线性微分方程组
常微分方程 第五章 线性微分方程组(3)
推论5.4 线性齐次方程组(5.2)的线性无关解的个数不能多于n 个.
3．刘维尔公式 齐次方程组(5.2)的解和其系数之间有下
列联系. 定理5.7 如果
是齐次方程组(5.2)的n个解，则这n个解的朗斯基行列式 与方程组(5.2)的系数有如下关系式
实际上，这个推论是定理5.3的逆否命题. 推论5.2 如果方程组(5.8)的n个解的朗斯基行列式 W(x)在其定义区间I上某一点x0等于零，即
则该解组在I上必线性相关.
实际上，这个推论是定理5.4的逆否命题.
推论5.3 方程组(5.2)的n个解在其定义区间I 上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式 W(x)在I上任一点不为零.
条件的充分性由推论5.1立即可以得到． 必要性用反证法及推论5.2证明是显然 的．证毕．
2．一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．
我们把一阶线性齐次方程组(5.2)的n个线 性无关解称为它的基本解组.
例4 易于验证向量函数
是方程组
的基本解组. 定理5.5 方程组(5.2)必存在基本解组.
定理5.6 如果 是齐次方程组(5.2)的基本解组，则其线性组合
的一阶微分方程组。
含有n个未知函数 的一阶微分方程组的一般形式为：
此方程组在
上的一个解，是这样的一组函数
使得在
上有恒等式
含有n个任意常数 的解
称为方程组的通解. 如果通解满足方程组
则称后者为(1)的通积分. 如果已求得(1)的通解或通积分，要求满足初始条件
的解，可以把此初始条件代入通解或通积分之中，得到关于 的n个方程式，如果从其中解得
这个关系式称为刘维尔(Liouville)公式.
第五章线性微分方程组
第五章：线性微分方程组本章教学目的和要求：使学生掌握线性微分方程组解的结构。
要求学生熟练掌握求解常系数线性问粉方程组。
熟练掌握常数变易法。
本章重点：解的性质与结构，常系数方程组的解法，常数变易法。
本章难点：向量函数组的线性相关性，一般理论中的定理证明。
本章课时安排：讲16学时，习题及总结测验2学时第五章：线性微分方程组说明：本章所讨论的线性微分方程组仅限与一阶微分方程，从讲义的开头所说的，方程组不仅能在实际中应用广泛，而且她对高阶方程的求解具有不可忽视的作用。
不仅如此，方程组的有关定理在近代微分方程理论中也占有重要地位。
本章内容：一．一阶微分线性方程组及其解的概念；初值问题解的存在和唯一性定理。
二.线性方程组及其解的一般理论/包括解的线线性相关性，基本解组和解的结构定理。
三.方程组的具体解法。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义①引言：在第二章我们研究了含有一个未知函数的微分方程的解法以及它们的性质。
但是，在很多实际问题与理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知数函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。
如空间运动质点P 的速度与t 以及坐标(,,)x y z 的关系式为：112232(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z x f v f t x y z y f z f v f t x y z ⎧==⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 又如： 22sin d dt l θθθ=-令 sin d dtd dtl θωωθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化成一阶微分方程组。
用类似的方法，如果在 n 阶微分方程 ()(1)(,,...,)n n y x y y y -'=中，令(1)121.,,...,n n y y y y y y --'''=== 它就可以化成方程组 1212(1)121()(1),........(,,...,)n n n n n n y y y y y y y y y yy x y y y -----⎧'=⎪'''==⎪⎪⎨⎪'==⎪⎪'=⎩共同点：出现的未知函数的导数都是一阶的 它 们都是一阶微分方程组。
常系数线性微分方程组解法
dy (1) dx = 3 y 2 z , 例1 解微分方程组 dz = 2 y z . ( 2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得 式得
1 dz y = + z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz = 2 + , 两边求导得， 两边求导得， dx 2 dx dx
原方程组的通解为
1 y = ( 2C1 + C 2 + 2C 2 x )e x 2 , z = ( C + C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x求导的运算 , dx
例如， 例如， y
(n)
+ a1 y ( n 1 ) + L + a n 1 y ′ + a n y = f ( x )
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 类似解代数方程组消去一个未知数 消去 x
(1) ( 2) × D :
x D3 y = et , ( D 4 + D 2 + 1) y = De t .
4 2 t
(３) ３ (４) ４ (５) ５
( 2) ( 3) × D :
即
( D + D + 1) y = e
二、常系数线性微分方程组的解法
步骤: 步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 解此高阶微分方程, 函数. 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数． 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
代入(1)式并化简 把(3), (4)代入 式并化简 得 代入 式并化简,
常系数线性微分方程组
基解矩阵
d x Ax (33) dt
定理8 矩阵 (t) exp At
是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组),
且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。
证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且
'(t) exp At ' A A2t A3t2 Ak1tk
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B
i0
Ai i!
j0
Aj j!
k
k0 l0
Al l!
