复数的几何意义ppt
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复数的课件ppt
详细描述
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
复数的加、减运算及其几何意义课件共17张PPT
= (5-2-3)+(-6-1-4)i = -11i.
例2 设 及 分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应，试计算
z1+z2，并在复平面内作出
.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例3 求复平面内两点 Z1(x1, y1), Z2(x2, y2)之间的距离.
分析: z2 - z1 = Z1Z2, |z2 - z1|=|Z1Z2|. 解: |Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2 - z1| =|(x2 + y2i)-(x1 + y1i)| =|(x2 - x1)+(y2 - y1)i| = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2 .
同理可证： (z1 + z2)+ z3 = z1 +(z2 + z3).
实数加法的交换律、结合律在复数集C中依然成立.
一、复数的加、减运算
问题 类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
类
规定复数的减法是加法的逆运算.
比
复数的减法法则：
(a + bi)-(c + di) =(a - c)+(b - d)i.
3．若z1＝2－i，z2＝－1＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点分别为 Z1，Z2，这两点之间的距离为__________．
的几何意义吗？ 复数减法的几何意义：
y Z2(c, d)
z = z1 - z2 OZ = OZ1 -OZ2
Z1(a, b)
O
x
复数的减法可以按照向量的减法来进行. 复数的减法符合向量减法的三角形法则.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解： (5-6i)&加、减运算
例2 设 及 分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应，试计算
z1+z2，并在复平面内作出
.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例3 求复平面内两点 Z1(x1, y1), Z2(x2, y2)之间的距离.
分析: z2 - z1 = Z1Z2, |z2 - z1|=|Z1Z2|. 解: |Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2 - z1| =|(x2 + y2i)-(x1 + y1i)| =|(x2 - x1)+(y2 - y1)i| = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2 .
同理可证： (z1 + z2)+ z3 = z1 +(z2 + z3).
实数加法的交换律、结合律在复数集C中依然成立.
一、复数的加、减运算
问题 类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
类
规定复数的减法是加法的逆运算.
比
复数的减法法则：
(a + bi)-(c + di) =(a - c)+(b - d)i.
3．若z1＝2－i，z2＝－1＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点分别为 Z1，Z2，这两点之间的距离为__________．
的几何意义吗？ 复数减法的几何意义：
y Z2(c, d)
z = z1 - z2 OZ = OZ1 -OZ2
Z1(a, b)
O
x
复数的减法可以按照向量的减法来进行. 复数的减法符合向量减法的三角形法则.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解： (5-6i)&加、减运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义课件ppt
出向量, 对应的复数,通过平面向量的数量积求出向量, 的夹角的
正弦值,进而求出△AOB 的面积.
解 (1)因为四边形 ABCD 是平行四边形,
所以 = + ,于是 = − ,
而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,即对应的复数是-2+2i.
(2)因为 = − ,而(3+2i)-(-2+2i)=5,
微练习
(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,则z1+z2=
(2)(5-5i)-3i=
.
答案 (1)1+2i (2)5-8i
解析(1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i.
(2)(5-5i)-3i=5-8i.
.
知识点二、复数加法的几何意义
设1 , 2 分别与复数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应,则1 =(a,b),2 =(c,d).
这说明两个向量1 与2 的差就是与复数(a-c)+(b-d)i 对应的向量.因此,复
数的减法可以按照向量的减法来进行,这就是复数减法的几何意义.
微练习
若在复平面上的平行四边形 ABCD 中, 对应的复数为 6+8i,对应的复数
为-4+6i,则对应的复数是
.
答案 -1-7i
解析由复数加法、减法的几何意义可得 =
因此 cos∠AOB=- 17 ,故 sin∠AOB= 17 ,
1
1
17 5 4 17 5
5
故 S△AOB=2 ||||sin∠AOB=2 × 2 × 2 × 17 = 2,即△AOB 面积为2.
正弦值,进而求出△AOB 的面积.
