直角三角形边角关系专题复习

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《直角三角形的边角关系》复习课件

(1)2 3 2 0 2sin 30 3
2
题型2 解直角三角形
1∠.如AD图E4=，a，在且矩c形osAαB=CD3 中，DE⊥A B ）
A．3
B．16
3
C. 20 3
D.16 5
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标
如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中
间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形
的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，
则a+b的值为（ B ）
A．35 B．43 C．89 D．97
题型3 解斜三角形
1.如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8，求△ABC的面积（结果可保留根号）．
AC=12，则cosA等于（ D ）
A. 2 , B. 5 , C.12 , D.12 12 13 5 13
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°， CD⊥AB于点D，已知AC= 5 ，
BC=2，那么sin∠ABC=（ A ）
A． 5
B. 2
C. 2 5
D. 5
3
3
5
2
5．计算：
．
|- 2 |+（cos60°-tan30°）+ 8
3.已知∠A，b. 解直角三角形
4. 已知∠A，c. 解直角三角形
【热点试题归类】
题型1 三角函数 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA的值为_______． 2. 在Rt△ABC中，∠C =90°，BC=4，AC=3，则cosA的值为______． 3. 如图，在△ABC中，∠C =90°，BC=5，

初中数学：直角三角形的边角关系(复习)

42 3
B
当堂达标
A
C
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，b= 2 3 ，c=4。
2
60°
30°
则a=_____，∠B=_____，∠A=______。
2.如果
cos A
1
3 tan B 3 0
2
那么△ABC是（ D ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
2.在△ABC中，若|sin A－ 3 |＋( 2 －cosB)2＝0，∠A，∠B都是锐角
75°
，则∠C＝_______．
3.若锐角满足 cos
A.30 45
0
0
2
2
2
B
且 tan 3，则的范围是（）。
2
B.45 60
0
0
C.60 0 90 0
D.30 0 60 0
角∠ACE=39°．已知山高180m．求BC的长．
（参考数据：tan31
3
1
9
7
，sin31 ，tan39
，sin39
）
5
2
11
11
180
39°
？
D
当堂达标
5.如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得
仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，
则山高为______
500（ 3 1_m
）
C
(四)解直角三角形的应用
仰角与俯角
与实际问题有关的几类角
方位角
坡角与坡度
以观测者O为中心，
OA表示北偏东 30°，OB表示南偏东

直角三角形的边角关系复习

160 200 320
北
C
120
D
60°
AD=160 3 120 B 160 3 120 4 3 3 3.（小时） 9 40
A
5要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般满足50º≤ ≤75º．如图，现有一个6m长的梯子，梯子底端与墙角的距离围3m． (1)求梯子顶端B距墙角C的距离(精确到0.1m)； (2)计算此时梯子与地面所成的角，并判断人能否安全使用这个梯子． (参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732) B
3. 如图, 在上海黄埔江东岸,矗立着亚洲第一的电视塔“东方明珠”,某校学生在黄埔江西岸B处,测得塔尖D的仰角为45°,后退340m到A点测得塔尖 D的仰角为30°,设塔底C与A、B在同一直线上, 试求该塔的高度.（精确到0.01m）
该塔的高度约464.45m.
4.如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货.此时,接到气象部门通知,一台风正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动.距台风中心 200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响. (1)问:B处是否受到台风的影响?请说明理由. (2)为避免受到台风的影响, 该船应在多少小时内卸完货物?
答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.
检测2.（约16分钟）
1、植树节，某班同学决定去坡度为1︰2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，斜 3 5 坡上相邻两树间的坡面距离为 m.
A
A
i=1︰2
B
C
B
D
C
2、如图为了测量小河的宽度，在河的岸边选择B、C 两点，在对岸选择一个目标点A，测得∠BAC=75°, ∠ACB=45°，BC=48m, 求河宽 (72 24 3 ) 米

中考数学专题复习：直角三角形的边角关系

中考数学专题复习：直角三角形的边角关系一．选择题（共13小题）1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．2．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（）A．B．C．+1 D．﹣14．如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）A．h1＝h2B．h1＜h2C．h1＞h2D．以上都有可能5．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD 的值是（）A．B．2 C．D．6．如图是某一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（）A．30sinα米B．米C．30cosα米D．米7．如图所示为该地区某滑雪场的一段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE．已知着陆坡DE的坡度为i＝1：2.4，DE长度为19.5米，B，D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离约为（参考数据sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数）（）A．15.9米B．16.0米C．16.4米D．24.5米8．小宇和小轲两位同学准备利用所学数学知识对某亭的高度进行测量．他们在临时搭建的一个坡度为12：5的钢板斜坡上的F点测得亭顶A点的仰角为13°，F点到地面的垂直高度FG＝1.8米，从钢板斜坡底的E点向前走16.2米到D点，测得亭前阶梯CD的长度为2.5米，坡度为3：4．C点到亭中心O点的距离为1米．根据测量结果，该亭的高度AO大约为（）米．（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，A，B，C，D，E，F，G各点均在同一平面内）A．4.9 B．4.6 C．6.4 D．6.19．如图，某栋教学楼AB顶部竖有一块宣传牌BC，某同学从建筑物底端A点出发，沿水平方向向右走12米到达D点，在D处测得宣传牌底部B点的仰角是54°，再经过一段坡比为1：2.4，坡长为6.5米的斜坡DE到达E点（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E 处测得宣传牌的顶部C点的仰角是45°，则宣传牌BC的高度为（）（参考数据：sin54°≈0.80，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，结果精确到0.1米）A．1.4米B．3.9米C．4.0米D．16.6米10．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（）A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°11．如图，测量人员计划测量山坡上一信号塔的高度，测量人员在山脚点C处，测得塔顶A 的仰角为45°，测量人员沿着坡度i＝1：的山坡BC向上行走100米到达点E处，再测得塔顶A的仰角为53°，则山坡的高度BD约为（）（精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，≈1.73，≈1.41）A．100.5米B．110.5米C．113.5米D．116.5米12．如图，为了测量某建筑物BC的高度，某数学兴趣小组采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，先沿斜坡AD行走390米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行一定距离后至点E处，在E点处测得该建筑物顶端C的仰角为68°，建筑物底端B的俯角为57°，其中A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4，根据数学兴趣小组的测量数据，计算得出建筑物BC的高度约为（）（计算结果精确到0.1米，参考数据：sin68°≈0.93，tan68°≈2.48，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54）A．241.6米B．391.6米C．422.9米D．572.9米13．如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝25米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．10.4米B．12.4米C．27.4米D．22.4米二．填空题（共7小题）14．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为________．15．如图，△ABC的顶点B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，则顶点A的坐标是________．16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，线段AE与线段CD相交于点F，且AE＝AB，连接DE，∠E＝∠C，若AD＝3DE，则cos E的值为________．17．某型号的机翼形状如图所示，根据图中的数据，可求AB的长度为________m．（≈1.732，结果保留两位小数）18．如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为________米（结果保留根号）．19．如图，从飞机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，飞机A与楼的水平距离为240m，这栋楼的高度BC是________m（≈1.732，结果取整数）．20．如图，测高仪CD距建筑物AB底部5m，DC⊥BC，AB⊥BC，在测高仪D处观测建筑物顶端的仰角为50°，测高仪高度为1.5m，则建筑物AB的高度为________m．（精确到0.1m，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）三．解答题（共4小题）21．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．（1）若AE＝1，求△ABD的周长；（2）若AD＝BD，求tan∠ABC的值．22．如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C 的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50米，求点B到水面距离BM的高度．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）23．如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽度，小明在南岸边B 处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他以1.5m/s的速度沿着河岸向东步行40s后到达C处，此时测得大树位于北偏东45°方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：≈1.732）24．如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．（1）求AE的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．13°28°32°锐角A三角函数sin A0.22 0.47 0.53cos A0.97 0.88 0.850.62tan A0.23 0.53参考答案1．解：在△ABC中，因为∠C＝90°，所以tan∠B＝，因为∠B＝42°，BC＝8，所以AC＝BC•tan B＝8×tan42°．故选：D．2．解：作P A⊥x轴于A，如右图．∵P（3，4），∴OA＝3，AP＝4，∴OP＝＝5，∴sinα＝．故选：D．3．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝45°，∵CD＝AC，∴∠D＝22.5°，设AB＝BC＝x，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝x，∴AC＝CD＝x，∴BD＝BC+CD＝（+1）x，∴tan D＝tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：D．4．解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE 即h2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，故选：A．5．解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．故选：A．6．解：由图可知，在△ABC中，AC⊥BC，∴sinα＝＝，∴BC＝30sinα米．故选：A．7．解：作BF⊥AP于F，DG⊥AP于G，DH⊥PE于H，在Rt△AFB中，sinα＝，AB＝12米，∴AF＝AB•sinα≈12×0.28＝3.36，设DH＝x米，∵DE的坡度为i＝1：2.4，∴HE＝2.4x，由勾股定理得，（2.4x）2+x2＝19.52，解得，x＝7.5，∴一人从A出发到E处下降的垂直距离＝3.36+5.5+7.5≈16.4（米），故选：C．8．解：由题意可知，∠AFM＝13°，CD＝2.5．CD的坡比是3：4，EF的坡比是12：5，FG ＝1.8，DE＝16.2，MF∥NG，ON⊥NG，CH⊥NG，FG⊥NG，OC＝NH＝1（米），∴四边形MNGF是矩形，∴FM＝NG，在Rt△CDH中，设CH＝3x，DH＝4x，∴CD＝2.5，∴（3x）2+（4x）2＝2.52，∴x＝0.5，∴DH＝2（米），CH＝1.5（米），在Rt△EFG中，，FG＝1.8，∴，∴EG＝0.75（米），∴FM＝GN＝EG+DE+DH+NH＝19.95（米），在Rt△AMF中，tan∠AFM＝＝tan13°，∴AM≈19.95×0.23＝4.5885（米），∴AO＝AM+MO＝AM+（FG﹣CH）≈4.9（米），故选：A．9．解：（1）过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F，作EG⊥AB于G．∴则四边形EF AG是矩形，∴AG＝EF，AF＝EG，Rt△DEF中，i＝tan∠EDF＝1：2.4，∵DE＝6.5米，∴EF＝2.5米，DF＝6米，∵AD＝12米，∴AF＝EG＝AD+DF＝18米，在Rt△CEG中，∠CEG＝45°，∴CG＝EG＝18米，Rt△ABD中，∠ADB＝54°，AD＝12米，∴AB＝AD•tan54°≈12×1.38＝16.56（米），∴BC＝CG+GA﹣AB＝18+2.5﹣16.56＝3.94（米）≈3.9米，即宣传牌BC的高度为3.9米．故选：B．10．解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，∴∠EDF＝∠F，∴DE＝EF，∵EF＝15米，∴DE＝15米，在Rt△CDE中，∵sin∠CED＝，∴CD＝DE sin∠CED＝15sin64°，故选：C．11．解：如图作EF⊥AD于F，EH⊥CD于H．在Rt△ADC中，∠ACD＝45°，∴AD＝CD，在Rt△CEH中，EC＝100米，EH：CH＝1：，∴EH＝50米，CH＝50米，∵四边形EFDH是矩形，∴EF＝DH，EH＝DF＝50米，设BF＝x，则EF＝x，∴CD＝AD＝50+x，BD＝x+50，AF＝50+x﹣50，在Rt△AEF中，tan53°＝，∴≈，∴x＝150﹣50≈63.5（米），∴BD＝BF+DF＝63.5+50≈113.5（米）．故选：C．12．解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．在Rt△ADH中，AD＝390米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝150（米），∵四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH＝150米，在Rt△EFB中，tan57°＝，∴EF＝，在Rt△EFC中，FC＝EF•tan68°，∴CF≈×2.48≈241.6（米），∴BC＝BF+CF＝391.6米．故选：B．13．解：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，∵CE∥AP，∴DP⊥AP，∴四边形CEPQ为矩形，∴CE＝PQ＝2（米），CQ＝PE，∵i＝＝＝，∴设CQ＝4x、BQ＝3x，由BQ2+CQ2＝BC2可得（4x）2+（3x）2＝252，解得：x＝5或x＝﹣5（舍），则CQ＝PE＝20（米），BQ＝15（米），∴DP＝DE+PE＝23（米），在Rt△ADP中，∵AP＝＝≈27.4（米），∴AB＝AP﹣BQ﹣PQ＝27.4﹣15﹣2＝10.4（米）故选：C．14．解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，∵BC＝，BD＝，∴sin∠ACB＝，故答案为．15．解：过点A作AG⊥x轴，交x轴于点G．∵B、C的坐标分别是（1，0）、（0，），∴OC＝，OB＝1，∴BC＝＝2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝＝2．∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，∴AG＝，BG＝3．∴OG＝1+3＝4，∴顶点A的坐标是（4，）．故答案为：（4，）．16．解：在AD上取一点G，使AG＝DE，连接BG，如图所示：∵AD＝3DE，∴DG＝2AG，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C＝∠ABC+∠BAG＝90°，∴∠C＝∠BAG，∵∠C＝∠E，∴∠BAG＝∠E，在△ABG和△EAD中，，∴△ABG≌△EAD（SAS），∴BG＝AD＝3DE＝3AG，∴BD＝，∴AB＝＝AG，∴cos E＝cos∠BAD＝；故答案为：．17．解：如图，延长BA交过点C的水平线于点E，作DF⊥BE于点F，在Rt△CEA中，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝5（m），在Rt△BDF中，∠BDF＝30°，∵cos∠BDF＝，∴DB＝＝10（m），∴BF＝BD＝5（m），∵AB+AE＝EF+BF，∴AB＝5.40+5﹣5≈1.74（m）．故答案为：1.74．18．解：由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30m，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝60°，∴BD＝AB＝10（m），∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m，故答案为：（30﹣10）．19．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意有∠DAC＝60°，∠BAD＝30°，AD＝240m，在Rt△ADC中，∵∠DAC＝60°，AD＝240m，∴DC＝tan60°•AD＝240（m），在Rt△ADB中，∵∠DAB＝30°，AD＝240m，∴DB＝tan30°•AD＝80（m），∴BC＝240+80＝320≈554（m），故答案为：554．20．解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，∵∠DCB＝∠CBE＝∠DEB＝90°，∴四边形BEDC是矩形，∴DE＝BC＝5m，DC＝BE＝1.5m，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝DE•tan∠ADE＝5tan50°≈5×1.19＝5.95（m），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（m），答：建筑物AB的高度约为7.5m，21．解：（1）如图，连接BD，设BC垂直平分线交BC于点F，∴BD＝CD，C△ABD＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC，∵AB＝CE，∴C△ABD＝AC+CE＝AE＝1，故△ABD的周长为1．（2）设AD＝x，∴BD＝3x，又∵BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝4x，在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．∴tan∠ABC＝＝＝．22．解：过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝50米，设BM＝x米，则MC＝BM＝x米∵BH＝BM﹣HM∴BH＝（x﹣50）米，∴在Rt△ABH中，∵HC＝HM+MC∴HC＝（50+x）米，在Rt△AHC中，，∴，解得x＝110，即BM＝110米，答：点B到水面距离BM的高度约为110米．23．解：如图，作AD⊥BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60（m），∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∠ACD＝90°﹣45°＝45°，在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝tan45°＝＝1，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝tan30°＝，∴BD＝，∵BC＝BD﹣CD＝﹣AD＝60（m），∴AD＝30（+1）≈82（m），答：此段河面的宽度约82m．24．解：（1）在Rt△ADF中，cos∠DAF＝，∴AF＝AD•cos∠DAF＝100×cos28°＝100×0.88＝88（cm），在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，∴AE＝＝＝≈91（cm）；（2）设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，如图所示：∴∠AMN＝∠MAG+∠DGA＝13°+32°＝45°，在Rt△ADF中，DF＝AD•sin∠DAC＝100×sin28°＝100×0.47＝47（cm），在Rt△DFG中，tan∠DGA＝，∴tan32°＝，∴FG＝＝≈75.8（cm），∴AG＝AF+FG＝88+75.8＝163.8（cm），在Rt△AGN中，AN＝AG•sin∠DGA＝163.8×sin32°＝163.8×0.53≈86.8（cm），∵∠AMN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝AN≈1.41×86.8≈122.4（cm），∴EM＝AM﹣AE≈122.4﹣91≈31（cm），当M、H重合时，EH的值最小，∴EH的最小值约为31cm．。

