有限元分析方法
有限元法概述
大型商用的FEM通用软件分类
目前已经出现了许多大型结构分析通用软件,最早的 是美国国家宇航局(NASA)在1956年委托美国计算科学 公司和贝尔航空系统公司开发的ANASTRAN有限元分析 系统,该系统发展到现在已有几十个版本。此外,比较知 名的有限元分析软件还有德国的ASKA,英国PAFEC,法 国AYATUS,美国ABAUS、ADNA、ANSYS、BERSAF E、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC、STARNYNE 等。下面仅介绍几种当前比较流行的有限元软件。 (1) ANSYS。 ANSYS是融结构、流体、电场、磁 场和声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。其主要 特点是具有较好的前处理功能,如几何建模、网络划分、
电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦分 析,可以模拟多物理介质的相互作用,具有灵敏度分析 及优化分析能力;后处理的计算结果有多种显示和表达 能力。ANSYS软件系统主要包括ANSYS/Mutiphysics 多物理场仿真分析工具、LS-DYNA显示瞬态动力分析 工具、Design Space设计前期CAD集成工具、Design Xploere多目标快速优化工具和FE-SAFE结构疲劳耐久 性分析等。ANSYS已在工业界得到较广泛的认可和应 用。
现代设计理论及方法
有限元分析法
(Finite Element Analysis , FEA)
概述
1、有限元法简介
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法,是将 弹性理论、计算数学和计算机软件有机结合在一起的一种 数值分析技术,是解决工程实际问题的一种有力的数值计 算工具。 目前,有限单元法在许多科学技术领域和实际工程问 题中得到了广泛的与应用,如,机械制造、材料加工、航 空航天、土木建筑、电子电气、国防军工、石油化工、船 舶、铁路、汽车和能源等,并受到了普遍的重视。 现有的商业化软件已经成功应用于固体力学、流体力 学、热传导、电磁学、声学和生物学等领域,能够求解由 杆、梁、板、壳和块体等单元构成的弹性、弹塑性或塑性 问题,求解各类场分布问题,求解水流管道、电路、润滑、 噪声以及固体、流体、温度间的相互作用等问题。
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析(Finite Element Analysis, FEA)是一种数值分析方法,用于解决物理问题的近似解。
它基于将有限元区域(即解释对象)分解成许多简单的几何形状(有限元)并对其进行数值计算的原理。
本文将深入探讨有限元分析的原理、应用和优点。
有限元分析的原理基于弹性力学理论和数值计算方法。
它通过将解释对象分解为有限个简单的几何区域(有限元)和节点,通过节点之间的连接来建立模型。
这些节点周围的解释对象区域称为“单元”,并且通过使用单元的形状函数近似解释对象的形状。
每个单元都有一个与之相连的节点,通过对每个单元的受力进行计算,可以得到整个解释对象的受力分布。
然后,利用一系列运算和迭代,可以计算出解释对象的位移、应力和变形等相关参数。
有限元分析的应用范围广泛,从结构力学、热传导、电磁场分析到流体力学等各个领域。
在结构力学中,它被用于分析各种结构的静力学、动力学和疲劳等性能。
在热传导领域,它可以用于研究物体内部的温度分布和传热性能。
在电磁场分析中,它可用于计算复杂电磁场下的电场、磁场和电磁场耦合问题。
在流体力学中,有限元方法可以解决各种流体流动、热传递和质量转移问题。
有限元分析的优点之一是可以处理各种复杂边界条件和非线性材料特性。
它可以考虑到不同材料的非线性本质,例如弹塑性和接触等问题。
另外,有限元方法还可以适应任意形状和尺寸的几何模型,因此非常适用于复杂工程问题的建模与分析。
有限元分析的使用需要一定的专业知识和经验。
首先,需要将解释对象抽象成几何模型,并进行细分和离散化。
其次,需要选择适当的几何元素和材料模型,以及合适的边界条件和加载方式。
然后,需要定义求解器和数值方法,并使用计算机程序对模型进行计算。
最后,需要对结果进行后处理和验证,以确保其准确性和可靠性。
总的来说,有限元分析是一种强大的工程分析工具,在解决各种物理问题方面有广泛的应用。
它通过将复杂的问题简化为简单的有限元模型,通过数值计算的方法获得近似解。
有限元分析方法
百度文库- 让每个人平等地提升自我第1章有限元分析方法及NX Nastran的由来有限元分析方法介绍计算机软硬件技术的迅猛发展,给工程分析、科学研究以至人类社会带来急剧的革命性变化,数值模拟即为这一技术革命在工程分析、设计和科学研究中的具体表现。
数值模拟技术通过汲取当今计算数学、力学、计算机图形学和计算机硬件发展的最新成果,根据不同行业的需求,不断扩充、更新和完善。
有限单元法的形成近三十年来,计算机计算能力的飞速提高和数值计算技术的长足进步,诞生了商业化的有限元数值分析软件,并发展成为一门专门的学科——计算机辅助工程CAE(Computer Aided Engineering)。
这些商品化的CAE软件具有越来越人性化的操作界面和易用性,使得这一工具的使用者由学校或研究所的专业人员逐步扩展到企业的产品设计人员或分析人员,CAE在各个工业领域的应用也得到不断普及并逐步向纵深发展,CAE工程仿真在工业设计中的作用变得日益重要。
