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数学一元二次不等式笔记
数学一元二次不等式笔记一、一元二次不等式的定义与一般形式。
1. 定义。
- 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式。
2. 一般形式。
- ax^2+bx + c>0或ax^2+bx + c<0（a≠0），其中a、b、c是实数。
例如x^2-2x - 3>0就是一个一元二次不等式，这里a = 1，b=-2，c = - 3。
二、一元二次方程与一元二次不等式的关系。
1. 一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的根。
- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0，其判别式Δ=b^2-4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不同的实数根x_1=frac{-b+√(b^2)-4ac}{2a}，x_2=frac{-b - √(b^2)-4ac}{2a}。
例如方程x^2-3x+2 = 0，其中a = 1，b=-3，c = 2，Δ=(-3)^2-4×1×2=1>0，两根为x_1=2，x_2=1。
- 当Δ = 0时，方程有两个相同的实数根x_0=-(b)/(2a)。
如方程x^2-2x + 1 = 0，a = 1，b=-2，c = 1，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，根为x = 1。
- 当Δ<0时，方程没有实数根。
例如方程x^2+x+1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，Δ=1^2-4×1×1=-3<0。
2. 关系。
- 一元二次不等式ax^2+bx + c>0(a>0)的解集与一元二次方程ax^2+bx + c = 0的根有关。
- 当Δ>0时，不等式ax^2+bx + c>0(a>0)的解集为{xxx_1}，不等式ax^2+bx + c<0(a>0)的解集为{xx_2。
- 当Δ = 0时，不等式ax^2+bx + c>0(a>0)的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c<0(a>0)的解集为varnothing。
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法
初中数学知识归纳一元二次不等式与解法初中数学知识归纳：一元二次不等式与解法一、引言初中数学学科中，一元二次不等式是一个重要的内容。
在解决实际问题和数学推理中，一元二次不等式经常被应用。
本文将对一元二次不等式的定义、性质以及解法进行详细的归纳与总结。
二、一元二次不等式的定义与性质一元二次不等式指的是包含未知数的平方项的不等式，其一般形式为：ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0其中，a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。
1. 定义一元二次不等式是基于一元二次方程和不等式的概念而产生的。
不等式中的未知数仍然是x，与一元二次方程相同。
2. 性质（1）二次函数性质：一元二次不等式与一元二次方程在性质上有很多相似之处，其中关键是利用二次函数的凹凸性质进行分析。
（2）符号问题：处理不等式时需要确定不等号的方向，区别于一元二次方程需要使用等号。
三、解一元二次不等式的常用方法一元二次不等式的解法有两种常用的方法：图像法和区间法。
1. 图像法图像法基于二次函数的图像和不等式的定义，通过对二次函数图像的观察，从几何直觉的角度得出不等式的解集。
2. 区间法区间法利用了二次函数在不等式中的凹凸性质。
通过求解一元二次不等式的判别式和二次函数的极值点，将定义域划分成若干个区间，进而判定不等式的解集。
四、具体解题步骤与示例以下是一元二次不等式解题的一般步骤：1. 对齐系数，将不等式变形成标准形式(ax^2 + bx + c ＞0 或 ax^2 + bx + c ＜0)。
2. 利用图像法或区间法进行解题。
3. 在解集中找出满足题意的解。
解题示例：例题1：解不等式 x^2 + 6x ＞ 0解答过程如下：1. 对齐系数，得到： x^2 + 6x ＞ 02. 根据二次函数的性质，当 a > 0 时，二次函数开口向上，函数图像位于x轴上方。
因此，解集是实数集 R。
3. 综上所述，不等式 x^2 + 6x ＞ 0 的解集为实数集 R。
一元二次不等式知识点高一
一元二次不等式知识点高一在高一数学学习中，我们接触到了一元二次不等式，它是一种重要的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。
本文将从三个方面来介绍一元二次不等式的知识点。