解 (1)因为四边形 ABCD 是平行四边形,
所以 = + ,于是 = − ,
而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,即对应的复数是-2+2i.
(2)因为 = − ,而(3+2i)-(-2+2i)=5,
微练习
(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,则z1+z2=
(2)(5-5i)-3i=
.
答案 (1)1+2i (2)5-8i
解析(1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i.
(2)(5-5i)-3i=5-8i.
.
知识点二、复数加法的几何意义
设1 , 2 分别与复数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应,则1 =(a,b),2 =(c,d).
这说明两个向量1 与2 的差就是与复数(a-c)+(b-d)i 对应的向量.因此,复
数的减法可以按照向量的减法来进行,这就是复数减法的几何意义.
微练习
若在复平面上的平行四边形 ABCD 中, 对应的复数为 6+8i,对应的复数
为-4+6i,则对应的复数是
.
答案 -1-7i
解析由复数加法、减法的几何意义可得 =
因此 cos∠AOB=- 17 ,故 sin∠AOB= 17 ,
1
1
17 5 4 17 5
5
故 S△AOB=2 ||||sin∠AOB=2 × 2 × 2 × 17 = 2,即△AOB 面积为2.
复数的几何意义课件
这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 ，x轴叫做 实轴 ， y轴叫做 虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复 数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi
因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与
零向量对应)，即复数z＝a＋bi
平面向量
→ OZ
，这是复数的
另一种几何意义.
思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？
答案 不是.
(2)象限内的点与复数有何对应关系？
பைடு நூலகம்
答案 第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.
知识点二 复数的模 1.如图所示，向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a
＋bi|.如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一个实数 a，它的模等于|a|(就是 a 的绝 对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|zn1|＝|z1|n(n∈N*). (3)|z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线.
2022-2023学年人教A版必修第二册 7-1-2 复数的几何意义 课件(31张)
(2)位于虚轴上;
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
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02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
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目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。
复数的几何意义 课件
所以B→A＝(5，－5)，所以向量B→A对应的复数是 5－5i.
答案：D
归纳升华 解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标， 再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所 表示的复数．
类型 3 复数的模(互动探究) [典例❸] (1)已知复数 z 满足 z＋|z|＝2＋8i，求复数
z. (2)已知复数 z＝3＋ai(a 为实数)，且|z|<4，求 a 的取
类型 1 复数与复平面上的点(自主研析)
[典例 1] (1)复数 z＝cos 23π＋isin π3在复平面内对应
的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)已知复数 z＝x＋1＋(y－1)i 在复平面内的对应点
位于第二象限，则点(x，y)所表示的平面区域是( )
A
B
C
D
(3)在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别
值范围．
解：(1)法一 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2，
代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i，