Bkl (k l)!
• 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB
3 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(3)(4)
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有
exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !
k 0
l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!
5
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u
u1 u2
5
3
2
6
34
0
必得须解满足u 线性1i代数此方即程为组对应(1特E 征A)值u λ155=i 3+55i5i的uu12 特 征55ui向u115量5iuu。22 0
消元法求解常系数线性微分方程组
消元法求解常系数线性微分方程组下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第三章一阶线性微分方程组第二讲一阶线性微分方程组的一般概念及理论
第二讲 一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论（4课时）一、 目的与要求: 了解一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性齐次方程组的通解结构, 理解基本解矩阵, Wronsky 行列式等概念.二、重点：一阶线性齐次方程组的通解结构, 基本解矩阵, Wronsky 行列式.三、难点：基本解矩阵, Wronsky 行列式.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1. 一阶线性微分方程组的一般概念如果在一阶微分方程组(3.1)中, 函数12(,,,,)(1,2,,)i n f x y y y i n =, 关于12,,,n y y y 是线性的, 即(3.1)可以写成1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n n n n nn n n dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx ⎧=++++⎪⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪⎪=++++⎪⎩(3.6)则称(3.6)为一阶线性微分方程组. 我们总假设(3.6)的系数()(,1,2,,)ij a x i j n = 及()(1,2,,)i f x i n = 在某个区间I R ⊂ 上连续.为了方便, 可以把(3.6)写成向量形式. 为此, 记111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a x a x a x a x a x a x A x a x a x a x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦及12()()()()n f x f x F x f x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据第13讲的记号, (3.6)就可以写成向量形式()()dY A x Y F x dx=+ (3.7)如果在I 上, ()0F x ≡,方程组(3.7)变成()dY A x Y dx= (3.8)我们把(3.8)称为一阶线性齐次方程组.如果(3.8)与(3.7)中()A x 相同, 则称(3.8)为(3.7)的对应的齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似, 我们可以证明如下的关于(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解的存在与唯一性定理.定理 3.1′ 如果(3.7)中的()A x 及()F x 在区间[],I a b =上连续, 则对于[],a b 上任一0x 以及任意给定的0Y , 方程组(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解在[],a b 上存在且唯一.这个定理的证明留给读者完成. 它的结论与定理3.1的不同之处是定理3.1的解的存在区间是局部的，而定理3.1′则指出解在整个区间[],a b 上存在.2. 一阶线性齐次方程组的一般理论⑴一阶线性齐次微分方程组解的性质本节主要研究一阶线性齐次方程组(3.8)的通解结构.为此我们首先从(3.8)的解的性质入手.定理3.2 如果11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()m m m n n nm y x y x y x y x y x y x Y x Y x Y x y x y x y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦是方程组(3.8)的m 个解，则1122m m Y C Y C Y C Y =+++ (3.9)也是(3.8)的解，其中12,,,m C C C 是任意常数.换句话说，线性齐次方程组(3.8)的任何有限个解的线性组合仍为(3.8)的解.证明 因为(1,2,,)i Y i m = 是(3.8)的解，即()()()i i dY x A x Y x dx = (1,2,,)i m =成立. 再由1122[()()()]m m d C Y x C Y x C Y x dx+++ 1212()()()m m dY x dY x dY x C C C dx dx dx=+++ 1122()()()()()()m m C A x Y x C A x Y x C A x Y x =+++ 1122()[()()()]m m A x C Y x C Y x C Y x =+++这就证明了(3.9)是(3.8)的解. 定理3.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空间的性质，进而得到方程组(3.8)的解的结构，我们引入如下概念.定义3.1 设12(),(),,()m Y x Y x Y x 是m 个定义在区间I 上的n 维向量函数. 如果存在m 个不全为零的常数12,,,m C C C ，使得1122()()()0m m C Y x C Y x C Y x +++= 在区间I 上恒成立, 则称这m 个向量函数在区间I 上线性相关, 否则称它们在区间I 上线性无关.显然，两个向量函数12(),()Y x Y x 的对应分量成比例是它们在区间I 上线性相关的充要条件. 另外, 如果在向量组中有一零向量, 则它们在区间I 上线性相关.若12(),(),,()n Y x Y x Y x 是(3.8)的n 个解, 称下面的矩阵为这个解组对应的矩阵[]12()(),(),,()n x Y x Y x Y x Φ=111212122212()()()()()()()()()n n n n nn y x y x y x y x y x y x y x y x y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦它的第i 个列向量为()i Y x . 