许多行业中已经将CAE分析方法和计算要求设置在产品研发流程中,作为产品上市前必不可少的环节。
CAE仿真在产品开发、研制与设计及科学研究中已显示出明显的优越性:❑CAE仿真可有效缩短新产品的开发研究周期。
❑虚拟样机的引入减少了实物样机的试验次数。
❑大幅度地降低产品研发成本。
❑在精确的分析结果指导下制造出高质量的产品。
❑能够快速对设计变更作出反应。
❑能充分和CAD模型相结合并对不同类型的问题进行分析。
❑能够精确预测出产品的性能。
❑增加产品和工程的可靠性。
❑采用优化设计,降低材料的消耗或成本。
❑在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题。
❑模拟各种试验方案,减少试验时间和经费。
❑进行机械事故分析,查找事故原因。
当前流行的商业化CAE软件有很多种,国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序。
其中最为著名的是由美国国1百度文库 - 让每个人平等地提升自我2家宇航局(NASA )在1965年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的Nastran 有限元分析系统。
有限元分析方法
有限元分析方法有限元分析是一种工程数值分析方法,它通过将复杂的结构分割成许多小的有限元素,然后利用数学方法对这些元素进行计算,最终得出整个结构的应力、变形等物理量。
有限元分析方法在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。
有限元分析方法的基本思想是将一个连续的结构分割成有限个小的单元,每个单元都是一个简单的几何形状,比如三角形、四边形等。
然后在每个单元内部建立一个数学模型,利用数学方法对这些单元进行计算,最终将它们组合起来得到整个结构的应力、变形等物理量。
有限元分析方法的核心是建立数学模型。
在建立数学模型的过程中,需要考虑结构的材料性质、边界条件、加载情况等因素。
通过合理地选择单元类型、网格划分、数学模型等参数,可以得到准确的分析结果。
有限元分析方法的优点之一是可以处理复杂的结构。
由于有限元分析方法将结构分割成小的单元,因此可以处理各种复杂的结构,比如曲面、异形、空腔等。
这使得有限元分析方法在工程设计中有着广泛的应用。
另外,有限元分析方法还可以进行结构优化。
通过改变单元类型、网格划分、边界条件等参数,可以对结构进行优化,使得结构在满足强度、刚度等要求的前提下,尽可能地减小材料消耗,降低成本。
当然,有限元分析方法也有一些局限性。
比如,在处理非线性、大变形、大变位等问题时,需要考虑材料的非线性特性、接触、接触、摩擦等效应,这会增加分析的复杂度。
另外,有限元分析方法的结果也受到网格划分、单元类型等参数的影响,需要谨慎选择这些参数。
总的来说,有限元分析方法是一种强大的工程数值分析方法,它在工程设计、材料研究、结构优化等领域有着广泛的应用。
通过合理地建立数学模型、选择合适的参数,可以得到准确的分析结果,为工程设计和科学研究提供有力的支持。
有限元分析方法
k1 k1k2 k2
0
0
0 k2 k2 k3 k3
0
0 0 k3 k3 k4 k4
0 u1 0 0 u2 0 0k4uu4300 k4 u5 P
写成一般形式,可得:
[R ][K ]U [][F]
即: [反作]用 [总 力 体 矩 ]刚 位 [阵 度 移 ] [负 矩 矩荷 阵 阵 ]
引入边界条件,根据本题要求,节点1
有限元分析方法
第一章 概述
一、有限单元法的基本概念
一变横截面杆,一 端固定,另一端承受负 荷 P,试求杆沿长度方 向任一截面变形大小。 其中杆上边宽度为 w1 下边宽度为 w 2 ,厚度
为 t ,长度为 L,弹性
模量为 E。
① 采用材料力学的研究方法进行精确求解
解:设杆任一横截面面积为 A( y) ,平均应力
来,重新对上述五个方程进行变换,得:
节点1: k1u1k1u2R1
节点2: k 1 u 1 (k 1 k 2 )u 2 k 2 u 3 0
节点3: k 2 u 2 (k 2 k 3 )u 3 k 3 u 4 0 节点4: k 3 u 3 (k 3 k 4 )u 4 k 4 u 5 0
节点5: k4u4k5u5P
的位移为0,即 u1 0 ,则有如下矩阵形 式:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
0
0 0 u1 0
k1 k1 k2 k2
0
0 u2 0
0
0
k2 0
k2 k3 k3
k3 k3 k4
0k4uu43
0 0
0 0
0 k4 k4 u5 P
求解上述矩阵方程,可得每个节点位移,进 而求得每个节点反作用力,每一个单元的平均应 力和应变。即:
有限元分析(FEA)方法
单元形函数( 单元形函数(续)