所
以a＋ a2＋b2＝2，解 b＝8，
得ab＝＝－8，15，
所以
z＝－
15＋8i.
法二 原式可化为 z＝2－|z|＋8i. 所以|z|＝ （2－|z|）2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2， 所以|z|＝17. 代入 z＝2－|z|＋8i，得 z＝－15＋8i. (2)因为 z＝3＋ai(a∈R)， 所以|z|＝ 32＋a2， 由已知得 32＋a2<42， 所以 a2<7，所以 a∈(－ 7， 7)．
归纳升华 (1)复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的 距离． (2)计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部， 然后利用模的计算公式进行计算．复数的模是一个非负实 数，可以比较大小． (3)利用复数模的几何意义解题，体现了数形结合的 思想方法．
复数的几何意义课件
复数的几何意义课件
本课件将带您深入了解复数的几何意义，包括乘以i的概念、复数的图形表示、 复平面上的实轴和虚轴、以及复数的实部和虚部的识别。
图形表示
复数平面
探索虚数和实数之间的关系，以及它们在复数平面 上的图形表示。
实轴和虚轴
了解复平面中的实轴和虚轴以及它们的作用。
复数的图形表示
通过图形，直观地了解复数的构成和特点。
3 利用DeMoivre定理计算根
通过DeMoivre定理，计算复数的根。
4 应用举例
通过实际例子，展示DeMoivre定理在实际问 题中的应用价值。
复数在数学和物理中的重要性
复数在数学中的应用
介绍复数在数学中的重要应 用，如在代数、几何和计算 机图形学中的应用。
复数在物理中的应用
探索复数在物理学中的应用， 如电路分析、波动现象以及 量子力学中的应用。
复数的历史和发展
介绍复数的起源和发展历程， 以及与著名数学家的相关故 事。
学习如何将复数从极坐标形式转换为直角坐标 形式。
复数的运算
1
复数的加法
使用向量相加的方法进行复数的加法运
复数的减法
2
算。
使用向量相减的方法进行复数的减法运
算。
3
复数的乘法
使用模和辐角进行复数的乘法运算。
复数的除法
4
使用模和辐角进行复数的除法运算。
解解二次方程的方法，包括使用二次公 式。
复数的表示
不同复数表示方法的优缺点对比，包括直角坐标形 式和极坐标形式。
复数的模和幅角
模的概念
学习如何计算复数的模，并理解模与原点的距 离之间的关系。
直角坐标形式转极坐标形式
学习如何将复数从直角坐标形式转换为极坐标 形式。
本课件将带您深入了解复数的几何意义，包括乘以i的概念、复数的图形表示、 复平面上的实轴和虚轴、以及复数的实部和虚部的识别。
图形表示
复数平面
探索虚数和实数之间的关系，以及它们在复数平面 上的图形表示。
实轴和虚轴
了解复平面中的实轴和虚轴以及它们的作用。
复数的图形表示
通过图形，直观地了解复数的构成和特点。
3 利用DeMoivre定理计算根
通过DeMoivre定理，计算复数的根。
4 应用举例
通过实际例子，展示DeMoivre定理在实际问 题中的应用价值。
复数在数学和物理中的重要性
复数在数学中的应用
介绍复数在数学中的重要应 用，如在代数、几何和计算 机图形学中的应用。
复数在物理中的应用
探索复数在物理学中的应用， 如电路分析、波动现象以及 量子力学中的应用。
复数的历史和发展
介绍复数的起源和发展历程， 以及与著名数学家的相关故 事。
学习如何将复数从极坐标形式转换为直角坐标 形式。
复数的运算
1
复数的加法
使用向量相加的方法进行复数的加法运
复数的减法
2
算。
使用向量相减的方法进行复数的减法运
算。
3
复数的乘法
使用模和辐角进行复数的乘法运算。
复数的除法
4
使用模和辐角进行复数的除法运算。
解解二次方程的方法，包括使用二次公 式。
复数的表示
不同复数表示方法的优缺点对比，包括直角坐标形 式和极坐标形式。
复数的模和幅角
模的概念
学习如何计算复数的模，并理解模与原点的距 离之间的关系。
直角坐标形式转极坐标形式
学习如何将复数从直角坐标形式转换为极坐标 形式。
2024版复数的几何意义课件公开课
复数运算在电路分析中的应用
利用复数运算可方便地分析交流电路中的电压、电流和功率等问题。例如，通过复数乘法可 计算电压和电流的相位差，通过复数除法可计算电路的阻抗等。
04
方程求解与根轨迹绘制
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，进 而求解。
复数的几何意义课件公开课
目录
• 复数基本概念与性质 • 复数在平面上的表示 • 几何意义探讨：旋转与伸缩变换 • 方程求解与根轨迹绘制 • 极坐标形式下复数几何意义 • 总结回顾与拓展延伸
01
复数基本概念与性质
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和，形如 $z = a + bi$，其中 $a, b$ 为实数， $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
周期性规律
当$n$增加时，复数的辐 角$ntheta$呈现周期性变 化，周期为$2pi$。
模长的幂次变化
复数的模长在幂运算中按 幂次变化。
几何意义在电路分析中应用
交流电路中的复数表示
在交流电路中，电压和电流可用复数表示，其中实部表示幅度，虚部表示相位。
阻抗的复数形式
电路中的阻抗可用复数表示，实部表示电阻，虚部表示电抗。
