东南大学研究生工程矩阵往年试题分析

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10-11-2工程矩阵理论期末正式卷

10-11-2工程矩阵理论期末正式卷

共 2 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷 课程名称 工程矩阵理论 考试时间 10-11-2 得分 适用专业 工科研究生 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟 一. (40%)计算题 1. (8%)假设22C ⨯的子空间1|,x x V x y C y y ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,2|,x y V x y C x y ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭。

分别求12V V ⋂,12V V +的一组基。

2. (8%)设3R 的子空间{}3(,,)|0V x y z R x y z =∈--=,(1,0,0)η=。

求0V η∈使得0min V ξηηξη∈-=-。

3. (5%)设A 是n 阶酉矩阵,分别求F A 和2A 。

4. (8%)设矩阵102001b c A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1000312B y x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

问:当参数,,,,a b c x y 满足什么条件时,矩阵A 与B 相似? 5. (5%)设矩阵120120003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求A +。

6. (6%)设n 阶方阵A 满足22A A E -=,且A I +的秩为r ,求行列式2A I +。

二. (20%)在线性空间22C ⨯上定义线性变换f 如下:对任意矩阵a b X c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()22a b a b f X c d c d --⎛⎫= ⎪++⎝⎭。

1. (4%)求f 在22C ⨯的基11122122,,,E E E E 下的矩阵;2. (6%)分别求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的一组基;3. (6%)求f 的特征值及各个特征子空间的基;4. (4%)求f 的最小多项式。

共 2 页 第 2 页 三. (8%)设ω是n 维欧氏空间V 中的单位向量,V 上的线性变换f 定义如下:对任意V η∈,(),f a b ηηηωω=+<>。

问:当参数,a b 取什么值的时候,f 是V 上的正交变换?四. (12%)已知矩阵A 的特征多项式是23(1)λλ-,并且()()3r A r A I =-=,求A的最小多项式,并求一次数不超过2的多项式()f λ,使得()At Aef A =。

东南大学工程结构抗震分析往年真题及答案2

东南大学工程结构抗震分析往年真题及答案2

1、试分析剪力墙结构、框架—核心筒结构抗震多道设防的实现途径。

(10分)剪力墙主要表现为连梁和墙肢底层的破坏,连梁由于剪跨比小,梁腹易产生斜裂缝,若其抗剪强度不足,可能产生剪切破坏,连梁一旦破坏,墙肢间失去联系,承载力降低,墙肢底层在竖向荷载和水平荷载下处于剪压受力状态,墙肢剪跨比大,发生弯曲破坏及剪切破坏,墙肢剪跨比小,发生剪切破坏。

剪力墙作为联肢抗震墙,连系梁先屈服,然后墙肢弯曲破坏丧失承载力,当连系梁钢筋屈服并具有延性时,它既可以吸收大量地震能量,又能继续传递弯矩和剪力,对墙肢有一定的约束作用,使抗震墙保持足够的刚度和承载力,延性较好。

如果连系梁出现剪切破坏,按照抗震结构多道设防的原则,只要保证墙肢安全,整个结构就不至于发生严重破坏或倒塌。

框架—核心筒结构是双重结构体系,是由框架和核心筒两个系统组成的,核心筒作为第一道防线,框架作为第二道防线。

在结构中,核心筒在各个方向上都具有较大的抗侧刚度,因此成为结构中的主要抗侧力构件。

在小震作用下,结构整体处于弹性状态,此时核心筒承受绝大部分地震剪力,一般可达总剪力的85 %以上,其刚度大小对结构小震作用下的侧移起控制作用; 在中震及大震作用下,筒体开裂,并且先于框架屈服, 其抗侧刚度降低,所承担的剪力比例有所减小。

而核心筒外围的框架主要承受竖向荷载,并按刚度分配分担相应的剪力,在中震和大震作用下,随着核心筒刚度的降低,框架承担的剪力也相应有所增加。

因此,外框架应具有足够的承载力,以充分发挥框架—核心筒结构的多道抗震防线作用。

框架—核心筒结构具有三道抗震防线:连梁、墙肢或子筒、外框架。

框架—核心筒结构中的各构件设防要求可表述如下:1) 小震作用下,连梁、墙肢或各子筒、外框架均处于弹性状态。

2) 中震作用下,连梁进入塑性,各子筒基本处于弹性状态,外框架也基本保持弹性状态。

震后修复主要集中于耗能连梁。

3) 大震作用下,连梁屈服程度较大,但具有足够的塑性变形能力;各子筒部分进入塑性,但塑性发展程度不大;外框架结构基本保持弹性,少量进入塑性状态。

2013南理工硕士矩阵分析与计算试卷解答及评分标准

2013南理工硕士矩阵分析与计算试卷解答及评分标准

一、(10分)设矩阵121021110A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,计算||A ||1,max{||Ax ||∞:||x ||∞=2}、cond 1(A )。

