幂函数学案

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幂函数教学设计

幂函数教学设计幂函数是初等函数的一种，是指以自然数为指数的函数。

其函数式可以表示为y=x^n，其中x为自变量，n为常数指数，y为函数的值。

以下是五个优秀的幂函数教学设计：1.教学目标：通过本节课的学习，学生将掌握幂函数的概念、性质和图像。

教学过程：(1)导入环节：通过提问引入幂函数的概念，如何用自然数表示指数。

(2)基础知识讲解：介绍幂函数的定义、性质和图像特点。

(3)解答问题：让学生通过例题解答，巩固对幂函数的理解。

(4)实例操作：以实际问题为背景，让学生应用幂函数解决实际问题。

(5)总结归纳：总结幂函数的特点和应用，并提醒学生注意幂函数与其他函数的区别。

2.教学目标：通过本节课的学习，学生将理解幂函数的增减性质和相关应用。

教学过程：(1)导入环节：通过展示两个幂函数的图像，让学生观察并讨论它们的变化趋势。

(2)基础知识讲解：讲解幂函数的增减性质，即正指数的幂函数递增，负指数的幂函数递减。

(3)实例分析：通过实例分析，揭示幂函数增减性质的应用，如求不等式的解等。

(4)实践操作：让学生通过练习题巩固对幂函数增减性质的理解和应用。

(5)拓展讨论：引导学生思考其他函数的增减性质，并与幂函数进行比较。

3.教学目标：通过本节课的学习，学生将学会化简幂函数表达式。

教学过程：(1)导入环节：通过提问引入化简幂函数表达式的概念和意义。

(2)基础知识讲解：介绍幂函数的化简规则和步骤，如指数相加相乘规则等。

(3)解答问题：通过例题解答，让学生掌握幂函数化简的方法和技巧。

(4)实例操练：让学生通过练习题巩固幂函数化简的能力。

(5)拓展应用：引导学生将化简幂函数应用到求导、积分等数学问题中。

4.教学目标：通过本节课的学习，学生将了解幂函数的特殊性质和图像变化规律。

教学过程：(1)导入环节：通过提问引入幂函数的特殊性质，如y=x^0、y=x^1等。

(2)基础知识讲解：介绍幂函数特殊性质的证明和图像变化规律。

(3)实例演示：通过示例演示，展示幂函数图像在特殊情况下的形态和变化特点。

3.3 幂函数导学案(1)

3.3 幂函数1.理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象; 2.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质； 3.能应用幂函数性质解决简单问题。

1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。

一、幂函数的是概念：一般地，函数叫做幂函数(power function) ，其中为自变量，为常数。

二、幂函数的性质一、探索新知探究一幂函数概念（一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付P = W 元， P 是W 的函数（y=x ）(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a 2 ， S 是a 的函数（y=x 2）。

(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a 3， S 是a 的函数（y=x 3）。

(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= 12S 。

a 是S 的函数。

（y=12x ） (5)如果某人 t s 内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t -1，V 是t 的函数。

（y=x -1）问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义：一般地，函数y=x ɑ叫做幂函数(power function) ，其中x 为自变量，ɑ 为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y = x a 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？看看自变量x 是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。

练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）4y x =；（2）22y x =；（3）2y x =-；（4）2x y =；（5）2y x -=；（6） 3+2y x =。