直角三角形的边角关系复习

本章知识体系
直角三角形边角关系锐角三角函数的意义
锐角三角函数计算利用三角函数解决实际问题
30°、45°、60° 角的三角函数值
一般锐角的三角函数值利用三角函数求锐角
知识点一：锐角三角函数的定义及相关知识
1、锐角三角函数的定义
锐角三角函数

a sin A c b cos A c a tan A b
2、三角函数有关计算
D是AB上一点，连接 DC，若∠BDC=60°，
已知一个锐角的三角函数值，可知直角三角形的两边关系，进而可知
该三角形的三边关系，这是一种很
常见的解题技巧.
在△ ABC中，若斜坡AB的坡度为1:2，则三边之比为：

知识点三：锐角三角函数的应用
1、相关概念
北 B
30°

（1）倾斜角（2）坡角（3）仰、俯角
2、锐角三角函数值的求解
如图，在正方形网格中，∠B的正切值是，∠A的正切值是 .
E
如图，已知Rt△ABC中，AD是斜边BC上
的高，AB=4，AC=3，tan ∠CAD＝ .
4
3
如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE 折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（）
4
5
总结反思: 1、要选准恰当的直角三角形； 2、注意问题的本质；
3、转化的思想.
知识点二：锐角三角函数的有关计算
1、特殊角的三角函数值
需牢记的知识
1 2
3 2
3 3
2 2
2 2
3 2
1 2
1
3
5 cos A ，如图，在△ABC中， ∠B=90°， 7

直角三角形的边角关系知识点整理复习(无答案)

DSL 金牌数学初三下系列（一）直角三角形的边角关系知识点精析精讲考点一、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°正弦：_____sin =∠=斜边的对边A A 余弦：____cos =∠=斜边的邻边A A 正切：_____tan =∠∠=的邻边的对边A A A考点二、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sin α cos α tan α考点三、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ；（2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）商的关系：tanA=AAcos sin考点四、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，(1) 正弦值随着角度的增大而_______；(2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________；考点五、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：______________________（勾股定理）（2）锐角之间的关系：______________________（3）边角之间的关系：正弦sinA=___________，余弦cosA=____________，正切tanA=______________ (4) 面积公式：c ch ab s 2121==（h c 为c 边上的高）考点六、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

《直角三角形的边角关系》复习专题3 直角三角形边角关系的应用

专题三直角三角形边角关系的应用本专题主要是根据直角三角形边角的关系，确定边长、角的度数以及三角函数值等，此类问题是锐角三角函数解决实际问题中的一个过渡，通过本专题的复习，应到达以下目标：能根据直角三角形中的边角关系，求边长、角的度数以及锐角三角函数值等．例1 如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =45°，∠C =120°，AB =8，那么CD 的长为〔〕．A ．863B ．46C ．323D ．42 分析：求CD 的长可构造直角三角形利用三角函数求解：如图1，作AF ⊥BC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ，那么根据条件可求出DE =AF =AB ·sin B ，再根据三角函数求出CD 的长．解：作AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 并交BC 的延长线于E ．在Rt △ABF 中，因为AB =8，∠B =45°，所以2422845sin =⨯=︒•=AB AF ，所以42DE AF ==．在Rt △CDE 中，因为18012060DCE ∠=-=，所以4286sin 60332DE CD ===，应选A ．说明：在利用锐角三角函数求边长时，假设所求的边不在直角三角形内，那么需将它转化到直角三角形中去，转化的途径比拟多，如构造直角三角形或用的直角三角形的边或角来代替．例2 如图2，AD 为等腰三角形ABC 底边上的高，且4tan 3B =，AC 上有一点E ，满足AE ∶EC =2∶3．那么， tan ∠ADE 是〔〕．A．35B．23C ．12D ．13分析：要求tan∠ADE值，需要构造包含∠ADE的直角三角形，为此需要过点E作EF⊥AD，再求出EFFD即可．解：因为AD⊥BC，垂足为D，AB=AC，所以∠BAD=∠CAD．因为4tan3B=，∠B+∠CAD=90°，所以3 tan4CAD∠=．作EF⊥AD交AD于F，那么tan∠CAD34 EFAF==．所以34EF AF=．因为AD⊥BC，EF⊥AD，所以EF∥CB．又AE∶EC=2∶3，所以AF∶FD=2∶3．所以32FD AF=．所以314tan=322AFEFADEFD AF∠==．应选C．说明：当要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构造直角三角形或寻找等角．此题采用了构造直角三角形的方法．专题训练：1．如图3，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，那么cos∠BCD=_____．2．如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，5tan∠DAC=55，那么AB=〔〕．A．5B．5C．25 D．553．如图5，在△ABC中，∠B=60°，BC=2，中线CD⊥BC，求AB，tan A的值．参考答案：1．452．A3．因为∠B=60°，CD⊥BC，所以∠CDB=30°．因为CB=2，所以DB=4，CD=所以AD=4，AB=8．作CE⊥BD，那么CE，DE=3．所以AE=7．所以tan A。