如果这组解是线性无关的, 则称此矩阵为(3.8)的基本解矩阵例1 向量函数它21cos ()1,x Y x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22sin 1()1x Y x x ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦在任何区间(a , b )上是线性相关的. 事实上取121C C == 有1122()()0.C Y x C Y x +≡例2 向量函数3313(),x x x e Y x e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 6626()2x x x e Y x e e ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦在(-∞,+∞)上线性无关. 事实上，要使得1122()()0,(,)C Y x C Y x x +≡∈-∞+∞成立，或写成纯量形式，有3123123120,20,0,x x x C C e C C e C C e ⎧+=⎪-=⎨⎪+=⎩ (,)x ∈-∞+∞显然, 仅当120C C == 时, 才能使上面三个恒等式同时成立, 即所给向量组在(,)-∞+∞上线性无关.例3 向量函数212()0,x x e Y x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2220()x x Y x e e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦在(,)-∞+∞上线性无关. 事实上，由于1122()()0,(,)C Y x C Y x x +≡∈-∞+∞相当于纯量形式212222120,0,0,x x x x C e C e C e C e ----⎧≡⎪⎪≡⎨⎪--≡⎪⎩ (,)x ∈-∞+∞由此可以看出：仅当120C C ==时，才能使上面三个恒等式同时成立，即所给向量组在(,)-∞+∞上线性无关.例3中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函数组. 这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它们的分量构成的函数组的线性相关性并不等价.下面介绍n 个n 维向量函数组12(),(),,()n Y x Y x Y x (3.10)在其定义区间I 上线性相关与线性无关的判别准则.我们考察由这些列向量所组成的行列式111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn y x y x y x y x y x y x W x y x y x y x =通常把它称为向量组(3.10)的朗斯基(Wronsky)行列式.定理3.3 如果向量组(3.10)在区间I 上线性相关，则它们的朗斯基行列式()W x 在I 上恒等于零.证明 依假设，存在不全为零的常数12,,,n C C C ,使得1122()()()0,n n C Y x C Y x C Y x +++≡x I ∈把上式写成纯量形式, 有111212112122221122()()()0,()()()0,()()()0,n n n n n n n nn C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x +++≡⎧⎪+++≡⎪⎨⎪⎪+++≡⎩ x I ∈这是关于12,,,n C C C 的线性齐次代数方程组，且它对任一x I ∈，都有非零解12,,,n C C C .根据线性代数知识，它的系数行列式W (x )对任一x I ∈都为零.故在I 上有W (x )≡0.证毕.对于一般的向量函数组, 定理3.3的逆定理未必成立. 例如向量函数1(),0x Y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 22()0x Y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的朗斯基行列式恒等于零，但它们却是线性无关的.然而，当所讨论的向量函数组是方程组(3.8)的解时，我们有下面的结论.定理3.4 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是方程组(3.8)的n 个线性无关解，则它们的朗斯基行列式W (x )在I 上恒不为零. 证明(反证法) 如果有0x I ∈使得0()0W x =，考虑线性齐次代数方程组111021201012102220201102200()()()0,()()()0,()()()0,n n n n n n n nn C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩由于系数行列式0()0W x =, 所以它存在非零解21(,,,)T T n C C C C =, 即1102200()()()0n n CY x C Y x C Y x +++=考虑函数 1122()()()()n n Y x CY x C Y x C Y x =+++由定理3.2知函数()Y x 是(3.8)的解，而且它满足初始条件0()0Y x ≡.另一方面，()0Y x ≡也是方程(3.8)的满足初值条件()0Y x =的解. 因此，根据定理3.1′有()0,Y x x I ≡∈即1122()()()0,n n CY x C Y x C Y x +++≡ x I ∈因为11,,,n C C C 不全为零，从而12(),(),,()n Y x Y x Y x 在I上线性相关，这与假设矛盾，定理证毕. 由定理3.3和定理3.4立即得到如下的推论.推论3.1 如果向量组(3.10)的朗斯基行列式W (x )在区间I 上的某一点0x 处不等于零，即0()0W x ≠, 则向量组(3.10)在I 上线性无关.实际上，这个推论是定理3.3的逆否命题.推论3.2 如果方程组(3.8)的n 个解的朗斯基行列式W (x )在其定义区间I 上某一点0x 等于零，即0()0W x =, 则该解组在I 上必线性相关.实际上，这个推论是定理3.4的逆否命题.推论3.3 方程组(3.8)的n 个解在其定义区间I 上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W (x )在I 上任一点不为零.条件的充分性由推论3.1立即可以得到． 必要性用反证法及推论3.2证明是显然的．证毕．3. 一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n 个线性无关解称为它的基本解组. 显然基本解组对应的矩阵中基本解矩阵.例4 易于验证向量函数11()1,()1tx t e y t -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦222()1()2t x t e y t -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 是方程组 ,xy = 2y x y =+的基本解组.定理3.5 方程组(3.8)必存在基本解组.