无约束重力模型
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（2）利用标定的重力模型计算得到ＯＤ表。 （3）无约束重力模型计算得到的OD表不满足出行分布的 约束条件，因此还要用其它方法继续进行迭代。（例如：增长系 数法等） （4）迭代完成后得到最终的ＯＤ表。
修正重力模型
1. 乌尔希斯重力模型
为交通阻抗函数, 一般形式：
待定系数 根据现状OD调查资料拟和确定，一般可采用 试算法等数值方式，以某一指标作为控制目标，通过用模 型计算和实际调查所得指标的误差比较确定。 的计算过 程如下：
2. 美国公路局重力模型（B.P.R.模型）
式中， 为调整系数(也叫地域间结合度)，其计算公式为：
其中， 表示i小区到j小区的实际分布交通量与计算分布交通量之 比； 表示i小区到j小区的实际分布交通量与i小区的出行发生量 之比。
的计算方法为：
首先令 =1，根据现状OD表标定模型，计算 。 将现状数据代入模型，计算出OD分布。 根据上面的公式计算 。 假定 的值在将来不发生变化，预测时不做任何修改而 直接使用。
重力模型法 （Gravity Method）
模拟物理学中的牛顿的万有引力定律
基本假定：交通区i到交通区j的交通分布量 与交通区i的交通量、交通区j的交通吸引量 成正比，与交通区i和j之间的交通阻抗参数 ，如两区中心间交通的距离、时间或费用 等成反比。
无约束重力模型
Casey在1955年提出了如下重力模型，该模型也是最早出现的 重力模型：
先假定一个 值，利用现状OD统计资料所得的 ， 以及 代入 模型中进行计算，所得出的计算交通分布称为GM分布。GM分布的 平均行程时间采用下式计算：
GM分布与现状分布的每次运行的平均行程时间之间的相对误差为 。当交通按GM分布与按实际分布每次运行的平均相对误
差不大于某一限定值（常用3%）时，计算即可结束；当误差超过限 定值时需改动待定系数 ，进行下一轮计算。调整方法为：如果 GM分布的 大于现状分布 ，可增大 值；反之，则减小 值。
2 72.458 237.912 43.932 354.302
3 18.940 46.164 76.048 141.152
合计 180.260 359.619 138.771 678.650
（3）通过无约束重力模型计算得到的OD表不满足出行分布的 约束条件，因此还要用其它方法继续进行迭代，这里采用平均 增长系数法进行迭代计算。重新计算 和
17
1.9459
38
51
50 2550
15
3.6376
6
51
27 1377
23
1.7918
4
26
28
728
22
1.3863
5
26
50 1300
23
1.6094
17
26
27
702
7
2.8332
() 6.6644 7.2442 6.6280 7.2640 7.8438 7.2277 6.5903 7.1701 6.5539
表5 现状行驶时间
1
2
3
1
7.0 17.0 22.0
2
17.0 15.0 23.0
3
22.0 23.0 7.0
表6 将来行驶时间
1
2
3
1
4.0 9.0 11.0
2
9.0 8.0 12.0
3
11.0 12.0 4.0
解：（1）用下面的无约束重力模型：
两边取对数，得
令：
已知数据 待标定参数
则：
a0,a1,a2为待定系数
Ui为表4最后一列的值；Vj为表4最后一行的值 Oi为每次计算得到的OD表每一行的合计值； Dj为每次计算得到的OD表 每一列的合计值
计算结果如下面表所示
O/D 1 2 3
合计
增长系数
用平均增长系数法第一次迭代计算OD表
1 19.046 17.755
4.453 41.254
2 16.992 60.717 11.297 89.005
() 1.9459 2.8332 3.0910 2.8332 2.7081 3.1355 3.0910 3.1355 1.9459
采用最小二乘法对这9个样本数据进行标定，得出
=-2.084
=1.173
=-1.455
标定的重力模型为
(2) 第一次计算得到的OD表
O/D 1 2 3
合计
1 88.862 75.542 18.791 183.195
表3 现状OD表（单位：万次）
O/D
1
2
3
合计
1
17.0
7.0
4.0
28.0
2
7.0 38.0
6.0
51.0
3
