数理方程第二版课后习题答案
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
数学物理方程答案(全)
利用微分中值定理可得
T
(
x)ux
x
utt
将T (x) 的表达式代入可得
utt g(l x)uxx gux
2.长为 L,均匀细杆,x=0 端固定,另一端沿杆的轴线方向拉长 b 静止后（在弹性限 度内）突然放手，细杆做自由振动。试写出振动方程的定解条件。
T(x,t) T(x+dx,t)
界条件之一：
（1）一端（x=0）绝热，另一端（x=L）保持常温 0
解:边界条件 ux x0 0, u xL u0
（2）两端分别有热流密度 q1 和 q2 进入
解:边界条件 ux
x0
g1 k
,ux
xL
g2 k
（3）一端（x=0）温度为 1(t) ，另一端（x=L）与温度为 (t) 的介质有热交换
F ( x,
t)dtdxS
u x
cSdtdx
k
2u x2
F (x,t)
u x
c
ut
k c
uxx
F ( x, t ) c
ut
k c
uxx
(
j)2 c
习题 2.3
1.半径为
r0
的球面，在的 0
2
半球面上电势为
0
，在
2
的半球面上
电势为 0 。求空间各点应满足的泛定方程与定解条件。
解:泛定方程
4.
由静电场
Gauss
定理
s
E
dS
1 0
V
dV
，求证：
E
0
，并由此导出
静电势 u 所满足的 Poisson 方程。
数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)
数学物理方程第二版答案第一章．颠簸方程§ 1 方程的导出。
定解条件4. 绝对柔嫩逐条而平均的弦线有一端固定，在它自己重力作用下，此线处于铅垂均衡地点，试导出此线的细小横振动方程。
解：如图 2，设弦长为l ，弦的线密度为，则 x 点处的张力 T ( x) 为T ( x)g(lx)且 T( x) 的方向老是沿着弦在 x 点处的切线方向。
仍以 u( x, t) 表示弦上各点在时辰 t 沿垂直于 x 轴方向的位移，取弦段 ( x, xx), 则弦段两头张力在 u 轴方向的投影分别为g(l x) sin ( x); g (l( xx)) sin (xx)此中 (x) 表示 T (x) 方向与 x 轴的夹角又sintgux.于是得运动方程x2u[l( xx)]u∣xxg [lx]u∣x gt 2xx利用微分中值定理，消去x ，再令 x0 得2ug[( l x) ut 2] 。
x x5. 考证u( x, y,t )t 21在锥 t 2 x 2 y 2 >0 中都知足颠簸方程x 2 y 22u2u2u证：函数 u( x, y,t )1在锥 t 2x 2 2内对变量 t 2x 2 y 2t 2 x 2y >0y 2x, y, t 有u3二阶连续偏导数。
且(t2x 2 y 2) 2 tt2u35(t2x2y 2) 23(t2x2y2) 2 t2t23(t 2x 2y 2) 2 (2t 2x2y 2)u3x2 y 2)2 x(t2x2u35t2x2y223 t2x2y22 x 2x25 t2x2y22 t22 x2y22 u5同理t2x2y22 t2x22y2y22 u 2u52u .所以t 2 x 2y 2 2 22x 2 y 2x2y2tt2即得所证。
§2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用流传波法，求解颠簸方程的特点问题（又称古尔沙问题）2ua 22ut 2x 2u x at 0(x) (0)(0)u x at( x).解： u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)令 x-at=0得 ( x) =F （ 0） +G （ 2x ）令 x+at=0得( x) =F （2x ） +G(0)所以F(x)=( x) -G(0).2G （ x ） = ( x) -F(0).2且F （ 0） +G(0)= (0) (0).所以u(x,t)=(xat) + ( x at ) - (0).22即为古尔沙问题的解。
数理方程第二版课后习题答案
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1向量函数1.证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2.求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以3.证明。
证毕证：证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为，和在区间上可导。
所以，在区间上可导当且仅当数量函数，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中区间上处处有，从而证毕5.证明具有固定方向的充要条件是具有固定方向，则。
可表示为，。
，其中，于是因为，故，从而为某个数，则在区间上处处有，于是。
如果在证：必要性：设其中为某个数量函数，为单位常向量，于是，可设，令充分性：如果量函数，为单位向量，因为为常向量，于是，6.证明，即具有固定方向。
证毕平行于固定平面的充要条件是。
，对证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得和，从而，，和此式连续求导，依次可得。
充分性：设的结论知，，即共面，因此，其中，如果可表示为，根据第5题，其中具有固定方向，则为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以共线，又由其中，为法向量过原点的平面，则平行于。
