次序统计量理论及应用

顺序统计量的分布及其应用探究学生姓名：杨道圣 指导教师：刘宇民摘要 顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。

经过总结得出了关于顺序统计量的离散型最大顺序统计量分布，最小顺序统计量分布，连续性第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，连续性随机变量任意两个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数：1.离散型随机变量子样最小值的分布律为)(])1()!(!![)(11)1(I r pi r p l n l n x X P nl l n rl lr∈--==∑∑=-=2.离散型随机变量子样最大值的分布律为)(])1()!1()!1(![)(11111)(I r pi r p j n j n x X P nj j r l j n rn ∈-+--==∑∑=--=+-3.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数4.设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a=－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn 取自这一母体的一个子样，则任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数为关键词 最小顺序统计量，最大顺序统计量，第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数，任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数引言顺序统计量在近代统计推断中起着重要的作用，这是由于顺序统计量有一些性质不依赖于母体的分布，并且计算量很小，使用起来较方便，因此在质量管理、可靠性等方面得到广泛的应用。

顺序统计量在近代统计推断中起着很重要的作用，在水文，地震，气象和建筑等领域都有重要作用。

定义定义1：设(X 1，X 2…，X n )是总体X 的一个样本，假如样本的实值函数g(X 1，X 2…，X n )不依赖任何未知的量，则称g(X 1，X 2…，X n )为统计量。

设ξ1,ξ2，…，ξn 是取自函数F(x)的母体ξ的一个字样，x 1,x 2…，x n 表示这样的一组观测值。

这些观测值由小到大的排列用x (1),x (2)…,x (n)表示，即x (1)≤x (2)≤…x (n)。

若其中有两个分量x i 与x j 相等，他们先后顺序的安排是可以任意的。

定义2 第i 个顺序统计量ξ(i)是上述子样ξ1,ξ2，…，ξn 这样的一个函数，不论子样ξ1,ξ2，…，ξn 取怎样的一组观测值x 1,x 2,…，x n ,它总是取其中的x (i)为观测值。

显然，对于容量为n 的子样可也得到n 个顺序统计量ξ(1)≤ξ(2)≤…≤ξ(n).其中ξ(1)称为最小顺序统计量，ξ(n)称为最大顺序统计量。

第一部分离散型随机变量的顺序统计量设r,v,w,是一个取值可按大、小顺序排列的离散型随机变量，已知其分布率为}{1,2,3I ),()(0⋯∈==为下标集其中I i p x X P i i不妨设⋯<<⋯<<00201i x x x若假定有限个数为m ，则00201mx x x <⋯<< 又1X ，2X ，…，n X 是它的一个容量为你的子样，)(k X 为子样的第k 个顺序统计量),1(n k =.计算)(k X =0r X )(I i ∈的概率为)(0)(r k x X P =。

设j 表示子样值的顺序序列中一个等于0r x 的值的序号，l 表示最后一个等于0r x 值的序号，有n l k j ≤≤≤≤1，于是按顺序统计量定义，上诉事件即是表示子样1X ，2X ，…n X 中有j-1个取值小于0r x ，有l-j+1个取值等于0r x ，有n-1个取值大于0r x 。