一、一元二次不等式的基本性质一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
我们先来了解一下一元二次不等式的基本性质。
1. 一元二次不等式存在两种形式，即大于号（>）和小于号（<），分别对应着解集是开区间和闭区间。
2. 一元二次不等式的解集可用数轴上的点表示。
通过求解一元二次不等式的根，就可以确定解集在数轴上的位置。
如果根为实数r1和r2，并且a > 0，那么解集为(r1, r2)；如果根为实数r1和r2，并且a < 0，那么解集为(-∞, r1)∪(r2, +∞)。
3. 一元二次不等式的解集与系数a的正负有关。
当a > 0时，解集向上开口；当a < 0时，解集向下开口。
这一性质也可以通过函数图像的凹凸性来理解。
二、解一元二次不等式的方法在解一元二次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。
下面将分别介绍这两种方法。
1. 图像法：根据一元二次不等式与二次函数的关系，我们可以通过绘制二次函数的图像，并观察函数与x轴的交点来确定解集。
2. 代数法：通过变形、移项和配方法等代数运算来求解一元二次不等式。
具体步骤为：将一元二次不等式变形为一个完全平方相等式；求解该相等式得到根，并画出根的数轴；根据系数a的正负以及根的位置来确定解集。
三、一元二次不等式的应用一元二次不等式在实际问题中有着广泛的应用，特别是在优化问题和约束问题中。
1. 优化问题：一元二次不等式可以用来表示某个自变量的取值范围，使得目标函数取得最大（或最小）值。
例如，在某个产品的生产过程中，通过一元二次不等式确定生产数量的上下限，从而达到最大利润或最小成本。
2. 约束问题：一元二次不等式可以用来表示某个变量的约束范围。
一元二次不等式知识点总结梳理PPT
了解一元二次不等式在实际问题中的应用：如物理、化学、经济等领域中的实际问 题。
关注一元二次不等式在高考中的命题趋势：了解历年高考中一元二次不等式的考查 形式和难度，为备考做好准备。
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构造函数
将实际问题中的存在性问题转化 为判断方程根的存在性及个数问
题。
利用判别式
利用一元二次方程的判别式，判 断方程根的存在性及个数。
解方程得解
若方程有解，则通过解方程得到 实际问题的解。
05
典型例题解析及易错点 剖析
典型例题解析
例题一
解析一元二次不等式 $x^2 4x + 3 > 0$ 的解法。
图像法
一元二次不等式的解集可以通过图像 法直观地表示出来。在平面直角坐标 系中，画出对应的一元二次函数图像 ，根据图像确定不等式的解集。
注意事项
在使用图像法解一元二次不等式时， 需要注意图像开口方向以及与x轴交点 的情况。
02
求解一元二次不等式方 法
配方法求解
01
02
03
配方思想
将一元二次不等式转化为 完全平方形式，便于求解 。
性质
一元二次不等式具有与一元二次 方程相似的性质，如判别式、解 集等。
判别式与解集关系
判别式
对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，其判别式Δ=b²-4ac。
解集关系
当Δ>0时，不等式有两个不相等的实根；当Δ=0时，不等式有两个相等的实根 ；当Δ<0时，不等式无实根。
一元二次不等式总结
稿子一嗨呀，亲！今天咱们来聊聊一元二次不等式哈。
你知道不，这一元二次不等式就像个小调皮，有时候能把人搞得晕头转向。
不过别怕，咱们一起来搞定它！先说这一元二次不等式的形式，就像ax² + bx + c > 0 或者ax² + bx + c 0 这样的。
这里的 a、b、c 可都是有讲究的哟。
那怎么解它呢？第一步得先看看 a 的正负。
要是 a 大于 0，图像开口朝上；要是 a 小于 0 呢，开口就朝下啦。
然后咱们就找它的根。
通过那个神奇的求根公式，算出两个根 x₁和 x₂。
这俩根可重要啦，它们能把数轴分成好几段。
其实解一元二次不等式，就像走迷宫，只要找对了路，就能轻松走出来。
多练练，多琢磨琢磨，你就会发现，这也没那么难嘛！加油哟，亲！稿子二亲爱的小伙伴，咱们今天来唠唠一元二次不等式。
一元二次不等式啊，听起来好像有点高大上，其实就是个纸老虎。
你想想，它不就是个带平方的式子加上不等式符号嘛。
比如说x² 5x + 6 > 0 这种。
那解它有啥窍门呢？首先得看看它对应的二次函数的图像。
这图像就像个抛物线，美美的。
然后呢，咱得求出它的零点，就是让那个式子等于零的时候 x 的值。
这就好比找到了关键的钥匙。
要是不等式是大于号，那图像在 x 轴上方的部分对应的 x 取值就是解；要是小于号，就是图像在 x 轴下方的部分对应的 x 取值。
比如说，x² 3x 4 0 ，咱算出零点是 1 和 4 ，那解就是 1 x 4 。
有时候啊，它可能没有实数根，那就要看看是不是整个图像都在x 轴上方或者下方。
总之呢，一元二次不等式只要掌握了方法，就变得乖乖听话啦。
小伙伴们，别被它吓到，勇敢地去和它战斗吧！。
知识讲解_一元二次不等式及其解法_基础
.