如果可知，，，和共面，于是为数量函数，令，那么，则与不，，这说明与可共线，从而表示为，根据第5题的结论知，具有固定方向，则，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1.求圆柱螺线解：，点在点的切线与法平面的方程。
，于是当时，，对应于参数，于是切线的方程为：法平面的方程为2.求三次曲线解：于是切线的方程为：，当在点处的切线和法平面的方程。
时，，，法平面的方程为3.证明圆柱螺线证：，的切线和轴成固定角。
令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为轴的方向向量为，则证毕4.求悬链线解：从起计算的弧长。
数理方程第二版 课后习题答案教学教材
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
概率论与数理统计(第二版)课后答案
各章大体题详解习题一一、选择题1. （A ）A B A B B ⊂−−→=;（B ）B A A B A B B ⊂−−→⊂−−→=; （C ）AB A B A B B φ=−−→⊂−−→=;（D ）AB B A φ=−−→⊂ 不必然能推出A B B =（除非A B =）所以 选（D ）2. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++ ()()()P A P B P AB =+-所以 选（C ）3. )()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P AB P B A P B A ≥−→−==−→−⊂所以 选（B ）4. 1)(0)()()()()(==−→−==B P A P B P A P AB P A P 或 所以 选（B ）5. （A ）若B A =，则φ=AB ，且φ==A A B A ，即B A ,不相容（B ）若φ≠⊃B A ，且Ω≠A ，则φ≠AB ，且φ≠=A B A ，即B A ,相容 （C ）若φφ≠=B A ,，则φ=AB ，且φ≠=B B A ，即B A ,相容 （D ）若φ≠AB ，不必然能推出φ=B A 所以 选（D ）6. （A ）若φ≠AB ，不必然能推出)()()(B P A P AB P =（B ）若1)(=A P ，且φ≠⊃B A ，则)()()()(B P A P B P AB P ==，即A,B 独立（C ）若φ=AB ，1)(0<<A P ,1)(0<<B P ，则)()()(B P A P AB P ≠ （D ）若1)(=A P ，则A 与任何事件都彼此独立 所以 选（B ）7. 射击n 次才命中k 次，即前1-n 次射击恰好命中1-k 次，且第n 次射击时命中目标，所以 选（C ）二、填空题8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((= C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()( 所以 C B =9. 共有44⨯种大体事件，向后两个邮筒投信有22⨯种大体事件，故所求概率为414422=⨯⨯ 10. 设事件A 表示两数之和大于21，则 样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ，}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=⋅⋅-==ΩS S P A 11. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ，得7.0)(=AB P ，故3.0)(=AB P 12. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，得1.0)(=AB P ，故2.0)()()(=-=AB P B P A B P 13. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ，故8.0)|()()(==B A P AB P B P14. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719=15. 由于A,B 彼此独立，可得91)()()(==B P A P B A P ，)()(B A P B A P =，于是31)()(==B P A P ，故32)(=B P 三、计算题16.（1）)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω；（2）}3,2,1,0{=Ω；（3）}1|),{(22≤+=Ωy x y x ；（4）}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω 17.（1）C B A ； （2）)(C B A ； （3）C B A C B A C B A ； （4）AC BC AB ； （5）C B A ； （6）C B A ； （7）ABC18. 法一，由古典概率可知，所求概率为：2016420109⋅C ；法二，由伯努利定理可知，所求概率为：1644209.01.0⋅⋅C19. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。
数学物理方程答案(全)
化简之后，可以得到定解问题为
utt (Y / )uxx a2uxx u |x0 0,ux |xL 0
u
|t 0
0, ut
|t 0
I
(x
L)