解: ||A ||1=5 (3分);max{||Ax ||∞:||x ||∞=2}=2 ||A ||∞=8 (6分)1110111212A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(8分)cond 1(A )= ||A ||1⋅||A -1||1=20 (10分) 二、(12分)已知矩阵308212205A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,试求A 不变因子、初等因子,并写出A 的Jordan 标准形。

解:不变因子d 1=d 2=1;d 3=(λ+1)3;……6分;初等因子为(λ+1)3 (9分)A 的Jordan 标准形为110011001A J -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(12分) 三、(8分)利用盖尔圆定理证明25822131114A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有三个互异实特征值。

解:取D =diag(2,1,1),则A 与B=D -1AD 特征值相同,而B 的三个行盖尔圆彼此孤立,故每个盖尔圆内有且仅有1个特征值,而B 是实矩阵,而各盖尔圆均关于实轴对称,因而其中特征值均是实的。

……………8分四、(10分)用LU 分解求解方程组 102311001111x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解:系数矩阵A 的LU 分解如下102100102110110012111111001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (5 分)求解得到(1,1,1)T x =- (10分)五、(10)利用幂法计算矩阵210131114A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦按模最大的特征值及特征向量的近似值:设初始向量v 0=[1 1 1]T ,迭代2次,保留4位小数。

解: λmax ≈5.3333, 特征向量[0.3438 0.7500 1.0000] ( 10分)六、(20分)已知1011202,11100A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,(1)求A 的满秩分解;(2)求A +;(3)用广义逆矩阵方法判断线性方程组Ax b =是否有解;(4)求Ax b =的极小范数解或极小范数最小二乘解,并指出所求的是哪种解.解:(1)101012001-111A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ (6分) (2)1251121015245A +⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(12分) (3) []0.6 1.20TA b b A +=≠,方程组无解; (16 分)(4)极小范数最小二乘解为[]011125T x A b +==- ( 20分) 七、(15分)对于如下线性方程组,201101011021x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (1)试证明其Jacobi 迭代收敛;(2)并用Jacobi 迭代法计算其近似解,设初始向量为x (0)=[0 0 0]T , 迭代四次,结果用分数或小数(保留到小数点后第四位)表示。

东南大学结构力学考研真题及答案11年2003~2013

东南大学结构力学考研真题及答案11年2003~2013
杆和一单铰连接。故体系几何不变。 b)图示括号内为单铰数。m=6,n=7,r=3,可知 W=1.故体系几何可变。 c)m=18,n=26,r=3,可知 W=-1. 进一步分析,各链杆形成二元体后,刚片Ⅰ、Ⅱ用两铰相连,故体系为几何不变,有一
个多余约束。 d)m=16,n=19,r=8,可知 W=2.故体系几何可变。
280 + 0.875 − 70 = 210.875kN ⋅ m
放松结点 2,等于在结点 2 加一与约束力矩反向的力偶荷载 −210.875kN ⋅ m ,21 端的
分配弯矩为
23 端的分配弯矩为
−210.875× 4 = −120.5kN ⋅ m 7
杆端 12 的传递弯矩为
−210.875× 3 = −90.375kN ⋅ m 7
-70 15.063 1.076 0.077 0.006
280 -140 -140
-60.25 30.125 30.125
-4.304 2.152 2.152
-0.308 0.154 0.154
-0.022 0.011 0.011
280
-70 -120.5
15.063 -8.607
-90.375 -6.456
2
4¥¦§¨©¢¢£EI ¥ !"#$%&¤
5,图示结构 A 支座处的弹簧刚度为 k,用位移法作图示结构在 A 支座下沉 c 和 50kN 水平影响下的弯矩图。(需写出计算过程)
6,用力矩分配法作图示结构的弯矩图。(需写出分析过程)
3
东南大学
2004 年研究生入学考试结构力学试卷
一, 分析图示结构的几何稳定性(须写出分析过程)(20 分)
二,作图示结构的弯矩图(无须写出分析过程)

东南大学工程结构抗震分析往年真题及答案3(精)

东南大学工程结构抗震分析往年真题及答案3(精)

