直角三角形边角关系专题复习

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第1讲 解直角三角形专题复习

【知识点梳理】 （一） 三角函数的概念

1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范)

如图，在

ABC Rt ∆中，（1）的邻边

的对边

A A A ∠∠=

tan ＝ a b

（2）斜边

的对边

A A ∠=sin ＝ a c

（3）斜边

的邻边A A ∠=

cos ＝ b c

（二）特殊角的三角函数值

（三）三角函数之间的关系

1、余角关系：在∠A+∠B=90°时

A

B

C

∠A 的对边

∠A 的邻边

斜边

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B A cos sin = B A sin cos = 1tan tan =⋅B A

2、同角关系

sin 2A+cos 2A=1. .cos sin tan A

A

A = （四）斜坡的坡度

1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角

（1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角．

俯角：视线在水平线下方的角叫俯角．

（2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i 表示．

坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i ＝_tan α

如图所示， l h

i ==αtan ，即坡度是坡角的正切值．

（3）方向角：

平面上，通过观察点O 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O 点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角．

（五）解三角形及其应用

利用（三角函数）解直角三角形解实际应用题的一般步骤：

① 弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等)，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；

② 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；

③ 寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解．

考点一：锐角三角函数

例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值不等于cosA的值的是（）

A．B．C．D．

例2、已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的取值范围是

（）

A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°

C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°

例3、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点

上，AB，CD相交于点P，则的值=，tan

∠APD的值=．

例4、计算：sin45°+cos230°﹣+2sin60°．

考点二：坡度、坡角实际问题

例1、如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD的坡度为1：1.2，斜坡BC的坡度为1：0.8，现测得放水前的水面宽EF为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为6米．则放水后水面上升的高度是（）米．

A．1.2B．1.1C．0.8D．2.2

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例2、如图，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度为i=1：2，顶部A 处的高AC 为4m ，B 、C 在同一水平地面上．

（1）求斜坡AB 的水平宽度BC ；

（2）矩形DEFG 为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m ，EF=2m ，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m 时，求点D 离地面的高．（结果保留根号）

考点三：解三角形

例1、如图，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=3，cosB=，则AC 的长为（ ）

A ．3

B ．3.5

C ．4.8

D ．5

例2、如图，△ABC 中AB=AC=4，∠C=72°，D 是AB 中点，点E 在AC 上，DE ⊥AB ，则cosA 的值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

例3、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，sinA=，BC=8，D 是AB 中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E ．（1）求线段CD 的长；（2）求cos ∠ABE 的值．

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考点四：三角函数综合应用

例1、如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3000m 的高空C 处时，测得A 处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB 是（ ）

A ．3000m

B ．3000（）m

C ．3000（

）m

D ．1500

m

例2、如图，小山岗的斜坡AC 的坡角α=45°，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，小山岗的高AB 约为（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）（ ）

A ．164m

B ．178m

C ．200m

D ．1618m

例3、如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B 处，此时观测到灯塔M 在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是（ ）

A ．10分钟

B ．15分钟

C ．20分钟

D ．25分钟