【最新】高中数学-1.7定积分的简单应用第1课时
人教a版数学【选修2-2】1.7《定积分的简单应用》ppt课件
[答案]
1 2
2 3
[解析] 曲线y＝x 与y＝cx 由题意知
1 1 的交点为c ，c2.
2 1 ＝3.∴c＝2.
典例探究学案
不分割型平面图形面积的求解
如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面 积S.
[分析] 从图形上可以看出，所求图形的面积可以转化为一 个三角形与一个曲边三角形面积的差，进而可以用定积分求 出面积．为了确定出积分的上、下限，我们需要求出直线和 抛物线的交点的横坐标．
(1)(2014· 山东理，6)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内 围成的封闭图形的面积为( A．2 2 C．2 ) B．4 2 D．4
(2)由y＝－x2与y＝x－2围成图形的面积S＝________.
9 [答案] (1)D (2)2
[解析] (1)如图所示
y＝4x， 由 3 y ＝ x .
[答案] C
) B．gt2 0 1 2 D．6gt0
[解析] 如果变速直线运动的速度为 v＝v(t)(v(t)≥0)， 那么
b 从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程是 v(t)dt，
a
故应选 C.
2 4．若两曲线y＝x 与y＝cx (c＞0)围成的图形的面积是 3 ，
2 3
则c＝________.
[解析]
y＝2x， 解方程组 2 y ＝ x ，
得x1＝0，x2＝2.
故所求图形的面积为 S＝ 2xdx－ x
2 0 2 0
2
2 2 dx＝x 0
1 3 4 2 －3x 0 ＝3.
[方法规律总结] 利用定积分求平面图形的面积的步骤 (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象． (2)将平面图形分割成曲边梯形，并分清在x轴上方与下方的 部分． (3)借助图形确定出被积函数． (4)求出交点坐标，确定积分的上、下限． (5)求出各部分的定积分，并将面积表达为定积分的代数和( 定积分为负的部分求面积时要改变符号处理为正)，求出面 积．
秋高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在
2018年秋高中数学第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋高中数学第一章导数及其应用1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
7 定积分的简单应用1.7。
1 定积分在几何中的应用1.7。
2 定积分在物理中的应用学习目标：1。
会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2。
会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[自主预习·探新知］1．定积分与平面图形面积的关系(1）已知函数f（x)在[a，b］上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：f（x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f（x）≥0S＝错误!f(x)d xf(x）＜0S＝－⎠⎛ab f（x)d x（2)，那么直线x ＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝错误
1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用学习目标：1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：(2)xb[f(x)－g(x)]d x.即曲＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝⎠⎛a边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．图1712．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间b v(t)d t.[a，b]上的定积分，即s＝⎠⎛a思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？[提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．3．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝ab F(x)d x.移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为W＝⎠⎛a[基础自测]1．思考辨析(1)函数y ＝f (x )，x ∈[a ，b ]与x 轴围成的图形的面积S ＝⎠⎛ab f (x )d x .( )(2)若物体的运动速度v ＝5－2t ，则其在1≤t ≤3内的路程S ＝⎠⎛13(5－2t )d t .( )(3)曲线y ＝x 3与直线x ＋y ＝2，y ＝0围成的图形面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x .( )(4)曲线y ＝3－x 2与直线y ＝－1围成的图形面积为(4－x 2)d x .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成的图形的面积等于( )【导学号：31062099】C [由题意知，由y ＝x 3及y ＝x 所围成的图形如图所示． 显然S ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x .]3．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s 间的运动路程为( )【导学号：31062100】A ．46 mB ．46.5 mC ．87 mD ．47 mB [s ＝⎠⎛36(3t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 2＋2t | 63＝(54＋12)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272＋6＝46.5(m)．]4．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F (x )相同的方向，从x ＝1处运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所作的功为________J.[解析] 由题意可知，力F (x )所作的功W ＝⎠⎛13F (x )d x ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14 J. [答案] 14[合 作 探 究·攻 重 难][探究问题]观察图形，完成下列探究问题：图1721．图中阴影部分的面积能否用定积分⎠⎛08[2x －(x －4)]d x 表示？为什么？提示：不能．由定积分的几何意义可知，当x ∈[0,8]时，被积函数y ＝2x －(x －4)表示的图形如图所示：2．若以x 为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？ 提示：S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28[2x －(x －4)]d x .3．能否以y 为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？提示：能．可表示为S ＝⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－y 22d y .(1)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图173所示)的面积为43，则k ＝________.