与圆有关的比例线段.ppt
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选讲：与圆有关的比例线段(切割线定理)
O A G
D F
∵∠DFE=∠EFA（公共角）, ∴ △DFE∽△EFA.
∴EF2 =FG2 ,即FG=EF.
例3 如图，两圆相交于A、B两点，P 为两圆公共弦AB上任意一点，从P引 两圆的切线PC、PD，求证：PC=PD. 证明：由切割线定理可得： PC2=PA∙PB, PD2=PA∙PB. ∴PC2=PD2. 即PC=PD．
选讲部分
与圆有关的比例线段 ----切割线定 理
复习回顾
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半． 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 反之，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，９ ０°的圆周角所对的弦是直径． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
使割线PA绕P点 运动到切线的位 置，是否还有 PA∙PB=PC∙PD？
C D P
O A(B)
如图,已知点P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，割线PCD 交 ⊙O于C、D. 求证：PA2=PC∙PD.
A
P
O
C
证明：连接AC、AD， ∵PA切⊙O于点A,∴∠D= ∠PAC. 又 ∠P=∠P, ∴ △PAC∽ △ PDA. ∴ PA ：PD=PC ：PA. ∴PA2= PC∙PD.
与圆有关的比例线段
T A B O C D P
一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆 有关的相交弦的问题. 探究1: 如图1,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AB与CD相交于P,
线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？
证明:连接AD、BC.
D
图1
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C. ∴Rt△APD∽Rt△CPB.
与圆有关的比例线段(切割线定理)
2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？
C D O
C
B
A
C′
A
D
B
说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的 特例！
例1 如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P, 已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.
解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x. 由相交弦定理，得PA∙PB=PC∙PD, ∴4×4=1/5x•4/5x,解得x=10. ∴CD=10.
应用格式（几何语言描述）:
∵PAB,PCD是⊙O 的割线,∴ PA∙PB=PC∙PD.
C
B
C D 图5 P O B A PA∙PB=PC∙PD
P
O
点P从圆内移动到圆外
D
A
图3 PA∙PB=PC∙PD
证明:连接AC、AD,同样可以证明 △PAD∽△PCA, 所以PA:PC=PD:PA, 即PA2=PC•PD仍成立.
A
C
P O
B
D
练习1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和C,D. (1)已知PA=5,PB=8,PC=4,则PD=10,PT= (2)已知PA=5,PB=8,PO=7,则半径R= 3
T B
PA· PB=(7-R) · (7+R)
C
A
O D
P
O
D P
E
B
C
A
练习2.如图,割线PAB,PCD分别交圆于A,B和 C,D,连结AC,BD,下面各比例式中成立的有:
相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段
长的积相等.
D P A O C
B
几何语言： AB 、 CD是圆内 的任意两条相交弦,交点为P, ∴PA•PB=PC•PD.
2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)(2)
2 2
1 14 4－ ＝ ， 2 2
AB BE 又△ABE∽△FAB，所以 ＝ ， FA AB AB2 4 4 14 即 BE＝ ＝ ＝ . FA 7 14 2
[研一题]
[例3] 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，
PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上
一点，且DE2＝EF· EC.
∴∠EDF＝∠C.
∵CD∥AP，∴∠C＝∠P. ∴∠P＝∠EDF.
(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF∽△PEA. ∴DE∶PE＝EF∶EA. 即EF· EP＝DE· EA. ∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE· EA＝CE· EB.
∴CE· EB＝EF· EP.
(3)解：∵DE2＝EF· EC，DE＝6，EF＝4， ∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6. ∵CE· EB＝EF· EP， ∴9×6＝4×EP. 27 解得：EP＝ . 2 15 45 ∴PB＝PE－BE＝ ，PC＝PE＋EC＝ . 2 2 由切割线定理得：PA2＝PB· PC， 15 45 ∴PA2＝ × . 2 2 15 ∴PA＝ 3. 2
[读教材·填要点] 1．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 ． 2．割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆
的交点的两条线段长的积 相等 ．
3．切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与 圆交点的两条线段长的 比例中项 ． 4．切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 相等 ，圆 心和这一点的连线 平分 两条切线的夹角．
的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 2 P，PD＝ a，∠OAP＝30° ，求 CP 的长． 3
1 14 4－ ＝ ， 2 2
AB BE 又△ABE∽△FAB，所以 ＝ ， FA AB AB2 4 4 14 即 BE＝ ＝ ＝ . FA 7 14 2
[研一题]
[例3] 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，
PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上
一点，且DE2＝EF· EC.