5.高频传输线，原点端施以电动势 E，另一端接地，初始电流为(x) ，电压为 (x) 。
试建立电压的定解问题。（忽略电阻和介质的电导）
Q3 c 4 r2drdu
Q3 Q1 Q2
c 4 r2drdu kur (r dr,t)4 (r dr)2 dt kur (r,t)4 r2dt
4
k
r
(r
2ur
)drdt
即
ut
k c
1 r2
r
(r2ur )
3.设物体表面的绝对温度为 u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定 律正比于 u4 ，即 dQ ku4dSdt ，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传
习题 2.4 1.判断下列方程的类型 (1) auxx 4auxy auyy bux cuy u 0 4a2 a2 0 ,双曲型 (2) auxx 2auxy auyy bux cuy u 0 a2 a2 0 ,抛物型 (3) 2auxx 2auxy auyy 2bux 2auy u 0 a2 2a2 0 ,椭圆型 (4) uxx xuxy 0
ut
k c
ux
2k1 cr
(u
u1 )
0
2.导出匀质且在每一个同心球上等温的孤立球体的热传导方程。
S1
S2
r r+dr
解： dt 时间内通过 S1 流入壳层的能量 Q1 kur (r,t)4 r2dt dt 时间内通过 S2 流入壳层的能量 Q2 kur (r dr,t)4 (r dr)2 dt dt 时间内壳层升高 du 所需的能量
数学物理方程答案谷超豪
数学物理方程答案谷超豪【篇一：数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)】>第一章．波动方程1 方程的导出。
定解条件4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为t(x)??g(l?x)且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。
仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角又sin??tg??于是得运动方程?u ?x.?u?2u?u??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g?xx?x?t利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得?2u??u?g[(l?x)]。
?x?x?t25. 验证u(x,y,t)?1t2?x2?y2在锥t?x?y0中都满足波动方程222?2u?2u?2u1222证：函数在锥0内对变量t?x?y??u(x,y,t)?222222?t?x?y?x?yx,y,t有二阶连续偏导数。
且232?u??(t2?x2?y2)?t??t35??u(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t22?t?(t2?x2?y2)?32?(2t2?x2?y2)?u?(t2?x2?y2)?x?32?x?2u?x2?t?x?22352?2222?22?y?3t?x?yx??????52??u同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2?2?y所以即得所证。
2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 2??2u2?u?2?a2t?x??ux?at?0??(x) ??(0)??(0)? ?u??(x).?x?at?0?5??t2?x2?y22t2?2x2?y2??2u?x2?2u?y2?t?x??225?y22??2t2?x?y22???t2.?2u解：u(x,t)=f(x-at)+g(x+at) 令 x-at=0 得 ?(x)=f（0）+g（2x）令x+at=0 得 ?(x)=f（2x）+g(0) 所以 f(x)=?()-g(0). g（x）=?()-f(0). 且 f（0）+g(0)=?(0)??(0). 所以 u(x,t)=?(x2x2x?atx?at)+?()-?(0). 22即为古尔沙问题的解。
数学物理方程答案(全)
SY (ux (x dx,t) ux (x,t)) Sdxutt
utt
Y P
uxx
杆的一端固定，有 u(0,t) 0 ，另一端为自由端有 ux (x,l) 0
由于弦在出事时刻处于静止状态，即初速度为零，故 ut (0,t) 0
在 t 0 时刻，整个杆被纵向拉长 d ，则单位杆长的伸长量为 d ，故 x 点处的伸长 l
(3)特征方程为
4( dy )2 8( dy ) 3 0
dx
dx
解得
dy 3 和 dy 1 dx 2 dx 2
习题 2.2
1.一根半径为 r，密度为 ，比热为 c，热传导系数为 k 的匀质圆杆，如同截面
上的温度相同，其侧面与温度为 1 的介质发生热交换，且热交换的系数为 k1 。
试导出杆上温度 u 满足的方程。 解：
0
x
x+dx
取微元在 (x, x dx) 之间，在时间 t 内
x
从左右两截面流入的热量，有热传导方程可得
dT g dx 对上式进行积分,并且利用在 x 0 处的张力为T x0 gl 可求得 T (x) g(l x)
对于(2)式 sin2 tan2 ux (x dx,t) sin 1 tan 1 ux (x,t)
将上述结果代入(2)式得出
T (x dx,t)ux (x dx,t) T (x)ux (x,t) uttdx
2 x ux)
Y P