直角三角形的边角关系复习课件

┃善于总结是学习的前提条件┃
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。注意把实际问题转化为数学问题，建立数学模型。
D
┃走进中考┃
（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）
A、20海里 B、40海里
C、
海里
D、
海里
┃练一练┃
1．（2015•铜仁市）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A 在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（ ≈1.732）
B
α=30° 120 A β=60°
D
B
C
C
A
┃走进中考┃
（2012•泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）
┃练一练┃
1、（2014山东青岛20，8分）如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）． 1 （参考数据：tan31° ≈ 3 ，sin31° ≈ ， tan39° ≈ ， 9 5 7 2 sin39 ° ≈ ） 11 11

直角三角形的边角关系(复习)

二次函数复习：二次函数的解析式有三种形式，它们分别是：一般式____________________________________；顶点式____________________________________；2. 2y ax bx c =++（,,a b c 为常数，0a ≠）的图像是_________。

（1）顶点是_________，对称轴是_________。

（2）开口方向：0a >时，开口向____；0a <时，开口向____。

（3）增减性：若0a >，当2b x a <-时，y 随x 的增大而_______，当2b x a>-时，y 随x 的增大而_______；若0a <，当2b x a <-时，y 随x 的增大而_______，当2b x a>-时，y 随x 的增大而_______。

（4）最大（小）值：当0a >，函数有最___值，且当x =_____时，y 有最___值是_____；当0a <，函数有最___值，且当x =_____时，y 有最___值是_____。

（5）开口大小：a 越大抛物线开口越_____。

3. 我们可以用根的判别式判断抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的交点个数，即当∆__________时，抛物线与x 轴有两个交点；即当∆__________时，抛物线与x 轴有一个交点（顶点）；即当∆__________时，抛物线与x 轴没有交点。

4. 抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与y 轴的交点是__________。

练习题：1．顶点为（3，5）且过点（2，－3）的抛物线的解为．2. 抛物线24y x x m =--+，若其顶点在x 轴上，则=m ．直角三角形的边角关系要点回顾：1、锐角A ∠的三角函数（按右图RT ABC ∆填空）A ∠的正弦：sin A = ,A ∠的余弦：cos A = ,A ∠的正切：tan A = ,A ∠的余切：cot A =2、锐角三角函数值，都是实数（正、负或者0）；3、正弦、余弦值的大小范围：＜sin A ＜；＜cos A ＜4、tan cot A A •= ； tan cot B B •= ；5、sin A =cos （90°- ）； cos A =sin （ - ）tan A =cot （）； cot A =6、填表7、在RT ABC ∆中，90C ∠=，AB c =,BC a =，AC b =,（1）三边关系（勾股定理）：（2）锐角间的关系：∠ +∠ = 90°（3）边角间的关系：sin A = , sin A = ；cos A = , cos A = ；tan A = , tan A = ； cot A =________, cot A =8、图中角α可以看作是点A 的角也可看作是点B的角；9、（1）坡度（或坡比）是坡面的高度（h ）和长度（l ）的比。

直角三角形边角关系总复习

1第一章直角三角形的边角关系1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果锐角A 确定， =A sin , A cos = , A tan = .2.特殊角的三角函数值2.锐角三角函数的关系互余两角的三角函数关系(A 为锐角):cos sin =A ,sin cos =A . 3.锐角三角函数的性质当角度在0°～90°之间变化时：正弦值随角度的增大(或减小)而 (或 )；余弦值随角度的增大(或减小)而 (或 )；正切值随角度的增大(或减小)而 (或 )； 4.解直角三角形的定义在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是c b a ,,。

①三边之间的关系：；②锐角之间的关系：。

③边角之间的关系：=A sin ,=A cos ,=A tan , =B sin ,=B cos ,=B tan , ④面积公式：ch ab S ABC 2121==△(h 为斜边上的高). 6.解直角三角形应用题中常见的概念①坡角：坡面与水平的夹角叫做坡角，用字母α表示。

坡度：坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，则αtan ==lhi 。

如图②仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。

如图方法1：利用锐角三角函数的概念求三角函数值例1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A 的正弦值( )A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.不变方法2：利用锐角三角函数的概念进行计算的方法例2.在△ABC 中，∠C=90°，54sin =A ，则B tan =( ) 视线视线2A.34B.43C.53D.54方法3：利用特殊角三角函数值进行计算的方法例3.01-)20082009(2-60sin30cos4--+︒︒）（= 。

直角三角形的边角关系(总复习)

1
B
A
北CBiblioteka 30° B4．如图，在 8×4 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上， tan∠ACB 的值为则（）
60° A
）
7.如图，点E（0，4），O（0，0），C（5， 0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦，则 tan∠OBE= ． 12.如图，A，B 两座城市相距 100 千米，现计划要在两座城市之
1 2
C.
3 2
D．
3 3
8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90° ， CD⊥AB，垂足为 D.若 AC= 5 ，BC=2，则 Sin∠ACD 的值为（ A. ）
初三年级期末总复习
复习作业
年
月
日
直角三角形的边角关系【知识回顾】1．如图 sinA= cosA= tanA= . 2．当物体的倾斜程度越大时，坡角越此时坡角的正弦越，余弦越 3．填表：三角函数角度 30° 45° 60° 【基础演练】----做到熟能生巧！ sinα
A．
1 3
B．
1 2
C．
3.如图：某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： 3 ，题坝高 BC=50m，则迎水坡面 AB 的长度是（）
5 3 5 2
B．
2 5 5
C
的这条高等级公路会不会穿越保护区？为什么？
C
A.100m C.150 m B.100 3 m D.50 3 m
C．
D．
2 3
A
D
B
9. 在一资助夏令营活动中，小明同学从营地 A 出发，要到 A 地的北偏东 60° 方向的 C 处，他先沿正东方向走了 200m 到达 B 地，再沿北偏东 30° 方向走，恰能到达目的地 C（如图），那么，由此可知，B 、C 两地相距 ___________m.

直角三角形的边角关系

）cosAcosB tanA ; tanB ;sin sin <>>A B 直角三角形的边角关系一、知识点回顾1、锐角A 的三角函数（1）、∠A 的正弦：在Rt △ABC 中，sinA= （2）、∠A 的余弦：在Rt △ABC 中，cosA=（3）、∠A 的正切：在Rt △ABC 中，tanA=【注】①当0°<α<90°时，0<sin α<1 ；0<cos α<1②当0°<α<45°时，0<tan α<1；当45°<α<90°时，tan α>12、锐角三角函数的性质（1）1、1A cos A sin 22=+ （2）、AAA cos sin tan = （3）、在Rt △ABC 中，sinA=cosB ，cosA=sinB（4）、对于锐角A 的每一个确定的值，其三个三角函数值也是唯一确定的。

（5）、锐角∠A 的正弦、正切值随∠A 的增大而增大；∠A 的余弦值随∠A 的增大而减小。

（如果B ∠>A ∠，那么（6）、45°是αsin 和αcos 的值的分界点，①当0°<α<45°，αsin <αcos ；②当 45°<α<90°，αsin >αcos ；③当α=45°时，αsin =αcos ）（7）、在Rt △ABC 中，tanA>sinA （tanA=b a ，sinA=ca，而b<c ） 3、直角三角形的边角关系（1）角的关系：两锐角互余（︒=∠+∠90B A )（2）边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理，222c b a =+）（3）边与角的关系：sinA=c a ，cosA=c b ，tanA=ba，（4）直角三角形的相关性质①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(如图：AB 21CD =)②30°角所对的直角边等于斜边的一半（如图，∠A=30°，AB 21BC =)4、特殊角的三角函数值三角函数0° 30° 45° 60° 90° αsinαcostan α5、解直角三角形的应用（1）、仰角、俯角从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．（2）、坡度、坡角坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即lhi =．（坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6．）坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有lhi =＝tan α．（显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．）（3）、方位角“上北下南，左西右东”.叙述方位角时，以南北为主，东西为辅.6、直角三角形可解的条件和解法（1）已知c 和∠A ，求a 和b. a= ，b=（2）已知a 和∠A ，求c 和b. b= , c= （3）已知b 和∠A ，求a 和c. a= ，c= （4）已知a 和b ，求c 和∠A. c= ，∠A=（5）在如图所示的“大套小”的图形中，Rt △ADC 和Rt △BDC 有一条公共边CD ，求CD 的长. 设CD=x ，则DABC┌ αmβαββαtan tan tan mtan -⋅在Rt △ACD 中， AC=αtan x；在Rt △BCD 中，BC=βtan x ；因为AB=AC-BC ，所以，可建立关于x 的方程:αtan x-βtan x =m （方程思想）解得x= 即求出了CD 的长.二、专题训练。