图173(2)求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，故阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝43，解得k ＝2.(2)画出图形，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝⎠⎛01⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＋⎠⎛13(2－x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2＋16x 2| 31＝23＋16＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －13x 2| 31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.母题探究：1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图174，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，点P (x 0，y 0)(x 0＞0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等”，则x 0＝________.图174[解] 由题意知即18x 0＝13x 30， 解得x 0＝64或x 0＝－64或x 0＝0. ∵x 0＞0，∴x 0＝64. 2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y ＝x 2在点P (2,4)处的切线与曲线及x 轴所围成的图形面积为S ”，求S .[解] ∵y ′|x ＝2＝4，故曲线在P 点处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4，故所求面积S ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－4x ＋4)d x ＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 2＋4x | 21＝23.3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y 2＝x ，y ＝2－x 所围成的图形的面积．”[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－2.∴阴影部分的面积S ＝ (2－y －y 2)d y＝⎝⎛⎭⎪⎫2y －y 22－y 33| 1－2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4－2＋83＝92.[规律方法]求曲边梯形面积的一般步骤如下：x 轴正方向一致)．求：(1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 移动的路程和离开原点的位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值.【导学号：31062101】[解] (1)由v (t )＝8t －2t 2≥0得0≤t ≤4， 即当0≤t ≤4时，P 点向x 轴正方向运动， 当t ＞4时，P 点向x 轴负方向运动． 故t ＝6时，点P 移动的路程s 1＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t －⎠⎛46(8t －2t 2)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 40－⎝⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 64＝1283. 当t ＝6时，点P 的位移为⎠⎛06(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3| 60＝0. (2)依题意⎠⎛0t (8t －2t 2)d t ＝0，即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．[规律方法] 做变速直线运动的物体，从时刻t ＝a 到时刻t ＝ba ＜b 所经过的路程s 和位移s ′情况如下：若v t ，则s ＝⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝s若v t ，则s ＝－⎠⎛ab vtt ；s ′＝⎠⎛ab v tt .即s ＝－s ′.若在区间[a ，c ]上，vt ，在区间[c ，b ]上vt ＜0，则s ＝⎠⎛ac v tt－⎠⎛cb vtt ，s ′＝⎠⎛ab v tt所以求路程时要事先求得速度的正负区间.[跟踪训练]1．有一辆汽车以每小时36 km 的速度沿平直的公路行驶，在B 处需要减速停车．设汽车以2 m/s 2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？[解] 设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，v (t )＝v 0－at ＝10－2t .令v (t )＝0，解得t ＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2) | 50＝25(m)．故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.30 cm ，求使弹簧由25 cm 伸长到40 cm 所做的功．[解] 设x 表示弹簧伸长的长度，f (x )表示加在弹簧上的力，则f (x )＝kx (其中常数k 为比例系数)．因为当f (x )＝100时，x ＝5，所以k ＝20. 所以f (x )＝20x .弹簧由25 cm 伸长到40 cm 时，弹簧伸长的长度x 从0 cm 变化到15 cm ，故所做的功W ＝⎠⎛01520x d x ＝10x 2| 150＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．[规律方法] 求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F (x )，确定物体在力的方向上的位移． (2)利用变力做功的公式W ＝⎠⎛ab F (x )d x 计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳． [跟踪训练]2．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0≤x ≤2，2x －2，x ＞2，(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( )A ．10 JB ．12 JC ．14 JD ．16 JB [W ＝⎠⎛022d x ＋⎠⎛24(2x －2)d x ＝2x | 20＋(x 2－2x ) | 42＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．][当 堂 达 标·固 双 基]1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有()S ＝⎠⎛b a [f (x )－g (x )]d x S ＝⎠⎛08(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝⎠⎛14f xx －⎠⎛47f x xS ＝⎠⎛0a [g x －f xx ＋⎠⎛ab[f x －g xx③ ④图175A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④D [①错误，S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x ；②错误，S ＝⎠⎛0422x d x ＋⎠⎛48(22x －2x ＋8)d x ；③④正确．]2．