遵循: 遵循 • DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解,但单 DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解 值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解, 元内的平均值与实际情况吻合得很好。 元内的平均值与实际情况吻合得很好。 • 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的(如,结 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的 DOFs推导出来的( 构应力,热梯度)。 构应力,热梯度)。 • 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs,就不能很好 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs DOFs, 地得到导出数据, 地得到导出数据,因为这些导出数据是通过单元形函数推导 出来的。 出来的。
La-17
Definition
外载荷与结点的平衡方程
q ( li −1 + li ) 2 EA( u i − ui −1 ) li −1
为第i个结点上承受的外载荷 为第 个结点上承受的外载荷
−
EA( u i +1− ui ) li
=
q ( li −1 + li ) 2
2001年10月1日
ANSYS培训教程 – 版本 5.5 – XJTU MSSV(001128)
历史典故 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的 ANSYS最早是在 是随计算机硬件而发展壮大的。 最早是在1970 早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970 年发布的,运行在价格为$ 000,000的CDC、 Univac和 年发布的,运行在价格为$1,000,000的CDC、由Univac和IBM 生产的计算机上,它们的处理能力远远落后于今天的PC PC机 生产的计算机上,它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一 台奔腾PC机在几分钟内可求解5000 5000的矩阵系统 PC机在几分钟内可求解5000× 的矩阵系统, 台奔腾PC机在几分钟内可求解5000×5000的矩阵系统,而过去 则需要几天时间。 则需要几天时间。
有限元分析实例
有限元分析实例引言有限元分析(Finite Element Analysis,简称FEA)是一种工程分析方法,能够将连续体结构分割成有限个小单元,通过在每个小单元内建立方程模型,最终求解整个结构的力学行为。
本文将以一个实例来介绍有限元分析的基本过程和步骤。
实例背景我们将以一个简单的杆件弯曲问题为例来进行有限元分析。
假设有一根长度为L、截面积为A的杆件,材料的弹性模量为E,截面的转动惯性矩为I。
我们希望通过有限元分析来计算杆件在一定加载条件下的弯曲变形。
有限元网格的划分首先,我们需要将杆件划分成有限个小单元,即有限元网格。
常用的网格划分方法有三角形划分、四边形单元划分等。
根据具体问题的要求和复杂度,选择合适的划分方法。
单元的建立划分好网格后,我们需要在每个小单元内建立方程模型。
在弯曲问题中,常见的单元模型有梁单元、壳单元等。
在本实例中,我们选择梁单元作为杆件的单元模型。
对于梁单元,我们需要定义每个节点的位移和约束条件。
根据杆件的几何尺寸和材料属性,可以利用应变能量原理和几何相似原理,得到每个节点的位移和约束条件。
材料特性和加载条件的定义在进行有限元分析之前,我们需要定义材料的特性和加载条件。
对于本实例中的杆件,我们需要定义弹性模量E、截面积A和转动惯性矩I。
加载条件可以包括集中力、均布力、弯矩等。
在本实例中,假设杆件受到均布力,即沿杆件轴向的受力分布是均匀的。
单元方程的建立和求解在定义了材料特性和加载条件之后,我们可以根据每个梁单元的位移和约束条件,建立每个单元的方程模型。
常见的方程模型有刚度矩阵方法、位移法等。
根据所选的单元模型,选择合适的方程模型进行计算。
通过对每个单元的方程模型进行组装,我们可以得到整个结构的方程模型。
将加载条件带入,可以求解出整个结构在给定加载条件下的位移、应力等参数。
结果分析根据求解得到的位移信息,我们可以绘制出结构的变形图。
通过变形图,可以直观地观察到结构在弯曲条件下的变形情况。
有限元分析基本步骤
• 截面参数由用另外提供,材料和温度等也另外 提供。
• 对特殊行业,也可建立管单元。
2
• 二维单元
– 分类:面单元和板单元
– 特点:厚度远小于长度和宽度
– 节点连接:节点处铰接,传递平面内的力,不能传递 弯矩
– 形状:三角形或四边形
• 载荷
– 平面单元和板单元只承受平面内的载荷,不能传递力 矩
– 壳单元在节点处固接,可承受垂直于平面的载荷,可 传递任意方向的力并可传递弯矩和扭矩
• 如模块盒底板可建立壳单元
• 厚度尺寸和其他参数另外提供
3
• 三维单元
– 不能简化为二维问题的连续体。节点处铰 接,只传递力不能传递扭矩。单元形状为 六面体、或四面体、五面体。
– 实际问题模型可由多种模型结合。
• 则节点载荷为
{ } [ ] P e = Pxi Pyi Pxj Pyj Pxm Pym T
20
体积力移置
21
l ds
22
23
σ e = Dε e = DBeδ e = S eδ e
{ε}= [B]{δ }e
5. 建立单元刚度矩阵
• 由虚功原理可导出节点力和节点位移的关系。
• 设节点力为
Ui
0
∂Nm
0
∂x
[B]
=
1 2A
0 ∂Ni
∂Ni ∂y ∂Ni
∂x 0 ∂N j
∂N j
∂y ∂N j
∂x 0 ∂Nm