x
(x2
u x
)
1 x2
4.一根长为 L、截面面积为 1 的均匀细杆，其 x=0 端固定，以槌水平击其 x=L
端，使之获得冲量 I。试写出定解问题。
解：由 Newton 定律： SYux (x dx,t) YSux (x,t) Sdxutt ，其中，Y 为杨
数理方程课后习题(带答案)
u0 X0T0 B0A0 C0
0
Tn
a2n22
l2
Tn
0
a2n22 t
Tn Ane l2
un XnTn
ABea2nl222t nn
cons l
xCea2nl222t n
cosn
l
x
un 0unC 0n 1Cnea2n l2 22tconlsx
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
u(uutx(,0x0,)at)2xx,20u2,,u(lx,t) 0,
由此可得：w (x)1
xt
dt
f()dC xA ,
a2 0 0
其中
C1 l(BAa 1 2 0 ldt0 tf()d),
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
然后用分离变量解
v(vt0,t)a2
2v x2 , 0, v(l,
t)
0,
0 x l,t 0 t 0
v(x,0) g(x) w(x), 0 x l
0xl1,0yl2 0yl2
u(x,0)0,u(x,l2)(x), 0xl1
uXY
XX0,
X(0)X(l1)0
0xl1
YY0
n n2 nl1 2,n1,2,3,L
n
Xn An sin l1 x
Yn
n2 2
l12
Yn
0
ny
ny
Yn Cnel1 Dne l1
数学物理方程与特殊函数
第2章习题选讲
un 1unn 1Cnenl1 yD nenl1 ysinnl1 x u(x,0)n 1CnDnsinnl1x0 u(x,l2)(x)n 1 C nenl1l2D nenl1l2 sinn l1x
高等数学第二版教材练习答案
高等数学第二版教材练习答案第一章：数学形式与证明练习题答案：1. (2, ∞)2. -√2, √23. 假设已知函数f(x) ≥ 0，而 f(x) = 0 的一个解为 x = a，则 x = a 是函数f(x) ≥ 0 的最小零点。
4. a. 记 b = 1 - √2，则 (b - √2)^2 = (1 - √2 - √2)^2 = (1 - 2√2 + 2)^2 =(3 - 2√2)^2 = 9 - 12 + 8 = -3 < 0。
b. ∃a∈R，无论 a 取何值，都有 a^2 + 2a + 2 > 0。
5. a. 必要性：已知f(x) 是偶函数，即f(-x) = f(x)，则对于∀x∈D_f，有 -x∈D_f，即 (b)。
充分性：已知对于∀x∈D_f，有 -x∈D_f，即 (b)，则有 f(-x) = f(-(-x)) = f(x)，即 f(x) 是偶函数。
b. 必要性：已知f(x) 是奇函数，即f(-x) = -f(x)，则对于∀x∈D_f，有 -x∈D_f，即 (a)。
充分性：已知对于∀x∈D_f，有 -x∈D_f，即 (a)，则有 f(-x) = -f(x)，即 f(x) 是奇函数。
6. a. 设 f(x) 是周期函数，周期为 T>0，则对于∀x∈R，有 x+T∈D_f，即 (c)。
b. 存在正常数 a>0，使得对于∀x∈R，有 x+a∈D_f，即 (b)。
例如，函数 f(x) = sin(x) 满足这个条件。
c. 存在正常数 a>0，使得对于∀x∈R，有 x+a∈D_f 且 x+2a∈D_f，即 (a)。
例如，函数 f(x) = sin(2x) 满足这个条件。
d. 必要性：已知 f(x) 是周期函数，周期为 T>0，则对于∀x∈R，有 x+T∈D_f，即 (c)，故 b-d 都是必要条件。
充分性：设 b、c、d 其中至少有一个条件满足，即 f(x) 在某个区间内满足 b/c/d 条件。
数理方程第二版(谷超豪)答案第一章-第三章
的通解可以写成
u=
F ( x − at ) + G ( x + at ) h−x
其中 F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:
t = 0 : u = ϕ (x ),
解：令 (h − x )u = v 则
∂u = Ψ ( x ). ∂t
∂v (h − x ) ∂u = u + ∂v , (h − x )2 ∂u = (h − x ) u + ∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ,故 ( x, x + ∆x ) 上所受摩阻力为 ∂t ∂u − b ⋅ p( x )s ( x ) ⋅ ∆x ∂t
运动方程为:
ρ (x )s (x )∆x ⋅
∂ 2u
∂u ∂u ∂u x − b ⋅ ρ (x )s (x )∆x = ES x + ∆x − ES ∂x ∂t ∂t ∂t 2
∂ ∂v ∂u ∂ 2v 2 ∂u 2 ∂u [(h − x) = −(u + ) + (h − x) + (h − x) = (h − x)(u + 2 ) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ x
又 代入原方程，得
(h − x ) ∂
2
u
∂t 2
=
∂ 2v ∂t 2
(h − x ) ∂
即
2
v
∂x 2
ρg (l − x) sin θ ( x); ρg (l − ( x + ∆x)) sin θ ( x + ∆x)
其中 θ ( x) 表示 T ( x) 方向与 x 轴的夹角 又 于是得运动方程
sin θ ≈ tgθ =
∂u ∂x.