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32π与坐标轴所围图形的面积是( ) 【导学号：31062102】A ．2B ．3C ．52 D ．4B [S ＝＝sin π2－sin 0－sin 3π2＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.]3．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车刹车后前进多少米才能停车( )A ．405B ．540C ．810D ．945 A [停车时v (t )＝0，由27－0.9t ＝0，得t ＝30，∴s ＝⎠⎛030v (t )d t ＝⎠⎛030 (27－0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2) | 300＝405.]4．设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] 由已知得S ＝＝a 2，所以a ＝23，所以a ＝49.[答案] 495．一物体在变力F (x )＝36x2(N)的作用下沿坐标平面内x 轴的正方向由x ＝8 m 处运动到x ＝18 m 处，求力F (x )在这一过程中所做的功．[解] 由题意得力F (x )在这一过程中所做的功为F (x )在[8,18]上的定积分，从而W ＝⎠⎛818F (x )d x ＝－36x －1| 188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝52(J)．从而可得力F (x )在这一过程中所做的功为52J.。
1.7定积分的简单应用
数学12版学习方略第一章第7节第1课时编校人员：陈德华 11.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用【教学方案设计】一、新课导入我们知道用定积分可以表示曲边梯形的面积，微积分基本定理为定积分的计算提供了一种有效的方法，二者强强联合，可以解决平面几何中曲边图形的面积问题. 实际上，定积分在几何中的应用非常广泛,不但可以求平面图形的面积,也可以求几何体的表面积和体积等.本节课我们一起来学习定积分在几何中的应用. 二、教学建议关于利用定积分求平面图形的面积的教学教学时,建议教师特别注意使学生真正搞清定积分的几何意义,借助图形特点能够恰当的把不规则图形进行分割,转化为便于用定积分求面积的曲边梯形.具体求解时,强调两点:一是积分上、下限的确定,二是被积函数的确定,这是应用中最易出错的两个地方.另外,在教学中,应结合例题对解题步骤进行归纳总结,使学生明确利用定积分求平面图形面积的基本步骤:一般要先画出它的草图,并根据图形的特点选择适当的积分变量,再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限,最后利用微积分基本定理计算定积分,从而求出平面图形的面积.【学习目标定位】目标定位重点难点1.体会定积分在解决几何问题中的作用；2.会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.1.本课的重点是会用定积分求平面图形的面积.2.本课的难点是能够恰当选择积分变量和确定被积函数.【基础预习点拨】【基础梳理】1.用定积分求平面图形的面积11版学习方略人教A 选修2-2教用P47的基础梳理2.解由曲线所围成的平面图形的面积的解题步骤： (1)画出草图，求出交点坐标；(2)将曲边图形的面积转化为曲边梯形的面积； (3)根据图形的特点选择适当的积分变量； (4)确定被积函数和积分区间； (5)计算定积分，求出面积.【思考运用】 1.11版学习方略人教A 选修2-2教用P48的思考2.由x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积为 .【解析】S 31)(12101⎰⎰===dx x dx x f S . 答案：31 3. 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积为________．【解析】如图，所求面积为dx x S⎰-=452|sin |ππ⎰⎰⎰-+-=-ππππ04502sin sin sin xdx xdx xdx.224)221(21-=-++= 【答案】224-4.若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c ＞0)围成的图形的面积是23，则c ＝________.【解析】曲线y ＝x 2与y ＝cx 3的交点为⎝⎛⎭⎫1c ，1c 2.由题意知dx cx x c ⎰-132)(＝⎝⎛⎭⎫13x 3－c4x 4c 10|＝112c 3＝23.∴c ＝12. 【答案】21【知识点拨】几种定积分与曲边梯形的面积的关系 (1)由一条曲线()f x 和a x =，b x =，0=y （b a <）所围成的曲边梯形的面积S .设曲边梯形在x 轴上方的面积为上S ，x 轴下方的面积为下S .则①当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图（1）则.)(⎰=baS dx x f 上②当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图（2）则.)(⎰-=baS dx x f 下(2)由两条曲线()f x ，)(x g 和直线a x =，bx =（b a<）所围成的平面图形的面积S.图1 图2 图3①如图1所示，0)()(>>x g x f 时，=S dx x g dx x f ba ba ⎰⎰-)()([]dx x g x f b a⎰-=)()(②如图2所示，0)(,0)(<>x g x f 时，=S dx x g dx x f b aba ])([)(⎰⎰-+[]dx x g x f b a ⎰-=)()(③如图3所示，0)(,0)(<<x g x f 时，=S []dx x f dx x g baba ⎰⎰---)()([]dx x g x f ba ⎰-=)()(结论：当对应的曲边梯形位于x 轴上方时 ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积; 当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．即定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0 .【要点探究归纳】【技法点拨】求不分割图形面积的一般步骤11版学习方略北师大选修2-2教用P97类型一名师【典例训练】（建议教师以第2题为例重点讲解）1.由抛物线xy=2与直线2=x所围成的图形的面积为 .2.求2xy-=与2-=xy围成图形的面积S.【解析】1.11版学习方略人教A选修2-2教用P48类型一的变式训练2.如图，由⎩⎨⎧-=-=22xyxy得交点A(－2，－4)，B(1，－1)．∴围成图形(阴影部分)的面积为S＝⎰-+--122)2(dxxx＝.21|)22131(1223=+---xxx【变式训练】计算由直线3+=xy,曲线1362+-=xxy所围图形的面积S.【解析】11版学习方略北师大选修2-2教用P97类型一例1类型二分割性图形面积的求解【技法点拨】复杂图形面积的求解策略由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限．【典例训练】（建议教师以第2题为例重点讲解）1.由曲线y＝x2－1、直线x＝0、x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是 ( ) 类型一不分割型平面图形面积的求解数学试题的解答离不开方法的指导，而解答的技巧又来源于解题后的反思总结。
1.7定积分的简单应用
总结： 当 x∈[a， b]有 f(x)>g(x)时， 由直线 x＝a， x＝b(a≠b) 和曲线 y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积 S＝
f x g x dx . a
b
三、新知建构，典例分析
注：
两曲线围成的平面图形的面积的计算 2 2 例 1. 计算由两条抛物线 y x 和 y x 围成图形的面积.