∴∠EDF＝∠C.
∵CD∥AP，∴∠C＝∠P. ∴∠P＝∠EDF.
(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF∽△PEA. ∴DE∶PE＝EF∶EA. 即EF· EP＝DE· EA. ∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE· EA＝CE· EB.
∴CE· EB＝EF· EP.
(3)解：∵DE2＝EF· EC，DE＝6，EF＝4， ∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6. ∵CE· EB＝EF· EP， ∴9×6＝4×EP. 27 解得：EP＝ . 2 15 45 ∴PB＝PE－BE＝ ，PC＝PE＋EC＝ . 2 2 由切割线定理得：PA2＝PB· PC， 15 45 ∴PA2＝ × . 2 2 15 ∴PA＝ 3. 2
[读教材·填要点] 1．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 ． 2．割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆
的交点的两条线段长的积 相等 ．
3．切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与 圆交点的两条线段长的 比例中项 ． 4．切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 相等 ，圆 心和这一点的连线 平分 两条切线的夹角．
的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 2 P，PD＝ a，∠OAP＝30° ，求 CP 的长． 3
高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 五 与圆有关的比例线段课件 新人教a版选修4-1
连接AC、AD, 同样可以证明 PAC ~ PDA ( 请同学们自 己证明),因而1 式仍然成立. 在这种情况下, A、B两点重 合, PA PB PC PD, 变形为: 2 PA2 PC PD.
D C
P
A
O
B
图2 24
D C
P
AB
O
图2 25
由上述探究和论证, 我们有
例1 如图2 28 ,圆内的 两条弦AB、CD相交于圆 内一点P,已知PA PB
A
C P
O
B
1 D 4, PC PD.求CD的长 . 4 图2 28 4 1 解 设CD x, 则PD x, PC x. 5 5
由相交弦定理 , 得 PA PB PC PD.
1 4 所以 4 4 x x, x 10. 故CD 10 . 5 5
D
C,PA
O
B
图2 23
D C
P
A
O
根据上述探究和论证, 我们有
B
割线定理 从圆外一点引圆 图2 24 的两条 割 线 , 这一点到每条 割 线与圆的交点的两条线段长的积相等.
下面继续用运动变化思 想探究.
探究 在图2 24 中, 使割线 PB 绕 P 点运动到切线位置 图 2 25, 是否还有PA PB PC PD ?
单击图 标, 用几 何画板作一 系列探究实 验.
D A A C P
O
D B P
O
D B A P B
O
图2 20
图2 21
C
C
图2 22
连接AD、BC, 则由圆周角定理的推论 可得: A C. PA PC 故Rt APD ~ Rt CPB.则 .即PA PB PC PD. PD PB
D C
P
A
O
B
图2 24
D C
P
AB
O
图2 25
由上述探究和论证, 我们有
例1 如图2 28 ,圆内的 两条弦AB、CD相交于圆 内一点P,已知PA PB
A
C P
O
B
1 D 4, PC PD.求CD的长 . 4 图2 28 4 1 解 设CD x, 则PD x, PC x. 5 5
由相交弦定理 , 得 PA PB PC PD.
1 4 所以 4 4 x x, x 10. 故CD 10 . 5 5
D
C,PA
O
B
图2 23
D C
P
A
O
根据上述探究和论证, 我们有
B
割线定理 从圆外一点引圆 图2 24 的两条 割 线 , 这一点到每条 割 线与圆的交点的两条线段长的积相等.
下面继续用运动变化思 想探究.