数理方程第二版 课后习题答案讲解学习
数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
(整理)数理方程第二版课后习题答案
第一章曲线论§ 1向量函数1 .证明本节命题3、命题5中未加证明的结论略2 .求证常向量的微商等于零向量。
证：设31,回为常向量，因为r(t4- At) -r(t) c-c 11m = lim = 0it —AtAt —At所以E33 .证明⑹ p 2(t)则此向量在该区间上是常向量 证：设［=«r)=)⑴ 返 ［回 回1为定义在区间口上的向量函数，因为 回在区间口上可导当且仅当数量函数 晅］,EH3和EH3在区间 口上可导。
所 以，।° I ,根据数量函数的Lagrange 中值定理，有证毕4.利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,x(t) - X(t o ) 4- %)y(t) =y(S)+ y r (日”(t -力式 t) = z(M)+ /(%)《一其中 51,囹，因介于口与口之间。
从而* =3(口 =比⑷ y(t) 4 t)} =+ £(%)(「-1) y(j) + 4(%)«-咐 《%) +={刀(珀 “幻)+ X(sp 4电)/(%)}("明=『口 +年一%)上式为向量函数的 0阶 Taylor 公式，其中 :—卜("'_‘(")_一 ⑻):。
如果在 区间口上处处有F ⑴=口⑷ *)曰!,则在区间口上处处有适三从而F = (，©) y'(%) ，(1)] = o]于是E3。
证毕5 .证明左逗1具有固定方向的充要条件是F 黑亍二°1证：必要性：设F=1a)l 具有固定方向,则F =直力1可表示为F =, 其中四为某个数量函数，目为单位常向量，于是f"=。
⑴P 住"X" Q] 充分性：如果区三可，可设[_叫,令巨运三叵画,其中四为某个 数量函数，回为单位向量，因为F=p 岸前⑴+。
("'⑴]于是r x ? = O-*p(t)2(t) x [p'(t)?(t) + p(t)e (t) - O^*p 2(f)[e(t) x e (t) - 0 因为回，故国亘1,从而F⑷x.(t)=。
数理方程习题答案
习题6.21. 解：这是Laplace 方程的Robin 问题，直接调用公式，得⎰⎰⎰⎰∂∂-=∂∂-=sMM sMM MMds r n ds r n M M r M u )1(41)]1()()(1[41)(00πϕψπ2. 解：011111()()()()441111()()44S V S V u M M M dS f M dV r n r r M dS M dV n r r ψϕππϕδππ⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡∂⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题6.31. 证明：设u1与u2是定解问题(,,),(,,)(,,)SSu f x y z x y z V u x y z ϕ∆=∈⎧⎪⎨=⎪⎩的两个解。
令v=u1-u2,则： 120()S Sv v u u ∆=⎧⎪⎨=-≡⎪⎩由调和函数性质知：在VS 上： 1212()0SSV V vu u u u =-≡⇒=得证解的唯一性。
设在边界S 上给出两个函数f1与f2,且： 12f f ε-< 泊松方程的狄氏问题对应于f1与f2的解设为u1与u2，即：111(,,),(,,)SSu f x y z x y z V u f ∆=∈⎧⎪⎨=⎪⎩222(,,),(,,)SSu f x y z x y z V u f ∆=∈⎧⎪⎨=⎪⎩ 令：12v u u =-， 那么：120,(,,)SS v x y z V v f f ∆=∈⎧⎪⎨=-⎪⎩由调和函数极值原理，v 在VS 上的极值只能在S 上取得，所以 12u u ε-< 得证解的稳定性。
习题6.41.（2）证明：10441)41(),(220-=+⋅-=∂-∂=∂∂⎰⎰⎰⎰r rdS n v r dS n M M G ss πππ 其中v v ,02=∇是调和函数，所以0d =∂∂⎰⎰S nvS。
得证。
习题6.51. 求区域上的格林函数（1） 解：格林函数满足的定解问题为：200,()()(1)0(2),0(3)RG M M G G ρϕπδ==∆=--⎧⎪⎨==⎪⎩设想在000(,)M ρϕ放置电量为ε0的电荷(1) 对于 0,ϕπ=在000(,)M ρϕ'-放置电量为-ε0的电荷，则能够使边界条件(3)满足，但不能使(2)满足。
数理方程习题答案
1.证明：
由题意有
∴
令 ，则
2.（2）证明：
5.解：
习题
1.解：
对定解问题作对应于空间变量傅里叶变换得
求像函数
于是
∴
求原像函数
4.解：
对定解问题作关于空间变量x的傅里叶变换
求像函数
当 时：A=0
当Байду номын сангаас时：B=0
求原像函数
由卷积定理
这里
∴
习题
3.解：
由于 ， ， 都是一级极点，所以由展开定理有
所以，最后结果为
令 ，将定解问题进行初始扰动和强迫振动分离：
由分离变量法得 的解为：
对于 ，先考虑相应齐次方程的定解问题：