中考数学——直角三角形的边角关系的综合压轴题专题复习附答案

中考数学——直角三角形的边角关系的综合压轴题专题复习附答案一、直角三角形的边角关系1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.（1）求之间的距离（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.【答案】（1）120米；（2）35. 【解析】【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC=333，然后根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ︒=6012=120（m ）（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，则'60A E AC ==， '30CE AA ==3在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235答：从无人机'A 上看目标D 235【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.2．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E e 于点D ，连接OD .（1）求证：直线OD 是E e 的切线；（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E e 于点G ，连接BG ：①当1an 7t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标（直接写出）； ②求BG CF的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫⎪⎝⎭，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12. 【解析】【分析】（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得12BG CF ≤，从而得解. 【详解】（1）证明：连接DE ，则：∵BC 为直径∴90BDC ∠=︒∴90BDA ∠=︒∵OA OB =∴OD OB OA ==∴OBD ODB ∠=∠∵EB ED =∴EBD EDB ∠=∠∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠即：EBO EDO ∠=∠∵CB x ⊥轴∴90EBO ∠=︒∴90EDO ∠=︒∴直线OD 为E e 的切线.（2）①如图1，当F 位于AB 上时：∵1~ANF ABC ∆∆ ∴11NF AF AN AB BC AC == ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=-∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：1031x = ∴150531AF x == 1504333131OF =-= 即143,031F ⎛⎫ ⎪⎝⎭如图2，当F 位于BA 的延长线上时：∵2~AMF ABC ∆∆∴设3AM x =，则224,5MF x AF x ==∴103CM CA AM x =+=+ ∴241tan 1037F M x ACF CM x ∠===+ 解得：25x = ∴252AF x ==2325OF =+=即2(5,0)F②如图，作GM BC ⊥于点M ，∵BC 是直径∴90CGB CBF ∠=∠=︒ ∴~CBF CGB ∆∆∴8BG MG MG CF BC == ∵MG ≤半径4= ∴41882BG MG CF =≤= ∴BG CF 的最大值为12.【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．3．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF 为菱形（2）作PH ⊥AD 于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5 ∴tan ∠ADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数4．在Rt △ACB 和△AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE. 特殊发现：如图1，若点E 、F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC ＝PE 成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转．(1)如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)记AC BC＝k ，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 3CPE V 总是等边三角形【解析】【分析】（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FP MC PB =，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ．（2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，AC BC =tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可．【详解】解：（1）PC=PE 成立，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴EM FP MC PB=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；（2）PC=PE 成立，理由如下：如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ，∴△DAF ≌△EAF （AAS ），∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中，∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ，∴△DAP ≌△EAP （SAS ），∴PD=PE ，∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，∴FD ∥BC ∥PM ，∴DM FP MC PB=， ∵点P 是BF 的中点，∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ，∴PC=PD ，又∵PD=PE ，∴PC=PE ；（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形，∴∠CEP=60°，∴∠CAB=60°，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵AC k BC ，AC BC=tan30°， ∴k=tan30°=3， ∴当k 为33时，△CPE 总是等边三角形．【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．5．问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH 的对角互补，那么四边形EFGH 的四个顶点E 、F 、G 、H 都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O 的半径为2，AB ，CD 是⊙O 的直径．P 是上任意一点，过点P 分别作AB ，CD的垂线，垂足分别为N，M．（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角．①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．【答案】（1）证明见解析，直径OP=2；（2）证明见解析，MN的长为定值，该定值为2；（3）①MN=；②证明见解析；（4）MN取得最大值2．【解析】试题分析：（1）如图一，易证∠PMO+∠PNO=180°，从而可得四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，易证四边形PMON是矩形，则有MN=OP=2，问题得以解决；（3）①如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得∠COP1=∠BOP1=60°，根据圆内接四边形的对角互补可得∠MP1N=60°．根据角平分线的性质可得P1M=P1N，从而得到△P1MN是等边三角形，则有MN=P1M．然后在Rt△P1MO运用三角函数就可解决问题；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，根据圆周角定理可得∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中运用三角函数可得：MN=QN•sin∠MQN，从而可得MN=OP•sin∠MQN，由此即可解决问题；（4）由（3）②中已得结论MN=OP•sin∠MQN可知，当∠MQN=90°时，MN最大，问题得以解决．试题解析：（1）如图一，∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO=∠PNO=90°，∴∠PMO+∠PNO=180°，∴四边形PMON内接于圆，直径OP=2；（2）如图一，∵AB⊥OC，即∠BOC=90°，∴∠BOC=∠PMO=∠PNO=90°，∴四边形PMON是矩形，∴MN=OP=2，∴MN的长为定值，该定值为2；（3）①如图二，∵P1是的中点，∠BOC=120°，∴∠COP1=∠BOP1=60°，∠MP1N=60°，∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M=P1N，∴△P1MN是等边三角形，∴MN=P1M．∵P1M=OP1•sin∠MOP1=2×sin60°=，∴MN=；②设四边形PMON的外接圆为⊙O′，连接NO′并延长，交⊙O′于点Q，连接QM，如图三，则有∠QMN=90°，∠MQN=∠MPN=60°，在Rt△QMN中，sin∠MQN=，∴MN=QN•sin∠MQN，∴MN=OP•sin∠MQN=2×sin60°=2×=，∴MN是定值．（4）由（3）②得MN=OP•sin∠MQN=2sin∠MQN．当直径AB与CD相交成90°角时，∠MQN=180°﹣90°=90°，MN取得最大值2．考点：圆的综合题．6．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，弦//CD AB，动点P、Q分别在线段OC、CD 上，且DQ OP=，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与点C、D不重合），20AB=，4cos5AOC∠=．设OP x=，CPF∆的面积为y．（1）求证：AP OQ=；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当OPE∆是直角三角形时，求线段OP的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x xy xx-+=<<；（3）8OP=【解析】【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ=，联结OD后还有OA DO=，再结合要证明的结论AP OQ=，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO∠=∠即可；（2）根据PFC∆∽PAO∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos5AOC∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．【详解】（1）联结OD，∵OC OD=，∴OCD ODC∠=∠，∵//CD AB，∴OCD COA∠=∠，∴POA QDO∠=∠．在AOP∆和ODQ∆中，{OP DQPOA QDOOA DO=∠=∠=，∴AOP ∆≌ODQ ∆，∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ，∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP yCP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<；（3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠， ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ，∴AOQ DQO ∠=∠，∵AOP ∆≌ODQ ∆，∴DQO APO ∠=∠，∴AOQ APO ∠=∠，∴90∠=∠=o，此时弦CD不存在，故这种情况不符合题意，舍去；AEO AOP综上，线段OP的长为8．7．如图，抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D在抛物线上且横坐标为3．（1）求tan∠DBC的值；（2）点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．【答案】（1）tan∠DBC=；（2）P（﹣，）．【解析】试题分析：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标，则可得CD//AB，OB=OC，所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°．由直角三角形的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4，BE=BC﹣DE=．由此可知tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC，利用（1）中的结果得到：tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则利用锐角三角函数定义推知=，通过解方程求得点P的坐标为（﹣，）．试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+3x+4=﹣（x+1）（x﹣4）=0，解得 x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0），B（4，0）．当x=3时，y=﹣32+3×3+4=4，∴D（3，4）．如图，连接CD，过点D作DE⊥BC于点E．∵C（0，4），∴CD//AB，∴∠BCD=∠ABC=45°．在直角△OBC中，∵OC=OB=4，∴BC=4．在直角△CDE中，CD=3．∴CE=ED=，∴BE=BC﹣DE=．∴tan∠DBC=；（2）过点P作PF⊥x轴于点F．∵∠CBF=∠DBP=45°，∴∠PBF=∠DBC，∴tan∠PBF=．设P（x，﹣x2+3x+4），则=，解得 x1=﹣，x2=4（舍去），∴P（﹣，）．考点：1、二次函数；2、勾股定理；3、三角函数8．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为32≈1.4）．【答案】车辆通过AB 段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB –∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=tan PH PAH ∠33， ∵AC ∥BD ，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD –∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴3，∵60千米/时=503米/秒，∴时间t=503505033≈8.1（秒），即车辆通过AB 段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。