可以分四步推导概率：[1]（1）在子样值的顺序序列中，在0r x 前有j-1个样本值)(0I i x x r i ∈<,概率分别为)(0r i x X P =，由于样本与母体同分布，且相互独立，所以有∑∑--<===<==1100000)()()(r i x x rrr i pi x X P x X P x X P ri由于j-1个样本可以是n 个样本中任意j-1个，所以概率为1111][----∑j r i j npi C（2)在子样值的顺序序列中有l-j+1个样本)(0I i x x r i ∈=，概率分别为pr x X P x X P r r i ====)()(00由于这l-j+1个样本可以是俞夏的n-j+1个样本中任意l-j+1个，所以概率为r pC j l j l j n 111+-+-+-（3)在子样值的顺序序列中，在0r x 后面有n-lg 样本值)(0I i x x r i ∈>，概率分别为l n ri ln ln pi C -=--∑-]1[1（4)将上列三部分综合起来，并考虑j 与l 在n l k j ≤≤≤≤1情况下的变动，得到离散型随机变量顺序统计量的分布律：)()]1()()!()!1()!1(![])1()([),1)((1111111111111110)(I r i p pi r p l n j l j n pi rCpCpi i C n k x X P k j nk l ri j r i j l nl k j r i ri l n l n ln j l j l j n j j nr k ∈--+--=-===∑∑∑∑∑∑∑===--=+-≤≤≤≤-==---+-+-+---由推导过程可知，运用结果时应约定10,001==∑=i pi推论离散型随机变量子样最小值的分布律为)(])1()!(!![)(11)1(I r pi r p l n l n x X P nl l n rl lr∈--==∑∑=-=离散型随机变量子样最大值的分布律为)(])1()!1()!1(![)(11111)(I r pi r p j n j n x X P nj j r l j n rn ∈-+--==∑∑=--=+-例1如果ξ1,ξ2，…，ξn 这是来自同一母体的n 个相互独立随机变量，那么顺序统计量ξ(1)，ξ(2)，…，ξ(n ）是否也相互独立呢？[2]设ξ1,ξ2，ξ3为取自母体ξ的一个容量为3的子样，ξ的分布列为现在把子样ξ1,ξ2，ξ3与由它们所构成的顺序统计量ξ(1)，ξ(2)，ξ(3)的一切可能观测值列于下表中由于子样（ξ1,ξ2，ξ3）取到每一组观测值的概率都等于1/27，容易从表中看出以下几点：ξ(1)，ξ(2)，ξ(3)的分布列分别为：另外：ξξξ（1）（2）（3），，的分布列还可以用以下的方法求解：（1,2,3ξξξ）的取值有27种，其中：（1）.最小顺序统计量ξ（1）取0的个数可以通过如下方法计算：三个0，一种。

两个0，一个1，三种。

两个0，一个2，三种。

一个0两个1，三种。

一个0两个2，三种。

一个0一个1一个2，六种。

一共有19种。

所占的概率为19 27。

（2）.最小顺序统计量ξ（1）取1的个数：三个1，一种。

两个1一个2，三种。

一个1两个2，三种，一共7种。

所占的概率为7 27。

（3）.最小顺序统计量ξ（1）取2的个数：三个2，一种。

所占的概率为1 27。

（1）.第2个顺序统计量ξ（2）取0的个数：三个0，一种，两个0，一个1，三种。

两个0，三个2，三种。

一共7种，所占的概率为7 27。

（2）. 第2个顺序统计量ξ（2）取1的个数：三个1，一种。

两个1一个2，三种。

一个0，一个1，一个2，六种。

一共13种，所占的概率为13 27。

（3）. 第2个顺序统计量ξ（2）取2的个数：三个2，一种。

一个0两个2，三种。

一个1两个2，三种，共7种，所占的概率为7 27。

（1）.最大顺序统计量ξ（3）取0的个数：三个0，一种。

所占概率为1 27。

（2）.最大顺序统计量ξ（3）取1的个数：三个1，一种。

两个1，一个0，三种。

一个1.两个0.三种。

共7种，所占比例为7 27。

(3). 最大顺序统计量ξ（3）取2的个数:三个2，一种，两个2，一个0，三种。

两个2，一个1，三种。

一个2两个0，三种，一个2两个1，三种，一个2，一个0，一个1，六种。

共19种，所占概率为19 27。

（1）ξ(i)与ξ(j)(i<j)的联合分布列为：（3）ξ(1)，ξ(2)，ξ(3)相互之间不独立，例如：P（ξ(1)=0，ξ(2)=0）=7/27,而P（ξ(1)=0）P（ξ(2)=0）=19/27 *7/27两者不相等，故与不独立。