解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:
y x x 0 x 1 解方程组 或 2 y 0 y 1 y x
y
y
C o O
2 y xx B
即两曲线的交点为(0,0),(1,1)
y x2
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
4. 用微积分基本定理求定积分.
1、变速直线运动的路程 设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
s v(t )dt
a
b
v
v v(t )
O
a
b
t
三、新知建构，典例分析
例 2.一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶的路程 .
S S1 S2
4 0
y 2x
S2
S1
y x4
8
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
4
(
2 xdx) ( x 4)dx 2 xdx ( x 4)dx 0 4 4 0 4 能否给出其它的解法？ 3 2 2 2 8 1 2 40 8 x |0 ( x 4 x) |4 3 2 3
高中数学选修2-2优质课件：1.7.1 定积分在几何中的应用
2.曲线 y＝cos x(0≤x≤32π)与坐标轴所围图形的面积是( B )
A.2 解析
B.3
C.52
S＝π2
0
cos
xdx－32πcos π
xdx＝sin
π x2 0
D.4 3π 2
－sin x π 2
2
＝sin π2－sin 0－ sin 32π＋sin π2＝1－0＋1＋1＝3.
1234
4 3.由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为__3__.
1234
S＝4f(x)dx－7f(x)dx
1
4
③
S＝a[g(x)－f(x)]dx＋b[f(x)－g(x)]dx
0
a
④
A.①③ C.①④
B.②③ D.③④
1234
解析 ①应是 S＝b[f(x)－g(x)]dx，②应是 S＝82 2xdx－
a
0
8(2x－8)dx，③和④正确.故选 D.
4
答案 D
1234
跟踪演练2 求由曲线y＝x2，直线y＝2x和y＝x围成的图形的面积.
y＝x2， y＝x2，
解 方法一 如图，由
和
y＝x
y＝2x
解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.
故所求的面积 S＝10(2x－x)dx＋12(2x－x2)dx＝x2210 ＋ x2－x3321 ＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.
y＝2x， x＝0， x＝2，
解析 解方程组
得
或
y＝x2， y＝0， y＝4.
∴曲线y＝x2与直线y＝2x交点为(2,4)，(0,0).