复数的模与辐角
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，辐角 $theta$ 是复数向量与正实轴之间的夹角，满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
复平面与复数的几何表示
复平面是一个二维平面，其中横轴表示实部，纵轴 表示虚部。复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应于点 $(a, b)$。
利用复数运算可方便地分析交流电路中的电压、电流和功率等问题。例如，通过复数乘法可 计算电压和电流的相位差，通过复数除法可计算电路的阻抗等。
04
方程求解与根轨迹绘制
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次 方程，可以使用求根公式 进行求解。
配方法
通过配方将一元二次方程 转化为完全平方形式，进 而求解。
复数的几何意义课件公开课
目录
• 复数基本概念与性质 • 复数在平面上的表示 • 几何意义探讨：旋转与伸缩变换 • 方程求解与根轨迹绘制 • 极坐标形式下复数几何意义 • 总结回顾与拓展延伸
01
复数基本概念与性质
复数定义及表示方法
复数定义
复数是实数和虚数的和，形如 $z = a + bi$，其中 $a, b$ 为实数， $i$ 为虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
周期性规律
当$n$增加时，复数的辐 角$ntheta$呈现周期性变 化，周期为$2pi$。
模长的幂次变化
复数的模长在幂运算中按 幂次变化。
几何意义在电路分析中应用
交流电路中的复数表示
在交流电路中，电压和电流可用复数表示，其中实部表示幅度，虚部表示相位。
阻抗的复数形式
电路中的阻抗可用复数表示，实部表示电阻，虚部表示电抗。
复数的模与辐角
复数的模定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$，辐角 $theta$ 是复数向量与正实轴之间的夹角，满足 $tan theta = frac{b}{a}$。
复平面与复数的几何表示
复平面是一个二维平面，其中横轴表示实部，纵轴 表示虚部。复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应于点 $(a, b)$。
复数的几何意义ppt课件(公开课)
阻抗
在交流电路中，电阻、电 感和电容的阻抗可用复数 表示，实部表示电阻，虚 部表示电感和电容。
频域分析
通过傅里叶变换将时域信 号转换为频域信号，频域 信号可用复数表示。
振动与波动的复数描述
简谐振动
简谐振动的位移、速度和加速度可用复数表示，方便进行振幅、 频率和相位的计算。
波的叠加
多个波叠加时，可用复数表示各波的振幅和相位，便于计算合成 波的振幅和相位。
复数的运算与几何意
04
义
复数的加法与减法
01
02
03
加法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$。
减法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$。
复数的几何意义ppt课 件(公开课)
目录
• 引言 • 复数的表示方法 • 复数的几何解释 • 复数的运算与几何意义 • 复数在几何中的应用 • 复数在其他领域的应用
引言
01
复数的基本概念
01
02
03
04
定义
复数是形如 $a + bi$ 的数， 其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
实部和虚部
在复数 $a + bi$ 中，$a$ 称 为实部，$b$ 称为虚部。
共轭复数
若 $z = a + bi$，则其共轭复 数为 $a - bi$。
模
高中数学必修二课件：复数的几何意义
【解析】 |z|＝ （1＋cos α）2＋sin2α＝ 2＋2cos α， ∵π<α<2π，∴－1<cos α<1. ∴0<2＋2cos α<4，∴|z|∈(0，2)．
探究3 (1)求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，只需代入定义式|z|＝ a2＋b2 即 可，注意复数的模往往和其他章节的内容相联系．
【讲评】 点P(x，y)关于x轴对称点为(x，－y)． 点P(x，y)关于y轴对称点为(－x，y)． 点P(x，y)关于原点对称点为(－x，－y)． 点P(x，y)关于y＝x对称点为(y，x)． 点P(x，y)关于y＝－x对称点为(－y，－x)．
探究2 复数与平面向量的对应关系 (1)当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复 数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数 对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一 一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
B．2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
【解析】 ∵O→A＝－1－2i，∴A(－1，－2)． ∴B(－1，2)，∴O→B＝－1＋2i.故选D.
