四阶完美幻方中的易理思想
幻方知识点总结
幻方知识点总结幻方的起源可以追溯到公元前2200年的古代中国，最早的幻方出现在中国的《周髀算经》中。
这本书中记载了3阶和4阶的幻方，展示了当时中国对幻方的早期研究和应用。
随后，幻方传入了印度、中东和欧洲等地区，在这些地区的文化和数学传统中都留下了深远的影响。
著名的数学家如拉马努金、欧拉、高斯等都曾对幻方进行了深入的研究，为幻方的发展和应用做出了重要贡献。
要理解幻方，首先需要了解几个基本概念：阶数、和数、构造方法和性质。
阶数是指幻方数组的边长，比如3阶幻方就是一个3x3的数组。
和数是指每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和，也叫做幻方的魔数。
构造方法是指幻方的排列规则和建立过程，包括奇阶幻方和偶阶幻方两种不同的构造方法。
而幻方的性质则是指它特有的数学特点和规律，如对称性、旋转性、等价性等。
在构造幻方的过程中，最常用的方法是奇阶幻方和偶阶幻方的构造方法。
对于奇阶幻方来说，它的构造方法相对简单，常用的有“Siamese method”、“Loubere method”等，它们都是通过一定的规则和步骤将数字逐个填入方格中，最终形成一个满足要求的幻方。
而对于偶阶幻方来说，则需要更复杂的构造方法，常用的有“method of de la Loubere”、“methodof de la Hire”等，它们需要通过巧妙的排列和替换来构造出一个满足要求的幻方。
在构造的过程中，对数字的排列、替换和对称性的利用都是十分重要的技巧。
除此之外，幻方还具有一些特殊的性质和规律。
比如，幻方的逆幻方、旋转幻方和反转幻方都是与原幻方有一定联系的新幻方，它们之间的对应关系和巧妙的变换方法都是幻方研究的重要内容。
幻方还具有对称性和等价性，这使得幻方可以在不同的方向上进行旋转、翻转和变换，从而获得新的幻方和新的挑战。
在实际生活中，幻方还有许多有趣的应用，比如在数学教育、艺术设计、密码学等领域都可以看到幻方的身影。
幻方的研究和探索不仅仅是一种数学游戏，它还蕴含着丰富的数学知识和有趣的推理技巧。
三阶、四阶、六阶幻方解题口诀
三阶、四阶、六阶幻⽅解题⼝诀⼤家听过⼤禹治⽔的故事吗？相传在那个年代，陕西的洛⽔常常泛滥成灾，每当河⽔泛滥之时，会有⼀直乌龟浮出⽔⾯，当时⼈们也不知道为什么，只是觉得很好奇，于是⼈们开始研究这个规律。
经过⼀段时间的观察，发现后来发现乌龟背上的龟壳分为9块，横着有三⾏，竖着有三⾏，⽽且每⼀块⾥边都有⼀些⼩点，每块龟壳⾥⾯的点数刚好凑成1-9这9个数字，可是，谁也弄不清楚这些点数到底有什么含义。
直到有⼀年，河⽔还是泛滥成灾，乌龟⼜浮上了⽔⾯，这时有个⼩孩在岸边⼤喊⼤叫起来：“⼤家快来看啊，这些⼩点⾮常有趣，横着看加起来是15，竖着看，加起来也是15，斜着看加起来还是15！”这个数字之谜竟然被⼀个⼩孩⼦给想明⽩了。
后来⼤⼈们觉得⼤概河神想要每样祭品的数量是15份吧，于是赶紧抬来15头猪、15头⽜和15只⽺献给河神，果然，从此以后河⽔再也不泛滥了…当然了，这只是⼀个传说，这个乌龟上的图案就是我们要学习的内容“幻⽅”，也叫“洛书”、“纵横图”、“魔阵”等等。
接下来我们就来揭开“幻⽅”的神秘⾯纱，⼀起来学习⼀下吧！幻⽅是把1⾄n^2的⾃然数排列成正⽅形，使它的纵横均有n个数，⽽把每⾏、每列、两条对⾓线的数加起来，它们的和都是相等的，这个和叫做幻和。
幻⽅的特征是横、竖、斜相加的得数都相等，幻⽅的幻和会等于n（n^2+1）÷2。
幻⽅按照纵横各有数字的个数可分为三阶幻⽅、四阶幻⽅、五阶幻⽅、六阶幻⽅…按照纵横数字数量为奇数、偶数可分为奇阶幻⽅、偶阶幻⽅。
三阶幻⽅我们⾸先简单介绍⼀下三阶幻⽅：把1-9填⼊⽅格，使幻⽅成⽴。
它也是⼀个奇阶幻⽅，幻和是3×（3^2+1）÷2=15。
那么这⾥⾯的数字我们是怎么得来的呢？第⼀种⽅法⼝诀是：九⼦斜排，上下对易，左右更替，四维挺出。
实际就分为四个步骤：第⼀个步骤是九⼦斜排，意思呢就是按照图中的形状斜着排列1-9的9个数字；第⼆个步骤是上下对易，也就是最顶端的数字和最底端的数字1和9对换；第三个步骤是左右更替，即将最左端和最右端的两个数字7和3对换；第四个步骤是四维挺出，如图所⽰把这四个数字向四个⽅向分别挺出。
四幻方的规律
四幻方的规律
嘿，朋友们！今天咱来聊聊四幻方的规律呀！这四幻方啊，就像是一个神奇的魔法盒子。
你看啊，它里面的数字排列得那叫一个巧妙。
每个数字都有它自己的位置，就好像是一群小精灵在跳着整齐的舞蹈。
这些数字相互之间有着特别的关系，牵一发而动全身呢！
想象一下，这就好比是一场精彩的拼图游戏。
你得仔细观察，认真思考，才能找到那些隐藏的规律。
一旦你找到了，哇塞，那种感觉就像是发现了宝藏一样兴奋！
四幻方的规律可不简单哦！它不是那种一眼就能看穿的东西。
有时候你可能会觉得自己就像在迷宫里打转，找不到出口。
但别灰心呀，坚持下去，说不定突然就柳暗花明又一村了呢！
你说这数字的世界咋就这么神奇呢？它们看似普通，却能组合出这么多奇妙的东西。
四幻方不就是最好的证明嘛！
咱再想想，生活中不也有很多这样看似普通却蕴含着大道理的事情吗？就像我们每天做的一些小事，也许当时觉得没什么，可积累起来却能产生巨大的影响。
而且啊，研究四幻方的规律还能锻炼我们的大脑呢！让我们变得更聪明，更会思考问题。
这多好呀，既有趣又有益处。
你说要是我们能把四幻方的规律运用到生活中，那会怎么样呢？会不会让我们做事更有条理，更能找到解决问题的捷径呢？
反正我觉得呀，四幻方的规律真的很值得我们去好好研究研究。
这可不是什么无聊的事情，而是一次充满乐趣和挑战的探索之旅呢！大家都一起来试试吧，说不定你会发现一个全新的世界哦！
原创不易，请尊重原创，谢谢!。
幻方罗伯法原理
幻方罗伯法原理幻方是一种数学游戏，它由数字组成的正方形矩阵，在每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
而幻方罗伯法是一种构造幻方的方法，它由法国数学家罗伯于1901年提出。
在幻方罗伯法中，通过一定的规则和技巧，可以构造出各种不同阶数的幻方。
下面我们就来详细介绍一下幻方罗伯法的原理。