1、反应谱法、时程分析法和静力弹塑性分析法的优点和不足之处?2、地震动三要素及其对结构地震反应的影响?3、反应谱形状特征及其影响因素。

4、为什么可以采用等效侧向力方法计算水平地震作用效应?5、规范反应谱是如何考虑地震动频谱和幅值特性的影响?6、抗震规范GB50011-2001和GB50011-2010在地震影响系数曲线的规定有何不同?7、振型分解反应谱理论的基本假定?8、里兹向量法计算结构动力特性的有什么优点?9、写出振型分解反应谱法的振型组合公式,为什么不能对地震作用进行组合?10、实际工程分析时,如何合理选择振型数量?11、写出线性加速度法的三组基本方程式?12、讨论线性加速度法、Wilson-θ法、Newmark-β法的数值稳定性?13、时程分析法中地震波选取的注意要点?14、时程分析法中时间步长的选择原则。

15、写出振型叠加时程分析法和振型分解反应谱法计算地震反应的异同?16、什么是瑞利阻尼矩阵,用于时程分析法时的注意点?17、什么是比例阻尼体系和非比例阻尼体系?18、滞回曲线的定义、种类和作用?19、什么是骨架曲线,其特征参数有哪些?20、试绘出双线型恢复力模型,并描述其主要特点?21、试绘出三线型恢复力模型,并描述其主要特点?22、时程分析法中结构振动模型分为那几类?23、时程分析法中对于恢复力模型的拐点如何处理?24、基于性态的抗震设计理论相比传统抗震设计理论的优越性?25、什么是结构抗震性态目标矩阵?Pushover分析方法的基本假定?26、Pushover分析方法中水平加载模式有哪些?Pushover分析方法的一般步骤?试表述Pushover分析方法得到的结构荷载-位移曲线及其作用?所有答案在书上几乎都能找到,以下几点为书上不好找在课件中找到的答案,仅供参考。

1抗震规范GB50011-2001和GB50011-2010在地震影响系数曲线的规定有何不同?第5.1.5条保持2001规范地震影响系数曲线的计算表达式不变,只对其参数进行调整,达到以下效果:①阻尼比为5%的地震影响系数维持不变,对于钢筋混凝土结构的抗震设计,基本维持2001规范的水平。

东南大学工程矩阵理论试题及答案

东南大学工程矩阵理论试题及答案

0 el2
ö ÷ø
,
|eA|
=
|P-1eAP|
=
el1el2
=
e l1 +l2
=
etrA
=
e3.
5. 若a是 n 维单位列向量, A = I + kaaH 是正定的, 则参数 k 满足条件
.
解: 将a扩充成 £n 的一组标准正交基: a, a2, ..., an, 并且令 Q = (a, a2, ..., an),
0ö æ1 1÷ø çè1
2 2
ö ÷ø
=
æ çè
0 1
0 2
ö ÷ø
=
0E11
+
0E12
+
1E21
+
2E22,
æ1 1 0 0ö
由此可见
f

£2´2
的基
E11,
E12,
E21,
E22
下的矩阵
A
=
ç ç ç
2 0
2 0
0 1

1
÷ ÷
.
è0 0 2 2ø
张小向@seu
2
◆ 工程矩阵理论 ◆ 试题一 ◆ 答案仅供参考 ◆
3. 求 f 的特征值及相应的特征子空间的基.
l - 1 -1 0 0
解: |lI - A| =
-2 0
l-2 0 0 l -1
0 -1
= l2(l-3)2. 故 f 的特征值为l1 = l2 = 0, l3 = l4 = 3.
0 0 -2 l - 2
(0I - A)x = 0 的一个基础解系为x1 = (-1, 1, 0, 0)T, x2 = (0, 0, -1, 1)T. 由此可得对应于特征值l1 = l2 = 0 的特征子空间的一组基: -E11 + E12, -E21 + E22. (3I - A)x = 0 的一个基础解系为x3 = (1, 2, 0, 0)T, x4 = (0, 0, 1, 2)T. 由此可得对应于特征值l3 = l4 = 3 的特征子空间的一组基: E11 + 2E12, E21 + 2E22.