因而不等式 x2 5x 0 的解集是{x | 0 x 5} .
（2）方法一：
因为 0 ， 方程 x2 4x 4 0 的解为 x1 x2 2 .
函数 y x2 4x 4 的简图为：
所以，原不等式的解集是{x | x 2} 方法二： x2 4x 4 (x 2)2 0 （当 x 2 时， (x 2)2 0 ） 所以原不等式的解集是{x | x 2}
照 0 ， 0 ， 0 可分三种情况，相应地，二次函数 y ax2 bx c (a 0) 的图像与 x 轴的位
置 关 系 也 分 为 三 种 情 况 . 因 此 我 们 分 三 种 情 况 来 讨 论 一 元 二 次 不 等 式 ax2 bx c 0 (a 0) 或
抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为 二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分 0, 0, 0 三种情况，得到一元二次不等式 ax2 bx c 0 与 ax2 bx c 0
当 0＜a＜1 时，解集为{x | x a2或x a} ；
当 a=1 时，解集为{x | x 1}；
【变式 3】（2015 春 房山区校级期中）解关于 x 的不等式 56x2+ax－a2＜0。
【答案】
∵56x2+ax－a2＜0，∴(7x+a)(8x－a)＜0，即[x ( a)]( x a) 0 。 78
∴原不等式的解集是 .
【总结升华】
1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；
一元二次方程与不等式的知识点总结
一元二次方程与不等式的知识点总结一、一元二次方程（Quadratic Equation）一元二次方程是指一个未知量的最高次是二次的方程。
其一般形式可表示为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知实数，a≠0。
1. 解的个数与判别式：设一元二次方程为ax²+bx+c=0，其判别式Δ=b²-4ac。
- 当Δ>0时，方程有两个不相等实数根；- 当Δ=0时，方程有两个相等实数根，也称为重根；- 当Δ<0时，方程无实根，但有两个共轭复数根。
2. 求解一元二次方程的方法：- 因式分解法：将方程进行因式分解，使左侧变为两个一次因式的乘积，再利用“零乘积法则”求解。
- 公式法：利用一元二次方程的求根公式x=（-b±√Δ）/2a求解。
3. 一元二次方程的图像：一元二次方程的图像是一个抛物线，对称轴为直线x=-b/2a，开口方向由a的正负决定。
二、不等式（Inequality）不等式是指含有不等于号的数学式子。
一般形式可表示为ax+b>0，ax+b≥0，ax+b<0，ax+b≤0等。
1. 不等式的解集表示：解集表示是指将不等式的解表示为一段数轴上的区间。
- 对于大于号，解集表示为某个数轴上的一个开区间；- 对于小于号，解集表示为某个数轴上的一个开区间；- 对于大于等于号，解集表示为某个数轴上的一个闭区间；- 对于小于等于号，解集表示为某个数轴上的一个闭区间。
2. 解不等式的方法：- 规则法：对于形如ax+c>0，ax+c≥0，ax+c<0，ax+c≤0的一元一次不等式，可以直接通过规则法求解。
- 加减法原则：当两个不等式同时成立时，可以将它们相加或相减得到一个新的不等式。
- 乘除法原则：当两个不等式同时成立时，可以将它们相乘或相除（除数不为零）得到一个新的不等式。
3. 不等式的图像表示：对于一元一次不等式，可以通过画数轴上的区间表示。
对于一元二次不等式，则可以通过画抛物线上的一部分表示。
一元二次不等式知识点归纳
一元二次不等式知识点归纳
一、一元二次不等式解集求解
【解题提示】通常的解题步骤为：求解对应方程的根、结合图像开口方向判定不等式解集具体是在两根之间还是两根两侧。
尤其注意函数开口向下时解集的判定。
在实际求解时，一、注意含有参数的一元二次不等式，运用十字分解求解;二、注意在题目中隐藏的根判别式小于0;
二、一元二次不等式恒成立
【解题提示】1、若一元二次不等式ax^2+bx+c>0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向上且无解;
2、若一元二次不等式ax^2+bx+c<0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向下且无解;
通常出题会出“无解”的如下两种方式：此时转化为题目的反面恒成立求解即可。
1、一元二次不等式ax^2+bx+c>0无解(a不为0)，此时即
ax^2+bx+c<=0恒成立，即：开口向下且根判别式小于等于0;
2、一元二次不等式
ax^2+bx+c<00=""2=""a=""ax=""bx=""c="">=0恒成立，即：开口向上且根判别式小于等于0;
【注】若不等式中的二次项含有未知系数时，务必要对二次项系数为0与不为0，进行分类讨论。
三、不等式解集端点值为对应方程的根
【解析提示】不等式解集的端点值为对应方程的根，结合韦达定理求解。
求解时注意二次项前系数的正负号判别。
一元二次不等式知识点总结
一元二次不等式知识点总结
嘿，伙伴们！今天咱就来好好唠唠一元二次不等式这个知识点。
一元二次不等式，听起来好像很复杂，但其实没那么难啦！就好比你要解开一个谜题，每个步骤都是找到答案的关键。
比如说，像x² - 3x + 2 > 0 这样的式子，就是个一元二次不等式。
咱先说说它的形式，不就是ax² + bx + c 嘛，这里的 a、b、c 可都有
大作用呢！就好像搭积木，每一块都不能少。
它的解法呢，就像走迷宫，你得找到正确的路径。
比如说，先求出判别式，看看它到底是有两个不同的解，还是只有一个解，或者根本就无解。
哇，这多有趣啊，就像探索一个神秘的世界！比如，x² + 2x + 3 > 0，判别式小于零，那它就恒大于零哦！这不是很酷吗？
那什么时候不等式大于零，什么时候又小于零呢？嘿嘿，这可得好好琢磨。
就像你要判断一件事情的好坏一样，得仔细考虑。
当 a 大于零时，如果抛物线开口向上，那在两根之外就大于零啦，在两根之间就小于零。
反之，如果 a 小于零，开口向下，哇，那情况就相反了呢！
一元二次不等式在生活中也有很多用处呢！比如你计算怎么分配你的零花钱才能让自己最开心，或者是怎么安排时间才能完成所有作业。
你说是不是很神奇？