证明 由定理(3.1)′可知，齐次方程组(3.8)必存在分别满足初始条件10200100010(),(),,(),000001n Y x Y x Y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x I ∈(3.11)的n 个解12(),(),,()n Y x Y x Y x . 由于它们所构成的朗斯基行列式()W x 在0x x = 处有010000100()100001W x ==≠因而，由推论3.3知 12(),(),,()n Y x Y x Y x 是基本解组.满足初始条件(3.11)的基本解组称为方程组(3.8)的标准基本解组. 标准基本解组对应的矩阵称为标准基本解矩阵. 显然, 标准基本解矩阵在0x=时的值为单位阵. 下面我们可以给出齐次方程组(3.8)的基本定理了.定理3.6 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是齐次方程组(3.8)的基本解组，则其线性组合1122()()()()n n Y x C Y x C Y x C Y x =+++(3.12)是齐次方程组(3.8)的通解,其中12,,,n C C C 为n 个任意常数.证明 我们仅需证明如下两点.首先，由定理3.2，对任意一组常数12,,,n C C C ,(3.12)是齐次方程组(3.8)的解.其次，证明：对于任何满足初始条件(3.2)′的齐次方程组(3.8)的解()Y x ，都可找到常12,,,n C C C ,使得1122()()()()n n Y x C Y x C Y x C Y x =+++为此，作方程组11022000()()()()n n C Y x C Y x C Y x Y x +++=或写成纯量形式11102120101012102220202011022000()()(),()()(),()()(),n n n n n n n nn n C y x C y x C y x y C y x C y x C y x y C y x C y x C y x y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(3.13)这是一个线性非齐次代数方程组，它的系数行列式恰是线性无关解12(),(),,()n Y x Y x Y x 的朗斯基行列式()W x 在0x x =处的值，由定理3.4知0()0W x ≠，从而方程组(3.13)有唯一解21(,,,)T T n C C C C =令1122()()()()n n Y x CY x C Y x C Y x =+++显然，()Y x 是(3.8)的一个解，且与()Y x 满足同一个初始条件，由解的唯一性，()()Y x Y x ≡定理得证.推论3.4 线性齐次方程组(3.8)的线性无关解的个数不能多于n 个.实际上，设121(),(),,()n Y x Y x Y x +是(3.8)的任意n +1个解. 现任取其中n 个解，如果它们线性相关，这时易证n +1个解当然也线性相关.如果它们线性无关，从而构成(3.8)的基本解组，由定理3.6，余下的这个解可由基本解组线性表出，这就说明这n +1个解是线性相关的.至此，我们证明了一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解的全体构成一个n 维线性空间. 4．刘维尔公式齐次方程组(3.8)的解和其系数之间有下列联系. 定理3.7 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是齐次方程组(3.8)的n 个解，则这n 个解的朗斯基行列式与方程组(3.8)的系数有如下关系式11220[()()()]0()()xnn x a t a t a t dtW x W x e+++⎰=(3.14)这个关系式称为刘维尔(Liouville)公式.证明 仅证n = 2情形，n 的情形类似．11111222211222()()()()dy a x y a x y dxdy a x y a x y dx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （3.15）设11121()(),()y x Y x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 12222()()()y x Y x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是（3.15）的两个解，它们的朗斯基行列式11122122()()()()()y x y x W x y x y x =1112111221222122()()()()()()()()()dy x dy x y x y x dW x dx dx dy x dy x dxy x y x dxdx=+因为12(),()Y x Y x 分别是（3.15）的解，所以有 11111112212121112221()()()()dy a x y a x y dxdy a x y a x y dx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ,12111212222221122222()()()()dy a x y a x y dx dy a x y a x ydx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩分别代入()dW x dx中，然后对每一个行列式进行化简，第一个行列式的第二行乘以12()a x -再与第一行相加，第二个行列式的第一行乘以21()a x -再与第二行相加，具体计算如下1111122111121222111221222111222121122222()()()()()a y a y a y a y y x y x dW x y x y x a y a y a y a y dx++=+++1111111211121122212222212222()()()()()()a y a y y x y x a a W x y x y x a y a y =+=+即1122()[()()]()dW x a x a x W x dx=+11220[()()]()xx a t a t dtW x ce+⎰=或11220[()()]0()()xx a t a t dtW x W x e+⎰=在代数学中，1()nkkk ax =∑称为矩阵()A x 的迹，记作()trA t ，因此刘维尔公式可表为0()0()()xx trA t dtW x W x e⎰=从公式（3.14）可以有显看出，齐次方程组（3.8）的几个解所构成的朗斯基行列式()W x 或者恒为零，或者恒不为零． 本讲要点：1． 一阶线性齐次微分方程组的所有解构成一个线性空间．2． 向量函数组和向量解组相关性判定 向量函数组 向量解组线性相关()0W x ⇒≡ 线性相关()0W x ⇔=线性无关0()0W x ⇐≠ 线性无关()0W x ⇔≠3． 齐次线性方程组通解基本定理解空间是n 维线性空间．4． 刘维尔公式解与系数关系．作业：练习3.3 1., 2., 3.。
线性微分方程组
线性微分方程组线性微分方程组是一类十分重要的微分方程，在数学理论、物理学和工程应用等各个领域都能发挥着重要作用。
它们被用来求解许多实际问题，如热传导、振动理论、脉冲传播、催化反应动力学等等。