探究 在图2 24 中, 使割线 PB 绕 P 点运动到切线位置 图 2 25, 是否还有PA PB PC PD ?
单击图 标, 用几 何画板作一 系列探究实 验.
D A A C P
O
D B P
O
D B A P B
O
图2 20
图2 21
C
C
图2 22
连接AD、BC, 则由圆周角定理的推论 可得: A C. PA PC 故Rt APD ~ Rt CPB.则 .即PA PB PC PD. PD PB
1_25与圆有关的比例线段(切割线定理)讲解
如图,已知点P为⊙O外一点,割线PBA、PDC分别交
⊙O于A、B和C、D. 求证:PA∙PB=PC∙PD.
C D
O B
A
证法2：连接AC、BD，
P
∵四边形ABDC为⊙O 的内 接四边形, ∴∠PDB= ∠A，
又 ∠P=∠P,
∴ △PBD∽ △ PCA.
∴ PD ：PA=PB ：PC.
∴ PA∙PB=PC∙PD.
例5 如图，AB、AC是⊙O的切线，ADE 是⊙O的割线，连接CD、BD 、BE 、CE.
B E
问题1:由上述条件能推出哪些结论？A
探究1:由已知条件可知∠ACD=∠AEC,
D O
图1
而∠CAD=∠EAC, ∴△ADC∽△ACE. ……(1) C
∴ CD:CE=AC:AE, ∴CD•AE=AC•CE. ………(2)
代数、几何等知识的联系及应用
C
A
D O
B
A
C′
C DB
说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的 特例！
例1 如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P, 已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.
解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x.
C
B
由相交弦定理，得PA∙PB=PC∙PD, A P
∴4×4=1/5x•4/5x,解得x=10.
B3
A2 P
解：（1）由切割线定理，得 PC ∙ PD=PA ∙ PB
m
C
∵AB=3, PA=2,∴PB=AB+PA=5.
O
4
设PC=m, ∵CD=4 , PD=PC+CD=m+4.
∴m（m+4）=2×5
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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9
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
目录导航
7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
圆的周长PPT优秀课件
。
2024/1/26
10
03
圆周长在生活中的应用
2024/1/26
11
建筑设计领域应用
建筑设计中的圆形结构
在建筑设计中，圆形结构常被用于创造独特的美感和视觉效果，如圆形窗户、 拱门和穹顶等。这些圆形结构的周长计算对于材料的用量和施工的精度都至关 重要。
圆形建筑物的地基设计
当地基形状为圆形时，需要计算圆的周长以确定地基的尺寸和所需的材料量， 确保建筑物的稳定性和安全性。
17
圆锥体侧面积和表面积计算
圆锥体侧面积公式
侧面积 = (圆心角 × π × 母线长 ) / 180。这个公式用于计算圆锥
侧面展开后的面积。
圆锥体表面积公式
表面积 = π × 半径^2 + 侧面积 。这个公式用于计算圆锥体整体
所占的空间大小。
实际应用
圆锥体表面积和侧面积的计算在 建筑设计、工程造价等方面有重 要作用，如计算圆锥形屋顶的面
圆的性质包括圆心到圆上任一点的距离相等，以及圆上任意两点间的弧所对的圆心 角相等。
24
关键知识点总结回顾
圆的周长公式
圆的周长（或称为圆的周长）是 $C = 2pi r$，其中 $C$ 是圆的周长，$r$ 是圆的半径， $pi$ 是圆周率。
圆周率 $pi$ 是一个无理数，其近似值为 3.14159。
数值法
通过迭代或数值逼近的方法，逐步逼近椭圆的真实周长。
2024/1/26
21
椭圆周长精确计算方法
2024/1/26
积分法
利用椭圆的标准方程，通过计算椭圆弧长的积分表达式来 得到精确周长。这种方法需要较高的数学水平，通常适用 于理论研究或高精度计算。
参数方程法
2024/1/26
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03
