序列比对、DNA 序列匹配等。
总之，动态规划是运筹学中一种解决多阶段决策问题的重要方法，它通过将问题分解成子问题，并求解每个子问题的最优解，得出整个问题的最优解。
在实际应用中，我们需要根据具体问题特点，定义好状态，写出好的状态转移方程，才能有效地解决问题。
运筹学第六章动态规划
指标函数vk3 v ( x )；
3
v f f Max 基本方程 f 0, k 3,2,1
1
k
天津大学管理与经济学部
/
第六章 动态规划
效益 设备台数 0 1 2 3 4 5 厂 甲 0 3 7 9 12 13 乙 0 5 10 11 11 11 丙 0 4 6 11 12 12
天津大学管理与经济学部
/
阶段指标vk=8xk+5(sk-xk)表示第k年的产量；
指标函数vkn=
递推公式：f
6
v 表示第k至5年的总产量； Max v f
1
5
当 k 5，f Max v f
5 0
5 5
f 0, k 5,,1
1 1
1
2
Max 3x 5s 20.8(0.9s 0.2 x )
0
1 1
1
1
1
1
Max 23.72s 1.16 x
0
1 1
1
1
x 0, f 23.72s ,即第1年初将全部完好机器都投入低负荷。
1 1 1
5年的最大总产量为23 .72×1000=23720。
2
AB2C1D1E
3
P*14=AB2C1D1E（最短路） f1 = 19 （最短距） 12 B1 14 6 10 B2 4 13 12 B3 11 C1 C2
2
A
5 1
C3
9 6 5 8 10
3
D1 D2
5 2 E
第六章 动态规划
例1 用动态规划方法求解前面的机器负荷 问题。
某种机器可以在高、低两种负荷下进行生产。 高负荷年产量8，年完好率0.7；低负荷年产 量5，年完好率0.9。现有完好机器1000台， 需制定一个5年计划，以决定每年安排多少 台机器投入高、低负荷生产，使5年的总产 量最大。
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例2中，从A到F可以分成从A到B (B有两种选择B1,B2)，
从B到C (C有四种选择C1，C2，C3，C4)，从C到D (D有三 种选择D1，D2 ,D3)，从D到E (E有两种选择E1，E2)，再
从E到F五个阶段。
2 4
k＝1，2，3，4，5。
C1 C2 C3
8 4 5 3 4 4 5 8
B1
sk 1 Tk (sk , uk )
s1
u1
1
s2
u2
2
s3
sk
uk
k
Sk+1
例2中，状态转移方程为：
sk 1 uk (sk )
6. 指标函数和最优值函数
用于衡量所选定策略优劣的数量指标称为指标函数，包括阶段指标函数和 过程指标函数；阶段指标函数是指第k阶段，从状态sk出发，采取决策uk时的 效益，用d(sk, uk)或用dk(sk, uk)表示。过程指标函数是定义在全过程或所有后 部子过程上确定的数量函数。 费用、成本、利润、路长等 。用 Vk, n 表示之。 一个n段决策过程，从l到n叫作问题的原过程，对于任意一个给定的 k(1≤k≤n)，从第k段到第n段的过程称为原过程的一个后部子过程。
某部门欲采购一批原料，原料价格在五周内可能有 所变动，已预测得该种原料今后五周内取不同单价的概
率如表所示。试确定该部门在五周内购进这批原料的最
优策略，使采购价格的期望值最小。
原材料单价（元） 500 600 700
概率 0.3 0.3 0.4
动态规划问题的特点：
（1）多阶段决策过程，也称序贯决策。在多阶段决策
pk , n ( sk ) u k ( sk ), u k 1 ( sk 1 ), , u n ( sn )
当k=1时，此决策函数序列成为全过程的一个策略，简称策略，记为p1,n (s1)
p1, n ( s1 ) u1 ( s1 ), u 2 ( s2 ), , u n ( sn )
不断地做出决策；
3、找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。 决策 状态 决策 状态 决策 状态 n
状态
1
2
多阶段决策问题的典型例子
例4 生产决策问题
企业在生产过程中，由于需求是随时间变化的，因此企业为了获 得全年的最佳生产效益，就要在整个生产过程中逐月或逐季度地根据 库存和需求决定生产计划。 某工厂每月需供应市场一定数量的产品，并将所余产品存入仓库。 一般某月适当增加产量可降低生产成本，但超产部分存入仓库会增加 库存费用。要求确定一个逐月的生产计划，在满足需求条件下，使一 年的生产与存贮费用之和最小。 显然，可以把每个月作为一个阶段，全年分为12个阶段逐次决策。
f 2 ( B1 )
表示从
则表示从B1到F的最短距离。本问题的总目标是
求 f ( A) ，即从A到终点F的最短距离。 1
二、动态规划的基本思想与基本原理
下面结合例2最短路线问题介绍动态 规划的基本思想。
2 4
C1 C2 C3
8 4
5 8 5 3 4 4
B1
3 6 8 7 7
D1 D2 D3
3 6 2 1 5
位，每月最大生产能力为6单位，计划开始和计划期末库存量都是零。试制定 四个月的生产计划，在满足用户需求条件下总费用最小。假设第i+1个月的库 存量是第i个月可销售量与该月用户需求量之差；而第 i个月的可销售量是本 月初库存量与产量之和。
i (月)
gi (需求)
1
2
3
4
2
3
2
4
例3
限期采购问题——离散随机型
uk(sk) Dk(sk)
2 4
C1 C2 C3
8 4
5 8 5 3 4 4
B1
3 6 8 7 7
D1 D2 D3
3 6 2 1 5
E1 E2
4 3
A
5
F
B2
3