东南大学《工程矩阵理论》工程矩阵理论期终考试(A)

东南大学《工程矩阵理论》工程矩阵理论期终考试(A)

12东南大学考试卷(A)Array课程名称工程矩阵理论考试学期08-09-2 得分
适用范围工科硕士研究生考试形式闭卷考试时间长度150分钟
1.地子空间地一组基是;
2.若线性空间地线性变换在基下地矩阵是,则在基下地矩阵是;
3.如果矩阵满足,并且地秩为,则行列式;
4.若矩阵,则矩阵函数地行列式;
5.若是维单位列向量,是正定地,则参数满足条件.
二.(12%)设矩阵.讨论地可能地Jordan标准形.并问:当参数满足什么条件时,矩阵与是相似地.
三.(20%)记,上地变换定义为:对,.
1.证明:是上地线性变换;
2.求在地基下地矩阵;
3.求地特征值及相应地特征子空间地基;
4.问:是否存在地基,使得在这组基下地矩阵是对角阵?如存在,试给出这样地一组基及相应地对角阵;如不存在,请说明理由.
四.(10%)设.试将表示成关于地次数不超过2地多项式.
五.(8%)求地广义逆矩阵.
六.(15%)假设是有限维欧氏空间,是单位向量,上地线性变换定义如下:对任意,.
1.证明:是上地正交变换.
2.在中定义内积:对,.于是,成为欧氏空间.分别求中向量及地长度,并求正实数及单
位向量,使得如上地正交变换将变成.
七.证明题(20%)
1.假设是矩阵,分别是、酉矩阵.证明:.
2.假设是正规矩阵.若地特征值地模都等于1,证明:是酉矩阵.
3.假设是Hermite矩阵,其中,是地子矩阵,并且都是方阵.若是正定地.证明关于行列
式地不等式:.。

东南大学【工程矩阵理论】试卷试题样卷(修改)(附答案)

东南大学【工程矩阵理论】试卷试题样卷(修改)(附答案)

工程矩阵理论试卷样卷10b一、已知22C⨯的子空间1,x x V x y C yy ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭,2,x y V x y C x y ⎧⎫-⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭,分别求121212,,,V V V V V V +的一组基及它们的维数。

解:1V 的基为:11000011,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2维。

2V 的基为:10011001,-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,2维。

设12V V η∈,比较12,V V ,则y x =-,x x x x η⎛⎫= ⎪--⎝⎭,所以基为1111η⎛⎫= ⎪--⎝⎭,1维。

12V V +为由12,V V 生成的空间,121100100100111001(,,,)V V L -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,其极大线性无关组为:110010001110,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即为12V V +的基,3维。

二、设22C⨯上的线性变换f 定义为:()tt f X t t ⎛⎫=⎪⎝⎭,22a b X C c d ⨯⎛⎫∀=∈ ⎪⎝⎭,其中,t 表示矩阵X 的迹()tr X a d =+。

1、求f 在V 的基11E ,12E ,21E ,22E 下的矩阵A ; 2、求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及它们的维数; 3、问:()()R f K f +是否为直和?为什么? 解:1、11221()()tr E tr E == 12120()()tr E tr E ==11221111()()f E f E ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 12210000()()f E f E ⎛⎫== ⎪⎝⎭11122122111221221001100110011001()()f E E E E E E E E ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,1001100110011001A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭2、f 的值域()R f :X 的基为11E ,12E ,21E ,22E ,故11122122()((),(),(),())R f L f E f E f E f E =故()R f 的基即为11122122(),(),(),()f E f E f E f E 的极大线性无关组:1111⎛⎫⎪⎝⎭,()R f 为1维。

研究生课程-《矩阵分析》试题及答案

研究生课程-《矩阵分析》试题及答案

第一套试题答案一(10分)、证明:(1)设11k x +22k x +33k x =0, ①用σ作用式①两端,有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②,有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端,有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④,有313233()()0k x λλλλ--=。

由于123,,λλλ互不相等,30x ≠,因此30k =,将其代入④,有20k =,利用①,有10k =。

故1x ,2x ,3x 是线性无关的。

(2)用反证法。

假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量,于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ,2x ,3x 线性无关,因此123λλλλ===,这与123,,λλλ互不相等矛盾。

所以,1x +2x +3x 不是σ的特征向量。

二(10分)、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为,不变因子分别为,于是的Smith 标准形为.三(10分)、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1),100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。

四(12分)、解:令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-,,,解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于,,已两两正交,将,,单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=,=,= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分,则五(10分)、解:(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系,,;又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里,; 显然(),0,iji j ξξ=≠当时;()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。

东南大学09-10-2工程矩阵理论学位考试(工程硕士)

东南大学09-10-2工程矩阵理论学位考试(工程硕士)

