函数y=f(x)理解与分析周勇关于

关于函数y=f(x)的理解与分析作者：周勇（湖南省长沙市第七中学 邮编：410003）抽象函数y=f(x)是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。

一般以中学阶段所学的基本函数为背景，构思新颖，条件隐蔽，技巧性强。

解法灵活，因此它对发展同学们的 抽象思维，培养同学们的创新思想有着重要的作用。

一、关于定义域的理解与分析例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］原理：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。

又如：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。

再如：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为，值域为 。

(]8,3,34,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡原理：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，二 关于值域的理解与分析例2.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。

解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。

若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有 f(0)=1。

由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0)2()(2≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f x f ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.原理：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

三 关于求值的理解与分析例 3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x 得58)3()3()9(-=+=f f f 原理：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件51)6(1)2(==f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。

赋值法是解此类问题的常用技巧。

例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 ,又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1即 g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.又如： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f = （12）原理：抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;四、关于解析式的理解与分析例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)原理：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11 ,求f(x)的解析式。

解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ---- ,12)11()1(:x1-x xx xf xx f x -=-+-得代换用（2）:)1(x-11得中的代换再以x .12)()x -11f (xxx f --=+---（3）1)x 0(x 221)(:2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由xx x x x f原理：通过解方程组的方法可求表达式。

怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。

通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.原理：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n ∈N; ②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x(x ∈N*) (数学归纳证明 略）原理：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例9、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)21()23(+=-x f x f 恒成立，当[]3,2∈x 时，x x f =)(，则当)0,2(-∈x 时，函数)(x f 的解析式为（ D ）A ．2-xB ．4+xC ．12++xD ． 13+-x解：易知T=2，当)1,2(--∈x 时,()3,24∈+x ,∴)(4)4(x f x x f =+=+; 当)0,1(-∈x 时()3,22∈-x ,∴)()(2)2(x f x f x x f =-=-=-.故选D 。

原理：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间，利用已知区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。

五、关于奇偶性的理解与分析例10 函数=y f(x)，满足R x x ∈∀21,都有f(x 1+x 2)= f(x 1)+ f(x 2)-3, （1）判断函数f(x)-3的奇偶性并予以证明 ⑵若f(x) 最大值为M ，最小值为m ，求M+m 分析;恰当赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m解析；令,021==x x 则f(0+0)= f(0)+ f(0)-3得()30=f ，令x x x x -==21,则f(x-x)= f(x)+ f(-x)-3得f(x)+ f(-x)=6，令()()3-=x f x g 则()()()()x g x f x f x g -=-=--=-33所以f(x)-3为奇函数。

⑵()3max -=M x g ，()3min -=m x g ，()x g 为奇函数图像关于原点对称()03x g M =- ，()03x g m -=-所以6=+m M原理: 奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法，恰当赋值找出f(x)+ f(-x)=6是关键 例11 已知定义在R 上的函数=y f(x)满足条件()()x f x f -=+23，且函数=y ()43-x f 是奇函数，判断=y f(x)的奇偶性并说明理由解析；因为=y ()43-x f 是奇函数，所以()=--43x f ()43--x f ，用x 替代43-x 得()=--23x f ()x f -又()()x f x f -=+23∴()=--23x f ()23+x f ()()x f x f =-⇒所以f(x) 为偶函数原理: 变量替代是判断抽象函数奇偶性的重要方法，要深入理解的是：f(x+a)为奇函数，则有f(-x+a)=-f(x+a),因为令f(x+a)=g(x),则g(x)为奇函数，所以f(-x+a) =g(-x)=- g(x)，所以f(-x+a)=-f(x+a)。

不能错误认为f(-（x+a ）)=-f(x+a)。

但f(x)为奇函数，则在定义域内有-f(1-m 2)=f(-(1-m 2)),这里的1-m 2实际上是整体视为x 了。

如例：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。

解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩例12：定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x +y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ·3x)+f (3x-9x-2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R)---- ①令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，∴f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k ·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)， k ·3x＜-3x+9x+2， 32x-(1+k)·3x +2＞0对任意x ∈R 成立．令t=3x ＞0，即t 2-(1+k)t+2＞0对任意t ＞0恒成立．221()(1)2,2101(0)20,20,100,()02(1)801令其对称轴当即时，符合题意；1+k 当时2对任意恒成立解得-1k f t t k t x kk f k t f t k k +=-++=+<<-=>≥+⎧≥⎪>>⇔⎨⎪∆=+-<⎩≤<-+故：31(3)(392)0x x k f k f <-+⋅+--<对任意x ∈R 恒成立。