实际问题与一元二次方程(数字问题)

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实际问题与一元二次方程-(含答案)

实际问题与一元二次方程-(含答案)实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似。

都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，并能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步提高分析问题、解决问题的意识和能力。

在利用一元二次方程解决实际问题时，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。

主要研究下列两个内容：1.列一元二次方程解决实际问题。

一般情况下，列方程解决实际问题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答六个步骤。

找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键。

2.一元二次方程根与系数的关系。

一般地，如果一元二次方程ax^2+bx+c=（a≠0）的两个根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1•x2=c/a。

知识链接点击一：列方程解决实际问题的一般步骤应用题考查的是如何把实际问题抽象成数学问题，然后用数学知识和方法加以解决的一种能力。

列方程解应用题最关键的是审题，通过审题弄清已知量与未知量之间的等量关系，从而正确地列出方程。

概括来说就是实际问题——数学模型——数学问题的解——实际问题的答案。

一般情况下列方程解决实际问题的一般步骤如下：1) 审：是指读懂题目，弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能够找出能表示实际问题全部含义的等量关系。

2) 设：是在理清题意的前提下，进行未知量的假设(分直接与间接)。

3) 列：是指列方程，根据等量关系列出方程。

4) 解：就是解所列方程，求出未知量的值。

5) 验：是指检验所求方程的解是否正确，然后检验所得方程的解是否符合实际意义，不满足要求的应舍去。

6) 答：即写出答案，不要忘记单位名称。

总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程(组)的基础，找出相等关系是列方程(组)解应用题的关键。

点击二：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系。

一般地，如果一元二次方程ax^2+bx+c=（a≠0）的两个根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1•x2=c/a。

一元二次方程与实际问题题型

一元二次方程与实际问题题型一元二次方程与实际问题题型是数学中常见的题目类型之一。

以下是一些实例，并给出了相应的答案：利率问题题目：小华将100元存入银行，年利率为2.25%，存期为2年。

请问小华到期后可以取出多少钱？设本金为P，年利率为r，存期为t年，到期后的总金额为A。

根据公式：A = P(1 + r)^t，代入数值解得：A = 104.5元。

投资问题题目：小李和小张分别投资了10万元和15万元，年回报率为5%，3年后的总资产为多少？设投资金额为P，年回报率为r，t年后总资产为A。

根据公式：A = P(1 + r)^t，代入数值解得：A = 16.4万元。

销售问题题目：某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，每次降价的百分比相同。

请问每次降价的百分比是多少？设每次降价的百分比为x。

根据公式：原价*(1-百分比)^次数=现价，代入数值解得：x = 10%。

相遇问题题目：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，相遇时甲车比乙车多走了10公里。

已知甲车的速度为60公里/小时，乙车的速度为40公里/小时。

请问A、B两地之间的距离是多少？设相遇时的时间为t小时，A、B两地之间的距离为d公里。

根据公式：(60t + 40t) = d + 10，代入数值解得：d = 210公里。

追及问题题目：甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，相遇后甲车继续前行到达B地比乙车迟到了1小时。