共 5 页 第 页东南大学考试试卷课程名称 工程矩阵理论 考试学期 09-10-2得分适用专业工程硕士考试形式闭卷考试时间长度 120分钟)已知22⨯C的子空间1|,a a V x y C b b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭, 2|,a b V x y C b a ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪--⎝⎭⎩⎭1V ,2V ,21V V ⋂,21V V +的一组基及它们的维数.(12%)在3R 的子空间{}(,,)|230W x y z x y z =-+=,(1,1,0)η=.求0W η∈,0min Wξηηηξ∈-=-.共 5 页 第 页四. (12%)已知矩阵101002101A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭.1. 求一个多项式()f λ,使得()Atf A Ae =;2. 求A 的广义逆矩阵+A .五. (12%)已知矩阵,A B 的F-范数和算子2-范数分别是2,F A a A b==,2,FBc B d==,分别求分块矩阵A O M OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭的F-范数和算子2-算子. 六. (12%)设矩阵102001b c A a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,1000312B y x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭三. (14%)记11122122121101,,001111A A A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.已知22⨯C 上的线性变换f 满足()ij ij f E A =(,1,2)i j =. 1. 求f 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵;2. 分别求f 的值域()R f 和核子空间()K f 的基和维数; 3. 求f 的特征多项式和最小多项式.共 5 页 第 页.根据参数,,,,a b c x y 讨论,A B 可能的Jordan 标准形,并问:参数满足什么条件时,矩阵A 与B 是相似的? 七. (10%)n 维欧氏空间V 上的线性变换f 定义如下:()(,)f x ax b x ωω=-,V x ∈∀。

矩阵理论历年试题汇总及答案

矩阵理论历年试题汇总及答案

矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支,它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。

历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。

以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。

矩阵的基本运算试题1:给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \),其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \),\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \),求 \( A + B \) 和 \( AB \)。

答案:首先计算矩阵的加法 \( A + B \),根据矩阵加法的定义,对应元素相加,得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。

接着计算矩阵乘法 \( AB \),根据矩阵乘法的定义,得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。

特征值和特征向量试题2:已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \),求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。

答案:首先求特征值,我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \),其中 \( I \) 是单位矩阵。

计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。

2012年前所有的东南大学工程矩阵考博试卷

2012年前所有的东南大学工程矩阵考博试卷
A
1. 2.
A
B
3
14%
0 1
8 6 5
A100-2A50
A
3
2 0
10%
n
A
A2=7I-6A
A+7I
r
det
A+2I
14%
f
n
V
,
V
(f ( ), )=( ,f ( ))
1. 2.
V V
f f
Hermite
26% 1. 2. A2 3. 4.
n
A A
A
1 A3=A2
A A2=A BA A Hermite a B A BA=A*A
⎛ −1 −2 6 ⎞ ⎜ ⎟ 四 (15 分)已知 A = ⎜ −1 0 3 ⎟ 。 ⎜ −1 −1 4 ⎟ ⎝ ⎠
1.求 sin At ; 2.计算 d sin At 。 dt
⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ 五 (10 分)求矩阵 A = ⎜ 0 0 1⎟ 的 QR 分解。 ⎜ 1 2 1⎟ ⎝ ⎠
六 (10 分) 设 T 是 n 维线性空间 V 上的线性变换, 证明: T (V ) ⊆ T −1 (0) 的充要条件是 T 2 = 0 。 七 (10 分) 设 ⋅ 是 C n×n 上的 F-范数。证明:若 A < 1 , E 为 n 阶单位 阵,则矩阵 E − A 可逆,且
1 1 ≤ ( E − A) −1 ≤ 。 1− A E−A
E21=
0 0 1 0
0 1 0 0
E22=
0 0 0 1
M 3. 4. 2 2
f
R
f f
K
K
f
C2 2= R
f
12%
a

东南大学工程矩阵往年试题

东南大学工程矩阵往年试题

第一章 1.(20%)已知22⨯C的子空间⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C y x y y x x V ,|1, ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=C y x y x y x V ,|2 分别求1V ,2V ,21V V ⋂,21V V +的一组基及它们的维数。

2.(18%)设22⨯C上的线性变换f 定义为:XM X f =)(, 22⨯∈∀C X其中,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2211M (1) 求f 在V 的基22211211,,,E E E E 下的矩阵A ;(2) 分别求f 的特征值及相应的特征子空间的一组基及它们的维数; (3) 给出f 的最小多项式;(4) 问:是否存在V 的基,使得f 的矩阵为对角阵?为什么?3.(20%)设22⨯C上的线性变换f 定义为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t t t t X f )(, 22⨯∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∀C d c b a X 其中,t 表示矩阵X 的迹d a X tr +=)(。

