基于Matlab小波工具箱的数字图像处理及小波分析

k k ,2/)]2

(t ψ

1+⊃j j V V

图2.2 Mallat重构示意图

三、常用小波函数介绍

在小波分析理论在数学和工程领域中一个很重要的问题就是小波基的选择，选择一个最优的小波基，可以使图像处理更加优化。在小波分析理论中有很多种的小波函数，下面介绍一些常用的小波基函数：

3.1 Haar小波

Haar小波是Haar于1990年提出的一种正交小波，它是小波理论分析发展过程中最早用到的的小波。Haar小波是由一组互相正交归一的函数集，即Haar函数衍生产生的，是具有紧支撑的正交小波函数，其定义如下[5]：

1012

()1121

t

t t

ψ

≤≤

⎧

⎪

=-≤≤

⎨

⎪

⎩其他

(3.1)

Haar小波是一个最简单的时域不连续的小波，它类似一个阶梯函数，由于它的紧支撑性和正交性，使得Haar小波的应用很普遍。图3-1所示为Haar波的函数图像。

图3-1 Haar小波函数图像

由于Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。

但也有自己的优点：

①计算简单；

②在2j

a=的多分辨率系统中Haar小波构成一组最简单的正交归一的小波族。因为()t

ψ不但与(2),()

j t j Z

ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交。

③()t

ψ的傅里叶变换是：2

4

()sin()2

j e j

a

ψ

Ω

Ω=-Ω

Ω

(3.2)

3.2Mexican hat(墨西哥草帽)小波

Mexican Hat 小波又被称Marr 小波。Marr 小波函数就是高斯函数的二阶导数，其表达式为：

2

22()(1)t t t e ψ-=- (3.3)

2

22()2e ωψωπω= (3.4)

因为它的形状像墨西哥帽的截面，所以也称为墨西哥帽函数。墨西哥帽函数在时间域与频率域都有很好的局部化，并且满足

0)(=⎰∞∞-dx x ψ (3.5)

由于它的尺度函数不存在，所以不具有正交性。

其波形如图3-2所示。Marr 小波的时域、频域都有很好的局部特性，但由于它的正交性尺度函数不存在，所以不具有正交性，主要用于信号处理和边缘检测。

图3-2 Mexicat 小波函数图像

3.3Morlet 小波

Morlet 小波是高斯下的单频率复正弦函数：

2

2()jwt t t e e ψ-=⋅ (3.5)

式中，j 表示虚数，ω常数。其波形如图3-3所示。虽然Morlet 小波有解析表达式，但其不具有正交性的同时也不存在紧支集。Morlet 小波的特点是能够提取信号中的幅值和相应信息，广泛应用于地球物理信号处理中。

图3-3 Morlet 小波函数图像

3.4Daubechies(dbN)小波

Daubechies 小波是法国学者Daubechies 所创造，Daubechies 小波的研究是基于对尺度取为2的整数幂条件下的小波变换。Daubechies 小波无明确的解析方程(除N ＝1外)，不具有对称性，可以由尺度函数求出。但{}k h 的传递函数的模的平方有显式表达式。假设∑-=+-=1

01)(N k k k N k y C y P ，其中，k N k C +-1为二项式的系数，则有

)2(sin )2(cos )(22

20ωωωP m N = (3.6)

其中 ∑-=-=120021)(N k ik k e h m ωω Daubechies 小波是紧支集正交小波，它的出现使离散小波分析成为可能。

Daubechies 系列的小波简写为dbN ，其中N 表示阶数，图3-4所示为db2小波的形状。

(a)db2小波函数 （b ）db2的尺度函数

图3-4 db2的小波函数和尺度函数

3.5 Meyer小波

Meyer小波的小波函数ψ（x）是在频域中进行定义的，Meyer小波是具有紧支撑的正交小波。

122

122

324

(2)sin((||1)),[,]

2233

348

()(2)cos((||1)),[,]

2233

28

0,||[,]

33

j

j

e v x x

x e v x x

x

ω

ω

πππ

π

π

πππ

ψπ

π

ππ

-

∧

-

⎧

-∈

⎪

⎪

⎪

=-∈

⎨

⎪

⎪

∉

⎪

⎩

(3.7)

其中()

v为构造Meyer小波的辅助函数，其函数图像如图3-5所示。

(a) Meyer小波函数（b）Meyer尺度函数

图3-5 Meyer小波函数和尺度函数

四、小波分析在图像处理中的应用

4.1 基于小波分析的图像压缩

二维小波分析用于图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持图像的特征基本不变，且在传递过程中可以抗干扰。小波分析用于图像压缩具有明显的优点[6]。

基于小波分析的图像压缩方法很多，比较成功的有小波包、小波变换零树压缩、小波变换矢量量化压缩等。

下面是一幅图像信号(即二维信号)，利用二维小波分析对图像进行压缩。一幅图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是