圆周长在生活中的应用
2024/1/26
11
建筑设计领域应用
建筑设计中的圆形结构
在建筑设计中，圆形结构常被用于创造独特的美感和视觉效果，如圆形窗户、 拱门和穹顶等。这些圆形结构的周长计算对于材料的用量和施工的精度都至关 重要。
圆形建筑物的地基设计
当地基形状为圆形时，需要计算圆的周长以确定地基的尺寸和所需的材料量， 确保建筑物的稳定性和安全性。
17
圆锥体侧面积和表面积计算
圆锥体侧面积公式
侧面积 = (圆心角 × π × 母线长 ) / 180。这个公式用于计算圆锥
侧面展开后的面积。
圆锥体表面积公式
表面积 = π × 半径^2 + 侧面积 。这个公式用于计算圆锥体整体
所占的空间大小。
实际应用
圆锥体表面积和侧面积的计算在 建筑设计、工程造价等方面有重 要作用，如计算圆锥形屋顶的面
圆的性质包括圆心到圆上任一点的距离相等，以及圆上任意两点间的弧所对的圆心 角相等。
24
关键知识点总结回顾
圆的周长公式
圆的周长（或称为圆的周长）是 $C = 2pi r$，其中 $C$ 是圆的周长，$r$ 是圆的半径， $pi$ 是圆周率。
圆周率 $pi$ 是一个无理数，其近似值为 3.14159。
数值法
通过迭代或数值逼近的方法，逐步逼近椭圆的真实周长。
2024/1/26
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椭圆周长精确计算方法
2024/1/26
积分法
利用椭圆的标准方程，通过计算椭圆弧长的积分表达式来 得到精确周长。这种方法需要较高的数学水平，通常适用 于理论研究或高精度计算。
参数方程法
09.04.16高二理科数学《2.5 与圆有关的比例线段(选修4-1)》
与圆有关的比例线段
主讲： 震 陈
湖南省长沙市一中卫星远程学校
习题讲解
教材 P40 页 6、7、8
湖南省长沙市一中卫星远程学校
习题讲解
例 5. 如图，AB、AC 是圆 O 的切线，ADE 是圆 O 的割线，连接 CD、BD、BE、CE.
问题 程学校
习题讲解
问题 2 在图 2-32 中， 使线段 AC 绕 A 旋转， 得到图 2-33.其中 EC 交圆于 G，DC 交圆于 F.此时又能推出哪些结论？
湖南省长沙市一中卫星远程学校
习题讲解
问题 3 在图 2-33 中， AC 继续绕 A 旋转， 使 使割线 CFD 变成切线 CD，得到图 2-34.此 时又能推出哪些结论？
湖南省长沙市一中卫星远程学校
主讲： 震 陈
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习题讲解
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例 5. 如图，AB、AC 是圆 O 的切线，ADE 是圆 O 的割线，连接 CD、BD、BE、CE.
问题 程学校
习题讲解
问题 2 在图 2-32 中， 使线段 AC 绕 A 旋转， 得到图 2-33.其中 EC 交圆于 G，DC 交圆于 F.此时又能推出哪些结论？
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习题讲解
问题 3 在图 2-33 中， AC 继续绕 A 旋转， 使 使割线 CFD 变成切线 CD，得到图 2-34.此 时又能推出哪些结论？
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圆幂定理
· ·
O2 B
图7
E
F
例2 如图6，已知AD是△ABC的外角 ∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D延 长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB， FC． （1）求证：FB＝FC； （2）若AB是△ABC的外接圆的直径， ∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长．
F A
C
E
B
图6
C
D
例1 如图5，AB是⊙O的直径，C是⊙O 外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D． 已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于点E， 求四边形ABDE的周长．
C
D
C,PA
O
探究 使圆的两条相交弦的交点
B
图2 23
D C
再到圆外图 2 24 , 结论 1 是否 还能成立?