已知甲车的速度为60公里/小时，乙车的速度为40公里/小时。

请问A、B两地之间的距离是多少？设相遇时的时间为t小时，A、B两地之间的距离为d公里。

根据公式：(60t - 40t) = d，代入数值解得：d = 20公里。

一元二次方程与实际问题

一元二次方程与实际问题一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c是已知的实数常数。

它在数学中被广泛应用，尤其在解决实际问题时，具有重要的意义。

一元二次方程与实际问题的关联在于它可以描述许多物理、经济、工程和自然科学现象。

下面将介绍一些常见的实际问题，并用一元二次方程解决它们。

1. 自由落体问题：考虑一个物体从高度h自由落下，并以初速度为0的条件下落。

重力以加速度g=9.8m/s²的恒定速度使物体加速下落。

通过运用运动学公式，可以将物体的下落时间t与下落距离h之间的关系表示为：h=gt²/2。

整理得到ht²-2h=0，这是一个一元二次方程。

通过求解该方程，可以得到物体下落的时间和下落的距离。

2. 抛物线轨迹问题：许多物理和运动问题都涉及抛物线轨迹。

例如，一个抛射物体的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。

给定抛射角度θ和初速度v，可以得到抛射物体的运动轨迹方程y=x*tanθ - (g*x²) /(2v²*cos²θ)。

这是一个一元二次方程，其中x表示水平方向的距离，y表示竖直方向的高度。

通过解这个方程，可以计算出物体在不同时间和位置的高度。

3. 经济成本问题：一元二次方程也可以用于经济领域的成本分析。

例如，考虑一个企业的总成本函数C(x)=ax²+bx+c，其中x表示生产的数量，a、b、c是已知的实数常数。

通过求解C'(x)=0，即求解一阶导数为零的方程，可以找到企业的最低成本点。

这个点对应的x值就是企业的最优生产数量。

以上只是一些例子，实际应用一元二次方程的问题非常广泛。

通过将实际问题转化为数学模型，应用一元二次方程的解法，可以更好地理解和解决各种现实问题。

实际问题与一元二次方程题型归纳总结

实际问题与一元二次方程题型归纳总结实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

1.审清题意，弄清已知量与未知量；2.找出等量关系；3.设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；4.列出一元二次方程；5.求出所列方程的解；6.检验方程的解是否正确，是否符合题意；7.作答。

二、典型题型1、数字问题例1：有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。

练：1.两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2.一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A。

25 B。

36 C。

25或36 D。

-25或-362、传播问题公式：(a+x)=M，其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数例3：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？练：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3、相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1)和复杂循环问题2n(n-3)例4：1.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例5：一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例6：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（）A。

实际问题与一元二次方程(简析版)

实际问题与一元二次方程一、“握手问题”1、节日聚会中，每人都和其他人握手一次，现在有若干人共握手45次，问共有多少人参加聚会？分析：设共有x 人参加聚会，可列方程：45)1(21=-x x 2、某校足球联赛，采用单循环的赛制，一共比赛10场，问一共有多少支球队参加比赛？分析：设共有x 支球队参加比赛，可列方程：10)1(21=-x x 3、参加商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有公司共签订了45分合同，问共有多少家公司参加商品交易会？分析：共有x 家公司参加商品交易会，可列方程：45)1(21=-x x 4、新年到来，几位朋友相互赠送贺卡，共送出贺卡72张，问这群朋友共有几人？分析：设这群朋友共有x 人，可列方程：72)1(=-x x二、“平均增长率”问题。

1、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设平均增长率为x ，可列方程：950)1(200)1(2002002=++++x x2、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？分析：设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是x 可列方程： 31.3)1()1(12=++++x x3、一只感染病毒的白鼠经过两天传染后发现共有256只小白鼠患病，问在每天的传染中平均一只小白鼠传染多少只白鼠？分析：设平均一只小白鼠传染x 只白鼠，可列方程：256)1(2=+x4、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设种存款方式的年利率为x ，利息=本金×利率×存期到期后的本息和=本金+利息=（第一年剩余的1000元+第一年的利息）+第二年的利息可列方程：1320)20001000(20001000=+++x x x5、两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品的年平均下降额较大？哪种药品的年平均下降率较大？分析：甲种药品的平均下降额为：1000230005000=-元乙种药品的平均下降额为：1200236006000=-元设甲种药品的平均下降率为x ，乙种药品的平均下降率为y可列方程：3000)1(50002=-x ；3600)1(60002=-y6．一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，则列出的方程是________ 分析:原有纯药液：63升，容器容积63升第一次操作：倒出纯药液x 升，容器内还有纯药液)63(x -升，溶液浓度%1006363⨯-x第二次操作：倒出纯药液6363xx -⋅升，容器内还有纯药液63)63(63)63()63(2x x x x -=---升，由此可列方程：2863)63(2=-x三、商品营销问题1、某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的幅度大？（每每问题）分析：设甲种贺年卡每张降价x 元，乙种贺年卡每张降价y 元每天的盈利=单张贺卡的利润×每天的销量可列方程：120)1001.0500)(3.0(=⨯+-x x ，120)3425.0200)(75.0(=⨯+-y y2、两年前生产1t 甲种药品的成本是5000元，生产1t 乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 甲种药品的成本是3000元，生产1t 乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?3、新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少? 分析：设甲种冰箱每台定价x 元，则：每台冰箱可盈利)2500(-x 元；比原售价降低)2900(x -元；实际每天销量比原来增加：4502900⨯-x从而列方程：5000)45029008)(2500(=⨯-+-xx 同理可求出乙种冰箱的定价。

实际问题与一元二次方程练习题含答案

实际问题与一元二次方程1.(2021.铜仁)某水果批发商场销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。