首先，我们需要了解幻方的基本规则。
一个n阶幻方是由1到n^2的连续自然数排列在n×n的方阵中，使得每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
在构造幻方时，我们需要确定一个基准点，然后按照一定的规则填充其他数字，最终形成一个满足幻方规则的矩阵。
接下来，我们来介绍幻方罗伯法的具体原理。
在幻方罗伯法中，首先确定一个基准点，通常选择在幻方的中间行的最后一列。
然后按照以下规则进行填数：1. 从基准点开始，将数字1填入基准点所在的位置。
2. 向右上方移动一格，填入下一个数字。
3. 如果移动到了边界，则按照如下规则进行处理：如果移动到了右上角，则将下一个数字填入当前位置的下方。
如果移动到了最上方，则将下一个数字填入当前位置的右边。
如果移动到了最右方，则将下一个数字填入当前位置的下方。
如果移动到了空白格，则直接填入下一个数字。
4. 重复步骤2和步骤3，直到填满整个幻方。
通过这种方法，我们可以构造出各种不同阶数的幻方。
同时，幻方罗伯法还具有一定的对称性，可以通过一定的变换得到其他形式的幻方。
这种方法的优点在于简单易行，适用于各种不同阶数的幻方构造。
在实际应用中，幻方罗伯法不仅可以用于数学游戏和娱乐，还可以应用于密码学和信息安全领域。
幻方具有一定的加密解密功能，通过幻方罗伯法构造的幻方可以用于信息的加密和解密，增强信息的安全性。
总之，幻方罗伯法是一种构造幻方的简单而有效的方法，通过确定基准点，并按照一定的规则填数，可以构造出各种不同阶数的幻方。
同时，幻方还具有一定的应用价值，可以应用于密码学和信息安全领域。
希望通过本文的介绍，读者能够对幻方罗伯法有更深入的了解，并在实际应用中发挥其作用。
四阶幻方代数推理
四阶幻方代数推理引言幻方是一种众所周知的数学奇观，它是一种排列在正方形格子中的数字集合，使得每一行、每一列和对角线上的数字和都相等。
四阶幻方是其中的一种特殊情况，它是一个4×4的正方形格子，被填满了1到16的数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字和都相等。
在本文中，我们将展示如何通过代数推理来构建四阶幻方。
我们将使用数学原理和方法来解释如何填充幻方，使得它满足特定的条件。
我们将展示如何利用代数运算和数学推理来构建四阶幻方，并给出详细的步骤和例子。
通过本文的阐述，读者可以了解代数推理在构建幻方中的重要作用，同时也能够对代数推理有更深入的理解。
第一部分：基本原理为了构建四阶幻方，我们首先需要了解一些基本原理。
幻方的构建是基于一种特殊的数学规律，这个规律被称为幻方的特性。
幻方的特性可以用代数推理来解释和证明，这将为我们的构建过程提供基础和指导。
首先，我们需要了解四阶幻方的特性。
根据幻方的定义，每一行、每一列和对角线上的数字和都相等。
对于四阶幻方来说，这个数字和可以表示为S=4×(4×4+1)/2=34。
这个数字34称为幻方的常数，它是幻方中每一行、每一列和对角线上数字和的总和。
了解了这个特性之后，我们就可以通过代数推理来构建四阶幻方了。
第二部分：代数推理接下来，我们将介绍如何通过代数推理来构建四阶幻方。
我们将按照以下步骤来进行推理和构建：步骤一：确定幻方的常数首先，我们需要确定四阶幻方的常数。
根据前面的讨论，我们知道四阶幻方的常数为34。
这个常数将会成为我们构建幻方的重要依据，我们需要保证每一行、每一列和对角线上的数字和都等于34。
步骤二：填充幻方的中心数字接下来，我们将填充幻方的中心数字。
四阶幻方的中心数字是16，我们可以将它填充在幻方的中心位置。
这样一来，幻方的第一步就完成了。
步骤三：确定幻方的边界数字然后，我们需要确定幻方的四个边界数字。
四阶幻方的数字范围是1到16，我们需要将这些数字填充在幻方的边界位置。
探索神奇的幻方实践报告
探索神奇的幻方实践报告1. 理论基础1.1 幻方的定义幻方是大小相等的正整数方阵，其中的每个元素都是不同的，并且每一行、每一列以及对角线上的数之和都相等。
例如，一个3阶幻方可以表示为：```2 7 69 5 14 3 8```其中，每一行、每一列和每一对角线上的数之和都等于15。
1.2 幻方的分类根据幻方的阶数（即方阵的大小），幻方可以分为奇阶幻方和偶阶幻方两种类型。
奇数阶幻方指的是方阵的大小为奇数的幻方，而偶数阶幻方指的是方阵的大小为偶数的幻方。
1.3 幻方的特性幻方具有许多神奇的特性，如每一行、每一列和每一对角线的数字和都相等、转置幻方仍为幻方等等。
此外，研究人员还发现了许多其他有趣的幻方属性，如魔方（Magic Cube）和多维幻方等。
2. 实践研究在进行幻方的实践研究中，我们选择了一些经典的幻方进行分析和探索，并尝试生成新的幻方。
2.1 3阶幻方首先，我们生成了一个3阶幻方：```2 7 69 5 14 3 8```接着，我们对这个幻方进行了一系列的操作，如翻转、旋转等，发现其仍然保持幻方的性质。
2.2 4阶幻方接下来，我们尝试生成一个4阶幻方。
通过一系列的试验和计算，我们成功地生成了一个4阶幻方：```1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16```同样地，我们对这个幻方进行了各种操作，验证了其幻方的性质。
2.3 其他尝试除了以上的实践研究外，我们还尝试了一些其他类型的幻方，如5阶、6阶幻方等。
在这些尝试中，我们遇到了一些挑战，但最终还是成功地生成了对应的幻方，并验证了其性质。
3. 结论与展望通过对幻方的实践研究，我们发现了幻方的神奇之处，并深入探索了其相关知识。
值得一提的是，幻方不仅仅是一个数学谜题，更是一种艺术和哲学的表达方式。
未来，我们将继续探索幻方的更多属性和特性，以进一步揭示其奥秘，并探索幻方在现代科学和技术中的应用。
综上所述，幻方具有着独特的魅力和神秘的属性，它不仅仅是一种数学谜题，更是一种思维和创造力的体现。
完美幻方
四阶完美幻方的构造方法李抗强岳阳县中洲乡中学教师内容提要本文首先给出四阶完美幻方的观念，再给出四阶完美幻方的基本构造方法，最后给出另外两个与前者本质上不同的四阶完美幻方的构造方法。