(1) 求f 在V 的基22211211,,,E E E E 下的矩阵A ;(2) 求f 的值域)(f R 及核子空间)(f K 的基及它们的维数; (3) 问:)(f R +)(f K 是否为直和?为什么?4.(20%)假设矩阵1100A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,在22C ⨯上定义映射f 如下:对任意22X C ⨯∈, ()f X AXA =(1) 证明:f 是22C ⨯上的线性变换;(2) 求f 在22C⨯的基11122122,,,E E E E 下的矩阵M ;(3) 求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的各一组基及它们的维数; (4) 问:22()()C R f K f ⨯=⊕是否成立?为什么?(5) 试求M 的Jordan 标准形,并写出f 的最小多项式; (6) 问:能否找到22⨯C 的基,使得f 的矩阵为对角阵?为什么?5. (16%)22C⨯上的线性变换f 定义如下:()a b c d f X c d a b --⎛⎫= ⎪--⎝⎭,22a b X C c d ⨯⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭ (1) 求f 在22C ⨯的基11122122,,,E E E E 下的矩阵;(2) 求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的各一组基及它们的维数;(3) 问:22()()C R f K f ⨯=⊕是否成立?为什么?6.(8%)设g f ,为线性空间V 上的线性变换,且f fg =. 试证:)()(g R f K V +=;7. 若n 阶方阵A 与G 满足:①. A A =2; ②. G GAG =; ③. )()(A R G R ⊆则G G =2(证明时请注明每一步的理由).第二章1.(10%)设3C 的子空间V ={}02|),,(=-+z y x z y x ,)1,1,1(=η。

工研试卷07-08-3

工研试卷07-08-3

东南大学工科硕士研究生学位课程考试(07-08学年春季)数值分析 (A 卷)考试形式:闭卷 考试时间长度:150分钟姓名 学号 得分1. 填空. (每题4分,共20分)(1) 设11(,)ln(), 1.35,0.650f x y x y x y =+==分别为,xy 的近似值,若11,x y 均为有 效数,则11(,)f x y 的相对误差限为(2) 求解线性方程组Ax b = 的迭代格式(1)(),0,1,k k x Bx f k +=+= 收敛的充分必要条件为 . 若A 为严格对角占优矩阵,则用Jacobi 格式求解该方程组时 (此处填:一定收敛/一定不收敛/不一定收敛 三者之一). (3) 已知矩阵132,.023A x -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2=Ax ,cond ()A ∞=(4) 设函数3()2 1.=-+f x x x 则()f x 以01231,0,1,2=-===x x x x 为插值节点的三次插值多项式为 ,相应的插值余项为(5)设函数300()[,]f x C x h x h ∈-+,,0h >则0001()()()22h h f x f x f x h ⎡⎤'-+--=⎢⎥⎣⎦2. 分析非线性方程3()10f x x x =--=实根的分布情况,并用迭代法求出该方程的全部实根,精确至3位有效数. (本题10分)3. 应用列主元Gauss 消去法求解下列线性方程组:123123123233352423x x x x x x x x x +-=-⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩ (本题10分)4. 设函数()cos .f x x = 以0x =为三重节点、2x π=为单重节点作()f x 的三次Hermite 插值多项式,并估计该插值多项式在[0,]2π上的误差. (本题12分)求参数,a b ,使01m ax ≤≤--xx e ax b 达到最小.(本题12分)5. 已知函数2()[,],()()d .∈=⎰b af x C a b I f f x x(1) 试写出求()I f 的一点高斯公式000()().I f A f x = (2) 试求出截断误差0()()I f I f -形如(1)()()m mf b a αη--的表达式.(3) 取,,0i b a h x a ih i n n-==+≤≤. 应用 (1) 中给出的单点公式构造复化求积公式,并给出该复化求积公式的误差表达式. (本题12分)6. 给定常微分方程初值问题 (,),,().y f x y a x b y a η'=<≤⎧⎨=⎩取,b a h n n-=为正整数,,0.i x a ih i n =+≤≤记0(),1;().i i y y x i n y y a ≈≤≤=(1) 求参数α,使求解上述初值问题的数值求解公式 []111(,)(1)(,)αα+--=++-i i i i i i y y h f x y f x y 局部截断误差阶达到最高,并求出相应的局部截断误差表达式.(2) 应用(1)中求得的公式与梯形公式构造预测-校正公式,指出该预测-校正公式是几步的. (本题12分)7. 对于定解问题 222,01,0(,0)(1),01(0,)(1,)0,0⎧∂∂∂=++<<>⎪∂∂∂⎪⎪⎨=-<<⎪⎪⎪==≥⎩u u uxt x t t x x u x x x x u t u t t取正整数,M N ,令11,,,,0,1,,,0,1,i k x ih h t k i M k MNττ====== ,(1) 给出求解该方程的一种显格式使其截断误差达到2()τ+O h ,给出截断误差表达式.(2) 取14τ==h ,应用(1)中给出的显式公式计算11(,)42u 的近似值。