C4 1 2
3
4
5
在例2中，从第二阶段的状态B1出发，可选择下一段的C1，C2，C3，即其 允许决策集合为：
D2 ( B1 ) C1 , C2 , C3
E1 E2
4 3
A
5
F
B2
3
C4 1 2
3
4
5
一种简单的方法，可以求出所有从A至F的可能铺设的路长并加以比较。
从A至F共有24条不同路径，要求出最短路线需要做23次比较运算，这种
方法称穷举法。当问题的段数很多、各段的状态也很多时，穷举法的计 算量会大大增加，甚至使得求优成为不可能。
下面介绍动态规划方法。注意本方法是从过程的最后一段开始，用逆序
V1,n (s1 , p1,n ) 表示初始状态为s1采用策略 p1, n 时原过程的指标函数值。
Vk ,n (sk , pk ,n ) 表示在第k段，状态为sk采用策略 pk ,n ，后部子过程的指
标函数值。
* 最优指标函数记为 f k ( s k )，它表示从第 k 段状态 sk 采用最优策略 pk ,n
例5
投资决策问题
某公司现有资金 Q 万元，在今后 5 年内考虑
给 A，B，C，D 4 个项目投资，这些项目投资的 回收期限、回报率均不相同，问该公司应如何
确定这些项目每年的投资额，使到第5年末拥有
资金的本利总额最大。 这是一个5阶段决策问题。
例 6 设备更新问题
企业在使用设备时都要考虑设备的更新问题，因为设备
第二节 动态规划的基本概念和基本原理 一、动态规划的基本概念
使用动态规划方法解决多阶段决策问题，首先要将 实际问题写成动态规划模型，此时要用到以下概念： (1)阶段； (2)状态；
(3)决策和策略；
(4)状态转移； (5)指标函数。
1. 阶段、阶段变量
把所给问题的过程，适当地分为若干个相互联 系的阶段，以便按次序去求每阶段的解 ; 描述阶段的变量称为阶段变量，常用k表示； 阶段的划分，一般是按时间和空间的自然特征 （年、月、路段）来划分 ；
我们决定选择C3，则可表为：
u 2 ( B1 ) C3
uk(sk) Dk(sk)
4. 策略
按顺序排列的决策组成的集合；
由第k阶段第 n阶段（终止状态）为止的过程，称为问题的后部子过程 （k 子过程） 由每段的决策按顺序排列组成的决策函数序列称为 k子过程策略，简称 子策略，记为pk,n(sk)，即
到过程终止时的最佳效益值。 f k ( s k ) 与 Vk ,n (sk , pk ,n ) 间的关系为：
f k (sk ) Vk ,n (sk , pk , n ) opt Vk , n ( sk , pk , n ) pk ,n P k ,n
opt全称optimum，表示最优化，根据具体问题分别表为max或min。 当k＝1时， f1 ( s1 ) 就是从初始状态 s1 到全过程结束的整体最优函数。 在例2中，指标函数是距离。如第2阶段，状态为B1时， V2,5 ( B1 ) B1到F的距离，而
sk Sk
2 4
C1 C2 C3
8 4
5 8 5 3 4 4
B1
3 6 8 7 7
D1 D2 D3
3 6 2 1 5
E1 E2
4 3
A
5
F
B2
3
C4 1 2
3
4
5
在例2中，第一阶段状态为A，第二阶段则有二个状态：Bl，B2。状 态变量s1的集合 S1 A ，后面各段的状态集合分别是：
S 2 B1 , B2
动态规划是解决复杂系统优化问题的一种方法。可
用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库
存、投资、装载、排序等问题及生产过程的最优控制等，
是解决动态系统多阶段决策过程的基本方法之一。 动态规划模型的分类：①离散确定型；②离散随机 型；③连续确定型；④连续随机型。其中离散确定型是 最基本的。
例1 最优路径问题——离散确定型
过程中,总可以按照时间（也可人为引入）进程分为状态相
互联系而又相互区别的各个阶段； （2）整个活动过程总体效果最优。各时段决策有机联 系，上阶段影响下一阶段决策，进而影响总体。每个阶段 都要进行决策,但最终要使整个过程的决策达到最优效果。
动态规划问题的特点：
1、系统所处的阶段和状态是进行决策的重要因素； 2、在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系统所处的状态，
越陈旧所需的维修费用越多，但购买新设备则要一次性支出
较大的费用。现某企业要决定一台设备未来8年的更新计划， 已预测了第 j 年购买设备的价格为 Kj，设 Gj 为设备经过 j 年后 的残值，Cj为设备连续使用j-1年后在第j年的维修费(j＝1， 2，…，8)，问应在哪些年更新设备可使总费用最小。
这是一个8阶段决策问题，每年年初要作出决策，是继续
3. 决策、决策变量
过程的某一阶段、 某个状态, 可以做出不同的决定(选择), 下一阶段的状态，这种决定称为决策。 决定
描述决策的变量，称为决策变量。常用 u k (sk ) 表示第 k 阶段当状态 为sk 时的决策变量。 决策变量是状态变量的函数。 在实际问题中决策变量的取值往往在某一范围之内，此范围称为允许 决策集合。常用 Dk(sk) 表示第 k 阶段从状态sk出发的允许决策集合。
G
1
2
4
5
6
例2
生产与存贮问题——离散连续型
某工厂生产并销售某种产品，已知今后四个月市场需求预测如表，又每 月生产j单位产品费用为：
( j 0) 0 C( j) (千元) 3 j ( j 1,2, ,6) 每月库存j单位产品的费用为 E( j ) 0.5 j (千元) ，该厂最大库存容量为3单
可供选择的策略有一定范围，此范围称为允许策略集合，用 P 表示。 1, n 从允许策略集合中找出达到最优效果的策略称为最优策略。