关键词完美幻方，泛对角线，对应方格，互补数，四区对应的四阶方阵，四区对应的四阶幻方.1 15 4 1412 6 9 713 3 16 28 10 5 11图1首先给出几个概念：1、把一个幻方E的前任意行移动到幻方的下方，所有新得到的方阵如果都仍然是幻方（也就是所有新方阵的两个主对角线数组都是幻和数组），那么幻方E称为完美幻方。
这些新方阵的主对角线称为原来幻方的泛对角线。
例如图1是一个四阶完美幻方，粗体字标记的4个方格组成它的一条泛对角线。
四阶完美幻方一共有8条泛对角线（包括主对角线在内）。
2、在扩展的四阶方阵中，任意取一个方格A，从方格A起，沿左主对角线方向移动2个方格到达方格B，方格A与方格B称为一对对应方格，例如图1中数12与数5（或者数13与数4\或者数8与数9）所在的两个方格是一对对应方格。
3、在四阶方阵中，如果某两个数之和等于该方阵最大数16与最小数1之和，这么两个数称为一对互补数(例如上面列举的3对数是3对互补数)。
4、在一个四阶方阵（幻方）G中，如果每一对对应方格内两个数都是一对互补数，幻方G称为四阶四区对应方阵（四阶四区对应幻方）。
例如图1就是一个四阶四区对应幻方。
1 2 3 4 1 2 4 35 6 7 8 5 6 8 79 10 11 12 9 10 12 1113 14 15 16 13 14 16 15C D1 2 4 3 1 15 4 145 6 8 7 12 6 9 71314 16 15 13 3 16 29 10 12 11 8 10 5 11E F图2 构造四阶完美幻方的过程图2的C图称为四阶自然方阵，把C图的第3、4列交换位置得到D图，把D图的第3、4行又交换位置（这么两次交换总称为“连续作半幅翻折”），就得到图2的E图。
求四阶的素数幻方
求四阶的素数幻方。
即在一个4X4 的矩阵中，每一个格填入一个数字，使每一行、每一列和两条对角线上的4 个数字所组成的四位数，均为可逆素数。
*问题分析与算法设计有了前面的基础，本题应当说是不困难的。
最简单的算法是：采用穷举法，设定4X4矩阵中每一个元素的值后，判断每一行、每一列和两条对角线上的4个数字组成的四位数是否都是可逆素数，若是则求出了满足题意的一个解。
这种算法在原理是对的，也一定可以求出满足题意的全部解。
但是，按照这一思路编出的程序效率很低，在微机上几个小时也不会运行结束。
这一算法致命的缺陷是：要穷举和判断的情况过多。
充分利用题目中的“每一个四位数都是可逆素数”这一条件，可以放弃对矩阵中每个元素进行的穷举的算法，先求出全部的四位可逆素数(204个)，以矩阵的行为单位，在四位可逆素数的范围内进行穷举，然后将穷举的四位整数分解为数字后，再进行列和对角线方向的条件判断，改进的算法与最初的算法相比，大大地减少了穷举的次数。
考虑矩阵的第一行和最后一行数字，它们分别是列方向四位数的第一个数字和最后一个数字，由于这些四位数也必须是可逆素数，所以矩阵的每一行和最后一行中的各个数字都不能为偶数或5。
这样穷举矩阵的第一行和最后一行时，它们的取值范围是：所有位的数字均不是偶数或5的四位可逆数。
由于符合这一条件的四位可逆素数很少，所以这一范围限制又一次减少了穷举的次数。
对算法的进一步研究会发现：当设定了第一和第二行的值后，就已经可以判断出当前的这种组合是否一定是错误的(尚不能肯定该组合一定是正确的)。
若按列方向上的四个两位数与四位可逆数的前两位矛盾(不是其中的一种组合)，则第一、二行的取值一定是错误的。
数学三阶、四阶幻方问题解法
例：补全幻方，使每行、列对角线的和相等。
（）10（）（）（）124 8 （）（）11（）（）（）7 （）18（）以中心对称的两个数的和为中心数的两倍（因为幻和=中心数×3）为条件。
所以：（1）【】【10】【】【4】【8】【12】【】【6】【7】然后：可知幻和=24，把剩下的数字再补充完就可以。
【9】【10】【5】【4】【8】【12】【11】【6】【7】（2）同理先把能推理出来的数字算出来。
【】【4】【13】【】【11】【】【9】【18】【】幻和=33【17】【4】【12】【6】【11】【16】【10】【18】【5】以中心对称的两个数的和为中心数的两倍（因为幻和=中心数×3）为条件。
例：用9以内的数补全三阶幻方，使每行、列对角线的和相等。
三阶幻方对角线和是15，即1+5+9。
每行三个数字的和都必须是1-9平均数的三倍，即5*3例：用16以内的数补全四阶幻方，使每行、列对角线的和相等。
解法1：以十六字依次作四行排列,先以四角对换,一换十六,四换十三,后以内四角对换,六换十一,七换十,这般横直上下斜角相加,皆是三十四.简单的说，四阶幻方的和是1+2+15+16四阶幻方所用数字为1-16每行四个数字的和必须是1-16平均数的四倍解法2(对称交换法)1.求幻和(1 2 …… 16)÷4＝342.⑴将1～16按自然顺序排成四行四列;⑵因为每条对角线上四个数之和恰为幻和,保持不动.⑶将一四行交换、二三行交换，但是对角线上八个数不动。
⑷将一四列交换、二三列交换，但是对角线上八个数不动。
（1）1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16（2）1 14 15 49 6 7 125 10 11 813 2 3 16（3）1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16解法3.(田格图阵法)1.将1～16平均分为4组,每组4个数的和均为幻和34.(多种分法)如:1 12 7 14=2 11 8 13=3 10 5 16=4 9 6 15=34.2.分别填入4个田字格,两行之和分别为13与21.3.将4个田格合并,再适当转动各田格,得到满足要求的幻方.解法4：（推理法）常用，虽然速度不是很快。
求四阶的素数幻方
求四阶的素数幻方。
即在一个4X4 的矩阵中，每一个格填入一个数字，使每一行、每一列和两条对角线上的4 个数字所组成的四位数，均为可逆素数。
*问题分析与算法设计有了前面的基础，本题应当说是不困难的。
最简单的算法是：采用穷举法，设定4X4矩阵中每一个元素的值后，判断每一行、每一列和两条对角线上的4个数字组成的四位数是否都是可逆素数，若是则求出了满足题意的一个解。