用分离变量法解得：
于是由齐次化原理得：
固原定解问题的解为：
3.
考虑相应齐次方程的定解问题：
由分离变量得该定解问题的解为：
由齐次化原理1有：
习题
1.
边界条件齐次化
令 。则：
∴
将 代入原方程得：
再将上述定解问题分解为只含初始扰动和只含强迫振动定解问题
固有函数为：
习题
4.
分离变量：
带入原方程得：
令
得
由边界条件得：
令 得固有值问题：
，无非零解；
，
，
综合 时的情况得特征值为
特征函数为
对应于每一个 ， 的解为：
于是，满足原方程和边界条件的级数解为：
代入初始条件：
∴当n=0时：
当n≠0时：
∴定解问题的解为：
习题
3.
定解问题：
令 ，代入方程分离变量得：
由周期性条件有 ，由 有 。
数学物理方程 4-5章课后部分习题答案 李明奇主编 电子科技大学出版社
数理方程第二次作业习题4.11. 求下列波动方程Cauchy 问题的解：（2）⎩⎨⎧=====xu uu a u t tt xxtt 02,5。
解：代入达朗贝尔公式，可得：521)55(21),(+=++=⎰+-xt d at x u at x atx ξξ。
6.求下列强迫振动的Cauchy 问题的解：（1）：⎩⎨⎧==+===2002,5x u u e u a u t t t xxx tt解：令)(),(),(x w t x v t x u +=,代入原方程，得：xxx xx ttew a v a v++=22。
取2)(a e x w x-=，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+====222,5xv ae vv a v t tx t xxtt 。
由Alembert d '公式，得：531)(2121)5()5(21),(3222222++++=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+-+-+-⎰t a tx eead aaea e t x v atx atx atx atx atx at x ξξ所以原问题的解为531)(2121)5()5(21),(32222222++-++=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+-+-+-⎰t a ae tx eead aaea e t x u x atx atx atx atx atx at x ξξ7.求解下列定解问题：⎩⎨⎧==>+∞<<-∞=-++==)(),(0,,020022x u x u t x u a u u u t t t xx t tt ψϕεε。
解：令)0(),,(),(>=-ββt x v et x u t，代入原方程得：)2()(2222=+-+-+-v v v a v t xx tt βεβεβε取εβ=，可得：⎩⎨⎧+==>+∞<<-∞=-==)()(),(0,,0002x x v x v t x v a v t t t xx tt εϕψϕ由达朗贝尔公式得：[][]⎰+-++-++=atx atx d aat x at x t x v ξξεϕξψϕϕ)()(21)()(21),( 所以，原定解问题的解为：[][]⎰+-++-++=atx atx ttd aeat x at x et x u ξξεϕξψϕϕββ)()(21)()(21),(习题4.21. 求解半无界弦定解问题：⎪⎩⎪⎨⎧===>+∞<<====0cos ,sin 0,0,0002x t t t xx tt u x u x ut x u a u 。
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第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。
略2. 求证常向量的微商等于零向量。
证：设，为常向量，因为所以。
证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。
证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。
所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。
从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。
如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。
证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。
证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。
充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。
证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。
证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。