线性微分方程是描述实际系统问题运动规律的理论和工具，是解决实际问题的重要依据，因此，对其有着较深入的研究，并获得了较为广泛的应用。
线性微分方程组的形式是一类常见的微分方程，或者称为常微分方程组。
它以一维或多维的函数表示，比如，一阶线性普通微分方程组可以表示为：$$frac{dy}{dt}=A(t)y+f(t)$$其中$A(t)$为系数矩阵，$f(t)$为右项函数。
类似地，二阶线性普通微分方程组可以表示为：$$frac{d^2y}{dt^2}=A(t)frac{dy}{dt}+f(t)$$其中$A(t)$为系数矩阵，$f(t)$为右项函数。
线性微分方程组的解有两种主要方法：函数积分法和行列式法。
函数积分法的基本思想是，将给定的线性微分方程组表示为积分形式$$y(t)=int_a^t x(t_1)e^{-int_{t_1}^tA(s)ds}dt_1+int_a^tf(t_1)e^{-int_{t_1}^tA(s)ds}dt_1+y(a)$$首先，划分整个函数空间，将空间划分为离散的有限段，并使用欧拉公式、把积分式分解为相加的积分段，最后将每一段的结果求和即可解得函数的解。
行列式法则是用行列式法则以一种简洁的方式来计算线性微分方程组。
该方法快速求解矩阵方程，其基本思想是使用行列式展开式，将矩阵形式的方程转换成一元方程组来解决。
线性微分方程组在有限元法、积分变换法、波动方程法、系数正交分解法等数值解法中都能得到应用。
其中，有限元法是科学家们研究热传导、振动模式等实际问题的算法之一。
积分变换法和波动方程法提供了一种新的解决线性微分方程组的方法，这种方法可以将原来的微分方程组转换成一系列积分方程，之后利用积分公式，从而求解线性微分方程组的解。
第3节 线性微分方程(组)的一般理论(1)
§ 3 线性微分方程(组)的 线性微分方程 组 的 一般理论
1
线性微分方程(组 的一般理论 §3 线性微分方程 组)的一般理论 2. 函数组的 函数组的Wronsky行列式 行列式 (1) 数值函数组的 数值函数组的Wronsky行列式 行列式 上的n个 次可微的 定义2 定义在区间I上的 定义 定义在区间 上的 个n −1次可微的 数值函数： 数值函数：y1(x) , y2(x) , ··· , yn(x) 构成的行列式： 构成的行列式：
上线性相关 ∴ 存在不全为零的常数 Ci (i=1, 2, ··· , n)， ，
7
使得 C1 y1( x) + C2 y2( x) +⋯+ Cn yn( x) ≡ 0, ( x∈ I —区间 ∈ ) ∴ ∀ x0 ∈ I , 有
C1 y1( x0 ) + C2 y2( x0 ) +⋯+ Cn yn( x0 ) = 0,
( x∈ I ), 则 n 元向量函数组： ∈ 元向量函数组： y1( x), y2( x), ⋯ yn( x) ,
在区间I上线性无关 在区间 上线性无关. 上线性无关
10
定理2 定理 ( 数值函数组线性相关与向量函数组 线性相关的关系) 线性相关的关系 n −1次可微的数值函数组： 次可微的数值函数组： 次可微的数值函数组 y1(x) , y2(x) , ··· , ym(x) ( x∈I ) ∈ 在区间I上线性相关 在区间 上线性相关 ⇔ 向量函数组
( x∈ I ) ∈
构成的行列式： 构成的行列式：
4
W( x) = W[ y1( x), y2( x),⋯, yn( x)]
=
y11( x) y12( x) ⋯ y1n( x) y21( x) y22( x) ⋯ y2n( x) ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ yn1( x) yn2( x) ⋯ ynn( x)
一阶线性微分方程组解析
第4章 一阶线性微分方程组一 内容提要1． 基本概念一阶微分方程组：形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(2121222111n n n nn y y y x f dxdy y y y x f dxdy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。
若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21n i x y x y x y x f dxx dy n i i ==成立，则)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n nn C C C x y C C C x y C C C x y ϕϕϕ 称为(3.1)通解。
如果通解满方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n nn n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x则称这个方程组为（3.1）的通积分。
满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。
令n 维向量函数Y )(x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n nn n y y y x f y y y x f y y y x f⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21，⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则（3.1）可记成向量形式),,(Y x F dxdY= (3.2) 初始条件可记为Y (0x )=0Y ,其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=no y y y Y 20100 则初值问题为:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(Y x Y Y x F dxdY(3.3) 一阶线性微分方程组:形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=)()()()( )()()()()()()()(21211222221212112121111x f x a y x a y x a dxdy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A (x )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x f x f x f n 则(3.4)的向量形式:)()(x F Y x A dx dY+= (3.5) F (0)≡x 时 Y x A dxdY)(= (3.6) 称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
常系数齐次线性微分方程组
dx (t ) du (t ) dv (t ) i A(t ) u (t ) iv (t ) dt dt dt A(t )u (t ) iA(t )v (t )
由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，
常系数线性方程组
所以有
du (t ) dv (t ) A(t )u (t ), A(t )v (t ) dt dt 即 u (t ) 和 v (t ) 是方程组（2）的解.