∴S＝2(2x－x2)dx＝ 0
x2－13x320
高中数学选修课件第四章§定积分的简单应用
当n→∞时，积分和的极限存在，则称函数f(x)在[a,b]上 可积，该极限值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
积分和
将积分区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n，取每个小区间的任意一点ξi，对应的函数值 为f(ξi)，则f(x)在[a,b]上的积分和为Σf(ξi)Δx。
拓展延伸及未来发展趋势
定积分在物理学中的应用
定积分在物理学中有着广泛的应用，如计算变力做功、液体静压力等，需要进一步学习和 掌握。
定积分在经济学中的应用
定积分也可以应用于经济学领域，如计算收益、成本等经济量，为决策提供科学依据。
定积分与计算机技术的结合
随着计算机技术的发展，定积分与计算机技术的结合将越来越紧密，如利用计算机进行定 积分的数值计算、绘制定积分的图形等。这将为定积分的应用提供更广阔的空间和更高效 的手段。
A
一阶导数法
通过求解一阶导数等于零的点来找到函数的极 值点，从而确定最优解。
二阶导数法
通过判断二阶导数的符号来确定函数的凹 凸性，从而确定最优解。
B
C
约束优化方法
在存在约束条件的情况下，通过构造拉格朗 日函数等方法来求解最优解。
数值计算方法
对于难以求解的复杂函数，可以采用数值计 算方法（如牛顿法、梯度下降法等）来逼近 最优解。
几何应用
通过具体案例介绍如何利用定积 分求解平面图形的面积，如求解 由直线和曲线围成的图形面积等
。
物理应用
介绍定积分在物理中的应用，如求 解变力做功、液体静压力等问题中 涉及的面积计算。
经济应用
通过实际案例介绍定积分在经济领 域的应用，如求解由需求曲线和价 格曲线围成的面积所表示的消费者 剩余或生产者剩余等。
518.(高中数学)1.7定积分的简单应用第1课时
§1.7.1 定积分在几何中的应用【学情分析】：在上一阶段的学习中，已经学习了利用微积分基本定理计算单个被积函数的定积分，并且已经理解定积分可以计算曲线与x轴所围面积。
本节中将继续研究多条曲线围成的封闭图形的面积问题。
学生将进一步经历到由解决简单问题到解决复杂问题的过程，这是一个研究问题的普遍方法。
学生能正确的理解定积分的几何意义，是求面积问题的基础。
但是对各种图形分割的技巧以及选择x－型区域或y－型区域计算是比较陌生的。
突破点是一定要借助图形直观，让学生清楚根据曲线的交点划分图形（分块）以及根据曲线的特点（解出变量x还是y简单）选择x－型区域或y－型区域。
【教学目标】：（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．【教学重点】：（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。
（2）数形结合的思想方法【教学难点】：利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．那么由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所围成的有界区域面积为b[()()]d a A f x g x x =-⎰＝b()d af x x ⎰－b()d ag x x ⎰－＝A y=g(x)baOxyy=f(x)我们看到，尽管我们的证明的示意图中曲线()y f x =与()y g x =的均在x 轴上方，但是，由 1.6的学习我们可以知道，曲线()y f x =或()y g x =在x 轴下方也不影响我们的证明，结论仍然是正确的。
师：更一般的，若函数()f x 和()g x 在区间[],a b 上连续,那么由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所围成的有界区域面积为b()()d a A f x g x x =-⎰。
4.3.1定积分的简单应用(一)利用定积分求平面图形的面积
b
a
f ( x)dx F ' ( x)dx F ( x) |b a F (b) F (a )
a
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 2.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是
确定f ( x)的原函数F ( x)
基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c，则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n，则f(x)=nx (n R) ' 3.若f(x)=sinx，则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx
4
2 xdx) ( x 4)dx
4
8
8
0
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 3 1 2 40 8 2 8 x |0 ( x 4 x) |4 3 2 3
练习 1（课本变式题） ：
2 y 计算由曲线 2 x 和直线 y x 4所围成的图形的面积.
y 2x
解:
两曲线的交点
y 2 x (0,0), (8, 4). y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
S S1 S2
4 0
S1
S2
y x4
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
4
8
(
4
0
2 xdx
2ห้องสมุดไป่ตู้
o
2
x
y
4
o
2 2
2
x
2
∵ s1 0 2 xdx x | 0 2 0 4
高中数学1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用课件新人教A版选修2_2
= .
4 3
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
解:画出草图,如图所示.
x + y = 2, y = x, y = x, 解方程组 1 1 及 y = - 3 x, x + y = 2, y = - x 3 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).所以 S=
������(x)dx.
②如图 b,f(x)<0, ∴S=
������ a
������ a
������(x)dx < 0, =−
������ a
f (x)dx
������(x)dx.
③如图 c,当 a≤x<c 时,f(x)<0,
c a
������(x)dx < 0;
c 当 c<x≤b 时,f(x)>0,
1 0
x- - x
1
3 1 1 = x + x dx + 2-x + x dx 3 3 0 1 2 3 1 2 1 1 1 3 = x 2 + x |0 + 2x- x 2 + x 2 |1 3 6 2 6 2 1 1 2 3 = + + 2x- x |1 3 6 3 5 1 1 13 = +6− × 9−2+ = . 6 3 3 6
������(x)dx −
������ a
������(x)dx.
1.几种典型的平面图形面积的计算 剖析:(1)求由曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及 y=0 所围成的 平面图形的面积 S. ������ ①如图 a,f(x)>0, a ������(x)dx > 0,
定积分的简单应用(1.7)
第□讲
定积分的简单应用
[知识要点]:
1.微积分基本定理
如果 ,且 在在 上
,则 .
即: 从 到 的积分等于.其中
叫做 的一个原函数.由于
,也是 的原函数,其中
为常数.
一般地,原函数在 上的改变量 ,简记作.