∂Nm ∂y ∂Nm
=
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0
0
cm
cm bm
常用的有限元分析方法
常用的有限元分析方法1、结构静力分析结构静力分析用来分析由于稳态外部载荷引起的系统或部件的位移、应力、应变和力。
静力分析很适合于求解惯性及阻力的时间相关作用对结构响应的影响并不显著的问题。
这种分析类型有很广泛的应用,如确定结构的应力集中程度,或预测结构中由温度引起的应力等。
静力分析包括线性静力分析和非线性静力分析。
如图1、图2所示。
非线性静力分析允许有大变形、蠕变、应力刚化、接触单元、超弹性单元等。
结构非线性可以分为:几何非线性,材料非线性和状态非线性三种类型。
几何非线性指物体在外部载荷作用下所产生的变形与其本身的几何尺寸相比不能忽略时,由物体的变形引起的非线性响应。
材料非线性指物体材料变形时,材料所表现的非线性应力应变关系。
常见的材料非线性有弹塑性、超弹性、粘弹塑性等。
许多因素可以影响材料的非线性应力-应变关系,如加载历史、环境温度、加载的时间总量等。
状态非线性是指结构表现出来的一种与状态相关的非线性行为,如二个变形体之间的接触。
随着接触状态的变化,其刚度矩阵发生显著的变化。
图1 图2汽车车架的线性结构静力分析应用云图发动机连杆小头连接部分的结构静力分析云图2、结构动力分析结构动力分析一般包括结构模态分析、谐响应分析和瞬态动力学分析。
结构模态分析用于确定结构或部件的振动特性(固有频率和振型)。
它也是其它瞬态动力学分析的起点,如谐响应分析、谱分析等。
结构模态分析中常用的模态提取方法有:子空间(Subspace)法、分块的兰索斯(BlockLanczos)法、PowerDynamics法、豪斯霍尔德(ReducedHouseholder)法、Damped法以及Unsysmmetric法等。
谐响应分析用于分析持速的周期载荷在结构系统中产生的持速的周期响应(谐响应),以及确定线性结构承受随时间按正弦(简谐)规律变化的载荷时稳态响应的一种分析方法,这种分析只计算结构的稳态受迫振动,不考虑发生在激励开始时的瞬态振动,谐响应分析是一种线性分析,但也可以分析有预应力的结构。
第3章 有限元分析的数学求解原理-三大步骤
U x x y y z z xy xy yz yz zx zx dV
X u Y v Z w dV X u Y v Z w d W
V V
用 * 表示;引起的虚 应变分量用 * 表示
j Vj
Ui
i Vi
0 X
y
¼ 1-9 Í
ui* * vi wi* * * u j , v* j w*j
x* * y * z * * xy *yz * 18 zx
19
7.间接解法:最小势能原理
20
最小势能原理
W U 0
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时,系统会处于稳定 平衡状态。或者说在所有几何可能位移中,真实位移使得总势能取最小值
0 表明在满足位移边界条件的所有可能位移 最小势能原理: 中,实际发生的位移使弹性体的势能最小。即对于稳定平衡状态,实 际发生的位移使弹性体总势能取极小值。显然,最小势能原理与虚功 原理完全等价。 n m
虚功原理的矩阵表示
在虚位移发生时,外力在虚位移上的虚功是:
* 式中
U i u i* V i v i* W i w i* U j u *j V j v *j W j w *j
* 是 的转置矩阵。
T
*
F
T
同样,在虚位移发生时,在弹性体单位体积内,应力在虚应变上的虚 功是: * * * * * * * T x x y y z z xy xy yz yz zx zx
27
⑴解析法
有限元分析 (FEA) 方法(PPT 13)
有限元模型
.
A-4
自由度(DOFs)
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
方向
结构 热 电
流体 磁
自由度
位移 温度 电位 压力 磁位
September 30, 1998
.
A-5
节点和单元
载荷
节点: 空间中的坐标位置,具有一定自由度和 存在相互物理作用。
September 30, 1998
.
A-12
单元形函数(续)
遵循原则:
• 当选择了某种单元类型时,也就十分确定地选择并接受该种单元 类型所假定的单元形函数。
• 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下,必须确保分析时 有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。
September 30, 1998
September 30, 1998
.
A-7
节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
A
B
.. .
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 (需进行节点合并处理)
September 30, 1998
.
1 node
...
A
B
...
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
September 30, 1998
.
A-10
单元形函数(续)
DOF值二次分布
.
.
1
节点
单元
二次曲线的线性近 (不理想结果)
真实的二次曲线
.
.