题型三 复数的模 例3 (1)已知复数－z 的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是___±__3___．
【解析】 ∵ －z 的实部为1，∴z的实部为1，又|z|＝2，∴可设z＝1＋bi(b∈ R)．则b2＝3，b＝± 3，即复数z的虚部是± 3.
1．如何理解复数与复平面内的点的一一对应关系？
答：(1)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复平面 内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
(2)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0， b)(b≠0)都表示纯虚数．
探究3 (1)求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，只需代入定义式|z|＝ a2＋b2 即 可，注意复数的模往往和其他章节的内容相联系．
【讲评】 点P(x，y)关于x轴对称点为(x，－y)． 点P(x，y)关于y轴对称点为(－x，y)． 点P(x，y)关于原点对称点为(－x，－y)． 点P(x，y)关于y＝x对称点为(y，x)． 点P(x，y)关于y＝－x对称点为(－y，－x)．
探究2 复数与平面向量的对应关系 (1)当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复 数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数 对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一 一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
B．2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
【解析】 ∵O→A＝－1－2i，∴A(－1，－2)． ∴B(－1，2)，∴O→B＝－1＋2i.故选D.
题型三 复数的模 例3 (1)已知复数－z 的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是___±__3___．
【解析】 ∵ －z 的实部为1，∴z的实部为1，又|z|＝2，∴可设z＝1＋bi(b∈ R)．则b2＝3，b＝± 3，即复数z的虚部是± 3.
1．如何理解复数与复平面内的点的一一对应关系？
答：(1)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)．也就是说，复平面 内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.
(2)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0， b)(b≠0)都表示纯虚数．
人教A版(2019)必修第二册 7-1-2复数的几何意义 课件(18张)
2
1
解 因为 z1＝6＋8i，z2＝－ － 2i，
2
所以|z1|＝ 62＋82＝10，
|z2|＝
1
－ 2＋－
2
3
2 ＝2。
2
3
因为 10>2，所以|z1|>|z2|。
思考
1.满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
数形结合思想
例2. ①满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？
②满足2<|z|<3(z∈C)的z值有几个？
a 2 b2
模的几何意义：复数z＝a＋bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
如果b=0，那么z=a+bi是一个实数，它的模就等于|a|.
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
y
b
O
Z:a＋bi
Z(a,b
)
a
x
牛刀小试
1
求复数 z1＝6＋8i 与 z2＝－ － 2i 的模，并比较它们的模的大小。
复数集中的数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应关系.
1. 复平面定义
y
如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数 = + 可
用点(, )表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平
b
Z:a＋bi
Z(a,b)
虚轴
面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
O
a
x
实
轴
例如，复平面内的原点(0,0)表示实数0，实轴上的点(2,0)表示实数2，
2
二、思想方法
1.数形结合思想
2.类比思想
3.转化思想
2
THANKS
虚轴上的点(0, −1)表示纯虚数−，点(−2,3)表示复数−2 + 3等.
1
解 因为 z1＝6＋8i，z2＝－ － 2i，
2
所以|z1|＝ 62＋82＝10，
|z2|＝
1
－ 2＋－
2
3
2 ＝2。
2
3
因为 10>2，所以|z1|>|z2|。
思考
1.满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？
数形结合思想
例2. ①满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？
②满足2<|z|<3(z∈C)的z值有几个？
a 2 b2
模的几何意义：复数z＝a＋bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.
如果b=0，那么z=a+bi是一个实数，它的模就等于|a|.
复数的模其实是实数绝对值概念的推广
y
b
O
Z:a＋bi
Z(a,b
)
a
x
牛刀小试
1
求复数 z1＝6＋8i 与 z2＝－ － 2i 的模，并比较它们的模的大小。
复数集中的数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应关系.
1. 复平面定义
y
如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数 = + 可
用点(, )表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平
b
Z:a＋bi
Z(a,b)
虚轴
面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.