直角三角形的边角关系全章总结复习

2017—2018学年寒假辅导第1讲直角萨娇新的边角关系知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例正弦：sinA—•1.锐角三余弦：cosA —角函数正切：tanA—Z A的对边a斜边—cZ A的邻边=b 斜边cZ A的对边=aZ A的邻边=b.一定根据严格按照三角函数构.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°si nA1羽43222cosA眉122"2 ta nA昼3143知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2+ b2= c2；⑵锐角之间的关系：/ A + Z B = 90°a b a⑶边角之间的关系：sinA = =cosB=-, cosA = sinB=-, tanA = £.⑷相等的角①商的关系：tanA=;②平方关系：sin2A+cos 2A=1.(5)互余的两角：若/ A+Z B=90° ,则sinA=cosB , cosA=sinB.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角•视线在水平线下方的角叫做俯角.(如图①)(2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示. 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用a表示，则有i = tan a (如图②)(3) 方向角：平面上，通过观察点O作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角. (如图③)6.解直角三角形实际应用的(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；⑵将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3) 选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4) 得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便;已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ ABC中，已知a=5, /A=30°,贝U c= ,b= .解直角三角形中基本模型：(1) 叠合式“双直角三角形”的(2)背靠式■:解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.一般步骤问题的解.专题讲座专题一：锐角三角函数的概念例2.锐角三角函数求值:类型二.利用角度转化求值：例6.已知：如图，Rt△ ABC中，/ C= 90°. D是AC边上一点，DE丄AB于E点.DE : AE = 1 : 2. 求: sinB、cosB、tanB. 注意：1.sinA、/ cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比,与直角三角形的 _________ 无关2.取值范围___ <sinA< _____ ; ______ < cosA< _________例1.如图所示，在Rt△ ABC中，/ C= 90°.没有tanA>,这些比值只与有关,)斜边sin ( )斜边② cos A( )斜边cos③ tan A()A的邻边tan( )斜边B的对边( T在Rt△ ABC 中，/ C= 90 LI * c,右a= 9,b= 12, 则c=sinA=cosA =tanA=si nB= _________ ,例3.已知：如图，Rt△ TNM 中，/ TMN = 90°,求：sin / TMR、cos/ TMR、tan/ TMR.cosB =tanB = _ _ .MR丄TN 于R 点，TN=4,MN = 3.类型一：直角三角形求值例4.已知Rt△ ABC中，C390 , ta nA , BC412,求AC、AB 和cosB.例5.已知A是锐角，si nA8，求cosA, tan A 的值17① sin A3例8•如图，菱形 ABCD的边长为10cm , DE 丄AB , si nA，则这个菱形的面积 = cm 2.5例9•如图，沿AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处•已知AB 8 , BC 10 ,AB=8,则tan / EFC343 4的值为（）A. -B. -C. 3D .-4355类型三•化斜三角形为直角三角形例 10.如图，在△ ABC 中，/ A=30° , / B=45 , AC=23，求 AB 的长.1 例 11.已知：如图，△ ABC 中，AC = 12cm , AB = 16cm , si nA - 3(1)求AB 边上的高 CD ; (2)求厶ABC 的面积S ; (3)求tanB .例 12.已知：如图，在△ ABC 中，/ BAC = 120° , AB = 10, AC = 5. 求: sin /ABC 的值.的顶点为0,它的一边在x 轴的正半轴上，另一边例7•如图，角例7图例8图 0A 上有一点 P ( 3, 4)，贝U sin例9图例13图1 24 / 111 A . - B .c .迈 D .迹 25105对应训练：类型四：利用网格构造直角三角形例13如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点，贝U sinA 的值为（）1.在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°,若 BC = 1, AB= J5，贝tanA 的值为() 2.在△ABC 中，/ C=90°, sinA= — 5 ABC 中， 3.如图，在等腰直角三角形 4.如图，在Rt △ ABC 中，/ 那么tanA 的值等于（C=90°, AC=8, 90 , ACA .兰5A. ?5 6 , D 为AC 上一点，若.2.2B. tanAD= 16 3 求/ B 的度数及边3 ；2.5~5~ 45DBABC 、c. ■C. 34D.-3AB ，贝U AD 的长的长.A5.如图，在Rt △ ABC 中，/ BAC=90°，点D 在BC 边上，且厶ABD 是等边三角形. 若AB=2，求△ ABC 的周长.（结果保留根号）6.已知：如图，△ ABC 中，AB = 9，BC = 6，^ ABC 的面积等于 9,求sinB . ( )7.在厶 ABC 中，/ A=60 °，AB=6 cm ，AC=4 cm ，则△ ABC 的面积是 A.2 3 cm 2 B.4 3 cm 2 C.6 3 cm 2D.12 cm 2sin A =z<7zkI-—9 .如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC 绕着点A 逆时针旋转得到 AC'B'，则tanB'的值专题二：特殊角的三角函数值锐角30°45°60°sincostan_______ 时，正弦和正切值随着角度的增大 ______ 余弦值随着角度的增大而 _______(1) 2cos30 2 sin 45 tan 60(2) tan 60 sin 2 45 2cos30例2 .求适合下列条件的锐角，八1 ⑵tan 拶V2(1) cos2⑶ sin22为() fl 11 1A. 一B.-c.-D. 1432/ AOB 如图放置，则 tan / AOB 的值是()10•正方形网格中, 1C-2D. 22 cos60 sin 45仝 tan30tan 45 sin 30⑸ 1 cos60(3) 3 =+(2 f tan30 °tan45⑷ 6cos( 16 )3.3(5)已知为锐角，且tan(300) 3，求 tan 的值1 ()在 ABC 中，若 cos A —2 (sin BA ,B 都是锐角，求C 的度数例3.三角函数的增减性11. 已知/ A为锐角，且sin A < ，那么/ A的取值范围是( )2A. 0 < Z A < 30 °B. 30 < Z A v 60 °C. 60 < Z A < 90 °D. 30 < Z A < 902. 已知Z A为锐角，且cosA sin 30°，贝U ( )A. 0 <Z A < 60 °B. 30 <Z A < 60 °C. 60 < Z A < 90 °D. 30 <Z A < 90菱形的周长.£C274对应练习：111.计算：1 2 运tan45o(72 1.41)02.计算：(:1)20132 1sin30 ( 3.14)0例4.（三角函数在几何中的应用）已知：如图，在菱形ABCD 中，DE 丄AB 于E, BE= 16cm, si nA 1213求此5.计算:(2014 -「5)°—(cos60 ° )-2+ 38 - ：3tan30JS + (丄尸■ 2cos45fl2016)°6.计算:3.计算: -|-2-2cos60 °. 4 计算:(1S1- 4cos30°+ ( n- 3.14)(1) / BAD ; (2)sin / BAD 、cos / BAD 和 tan / BAD .9.已知：如图△ ABC 中，D 为BC 中点，且/ BAD = 90°, tan B310.如图，在 Rt △ABC 中，/ C=90°, si nB —，点 D 在 BC 边上，DC= AC = 6，求 tan / BAD 的值. 5 7.已知a 是锐角，且 sin( a +1518 4cos ( 3.14)0 tan3 的值.&已知：如图,Rt △ ABC 中，/ C = 90°, AC BC . 3，作/ DAC = 30°, AD 交 CB 于 D 点，求:计算BD专题二：解直角二角形的应用例1.（ 2012?福州）如图，从热气球 C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是 30° 45°,如果此时热气球 C 处的高度 CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则 AB 两点的距离是（）例1图A . 200 米B . 200 .-米例2•如图，某水库堤坝横断面迎水坡 A . 100m B . 100 3m C .例3. “兰州中山桥”位于兰州滨河路中段白搭山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥”之美誉。

专题1.6直角三角形的边角关系十大考点(老师版)