经市场调查发现，在进货价不变的情况下，假设每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

现商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克应涨价x元，依题意列方程(500-20x)(10+x)=6000 整理得：x2-15x+50=0〔x-5〕〔x-10〕=0 x1=5 x2=10 答：---------。

2.假设方程(m+1)x2m1 +4x+2=0是关于x的一元二次方程，那么m= 1 。

3.如右图，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个边长为矩形，剩余局部的面积为9，可列出方程为 (4-x)2=94.某工厂2021年的年产值为200万元，由于技术改良,产值有所增长，预计到2021 年该工厂的年产值为242求每年平均增长率。

解：设每年平均增长率为x，依题意列方程 200(1+x)2=242x1=0.1=10% x2=-2.1 (舍去) 答：--------------。

5.(2021.凤阳)某学校方案在一块长8米，宽6米的矩形草坪的中央划出面积为16平方米的矩形地块栽花，使这矩形草坪四周的草地宽度都一样，求四周草地的宽度应为多少？。

解：设四周草地的宽度为x米，依题意列方程 (8-2x)(6-2x)=16化为一般形式为 x2-7x+8=0 解：略答：-------。

6.某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐〞牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。

为了迎接“〞国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。

经市场调查发现，每件童装每降价4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？。

解：设每件童装应降价x元，依题意列方程 (40-x)(20+2x)=1200x2-30x+200=0 解得：x1=20 x2=10为了尽量减少库存，所以取x1=20 答：--------。

实际问题与一元二次方程

实际问题与一元二次方程<1>握手（单循环）问题：二分之一n（n-1）=握手总次数例：某校七年级举行乒乓球单循环赛比赛(参加比赛的每一个选手都与其他所有选手各比赛一场），共比赛32场，求有多少个学生？<2>送照片：n(n-1)=总张数例：初三毕业晚会时每人互相送照片一张，一共要90张照片，有多少人？<3>勾股定理问题：a平方+b平方=c平方例：一个直角三角形的斜边长7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，求两条直角边的长度？<4>多边形对角线条数：二分之一n（n-3）=总条数例：一个多边形有14条对角线，那么这个多边形边数是多少？<5>连续两次增长(降低)百分率：a（1+或减x）平方=以后的量例：甲工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份到一月份平均增长的百分率为多少?<6>镶边问题：(a+2x)（b+2x)=总面积例：在一幅长70cm宽50cm的风景画四周镶上一条宽度相同的金色纸边，如果使金色纸边的面积是1300平方厘米，求金色纸边的宽度？<7>最大利润问题:(一件利润)件数=总利润例:某百货大楼服装柜在销售者发现：“某”牌童装平均每天可售出20件,每件利润40元为了迎接国庆节市场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加利润,如果每件降价4元,那么平均每天多售出8件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元那么每件童装应降价多少？<8>传染病问题：1+x+x(1+x)=总人数，两轮后：（1+x）平方=总人数例:某养鸡场突发流感疫情，一只带病毒的小鸡经过两天的传染后，使鸡场共有169只小鸡感染患病，在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？<9>树枝分叉：1+x+x平方=总枝数例:一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?。

2231实际问题与一元二次方程单双循环数字问题[1]

2
x2x560
解得: x1 8 , x2 7 (舍去)
答:应邀请8个球队参加比赛.
例2：参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得:
x x 1=90
2231实际问题与一元二次方程单双循环数字问题
2231实际问题与一元二次方程单双循环数字问题
x(x1) 45 2
3、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 182件，求生物兴趣小组有多少个人?
解：设生物兴趣小组有x个人。
由题意得：x（x-1）=182
2231实际问题与一元二次方程单双循环数字问题
解得: x1 6 , x2 5(舍去)
答:应邀请6个球队参加比赛.
跟踪练习2:要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间比赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得: 单循环比赛场数 =28
单循环比赛的场数际问题与一元二次方程(4) 单（双）循环、数字问题
例1：要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间比赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得: 单循环比赛场数 =15
单循环比赛的场数=队数乘以队数减1再除以2
xx1 15
2
x2x300
x（x-1）=2070
2231实际问题与一元二次方程单双循环数字问题
x(x1) 56 2
数字问题
例1：两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？
例2：一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数。