O
a
x
实
轴
例如，复平面内的原点(0,0)表示实数0，实轴上的点(2,0)表示实数2，
2
二、思想方法
1.数形结合思想
2.类比思想
3.转化思想
2
THANKS
虚轴上的点(0, −1)表示纯虚数−，点(−2,3)表示复数−2 + 3等.
复数的几何意义用
3.3 复数的几何意义
精选课件ppt
1
实数的几何意义
想 一
在几何上， 我们用什么
想 来表示实数?
？
实数
(数)
实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应
数轴上的点 (形)
类比实数的表 示，在几何上 可以用什么来
表示复数？
精选课件ppt
2
回 忆
复数的 一般形
式？
…
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
(C)关于原点对称 (D)关于直线y=x对称
精选课件ppt
6
例2:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平 面内所对应的点位于第二象限，求实数m的 取值范围。
解：由 m m22m m2600 得m32或 mm21
m ( 3 , 2 ) (1 ,2 )
一种重要的数学思想：数形结合思想
y 5
的点在复平面上将构成怎样的
图形？
设z=x+yi(x,y∈R)
–5
精选课件ppt
一个复数 由什么确
定？
3
复数的几何意义（一）
一一对应 有序实数对(a,b) 一一对应
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数） z=a+bi
Z(a,b)
y
（形）
建立了平面直角
b 坐标系来表示复数的
平面 ------复数平面
a
ox
(简称复平面)
x轴------实轴
y轴------虚轴
精选课件ppt
8
复数的几何意义（二）
复数的几何形
式
精选课件ppt
1
实数的几何意义
想 一
在几何上， 我们用什么
想 来表示实数?
？
实数
(数)
实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应
数轴上的点 (形)
类比实数的表 示，在几何上 可以用什么来
表示复数？
精选课件ppt
2
回 忆
复数的 一般形
式？
…
Z=a+bi(a, b∈R)
实部!
虚部!
(C)关于原点对称 (D)关于直线y=x对称
精选课件ppt
6
例2:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平 面内所对应的点位于第二象限，求实数m的 取值范围。
解：由 m m22m m2600 得m32或 mm21
m ( 3 , 2 ) (1 ,2 )
一种重要的数学思想：数形结合思想
y 5
的点在复平面上将构成怎样的
图形？
设z=x+yi(x,y∈R)
–5
精选课件ppt
一个复数 由什么确
定？
3
复数的几何意义（一）
一一对应 有序实数对(a,b) 一一对应
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数） z=a+bi
Z(a,b)
y
（形）
建立了平面直角
b 坐标系来表示复数的
平面 ------复数平面
a
ox
(简称复平面)
x轴------实轴
y轴------虚轴
精选课件ppt
8
复数的几何意义（二）
复数的几何形
式
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义PPT课件(人教版)
(2)对角线C→A所表示的复数； (3)对角线O→B所表示的复数及O→B的长度. 解 (2)因为C→A＝O→A－O→C， 所以C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， 所以O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 所以|O→B|＝ 12＋62＝ 37.
【训练 2】 (1)已知复平面内的平面向量O→A，A→B表示的复数分别是－2＋i，3＋
2i，则|O→B|＝____1_0___.
(2)若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数 z2－z1 所对应的点在第四象限内，则实数 a 的 取值范围是__(_－__∞_，__1_)__. 解析 (1)∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10. (2)z2－z1＝1＋(a－1)i， 由题意知a－1<0，即a<1.
2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( B )
A.8i
B.6
C.6＋8i D.6－8i
解析 根据复数的加法法则得z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.
3.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( D )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
【 训 练 3 】 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) ， 1≤|z|≤2 ， 则 |z ＋ 1| 的 取 值 范 围 是 __[0_，__3_]__. 解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所 示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点 B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合 时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
复数的几何意义(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得.
3.一个向量不管怎么平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复
数可能改变.