X (t ) X (t ) X 1 (0)
常系数线性方程组
1 0 0 3 3 t e cos 2t sin 2t cos 2t sin 2t . 2 2 3 1 sin 2t cos 2t sin 2t cos 2t 2
0
(1)矩阵A具有n个互不相同的特征值时 由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关 的特征向量。
常系数线性方程组
5 28 18 dx x 的通解. 1 5 3 例1 求方程组 dt 3 16 10
解 系数矩阵A的特征方程为
det( E A) 3 (1 2 ) 0
§7.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t ), dt
（ 1）
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t )在 a t b上连续的向量函数;
若f (t ) 0, 则对应齐线性微分方程组为
dx Ax (2) dt
本节先讨论(2)的基解矩阵的求法.
t
3e 0 et
t
故通解为
2 2et x (t ) (t )C 1 et 1 2et
线性微分方程组的一般理论
线性无关组不一 定能构成解！
例1 验证
e t (t ) 0
te t t e
是方程组
1 1 x' x 0 1
的基解矩阵。
解（步骤）：
其中
x1 x x2
1、首先验证是解矩阵：即把矩阵的每一列作为一个向量验证是否是解？ 2、计算解矩阵的行列式值，并进行判断。
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定理８
设 (t ) 是（5.15）的基解矩阵， 则向量函数
(t ) (t ) 1 (s) f (s)ds （5.26 ）
t0
t
是（5.14）的解，且满足初始条件： (t0 ) 0 .
分析定理7和定理8，非齐线性微分方程组（5.14）的满足初 始条件
是（5.15）的解 .
基本思想：代入式验证。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
2、非齐线性微分方程组解的结构
定理7
设 (t ) 是（5.15）的基解矩阵， (t ) 是（5.14）的
某一解，则（5.14）的任一解 (t ) 都可表示为
(t ) (t )C (t ),
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3、向量函数的伏朗斯基（Wronsky）行列式
由定义在区间 t [a, b] 上的n个向量函数 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 所 作成的如下行列式称为伏朗斯基行列式，即
W [ x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )] W (t ) x11 (t ) x21 (t ) xn1 (t ) x12 (t ) x1n (t ) x22 (t ) x2 n (t ) xn 2 (t )
线性微分方程组
线性微分方程组
线性微分方程组是高中数学的一个重要内容，也是高考必考内容之一。
因此我们有必要对其进行深入理解和掌握。
方程组通常可以表示为：
(x-a)+(y-b)=0
(x-a)=(y-b)
(x-a)(y-b)两边都乘以同一个不为0的实数的积分子或者分母
可以等于0。
所以称它为方程组。
一般来说方程组有两种情况：(1)有且只有一个方程；(2)有多个方程。
，一个重要的类型是线性微分方程组。
在线性微分方程组中，有两个或两个以上的线性微分方程，这里将方程的解称为“根”，即线性微分方程的根(或线性方程的根)的集合就是方程组。
这些根之间是相关联的，具有相同的增减性和线性特征。
通常有下列几种情况：(1)一个方程无解。
( 2)一个方程有唯一解。
(3)存在无穷多个解。
4.1基本形式:((x-a)+(y-b))=0(x-a)=(y-b)(x-a)(y-b)4.2解法：利用定义、建立坐标系，根据变量的取值范围选择恰当的解法，一般求出各方程的一个解即可。
如：例1：设二次函数： ax2+bx+c=0解析：利用一次、二次函数的解析式可求得： a=4， b=6， c=1，故当c=1时， x=0，当c=-4时， x=4，当c=-6时， x=-12，解方程可得： 0=4， 1=-4， -12=-8，解得： x=4。
- 1 -。
线性微分方程组
线性微分方程组线性微分方程组是一组微分方程，它们具有相同的结构，可以用一般的线性微分方程来解释。
它们是研究动力学系统状态与其变化间重要手段，因此它们在数学、物理、工程、生物学、经济学等许多学科中都有重要应用。
线性微分方程组的基本元素是微分方程，它是用相关变量的变化率进行建模的函数的导数的形式。
用个别微分方程表达的变量可以是实数，但它们也可以是复数。
的变量可以是常数，也可以是连续的函数或定义在某个区域上的函数，甚至可以是多元函数，也可以是某种定义在空间上的函数。
线性微分方程组可以用一个向量表示，一般地，一个微分方程组可以用下面的基本形式表示：$$frac{dx}{dt}=Ax+f(t)$$其中，x是向量，t是时间变量，A是位置矩阵，并且f是一个不同于时间变量的函数。
线性微分方程组的解可以通过常规的数值方法和分析方法来求解。
数值方法的一般意义是，利用计算机程序将线性微分方程组的近似解计算出来。
常见的数值方法包括：*拉法：这种方法将线性微分方程组写成一阶微分方程，然后计算给定初始值时间t的解。
*跃法：这种方法是将线性微分方程组分解成一组一阶差分方程，然后利用差分方程的解计算出线性微分方程组的解。
*步逼近法：这种方法是用一步一步的方法找到线性微分方程组的近似解，它可以给出精确的解，也可以给出一定程度的近似解。
如果确定线性微分方程组的初始条件，则可以用分析方法解决这一问题。
常见的分析方案包括：*可比法：用一组复数幂函数解决线性微分方程组，这些复数幂函数具有一定的关系，并且可以用初始条件计算出相关系数。
*分法：用变分法求解线性微分方程组，它可以形式化地写出线性微分方程组的解，同时也可以求解非线性微分方程组的解。