哎呀呀，一元二次不等式真的是个很有意思的知识点呀！它就像一把钥匙，可以打开很多问题的大门。
伙伴们，一定要好好掌握它哟！这样我们就能在数学的世界里畅游啦！我的观点就是：一元二次不等式不难，只要认真学习，就一定能搞明白！。
一元二次不等式高一知识点
一元二次不等式高一知识点一元二次不等式是高中数学中重要的知识点之一，它是由一元二次方程推导而来，是解决实际问题的有力工具。
本文将介绍一元二次不等式的定义、性质和解法，并附带例题进行讲解。
一、一元二次不等式的定义一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0（或<、≥、≤）的不等式，其中a、b、c为实数且a≠0。
其中，ax^2表示二次项，bx表示一次项，c是常数项。
在解一元二次不等式时，首先要判别一元二次不等式的开口方向，即判断不等式的二次项系数a的正负性。
当a>0时，二次不等式开口朝上；当a<0时，二次不等式开口朝下。
二、一元二次不等式的性质1. 不等式两边加（或减）同一个实数时，不等关系不变。
2. 不等式两边乘（或除）同一个正实数时，不等关系不变。
3. 不等式两边乘（或除）同一个负实数时，不等关系改变。
三、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的关键在于找到x的取值范围。
解的步骤如下：1. 将不等式中的所有项移到一边并合并同类项，化为一元二次不等式标准形式ax^2+bx+c>0（或<、≥、≤）。
2. 利用一元二次不等式的性质，将一元二次不等式转化为等价的形式，以便求解。
例如，可以将二次项提取因式，将不等式转化为两个一次不等式的交集或并集。
3. 解二次不等式的交集或并集，得到x的取值范围。
4. 根据开口方向判断不等式的解集情况。
当二次项系数a>0时，解集为x在某一区间内的所有实数；当二次项系数a<0时，解集为x不在某一区间内的所有实数。
四、例题解析例题1：解不等式x^2-4x+4≥0。
解：首先将不等式化为标准形式，得到x^2-4x+4≥0。
然后，将等式两边化简并提取因式，得到(x-2)^2≥0。
由于平方值不可能小于0，所以(x-2)^2≥0对任意实数x成立。
因此，解集为实数集R。
例题2：解不等式2x^2+3x-2>0。
解：首先将不等式化为标准形式，得到2x^2+3x-2>0。
高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法
一元二次不等式及其解法（一）【知识梳理】1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx ＋c ＞0(≥0)或ax2＋bx ＋c ＜0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2，(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根二次函数y ＝ax2＋bx ＋c (a>0)的图象ax2＋bx ＋c>0(a>0)的解集 错误!或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－b 2aRax2＋bx ＋c<0(a>0)的解集 {}x|x1<x<x2∅ ∅题型一、一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式： (1)2x2＋7x ＋3＞0； (2)x2－4x －5≤0； (3)－4x2＋18x －814≥0；(4)－12x2＋3x －5＞0；(5)－2x2＋3x －2＜0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y ＝2x2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x ＞－12，或x＜－3}．(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x ≤5}．(3)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝94.(4)原不等式可化为x2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集． 【对点训练】 1．解下列不等式：(1)x2－5x －6>0；(2)－x2＋7x>6.(3)(2－x)(x ＋3)<0；(4)4(2x2－2x ＋1)>x(4－x)． 解：(1)方程x2－5x －6＝0的两根为x1＝－1， x2＝6.结合二次函数y ＝x2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． (2)原不等式可化为x2－7x ＋6<0. 解方程x2－7x ＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y ＝x2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为 {x|1<x<6}．(3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}． (4)由原不等式得8x2－8x ＋4>4x －x2. ∴原不等式等价于9x2－12x ＋4>0.解方程9x2－12x ＋4＝0，得x1＝x2＝23.结合二次函数y ＝9x2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x ≠23}.题型二、解含参数的一元二次不等式【例2】解关于x 的不等式x2＋(1－a)x －a ＜0.[解]方程x2＋(1－a)x －a ＝0的解为x1＝－1，x2＝a ，函数y ＝x2＋(1－a)x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x|a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x ＜a}． 【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【对点训练】2．解关于x 的不等式：ax2－(a －1)x －1＜0(a ∈R)． 