4.0
5.0 17.0
26.0
合计
28.0 50.0 27.0 105.0
表4 将来的发生与吸引交通量
O/D
1
2
3
合计
1
Hale Waihona Puke Baidu38.6
2
91.9
3
36.0
合计
39.3 90.3 36.9 166.5
分别表示i小区和j小区的人口(用出行人数代替了总人数)
表示i，j小区之间的距离 (用出行费用函数 表示参数
来表示)
模型本身不满足交通守恒约 束条件：
改进的重力模型可表示为：
常见的交通阻抗函数有以下几种形式：
幂函数： 指数函数： 组合函数：
为参数，根据现状OD调查资料，利用最小二乘法 确定。
例：按例3中表3和表4给出的现状OD表和将来发生与吸引交通 量，以及表5和表6给出的现状和将来行驶时间，试利用重力模 型和平均增长系数法，求出将来OD表。设定收敛标准为
样本点 i=1,j=1 i=1,j=2 i=1,j=3 i=2,j=1 i=2,j=2 i=2,j=3 i=3,j=1 i=3,j=2 i=3,j=3
通过表3和表5获取9个样本数据
（）
17
28
28
784
7
2.8332
7
28
50 1400
17
1.9459
4
28
27
756
22
1.3863
7
51
28 1428
4.276
2 16.684 62.318 11.544
3 4.438 12.291 20.310
合计 38.946 91.736 36.130
增长系数 0.9911 1.0018 0.9964
39.226
90.546
37.040
166.812
1.0019
0.9973
0.9962
重力计算步骤
（1）根据现状OD调查资料，利用最小二乘法确定参数，将确 定的参数代入模型，得到标定的重力模型——参数标定。（还有 很多其他参数标定的方法）。
3 4.504 11.933
19.804 36.241
合计 40.541 90.405 35.554
166.500
增长系数 0.9521 1.0165 1.0125
0.9526
1.0145
1.0182
O/D 1 2 3
合计 增长系数
用平均增长系数法第三次迭代计算OD表
1 17.823 17.127
修正重力模型
1. 乌尔希斯重力模型
为交通阻抗函数, 一般形式：
待定系数 根据现状OD调查资料拟和确定，一般可采用 试算法等数值方式，以某一指标作为控制目标，通过用模 型计算和实际调查所得指标的误差比较确定。 的计算过 程如下：
2. 美国公路局重力模型（B.P.R.模型）
式中， 为调整系数(也叫地域间结合度)，其计算公式为：
其中， 表示i小区到j小区的实际分布交通量与计算分布交通量之 比； 表示i小区到j小区的实际分布交通量与i小区的出行发生量 之比。
的计算方法为：
首先令 =1，根据现状OD表标定模型，计算 。 将现状数据代入模型，计算出OD分布。 根据上面的公式计算 。 假定 的值在将来不发生变化，预测时不做任何修改而 直接使用。
重力模型法 （Gravity Method）
模拟物理学中的牛顿的万有引力定律
基本假定：交通区i到交通区j的交通分布量 与交通区i的交通量、交通区j的交通吸引量 成正比，与交通区i和j之间的交通阻抗参数 ，如两区中心间交通的距离、时间或费用 等成反比。
无约束重力模型
Casey在1955年提出了如下重力模型，该模型也是最早出现的 重力模型：
先假定一个 值，利用现状OD统计资料所得的 ， 以及 代入 模型中进行计算，所得出的计算交通分布称为GM分布。GM分布的 平均行程时间采用下式计算：
GM分布与现状分布的每次运行的平均行程时间之间的相对误差为 。当交通按GM分布与按实际分布每次运行的平均相对误
差不大于某一限定值（常用3%）时，计算即可结束；当误差超过限 定值时需改动待定系数 ，进行下一轮计算。调整方法为：如果 GM分布的 大于现状分布 ，可增大 值；反之，则减小 值。
2 72.458 237.912 43.932 354.302
3 18.940 46.164 76.048 141.152
合计 180.260 359.619 138.771 678.650
（3）通过无约束重力模型计算得到的OD表不满足出行分布的 约束条件，因此还要用其它方法继续进行迭代，这里采用平均 增长系数法进行迭代计算。重新计算 和
17
1.9459
38
51
50 2550