专题1.6直角三角形的边角关系十大考点【目标导航】【知识梳理】1.锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边除以斜边=a c（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA=∠A的邻边除以斜边=b c．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=a b．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2.特殊角的三角函数值（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．3.解直角三角形：（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：222a b c +=③边、角之间的关系：sinA==a c ，cosA =b c ，tanA =ab，（a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边）．4.解直角三角形的应用：（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．5.坡度、坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i=1：m 的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i 与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．6.俯角、仰角问题：（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．【典例剖析】【考点1】锐角三角函数的定义【例1】（2020•河池）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则sinB 的值是（）A ．512B ．125C ．513D ．1213【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数得出答案．【解析】如图所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴AB=52+122=13，∴sinB=AC AB=1213．故选：D．【变式1.1】（2022秋•钢城区期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，BC＝8，则AC等于（）A．6B．16C．12D．4【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tanA=BC AC=2，∴AC=12BC=12×8＝4．故选：D．【变式1.2】（2022秋•奉贤区期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中正确的是（）A．tanA=23B．cotA=23C．sinA=23D．cosA=23【分析】先利用勾股定理计算出AB＝213，然后根据正弦、余弦、正切和余切的定义求出∠A的四个三角函数值，从而可对各选项进行判断．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，∴AB=42+62=213，∴tanA=BC AC=64=32，cotA=AC BC=46=23，sinA=BC AB=6213=31313，cosA=AC AB=4213=21313．故选：B．【变式1.3】（2022•沈阳模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，∠ADC＝30°，则tan∠CAB的值为（）A．3B．1C．32D．33【分析】根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝30°，进而求出∠CAB，再根据特殊锐角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝∠ADC＝30°，∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，∴tan∠CAB＝tan60°=3，故选：A．【考点2】特殊角的三角函数值【例2】（2018•西湖区校级二模）在△ABC中，若|sinA−22|32−cosB|2＝0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A．105°B．90°C．75°D．120°【分析】直接利用绝对值性质以及特殊角的三角函数值分别得出∠A＝45°，∠B＝30°，进而得出答案．【解析】∵|sinA−22|+|32−cosB|2＝0，∴sinA=22，32=cosB，∴∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠C的度数是：180°﹣45°﹣30°＝105°．故选：A．【变式2.1】（2022秋•巨野县期中）∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（）A．30°B．60°C．45°D．37.5°【分析】直接利用特殊角的三角函数值，进而得出答案．【解答】解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，∴cosβ=12，∴∠β＝60°．故选：B．【变式2.2】（2022秋•浦东新区校级期中）已知α为锐角，且sinα=513，那么α的正切值为（）A．512B．125C．513D．1213【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，则利用正弦的定义得到sinA＝sinα=BC AB=513，于是可设BC ＝5x，AB＝13x，利用勾股定理计算出AC＝12x，然后根据正切的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵sinA＝sinα=BC AB=513，∴设BC＝5x，AB＝13x，∴AC=AB2−BC2=(13x)2−(5x)2=12x，∴tanA=BC AC=5x12x=512，即α的正切值为512．故选：A．【变式2.3】（2021秋•梁平区期末）式子2cos30°﹣tan45°−(1−tan60°)2的值是（）A．0B．23C．2D．﹣2【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而结合二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝2321﹣（3−1）=3−1−3+1＝0．故选：A．【考点3】锐角三角函数的增减性【例3】锐角α满足sinα22，且tanα＜3，则α的取值范围为（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合锐角三角函数关系的增减性，得出答案．【解析】∵sinα22，且tanα＜3，∴45°＜α＜60°．故选：B．【变式3.1】（2022秋•惠山区校级期中）已知∠A为锐角，且tanA＝3，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°【分析】判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间，再得出选项即可．【解答】解：tan30°=33，tan45°＝1，tan60°=3，∵tanA＝3，∴3＜3，又∵一个锐角的正切值随锐角度数的增大而增大，∴60°＜∠A＜90°，故选：D．【变式3.2】（2022秋•莱芜区期中）已知sina32，那么锐角a的取值范围是（）A．60°＜a＜90°B．0°＜a＜60°C．45°＜a＜90°D．0°＜a＜30°【分析】根据特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性进行判断即可．【解答】解：∵sin60°=32，sinα32，一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大，∴α＞60°，∵α为锐角，∴60°＜α＜90°，故选：A．【变式3.3】（2021秋•新邵县期末）下列说法中正确的是（）A．sin45°+cos45°＝1B．若α为锐角，则sinα＝cos（90°﹣α）C．对于锐角β，必有tanβ2=tanβ2D．若α为锐角，则sinα＞cosα【分析】根据特殊角的三角函数值判断即可．【解答】解：A．sin45°+cos45°=22+22=2，故A不符合题意；B．若α为锐角，则sinα＝cos（90°﹣α），故B符合题意；C．对于锐角β，当β＝60°时，tanβ2=tan30°=33，tanβ2=tan60°2=32，此时tanβ2≠tanβ2，故C不符合题意；D．若α为锐角，当α＝45°时，sinα＝cosα=22，故D不符合题意；故选：B．【考点4】同角三角函数【例4】（2018秋•市中区校级期中）已知α为锐角，且tanα=13，则sinα＝（）A．23B．105C．31010D．1010【分析】根据tanα=13，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式，即可推出sinα的值．【解析】设在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，则sinα=a c，tanα=a b，a2+b2＝c2，∵tanα=13知，∴可设a＝x，则b＝3x，∴c=a2+b2=10x．∴sinα=a c=x10x=1010，故选：D．【变式4.1】（2022春•巴东县期中）x为锐角，sinx=23，则cosx的值为（）A．79B．73C．7D．23【分析】根据同角三角函数的平方关系：sin2x+cos2x＝1解答即可．【解答】解：∵sin2x+cos2x＝1，sinx=23，∴cosx=1−sin2x=1−29=73．故选：B．【变式4.2】（2022•内黄县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，则tanA＝（）A．53B．43C．45D．34【分析】根据题意设BC＝4a，AB＝5a，然后利用勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA=45，∴sinA=BC AB=45，∴设BC＝4a，AB＝5a，∴AC=AB2−BC2=(5a)2−(4a)2=3a，∴tanA=BC AC=4a3a=43，故选：B．【变式4.3】（2020秋•黄浦区期末）对于锐角α，下列等式中成立的是（）A．sinα＝cosα•tanαB．cosα＝tanα•cotαC．tanα＝cotα•sinαD．cotα＝sinα•cosα【分析】根据锐角三角函数的定义，分别验证每个选项的正误即可．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠A＝α，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，有sinα=a c，cosα=b c，tanα=a b，cotα=b a，于是：A．cosα•tanα=b c•a b=a c=sinα，因此选项A符合题意；B．tanα•cotα=a b•b a=1≠cosα，因此选项B不符合题意；C．cotα•sinα=b a•a c=b c=cosα，因此选项C不符合题意；D．sinα•cosα=a c•b c=ab c2≠cotα，因此选项D不符合题意；故选：A．【考点5】锐角三角函数的新定义问题【例5】（2020秋•闵行区期中）我们把有三个内角相等的凸四边形叫做三等角四边形，例如：在四边形PQMN 中，如果∠P＝∠Q＝100°，∠M＝60°，那么四边形PQMN是三等角四边形．请阅读以上定义，完成下列探究：如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，cosB=13，如果点D在边AB上，AD＝6，点E在边AC上，四边形DBCE是三等角四边形，那么线段CE的长是．【分析】如图，过点A作AJ⊥BC于J，连接CD，解直角三角形求出BK，CKAK，再利用相似三角形的性质求出DH，AH，想办法求出EH，即可解决问题．【解析】如图，过点A作AJ⊥BC于J，连接CD，过点C作CK⊥AB于K，过点D作DH⊥AC于H．∵AB＝AC＝9，AJ⊥BC，∴BJ＝JC，∵cosB=BJ AB=13，∴BJ＝JC＝3，∵CK⊥AB，∴cosB=BK BC=13，∴BK＝2，CK=BC2−BK2=62−22=42，∵∠DAH＝∠CAK，∠AHD＝∠AKC＝90°，∴△AHD∽△AKC，∴AD AC=AH AK DH CK，∴69=AH7=DH42，∴AH=143，DH=823，∵四边形DBCE是三等角四边形，∴∠DEH＝∠B，∴cos∠DEH＝cos∠B=1EH，设EH＝m，DE＝3m，在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，∴（3m）2＝m2+（823）2，∴m=43或−43（舍弃），∴EH=43，∴AE＝AH﹣EH=143−43=103，∴CE＝AC﹣AE＝9−103=173．故答案为：173．【变式5.1】（2021秋•冷水滩区月考）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ（其中：1﹣tanαtanβ≠0）例如：sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30℃os60°+cos30°sim60°=12×12+32×32=1．利用上述公式计算下列三角函数：①sin105°=6+24②sin15°=6−24③cos90°＝0，④sin15°+tan105°＝2﹣2364．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据上述公式把一般角转化为特殊角的和或者差，然后进行计算即可．【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）＝sin45°cos60°+cos45°sin60°=22122232=6+24，故①正确；②sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°=322212×22=6−24，故②正确；③cos90°＝cos（45°+45°）＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°=22×2222×22=0，故③正确；④tan105°＝tan（60°+45°）=tan45°+tan60°1−tan45°tan60°=1+31−3=−2−3，sin15°+tan105°=6−24（﹣2−3）＝﹣2−36424，故④错误；所以正确的个数为：3个，故选：C．【变式5.2】（2020•广元）规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：（1）sin（﹣30°）=−12；（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15°=．其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论．【解答】解：（1）sin(−30°)=−sin30°=−12，故此结论正确；（2）cos2x＝cos（x+x）＝cosxcosx﹣sinxsinx＝cos2x﹣sin2x，故此结论正确；（3）cos（x﹣y）＝cos[x+（﹣y）]＝cosxcos（﹣y）﹣sinxsin（﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，故此结论正确；（4）cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°=2232+22×12=6424=6+24，故此结论错误．所以正确的结论有3个，故选：C．【变式5.3】（2019•巴州区校级自主招生）规定：对任意角x，y，都有sin2x+cos2x＝1，sin（﹣x）＝﹣sinx，cos （﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，现给出下列等式：①sin(−60°)=−32；②cos15°=6−24；③cos2x＝1﹣2sin2x；④cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；⑤cosxcosy=12[cos(x+y)+cos(x−y)]，其中，等式成立的个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据所提供的材料解题即可．【解答】解：①﹣sin60°=sin(−60°)=−32，故正确；②cos15°＝cos（60°﹣45°）＝cos60°cos（﹣45°）﹣sin60°sin（﹣45°）＝cos60°cos45°+sin60°sin45°=122232×22=2+64，即cos15°=6−24是错误的；③cos2x＝cos（x+x）＝cosxcosx﹣sinxsinx＝cos2x﹣sin2x＝1﹣sin2x﹣sin2x＝1﹣2sin2x，故正确；④cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny，故正确；⑤cosxcosy=12[cos(x+y)+cos(x−y)]，故正确．综上所述，其中，等式成立的个数为4个．故选：C．【考点6】三角函数与网格问题【例6】（2018秋•乐山期末）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在格点上，则cosA ＝45．【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据余弦为邻边比斜边，可得答案．【解析】如图，由勾股定理，得AC=AD2+CD2=42+32=5．cosA=AD AC=45，故答案为：45．【变式6.1】（2021•商河县校级模拟）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝12．【分析】根据正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，利用网格计算即可．【解答】解：tan∠ABC=24=12，故答案为：12．【变式6.2】（2021•甘谷县一模）如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，则tanA的值为13．【分析】根据勾股定理，可得BD、AD的长，根据正切为对边比邻边，可得答案．【解答】解：如图：作BD⊥AC于D，BD=2，AD＝32，tanA=BD AD=232=13，故答案为：13．【变式6.3】（2020•铁东区四模）如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为1．【分析】连接BC，先利用勾股定理逆定理证△ABC是等腰直角三角形，再根据正切函数的定义可得．【解答】解：如图所示，连接BC，则AB＝BC=12+32=10，AC=22+42=25，∴AB2+BC2＝10+10＝20＝AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，则tan∠BAC＝1，故答案为：1．【考点7】解直角三角形【例7】（2020秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．（1）求sinB的值；（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．【分析】（1）先利用等腰三角形三线合一的性质求出BD，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=AD AB计算即可；（2）由EF∥AD，BE＝2AE，可得BE AB=EF AD=BF BD=23，求出EF、DF，再利用勾股定理解决问题．【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，∴BD＝DC=12BC＝9，∴AB=AD2+BD262+92=313，∴sinB=AD AB=6313=21313；（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD，∴BE=EF=BF=2，∴EF=23AD=23×6＝4，BF=23BD=23×9＝6，∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，在Rt△DEF中，DE=EF2+DF2=42+32=5．