2
有限元分析法概述
第十一章 有限元分析方法概述1、基本概念有限元分析方法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代没计计算方法。
它是20世纪50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法,随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
在工程分析和科学研究中,常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题,如位移场、应力场和温度场等问题。
求解这类场问题的方法主要有两种:用解析法求得精确解;用数值解法求其近似解。
应该指出,能用解析法求出精确解的只是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。
而对于绝大多数问题,则很少能得出解析解。
这就需要研究它的数值解法,以求出近似解。
目前工程中实用的数值解法主要有三种:有限差分法、有限元法和边界元法。
其中,以有限元法通用性最好,解题效率高,目前在工程中的应用最为广泛。
下面通过一个具体例子,分别采用解析法和数值解法进行求解,从而体会一下有限元分析方法的含义及其相关的一些基本概念。
如下图所示为一变横截面杆,杆的一端固定,另一端承受负荷P ,试求杆沿长度方向任一截面的变形大小。
其中,杆的上边宽度为1w ,下边宽度为2w ,厚度为t ,长度为L ,杆的材料弹性模量为E 。
已知P =4450N ,1w =50mm ,2w =25mm ,t =3mm ,L =250mm ,E =72GPa 。
① 采用解析法精确求解假设杆任一横截面面积为)(y A ,其上平均应力为σ,应变为ε。
根据静力平衡条件有:0)(=-y A P σ根据虎克定律有:εσE =而任一横截面面积为:t y L w w w y A )()(121-+= 任一横截面产生的应变为:dydu=ε将上述方程代入静力平衡条件,进行变换后有:dy y EA Pdu )(=沿杆的长度方向对上式两边进行积分,可得:⎰⎰⎰-+==y yudy y Lw w w Et P dy y EA P du 01210)()(将)(y A 表达式代入上式,并对两边进行积分,得杆沿长度方向任一横截面的变形量:]ln )[ln()()(112112w y Lw w w w w Et PL y u --+-=当y 分别取0、62.5、125、187.5、250值时,变截面杆相应横截面处的沿杆长方向的变形量分别为:m u m u m u m u m u 6564636211080.142 ;1083.96 ;1027.59 ;1051.27 ;0----⨯=⨯=⨯=⨯==② 采用数值解法近似求解将变横截面杆沿长度方向分成独立的4小段,每一小段采用等截面直杆近似,等截面直杆的横截面面积为相应的变截面杆横截面面积的平均面积表示,每一小段称为一个单元,小段之间通过节点连接起来。
工程电磁场数值分析(有限元法)
04
有限元法在工程电磁场中的应用
静电场问题
总结词
有限元法在静电场问题中应用广泛,能够准确模拟和预测静电场 的分布和特性。
详细描述
静电场问题是指电荷在静止状态下产生的电场,有限元法通过将 连续的静电场离散化为有限个单元,对每个单元进行数学建模和 求解,能够得到精确的解。这种方法在电力设备设计、电磁兼容 性分析等领域具有重要应用。
单元分析
对每个单元进行数学建模,包 括建立单元的平衡方程、边界 条件和连接条件等。
整体分析
将所有单元的平衡方程和连接 条件组合起来,形成整体的代 数方程组。
求解代数方程组
通过求解代数方程组得到离散 点的场量值。
有限元法的优势和局限性
02
01
03
优势 可以处理复杂的几何形状和边界条件。 可以处理非线性问题和时变问题。
传统解析方法难以解决复杂电磁场问题,需要采用数值分析方法 进行求解。
有限元法的概述
有限元法是一种基于离散化的数值分 析方法,它将连续的求解域离散为有 限个小的单元,通过求解这些单元的 近似解来逼近原问题的解。
有限元法具有适应性强、精度高、计 算量小等优点,广泛应用于工程电磁 场问题的数值分析。
02
静磁场问题
总结词
有限元法在静磁场问题中同样适用,能够有效地解决磁场分布、磁力线走向等问题。
详细描述
静磁场问题是指恒定磁场,不随时间变化的磁场问题。有限元法通过将磁场离散化为有限个磁偶极子,对每个磁 偶极子进行数学建模和求解,能够得到静磁场的分布和特性。这种方法在电机设计、磁力泵设计等领域具有重要 应用。
有限元法的基本步骤
01
有限元分析FEA
有限元分析FEA有限元分析(Finite Element Analysis,FEA)是一种数值分析方法,广泛应用于工程领域,用于估算结构在特定工况下的力学性能。
FEA 将复杂的实际结构抽象为有限数量的简单几何形状,然后通过对这些几何形状进行分割,建立一个离散的节点网格,进而利用数学方法对节点网格上的几何、力学和材料性能进行模拟和计算,通过求解节点间的方程组,得到结构的应力、应变、位移等结果。