学案3：4.4　幂函数

4.4 幂函数【课标要求】课程标准：1.通过具体实例，了解幂函数的概念.2.结合函数y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝x 3的图像，了解幂函数图像的变化规律，掌握幂函数的图像与性质.教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图像与性质. 教学难点：幂函数性质的简单应用.【知识导学】知识点一幂函数的概念一般地，函数称为幂函数，其中为常数．知识点二一些常用幂函数的图像同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12 的图像(如图)．知识点三幂函数的共同特征(1)所有的幂函数在区间上都有定义，并且图像都通过点． (2)如果α>0，则幂函数的图像通过，并且在区间[0，＋∞)上是函数．(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是函数，且在第一象限内：当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方且无限地逼近轴；当x 无限增大时，图像在x 轴上方且无限地逼近轴．【新知拓展】1．幂函数的特征 (1)x α的系数为1. (2)x α的底数是自变量．(3)xα的指数为常数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．2．幂函数与指数函数的区别3．一些常用幂函数的性质【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3＋2是幂函数．()(2)幂函数的图像必过(0,0)和(1,1)这两点．()(3)指数函数y＝a x的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．()(4)对于幂2 12，既可以看成某指数函数的函数值，也可以看成某幂函数的函数值．( ) (5)当x ＞1时，函数y ＝x 2的图像总在函数y ＝x 3的图像的下方．( ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________.(2)已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,8)，则f (－2)＝________.(3)若y ＝ax a 2－15是幂函数，则该函数的定义域是______，值域是_______，奇偶性是________，单调性为____________________________．【题型探究】题型一幂函数的定义例1 已知幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．【规律方法】判断函数是幂函数的依据判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 【跟踪训练1】(1)在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知y ＝(m 2＋2m －2) ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．题型二幂函数的图像及应用例2幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x 13，y＝x－12在第一象限内的图像依次是图中的曲线()A．C2，C1，C3，C4B．C4，C1，C3，C2C．C3，C2，C1，C4D．C1，C4，C2，C3【规律方法】解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断．【跟踪训练2】(1)如图是幂函数y＝x m与y＝x n在第一象限内的图像，则()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1(2)已知函数y＝x 2 3 .①求定义域；②判断奇偶性；③已知该函数在第一象限的图像如图所示，试补全图像，并由图像确定单调区间．题型三幂函数的性质及应用——角度1比较幂值大小——例3比较下列各组数的大小：(1)1.512，1.712；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2；(4)0.53,30.5，log30.5.【规律方法】幂大小的比较方法两个或几个幂比较大小，当指数相同，而底数不同时，常先构造幂函数，然后利用单调性比较大小；有时可与0,1等值比较，从而进一步进行比较，这种方法常称为媒介法．【跟踪训练3】比较下列各组中两个幂的值的大小：(1)⎝⎛⎭⎫230.5，⎝⎛⎭⎫350.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1，⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)(－0.23) 23 ，0.32 23.——角度2 解不等式——例4 已知(a ＋1)－13<(3－2a ) －13 ，求实数a 的取值范围．【规律方法】利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数．(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系． (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．【跟踪训练4】已知(a ＋1)－2>(3－2a )－2，求a 的取值范围．【随堂达标】A ．①⑤⑥B ．①②③⑦C ．②④D ．②③⑤⑦2．幂函数y ＝x 34的定义域是( ) A ．RB ．[0，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．以上都不对3．函数y ＝x 53的图像大致是图中的( )4．设a ＝⎝⎛⎭⎫1223 ，b ＝⎝⎛⎭⎫15 23 ，c ＝⎝⎛⎭⎫1213 ，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________． 5．已知幂函数f (x )＝x 3m －9(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f (x )的解析式．【参考答案】【知识导学】知识点一幂函数的概念 y ＝x αα知识点三幂函数的共同特征 (1) (0，＋∞) (1,1)(2)原点增 (3)减yx 轴【基础自测】1．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．答案 (1)3 (2)－8(3)R [0，＋∞) 偶函数在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增【题型探究】题型一幂函数的定义例1[解] ∵y ＝(m 2－m －1)x m2－2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0；故m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3或y ＝x 0，它们的定义域都是{x |x ≠0}．【跟踪训练1】答案 (1)B (2)见解析解析 (1)因为y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于系数为2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；常函数y ＝1的图像比幂函数y ＝x 0的图像多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．故选B. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.题型二幂函数的图像及应用例2[解析] 由于在第一象限内直线x ＝1的右侧，幂函数y ＝x α 的图像从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图像在第一象限内直线x ＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图像为C 1，y ＝x －1在第一象限内的图像为C 4，y ＝x 13 在第一象限内的图像为C 2，y ＝x －12在第一象限内的图像为C 3. [答案] D 【跟踪训练2】答案 (1)B (2)见解析解析 (1)在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图像有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.(2)①y ＝x 23 ＝3x 2，定义域为实数集R .②设y ＝f (x )，因为f (－x )＝3(－x )2＝3x 2＝f (x )，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y ＝x 23是偶函数．③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图像关于y 轴的对称图像，即得函数y ＝x 23的图像，如图所示．根据图像易知，函数y ＝x 23在区间[0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数. 题型三幂函数的性质及应用 ——角度1 比较幂值大小—— 例3[解] (1)∵y ＝x 12在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7， ∴1.5 12 <1.7 12 .(2)∵y ＝x 3在R 上是增函数，－1.2>－1.25， ∴(－1.2)3>(－1.25)3. (3)∵y ＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1.∵y ＝5.26x 在R 上是增函数，－1>－2. ∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2. (4)∵0<0.53<1,30.5>1，log 30.5<0， ∴log 30.5<0.53<30.5. 【跟踪训练3】解 (1)∵幂函数y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数，且23>35，∴⎝⎛⎭⎫230.5>⎝⎛⎭⎫350.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是减函数，且－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 23为R 上的偶函数， ∴(－0.23) 23 ＝0.23 23.又∵y ＝x 23 为[0，＋∞)上的增函数，∴0.23 23 <0.32 23 ，∴(－0.23) 23 <0.32 23 .——角度2 解不等式——例4[解] ∵y ＝x －13 在(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减，又(a ＋1) －13 <(3－2a ) －13 ，∴3－2a <1＋a <0或a ＋1>3－2a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a >0. 解得23<a <32或a <－1. 【跟踪训练4】解由幂函数y ＝x －2的图像(如图)可知，|x |越小，y 值越大．∵(a ＋1)－2>(3－2a )－2，∴|a ＋1|<|3－2a |，即(a ＋1)2<(3－2a )2，∴3a 2－14a ＋8>0，结合y ＝3a 2－14a ＋8的图像，得a <23或a >4. 【随堂达标】1. 答案 C解析符合幂函数y ＝x α形式的只有②④，故选C.2．答案 B解析由y ＝x 34 ，得y ＝4x 3，x 3≥0，即x ≥0.故此函数的定义域是[0，＋∞)．3．解析 ∵函数y ＝x 53 是奇函数，且53>1，∴函数y ＝x 53 的图像大致为B. 4．答案 b <a <c解析 a ＝⎝⎛⎭⎫12 23 ，b ＝⎝⎛⎭⎫15 23 ，可利用幂函数的性质，得a >b ，a 与c 可由指数函数的单调性得c >a ，∴b <a <c .5．解 ∵幂函数f (x )＝x 3m－9在(0，＋∞)上是减函数， ∴3m －9<0，即m <3.又∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又f (x )＝x 3m －9的图像关于y 轴对称，即该函数是偶函数，∴3m －9是偶数，∴m ＝1，∴f (x )＝x －6.。

幂函数教案

2.3幂函数（一）教学目标：㈠知识和技能1．理解幂函数的概念，会画幂函数的图象，并能结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质。

2．理解几个常见的幂函数的性质。

1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图水平。

2．使学生进一步体会数形结合的思想。

㈢情感、态度与价值观1．通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

2．利用计算机等工具，理解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分理解到现代技术在人们理解世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。

教学重点常见幂函数的概念和性质教学难点幂函数的单调性与幂指数的关系教学过程（一）引入新课(1) 假如张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数；(2) 假如正方形的边长为a ，那么正方形的面积S=a 2，这里S 是a 的函数； (3) 假如立方体的边长为a ，那么立方体的体积V=a 3，这里V 是a 的函数；(4) 假如一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长21S a =，这里a 是S 的函数； (5) 假如某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v=1-t km/s ，这里v 是t 的函数。