*征值理论：主要是利用特征值理论求解线性微分方程组，它可以把线性微分方程组分解成一组数学表达式，然后根据表达式的系数来求解线性微分方程组。
线性微分方程组在数学、物理、工程、生物学、经济学等诸多学科中都有重要应用，也可以用于动力学系统的状态变化模拟。
线性微分方程组
线性微分方程组线性微分方程组是理论物理学、应用数学中最重要的一类问题。
它可以描述实际物理现象，涉及到不同领域中系统动力学、流体动力学等等。
在微分方程组中，线性微分方程组是其中一种，是一类不可积分的最基本微分方程组。
除了线性微分方程组外，非线性微分方程组也是一种重要的类型，它们表示许多自然现象，如球形和椭圆形问题等。
线性微分方程组通常由一系列线性恒定微分方程组组成，其求解需要确定合适线性恒定微分方程组的参数。
其根特征方程为n*y=0，其中n 为微分方程中的参数，y 为微分方程变量，当n满足特定条件时，线性微分方程组称为可解的微分方程组。
线性微分方程组的解可以采用多种方法。
其中最常用的是『收敛的Laplace变换』，它可以把线性微分方程组变换成恒定系统，这样就可以用线性代数的方法来求解线性微分方程组。
另外还有很多其他的方法，比如『外推法』、『矩阵分解』、『积分变换』等。
当求解线性微分方程组时，需要考虑到微分方程组的参数和系统性能。
参数主要有微分方程中的参数和系统性能，例如物理系统的稳定性、收敛性、时延性等。
这些参数会影响线性微分方程组的求解。
线性微分方程组的求解分为定常和非定常求解，其中定常求解可以使用逐步求解法。
这种方法很有效，但是只针对不同定常情况而言，还有一种求解方法，即非定常求解，它可以解决复杂的线性微分方程组，它包括『收敛的Laplace变换』、『外推法』、『矩阵分解』、『积分变换』等方法。
线性微分方程组应用广泛，在众多科学领域中起着重要作用，比如物理学、化学、生物学、机械学、计算机科学等。
它们可以用来模拟物理系统的运动，用来计算有限的系统的解，用来求解振动系统的稳定性，用来描述不确定的系统和未知的过程等等。
线性微分方程组的研究的重要性不容忽视，它可以帮助我们更好地掌握物理现象，更深入地理解复杂的系统。
未来线性微分方程组的研究会朝着更精确地描述实际问题，用更有效率的方法求解这些问题的方向发展。
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第五章 线性微分方程组[教学目标]1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。
[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义 考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1） 的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。
方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3）这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。
注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。
这样一来，方程组（5.1）可以写成下面的形式()()x A t x f t '=+ （5.4）引进下面的概念。
一个矩阵或者一个向量在区间a t b ≤≤上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间a t b ≤≤上的连续函数。
一个n n ⨯矩阵()B t 或者一个n 维列向量()u t ：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn b t b t b t b t b t b t B t b t b t b t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n u t u t u t u t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦在区间a t b ≤≤上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间a t b ≤≤上可微。
它们的导数分别由下式给出：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn b t b t b t b t b t b t B t b t b t b t '''⎡⎤⎢⎥'''⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'''⎣⎦ 12()()()()nu t u t u t u t '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ 不难证明，如果n n ⨯矩阵()A t ，()B t 及n 维向量()u t ，()v t 是可微的，那么下列等式成立：（Ⅰ）()()()()()A t B t A t B t '''+=+()()()()()u t v t u t v t '''+=+（Ⅱ）()()()()()()()A t B t A t B t A t B t '''⋅=+ （Ⅲ）()()()()()()()A t u t A t u t A t u t '''=+类似地，矩阵()B t 或者向量()u t 在区间a t b ≤≤上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间a tb ≤≤上可积。
它们的积分分别由下式给出：1112111222112()()()()()()()()()()b bbn a a a bbb bn a aa a bbb n nn a aa b t dtb t dt b t dt b t dt b t dtb t dt B t dt b t dt b t dtb t dt ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12()()()()b a b b a a b n a u t dt u t dt u t dt u t dt ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 现在我们给出（5.4）的解的定义：定义１设()A t 是区间a t b ≤≤上的连续n n ⨯矩阵，()f t 是同一区间a t b ≤≤上的连续n 维向量。