解：原不等式可化为： (ax ＋1)(x －1)＜0， 当a ＝0时，x ＜1，当a ＞0时⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＜0 ∴－1a ＜x ＜1.当a ＝－1时，x ≠1，当－1＜a ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＞0， ∴x ＞－1a 或x ＜1.当a ＜－1时，－1a ＜1，∴x ＞1或x ＜－1a ，综上原不等式的解集是：当a ＝0时，{x|x ＜1}；当a ＞0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，{x|x ≠1}； 当－1＜a ＜0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1或x ＞－1a .当a ＜－1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－1a 或x ＞1， 题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例3】已知关于x 的不等式x2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx2＋ax ＋1＞0的解集．[解]∵x2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}， ∴1,2是x2＋ax ＋b ＝0的两根．由韦达定理有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x2－3x ＋1＞0.由2x2－3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜12或x ＞1.∴bx2＋ax ＋1＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)． 【类题通法】1．一元二次不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．2．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx ＋c ＞0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx ＋c ＜0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【对点训练】3．已知方程ax2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a 、b 的值；(2)解不等式ax2＋bx －1＞0.解：(1)∵方程ax2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a .解得a ＝－2，b ＝3.(2)由(1)知，ax2＋bx －1＞0可变为－2x2＋3x －1＞0， 即2x2－3x ＋1＜0，解得12＜x ＜1.∴不等式ax2＋bx －1＞0的解集为{x|12＜x ＜1}．【练习反馈】1．不等式x(2－x)＞0的解集为( ) A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ＜0}D ．{x|0＜x ＜2}解析：选D 原不等式化为x(x －2)＜0，故0＜x ＜2. 2．已知集合M ＝{x|x2－3x －28≤0}，N ＝{x|x2－x －6＞0}， 则M ∩N 为( )A ．{x|－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}B ．{x|－4＜x ≤－2或3≤x ＜7}C ．{x|x ≤－2或x ＞3}D ．{x|x ＜－2或x ≥3}解析：选A ∵M ＝{x|x2－3x －28≤0} ＝{x|－4≤x ≤7}，N ＝{x|x2－x －6＞0}＝{x|x ＜－2或x ＞3}， ∴M ∩N ＝{x|－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}．3．二次函数y ＝x2－4x ＋3在y ＜0时x 的取值范围是________． 解析：由y ＜0得x2－4x ＋3＜0， ∴1＜x ＜3 答案：(1,3)4．若不等式ax2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜2，则实数a ＝________，实数b ＝________.解析：由题意可知－12，2是方程ax2＋bx ＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3. 答案：－23 5．解下列不等式： (1)x(7－x)≥12； (2)x2＞2(x －1)．解：(1)原不等式可化为x2－7x ＋12≤0，因为方程x2－7x ＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4， 所以原不等式的解集为{x|3≤x ≤4}． (2)原不等式可以化为x2－2x ＋2＞0，因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x2－2x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.。
高中数学一元二次不等式知识点总结
高中数学一元二次不等式知识点总结一元二次不等式知识点总结（人教版）一、一元二次不等式的基本形式。
1. 定义。
- 一元二次不等式的一般形式为ax^2+bx + c>0或ax^2+bx + c<0（a≠0），其中a、b、c是实数。
- 例如x^2-3x + 2>0，这里a = 1，b=-3，c = 2。
二、一元二次方程与一元二次不等式的关系。
1. 一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的根与一元二次不等式解集的联系。
- 当Δ=b^2-4ac>0时，一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)有两个不同的实根x_1,x_2(x_1。
- 对于不等式ax^2+bx + c>0(a>0)，其解集为{xx或x>x_2}；对于不等式ax^2+bx + c<0(a>0)，其解集为{xx_1。