其他类似。

由上述例子可以看出：顺序统计量之间是不相互独立的。

第二部分连续型随机变量的顺序统计量由例1可以看出求离散型随机变量顺序统计量的分布是较为方便的。

下面我们对连续型随机变量的情况来推导第i 个顺序统计量的分布。

定理定理1 设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a =－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn取自这一母体的一个子样，则第i 个顺序统计量ξ(i)的密度函数为[3]例2设母体ξ有密度函数并且ξ(1)<ξ(2)<ξ(3)<ξ(4)为从ξ取出的容量为4的子样的顺序统计量。

求ξ(3)的密度函数)(3x g 和分布函数)(3x G ，并计算概率P(ξ(3)>21) 解：母体ξ的分布函数为由定理1知道ξ(3)<的密度函数10),21(5242]21[2]2[!2!4)(34)](1[2)]([)!34(!2!4)(<≤-=-=---=y y y y y y y f y F y F y 3g 对于y 的其他值0)(3=y g ，分布函数为而概率P （ξ(3)>21)=256243])21(34[)21(1)21(1263=--=-G定理2设母体ξ有密度函数f(x)>0,a ≤x ≤b(这里可以设a =－∞,b=+∞)，并且ξ1,ξ2，…，ξn取自这一母体的一个子样，则任意两个个顺序统计量ξ(i ）<ξ(j)的密度函数为例3设母体ξ的分布函数()x F 是连续型的,()(),,,1n ξξ 为取自此母体的子样的顺序统计，设()(),i i F ξη= 试证:(1) n ηηη≤≤≤ 21，且i η是来自均匀分布()1,0R 母体的顺序统计量; (2) (),1+=n i E i η ()()()()n i n n i n i D i ≤≤++-+=1,2112η (3) i η和j η的协方差矩阵为()()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-+-+-+-2121212122212111n a a n a a n a a n a a ，其中.1,121+=+=n j a n i a证: (1) 因为ξ是连续型v r ,,分布函数为()x F .则()ξηF =服从均匀分布()1,0R .又因为ξ（i ）是取自母体ξ的子样的顺序统计量.()x F 单调下降.所以有()()()n F F F ξξξ≤≤≤ 21，从而得出i η是取自均匀分布母体的子样的顺序统计量， ().,2,1n i =(2) i η的密度函数为()()()()i n i x x i n i n x f -----=1!!1!1 .10≤≤x()()()()()!!1!1!!1!1i n i n dx x x i n i n E in i i --=---=-⎰η.()().1!1!!+=+-n i n i n i()()()()()().2111!!1!1102+++=---=-+⎰n n i i dx x x i n i n E i n i i η()()()()()()().21112112222++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=-=n n i n i n i n n i i E E D i i i ηηη(3) 对任意的()j i ,.0n j i ≤<≤ i η和j η的联合密度函数为()()()()()()j n j i j i j i i j i x x x x j n i j i n x x f ----------=1!!1!1!,11 .10<<<j i x x因而()()()()()()j i jn j i j i j j i i y ji j i j i j i dy dy y y y y y j n i j i n dx dx x x f x x E j ---------==⎰⎰⎰⎰1!!1!1!,1100101ηη()()()()j j n j j j y jii j j i ijidy y y y y d y y y y j n i j i n j -+---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎰⎰11!!1!1!10110()()()()()j jn j i j i i j i i i dy y y dz z z j n i j i n -+--------=⎰⎰11!!1!1!110110=()()()()()()()()()().211!2!!1!!!1!!1!1!+++=+-+⨯------n n j i n j n j j i i j j n i j i n 令11a n i E i =+=η .12a n iE j =+=η()()()()()21211,cov +-+++=-=n ijn n j i E E E j i j i j i ηηηηηη ()()()[]()()().2112211212+-=+++-++=n a a n n j n n j i所以j i ηη,的方差矩阵为 ()()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-+-2121212122212111n a a n a a n a a n a a .例4.设电子元件的寿命X 服从参数为0.0015θ=的指数分布。