【变式7.1】（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tanA=43．；求：（1）S△ABC（2）∠B的余弦值．【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义设CD＝4k，则AD ＝3k，从而利用勾股定理求出AC＝5k，进而可得k＝3，然后可得AD＝9，CD＝12，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答；（2）在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tanA=CD AD=43，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC=AD2+CD2=(3k)2+(4k)2=5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，=12AB•CD∴S△ABC=12×15×12＝90，＝90；∴S△ABC（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC=CD2+BD2=122+62=65，∴cosB=BD CB=665=55，∴∠B的余弦值为55．【变式7.2】（2022秋•浦东新区期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan ∠B=23，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正切值．【分析】（1）解直角三角形求出CD＝4，再利用勾股定理求出AC即可；（2）过点E作EH⊥AB于点H．求出AH，EH，可得结论．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴tanB=CD DB=23，∵BD＝6，∴CD＝4，∴AC=CD2+AD2=42+22=25；（2）过点E作EH⊥AB于点H．∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴EH∥CD，∵EC＝EB，∴DH＝BH＝3，∴EH=12CD＝2，∴AH＝AD+DH＝2+3＝5，∴tan∠EAB=EH AH=25．【变式7.3】（2022秋•虎丘区校级期中）（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝83，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD＝6．求AD的长．【分析】（1）由∠A与∠B互余即可求出∠B，由直角三角形中30°的直角边等于斜边的一半可求b，由锐角的正切定义可求a；（2）由锐角的正弦定义，勾股定理可求AD长．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b=12c＝43，∵tanA=a b，∴a＝btanA，∴a＝43×3=12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sinA=BC AB，∴AB=BC sinA=10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．【考点8】锐角三角函数的应用：方向角问题【例8】（2020•启东市三模）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行302km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求（1）∠C的度数．（2）A，C两港之间的距离为多少km．【分析】（1）由由题意即可得出答案；（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝302，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到答案．【解析】（1）由题意得：∠ACB＝20°+40°＝60°；（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝302，过B作BE⊥AC于E，如图所示：∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝302，∴AE＝BE=22AB＝30，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB=BE CE，∴CE=BE tan60°=303=103，∴AC＝AE+CE＝30+103，∴A，C两港之间的距离为（30+103）km．【变式8.1】（2022•锦州二模）某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据：2≈1.414，3=1.732）【分析】根据三角形内角和得到∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，求得∠ABC＝∠ACB，根据等腰三角形的性质得到AC＝AB＝10海里，根据平行线的性质得到∠ACF＝30°，求得∠ACD＝60．平角的性质得到∠DAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，即可求得∠DAE＝45°，解直角三角形求得CE＝5海里，AE＝DE＝53海里，即可求得CD＝5+53≈13.66（海里），进一步求得轮船航行的速度．【解答】解：作AE⊥CD于E，∵∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝10海里，∵向北的方向线是平行的，∴∠ACF＝∠CAB＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE=12AC＝5海里，AE=32AC＝53海里，∵∠DAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴DE＝AE＝53海里，∴CD＝5+53≈13.66（海里），轮船航行的速度为：13.66÷12=27.3（海里/时），答：轮船航行的速度是27.3海里/时，【变式8.2】（2022秋•垦利区期中）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．【分析】过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．【解答】解：由题意得：∠DOC＝45°，∠BOD＝15°，OB＝80km，∴∠BOC＝30°，OB＝80km，如图，作BG⊥OC于G，∴BG=12OB＝40km，∵40＜50，∴会受到影响，如图：BE＝BF＝50km，由题意知，台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，∵BG＝40km，∴EG=BE∴EF＝2EG＝60km，∵风速为40km/h，∴60÷40＝1.5（小时），∴影响时间约为1.5小时．【变式8.3】（2022秋•沙坪坝区校级期中）如图，海上有一座小岛C，一艘渔船在海中自西向东航行，速度为60海里/小时，船在A处测得小岛C在北偏东45°方向，1小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东30°方向．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）（1）求BC的距离；（结果保留整数）（2）渔船在B处改变航行线路，沿北偏东75°方向继续航行，此航行路线记为l，但此时发现剩余油量不足，于是当渔船航行到l上与小岛C最近的D处时，立即沿DC方向前往小岛C加油，加油时间为18分钟，在小岛C加油后，再沿南偏东75°方向航行至l上的点E处．若小船在D处时恰好是上午11点，问渔船能否在下午5点之前到达E处？请说明理由．【分析】（1）作CF⊥AB于点F，CD⊥BE于点D，设BF＝x，则BC＝2x，CF=3x，根据AF＝CF，得60+x=3x，求出x的值即可求出答案；（2）根据特殊直角三角形求出CD，CE，即可求出从D到E用的时间，和6小时相比较即可．【解答】解：如图，作CF⊥AB于点F，CD⊥BE于点D，（1）由已知得AB＝60海里，∠CAF＝45°，∠BCF＝30°，设BF＝x，则BC＝2x，CF=3x，∵AF＝CF，∴60+x=3x，∴x=603−1=30（3+1），∴BC＝60（3+1）≈142（海里），∴BC的距离为142海里；（2）由已知得∠CBD＝∠BCD＝45°，∴CD=22BC＝30（6+2），∵∠ECF＝75°，∴∠CED＝180°﹣45°﹣30°﹣75°＝30°，∴CE＝2CD＝60（6+2），∴从D到E用的时间为CD+CE60=90(6+2)60≈5.8＜6，∴渔船能在下午5点之前到达E处．【考点9】锐角三角函数的应用：坡度坡角问题【例9】（2019秋•滨海县期末）速滑运动受到许多年轻人的喜爱．如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD∥EG，滑台的高DG为5米，且坡面BC的坡度为1：1．后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：3．（1）求新坡面AC的坡角及AC的长；（2）原坡面底部BG的正前方10米处（EB＝10）是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米．请问新的设计方案能否通过，试说明理由（参考数据：3≈1.73）【分析】（1）过点C作CH⊥BG，垂足为H，根据坡度的概念求出∠CAH，根据直角三角形的性质求出AC；（2）根据坡度的概念求出BH，根据正切的定义求出AH，得到AB，结合图形求出EB，计算得到答案．【解析】（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，∵新坡面AC的坡度为1：3，∴tan∠CAH=13=33，∴∠CAH＝30°，即新坡面AC的坡角为30°，∴AC＝2CH＝10米；（2）新的设计方案不能通过．理由如下：∵坡面BC的坡度为1：1，∴BH＝CH＝5，∵tan∠CAH=33，∴AH=3CH＝53，∴AB＝53−5，∴AE＝EB﹣AB＝10﹣（53−5）＝15﹣53≈6.35＜7，∴新的设计方案不能通过．【变式9.1】（2022秋•高新区校级期中）如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角150°，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO'后，电脑转到AO'B'位置，侧面示意图如图4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于点C，AO'：O'C＝5：3，AC＝40cm．（1）求OA的长；（2）垫入散热架后，显示屏顶部B'比原来升高了多少cm？【分析】（1）设AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，利用勾股定理得到AO′＝4x，则4x＝40，解方程可得到AO′＝50cm，O′C＝30cm，所以AO为50cm；（2）过B点作BH⊥AO于H点，如图，先计算出∠BOH＝30°，利用30的正弦得到BH＝25cm，再计算CB′＝80cm，然后计算B′C′﹣BH即可．【解答】解：（1）∵AO'：O'C＝5：3，∴设AO′＝5xcm，O′C＝3xcm，∵O'C⊥OA，∴∠ACO′＝90°，∵AO′=(5x)2−(3x)2=4x，∴4x＝40，解得x＝10，∴AO′＝50cm，O′C＝30cm，∴AO＝AO′＝50cm；答：OA的长为50cm；（2）过B点作BH⊥AO于H点，如图，∴∠AOB＝150°，∴∠BOH＝30°，∵BH=12OB＝25cm，∵CB′＝O′B′+CO′＝50+30＝80（cm）∴B′C′﹣BH＝80﹣25＝55（cm），∴显示屏的顶部B′比原来升高了55cm．【变式9.2】（2022秋•高新区期中）如图，水坝的横截面是梯形ABCD（DC∥AB），迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，求横截面增加的面积．（结果保留根号）【分析】（1）作DF⊥AB于点F，根据坡度的概念求出AF，根据正切的定义求出BE，得到坝底宽AB的长；（2）作D′G⊥A′B于点G，求出CD′、A′B，再根据梯形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：（1）作DF⊥AB，垂足为F，∵DC∥EF，DF∥CE，DF⊥AB，∴四边形DFEC为矩形，∴FE＝DC＝2.5，DF＝CE＝5，在Rt△AFD中，坡AD的坡度i为1：1.2，∴AF＝1.2DF＝1.2×5＝6，在Rt△CEB中，tanα=CE EB，∴BE=CE tan30°=53，∴AB＝AF+FE+EB＝（172+53）米；（2）如图，作D′G⊥A′B于G，在Rt△A'GD′中，A′G＝1.4D′G＝7，∴A′A＝A′G+GF﹣AF＝1.5，∴梯形D′A′AD的面积=12×（0.5+1.5）×5＝5，答：横截面增加的面积为5平方米．【变式9.3】（2022秋•长春期中）如图是某地铁站自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角（∠BAC）为30.5°，自动扶梯AB的长为17米．（1）求乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC．（结果精确到0.1米）（2）如果一层楼的高度为2.8米，问这个扶梯升高的高度BC相当于几层楼高？（结果保留整数）【参考数据：sin30.5°＝0.51，cos30.5°＝0.86，tan30.5°＝0.59】【分析】（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长即可；（2）直接利用（1）中所求，即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB•sin∠BAC＝17×0.51≈8.7（米），答：乘客从扶梯底端升到顶端上升的高度BC约为8.7米；（2）由题意可得：8.7÷2.8≈3（层），答：这个扶梯升高的高度BC相当于3层楼高．【考点10】锐角三角函数的应用：俯角仰角问题【例10】（2020•大庆）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB 的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．【分析】在Rt△ABM中，根据等腰直角三角形的性质求得AM，在Rt△AME中，根据正弦函数求得AE，在Rt△AEC中，根据正弦函数求得AC．【解析】∵AB⊥BD，∠HAM＝45°，∴∠BAM＝∠AMB＝45°，∴∠AMB＝∠BAM，∴AB＝BM＝20（米），∴在Rt△ABM中，AM＝202（米），作AE⊥MC于E，∵∠KCM＝75°，∠ACK＝30°，∴∠ACM＝45°，∠ACK＝∠CAH＝30°，∵∠HAM＝45°，∴∠CAM＝75°，∴∠AMC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，∴在Rt△AME中，AM＝202（米），∵sin∠AME=AE AM，∴AE＝sin60°•202=32202=106（米），在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，AE＝106（米），∴sin∠ACE=AE AC，∴AC=AE sin45°=10622=203≈35（米），答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米．【变式10.1】（2021秋•临泉县期末）如图，为测量某建筑物BC的高度，采用了如下方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD（坡度i＝1：2.4）行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内．根据测量数据，计算出建筑物BC的高度．（参考数据：3≈1.732）【分析】过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，得BF＝DH，在Rt△ADH中求出DH，再解直角三角形求出EF、CF的长，即可解决问题．【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH，在RtADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∴BF＝DH＝50米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴△EFB是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°=∴CF =3EF ＝503=86.6（米），∴BC ＝BF+CF ＝136.6（米）．答：建筑物BC 的高度约为136.6米．【变式10.2】（2022秋•蓬莱区期中）如图中是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面OA 宽4m ，从O 、A 两处观测P 处，仰角分别为α、β，且tan α=12，tan β=32，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，若水面上升1m ，水面宽为多少？【分析】过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，设PH ＝3xm ，则OH ＝6xm ，AH ＝2xm ，由OA ＝4m ，可求出x 值，进而可得出点P 的坐标；根据点O 、P 、A 的坐标利用待定系数法，可求出抛物线的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征可求出y ＝1时x 的值，两值做差即可得出结论．【解答】解：过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图所示．设PH ＝3xm ，则OH ＝6xm ，AH ＝2xm ，∴OA ＝OH+HA ＝6x+2x ＝4，解得：x =12，∴OH ＝6x ＝3，PH ＝3x =32，∴点P 的坐标为（3，32）．设拱桥所在抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx+c ，将点O （0，0）、B （4，0）、P （3，32）代入y ＝ax 2+bx+c ，c =016a +4b +c =09a +3b +c =32，解得：a =−12b =2c =0，∴拱桥所在抛物线的解析式为y =−12x 2+2x ．当y =−12x 2+2x ＝1时，x ＝2±2，∴2+2−（2−2）＝22（m ）．答：水面上升1m ，水面宽22m ．【变式10.3】（2022秋•莱阳市期中）如图，某物业楼上竖立一块广告牌，高CD＝3m，小亮和小伟要测量广告牌底部D到水平地面AH的距离，小亮在水平地面A处安置测倾器，测得广告牌底部D的仰角为22°，小伟在水平地面B处安置测倾器，测得广告牌顶部C的仰角为45°，两人合作量得测倾器的高度AE＝BF＝1.2m，测点A和测点B之间的距离AB＝9m，请根据以上信息，求广告牌底部D到水平地面AH的距离．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【分析】延长EF交CH于点G，则FG⊥CH，得矩形AEFB，矩形BFGH，矩形AEGH，EF＝AB＝9m，AE ＝BF＝GH＝1.2m，在Rt△FDG中，∠EGD＝90°，∠DEG＝22°，FG＝EF+FG＝（9+FG）m，利用锐角三角函数即可解决问题．【解答】解：延长EF交CH于点G，则FG⊥CH，得矩形AEFB，矩形BFGH，矩形AEGH，∴EF＝AB＝9m，AE＝BF＝GH＝1.2m，∵∠CFG＝45°，∴∠FCG＝45°，∴FG＝CG，∴GD＝CG﹣CD＝（CG﹣3）m，在Rt△FDG中，∠EGD＝90°，∠DEG＝22°，EG＝EF+FG＝（9+FG）m，∵DG＝EG•tan22°，∴CG﹣3≈（9+CG）×0.40，∴CG＝11m，∴DG＝CG﹣3＝8（m），∴DH＝DG+GH＝8+1.2＝9.2（m）．答：广告牌底部D到水平地面AH的距离为9.2m．。