- 当Δ=b^2-4ac = 0时，一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)。
- 对于不等式ax^2+bx + c>0(a>0)，其解集为{xx≠ x_0}；对于不等式ax^2+bx + c<0(a>0)，其解集为varnothing。
- 当Δ=b^2-4ac<0时，一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)没有实根。
- 对于不等式ax^2+bx + c>0(a>0)，其解集为R；对于不等式ax^2+bx +c<0(a>0)，其解集为varnothing。
三、一元二次不等式的解法。
1. 因式分解法（当二次三项式容易因式分解时）- 例如解不等式x^2-3x + 2>0。
- 先将二次三项式因式分解为(x - 1)(x - 2)>0。
- 则有x - 1>0 x - 2>0或x - 1<0 x - 2<0。
- 解x - 1>0 x - 2>0得x>2；解x - 1<0 x - 2<0得x<1。
一元二次不等式知识点讲解及习题
一元二次不等式知识点讲解及习题第二节：一元二次不等式1、概念：形如（其中a不等于0）的不等式叫做一元二次不等式；2、解集的求法：求一般的一元二次不等式的解集，我们可以由二次函数的零点与相应一元二次方程的根的关系，先求出一元二次方程的= 0的根，再根据函数图像与x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集。
3、列表如下：3、一元二次不等式解法的逆向思维：给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程的两根，由韦达定理可知a,b,c之间的关系。
4、含有参数的不等式的解法：解含有参数的一元二次型的不等式。
（1）要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行讨论。
（跟踪训练）(1)- x2+4x-5>0 （2）9 x2-6x+1>0(3) -3x2-2x+8≤0(不等式恒成立问题)例2、(1)3x2+x-4>0 (2) x2+2x+3＞0(含有绝对值的不等式)例3、(1)x2-2|x|-3>0 (2)2x2+|4x+3|＜0（跟踪训练）（1）︱2x-1︱＜3 (2)︱2x 2-x-1︱≥1(含有参数的不等式)例4、(1)56 x 2-ax-a 2<0 (2) -x 2+(a-1)x+ a>0（3）ax 2-(a+1)x+1＜0（分式不等式）例5、（1）213--x x ≤-1x x 241--＞0（一元高次不等式）例6（1）0322322≤--+-x x x x (2) (x-2)2(x-3)3(x+1)>0.(跟踪训练)（1）(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0. (2)123422+≥+--x x x x(思考) (x-x 2+12)(x+a)<0.（韦达定理与一元二次方程）1｝，例7、已知一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为｛x︱-1＜x＜3则ab的值为（一些恒成立问题）例8、已知不等式x2+ax+4＜0解集为空集，求a的取值范围（跟踪训练1）当a为何值时，不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1＜0的解集是全体实数。
一元二次函数方程不等式知识点
一元二次函数方程不等式知识点嘿，咱今儿就来聊聊一元二次函数方程不等式那些事儿！一元二次函数，你就把它想象成一个调皮的小精灵，蹦蹦跳跳的，可有意思啦！它的一般式是 ax²+bx+c=0 或者 ax²+bx+c＜0 或者ax²+bx+c＞0 。
这里面的 a、b、c 可都有它们的作用呢！a 就像是小精灵的翅膀，决定着它是向上飞还是向下飞。
要是 a 大于 0 ，那这小精灵就开心地往上飞，图像就是个开口向上的抛物线；要是 a 小于 0 ，嘿嘿，它就垂头丧气地往下飞啦，图像就是开口向下的抛物线。
b 呢，就像是小精灵飞行的方向控制杆。
它和 a 一起决定着抛物线的对称轴位置。
而c 呀，就像是小精灵的落脚点，是抛物线和 y 轴相交的那个点呢！那一元二次方程呢，就是要找到这个小精灵停留的地方，也就是让这个函数等于 0 的时候。
有时候能找到两个点，有时候只有一个点，有时候干脆就找不到呢！这就像是找宝藏，充满了惊喜和未知。
再来说说一元二次不等式。
这就像是给小精灵设定了一个范围，让它只能在这个范围内活动。
要是 ax²+bx+c＞0 ，那就是让小精灵在上面的区域玩耍；要是 ax²+bx+c＜0 ，那就是让它在下面的区域待着。
咱举个例子吧，比如说 x²-2x-3=0 ，那咱就来找找这个小精灵停留的地方。
用求根公式，一下子就能算出两个根，1 和 3 。
哎呀，这不就找到啦！再比如 x²-2x+3＞0 ，你看看，这 a 是 1 大于 0 ，小精灵往上飞，而且这个式子恒大于 0 ，那就是说这个小精灵在上面的区域一直快乐地玩耍呢！学习一元二次函数方程不等式可不能死记硬背呀，得像和小精灵做朋友一样，了解它的脾气性格，才能和它好好相处。
想想看，要是在生活中遇到问题，咱不也得像解这些式子一样，仔细分析，找到关键，然后解决问题嘛！这一元二次函数方程不等式可不只是书本上的知识，它也能帮咱更好地理解生活中的很多现象呢！所以啊，别小瞧了这小小的一元二次函数方程不等式，这里面的学问大着呢！好好学，你会发现它就像一把神奇的钥匙，能打开很多知识的大门呢！你说是不是呀？。
二次函数与一元二次方程、不等式+课件——2025届高三数学一轮复习
（2）解关于x的不等式:ax 2 − 2x + a < 0 a ∈ .
【解析】若a = 0，则原不等式为−2x < 0，故解集为{x|x > 0}.
（【明易错】不要忽略对二次项系数为0的讨论）
若a ≠ 0，Δ = 4 − 4a2 .
①若a > 0，
2
当Δ > 0,即0 < a < 1时，方程ax − 2x + a = 0的两根为x1 =
若a > 1，则不等式的解为1 < x < a；
若0 < a < 1，则不等式的解为a < x < 1；
若a = 1，则不等式化为 x − 1
2
< 0，其解集为⌀ .