思考：这些函数有什么共同的特征？他们有以下共同特点：(1)都是函数；(2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂；（二）新课讲授1、一般地，函数y=x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 注意：幂函数中α的能够为任意实数.2、练一练：1。

判断以下函数是否为幂函数.(1) 4x y = （2）21x y = （3）22x y = （4）2x y -= （5）23+=x y()。

m ，x m m x f m 的值求是幂函数已知例3221)(:1+-+=.),,2()(:22解析式试求出这个函数的的图像过点已知幂函数例x f y =3、在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x ，2x y =，3x y =，21x y =，1-=x y 的图象：观察图象，总结填写下表：x y = 2x y = 3x y = 21x y = 1-=x y定义域值域奇偶性单调性定点1.在第一象限内一定有幂函数的图像，第四象限肯定没有幂函数的图像，在第二象限、第三象限可能有也可能没有（根据幂函数的奇偶性来判断）。

幂函数教学设计(共7篇)

幂函数教学设计〔共7篇〕第1篇：幂函数教学设计《幂函数》教学设计一、设计构思设计理念注重开展学生的创新意识。

学生的数学学习活动不应只限于承受、记忆、模拟和练习，倡导学生积极主动探究、动手理论与互相合作交流的数学学习方式。

这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在老师引导下的“再创造”过程。

我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，开展他们的创新意识。

注重进步学生数学思维才能。

课堂教学是促进学生数学思维才能开展的主阵地。

问题解决是培养学生思维才能的主要途径。

所设计的问题应有利于学生主动地进展观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。

内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。

伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。

本节主要安排应用类比法进展讨论，加深学生对类比法的体会与应用。

注重学生多层次的开展。

在问题解决的探究过程中应表达“以人为本”，充分表达“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的开展”的教学理念。

有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经历根底之上，而学生的根底知识和学习才能是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到开展。

注重信息技术与数学课程的整合。

高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进展探究和发现。

另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。

教材分析^p幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学第二章第四节的内容。

该教学内容在人教版试验修订本中已被删去。

标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。

故在教学过程及后继学习过程中，应可以让学生体会其实际应用。

幂函数优秀教案

幂函数优秀教案幂函数教学目标】1.知识与技能：1) 理解幂函数的概念，能够画出幂函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1，y=x^2的图像。

2) 根据常见的幂函数图像，理解幂函数图像的变化情况和性质，并能进行简单的应用。

2.过程与方法：1) 通过观察、总结幂函数的性质，培养学生的识图能力和概括能力。

2) 使学生进一步体会数形结合的思想方法。

3.情感态度与价值观：1) 通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的研究兴趣。

2) 利用计算机，了解幂函数图像的变化规律使学生认识到现代技术在数学认识过程中的作用，从而激发学生的研究欲望。

教学重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。

教学难点】画五个具体幂函数的图像并由图像概括其性质，体会图像的变化规律。

教法】启发、引导教学过程】一、创设情景，引入新课通过观察几个例子的函数模型，引入新课。

二、互动探究，讲解新课1.幂函数的定义：一般地，函数y=x^α叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数。

练：判断下列函数是否为幂函数？1) y=x^4 (2) y=2x^2 (3) y=-x^3 (4) y=2.常见幂函数的图像与性质：自主探究]分别作出函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1，y=x^2的图像并观察函数图像，将你发现的结论写在下表内：定义域。

|。

值域。

|。

奇偶性。

|。

单调性。

|。

定点。

|R。

|。

R+。

|。

奇函数。

|。

增函数。

|。

(1,1)。

|R。

|。

R+。

|。

偶函数。

|。

增函数。

|。

(0,0)。

|R。

|。

R。

|。

奇函数。

|。

增函数。

|。

(0,0)。

|R*。

|。

R*。

|。

奇函数。

|。

减函数。

|。

(1,1)。

|R+。

|。

R+。

|。

无奇偶性。

|。

增函数。

|。

(0,0)。

|合作探究]根据上表的内容并结合图像，试总结函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1，y=x^2的共同性质。

归纳：1) 函数y=x，y=x^2，y=x^3，y=x^-1和y=x^2的图像都通过点(1,1)。

2023年高中数学幂函数教学教案(7篇)

2023高中数学幂函数教学教案（7篇）高中数学必修1《幂函数》教案篇一1、教学目标学问目标：（1）把握幂函数的形式特征，把握详细幂函数的图象和性质。

（2）能应用幂函数的图象和性质解决有关简洁问题。

力量目标：培育学生发觉问题，分析问题，解决问题的力量。

情感目标：（1）加深学生对讨论函数性质的根本方法和流程的阅历。

（2）渗透辨证唯物主义观点和方法论，培育学生运用详细问题详细分析的方法分析问题、解决问题的力量。

2、教学重点：从详细函数归纳熟悉幂函数的一些性质并简洁应用。

教学难点：引导学生概括出幂函数的性质。

3、教学方法和教学手段：探究发觉法和多媒体教学4、教学过程：问题情境问题1写出以下y关于x的函数解析式：①正方形边长x、面积y②正方体棱长x、体积y③正方形面积x、边长y④某人骑车x秒内匀速前进了1m，骑车速度为y⑤一物体位移y与位移时间x，速度1m/s问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？（教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，）板书课题并归纳幂函数的定义。

（二）新课讲解幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（powerfunction），其中是自变量，是常数。

为了加深对定义的理解，请同学们判别以下函数中有几个幂函数？①y=②y=2x2我们了解了幂函数的概念以后我们一起来讨论幂函数的性质。

问题3幂函数具有哪些性质？用什么方法讨论这些性质的呢？我们请同学们回忆一下在前面学习指数函数、对数函数我们一起讨论了哪些性质呢？（学生争论，教师引导）（引发学生作图讨论函数性质的兴趣。