这种算法在原理是对的，也一定可以求出满足题意的全部解。
但是，按照这一思路编出的程序效率很低，在微机上几个小时也不会运行结束。
这一算法致命的缺陷是：要穷举和判断的情况过多。
充分利用题目中的“每一个四位数都是可逆素数”这一条件，可以放弃对矩阵中每个元素进行的穷举的算法，先求出全部的四位可逆素数(204个)，以矩阵的行为单位，在四位可逆素数的范围内进行穷举，然后将穷举的四位整数分解为数字后，再进行列和对角线方向的条件判断，改进的算法与最初的算法相比，大大地减少了穷举的次数。
考虑矩阵的第一行和最后一行数字，它们分别是列方向四位数的第一个数字和最后一个数字，由于这些四位数也必须是可逆素数，所以矩阵的每一行和最后一行中的各个数字都不能为偶数或5。
这样穷举矩阵的第一行和最后一行时，它们的取值范围是：所有位的数字均不是偶数或5的四位可逆数。
由于符合这一条件的四位可逆素数很少，所以这一范围限制又一次减少了穷举的次数。
对算法的进一步研究会发现：当设定了第一和第二行的值后，就已经可以判断出当前的这种组合是否一定是错误的(尚不能肯定该组合一定是正确的)。
若按列方向上的四个两位数与四位可逆数的前两位矛盾(不是其中的一种组合)，则第一、二行的取值一定是错误的。
同理在设定了前三行数据后，可以立刻判断出当前的这种组合是否一定是错误的，若判断出矛盾情况，则可以立刻设置新的一组数据。
这样就可以避免将四个数据全部设定好以后再进行判断所造成的低效。
根据以上分析，可以用伪语言描述以上改进的算法：开始找出全部四位的可逆素数;确定全部出现在第一和最后一行的四位可逆素数;在指定范围内穷举第一行在指定范围内穷举第二行若第一、第二、三行已出现矛盾，则继续穷举下一个数;在指定范围内穷举第四行判断列和对角方向是否符合题意若符合题意，则输出矩阵;否则继续穷举下一个数;结束在实际编程中，采用了很多程序设计技巧，假如设置若干辅助数组，其目的就是要最大限度的提高程序的执行效率，缩短运行时间。
四阶幻方的解
四阶幻方的解本文根据幻方的定义,建立了一个具有十六个未知数的非齐次线性方程组,求出了它的一般解.结合幻方的特性给出了求解的一般方法.论证了四阶幻方共有384个形式解.进而说明在变换意义下解的唯一性.一 建立方程组并求出一般解定义1:自然数1,2,3,…,16排成四行四列的方阵,如果每行每列及每条对角线(包括折断对角线)上四个数的和皆等于常数,则称这样的方阵为四阶幻方.假设方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡16151413121110987654321x x x x x x x x x x x x x x x x 为四阶幻方,根据定义得下面的方程组: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++><=+++16.....................................15......................................14.......................................13.....................................12......................................11........................................10......................................9.......................................8.......................................7...........................................6.............................................5...........................................4........................................3.........................................2.........................................1..........................................13107416963151252141181151054149831312721611611615141312111098765432116128415117314106213951t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x t x x x x 将这个非齐次线性方程组的增广矩阵进行初等变换化为最简形式(具体化简过程从略)→-----⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡t t t t t t t t t t t t t t t t 0001001001001000100000010010010001001000000100100010010010000001010000100001100000100001100001000001100001000010100001000010000111110000000000000000111100000000000000001111000000000000000011111000100010001000010001000100010000100010001000100001000100010001⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------------000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001111000000000000110011000000000001010101000000000001101001000000002001000001000000021110000001000000210000000001000002010000000001000021010100000001000201001000000001002000010000000001021100100000000001t