方程组()()x A t x f t '=+ （5.4）在某区间t αβ≤≤（这里[][],,a b αβ⊂）的解就是向量()u t ，它的导数()u t '在区间t αβ≤≤上连续且满足()()()()u t A t u t f t '=+，t αβ≤≤现在考虑带有初始条件0()x t η=的方程组（５.４），这里0t 是区间a t b ≤≤上的已知数，η是n 维欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。
定义2 初值问题()()x A t x f t '=+,0()x t η= （5.5）的解就是方程组（5.4）在包含0t 的区间t αβ≤≤上的解()u t ，使得0()u t η=。
例2 验证向量()t t e u t e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦是初值问题0110x x ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦,1(0)1x ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦在区间t -∞<<+∞上的解。
解 显然001(0)1e u e --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦因为te -和te --处处有连续导数，我们得到0101()()1010t t t t e e u t u t e e ----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 因此()u t 是给定初值问题的解。
正如在第而章所看到的，当1n =时，我们可以得到初值问题（5.5）的解的明显表达式，当2n ≥时，情况就复杂多了。
在第四章中，我们讨论了带有初始条件的n 阶线性微分方程的初值问题。
现在进一步指出，可以通过下面的方法，将n 阶线性微分方程的初值问题化为形如（5.5）的线性微分方程组的初值问题。
考虑n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()()()()(),(),,()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ （5.6）其中12(),(),,()n a t a t a t ，()f t 是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,,n ηηη是已知常数。
我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题121120010000010000001()()()()()()n n n n x x a t a t a t a t f t x t ηηηη--⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪'⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎨⎣⎦⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎪⎢⎥==⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩(5.7)其中12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12nx x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦事实上，令(1)123,,,,n n x x x x x x x x -'''====这时12x x x ''== 23x x x '''==(1)1n nn x x x --'==()1121()()()()n nn n n x x a t x a t x a t x f t -'==----+而且(1)010*******()(),()(),,()()n n n x t x t x t x t x t x t ηηη-'======现在假设()t ψ是在包含0t 的区间a t b ≤≤上（5.6）的任一解。
由此，得知()(),(),,()n t t t ψψψ'在a t b ≤≤上存在、连续、满足方程（5.6）且(1)01020(),(),,()n n t t t ψηψηψη-'===。
令12()()()()n t t t t ϕϕϕϕ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中1()()t t ϕψ=,2()()t t ϕψ'=,,(1)()()n n t t ϕψ-=(a t b ≤≤)，那么，显然有0()t ϕη=。
此外，1223(1)1(1)()12311()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()n n n n n n n n n n t t t t t t t t t t t a t t a t t f t t t t t a t t a t t f ϕϕψϕϕψϕϕϕψϕψψψϕϕϕϕϕ---''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦=---+1211210100()00010()00001()0()()()()()()()n n n n t t t t a t a t a t a t t f t ϕϕϕϕ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦这就表示这个特定的向量()t ϕ是（5.7）的解。