实际问题与一元二次方程单双循环数字问题

由题意得：
x(x ? 1) ? 56 2
数字问题
例1：两个相邻偶数的积为168，则这两个偶数是多少？
例2：一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数
字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数。
4、参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？解：设共有x家公司参加商品交易会。
x?x ? 1? ? 28
2
x2 ? x ? 56 ? 0
解得: x1 ? 8 , x2 ? ?7 (舍去)
答:应邀请8个球队参加比赛.
例2：参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加
解:设应邀请x个球队参加比赛,列式得:
x ?x ? 1 ?= 9 0
练习1：一个QQ群里共有若干个好友，每个好友都给群里其他好友发送了一条消息，这样共有870条消息，那么这个QQ群里有多少个好友？
由题意得：
x(x ? 1) ? 45 2
3、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 182件，求生物兴趣小组有多少个人?
解：设生物兴趣小组有x个人。
由题意得：x（x-1）=182
【达标检测】（只列方程） 1、参加一次同学聚会，每两人都握了一次手, 所有人共握手 56次,有多少人参加聚会? 2、参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？ 3、生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求生物兴趣小组有多少个人?

实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程——传播、循环、数字问题

B
11．某足球联赛，不分小组，所有球队直接进行双循环赛(即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛)，共要进行240 场比赛，求共有几支球队参加比赛？
13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
8．在一次商品交易会上，参加交易会的
每两家公司之间都签订了一份合同，会
议结束后统计共签订了78份合同，问有
多少家公司出席了这次交易会？
【解析】设有
x
家公司出席这次交易会，则有
1x(x－1)＝78，解得 2
x1＝13，x2＝－12(舍
去)，即有 13 家公司出席了这次交易会．
公司共有飞机场( ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程——传播、循环、
数字问题
2020/8/24
2．生物兴趣小组的学生将自己收集的标
本向本组其他成员各赠送一件，全组共互A 赠了182件．如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是( ) A．x(x＋1)＝182 B．x(x－1)＝182 C． 2x(x＋1)＝182了一次手
，B 所有人共握手6次，设有x人参加这次
聚会，下面所列方程正确的是( ) A．x(x－1)＝6 B.x（x－1）＝6 C．x(x＋1)＝6 D.x（x＋1）＝6
2
2
A．10 B．9 C．8 D．7 5．若两个D 连续整数的积是56，则它们的和为( ) A．11 B．15 C．D －15 D．±15 6．两个数的和是13，411，积是33，则这两个数分别为____．

实际问题与一元二次方程

1．莲花商场将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚到8000元的利润，售价应定为多少，这时应进货多少个？2．植树造林是造福子孙后代的善意之举，某中学师生从2004年到2007年四年内共植树1999棵，已知该校2004年植树344棵，2005年植树500棵，如果2005到2007年的植树棵树的年增长率相同，那么该校2007年植树多少棵？3．银座商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600盏，调查表明，这种台灯每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月10000元的收入，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少盏？4．某市市政府计划两年后实现财政收入翻一番，若第二年的增长率是第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现财政收入翻一番的目标？5．某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元。

（1）若该市场两次调价的降价率相同，求这个降价率。

（2）经调查，该商品每降价0.2元即可多销售10件，若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？6．某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大的种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率。

7．据报道，我省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定我省的每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用率的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。

8．某拖拉机厂，今年一月份生产出一批甲、乙两种新型的拖拉机，其中乙型16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型按每月相同的增长率逐月递增，又知二月份甲乙两型的产量之比为3:2，三月份甲、乙两型的产量之和为65台，求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量。

实际问题与一元二次方程数字问题

年龄问题数字与方程读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
（ 1 ）十位数字为 a，个位数字为 b的两位数是10ab; （ 2）百位数字为 a，十位数字为 b，个位数
字为c的三位数是100a10bc.
105 x x10x 5 x 736.
整理得x 2 5x 6 0. 解得x1 2, x2 3. 5 x 5 2 3, 或5 x 5 3 2.
答 : 这两个数为32或23.
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数字与方程
• 2. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
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直角三角形边长与方程
4. 一直角三角形的斜边长7cm,一条直角边比另一条直角边长1cm,求两条直角边长度.
解 : 设一条直角边为 x cm , 根据题意 , 得
x 2 ( x 1) 2 7 2.
整理得 :
x 2 x 24 0 .
1 97 解得 : x . 2 1 97 1 97 x1 ; x2 (不合题意 , 舍去 ). 2 2 1 97 1 97 x 1 1 . 2 2 1 97 1 97 答 : 两条直角边分别为 cm 和 cm. 2 2
直角三角形边长与方程 5.用一根长24cm的铁丝围成一个斜边长是 10cm的直角三角形，求两直角边长。
6.一个直角三角形的三边长为三个连续的整数，求这个直角三角形的面积。书本p48 2、3题
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数学知识
问题的解决

