高三数学解三角形,平面向量与三角形的综合练习

ABCD 的区域上（含边界），且 A 、B
与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道
AO 、 BO 、OP，设排污管道的
总长为 ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠ BAO= θ( rad)，将 y 表示成 θ的函数关系式；
②设 OP=x(km)，将 y 表示成 x 的函数关系式；
（2）请你选用（ 1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度
最短。
D
P
C
O
A
B
8．（江西 17）已知 tan
（1）求 tan(
) 的值；
1 ， cos
3
5 ,,
5
(0, )
（2）求函数 f (x) 2 sin(x ) cos(x ) 的最大值．
解三角形，平面向量与三角形的综合答案
， sin
5
13
3 12 4 5 56
f
cos
cos cos sin sin
5 13 5 13 65
5. 解：（Ⅰ）因为 ∠ BCD 90 60 150 ， CB AC CD ，
所以 ∠ CBE 15 ． 所以 cos∠ CBE cos(45 30 )
62
．
4
（Ⅱ）在 △ ABE 中， AB 2 ，由正弦定理
12
，且 f(α )= ， f(β )= ，求 f(α -β )的值 .
2
5
13
5． 如图， △ ACD 是等边三角形， △ ABC 是等腰直角三角形， ∠ ACB 90 ， BD 交 AC
于 E ， AB 2 ． （Ⅰ）求 cos∠ CAE 的值； （Ⅱ）求 AE ．
D C
E
A
B
6．如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以 ox 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与
是
。
13． .在△ ABC 中， a， b， c 分别是角 A，B，C 所对的边，已知 a 3, b 3,c 30 , 则 A
＝
.
14． 关于平面向量 a， b， c ．有下列三个命题：
①若 a b = a c ，则 b c ．②若 a (1， k)， b ( 2，6) ， a ∥ b ，则 k 3 ．
1来自百度文库 ， cos
10tan
②若 OP= x(km)，则 OQ=10- x，所以 OA OB
(10 x)2 102
x2 20 x 200
所求函数关系式为 y x 2 x2 20x 200 (0 x 10)
（2）选择函数模型①， y '
10cos cos (20 10sin )( sin ) 10(2sin 1)
4． f ( x) cos( x ) 最小正周期为 ，其中
6
5
5． a,b 的夹角为 120 ， a 1, b 3，则 5a b
0 ，则
6．若 AB 2, AC 2BC ，则 S ABC 的最大值
7．设 x
0，
，则函数 y
2sin 2 x 1
的最小值为
．
2
sin 2x
8．设向量 a (1，2)， b (2，3) ，若向量 a b 与向量 c ( 4， 7) 共线，则
（Ⅱ）求函数 f ( x) 在区间 [ , ] 上的值域 12 2
2．已知函数 f ( x) sin2 x
3 sin x sin
x π（ 2
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 f ( x) 在区间 0，2π 上的取值范围． 3
0 ）的最小正周期为 π．
3．已知向量 m (sin A,cos A), n (1, 2) ,且 m n 0.
sin x
5
5
5
5
f ( x) 的最大值为 5 .
5 sin x
．
9．若向量 a ， b 满足 a 1，b 2 且 a 与 b 的夹角为 ，则 a b
．
3
10．若 sin( 2
3 ) ，则 cos2
5
_________。
11．在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 所对的边分别为 a 、 b、 c ，若 3b c cos A acosC ，
则 cos A
。
12 已 知 a 是 平 面 内 的 单 位 向 量 ， 若 向 量 b 满 足 b ( a b) 0， 则 | b | 的 取 值 范 围
因为函数 f ( x) 的最小正周期为 π，且
0，
所以 2π π，解得
1．
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
π f (x) sin 2 x
1
．因为
0≤
x≤
2π
，
62
3
所以
π≤ 2x
π≤
7π
，所以
1 ≤ sin 2x π ≤ 1．
6
66
2
6
因此 0 ≤ sin 2 x π 1 ≤ 3 ，即 f ( x) 的取值范围为 0，3 ．
又 f( )
3 f ( ) 1 ，∴当 x
3 时， f ( x) 取最小值
12
2
22
12
2
所以 函数 f ( x) 在区间 [
, ] 上的值域为 [
3 ,1]
12 2
2
1 cos2 x 3
2. 解：（Ⅰ） f ( x)
sin 2 x
2
2
3
1
1
sin 2 x cos 2 x
sin 2 x
π
1
．
2
2
2
62
cos2
cos2
令 y ' 0 得 sin
1
0
2
4
6
当 (0, ) 时 y ' 0 ， y 是 θ的减函数；当 6
( , ) 时 y ' 0 ，y 是 θ的增函数； 64
所以当
时， ymin 6