15
3.6376
6
51
27 1377
23
1.7918
4
26
28
728
22
1.3863
5
26
50 1300
23
1.6094
17
26
27
702
7
2.8332
() 6.6644 7.2442 6.6280 7.2640 7.8438 7.2277 6.5903 7.1701 6.5539
表5 现状行驶时间
1
2
3
1
7.0 17.0 22.0
2
17.0 15.0 23.0
3
22.0 23.0 7.0
表6 将来行驶时间
1
2
3
1
4.0 9.0 11.0
2
9.0 8.0 12.0
3
11.0 12.0 4.0
解：（1）用下面的无约束重力模型：
两边取对数，得
令：
已知数据 待标定参数
则：
a0,a1,a2为待定系数
Ui为表4最后一列的值；Vj为表4最后一行的值 Oi为每次计算得到的OD表每一行的合计值； Dj为每次计算得到的OD表 每一列的合计值
计算结果如下面表所示
O/D 1 2 3
合计
增长系数
用平均增长系数法第一次迭代计算OD表
1 19.046 17.755
4.453 41.254
2 16.992 60.717 11.297 89.005
() 1.9459 2.8332 3.0910 2.8332 2.7081 3.1355 3.0910 3.1355 1.9459
采用最小二乘法对这9个样本数据进行标定，得出
=-2.084
=1.173
=-1.455
标定的重力模型为
(2) 第一次计算得到的OD表
O/D 1 2 3
合计
1 88.862 75.542 18.791 183.195
表3 现状OD表（单位：万次）
O/D
1
2
3
合计
1
17.0
7.0
4.0
28.0
2
7.0 38.0
6.0
51.0
3
4.0
5.0 17.0
26.0
合计
28.0 50.0 27.0 105.0
表4 将来的发生与吸引交通量
O/D
1
2
3
合计
1
Hale Waihona Puke Baidu38.6
2
91.9
3
36.0
合计
39.3 90.3 36.9 166.5
分别表示i小区和j小区的人口(用出行人数代替了总人数)
表示i，j小区之间的距离 (用出行费用函数 表示参数
来表示)
模型本身不满足交通守恒约 束条件：
改进的重力模型可表示为：
常见的交通阻抗函数有以下几种形式：
幂函数： 指数函数： 组合函数：
为参数，根据现状OD调查资料，利用最小二乘法 确定。
例：按例3中表3和表4给出的现状OD表和将来发生与吸引交通 量，以及表5和表6给出的现状和将来行驶时间，试利用重力模 型和平均增长系数法，求出将来OD表。设定收敛标准为
样本点 i=1,j=1 i=1,j=2 i=1,j=3 i=2,j=1 i=2,j=2 i=2,j=3 i=3,j=1 i=3,j=2 i=3,j=3
通过表3和表5获取9个样本数据
（）
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2.8332
7
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50 1400
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1.9459
4
28
27
756
22
1.3863
7
51
28 1428
4.276
2 16.684 62.318 11.544
3 4.438 12.291 20.310
合计 38.946 91.736 36.130
增长系数 0.9911 1.0018 0.9964
39.226
90.546
37.040
166.812
1.0019
0.9973
0.9962
重力计算步骤
（1）根据现状OD调查资料，利用最小二乘法确定参数，将确 定的参数代入模型，得到标定的重力模型——参数标定。（还有 很多其他参数标定的方法）。
3 4.504 11.933
19.804 36.241
合计 40.541 90.405 35.554
166.500
增长系数 0.9521 1.0165 1.0125
0.9526
1.0145
1.0182
O/D 1 2 3
合计 增长系数
用平均增长系数法第三次迭代计算OD表
1 17.823 17.127