当a < 0时，原不等式等价于 x − 1 x − a > 0，解得x < a或x > 1.
综上，当a > 1时，不等式的解集为{x|1 < x < a}；
1
2
式的解集为{x|x > − 或x < −3}.
（2）−x 2 + 8x − 3 > 0；
【解析】因为Δ = 82 − 4 × −1 × −3 = 52 > 0，所以方程−x 2 + 8x − 3 = 0有两
个不等实根x1 = 4 − 13，x2 = 4 + 13.又二次函数y = −x 2 + 8x − 3的图象开口向
（【警示】注意换元后新元的范围）
则不等式可化为t 2 + 3t − 10 < 0,解得−5 < t < 2，
又t ≥ 0,∴ 0 ≤ t < 2,即0 ≤ x 2 < 2,∴ − 2 < x < 2．
一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳
一元二次方程二次函数一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式知识归纳一元二次方程、二次函数和一元二次不等式是高中数学中的重要内容，掌握了这些知识可以帮助我们解决实际问题和推导数学关系。
本文将对一元二次方程、二次函数和一元二次不等式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
一、一元二次方程一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）的方程，其中x 表示未知数。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法当一元二次方程可以因式分解为两个一次因子相乘时，我们可以通过将方程两边置零，将每个因子等于零来求解。
例如，对于方程x^2 -5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2和x = 3两个解。
2. 配方法当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法将方程转化为完全平方式，然后再进行求解。
例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过将常数项进行拆分，得到x^2 - 2x - 3x + 6 = 0，进而变为(x(x - 2) - 3(x - 2) = 0，再经过合并同类项和提取公因式的步骤得到(x -2)(x - 3) = 0，进而求得x = 2和x = 3两个解。
3. 求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)来求解。
其中，±表示两个相反的解，而√表示平方根。
这种方法适用于所有一元二次方程的求解，包括没有实数解的情况。
二、二次函数二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。
掌握了二次函数的性质和图像特点可以帮助我们分析函数的变化趋势和解决实际问题。
一元二次不等式解法专题知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式解法专题一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x ＞x 2或x ＜x 1} ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}Φ Φ二.穿针引线法例 1 解下列不等式：（1）x x ≥-2414 （2）0822≥+--x x （3）0)3)(2(>-+x x例2 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝_____．例3(穿针引线法） 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0例4 不等式xx ->+111的解集为（ ） A ．{x|x ＞0}B ．{x|x≥1}C．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝0}解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x－1＞0，即x ＞1．选C ． 例5 与不等式023≥--xx 同解得不等式是（ ） A ．(x －3)(2－x)≥0B．0＜x －2≤1C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0 练习1：1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2)答案 D2．(2011·XX)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案 D3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )．A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－13B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－13C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－13≤x ≤13D ．R答案 B4．若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．A ．－28B ．－26C ．28D ．26 答案 C5.函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________．解析 依题意知⎩⎨⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎨⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．答案 [1,3)6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，解不等式f (x )＞3.