3.已知复数 2 + − 2 + ( 2 − 3 + 2)( ∈ )是4 − 20的共轭复数，求的值.
2
解：由题意得，4 − 20的共轭复数为，则 2 + − 2 = 4，
或不等式(组)求解.
2.(1)向量1 对应的复数是5 − 4，向量2 对应的复数是−5 + 4，则1 + 2 对
应的复数是（ ）.
A.−10 + 8
B.10 − 8
C.0
D.10 + 8
答案：C.
(1)由复数的几何意义，得1 = (5, −4)，2 = (−5,4)，
数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
复数 = +
(, ).
这是复数的一种几何意义.
一一对应
复平面内的点
思考2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，
l
而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？
如图，设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点
即|| = | + | = 2 + 2 ，其中， ∈ .
如果 = 0，那么 = + 是一个实数，它的模就等于||(的绝对值).
例2 设复数z1＝4＋3i，z2＝4－3i.
(1) 在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；
(2) 求复数z1，z2的模，并比较它们的模大小.
答案：D.
(2)由复数的几何意义，得 = (2, −3)， = (−3,2)，
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有序实数对(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
y 建立了平面直角坐标系来
z=a+bi 表示复数的平面——复平面
b
Z(a,b)
x轴——实轴
0
ax
这是复数的一种几何意义.
y轴——虚轴
实轴上的点都表示实 数；除原点外，虚轴 上的点都表示纯虚数。
例1、在复平面内表示下列复数 1）z1=3-2i 2)z2=-3+３iy 3)z3=i
实数 (数)
一一对应
数轴上的点 (形)
实数的几何模型:
01
x
注:规定了正方向，原点，单位长度的直线叫做数轴.
由复数相等的内涵可知,任何一个复数 z a bi(a,bR) ，都可以与一个有序数对 (a,b) 唯一确定。 因为有序数对(a,b) 与平面直角坐标系中的点一一对应，所以 复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应的关系.
5，求k的值
解：z k 2 9 5, k 2 16 k 4
感谢您的阅读！ 为了便于学习和使用，本文 档下载后内容可随意修改调 整及打印，欢迎下载！
解：m2 m m 0
2
0
,得m m2或 01m 1,
一种重要的数学思想：数形结合思想
二、复数的向量表示
z=a+bi Z(a,b)
a
y b
ox
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
一一对应
平面向量 OZ
三、复数的摸
向量 OZ 的模叫做复数z=a+bi的
模，记做 z 或 a bi
复数的几何意义
复数的几何意义
回顾
1. i2 1 ; 2.复数 z a bi(a, b R)
a ─ 实部
b ─ 虚部
3.复数相等 (a, b, c, d R)
a bi c di a c,b d 注:复数不能比较大小.
练习巩固: 1.已知 (1 2i)x (3 10i) y 5 6i 且 x, y R ,
Z2
4)z4=2
Z3
1 Z4
0
x
Z1
例2、写出复平面内点所对应的复数
y A
1
0
B
x
C
解:zA=1+2i zB=3-i zC=-4-3i
例3、已知z=（x+1）+（y-1）i 在复平面所对应的 点在第二象限，求x与y的取值范围
解：xy+-11><00
x 1
y
1
例4、已知复数z=(m2+m-2)-mi在复平面内 所对应的点位于第四象限，求实数m的取 值范围
则 x _2__, y _1___ ;
2.已知 x2 x 6 ( x2 5x 6)i 0 ( x R) ,
则 x __6_ .
3.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0， 求x的值.
x=2
思考：我们知道实数可以用数轴上的点来表示。
类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么？
z=a+bi
Z(a,b)
如何求复数
的模？？
a
y b
ox
z OZ a2 b2
复数的模的几何意义：
复数z=a+bi在复平面所对应的点Z（a，b）到原点 的距离
例4、已知复数z 1=3+2i，z2=-2+4i，比较这两
个复数模的大小
解： z1 13, z2 2 5 z1 z2
练习：已知复数 z k 3i, (k R) 的模为