1.建立几何模型:通过计算机辅助设计软件建立结构的几何模型。
模型可以是二维或三维的,包括各种几何形状,如线段、矩形、圆形等,并包含结构的尺寸和几何特征。
2.网格划分:将几何模型划分为离散的节点网格,并在节点上分配适当的节点元素。
节点元素可以是线元素、平面元素或体元素,将结构的连续性转化为离散点之间的连接关系。
3.建立力学模型:根据所要研究的问题和加载条件,确定边界条件、加载情况和材料性能等。
边界条件包括约束和加载,在节点和元素上分配适当的约束和加载。
4.建立单元刚度矩阵:根据单元的几何形状和材料特性,建立单元的刚度矩阵。
刚度矩阵包含单元的弹性刚度、几何刚度和材料刚度。
5.组装刚度矩阵:将所有单元的刚度矩阵根据节点的连接关系进行组装,得到总体的刚度矩阵。
组装的过程包括将单元刚度矩阵映射到全局坐标系、考虑边界条件和加载等。
6.求解方程组:建立节点的位移和约束条件之间的关系,得到结构的位移、应力和应变等结果。
可以通过直接解方程组或迭代求解的方法得到最终结果。
7.后处理:根据具体问题的要求,对结果进行分析和解释。
可以绘制位移云图、应力云图、应变云图等,进行结构的评估和优化。
FEA有以下几个主要特点和优势:1.可适用于各种工程领域:FEA可以用于解决结构和材料的强度、稳定性、疲劳、振动、热传导、电磁等多种问题,广泛应用于航空航天、汽车、能源、建筑和机械制造等领域。
2.具有高精度:通过适当的剖分和合理的力学模型,能够在相对较短的时间内提供较准确的结果,并对结构进行合理和有效的评估。
(计算物理学)第10章有限元方法
使用数值方法求解线性方程组,得到每个节点的物 理量值。
03
求解线性方程组是有限元方法的核心步骤,其结果 的精度和稳定性对整个计算过程至关重要。
04
有限元方法的实现与应用
有限元分析软件介绍
COMSOL Multiphysics
COMSOL是一款强大的有限元分析软件, 支持多物理场模拟,包括电磁场、流体动力 学、化学反应等。
求解方程
通过有限元方法求解微分方程, 得到每个有限元的位移、应力 等结果。
建立模型
根据实际问题建立数学模型, 包括几何形状、材料属性、边 界条件等。
施加载荷和约束
根据实际情况,对有限元施加 适当的载荷和约束条件。
结果后处理
对求解结果进行后处理,包括 绘制云图、生成动画等。
有限元方法的应用领域
01
02
案例二:机械零件的应力分析
总结词
机械零件的应力分布和最大承受载荷是设计 时必须考虑的重要因素,有限元方法能够精 确模拟零件在不同工况下的应力状态。
详细描述
利用有限元方法,可以建立机械零件的模型 并模拟其在工作过程中所承受的应力分布。 这种方法能够预测零件在不同工况下的最大 承受载荷,为设计优化提供依据,提高零件
03
结构分析
用于分析结构的应力、应 变、位移等,广泛应用于 航空航天、汽车、土木工 程等领域。
流体动力学
用于分析流体动力学问题, 如流体流动、传热等,广 泛应用于能源、环境等领 域。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电磁场分析
用于分析电磁场问题,如 电磁波传播、电磁感应等, 广泛应用于通信、雷达、 电子设备等领域。
05
有限元方法的优缺点与改进 方向
03
有限元分析原理与步骤
有限元分析原理与步骤
有限元分析是一种数值计算方法,用于解决工程结构的力学问题。
它将任意复杂的结构分割成为若干个简单的子结构,通过数学模型和计算机软件进行力学分析。
有限元分析的步骤如下:
1. 建立几何模型:根据实际结构的几何形状,使用CAD软件
或者手工绘图等方式建立三维或二维模型。
2. 网格划分:将结构模型划分成若干个小单元,如三角形、四边形或六边形等,这些小单元构成了有限元网格。
3. 选择适当的元素类型:根据结构的特性选择合适的元素类型,如杆件元、梁单元、板单元等。
4. 建立整体刚度矩阵:根据每个小单元的几何形状和材料性质,计算每个小单元的刚度矩阵,将其组装成整个结构的刚度矩阵。
5. 施加边界条件:确定结构的边界条件,如固定支座、约束等。
6. 施加荷载:施加力、压力、温度等荷载条件。
7. 求解方程:通过求解结构的刚度方程,得到结构的位移、应力、应变等结果。
8. 后处理结果:根据求解得到的结果,进行结果的可视化及分
析。
通过以上步骤,有限元分析可以提供结构的力学性能分析,如应力、应变、变形等,为工程设计和优化提供参考依据。
有限元分析-详解
C、棱柱铰约束(Slider)
该约束只能施加于虚件之上,仅允许被约束的 对象沿指定放松的轴平移滑动,限制其它五个自由 度。一般施加过程为:单击 按钮,弹出图示对话 框。选择虚件加于Supports 栏,选择使用的坐标系, 并在需要放松的轴线方向输入1。单击确定完成定义。 如针对如图所示接触虚件示例,用加于虚件的取代 施加于Point1 的高级约束,结果相同。
Element Type 决定采用linear 线性直边单元亦或采 用parabolic 抛物线棱边单元,抛物线棱边单元能带 来更好的精度。