[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组． 解 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a - 选C ．例解不等式≥．8 237232x x x -+-解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 练习21.(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．2.解下列不等式(1);22123+-≤-x x 127314)2(22<+-+-x x x x3.解下列不等式1x 5x 2)2(;3x 1x 1+>+-≤-）（4.解下列不等式()()12log 6log 1log )2(;08254)1(21212121≥-++≥+⋅-+x x x x5解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ．。
一元二次不等式公式大全
一元二次不等式公式大全一、一元二次不等式的一般形式。
对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，对应的一元二次不等式有以下两种形式：1. ax^2+bx + c>0(a≠0)2. ax^2+bx + c<0(a≠0)二、一元二次不等式的解法（利用二次函数图象）1. 对于一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其图象是一条抛物线。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的根（即二次函数y=ax^2+bx + c与x轴交点的横坐标），由求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}确定。
2. 求解ax^2+bx + c>0(a≠0)- 当a>0时：- 若Δ=b^2-4ac>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式的解集为{xx < x_1或x>x_2}。
- 若Δ = b^2-4ac = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0，则不等式的解集为{xx≠ x_0}。
- 若Δ=b^2-4ac<0，则不等式的解集为R。
- 当a < 0时：- 若Δ=b^2-4ac>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式的解集为{xx_1。
- 若Δ = b^2-4ac = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0，则不等式的解集为varnothing。
- 若Δ=b^2-4ac<0，则不等式的解集为varnothing。
3. 求解ax^2+bx + c<0(a≠0)- 当a>0时：- 若Δ=b^2-4ac>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式的解集为{xx_1。
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一元二次不等式知识点归纳
解一元二次不等式的步骤：
① 将二次项系数化为“+”：A=>0（或<0）（a>0）
② 计算判别式，分析不等式的解的情况：
ⅰ. >0时，求根<，
ⅱ. =0时，求根＝＝，
ⅲ. <0时，方程无解，
③ 写出解集。
【典型例题】
例1. 解不等式
（1）（2）
（3）
解：（1）因为。
所以，原不等式的解集是。
（2）因为。
所以，原不等式的解集是。
（3）整理，得。
因为无实数解，
所以不等式的解集是。
从而，原不等式的解集是。
例2. 解关于x的不等式
分析：此不等式为含参数k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手。
解：
（1）当有两个不相等的实根。
所以不等式的解集是：
（2）当有两个相等的实根，
所以不等式，即；
（3）当无实根
所以不等式解集为。
例3. 若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围。
解：∵
（∵4x2+6x+3恒正），
∴原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2－2（k－3）x+3－k>0对x取任何实数均成立。
∴=[－2（k－3）]2－8（3－k）<0k2－4k+3<01<k<3。
∴k的取值范围是（1，3）。
小结：逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分
例4. 已知关于x的二次不等式：a+（a－1）x+a－1<0的解集为R，求a的取值范围。
分析：原不等式的解集为R，即对一切实数x不等式都成立，故必然y= a+（a－1）x+a－1的图象开口向下，且与x轴无交点，反映在数量关系上则有a<0 且<0。
解：由题意知，要使原不等式的解集为R，必须，
即
a<－。
∴a的取值范围是a∈（－，－）。
说明：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题讲a=0时式子不恒成立。
（想想为什么？）
例5. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0。
（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围。
（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围。
命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题。
技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。
解：（1）条件说明抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，画出示意图，得
∴。
（2）据抛物线与x轴交点落在区间（0，1）内，列不等式组
:。