B
P 从圆内运动到圆上 图 2 23 ,
P
A
O
图2 24
一 与圆有关的比例线段
割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条 割线与圆的交点的两条线段的积相等
已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条 割线PBA与PDC，与⊙O分别交于点A、B 与C、D 求证：PA· PB＝PC· PD
PD PA PB PC
A
B
O· D
C
P
探究 在图2 24 中, 使割线 PB 绕 P 点运动到切线位置
P
D C A
O
图2 25, 是否还有PA PB
B
A
O
D
B
C
如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ 弧BCD和弧BAD所对的 D 圆心角的和是周角
∴∠A＋∠C＝180°A 同理∠B＋∠D＝180°
B
O2 B
图7
E
F
例2 如图6，已知AD是△ABC的外角 ∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D延 长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB， FC． （1）求证：FB＝FC； （2）若AB是△ABC的外接圆的直径， ∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长．
F A
C
E
B
图6
C
D
例1 如图5，AB是⊙O的直径，C是⊙O 外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D． 已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于点E， 求四边形ABDE的周长．
C
D
C,PA
O
探究 使圆的两条相交弦的交点
B
图2 23
D C
再到圆外图 2 24 , 结论 1 是否 还能成立?
B
P 从圆内运动到圆上 图 2 23 ,
P
A
O
图2 24
一 与圆有关的比例线段
割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条 割线与圆的交点的两条线段的积相等
已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条 割线PBA与PDC，与⊙O分别交于点A、B 与C、D 求证：PA· PB＝PC· PD
PD PA PB PC
A
B
O· D
C
P
探究 在图2 24 中, 使割线 PB 绕 P 点运动到切线位置
P
D C A
O
图2 25, 是否还有PA PB
B
A
O
D
B
C
如图：圆内接四边形ABCD中， ∵ 弧BCD和弧BAD所对的 D 圆心角的和是周角
∴∠A＋∠C＝180°A 同理∠B＋∠D＝180°
B
圆的周长ppt课件优秀
目录
圆周长的计算公式
圆周长的计算公式
圆的周长是指园形边界的长度。计算圆的周长 的公式为：C = 2πr，其中C表示周长，r表示圆 的半径，π是一个常数，约等于3.14。 描述内容一：圆的周长是指园形边界的长度， 是我们研究圆形几何性质的重要指标之一。 描述内容二：计算圆的周长的公式为C = 2πr， 其中r为半径，π是圆周率，这一公式是很多数
圆周长的应用场景
圆的周长是指圆周上所有点连成的线段长度总 和。它是圆的重要属性之一，应用广泛。 I. 之一：建筑设计中的运用 圆弧的设计可以增强建筑物的美感，圆的周长 就是圆弧的长度，建筑设计师需要精确地计算 圆周长。 圆形的路口与道路桥梁通常需要考虑车辆和行
圆周长与直径的关 系
圆周长是指围绕圆的一条线的长度，而直径则是 圆内任意两点之间的距离，它们之间有着密切的 关系。 周长与直径的比例 根据数学定理可知，圆的周长与其直径的比例为 π，即周长与直径的比值为π。这意味着当直径制 定了，周长就可以轻松地计算出来。
《圆的认识》圆PPT优秀教学课件
04
圆的综合应用举例
求解切线方程问题
切线定义及性质
典型例题解析
回顾切线定义，阐述切线与半径垂直 的性质。
选取具有代表性的切线方程问题，详 细解析求解过程。
切线方程求解方法
通过圆心坐标和切线斜率，利用点斜 式或斜截式求解切线方程。
求解切线长问题
切线长定义及性质
回顾切线长定义，阐述切线与半 径、切线长与弦长的关系。
圆心、半径和直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆 上的线段，用字母d表示， 且d=2r。
圆的周长与面积
圆的周长
围绕圆形绘制的线的长度，计算公 式为C=2πr或C=πd。
圆的面积
圆形所占平面的大小，计算公式为 S=πr²。
半径
03
一般方程中，半径$r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$。