此外还可以通过如图所示对话框中的Local 卡片,通 过添加(Add)sage和sag来调整局部网格细密程度 和,带来更合适的分析精度。(注:全局网格划分越 细密或采用抛物线棱边单元同样能提高精度,但同时 计算耗时增加)。
网格和属性还可以通过模型管理工具条 来自行定义。其中:
图标用于给实体Solid 模型定义四面体单元;
图标用于给曲面surface 模型定义三角形单元,如 果用户决定把实体模型当作薄壳模型来处理,也可 以用于实体模型;
图标表示对线框wireframe 几何进行梁单元网格划 分,要求对象是在Generative Shape Design 或 Wireframe and Surface Design 中生成的部件, 或者在Structure Design 环境下生成的梁(不能对 Sketch 对象进行网格划分),且划分出的网格是一 维的。
CATIA有限元分析
有限元分析是实现安全设计的重要部分, 在日常设计工作中也经常得到应用。
一 、零件体有限元分析
零件体有限元分析的一般步骤为:
(1):建立零件模型并导入分析模块;
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假定一系列边界条件,结合平衡条件即可求出 kij
首先假设:vi=1,θzi=vj=θ zj=0
由梁的变形公式有:
vi=Fyil3/(3EI)- Mzil2/(2EI)=1
θi=Mzil/EI-
Fyil2/(2EI) =0
解得:
Fyi=12EI /l3=k11 Mzi=6EI/l2=k21
由力、力矩的平衡条件:
第5章 有限元分析方法
• • • • 概述 有限元法中单元特性的导出方法 有限元法的解题步骤 有限元法的前后置处理简介
参考书:《有限单元法基本原理和数值方法》清华大学 王勖成 邵敏
5.1 概 述
有限元分析方法
•是一种现代设计计算方法,是随着电子计算机技术的发 展而发展起来的;
•首先应用于飞机结构的静、动态特性分析(连续体力 学分析); •后广泛应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性 问题。
或 内力所做的虚功
A ( x x y y xy xy )dV
式中, { } { }dV {q}
T V
T
[ B] [ D][ B]dV {q}
T V
代入虚功方程,有
{F } [ B]T [ D][B]dV{q}
按式(5.6a)和(5.7)可求得单元内各点将产生的虚位移和虚应变为:
u [ N ]{q} v
{ } [ B]{q}
则单元节点力所做的虚功
AF ui Fxi vi Fyi u j Fxj v j Fyj uk Fxk vk Fyk
三、能量变分原理方法
能量变分方法 1.最小位能原理 弹性体受外力作用产生变形时伴随着产生变形能U和外力能 W,所以系统总位能Π可写成
一种用变分法求能量泛函的极值方法
由于{ }和{ }是位移u,v,w的函数,所以Π是一个函数的函数, 即“泛函”。
其意义为:
在所有满足几何关系和边界条件的多组可能位 移中,只有满足平衡方程式的那组位移 u, v, w 才能使物体的总位能为最小。该组位移 u, v, w
设定梁单元的位移函数为
v( x) a1 a2 x a3 x2 a4 x3
式中i为待定系数。
梁单元的自由度为{q}T = [vi zi vj zj]。 上式写成矩阵形式:
a1 a 3 2 x ] [ S ]{a} a3 a 4
v( x) [1 x
u v u v , y , xy , x y y x
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bk 0 ck
3.根据虎克定律,通过应变求应力
对平面应力问题,有: { } [ D]{ } [ D][B]{q}
1 E 其中, [ D] 2 1 0 0 1 0 1 0 2
4.由虚功原理求单元的刚度矩阵
根据虚功原理,当结构受载荷作用处于平衡状态时,在任意给 出的节点虚位移下,外力(节点力){F}及内力{}所做的虚功之和 应等于零,即
AF A 0
虚功方程
给单元节点以任意虚位移{ }:
{ } ui vi u j v j uk
vk
T
单元内各点 的位移用节 点位移插值 表示。
通过矩阵求逆可得[c]-1。 于是,{d} = [S]{a} = [S][C]-1{q} = [N] {q} [N] :形状函数
2. 由位移函数求应变 由弹性力学有: x 可得
u x x u { } x u v y x y bi ui b j u j bk u k u 1 c v c v c v i i j j k k y v 2 A c v c v c v b u b u b u i i j j k k i i j j k k x bi 1 0 2A ci ui v 0 i u j ck [ B ]{q} vj bk u k vk
的值就是问题的正确解答。
V
{ }T ( )dV {q}T {F }
与虚功原理法的结果一致。
于是,求解直梁的问题即为:在给定的边界条件下解上述微 分方程式,求出v(x)。