充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。
如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。
证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。
解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。
解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。
证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。
解：5. 求抛物线对应于的一段的弧长。
解：6. 求星形线，的全弧长。
解：7. 求旋轮线，对应于一段的弧长。
解：8. 求圆柱螺线从它与平面的交点到任意点的弧长。
解：圆柱螺线与平面的交点为，交点对应的参数为，而，9. 求曲线，在平面与平面之间的弧长。
解：取为曲线参数，曲线的向量参数方程为：平面对应于参数，平面对应于参数，10. 将圆柱螺线化为自然参数表示。
解：，因为自然参数11. 求极坐标方程给定的曲线的弧长表达式。
解：极坐标方程给定的曲线的方程可化为向量参数形式：§3 空间曲线1. 求圆柱螺线在任意点的密切平面的方程。
解：密切平面的方程为即2. 求曲线在原点的密切平面、法平面、从切平面、切线、主法线、副法线的方程。
解：原点对应于参数,于是在处，密切平面的方程为副法线的方程为法平面的方程为：切线的方程为从切平面的方程为主法线的方程为3. 证明圆柱螺线的主法线和轴垂直相交。
证：一方面，主法线的方程为另一方面，过圆柱螺线上任意一点作平面π与轴垂直，π的方程为，π与轴的交点为，过与的直线显然与轴垂直相交，而其方程为这正是主法线的方程，故主法线和轴垂直相交。
证毕4．在曲线的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。
解：令，则曲线的方程可表示为：设的副法线向量为，则有根据题意，新曲线的方程可表示为}将代入上式，整理后，得于是新曲线的密切平面为：即：5. 证明球面曲线的法平面通过球的中心。
证：设曲线为球心在原点，半径为的球面上的曲线,其中为自然参数。
曲线(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。
则有上式两边关于求导，得设为法平面上的点的向径，则曲线(C)上任意一点P处的法平面的向量方程为根据(2)式满足方程(3)，故法平面过原点。
证毕6. 证明过原点平行于圆柱螺线的副法线的直线的轨迹是锥面。
证：设过原点且与平行的直线上的点为,则直线的方程为化为参数方程，得则有这说明直线上的点都在锥面上。
证毕7. 求下列曲线的曲率和挠率。
，解: 对于曲线(1)对于曲线(2)8. 给定曲线，求（1）基本单位向量，，；（2）曲率和挠率；（3）验证伏雷内公式。
解: 对于给定曲线，有其中，根据(5)(6)(8)式可得，根据(6)(9)(10)式，可得，又根据(6)式，得另一方面，根据(4)(7)(8)(10)式，可得从而，。
9. 证明：如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。
证1：设曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。
(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。
因为(C)在P点处的切线都经过一定点Q（Q点的向径设为），所以与共线，进而有(1)上式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(2)(2)式中的为(C )在P 点处的曲率。
又(2)式中，这是因为如果，则同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。
从而根据(2)式有，即(C )是直线。
证毕证2：设曲线的方程为)(t r r =，因为曲线上任一点r 的切线经过一定点0r ，则0r r -与'r 共线，但'0')(r r r -=，于是0r r -与'0)(r r -共线，从而)(0r r -⨯'0)(r r -=0,由此可知0r r -具有固定的方向，即0r r -与一个常向量p 平行，于是0r r -=p λ,或p r r λ+=0，这说明曲线上的点r 都在以p 为方向向量，过点0r 的直线上，所以曲线为直线。
证毕10. 证明：如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，则此曲线是平面曲线。
证：设曲线(C )的向量参数方程为：，其中为自然参数。
曲线(C )上任意一点P （P 点的向径为）处的基本向量为，，。
因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书的脚注），即 ，而即(C )上任何点的曲率。