圆的参数方程
01 02
定义
以点$O(a,b)$为圆心，$r$为半径的圆的参数方程为 $left{ begin{array}{l} x=a+rcostheta y=b+rsintheta end{array} right.$，其中$theta$为参数。
求解割线性质问题
割线性质概述
总结割线的性质，如割 线与半径的关系、割线 定理等。
割线性质应用
利用割线性质解决与圆 相关的角度、长度等问 题。
典型例题解析
选取具有代表性的割线 性质问题，详细解析求 解过程。
05
与圆相关的数学问题拓展
点到直线距离公式推导及应用
人教版六年级下册数学6.2 圆的整理与复习 课件(18张ppt)
圆的周长
圆的周长指什么？ 圆周率是什么？ 要想计算圆的周长，需要什么信息？ 怎样计算圆的周长？ 圆的周长与直径的比值是什么？圆的周长与半 径的比值是什么？ 圆的周长与直径成什么比例关系？为什么？
圆的面积
圆的面积指什么？如何计算圆的面积？ 圆的面积公式是如何推导出来的？
平行四边形的底 = 圆周长的一半（πr） 平行四边形的高 = 圆的半径（r） 圆的面积 = πr×r =πr²
25.12÷3.14÷2=4（dm） 3.14×4²=50.24（dm²）
一个花坛的直径是10米，在它的周围修一条2米宽的小 路，小路的面积是多少平方米？ 你是这样理解题意的？
10÷2=5（米） 5＋2=7（米） 3.14×（7²-5²）=75.36（平方米）
已知圆中正方形的面积是9cm²，这个圆的周长是多少 厘米？
=1256＋4000 =5256（平方米）
本课总结：
你认为学习几何平面图形时， 要学习哪些方面的知识？
思考：圆和正方形之间有什么关系？ 9=3×3
3.14×（3×2）=18.84（厘米）
如果正方形的面积是6cm²,那么圆的面积是多少平方厘 米。
3.14×6=18.84（平方厘米）
下面是跑道示意图，请你分别算出它的周长和面积。
40m
100m 周长：3.14×40＋100×2=325.6（米） 面积：3.14×（40÷2）²＋100×40
什么是圆环？
圆环的周长指什么？ 怎样计算圆环的周长？ 圆环的面积指什么？ 怎样计算圆环的面积？
半圆是由什么围起来的？
如何计算半圆的周长？ C=πr＋d
如何计算半圆的面积？ S=πr²÷2
如果一个半圆的半径是10厘米，那么，它的周长 是多少厘米？面积是多少平方厘米？
2.4弦切角的性质2.5 与圆有关的比例线段
7 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交， 另一边与圆相切的角叫做弦切角。
下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？ C B
×
C
× A B A B
C
× A
C
√
A
× B C
A
B
8 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2.弦切角定理
D O E
A
C
CD•AE=AC•CE ⑵ 同理 BD•AE=AB•BE ⑶ 因为AC=AB,由 ⑵⑶ 可得 BE•CD=BD•CE ⑷
图⑴
24 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
问题2 在图(1)中,使线段AC绕A旋转,得到图(2),
其中EC交圆于G,DC交圆于F,此时又能推出哪些 结论? B
B E D A C O D A F G O E
图⑴
C
图⑵
探究2: 猜想并可证明 △ADC∽△ ACE ⑸ 同样可得⑵⑶⑷
25 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
证明如下:
∵AB²=AD•AE,而AB=AC,
∴AC²=AD•AE,即
AC AD AE AC
B
E
D F G C O
D C P A(C.P) A B P A B C D
PB=PC· PD P在圆上:PA=PC=0, 仍有 PA· P在圆外:易证△PAD∽△PCB
PA PD . PC PB
故PA· PB=PC· PD
15 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2.割线定理 从圆外一点引圆的两条割 线，这一点到每条割线与圆的交点的两 条线段长的积相等. PA· PB=PC· PD D
2.5 与圆有关的比例线段 课件(人教A选修4-1)(2)
[悟一法] 相交弦定理、割线定理和切割线定理涉及与圆有 关的比例线段问题，利用相交弦定理和割线定理能做
到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．
[通一类] 2.如图，三角形ABC中，AB＝AC，⊙O 经过点A，与BC相切于B，与AC相交
于D，若AD＝CD＝1，求⊙O的半径r.