t t tt t t t t t 因为342)161(16.4141161=+==∑=k k t将34=t 代入上述矩阵种得到方程组得一般解:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧><---=><---=><+-=><++-=><-=><+++-=><-=><-=><-+-=><--+=><-=><+++-=28............................3427............................3426..................................25................................24..............................................1723.........................1722..............................................1721..............................................1720.............................1719.............................1718..............................................1717.........................1716151413161512111615121015141291481615147166155161412415141231221615121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x %%(26)中,x15改为x14￥￥￥二 确定四阶幻方解得一般方法从方程组的一般解可以推出以下八个关系式: 由<17>+<18>,<23>+<24>,<25>+<26>得:16151098721x x x x x x x x +=+=+=+ <29>由<19>+<20>,<21>+<22>,<27>与<28>比较得:141312116543x x x x x x x x +=+=+=+ <30>由<17>+<21>,<19>+<23>及<26>得:161214107351x x x x x x x x +=+=+=+ <31>由<18>+<22>,<20>+<24>,<25>+<28>与<27>得:151********x x x x x x x x +=+=+=+ <32>由<17>+<20>,<22>+<23>及<25>得:151********x x x x x x x x +=+=+=+ <33>由<18>+<19>,<21>+<24>,<26>+<27>与<28>比较得:1641178532x x x x x x x x +=+=+=+ <34>$$x7,x14改为x10,x13$$$由<17>+<28>,<22>+<26>,<19>,<24>两边加上x 12得:128153106131x x x x x x x x +=+=+=+ <35>由<21>+<25>,<18>两边加上x 14,<23>+<27>,<20>得:16411714295x x x x x x x x +=+=+=+ <36>今断言171615≠+x x若171615=+x x ,由<21>式知17155=+x x ,则可推出165x x =矛盾. 同理可以推得,,,,,,,16412816131514151116121211x x x x x x x x x x x x x x +++++++都不等于17.我们考查关系式<29>与<30>,这两个关系式把十六个数分为两类,其中每一类的八个数又可分为四对,且每对数的和皆相等,但是都不等于17.幻方常数34分为两个数的和,这两个数并不相等的分法共有如下十六种.;(33,1),(32,2),(31,3),(30,4),(29,5),(28,6),(27,7),(26,8),(25,9),(24,10),(23,11),(22,12),(21,13),(20,14),(19,15),(18,16).因为1,2都不能分为互不相等的两个数的和,3只能分为(1,2)一类, ,4只能分为(1,3)一类,5只能分为(1,4),(2,3)两类,6只能分为(1,5),(2,4)两类,7只能分为(1,6),(2,5),(3,4)三类, 8只能分为(1,7),(2,6),(3,5)三类,这八类都不能分为互不相等的八类,所以应该排除.24可以分为(16,8),(15,9),(14,10),(13,11), 四对10可以分为(9,1),(8,2),(7,3),(6,4) 四对虽然各自可以分为互不相等的四对,但是十六个数字中漏掉了5和12这两个数字,而8,9这两个数字两类中都有出现了重复,所以这种分法也应该排除.23可以分为(16,7),(15,8),(14,9)(13,10).(12,11) 五对11可以分为(10,1),(9,2),(8,3),(7,4),(6,5) 五对,尽管每个数可以分为互不相等的五对,但是却不能从中选出彼此互不重复的四对, 所以这种分法也应该排除.22可以分为(16,6),(15,7),(14,8),(13,9),(12,10), 五对12可以分为(11,1),(10,2),(9,3),(8,4),(7,5) 五对,尽管每个数可以分为互不相等的五对,但是却不能从中选出彼此互不重复的四对, 所以这种分法也应该排除.20可以分为(16,4),(15,5),(14,6)(13,7).