函数单调性的推断，既可以使用定义，也可以通过图象解决，直观，易理解。

）在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

依据你的学习经受，你能在同一坐标系内画出函数的图象吗？（学生作图，教师巡察。

将学生作图用实物投影仪演示，指出优点和错误之处。

教师利用几何画板演示，通过超级链接几何画板演示。

幂函数学案

§6.1 幂函数学习目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．知识点一一般地，函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质21知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象；当0<α<1时，幂函数的图象． 3．当时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从到的顺序排列．1．下列函数中不是幂函数的是________． ①y ＝x 0； ②y ＝x 3； ③y ＝2x ； ④y ＝x －1.2．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,211,1α，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．3．当x ∈(0,1) 时，x 2________x －1.(填“>”“＝”或“<”)4．已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)＝________.例1 (1)下列函数：①y ＝x 3；②xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知222()2223m y m m x n －＝＋－＋－是幂函数，求m ，n 的值．A.12 B ．1 C.32 D ．2例2 (1)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝⎛⎭⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．(2)如图所示，C 1，C 2，C 3为幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取( )A.43，－2，34 B ．－2，34，43 C ．－2，43，34 D.34，43，－2例3 比较下列各组数的大小． (1)5.052⎪⎭⎫ ⎝⎛与5.031⎪⎭⎫ ⎝⎛； (2)132-⎪⎭⎫ ⎝⎛-与153-⎪⎭⎫⎝⎛-； (3)1332⎛⎫ ⎪⎝⎭与1413⎛⎫ ⎪⎝⎭.1．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 2．下列不等式成立的是( ) A.12121312--⎛⎫> ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭B.23233423⎛⎫<⎛⎫⎝⎪⎪⎭⎝⎭ C.232⎪⎭⎫ ⎝⎛> 223⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．7878819-⎛⎫< ⎪⎝⎭3．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．4．若幂函数()22231()m m f x m m x －－＝－－在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________. 5．先分析函数23y x =的性质，再画出其图象．1．知识清单： (1)幂函数的定义． (2)几个常见幂函数的图象． (3)幂函数的性质． 2．方法归纳：(1)运用待定系数法求幂函数的解析式．(2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想．1．下列函数中是幂函数的是( )A ．y ＝x 4＋x 2B ．y ＝10xC ．y ＝1x3 D ．y ＝x ＋12．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝13x3．已知f (x )＝12x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (a －1) <f (b －1) B ．f (a －1) <f (b －1) <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f (b －1) <f (a －1) D ．f (a －1)<f (a )<f (b －1)<f (b ) 4．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．35.如图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－126．已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．37．函数y ＝12x －1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )8．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．9．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．10．若12(1)a ＋<12(32)a －，则a 的取值范围是________．11．已知幂函数()x f 的图象过点(9,3)，则⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝________，函数⎪⎭⎫⎝⎛-11x f 的定义域为________．。

初中数学幂函数的性质教案

初中数学幂函数的性质教案教学目标：1. 知识与技能：理解幂函数的定义，掌握幂函数的性质，能够运用幂函数解决实际问题。

2. 过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，引导学生发现幂函数的性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3. 情感、态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，提高学生分析问题、解决问题的能力。

教学重难点：1. 重点：掌握幂函数的性质。

2. 难点：理解幂函数的单调性和奇偶性。

教学准备：1. 教学工具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：学生准备幂函数的图象和表格。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习指数函数的定义和性质。