上述问题是在给定的边界条件下解微分方程。
对于简单梁问题,这并不困难;但对复杂结构则比较困难,有 时甚至是不可能的。于是,就产生了“泛函变分的近似解法” 。 里兹法就是其中的一种。 里兹法是假设一个线性组合形式的位移函数 y aii
例: |d|=∑aiφi
ai:待定系数
φi:坐标的某种函数
b)分析单元的力学性质 根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、 位置及其含义,找出单元节点力节点位移间的关 系式。
需应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力 和位移间的方程式,进而导出单元刚度矩阵。
c)计算等效节点力
有限元分析中,假定力是通过节点从一个单元传递到 另一个单元。 实际情况:力是从单元间的公共边界传递到另一个单 元中去的。
5.2 有限元法中单元特性的导出方法
单元特性:刚度矩阵、质量矩阵、热矩阵等。 建立刚度矩阵的方法:
1)直接方法 2)能量变分原理方法 3)虚功原理法 4)加权残数法
一、直接方法 直接方法是直接应用物理概念来建立单元的有限元方程和分 析单元特性的一种方法,这种方法仅能用于简单形状的单元。 梁的抗弯刚度 例:
u i 1 xi v 0 0 i u j 1 x j q v j 0 0 u k 1 x k v k 0 0 yi 0 yj 0 yk 0 0 1 0 xi 0 1 yi 2 0 3 [c] y j 4 0 5 yk 6
写成矩阵形式
a1 a 2 u 1 x y 0 0 0 a3 {d } [ S ]{ } v 0 0 0 1 x y a4 a5 a6
三个节点上的位移:
ui=α1+α2xi+α3yi,vi=α4+α5xi+α6yi uj=α1+α2xj+α3yj,vi=α4+α5xj+α6yj uk=α1+α2xk+α3yk,vi=α4+α5xk+α6yk 写成矩阵形式:
Fyj=- Fyi
Mzj=Fyil-Mzi 解得: Fyj=-12EI /l3=k31
Mzj=6EI/l2=k41
再假设:θzi=1,vi=vj=θ zj=0 由梁的变形边界条件又可求得:k12、k22、k32、k42 以同样方法还可求得平面弯曲梁单元的刚度矩阵中的其他元素。
平面弯曲梁单元的刚度矩阵为:
i 1 n
,
它是一个容许函数,其中的ai是待定系数。然后,把该函 数代入所求问题的泛函II中去,求其变分II。再从极值条 件II=0给出的方程组中解出待定系数ai之值。最后把求得
的值代入 y aii 的函数中去,即得问题的正确解。
i 1
n
例:
采用能量变分原理的有限元法(里兹法)来计算平面直梁问题
作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都 要等效地移到节点上去 即用等效的节点力来替代所有作用在单元上的力。
3)单元组集 利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原 来的结构重新联接起来,形成整体的有限元方程:
4)引入边界条件,解方程组
将u1=v1=v3=v3=0代入方程,可得
由此可解得结构的节点未知位移,进而求得轴向力 和应力。 根据方程组的特点选择合适的求解方法。
2)单元特性分析
a)选择位移模式
•位移法:选择节点位移作为基本未知量;单元 的一些物理量(位移、应变、应力等) 由节点位移来表示。 •力法:选择节点力作为基本未知量;
•混合法:取一部分节点力和一部分节点位移 作为基本未知量; 位移法易于实现计算自动化,故应用广泛。
单元中位移的分布采用位移函数(能逼近真实函数的近似函数)描述; 通常将位移表示为坐标变量的简单函数。 反映真实的 位移分布
梁在外载 荷作用下 产生弯曲。 把梁看成是 一个单元, 它具有两个 节点:i 和 j。
单元的节点位移列阵 单元的节点力列阵
挠度和剪力向上为正, 倾角和弯矩逆时针方 向为正方向。
在弹性小位移范围内,梁的节点力和节点位移间的关系可表为 单元的有限元方程 单元刚度矩阵 简写为:
K=[kij]4×4 kij: 单元的j号节点的单位位移对i号节点力的贡献。 单元刚度矩阵是对称的 由功的互等定理有:kij= kji Fyi=k11vi+k12θzi+k13vj+k14θ zj Mzi=k21vi+k22θzi+k23vj+k24θ zj
0 0 1 xj 0 0 1 xk
由上式可解得:
[c]1 q
已知
1 x i 0 0 1 x j [c ] 0 0 1 x k 0 0 yi 0 yj 0 yk 0 0 1 0 xi 0 yi 0 yj 0 yk
0 0 1 xj 0 0 1 xk
x2
于是
位移函数
从方程组中解出待定系数ai之值,代入位移函数v(x)中去, 即得问题的正确解。
3.位移函数
在有限元法中,一般设定位移函数是多项式
用它近似地描述实际的位移变化规律 式中i是待定系数 对位移函数的要求 从数学意义上看,设定的位移函数至少应具有分片连续的一阶 导数,这样才能使泛函的积分有意义。这是因为泛函含有应变
y ii
i 1 n