(12,8),(11,9) 六对14可以分为(13,1),(12,2),(11,3),(10,4),(9,5),(8,6) 六对,尽管每个数可以分为互不相等的六对,但是却不能从中选出彼此互不重复的四对, 所以这种分法也应该排除.25可以分为(16,9),(15,10,),(14,11),(13,12) 9可以分为(8,1),(7,2),(6,3),(5,4) 21可以分为(16,5),(15,5),(14,7),(13,8) 13可以分为(12,1),(11,2),(10,3),(9,4) 19可以分为(16,3),(15,4),(12,7),(11,8) 15可以分为(14,1),(13,2),(10,5),(9,6) 18可以分为(16,2),(14,4),(12,6),(10,8) 16可以分为(15,1),(13,3),(11,5),(9,7)(25,9);(21,13);(19,15);(18,16)这四种分法的每个数不仅可以分为互不相等的四对,而且互不重复,又无遗漏,这四种分法正好与前面的八个关系式构成一一对应.利用这一对应关系.便可以给出确定四阶幻方解的一般方法: 下面给出四阶幻方的一个解.不妨取定<29>=9,,<30>=25,<31>=13,<32>=21, <33>=15,<34>=19,<35>=16,<36>=18 令11=x由921=+x x ,得82=x ,(因为<29>=9) 由1351=+x x ,得125=x ,(因为<31>=13) 由1541=+x x ,得144=x ,(因为<33>=15) 由16131=+x x ,得1513=x ,(因为<35>=16) 而由<30>=25即251413=+x x 得1014=x 而由<32>=21即2162=+x x 得136=x 而由<32>=21即21139=+x x 得69=x 而由<32>=21即2184=+x x 得78=x 而由<30>=25即2543=+x x 得113=x 再由<29>=9即987=+x x 得27=x 再由<29>=9即9109=+x x 得310=x 此时还余下4,5,9,16四个数 由<30>=25即251211=+x x 由<32>=21即. 211511=+x x考虑25的分类中还余下(16,9)这一对,21的分类中还余下(16,5)这一对,所以1611=x 从而912=x 515=x 这时断定416=x将确定的解排成方阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡45101591636721312141181 经检验这个矩阵满足四阶幻方的定义. 三确定幻方解的个数从确定幻方解的一般方法,我们进而可以确定幻方解的个数.,,,,131514121x x x x x x x x ++++是从(25,9),(21,13),(19,15),(18,16)中选取的四个数值,共有42种选择.它的选择，具体讲可由1x 的值所确定,例如取11=x .我们考查1所在的数对所属的分类.1在9,13,15,16的分对中.所以,,,,131514121x x x x x x x x ++++取定9,13,15,16.这相当与四个元素的全排列.它们的取法共有!4种.对于每一种排列,按照(二)中的方法便可确定幻方的一个解.(二)中的具体解便是.所以四阶幻方的解共有384!4.24=个解.四 在变换意义下的唯一性对于我们在(二)中得到的那个解. 1,矩阵转置后显然是解.2,.交换第二行和第四行的位置后仍然是解, 交换第一行和第三行的位置后仍然是解, 将矩阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=16151413121110987654321x x x x x x x x x x x x x x x x A 进行分块,记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=652111x x x x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=874312x x x x A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=141310921x x x x A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1615121122x x x x A ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A 定义2:若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321b b b b B 称⎥⎦⎤⎢⎣⎡4231b b b b 为B 的正转置记为+T B ,即右上角与左下角交换. 称⎥⎦⎤⎢⎣⎡1324b b b b 为B 的负转置记为-T B ,即右下角与左上角交换.称⎥⎦⎤⎢⎣⎡1234b b b b 为B 的双转置记为TB ,即右上角与左下角,右下角与左上角都交换.3,若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A 是解,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+--+T T T T A A A A A 22211211*也是解 4,若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A 是解,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22122111***A A A A A TT 也是解 ***A 是由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211A A A A A 分块后,先将块当作元素进行正转置得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22122111**A A A A A ,再将块12,21A A 分别双转置而成,形象地说是将A 分块后,将块2112,A A 绕矩阵的中心旋转0180而成.可以将幻方的一个解,利用上述四个变换得到所有的384个解,反过来利用上述四个变换,可以将一个解变成我们所得到的那个解.所以在变换意义下,我们说四阶幻方的解是唯一的.本文得到王石瑚先生的指导,在此表示感谢!本文发表在洛阳师专学报(自然科学版)1989年第2期.。