2. 提问：指数函数与幂函数有什么关系？二、新课导入（10分钟）1. 介绍幂函数的定义：一般地，函数的形式为y=x^a（a为常数），称为幂函数。

2. 分析幂函数的性质：a) 当a>0时，幂函数在x>0的区间上单调递增；b) 当a<0时，幂函数在x>0的区间上单调递减；c) 当a=0时，幂函数为常数函数。

三、实例分析（15分钟）1. 分析幂函数y=x^2的性质：a) 图像：抛物线，开口向上；b) 单调性：在x>0的区间上单调递增；c) 奇偶性：偶函数。

2. 分析幂函数y=x^-1的性质：a) 图像：反比例函数的图像；b) 单调性：在x>0的区间上单调递减；c) 奇偶性：奇函数。

四、学生实验探究（15分钟）1. 学生分组，每组选择一个幂函数进行实验。

2. 实验内容：观察幂函数的图像，分析幂函数的单调性和奇偶性。

3. 学生汇报实验结果，教师点评并总结。

五、巩固练习（10分钟）1. 学生自主完成幂函数的练习题。

2. 教师选取部分学生的作业进行点评。

六、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课学习的内容，总结幂函数的性质。

2. 强调幂函数在实际问题中的应用。

七、作业布置（5分钟）1. 完成幂函数的练习题。

2. 调查生活中常见的幂函数现象，下节课分享。

高一数学必修1《幂函数》教案

高一数学必修1《幂函数》教案教学目标：1. 理解幂函数的定义和性质，掌握画出幂函数的图象的方法。

2. 学会用不等式的方法解决幂函数方程的问题。

教学重点：1. 幂函数的定义和性质。

2. 画出幂函数的图象。

3. 不等式解法。

教学难点：1. 幂函数的图象，如何画出图象。

2. 不等式的解法，如何运用不等式解决幂函数方程的问题。

教学方法：1. 归纳法。

2. 演示法。

3. 分组讨论法。

教学内容：一. 幂函数1. 幂函数的定义：设a为正实数，x为任意实数，幂函数f(x)=$a^x$ 定义为f(x)=$a^x$。

2. 幂函数的性质：（1）当a>1时，幂函数f(x)严格单调递增；当0<a<1时，幂函数f(x)严格单调递减。

（2）当a>1时，幂函数f(x)在x轴的右侧无上界；当0<a<1时，幂函数f(x)在x轴的右侧无下界。

（3）当a=1时，幂函数f(x)为常函数y=1。

3. 幂函数的图象：（1）当a>1时，幂函数f(x)在右侧无上界，并超过x轴，图象接近x轴。

（2）当0<a<1时，幂函数f(x)在右侧无下界，趋近于x轴，图象在x轴上方。

（3）当a=1时，幂函数f(x)图象为直线y=1，在y轴上方。

4. 例题：（1）求幂函数y=$\frac{1}{4}$^x 的增减区间，并画出图象。

（2）求方程$\frac{1}{2x+1}$=8 的解。

二. 不等式的解法1. 不等式的性质：（1）等式两边加（减）同一个数、同一个式子，不等式的方向不变；（2）等式两边同乘（除）一个正数，不等式的方向不变；等式两边同乘（除）一个负数，不等式的方向反转。

2. 不等式的应用：利用不等式的性质，解决幂函数的方程。

3. 例题：求不等式$x^2$+2$\sqrt2x$+1<0 的解。

教学流程：1. 教师介绍幂函数的定义和性质，并简单讲解幂函数的图象。

2. 教师出示幂函数$f(x)=2^x$ 的图象，并让同学对幂函数的图象做出讨论，了解幂函数图象的特点，为下面的探究提供基础。

高中数学幂函数的教案

高中数学幂函数的教案
一、教学目标：
1. 理解幂函数的基本概念和特点；
2. 掌握幂函数的图像特征和性质；
3. 能够解决幂函数相关的问题。

二、教学重点：
1. 幂函数的定义和基本特点；
2. 幂函数的图像性质。

三、教学难点：
1. 幂函数的特殊情况的解决方法；
2. 幂函数的应用问题的解决。

四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入幂函数的概念，引发学生的兴趣。

2. 概念讲解：介绍幂函数的定义和基本特点，解释幂函数的图像特征和性质。

3. 实例演练：通过案例分析，让学生运用所学知识解决幂函数相关的问题。

4. 拓展应用：引导学生探讨幂函数在实际问题中的应用，开拓思维。

五、课堂讨论：组织学生讨论幂函数的特殊情况和解决方法，促进学生之间的交流和思考。

六、练习测试：布置与幂函数相关的习题，检验学生对知识的掌握程度。

七、总结反思：引导学生总结本节课的重点知识，反思学习过程中的问题和感悟。

八、课后复习：提醒学生及时复习幂函数相关知识，完成作业，并准备下节课内容。

九、教学手段：采用多媒体教学、案例分析、讨论互动等方式，激发学生学习兴趣。

十、教学评估：根据学生的学习情况和表现，及时调整教学策略，确保教学效果。

十一、教学延伸：鼓励学生主动学习，拓展幂函数相关知识，提高数学思维能力。

以上是高中数学幂函数的教案范本，仅供参考。

祝教学顺利！。

高中教案数学幂函数

高中教案数学幂函数
教学目标：
1. 了解幂函数的定义和特点。

2. 掌握幂函数的图像特征及其性质。

3. 能够应用幂函数解决相关问题。

教学重点和难点：
重点：幂函数的定义、图像特征和应用。

难点：幂函数的性质和相关变化。

教学准备：
1. 幂函数的教学课件、教材及作业。

2. 幂函数相关的练习题和解析。

3. 白板、彩色笔等教学用具。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引入幂函数的概念，让学生回顾已学过的函数类型。

2. 导出幂函数的定义和表示形式。

二、讲解幂函数的性质和图像特征（15分钟）
1. 介绍幂函数的定义和一般形式。

2. 分析幂函数增减性，根据指数的正负进行分类讨论。

3. 绘制幂函数的图像，让学生观察和分析图像的特点。

三、练习和讨论（20分钟）
1. 学生尝试通过计算和图像观察解答幂函数相关的问题。

2. 针对不同难度的问题，组织学生进行小组讨论和分享解决思路。

四、作业布置和讲解（10分钟）
1. 布置幂函数相关练习题作业，要求学生按时完成并提交。

2. 督促学生积极思考和讨论作业问题，批改及讲解作业结果。

五、课堂总结（5分钟）
1. 总结今天学习的知识点和重点。

2. 提醒学生复习巩固幂函数相关内容，做好课后练习。

教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握幂函数的定义、性质及应用，有利于学生对数学函数的理解和运用。

同时，要引导学生在学习过程中不断思考和探索，培养其解决问题的能力和思维方式。

初中数学幂函数教案

初中数学幂函数教案教学目标：1. 了解幂函数的定义和性质。

2. 能够解析幂函数的图像和特点。

3. 学会运用幂函数解决实际问题。

教学重点：1. 幂函数的定义和性质。

2. 幂函数的图像和特点。

教学难点：1. 幂函数的图像和特点。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 幂函数的图像资料。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的函数知识，如线性函数、二次函数等。

2. 提问：今天我们要学习一种新的函数——幂函数，你们知道幂函数是什么吗？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解幂函数的定义：一般地，形如y=x^a（a是常数）的函数，叫做幂函数。