设(C )在P 点处的密切平面都经过一个定点Q （Q 点的向径设为），则为(C )在P 点处的密切平面上的一个向量，从而有 (1) (1) 式两端关于求导并利用Frenet 公式，得： (2)(2)式中的为(C)在P点处的挠率。
由(2)式可知，或者但，因为如果结合(1)式,可知与共线，于是(3)(3)式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(4)(4)式中的为(C)在P点处的曲率。
因为，所以，结合(3)知同时与和共线，但这是不可能的，因为和是相互正交的单位向量。
这个矛盾说明，于是由(2)式可知，只能，曲线(C) 是平面曲线。
证毕11. 证明：如果曲线的所有法平面都包含常向量，则此曲线是平面曲线。
证1：设曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。
(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。
因为(C)在P点处的法平面都包含常向量，则有(1)注意到，(1)式两端关于从到求积分，得：(2)（2）式说明曲线(C)在以常向量为法向量且过点的平面上。
证毕证2：设曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。
(C)上任意一点P（P点的向径为）处的基本向量为，，。
因为我们只研究不含逗留点的曲线（参见教科书的脚注），即，而即(C)上任何点的曲率。
因为(C)在P点处的法平面都包含常向量，则(1)上式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(2)因为，所以(3) ，结合(1)式可知与共线，从而(4)(4)式两端关于求导并利用Frenet公式，得：(5)(5)式中，否则，根据(3)式，和将同时成立，即既与平行，又与垂直，这是矛盾。
于是只能是，所以曲线(C) 是平面曲线。
证毕12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率等于常数的曲线。
证：设曲率为常数的空间曲线(C)的向量参数方程为：，其中为自然参数。
(C)上任意一点P处的基本向量为，，，曲率半径为，又设(C)的曲率中心的轨迹为，的曲率记为，根据题意，的方程为(1)式两边关于求导，得(4)式说明的曲率也是常数且。
证毕13. 证明曲线(C)：为平面曲线，并求出它所在平面的方程。
解：由上式可知，(C)为平面曲线。
令，则有(C)所在平面的方程为。
14. 设在两条曲线和的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也分别平行。
证：设曲线的方程为，，其中为的自然参数，曲线的方程为，，其中为曲线的自然参数。
因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而设，，和为曲线在点处的基本向量，，，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和。
如果两条曲线总保持在对应点与处的切线平行，则有，其中(2)式两边关于求导，得从而，(4)式说明和在对应点与处的主法线平行。
又因为，由(2)式和(4)式，得(5) 式说明和在对应点与处的副法线平行。
证毕15. 设在两条曲线和的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线总是相互平行，证明它们在对应点的切线成固定角。
证：设曲线的方程为，，其中为的自然参数，曲线的方程为，，其中为曲线的自然参数。
因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而设，，和为曲线在点处的基本向量，，，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，如果两条曲线总保持在对应点与处的主法线平行，则有，其中根据(2)式，可得设与之间的夹角为，则根据(3)式，(4)式说明和在对应点与处的切线成固定角。
证毕16. 如果曲线的主法线是曲线的副法线，的曲率和挠率分别为和，求证其中是常数。
证：设曲线的方程为，，其中为的自然参数，曲线的方程为，，其中为曲线的自然参数。
因为所讨论的曲线都是正则曲线，于是曲线上的点和区间内的参数一一对应，曲线上的点和区间内的参数一一对应，如果两条曲线的点与之间建立了一一对应关系，则对应的参数与之间也建立了一一对应关系，从而设，，和为曲线在点处的基本向量，，，和为曲线在点处的基本向量，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和，曲线在点处的曲率和挠率分别记为和。
如果曲线的主法线是曲线的副法线，依题意，有下面两式成立：，其中。
(3)式两边关于求导，得整理(4)式，可得利用(2)式，在(5)式两边与作内积，得(6)式中由于故，从而为常数，(5)式化为(7)式两边关于求导，得因为，上式两边同时与作内积，得根据(7)式，(9)式等价于即从而，。
证毕17. 曲线在哪些点的曲率半径最大解：解: 对于给定曲线，有其中，根据(7)式，当，时，最大。