概率论与数理统计复习题

概率论与数理统计复习题

一．事件及其概率

1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：

(1) ,,A B C 都不发生； (2) ,,A B C 不都发生； (3) ,,A B C 至少有一个发生； (4) ,,A B C 至多有一个发生； (5) ,A B 不同时发生且C 发生。

2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ⋃-。

3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ⋃=，求(),()P B P A B -。

4. 设B A ,及B A 发生的概率分别为3.0、4.0、6.0，求)(B A P 。

5. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P A B ⋃-。

6. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ⋃⋃。

7. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求

(1) 取到两个黄球的概率；

(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。

8. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 9. 从(0,1)中任取两数，求两数之和小于0.8的概率。

10. 某人射击时中靶的概率为

3

4

，如果射击直到中靶为止，求射击次数为3的概率。 11. 甲袋中装有5只红球，15只白球，乙袋中装有4只红球，5只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，

再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？ 12. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、

85%、80%，求

(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；

(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？

二．一维随机变量及其数字特征

1. 已知X 的概率密度函数1,02()0,

Ax x f x else

+<<⎧=⎨

⎩，求k 与12P X ⎧⎫>

⎨⎬⎩⎭

。

2. 设X 的概率密度函数,

01()0,

ax b x f x else

+<<⎧=⎨

⎩，已知2

3

EX =

，求,a b 。 3. 设)1.0,3(~B X ，求{}2,{1}P X P X =≥。

4. 设三次独立随机试验中事件A 出现的概率相同，已知事件A 至少出现一次的概率为

64

37

，求A 在一次试验中出现的概率p 。

5. 某种灯管的寿命X （单位：小时）的概率密度函数为21000

,1000()0,

x f x x else ⎧>⎪

=⎨⎪⎩，

(1) 求{1500}P X >；

(2) 任取5只灯管，求其中至少有2只寿命大于1500的概率。 6. 设~(,), 1.6, 1.28,X B n p EX DX ==求,n p 。 7. 设)(~λπX ，求)32(2

-+X X E 。 8. 设]6,1[~-U X ，求{}24≤<-X P 。

9. 设X 服从)5,1(-上的均匀分布，求方程2

10t Xt ++=有实根的概率。 10. 设~[1,3]X U ，求1

,DX E X ⎛⎫

⎪⎝⎭

。 11. 设某机器生产的螺丝长度)0036.0,05.10(~N X 。规定长度在范围12.005.10±内为合格，求螺丝不合

格的概率。

12. 设)4,0(~N X ，30002+-=X Y ，求)(Y E 、)(Y D 。

13. 设X 与Y 独立，且),1,1(~N X ),3,1(~N Y 求(2),(2)E X Y D X Y --。 14. 设1~(4),~4,,0.6,2XY X Y B πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭

求(32)D X Y -。 15. 设]2,1[~-U X ，求X Y =的概率密度函数。

三．二维随机变量及其数字特征

1. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布律为

5

0.2

k

0.05

(1) 求k ；

(2) 求{}{}3,4,8,{3|4}P X Y P X Y P X Y ≤>+<==； (3) 求Y X ,的边缘分布律； (4) 判断X 与Y 是否相互独立。 2. 已知),(Y X 的联合分布律为：

(1) 求a ；

(2) 求XY ρ，并判断,X Y 是否相关； (3) 判断,X Y 是否独立。 3. 已知),(Y X 的联合分布律为：

且X 与Y 相互独立，求： (1) b a ,的值； (2) }0{=XY P ； (3) ,X Y 的边缘分布律； (4) ,,,EX EY DX DY ； (5) Z XY =的分布律。

4. 已知),(Y X 的概率密度函数为(),02,01(,)0,

c x y x y f x y else

+≤≤≤≤⎧=⎨

⎩，求：

(1) 常数c ；

(2) 关于变量X 的边缘概率密度函数)(x f X ；

(3) )(Y X E +。

5. 设),(Y X 的概率密度函数为：2,01,02

(,)0,

x Axy x y f x y else ⎧+≤≤≤≤=⎨⎩，求：

(1) A ；

(2) {}0.5P X ≥； (3) cov(,)X Y 。

6. 设),(Y X 的概率密度函数为：,

01,0(,)0,

A x y x f x y else

≤≤≤≤⎧=⎨⎩，

(1) 求A ；

(2) 求(),()X Y f x f y ； (3) 判断,X Y 是否独立； (4) 求12P Y ⎧⎫≥

⎨⎬⎩⎭

； (5) 求(),cov(,)E XY X Y ； (6) 求2

X Z =的概率密度函数。

四．中心极限定理

1. 某种电器元件的寿命服从指数分布(0.01)E （单位：小时），先随机抽取16只，求其寿命之和大于1920小时的概率。

2. 生产灯泡的合格率为8.0，记10000个灯泡中合格灯泡数为X ，求

(1) )(X E 与)(X D ；

(2) 合格灯泡数在8040~7960之间的概率。 3. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于m 3，现从这批木柱中随机地取100根，问至少有30根短于m 3的概率是多少？

4. 某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立 ，设每时

刻每个分机有05.0的概率要使用外线通话。问总机至少需要多少外线才能以不低于9.0的概率保证每个分机要使用外线时可供使用?

五．抽样分布

1. 设21,X X 是来自正态总体)9,0(N 的简单随机样本，已知2

21)(X X a Y +=服从)1(2

χ分布，求a 。 2. 总体~(72,100)X N ，

(1) 对容量50n =的样本，求样本均值X 大于70的概率；