21.3.1 实际问题与一元二次方程(一)传播、循环、数字问题--

21. 3.1 实际问题与一元二次方程（一）传播、循环、数字问题【自主导学】有1个人得流感病，第一轮传染6个人，第一轮过后共有人得流感，第二轮传染时平均每人也传染6人，第二轮被传染了人．第二轮过后共有人得流感．【易错点睛】要组织一次蓝球赛，每两个队都赛一场，计划要安排21场比赛，设赛队的个数是x个，则可列方程为A 夯实基础知识点一数字问题1．若两个数的和为7，这两个数的积为12，则这两个数分别为或.2．若两个连续偶数的积为48，则这个两位数的和为（）A. 6B. 0C. －8D.14或－14知识点二单循环与双循环问题3．一个初中毕业班的每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片．设全班有x名学生，根据题意可列方程为( )A．x (x＋l)=2550 B. x(x－l)=2550 C.2x(x＋l)=2550 D. x(x－l)=2550×24．在一次生日聚会上，有人提议与会的每名同学都与其他同学握一次手. 已知参加这次聚会的所有与会者共握手105次，那么参加此次聚会的同学共有人．5．（2017金赛）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排45场比赛，求参赛球队的个数．知识点三分支问题6．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了流感，假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则依题意可列方程为或.7．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A. 8人B. 9人C. 10人D.11人8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？B 综合运用9．【教材变式】（22页习题6改）一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有( )人．A ．12B ．10C ．9D ．810．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为( )A ．25B ．36C ．25或36D ．－25或－3611．【教材变式】（17页习题12改）一个多边形有9条对角线，则这个多边形有多少条边( )A ．6B ．7C ．8D ．912.有一个人换了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感.（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？13.五个连续整数－2，－1,0,1,2满足下面关系：22222(2)(1)0=12-+-++，即前三个连续整数的平方和等于后两个连续整数的平方和，你能否找出五个连续整数，使它们具有上面的性质？C 拓广探索14．【教材变式】（23页活动改）观察下列图形规律：当n 为多少时，图形“．”的个数和“△”的个数相等？n=4n=3n=2n=1。

实际问题与一元二次方程(所有分类).

三、面积问题：
折成一个面积为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.
22 解：设这个矩形的长为xcm，则宽为（cm）. x 2 22 根据题意，得 x( x ) 30
整理后，得x2-11x+30=0
2
解这个方程，得x1=5,x2=6 22 由x1=5得 x 6 (与题设不符，舍去) 2 22 由x2=6，得 x5 2 答：这个矩形的长是6cm，宽是5cm。
2 2 x1 1 , x2 1 2 2
练习 2: 某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2 倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）解，设原价为 a 元，每次升价的百分率为，根据题意，得 2
x
a(1 x) 1.2a
解这个方程，得
30 x 1 5 由于升价的百分率不可能是负数，所以 x 1 30 不合题意，舍去
• 一、传播问题： • 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
• 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，求每轮感染中平均一台电脑能感染几台？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
20 32
• 3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要求长方体的底面面积为81平方厘米，那么剪去的正方形边长为多少?
4、学校课外生物（小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小路（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽。（精确到0.1米）

实际问题与一元二次方程

实际问题与一元二次方程例1. 某化肥厂一月份生产化肥t 500，从二月份起，由于改进操作技术，使第一季度共生产化肥1750t ，若设二、三月份平均每月的增长率为x ，则可得方程（）A ．1750)1(5002=+xB ．1750)1(500)1(5002=+++x xC ．1750)1(5005002=++xD ．1750)1(500)1(5005002=++++x x例2.一个三位数、十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和.已知这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数.例3. 在ABC Rt ∆中∠C90=，AC+BC=7,AB 边上的中线长为2.5，求这个直角三角形的三边长.例4.学校要把校园内一块长50米，宽40米的长方形空地进行绿化.计划中间种花，四周留出宽度相同的地种草坪，且花坛面积占整个绿化地面积的103，求草坪的宽度.例5. 某工厂有一油罐，通过两个控制阀门分别向甲、乙两台锅炉供应燃油，单独烧甲锅炉用完一罐油的时间比单独烧乙锅炉用完一罐油的时间多4小时.如果单独烧甲锅炉14小时，再单独烧乙锅炉12小时，就正好用完一罐油，问一罐油可单独供甲、乙两锅炉各烧多少小时.例6.某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按该书定价2.8元出售，并很快售完。