奇妙的幻方
传说两千多年前，夏禹治水时,黄河中跃出一匹神马, 马背上驮着一幅图,人称「河图」;又洛水河中浮出一只神龟, 龟背上有一张象征吉祥的图案，人称「洛书」。
他们发现,这些图案每一列,每一行及对角线, 加起来的数字和都是一样的,这就是我们现在所称的。
在西方被称为：现在，让我们一起来研究最简单的幻方三阶幻方四阶幻方五阶幻方六阶幻方…………n阶幻方4 9 2 35 7 8 1 61 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 1617 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 9 21 311 18 25 2 91 9 34 33 32 2 6 11 25 24 14 31 10 22 16 17 19 27 30 18 20 21 15 7 29 23 13 12 26 8 35 28 345 36在《射雕》中郭黄二人被裘千仞追到黑龙潭，躲进瑛姑的小屋。
瑛姑出了一道题：这就是三阶幻方了。
4 9 2 3 5 78 1 6你知道黄蓉是怎么做出来的吗？ 数字1—9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及两条对角线上的和都相等。
这道题难倒了瑛姑十几年，被黄蓉一下子就答出来了。
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：③把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
①将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排②把上、下两数对调，左、右两数也对调; ①②③④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨⑥除了刚刚得出三阶幻方外，你还能写出其他的三阶幻方吗？还是让我来告诉你吧！将刚刚的三阶幻方绕中心旋转一定角度，如：90o 、180o 等。
你得到新的三阶幻方了吗？① ②③ ④ ⑤ ⑦⑧ ⑨ ⑥实际上，平面幻方的构造，分为三种：①奇数(3、5、7……）阶幻方;②双偶数（4、8、12……4n）阶幻方;③单偶数（6、10、14……4n+2)阶幻方 .刚刚的三阶幻方就属于奇数阶幻方了。
那么你能不能写出其他的奇数幻方呢？以五阶幻方为例，跟我一起来试试吧。
四阶幻方的规律和方法
四阶幻方的规律和方法
四阶幻方是一种数学游戏，把16个数字从1到16排列在4x4的网格中，使得每行、每列以及两个对角线均相加得到相同的数字。
规律：
1. 四阶幻方的所有数字总和为34。
2. 每行、每列以及两个对角线之和都为34。
3. 每行和每列中的数字从大到小排列，两个对角线的数字从小到大排列。
方法：
1. 先确定中央的数字，一般为9；
2. 然后确定每一行的数字，两边的数字相加等于34减去中央的数字；
3. 接着确定各列数字，上下两边的数字相加等于34减去中央的数字；
4. 最后再重新检查每行每列以及两个对角线之和，确保他们都是34。
n=4m(m∈N)阶幻方的最简单构造法
关键在于，如何在数阵图s-2中确定：哪些数作补数，哪些数作原数。
先将1作原数，对第一行，由定理2知4也作原数，而将2、3变成补数2、3；对于第一列，13作原数，5和9将变成补数5、9，其它行列类推，即如图h-1，再将其补数换成其对应的原数，即得一个4阶幻方，如图h-2。若将图h-1中的每个数都取补数，又得一个有补数的新幻方，如图h-3。（注：这里就是利用了补数的性质）
（或某列）补数的分布规律，我们就能在数十秒内写出较
大的4m阶幻方，因为只需标出原4m阶数阵中所有的补数
就够了，这比用其它方法构造4m阶幻方来得更快捷方便。
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=2(1+n2)-(a2+a3)+ (a1+a4)
=2(1+n2)
同理可证(a1+a4)+(a2+a3)=2(1+n2)
∴(a2+a3)+(a1+a4)=(a1+a4)+(a2+a3)=2(1+n2)
当n=4m，m=1时，(a2+a3)+(a1+a4)=(a1+a4)+(a2+a3)=2(1+42)=2×17=34
等差数列，这个等差数列的和是s=
n×1+×d=，
即n阶幻方的幻和。而右倾一条主对
角线上的数满足式子(n-1)×h+1 <h为行号>，是一个公差为d1=n-1的等差数列，此等差数
列的和是s= n×n+×d1=，也为n阶幻方的幻和。
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n=4m（m∈N）阶幻方的构造法
有了上述预备知识，我们就可以讨论一下n=4m阶幻方构造的方法。
神奇的幻方——精选推荐
神奇的幻方执教人：贾正鹏教学内容：奇数阶幻方的认识、奇数阶幻方的解决方法、幻方的实际应用。
教学目标：1、初步认识幻方，了解幻方的起源，激发学生热爱祖国的思想感情。
2、在合作学习的过程中，探究幻方的特征。
3、会根据幻方的特征填数。
4、培养自主探究的能力和团结协作的能力。
教学重、难点：探究幻方的特征。
教具准备：多媒体课件，实物展示平台。
教学过程：一、课前口算练一练。
1+2= 31+2+3= 61+2+3+4= 101+2+3+4+5= 151+2+3+4+5+6= 211+2+3+4+5+6+7= 281+2+3+4+5+6+7+8= 361+2+3+4+5+6+7+8+9= 45学生进行口算练习。
（为课上的口算作准备）二、欣赏古诗，引入课题。
师：语文课上我们学过很多古诗，大家能不能背一首？生：能。
语文课代表起头，背诗一首。
《春晓》春眠不觉晓，处处闻啼鸟。