20 10 1 2 10 10 3 10
3
2
此时点 O 位于线段 AB 的中垂线上，且距离
AB 边 10
③非零向量 a 和 b 满足 | a | | b | | a b |，则 a 与 a b 的夹角为 60 ．
其中真命题的序号为
．（写出所有真命题的序号）
三、解答题
1． 已知函数 f (x) cos(2 x ) 2sin( x )sin( x )
3
4
4
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小正周期和图象的对称轴方程
一、填空题
4
8
2
7
10
22
3
3
2
7
三、解答题
7
3
[ 0，1 ]
②
25
3
6
1 解：（ 1） f ( x) cos(2x ) 2sin( x )sin( x )
3
4
4
1
3
cos 2 x
sin 2x (sin x cos x)(sin x cos x)
2
2
1 cos 2x
3 sin 2x
sin 2 x
cos2 x
2
2
1
3
cos 2x
sin 2x cos2x
2
2
（ 2）
s i n (x2
)
6
2 ∴ 周期 T
2
x [ , ], 2x
[
12 2
6
5 ,] 36
因为 f ( x) sin(2 x ) 在区间 [ , ] 上单调递增，在区间 [ , ] 上单调递减，
6
12 3
32
所以 当 x 时， f ( x) 取最大值 1 3
1
时， f(x)有最大值
3，
2
2
当 sinx=-1 时， f(x)有最小值 -3，
所以所求函数 f(x) 的值域是
3, 3 . 2
4.解：（ 1）依题意知 A=1 f
sin
3
3
1
，又
2
33
5
即
3
6
2
4
；
3
因此 f x sin x
cos x ；
2
（ 2）
f
3
cos
，f
5
12 cos
13
且,
0,
2
4
5
si n
622
2
3. 解：（Ⅰ）由题意得 m·n=sinA-2cosA=0,因为 cosA≠ 0,所以 tanA=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 tanA=2 得
f ( x) cos2 x 2sin x 1 2sin 2 x 2sin x
2(sin x
1)2
3 .
22
因为 x R,所以 sin x
1,1 . 当 sin x
抽象概括能力和解决实际问题的能力。
（1）①由条件知 PQ 垂直平分 AB ，若∠ BAO= θ(rad)，则 OA
AQ
cos BAO
故 OB 10 cos
又 OP 10 10tan ，所以 y OA OB OP 10
10 10
cos cos
所求函数关系式为 y 20 10sin 10 (0
)
cos
4
3
km 处。
3
8. 解：（ 1）由 cos
5 , (0, ) 得 tan 2 ， sin
5
于是 tan(
) = tan tan 1 tan tan
12
3
1.
2
1
3
（ 2）因为 tan
1 , (0, ) 所以 sin
3
1 ,cos
10
25 5
3 10
35
5
5
25
f ( x)
sin x
cos x
cos x
单位圆相交于 A 、B 两点，已知 A 、B 的横坐标分别为
（1）求 tan(
) 的值； （ 2）求
2 的值。
225 ,
10 5
y A
B
O
x
7．某地有三家工厂， 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A 、B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20 km，
BC=10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形
AE
2
．
sin(45 15 ) sin(90 15 )
2sin 30 故 AE
cos15
21 2
62
6 2 ． 12 分
4
6.【解析】：本小题考查三角函数的基本概念、三角函数
的基本关系式、两角和的正切、二倍角的正切公式，
考查运算求解能力。
2
25
由条件得 cos
,cos
10
5
72
5
、 为锐角， sin
(Ⅰ )求 tanA 的值；
(Ⅱ )求函数 f ( x) cos 2x tan A sin x( x R)的值域 .
4．已知函数 f(x)=Asin(x+ )(A>0,0< < ),x R 的最大值是 1，其图像经过点 M ，1 . 32
(1) 求 f(x)的解析式；
(2) 已 知 α， β
0，
3
,sin
10
5
1 tan 7, tan
2
（1） tan(
) tan tan
71
2
3
1 tan tan 1 7 1
2
（
2
）
tan2
2 tan 1 tan2
21 2
4 tan(
2 ) tan
tan 2
4 7
31
1 ( 1)2 3
1 tan tan 2 1 7 4
2
3
、 为锐角， 0
3 2
2
3 2
4
7. 【解析】：本小题考查函数的概念、 解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、
解三角形，平面向量与三角形的综合练习
一、填空题
1．若角 的终边经过点 P (1， 2) ，则 tan 2 的值为 ______________．
2．已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ，且 a b 4 ，那么 a b 的值为 ________．
3．已知向量 a (1, 3) ， b ( 2,0) ，则 a b =_____________________.