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7.(12%)已知矩阵 A 的特征多项式 C A (λ ) 及最小多项式 m A (λ ) 相等,均等于 (λ − 1)λ ,矩
2
1 1 0 (1) 分别给出 A 和 B 的 Jordan 标准形; (2) 问: A 与 B 是否相似?为什么? 1 1 0 8.(16%)设矩阵 A = 0 0 0 。 1 −1 0 (1) 试分别求 A 的特征多项式和最小多项式; (2) 写出 A 的 Jordan 标准型;
1
2×2 (3) 问: C = R ( f ) ⊕ K ( f ) 是否成立?为什么?
6.(8%)设 f , g 为线性空间 V 上的线性变换,且 fg = f . 7. 若 n 阶方阵 A 与 G 满足:①. A 2 = A ; ②. 则 G = G (证明时请注明每一步的理由).
2
试证: V = K ( f ) + R( g ) ;
(1) 根据 x 的不同的值,讨论矩阵 A 的所有可能的 Jordan 标准形; (2) 若 A 与 B 是相似的,问:参数 x, y, t 应满足什么条件?试说明你的理由。
3 2 2 4. 假设矩阵 A 的特征多项式及最小多项式都等于 (λ − 3)(λ + 4) ,并且 = B 0 −4 5 。 0 0 −4 (1) 分别给出 A 和 B 的 Jordan 标准形; (2) 问: A 与 B 是否相似?为什么?