因此,微积分基本定理可以写成形式:
6.若 ,则
A.0 B.1 C.0或1 D.以上都不对
7.与定积分 相等的是
8.与定积分 相等的是
第 页
☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第 □ 讲
定积分的简单应用
C.综合提高
9.由曲线 ,直线 和 轴围成的封闭图形的面积(如下图)是
10.计算定积分:
.
2.求定积分主要是要找到被积函数的.也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于
.由此可见,求导运算与求原函数运算互为
[激活思维]:
例1计算下列定积分:
(1) ； (2) ;
(3) ; (4) .
例2计算下列定积分:
变式引申:求曲线 与直线
, 所围图形的面积(见下图).
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) ;
(5) (6)
(7) ; (8) .
[备选练习]:
1.如下图,计算定积分 .
2.计算定积分:
(1) ; (2)
(3) ; (4) .
第 页
[分级训练]:
A.基础训练
1.下列积分正确的一个是
2.设 在 上连续,将 等分,在每个小区间上任取 ,则 是
3.下列命题中不正确的是
1.7 定积分的简单应用
第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用基础过关练题组一定积分在几何中的应用1.(2019云南云天化中学高二月考)射线y=4x(x≥0)与曲线y=x3所围成的图形的面积为( )A.2B.4C.5D.62.(2019河北迁安三中高三上期中)由曲线y=√x,直线y=2x-1及x轴所围成的封闭图形的面积为( )A.512B.1112C.16D.123.(2019豫南六市高二下期中联考)用定积分表示由曲线y=-√x,直线y=-x+2及y 轴所围成的图形的面积,下列选项中错误的为( )A.∫40(2-x+√x)dx B.∫4√x dxC.∫2-2(2-y-y2)dy D.∫0-2(4-y2)dy4.(2019河南开封高三三模)如图,在矩形ABCD中的曲线分别是y=sin x,y=cos x 的一部分,已知点A(0,0),B(π2,0),D(0,1),若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A.4π(√3-1) B.4π(√2-1)C.4(√3-1)πD.4(√2-1)π5.(2019黑龙江哈尔滨三中高二期中)曲线y=x-x2和y=x2-x所围成的封闭图形的面积是.,直线y=x-1及x=1所围成的图形的面6.(2019广东执信中学高二期中)由曲线y=2x积为.7.(2019河北开滦二中高二期中)已知曲线f(x)=ax2+2在x=1处的切线与2x-y+3=0平行.(1)求f(x)的解析式;(2)求由直线y=3x,x=0,x=2与曲线f(x)所围成的平面图形的面积.题组二定积分在物理中的应用8.如果1 N的力能拉长弹簧1 cm,那么将弹簧拉长6 cm,力所做的功为( )A.0.18 JB.0.26 JC.0.12 JD.0.28 J9.一质点在直线上从时刻t=0 s以速度v(t)=t2-4t+3(单位:m/s)开始运动,求:(1)在t=4 s时的路程s;(2)在t=4 s时的位移x.10.一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力,把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm,求弹簧克服弹力所做的功.答案全解全析 基础过关练1.B 在同一坐标系中作出射线y=4x(x ≥0),曲线y=x 3(如图),所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组{y =4x ,y =x3得射线y=4x(x ≥0)与曲线y=x 3交点的坐标为(0,0)和(2,8), 故所围成的图形的面积为230(4)d x x x -⎰=(2x 2-14x 4) 02=4. 故选B.2.A 由解析式作出如图所示的草图:由图可知所求封闭图形的面积为曲线y=√x 与x 轴围成的曲边三角形OCB 的面积与△ABC 的面积之差.解方程组{y =√x ,y =2x -1得曲线y=√x 与直线y=2x-1的交点为C(1,1),则点B 的坐标为(1,0),直线与x 轴的交点为A (12,0),所以AB=12,BC=1.