夜来风雨声，花落知多少。
师：这首诗描写的是春天的场景。
其实，在数学中也有许多美妙古诗，今天老师就给大家带来一首，请看：（出示课件）•四海三山八仙洞，•九龙王子一枝莲。
•二七六郎赏月半，•周围十五月团圆。
学生先默读这首诗，再齐读这首诗。
师：谁能说说这首诗所表达的意思？指名学生回答。
（学生能把字面的意思说个大概，但整个一首诗的意思肯定说不明白。
）师：让我们先看看这首诗的来历吧。
（引入神话传说）相传三千多年前大禹治水的时候，有一只神龟出自洛水。
龟背上刻有神奇的图案。
（课件出示：龟背图）这个龟背图很特别，请同学们观察一下，它有什么奇特之处？学生回答。
根据学生回答总结：有黑白圈共45个，用直线连成9个数，白色是单数，黑色是双数。
这幅图被称为“洛书”。
师：洛书实际上是一个三阶幻方，（即三行三列九个方格）由于洛书是9个数组成，故称为“九宫”。
我国的少数民族如藏族和纳西族都曾有“九宫图”。
这首诗就是当时赞美九宫图的。
九宫图还有很多好听的名字，如宋朝数学家杨辉曾给它起名“纵横图”，后来传到外国，取名为“幻方”，意思是变幻莫测的方块。
认识幻方(幻方的起源、历史发展、定义等)
认识幻方(幻方的起源、历史发展、定义等)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March算数学认识幻方1.幻方的定义在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”“洛书”，又叫“纵横图”。
宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
所谓纵横图，它是由1到2n,这2n个自然数按照一定的规律排列成N行、N列的一个方阵。
它具有一种奇妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。
2.幻方的起源我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
有人认为“洛书”是外星人遗物；而“河图”则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍。
另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。
这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...3.幻方的历史发展幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。
杨辉幻方法则的易学应用
杨辉幻方法则的易学应用
杨辉幻方法则的易学应用
南宋杨辉不仅精通数学，而且精通易学，在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，就对河图和洛书的数学问题进行了详尽的研究。
其中对3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律：
“九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出，
戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”
清代，李光地的《周易折中》把杨辉所概括的这种排列排列原理为“阳动阴静”。
现将排列方法表述如下：
1、九子斜排
2、上下对易，左右相更
3、四维挺出
事实上，用杨辉所概括的构图规则可以推广到任何奇数阶幻方。
如天数二十五构成的五阶幻方：
1、斜排
2、上下相易、左右相更、四维挺出
又如大衍四十九数七阶幻方：
1、四十九数斜排：
2、上下相易、左右相更、四维挺出
又如尽变八十一数九阶幻方：
1、八一数斜排
2、上下相易、左右相更、四维挺出
杨辉提出的这种幻方构图，符合古代阳变阴死的“阳动阴静”法
则，能穷宇宙万数之变，不愧为世界幻方始祖。
杨曙凤2009.12 梅城。
四阶幻方诗情
诗歌使人巧慧，数学使人灵敏。
在艺术中，与数学最接近的就是诗歌了。
许多数学家认为，不能在心灵上作为一个诗人就不能成为一位数学家。
九宫图是一首迷人的诗，那么四阶幻方也是一首完美的诗，一首震憾人们心灵的诗。
四阶完美幻方共有三类。
它所具有的幻性是十分丰富的，其分布规律，其结构关系，表现出惊人的和谐对称性，及整齐一律的美，并蕴含深奥的哲理思想。
在我们的心灵中四阶完美幻方就是一首有严格韵律的四句诗，它激起了我们想象空间的升华，我们用它的数字结构进行诗歌艺术的创作，所创作成的每首诗歌，宛如新生{注解}：此诗所用数字构成一个四阶完美幻方，其四行四列及八条泛对角线所含四数之和都等于34。
而且每一正方形，每一等腰梯形（如14，7，10，3）。
每一平行四边形（如4，15，13，2）上的四个角，所含四数之和均为34。
每一交叉十字点上，画一个“X”向四边沿伸使其各有两个数字，那么每组两数之差均相等，如第一类四阶完美幻方图6-1这首《别离情》诗，惟妙惟肖地描述了四哥与十四姐的别离后的思念之情。
他们每年只有六天见面时间，每逢一次总要穿山越岭，有一个艰难的旅程。
离愁别恨，望着浓浓的云月，触发思念情绪，作诗感叹，就这样两地相望已十六年了。
此诗不仅能够将和谐美妙的数字巧妙地砌入诗中，而且又能真切地表达别离思{注解}：此诗所用数字构成第二类四阶完美幻方，其性质与第一类相同。
这里描写了一个少年学艺的过程，他11岁就八方云游寻找师父，12岁就有七位老师给他教功夫，13岁就有两手高招。
他每天三更开始苦练各种套路招式，一年四季，住在九米高的围墙中天天如此，到14岁已身藏绝技很了不起了。
此诗巧妙地将幻方中11—14各数字，用作少年成长的过程。
一个志高的少年被表现{注解}：此诗所用数字构成第三类四阶完美幻方。
其性质也与第一类相同。
这首诗描写了一个山湖园林的景色。
重峦叠峰中，五桥连着四方的园林，街头长廊，杨柳翠砭，湖中山色映出八个险洞，十分壮观迷人，楼阁宫殿，花坛草坪，分布在湖岸边上，一个美妙秀丽的景色历历在目，时值七月，正是景色最秀丽的时候，这是作者第二次到这里观光了。