2. 讲解幂函数的性质：（1）当a>0时，幂函数在x>0的区间内是增函数；（2）当a<0时，幂函数在x>0的区间内是减函数；（3）当a=0时，幂函数恒等于0。

3. 展示幂函数的图像，让学生观察和理解幂函数的特点。

三、实例分析（15分钟）1. 给出几个幂函数的实例，如y=x^2、y=x^-1等，让学生分析其图像和性质。

2. 让学生尝试解决实际问题，如计算幂函数在特定点的值，找出幂函数的零点等。

四、练习与讨论（10分钟）1. 布置一些有关幂函数的练习题，让学生独立完成。

2. 引导学生讨论幂函数在实际生活中的应用，如面积、体积计算等。

五、总结与反思（5分钟）1. 让学生总结幂函数的知识点，如定义、性质和应用。

2. 提问：你们觉得幂函数在实际生活中有哪些应用呢？教学延伸：1. 讲解幂函数的进一步性质，如幂函数的导数、积分等。

2. 引导学生学习幂函数在高等数学中的应用。

教学反思：本节课通过讲解和实例分析，使学生掌握了幂函数的定义、性质和应用。

在教学过程中，要注意引导学生主动参与、积极思考，提高学生的数学素养。

同时，结合生活实际，让学生感受数学的趣味性和应用价值。

在课后，加强对学生的辅导和练习，巩固所学知识。

幂函数教案

幂函数教案1. 了解幂函数的定义与性质2. 掌握幂函数的图像特征和变化规律3. 能够应用幂函数解决实际问题教学重点：1. 幂函数的基本定义2. 幂函数的图像特征和变化规律3. 幂函数的应用教学难点：1. 幂函数的变化规律和推导过程2. 如何将幂函数应用于实际问题的解决教学方法：讲授、演示、模拟、探究、归纳、实践等多种教学方法相结合。

教学手段：多媒体教学手段、问答互动、小组合作等手段相结合。

教学过程：Step 1 引入新知1. 教师可以通过多媒体展示一些日常生活或工作中与幂函数相关的实例，如身高、电话费等，引发学生对幂函数的兴趣。

2. 教师可以让学生在小组内讨论幂函数的定义与性质，并让几位同学发表自己的理解和看法。

Step 2 探究幂函数的定义与性质1. 定义幂函数：f(x)=x^a （其中，a为常数，x为变量，且a≠0）2. 讲解幂函数的图像特征：a>1 时，是一条向上的单调增函数；a=1 时，是一条过原点的直线；0<a<1 时，是一条向下的单调增的函数；a<0 时，分为两种情况：a=-1时，是一条过原点的直线；a<-1时，是一条向下的单调减函数。

3. 幂函数的性质：偶函数、奇函数、单调性Step 3 探究幂函数的变化规律1. 讲解如何利用幂函数的图像，通过a的变化推导幂函数的特点和变化规律。

2. 让学生模拟实验，通过手工计算，验证幂函数的变化规律。

Step 4 应用幂函数解决实际问题1. 讲解如何将所学的幂函数应用于实际问题的解决。

2. 教师给出一些与幂函数相关的应用题，让学生在小组内讨论，并找到解题的有效方法。

Step 5 总结与拓展1. 用幂函数的概念总结一遍所学的知识点。

2. 教师可以适时地推出一些与幂函数相关的拓展问题，以拓展课堂思维。

3. 课堂评价：通过问答、小组讨论、实习演绎等方式，对学生的课堂表现进行评价。

教学反思：幂函数是高中数学中的一种基本函数，对于理解其他函数、解决实际问题等方面都具有很重要的作用。

幂函数教案

幂函数教案一、教学目标1. 理解幂函数的定义和性质，能够正确运用幂函数的相关概念；2. 掌握幂函数的图像、性质以及变化规律；3. 能够解决幂函数相关的实际问题。

二、教学重点1. 幂函数的定义和性质；2. 幂函数的图像及其变化规律；3. 幂函数在实际问题中的应用。

三、教学难点1. 幂函数的概念和性质的理解与运用；2. 幂函数图像的绘制及变化规律的总结；3. 幂函数在实际问题中的应用解决。

四、教学过程1. 幂函数的引入（10分钟）教师通过列举一些实际问题，引导学生思考实际问题中的变化规律，并与幂函数进行对比，引入幂函数的概念。

2. 幂函数的定义和性质（20分钟）教师给出幂函数的定义，并介绍幂函数的性质，如定积分的计算、导数的运算规则等。

学生通过课堂讨论和练习题的完成，掌握幂函数的定义和性质。

3. 幂函数的图像及其变化规律（30分钟）教师通过几个具体的例子，演示绘制幂函数的图像，并引导学生总结幂函数图像的特点、变化规律和性质。

4. 幂函数的应用（20分钟）教师给出一些实际问题，引导学生运用所学的幂函数知识解决实际问题。

学生通过讨论和解决问题，加深对幂函数应用的理解和运用。

5. 综合练习与讨论（20分钟）教师布置一些综合练习题，让学生进行个人或小组讨论，并进行答案讲解和讨论。

通过综合练习，巩固所学知识并提高解题能力。

6. 课堂小结（10分钟）教师对本节课的内容进行小结，并强调学生在课后的复习重点和需要注意的问题。

五、教学辅助用具1. 纸笔，用于绘制幂函数的图像。

2. 幂函数的例题和练习题，用于学生的讨论和练习。

六、教学评价与反思在教学过程中，教师应注重激发学生的学习兴趣，通过引入实际问题，让学生主动思考和运用所学知识解决问题。

在练习环节，应鼓励学生进行个人或小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。

同时，教师在讲解过程中，要注重总结幂函数的性质和变化规律，并将其应用到实际问题中，帮助学生理解和运用幂函数知识。

幂函数教案

幂函数教案幂函数教案一. 教学目标：1. 了解幂函数的定义和性质。

2. 掌握幂函数的图像及其平移、缩放和翻折等变换规律。

3. 学会通过观察和分析，对给定的幂函数进行图像绘制。

4. 理解幂函数的增减性、单调性和奇偶性。

5. 能够解决与幂函数相关的实际问题。

二. 教学内容：1. 幂函数的定义和性质。

2. 幂函数的图像及其平移、缩放和翻折等变换规律。

3. 幂函数的增减性、单调性和奇偶性。

4. 实际问题解决。

三. 教学步骤：步骤一：导入新知识通过一个问题引入幂函数的概念，例如：小明家附近有一块广告牌，它上面的字体每年放大或缩小4倍，求第几年后字体的大小会超过原来的10倍。