因此曲边三角形的面积S OCB =x ⎰=23,△ABC 的面积S △ABC =12×12×1=14,所以所围成的封闭图形的面积为23-14=512.3.C 曲线y=-√x ,直线y=-x+2及y 轴所围成的图形如图阴影部分所示:∴阴影部分的面积可表示为∫ 40(2-x+√x )dx; 根据对称性可知,∫ 20(2-x)dx=∫ 42(x-2)dx, ∴阴影部分的面积可表示为∫ 40[0-(-√x )]dx=∫ 40√x dx; 由y=-√x 得x=y 2(y ≤0),由y=-x+2得x=2-y, 可画出图象如图所示:∴阴影部分的面积可表示为∫ 0-2(2-y-y 2)dy+∫ 2(2-y)dy; 根据对称性可知∫ 0-2[4-(2-y)]dy=∫ 20(2-y)dy, ∴阴影部分的面积可表示为∫ 0-2(4-y 2)dy.故选C. 4.B 阴影部分的面积为240(cos sin )d x x x π-⎰=2(sin x+cos x) 0π4=2√2-2,矩形ABCD 的面积为π2×1=π2, 则此点取自阴影部分的概率P=2√2-2π2=4π(√2-1).5.答案 13解析 作出曲线y=x-x 2与y=x 2-x.如图所示,曲线y=x-x 2和y=x 2-x 所围成的封闭图形的面积为∫ 1[(x-x 2)-(x 2-x)]dx=∫ 10(2x-2x 2)dx=(x 2-23x 3) 01=1-23=13,故答案为13. 6.答案 2ln 2-12解析 由题意,作出曲线y=2x(x>0),直线y=x-1及x=1,它们所围成的图形如下(阴影部分):解方程组{y =2x ,y =x -1得直线y=x-1与曲线y=2x(x>0)交点的坐标为(2,1),所以阴影部分的面积为S=212(1) d x x x-+⎰=(2lnx -12x 2+x) 12=2ln 2-12.7.解析 (1)由题得f'(x)=2ax,∴f'(1)=2a=2,解得a=1. ∴f(x)=x 2+2.(2)在平面直角坐标系中画出如图所示的草图:则所求图形的面积 S=12(23) d x x x +-⎰+221(32) d x x x --⎰=(13x 3+2x -32x 2) 01+(32x 2-13x 3-2x) 12=13+2-32+6-83-4-(32-13-2)=1. 8.A 设x(单位:m)表示弹簧的伸长量,F(x)(单位:N)表示加在弹簧上的力. 由题意,设F(x)=kx(k ≠0).当x=0.01时,F(0.01)=1,即0.01k=1, ∴k=100,∴F(x)=100x,∴将弹簧拉长6 cm,力所做的功W=∫ 0.060100xdx=50x 2 00.06=0.18(J). 故选A.9.解析 (1)由v(t)=t 2-4t+3=(t-1)(t-3), 得当0≤t ≤1或3≤t ≤4时,v(t)≥0; 当1<t<3时,v(t)<0.所以在t=4 s 时的路程s=∫ 10(t 2-4t+3)dt-∫ 31(t 2-4t+3)dt+∫ 43(t 2-4t+3)dt=13t 3-2t 2+3t)|01-13t 3-2t 2+3t)|13+(13t 3-2t 2+3t)|34=4(m).(2)在t=4 s 时的位移x=∫ 40(t 2-4t+3)dt =(13t 3-2t 2+3t)|04=43(m).10.解析 设F(x)=kx(k ≠0),∵弹簧压缩x cm 可产生4x N 的力, ∴k=4,∴弹簧克服弹力所做的功W=4∫x 50dx =4×12x 2 05=50(N ·cm)=0.5(J).。
1.7 定积分的简单应用(1)
W F ( x)dx
0
L
L
0
1 2 L 1 2 kxdx kx |0 kL 2 2
练习
1.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的 单位为m/s)的速度运动,求该物体在3~5s 间行进的路程.
S (2t 3)dt 22m
3 5
2.一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下, 沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到 x=4处(单位:m),求F(x)所作的功. 40
3 2
(2)S (e e x )dx 1
0
1
定积分在物理中的应用
一辆汽车的速度一时间曲线如图所示，求 汽车在这 1 min 行驶的路程。
3t vt 30 - 1.5t 90 (0 t 10) (10 t 40) (40 t 60)
的图形的面积.
解 两曲线的交点
y x 6x (0,0), ( 2,4), ( 3,9). 2 y x
3
y x2
A1
0
2
(x 6 x x )dx
3 2
y x3 6x
A2 ( x x 6 x)dx
2 3 0
3
于是所求面积
0 3
A A1 A2
2
4 2 3 2 2 2 3 1 2 16 64 26 8 2 2 x |0 ( x x 4 x) |2 18 3 3 2 3 3 3
练习
求下列曲线所围成的图形的面积:
(1)y=x2,y=2x+3;
(2)y=ex,y=e,x=0.