由于该书畅销，第二交购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本。

当这批书售出54时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还赚钱了（不考虑其它因素？）若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？例7. 某县位于沙漠边缘地带，治理沙漠，绿化家乡是全县人民的共同愿望．到1998年底，全县沙漠的绿化率已达30％．此后，政府计划在近几年内，每年将当年年初末被绿化的沙漠面积的m ％栽上树进行绿化，到2000年底，全县沙漠的绿化率已达43.3％，求m 的值．注：沙漠的绿化率＝被绿化的部分）原有沙漠总面积（含已已被绿化的沙漠总面积例8. 某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元时，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出；以每次提高2元的这种方法变化下去，为了获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元？例9.据报道，今年第一季度宁波完成国内生产总值（GDP ）354亿元，比杭州少45亿元，宁波和杭州构成了全省经济的第一集群，绍兴（230亿元）和温州（227.5亿元）两城市组成了第二集群，第三集群有台州（19.4亿元）、嘉兴（167.6亿元）、金华（161.7亿元）.(1) 求杭州、宁波、绍兴、温州、台州、嘉兴、金华七市今年第一季度GDP 的平均值(精确到1亿元)；（2）经预测，宁波市今年第三季度GDP 可达到407亿元，那么平均每季度增长的百分率是多少（精确到0.1％）？例10.如图，菱形ABCD 中，AC 、BD 交于O ，AC=8米，BD ＝6米，动点M 从A 出发以2米/秒匀速直线运动到C ，动点N 从B 出发以1米/秒匀速直线运动到D ，若M 、N 同时出发，问出发后几秒钟，MON 的面积是41米2.D A B CO。

22.3 实际问题与一元二次方程(3)

22.3 实际问题与一元二次方程（3）：（1）数字问题：有关数字的应用题，大致可以分为三种：即一般数字关系，连续数和数字排列等问题。

涉及和，差，倍，分，奇数，偶数。

（2）几何图形问题：解决此类问题的关键是将不规则图形分割或组成规则图形，找到已知量与未知量的内在联系，根据面积（体积）公式列出方程。

（3）平均增长（降低）率问题，解决此问题通常是利用公式建立方程。

a（1±x）2=b a（1±x）n=b（4）利润问题：解决利润问题常用的关系有：①利润=售价—进价；②利润率=利润／进价×100％=（售价—进价）／进价×100％；③售价=进价（1+利润率）；④总利润=单个利润×销售量=总收入—总支出数字问题：例1.有一个两位数，个位数字和十位数字的和是14，交换数字的位置之后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数。

1.两个连续的偶说的积是288，则这两个偶数的和等于2.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调之后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736，求原来的两位数。

利润问题：例1.某商场人员在销售中发现“宝乐”牌童装每天可销售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加利润，减少库存。

市场调查发现，如果童装每降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天在销售这种童装的上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？1.将进价为40元的商品按照50元出售时，每月能卖500个，已知该商品煤涨价1元，其每月销售量就减少10个，为了每个月获8000元利润，售价应定在多少元？进货量为多少？2.某玩具店采购员第一次用去100元采购了“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时，发现批发价格上涨了0.5元／件，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的均价为2.8元，则第二次采购玩具多少件？工程问题：3.甲。

21.3 实际问题与一元二次方程(几何问题和数字问题)九年级数学上册(人教版)

复习巩固Hale Waihona Puke 【提问】计算下列图形面积?
探探究究新新知知
要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩
形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等
宽，应如何设计四周边衬的宽度？
7a
【分析】封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。
典典例例分分析析
针针对对训训练练
能能力力提提升升
能能力力提提升升
能能力力提提升升
3 如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m． (1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米； (2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由．
解：设水渠的宽应挖 x m . ( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885
解得 x1=105(舍去），x2=1 答：水渠应挖1米宽
60
60-x
92-2x
92
探探究究新新知知
如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个小矩形，水渠应挖多宽？【分析】设水渠宽为 x m，水渠的总面积为
1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
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