步骤二：讲解幂函数的定义和性质1. 引导学生回顾指数的概念，理解幂函数的定义。

2. 讲解幂函数的性质，例如幂函数的函数图像都经过点(0,1)，幂函数的增长速度由底数决定等。

步骤三：绘制幂函数的图像及变换规律1. 通过绘制几个幂函数的图像来说明幂函数的变化规律。

2. 引导学生发现幂函数的平移、缩放和翻折等变换规律。

3. 练习绘制给定幂函数的图像。

步骤四：讲解幂函数的增减性、单调性和奇偶性1. 引导学生通过观察图像，探讨幂函数的增减性。

2. 引导学生通过观察图像，探讨幂函数的单调性。

3. 引导学生通过观察图像和计算函数值，探讨幂函数的奇偶性。

步骤五：解决实际问题给学生提供一些与幂函数相关的实际问题，让学生运用所学的知识解决问题，例如：一个小球从高处自由下落，第n次落地时的高度是多少？四. 教学方法1. 探究式教学法：通过引导学生观察、分析、绘制图像等方式，让学生主动探索幂函数的性质和规律。

2. 实践教学法：通过解决实际问题的方式，提高学生对所学知识的应用能力。

3. 演示教学法：通过绘制幂函数的图像等示范，让学生更好地理解幂函数的变换规律。

五. 教学资源1. 幂函数的图像和相关实例。

2. 计算器或电脑及相关数学软件。

3. 实际问题解决的练习题。

关于幂函数的教案

关于幂函数的教案关于幂函数的教案一教学任务分析：(1)理解幂函数的概念，会画五种常见幂函数的图像;(2)结合幂函数的图像，理解幂函数图像的变化情况和性质;(3)通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。

教学重点：常见幂函数的的概念、图像和性质。

教学难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小。

教具准备：多媒体课件、投影仪、打印好的作业。

教学情景设计问题师生活动设计意图问题1：如果张红购买了1元/千克的蔬菜x千克，那么她需要付的钱数y(元)和购买的蔬菜量x?(千克)之间有何关系?问题2：如果正方形的边长为x，那么正方形面积y=?问题3：如果正方体的棱长为x，那么正方体体积y=问题4：如果正方形场地的面积为x，那么正方形的边长?y=?问题5：如果某人x秒内骑车行进1千米，那么他骑车的平均速度y=(千米/秒) 引导学生探索发现：通过生活实例，引出幂函数的概念，使学生体会到数学在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。

你能发现这几个函数解析式有什么共同点吗?引导学生归纳结论(1)?指数为常数.(2)?右边均是以自变量为底的幂的形式; 认识五种常见的幂函数。

给出幂函数的定义：一般地，形如? 的函数称为幂函数，其中x为自变量，α为常数. 例1：在函数，，，中，哪几个函数是幂函数? 引导学生依据幂函数定义及特征头判断;1、即 (是)2、 (不是)3、 (不是)4、 (是) 正确认识幂函数请在同一坐标系内画出以上五个幂函数的图像指导学生画出图像，多媒体呈现图像训练学生的作图、识图能力。

观察以上图像将你发现的结论填入性质表?定义域值域关于幂函数的教案二教材分析：幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.?幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数?.组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质.对于幂函数，只需重点掌握?这五个函数的图象和性质.学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.学生已经有了学习幂函数和对象函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备.因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习.课时分配 1课时教学目标重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质难点：从幂函数的图象中概括其性质，据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小知识点：幂函数的定义、五个幂函数图象特征能力点：通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用教育点：进一步渗透数形结合与类比的思想方法;体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性自主探究点：通过作图归纳总结幂函数的相关性质考试点：了解幂函数的概念，结合函数的图象了解它们的变化情况易错易混点：学生容易将幂函数和指数函数混淆拓展点：通过指数函数的图象性质研究幂函数指数的变化教具准备：多媒体辅助教学课堂模式：导学案一、引入新课(一) 回顾引入师生互动师：数学的内在美常常让我感动，下面我们共同来欣赏运算的完美性，思考：由8、2、3、这四个数，运用数学符号可组成哪些等式?生：探讨，交流师生共同分析：设计意图(1)给出开放性问题，主要是为了提高学生的想象能力，激发他们学习新内容的兴趣(2)不但培养了学生动手的能力，也营造了师生合作，共同探讨问题的氛围师：我们知道对于等式1 .如果一定，随着的变化而变化，我们建立了指数函数2 . 如果一定，随着的变化而变化，我们建立了对数函数设想：如果一定，随着的变化而变化，是不是也可以确定一个函数呢?设计说明使学生回忆所学两个基本初等函数，为所要学习的幂函数作铺垫(二) 观察下列对象：问题(1)：如果张红购买了每千克1元的蔬菜千克，那么她需要付的钱数 = 元，问题(2)：如果正方形的边长为，那么正方形的面是 =问题3)：如果正方体的边长为，那么正方体的体积是 =问题(4)：如果正方形场地面积为，那么正方形的边长 =问题(5)：如果某人 s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度 =师生互动师：(1)它们的对应法则分别是什么?(2)以上问题中的函数有什么共同特征?让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论生：(1)乘以1 (2)求平方 (3)求立方(4)求算术平方根 (5)求-1次方师：上述的问题涉及到的函数，都是形如：，其中是自变量，是常数.师生：共同辨析这种新函数与指数函数的异同.设计意图(1)引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。

