湘大08级数理统计试卷及答案

08级数理统计试卷及答案

1.设随机变量X 服从区间（a,b ）(a>0)上的均匀分布，随机变量Y 服从参数为λ的指数分布，且X 、Y 相互独立。试求：

（1）（X 、Y ）的联合密度函数；/*同05级第一题（1），07级第一题*/ （2）P(Y

解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,0,1)(b x a a b x f ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=other y b x a a

b y f ,00,,λe 1)(λy - ，因为X,Y

相互独立，则联合密度函数为

⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==其他,00

,,λe 1

)()(),(λy - y b x a a

b y f x f y x f

/*课本p8*/

（2）

a)λ-(b 1a -b λe ),()(a λ

b λ0

-y λ---+

===⎰⎰⎰⎰

e e dy dx dxdy y x

f X Y P x

b a D

/*课本p6*/

2.设随机变量X~B(n,p)，求X 的特征函数，并利用特征函数求E （X ）。（10分）

在概率论中，任何随机变量的特征函数(缩写：ch.f,复数形式：ch.f's)完全定义了它的概率分布。/*同07级第2题*/

解：特征函数

{}np

p p kC p x x E p n k p P C k x P k n k n

k k n n

k k k k n k

k n =-===-==-==-∑∑)1()(10,,...,1,0,)1(0

/*课本p12*/

3.设总体X~N(0,σ2

)，

n 21,...,,X X X 是来自总体X 的一个样本，试证明∑==n

i X T 1

i 2

是σ2的充分完备统计量。（10分）/*同07级第三题类型，同09级第2题类型*/

证明：样本

n x x x ,...,,21的联合分布密度为

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∑∑∏===n

i i n n

i i n

n

x x 1222212

21i 2

i σ

21

exp )πσ2(1σ

21

exp )σπ2(1)σ,f(x

令

,),...,,(,)

πσ2(1)σ(1

2212

22

∑===

n

i i n n

x x x x T c 1),...,,(,σ21

)σ(2122=-

=n x x x h b

∑==∴n

i i x T 1

2

是

2

σ的充分完备统计量。

其中θ（2

θ0<

<）为未知数，；利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求（1）θ的矩法估计。（2）θ的极大似然估计值。（12分）

/*同课本p69第六题，第一问同04级第二题，第二问与04级第三题同类型，05级四，06级三同类型*/

解：(1)参看04级第二题 （2）似然函数为

[]2

422624()(12)2(1)4(1)(12)L θθθθθθθθθ=-⋅-⋅⋅=--

两边取自然对数，得：

ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12)L θθθθ=++-+-

两边对θ求导，并令导数等于0得：

02θθ

-θ)(1-θ(1)

3θ14θ12(2θ218θ12θ6θ)θ(ln 2=+-=----=d L d

解上述方程，得：121 0)2θθθ=<< 舍去，

所以θ的极大似然估计1213

-7θ∧

1=

注：求根公式a ac

b b 242-±-

5.某冶金实验室对锰的熔化点作了四次实验，结果分别为：1269 ℃,1271 ℃,1263 ℃,1265 ℃；设数据服从正态分布N(2

σμ,)，以α=5%的水平做如下检验：

（1）这些结果是否符合与公布的数字1260 ℃？ /*课本p75*/ （2）测定值的标准差是否不超过2 ℃？（12分）

解：（1）以x 表示锰的熔化点，则)σμ,(~2N x ，按题意需检验假设

1260μ:1260μ:10≠⇔=H H ，由于2σ未知，采用T 检验,

18.3)3(84.34

/65.31260

1267n S/μ65.3])12671265()12671263()12671271()12671269[(1

41

)(11126741265126312711269025.0022222

41==-=-=

=-+-+-+--=--==+++=∑=t x T x x n S x i i ，， 即

)3(＞t 0.025T ，所以应拒绝0H ，即认为这些结果不符合于公布的数值1260℃。

（2）与06级第五题同类型

＞2,σ:2≤σ:10H H ↔由μ未知，采用2χ检验。

82.7)3(χ102340

×

)14(σ)1(χ20.052

22

2==-=-=，s n ，即）（3χ＞χ20.052

所以应该拒绝

H ，即认为测定值的标准差超过2℃。

6.对于多元线性回归模型

ε

β+=X Y ，其中)σ,0(N ~ε2

n n I ，试分别求参数向量β及

2σ的估计，并利用离差平方和和分解法给出模型的显著性检验。（12分）

/*p97 多元线性模型的参数估计，p98 多元线性模型的假设检验 p99*/ 注：不考

7.设有两个一维正态总体1G 和2G ，其中),σ,μ(~),σ,μ(~2

2222111N G N G 若2

2221σσσ==已知，试利用距离判别给出线性判别函数。（10分）

/*P138-p139,与07级第8题同类型，与09年第7题同类型*/

解：由

1G 和2G 都为一维正态分布，且2

2221σσσ==，知它们的协方差矩阵相等，即∑∑∑===1

2

2

σ

，所以样品X 到2G 的距离平方与到1G 的距离平方之差为

∑--+-

=-1

21211222)μμ()2

μμ(2),(),(X G X D G X D 即其线性判别函数∑---=1

21)μμ()μ()(X X W ，其中

2μμμ2

1+=，并且

当X ＞0,)(X W 到2G 的距离大于

X 到1G 的距离，即),(＞),(1222G X D G X D ，则

1G ∈X ；当X ＜0,)(X W 到2G 的距离小于X 到1G 的距离，即),(＜),(1222G X D G X D ，

则2G ∈X ；当X 0,)(=X W 到2G 的距离大于X 到1G 的距离，即

),(＞),(12

22G X D G X D ，