1
−1
f ( x) g ( x)dx 。 R3 [ x] 的子空间 W = span{1, x 2 } 。
试求 p ( x) ∈ R3 [ x] ,使得 p ( x) − x = min h( x) − x 。
h ( x )∈W
3. ( 10% ) 假 设 = ξ1 (1,1, 0),= ξ 2 (1, 0, −1) , R 的 由 ξ1 , ξ 2 生 成 的 子 空 间 V = L(ξ1 , ξ 2 ) ,
2
5. 证明:若方阵 B 的特征值全为零,则必存在正整数 k ,使 B
k
=O 。
3 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 6. 已知矩阵 A = 0 0 0 3 0 0 0 。 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 3 (1) 试写出矩阵 A 的特征多项式,最小多项式,及矩阵 A − 3I 的秩; (2) 如果矩阵 B 与 A 有相同的特征多项式, 有相同最小多项式, 并且 B − 3I 与 A − 3I 的秩也相同, 问:与 A 是否一定相似?说明你的理由。
n H
iA
6. 假设 A 是 n × n 酉矩阵, B 是 n × n 矩阵。证明: AB 是酉矩阵当且仅当 B 是酉矩阵。 7. 假设 A 是 n × n 酉矩阵, B 是 n × n Hermite 矩阵,并且 AB = BA 。记 M = AB 。证明:存 在酉矩阵 U ,使得 U MU 是对角阵。 8. 若 A 是正规矩阵,则 A 是酉矩阵的充要条件是 A 的特征值的模全为 1; 9. 若 n 阶 Hermite 矩阵 A 为正定阵,又 B 是 n 阶方阵且 A − B H AB 也是正定阵,则 B 的谱半 径 ρ ( A) < 1 。 10. 若方阵 A 的特征值全为零,则必存在正整数 k ,使 A = O .
4
3. 试证: A
F
= α
2
β 2.
4.(10%)试证:若 A 为 n 阶正规矩阵,则
θ ≠ x∈C n
max
x H Ax xH x
= ρ ( A) = A
2
5. 设 ⋅ 是相容矩阵范数。证明:对任意方阵 A , A 的谱半径 ρ ( A) ≤ A ; 6. 证明:对任意方阵 A , dete A = etrA (这里, det 表示矩阵的行列式, tr 表示矩阵的迹);
1 2 。定义 V 上先行变换如下: f (η ) = Aη , ∀η ∈ V . 1 2 (1) 求 f 的 值 域 的 一 组 基 , 并 给 出 V 的 两 个 不 同 的 子 空 间 U , W , 使 得 V = Im f ⊕ U = Im f ⊕ W ; (2) 问: f 是否为正交变换?为什么?
2.(18%)设 C
2×2
上的线性变换 f 定义为:
f ( X ) = XM , ∀X ∈ C 2×2
其中, M = (1) (2) (3) (4)
1 1 2 2 求 f 在 V 的基 E11 , E12 , E 21 , E 22 下的矩阵 A ; 分别求 f 的特征值及相应的特征子空间的一组基及它们的维数; 给出 f 的最小多项式; 问:是否存在 V 的基,使得 f 的矩阵为对角阵?为什么?
4.(20%)假设矩阵 A =
1 1 2×2 ,在 C 上定义映射 f 如下: 0 0 2×2 对任意 X ∈ C , f ( X ) = AXA
2×2
(1) 证明: f 是 C (2) 求 f 在 C
2×2
上的线性变换;
的基 E11 , E12 , E21 , E22 下的矩阵 M ;
第六章 1.(10%)设 α 为 n × 1 矩阵, β 为 s × 1 矩阵,作 A = αβ
H
.求 A (用 α , β 表示);
+
3 0 2.(12%)假设矩阵 A = 0 0 1 1 1 1 0 1 3. 假设矩阵 A = 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 + ,试求 A 的广义逆矩阵 A 。 0 1 2 0 2 4 0 0 0 0 + ,求 A 的广义逆矩阵 A 。 −1 −2 1 2
8. 设 A 是正规阵,证明: ( A 2 ) + = ( A + ) 2 。
5
5. 记 V = R 。 A =
2
2
第三章 1. 已知 A 的特征多项式与最小多项式都是 λ ,分别求 A 及 A 的 Jordan 标准形.
5
2
2.(8%)已知 n 阶方阵 A 满足 A = 2 A + 8 I ,且 A + 2 I 的秩是 r ,求 det( A + I ) .
2
x 0 0 5 y 2 3.(12%)设矩阵 A = 1 5 0 , B = 0 2 t 。 4 1 2 0 0 5
阵 B = 1 0 0 。
1 0 0
3
(3) 求 A100 ;
第四章 1. 假设 A 是正规矩阵。若 A 的特征值全是实数,证明: A 是 Hermite 矩阵。 2. 假设 A 、 B 都是 n × n Hermite 矩阵。证明 AB 是 Hermite 矩阵当且仅当 AB = BA 。 3. 假设 A 是 Hermite 矩阵,证明: e 是酉矩阵。 4. 证明: Hermite 阵和酉矩阵都是正规阵。 试举一例说明存在这样的正规阵, 它既不是 Hermite 矩阵,也不是酉矩阵。 5. 若 n 维列向量 α ∈ C 的长度小于 2,证明: 4 I − αα 是正定矩阵。
GAG = G ; ③.
R(G ) ⊆ R( A)
第二章
1.(10%)设 C 3 的子空间 V = {( x, y, z ) | 2 x + y − z = 0}, η = (1,1,1) 。试求 η 0 ∈ V ,使得
η − η 0 = min η − ξ 。
ξ ∈V
2. 在 R3 [ x] 上定义内积 < f ( x), g ( x) >=
e At O = O e Bt ; 1 1 1 (2) 已知 A = , B = 0 1 1
(1) 试证: e
Mt
1 Mt ,求 e . 1
0 0 0 At 2.(15%)设 A = 3 0 0 ,求 A 的特征多项式、最小多项式,并求矩阵函数 e 。 4 0 0
0 4.(15%)假设矩阵 A = 1 2 1 5.(15%)假设矩阵 A = 2 3
0 −1 1 2 0 0 ,求 A 的广义逆矩阵 A+ 。 4 0 0 2 0 0 4 0 0 ,求 A 的广义逆矩阵 A+ 。 6 0 0
1 1 1 0 = A 1 1 −1 0 ,求 A 的广义逆矩阵 A+ 。 6.(15%)假设矩阵 0 0 0 0 + s× n 7. 设 A ∈ C , r ( A) = r 。求 AA 的 Jordan 标准形。
kห้องสมุดไป่ตู้
H
11. 设 A 是 n 阶正定矩阵, α 1 , α 2 , , α n 是 n 维非零列向量.
若当 i ≠ j 时,总有
α iH Aα j = 0 ,则 α 1 ,α 2 , ,α n 必线性无关
第五章 1.(10%)设 A, B 为方阵,作 M = O
A O ,设 t 是参数. B
第一章 1.(20%)已知 C
2×2
的子空间
x x x − y V1 = | x, y ∈ C , V2 = | x, y ∈ C y y − x y 分别求 V1 , V2 , V1 ∩ V2 , V1 + V2 的一组基及它们的维数。
2×2
3.(20%)设 C
上的线性变换 f 定义为:
t t a b 2×2 , ∀X = f (X ) = ∈C t t c d 其中, t 表示矩阵 X 的迹 tr ( X ) = a + d 。 (1) 求 f 在 V 的基 E11 , E12 , E 21 , E 22 下的矩阵 A ; (2) 求 f 的值域 R ( f ) 及核子空间 K ( f ) 的基及它们的维数; (3) 问: R ( f ) + K ( f ) 是否为直和?为什么?
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