学案4：4.4　幂函数

4.4 幂函数学习目标核心素养1.掌握幂函数的概念、图像和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时的五类幂函数的图像、性质及其特点．(易错点)3．能利用幂函数的图像与性质解决综合问题．(难点)1.通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养． 2．借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.【自主预习】1．幂函数的概念一般地，函数称为幂函数，其中α是．思考：幂函数y ＝x α与指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)有什么样的区别？2．五个常见幂函数的图像3．幂函数的图像特征及性质(1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布．(2)当α＞0时，图像过点，且在第一象限随x 的增大而，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(3)当α＜0时，幂函数的图像，过点，且在第一象限随x 的增大而，函数在区间(0，＋∞)上是单调函数，且向右无限接近轴，向上无限接近轴． (4)当α为奇数时，幂函数为函数；当α为偶数时，幂函数为函数．【基础自测】1．下列函数中不是幂函数的是( )A．y＝x B．y＝x3C．y＝2x D．y＝x－12．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x1－m是偶函数，则实数m＝()A．－1 B．2C．3 D．－1或24．已知幂函数f(x)的图像经过点(2，2)，则f(4)＝________.【合作探究】【例1】是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．【规律方法】1．只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．2．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y＝(3x)α，y ＝2xα，y＝xα＋5，…，形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【跟踪训练】1．，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数？(2)反比例函数？(3)二次函数？(4)幂函数？类型二幂函数的图像和性质【例2】 (1)幂函数(m ∈Z )的图像如图所示，则m 的值为( )A ．－1＜m ＜4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或3(2)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)<(5－2a )的a 的取值范围．[思路探究] (1)根据幂函数的图像特征与性质确定m 的值；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值，再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式．【规律方法】幂函数的性质(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过点(1,1)．(2)若α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．当0<α<1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上． (3)若α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内为双曲线形，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴．【跟踪训练】2．(1)函数f (x )＝x -12的大致图像是( )(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12类型三幂值的大小比较[探究问题]1．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的单调性与实数a 有什么关系？幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【例3】比较下列各组数中两个数的大小．(1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5；(2)⎝⎛⎭⎫－23-1与⎝⎛⎭⎫－35-1； (3)⎝⎛⎭⎫2334与⎝⎛⎭⎫3423.[思路探究] (1)利用函数y ＝x 0.5的单调性比较大小； (2)利用函数y ＝x－1的单调性比较大小；(3)借助中间量⎝⎛⎭⎫2323比较大小．【规律方法】利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法【跟踪训练】3．比较下列各组数的大小：【课堂小结】1．本节课的重点是掌握幂函数的概念、图像及性质，难点是幂函数图像与性质的简单应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断幂函数的方法． (2)解决幂函数图像的两个原则． (3)比较幂值大小的方法．3．本节课的易错点是对幂函数的图像掌握不准而致错.【当堂达标】1．思考辨析(1)函数y ＝x -45是幂函数．( ) (2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)幂函数的图像都不过第二、四象限．( ) 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )3．函数y ＝x 53的图像大致是图中的( )A B C D 4．比较下列各组数的大小：【参考答案】【自主预习】1． y ＝x α常数思考：[提示] 幂函数y ＝x α的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x 中，底数是常数，指数是自变量． 3．(2) (1,1) (0,0)上升增 (3)(1,1) 下降减xy(4)奇偶【基础自测】1．C [形如y ＝x α的函数为幂函数，只有C 不是．]2．A [由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．] 3．A [因为f (x )＝(m 2－m －1)·x 1－m为幂函数，所以m 2－m －1＝1解得m ＝－1或2，又f (x )是偶函数，则1－m 为偶数．故m ＝－1.] 4．2 [设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝412＝2.]【合作探究】【例1】[解] 根据幂函数定义得，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． ∴f (x )的解析式为f (x )＝x 3. 【跟踪训练】1．[解] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，所以m ＝－1± 2.【例2】(1)D [(1)因为幂函数图像在第一象限内为减函数，所以m 2－3m －4＜0，解得－1＜m ＜4，又图像关于y 轴对称说明m 2－3m －4为偶数，又m ∈Z ，所以m 的值为0,1,2或3.] (2)[解] 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，所以m ＝1,2.因为函数的图像关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)-15<(5－2a )-15.因为y ＝x -15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3，a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫23，52. 【跟踪训练】2．(1)A (2)B [(1)因为－12＜0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B ，C ；又f (x )的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.(2)考虑幂函数的图像在第一象限内的增减性，注意当n >0时，对于y ＝x n ，n 越大，y ＝x n 增幅越快，n <0时看|n |的大小．根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图像当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.][探究问题]1．[提示] 当a >1时，函数y ＝a x 单调递增；当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减．当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 2．[提示] 23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x 单调递增，所以23.1＜23.2. 3．[提示] 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x－0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.【例3】[解] (1)∵幂函数y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵函数y 1＝⎝⎛⎭⎫23x为R 上的减函数，又34>23，∴⎝⎛⎭⎫2323>⎝⎛⎭⎫2334. 又∵函数y 2＝x 23在[0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2323，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2334. 【跟踪训练】3．[解] (1)函数y ＝x -52在(0，＋∞)上为减函数．∵3＜3.1，∴3-52＞3.1-52. (2)∵y ＝x 0.8在[0，＋∞)上是增函数，0.7＜0.8，∴0.70.8＜0.80.8. 又∵y ＝0.8x 在R 上是减函数，0.7＜0.8，∴0.80.8＜0.80.7. ∴0.70.8＜0.80.8＜0.80.7，即0.70.8＜0.80.7.【当堂达标】1．(1)√ (2)× (3)× [(1)√.函数y ＝x -45符合幂函数的定义，所以是幂函数． (2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数． (3)×.幂函数y ＝x 2过第二象限．]2．D [A 中定义域和值域都是R ；B 中定义域和值域都是(0，＋∞)；C 中定义域和值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．]3．B [∵函数y ＝x 53是奇函数，且α＝53＞1，∴函数图像为B.]4．[解] (1)－8-78＝－⎝⎛⎭⎫1878，函数y ＝x 78在[0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878>⎝⎛⎭⎫1978，从而－8-78<－⎝⎛⎭⎫1978.。

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