中考数学专题复习题：直角三角形的边角关系

中考数学专题复习题：直角三角形的边角关系一、单项选择题（共12小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果BC＝3，AB＝5，则sinA的值是（）A．53B．35C．54D．452．如图，在△ABC中，AC=ABC=45°，∠BAC=15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE=∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（）AB．3C．D．4第2题图第3题图3．如图，一艘船由A港沿北偏东50︒方向航行100km至C港，然后再沿北偏西25︒方向航行至B港，B港在A港北偏东20︒方向，则A，B两港之间的距离为（）A．()50km B．()50km C．D．50km4．如图，某公园为了使残疾人的轮椅行走方便，设想拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10︒，此公园门前的台阶高出地面1.62米，则斜坡的水平宽度MN至少需（）（精确到0.1米，参考值：sin100.17,cos100.98,tan100.18︒≈︒≈︒≈）A．9.1米B．9.5米C．9.4米D．9.0米5．在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA×tanB的值一定是（）A．小于1B．等于1C．大于1D．不小于16．若等腰三角形腰长为4，面积是4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°7．轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．25√3海里B．25√2海里C．50海里D．25海里第7题图第8题图8．长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）A．2√3m B．(2√3−2) m C．2√6m D．(2√6−2)m 9．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）A．247B．724C．√73D．13C．43C．35EF折叠，使点D落在BC交于点M，DG与，那么BH的长为（二、填空题（共6小题）13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM=3，则tan B5的值为________.14．在△ABC中，∠C=90°，若tan A=1，则sin B=________.215．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=√3，则sin A=________.230，过相交，得到图中所示的阴影梯形，若它们的面积依次极为BPC 是等边三角形，、BP CP 的延长线分别交相交于点H ，给出下列结论：①ABE △31BPDABCD S −=正方形，其中正确的是________．BQ 上的动点，连接，连接CE ，DE ，当CE三、解答题（共5小题）19．计算：（1）3tan30∘− (cos60∘)−1+√8cos45∘+√(1−tan60∘)2;（2）sin²30°− cos45∘⋅tan60∘+sin60∘cos45∘−tan45∘.20．如图所示，在矩形ABCD 中,点E 在线段CD 上,点F 在线段AB 的延长线上，连接EF 交线段BC 于点G ，连接BD,若DE=BF=2．（1）求证：四边形BFED 是平行四边形；（2）若tan∠ABD =23 ，求线段BG 的长度．21．如图，已知ABD △中，AC BD ⊥，8BC =，4CD =，4cos 5ABC ∠=，BE 为AD 边上的中线．（1）求AC 的长；（2）求BED 的面积．22．如图1、图2分别是某型号吊车的实物图与示意图，吊车底座抽象为矩形ABCD ，4AB =米，2AD =米．吊臂EF 现在的长度为30米，仰角32DEF ∠=︒．吊钩FG 现在的长度为6米，吊钩垂直于地面．已知1CE =米，求吊钩FG 的下端点G 到地面AB 的距离多少米？（结果精确到1米．参考数据：sin320.53︒=，cos320.85︒=，tan32062︒=.）23．在某飞机场东西方向的地面l 上有一长为1 km 的飞机跑道MN （如图），在跑道MN 的正西端14.5 km 处有一观察站A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A 的北偏西30°,且与点A 相距15 km 的B 处;经过1分钟,又测得该飞机位于点A 的北偏东60°,且与点A 相距5√3 km 的C 处．（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行,那么飞机能否降落在跑道MN之间?请说明理由．。

直角三角形的边角关系复习

3 3
3 3 2
2
3 7 1 4 4
3.
解直角三角形
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系
a b c
2 2
2（勾股定理）
A
（2）两锐角之间的关系（3）边角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
A的对边 a sin A 斜边 c
B
A
____________________
D C
练习1.国外船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域，如图，设A、B是我们的观察站，A和B 之间的距离为157.73海里，海岸线是过A、B的一条直线，一外国船只在P 点，在A点测得∠BAP=450，同时在B点测得 ∠ABP=600，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域. P
我们把 A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°：
c sin A c cos A 。 ⑴已知∠A、 c, 则a=__________;b=_________
b cos A 。 b tan A ⑵已知∠A、 b, 则a=__________;c=_________
练习3.某商场准备改善原有楼梯的安全性
能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少? (结果精确到0.01m). sin350 =0.57， sin400 =0.64
B
4m 350 400
A
D
┌ C
3.已知直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC
特殊角的三角函数值
2.填出下表：
三角函数 30° 45°

直角三角形边角关系复习

第一章《直角三角形的边角关系》复习指导二、基础知识1．锐角三角函数的定义：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =c ，BC =a ，AC =c ，则sin A =＿＿，cos A =＿＿，tan A =＿＿，cot A =＿＿，它们统称为＿＿．α)= ＿＿，tan(90°－α)= ＿＿，cot(90°－α)= ＿＿．4．同角三角函数的关系： sin 2α+ cos 2α=＿＿，tanα·cotα=＿＿．5．直角三角形中的边角关系：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，三边a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，则∠A +∠B =＿＿°，a 2+b 2=＿＿，sin A =＿＿B ＝＿＿，cos A =＿＿B =＿＿，tan A =＿＿B =＿＿，cot A =＿＿B =＿＿．6．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的＿＿，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的＿＿．7．仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离、水位、方位角：(1)仰角与俯角：AB图1它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角，视线在水平线上方的叫做＿＿＿，在水平线下方的叫做＿＿．如图2，∠AOC 就叫做＿＿，∠BOC 就叫做＿＿． (2)坡度与坡角：如图3通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做＿＿，用字母i 表示，即i =＿＿，坡度一般写成＿＿＿的形式．坡面与水平面的夹角叫做＿＿，记作α，则有i =＿＿=＿＿．（3）方位角：如图4，A 点位于O 点的＿＿30°方向，而B 点位于O 点的＿＿60°方向．8．直角三角形的边角关系及其应用：在直角三角形中，除直角外，还有＿＿个基本元素，由直角三角形中的已知元素，即可求出＿＿元素．利用直角三角形的边角关系求其余未知元素通常有下列四种类型：(1)已知斜边和一直角边；(2) 已知两条直角边；(3) 已知一锐角和一直角边；(4) 已知斜边和一锐角．由此，利用直角三角形的边角关系求解时已知的两个元素中，至少要有一条是＿＿．9．处理简单的斜三角形：对于斜三角形通常是利用作＿＿使之构造出直角，从而将简单的斜三角形转化为＿＿三角形．10．利用直角三角形的边角关系的依据是：(1)三边关系：＿＿；(2)两锐角之间的关系：两锐角＿＿；(3)边角关系：四个锐角＿＿的定义及斜边上的中线等于斜边的＿＿和 30°所对的直角边等于斜边的＿＿．三、典题赏析例1 （南通）计算： tan60°·sin60°－cot30°·tan45°．分析由特殊角的三角函数值可得： tan60°·sin60°－cot30°·tan45°3122-=-．说明熟记特殊角的三角函数值是处理此类题目的关键．例2 (兰州)如果sin 2α＋sin 230°＝１，那么锐角α的度数是（） A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 分析对照等式sin 2α+cos 2α=1，可以将sin 2α＋sin 230°＝１利用sin （90°－α）＝cosα变形为sin 2α＋cos 2（90°－30°）＝１，所以α＝60°，故应选D ．说明等式sin 2α+cos 2α=1及互余角的性质在处理直角三角形的问题中有着十分广泛应用，应注意领会．图2 水平线图3西直角三角形的边角关系练习题一、选择题1. 若α是锐角，且1cos(90)2α-=，且α等于（）Ａ．30 Ｂ．45 Ｃ．60Ｄ．902. R t A B C △中，C D 为斜边A B 上的高，则:C D B C 的值为（）Ａ．sin AＢ．cos AＣ．tan AＤ．cot A3. 已知R t A B C △中，90C ∠= ，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =，1cos 3B =，则b 的长为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．4. 在△ABC 中，AB =AC =4，BC =2，则4cos B 等于 A.1B.2C.15D.4155. △ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sin A =21，cos B =23，则△ABC 的形状是A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定二、填空题6. 在A B C △中，若22cos (tan 1)0B C -+-=，则A ∠=．7. 已知tan α·tan30°＝1，且α为锐角，则α＝______．8. △ABC 中，三个内角之比为1∶2∶3，则对应的三边之比为__________。