32 (1) S ((2 x 3) x )dx 1 3
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§1.7.1 定积分在几何中的应用
【学情分析】：
在上一阶段的学习中，已经学习了利用微积分基本定理计算单个被积函数的定积分，并且已经理解定积分可以计算曲线与x轴所围面积。
本节中将继续研究多条曲线围成的封闭图形的面积问题。
学生将进一步经历到由解决简单问题到解决复杂问题的过程，这是一个研究问题的普遍方法。
学生能正确的理解定积分的几何意义，是求面积问题的基础。
但是对各种图形分割的技巧以及选择x－型区域或y－型区域计算是比较陌生的。
突破点是一定要借助图形直观，让学生清楚根据曲线的交点划分图形（分块）以及根据曲线的特点（解出变量x还是y简单）选择x－型区域或y－型区域。
【教学目标】：
（1）知识与技能：解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解
（3）情感态度与价值观：体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．
【教学重点】：
（1）应用定积分解决平面图形的面积问题，使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值以及由浅入深的解决问题的方法。
（2）数形结合的思想方法
【教学难点】：
利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题．
那么由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所围成的有界区域面积为b
[()()]d a A f x g x x =-⎰
＝
b
()d a
f x x ⎰
－
b
()d a
g x x ⎰
－
＝A y=g(x)
b
a
O
x
y
y=f(x)
我们看到，尽管我们的证明的示意图中曲线()y f x =与()y g x =的均在x 轴上方，但是，由 1.6的学习我们可以知道，曲线()y f x =或()y g x =在x 轴下方也不影响我们的证明，结论仍然是正确的。
师：更一般的，若函数()f x 和()g x 在区间[],a b 上连续,那么由y ＝f (x )，y ＝g （x ）,x =a ,x =b 所围成的有界区域面积为b
()()d a A f x g x x =-⎰。
但是仍然去绝对值后转化为分出()f x 和
()g x 的大小解决。
（基础题）
1. 如右图，求直线23y x =+与抛物线2y x =所围成的图形面积。
解：由方程组2
23
y x y x =+⎧⎨=⎩，可得121,3x x =-=，故所求面积为 3
3
2
2311132(23)d 333S x x x x x x --⎛⎫⎡⎤=+-=+-= ⎪⎣⎦⎝
⎭⎰ 2. 如图所示，阴影部分面积是（ ） (A ) (B )2(C )
32
3
(D )
353
答案：C
解释：1
123233
132(32)d 333x x x x x x --⎛⎫
--=--= ⎪⎝⎭⎰
3. 由曲线1x y e -=和x 轴、直线0x =、3x =所围成图形的面积为
答案：31
e e
-
解释：
如图所示，3
3
3
11210
1
d x x
e S e x e e e e
----===-=
⎰ 4. 由曲线64
x y =-和x 轴所围成的图形面积为
答案：144 解释：
如图所示，曲线64
x y =
-与x 轴交点为(24,0)±，与y 轴交点为(0,6)-，
∴1
24(24)
61442
S =⨯--⨯-=
5. 由曲线ln y x =和直线2,2x y ==-所围成的图形面积为
3
2
x-1
答案：2292
2e e
--
解释：
如图所示，曲线ln y x =与2y =-的交点为2
(,2)e --，
∴2
22
2
2
2
1ln (2)d (ln 2)d 2e
e
e S x x x x x x ---⎛⎫
=--=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰
2292
2e e -- （中等题）
6. 求由曲线1sin 2y x =和1
sin 2
y x =所围成的图形在区间[]0,π上的面积。
答案：1 解释：
如图所示，001111sin sin d sin sin d 2222S x x x x x x ππ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰
112cos cos 122x x π
⎛⎫
=-+= ⎪⎝⎭
7. 求曲线1xy =及直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积 解释：先求交点坐标，由1
xy y x =⎧⎨=⎩
得交点(1,1)A ，
以y 为积分变量，求面积3
3
21111d ln 4ln 32S y y y y y ⎛⎫⎛⎫
=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎰
（难题） 8.
x ⎰
的值为（ ）
(A )2π (B )1π+ (C )π (D )以上都不对
答案：C
解释：由定积分的几何意义可知，所求的为圆224x y +=的第一象限的面积21
24S ππ=⨯⨯=
9. 在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为1
12
，试求： （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程。
解：如右图，
设切点00(,)A x y ，由'2y x =，过点A 的切线方程为0002()y y x x x -=-，
即2
002y x x x =-。
令0y =，得02x x =
，即0,02x C ⎛⎫
⎪⎝⎭。
设由曲线和过A 点的切线
及x 轴所围成的图形面积为S ，00
2
33
00
011d =33
x
x AOB S x x x x ==⎰
曲边△，
2
30000111()2224ABC x S BC AB x x x ==-=△，即：3330001111341212
S x x x =-==，∴01x =，从而切点(1,1)A ，切
线方程为21y x =-。