解：连接 BO 并延长交圆于点 E，连接 AE，过点 A 作 AF ⊥BC，垂足为点 F，则 F 为 BC 的中点， 由切割线定理得 CB2＝CD· CA＝1×2， 2 所以 BC＝ 2，BF＝ ， 2 AF＝ AC －FC ＝
[研一题] [例2] 如图，AD是⊙C，BM
＝MN＝NC，AB＝2，求BC的长度和 ⊙O的半径． 分析：本题考查割线定理，切割 线定理以及勾股定理的综合应用，解答本题需利用切割线
定理求BC，利用割线定理求⊙O的半径．
解：∵AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线 BMN 是 ⊙O 的割线， ∴∠BAC＝90° ，AB2＝BM· BN. ∵BM＝MN＝NC，AB＝2，∴2BM2＝4. ∴BM＝ 2，∴BC＝3BM＝3 2. ∴AB2＋AC2＝BC2,4＋AC2＝18，AC＝ 14. ∵CN· CM＝CD· CA， 2 ∴ 2· 2＝CD· 14，∴CD＝ 14. 2 7 1 5 ∴⊙O 的半径为 (CA－CD)＝ 14. 2 14
本题主要考查相交弦、切割线定理的
应用，以及相似三角形的判定与性质．
解析：由相交弦定理可得 CF· FE＝AF· FB，得 CF＝2.又因 为 CF∥DB，所以
2
CF AF 8 ＝ ，得 DB＝ ，且 AD＝4CD，由切割 DB AB 3
2
4 线定理得 DB ＝DC· DA＝4CD ，得 CD＝ . 3
3.5 与圆有关的比例线段之相交弦、切割线和切线长定理
2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？
C D O
C
B
A
C′
A
D
B
说明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割线定理”的 特例！
例1 如图,圆内的两条弦AB、CD相交于圆内一点P, 已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的长.
解：设CD=x,则PD=4/5x,PC=1/5x. 由相交弦定理，得PA∙PB=PC∙PD, ∴4×4=1/5x•4/5x,解得x=10. ∴CD=10.
复习回顾
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半． 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 反之，相等的圆周角所对的弧也相等． 推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，９ ０°的圆周角所对的弦是直径． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
与圆有关的比例线段
之
T A B O C D P
一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆 有关的相交弦的问题. 探究1:如图1,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AB与CD相交于P,
线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？
证明:连接AD、BC.
D
图1
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C. ∴Rt△APD∽Rt△CPB.
应用格式（几何语言描述）:
∵PAB,PCD是⊙O 的割线,∴ PA∙PB=PC∙PD.
C
B
C D 图5 P O B A PA∙PB=PC∙PD
P
O
点P从圆内移动到圆外
D
A
图3 PA∙PB=PC∙PD
证明:连接AC、AD,同样可以证明 △PAD∽△PCA, 所以PA:PC=PD:PA, 即PA2=PC•D仍成立.
与圆有关的比例线段
D
O•
P
B
C
A
相交弦定理： 圆内的两条相交 弦，被交点分成的两 条线段长的积相等
若两弦的交点在圆周上， PA ⋅ PB = PC ⋅ PD成立吗？
(C, P) A
•
O
C
B
若两弦的交点在圆外， PA ⋅ PB = PC ⋅ PD成立吗？
C
P A
•
D
O
B
割线定理： 从圆外一点引圆的两条 割线，这一点到每条割线与 圆的交点的两条线段长的积 相等
D
B
E
A
F
O
•
∆ADC ∽∆ACE
G C
问题 1中的结论仍成立： CD ⋅ AE = AC ⋅ CE , BD ⋅ AE = AC ⋅ CE BE ⋅ CD = BD ⋅ CE
B
E D
A
F
O
•
FG// AC
G C
问题3：将AC继续绕A旋转，试割线CFD 变成切线CD，如下图， 此时能得出 哪些结论？
割线PB绕P点运动到如下图的位 置时，PA ⋅ PB = PC ⋅ PD成立吗？
P
C
•
D
O
A(B)
切割线定理： 从圆外一点引圆的 切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的 两条线段长的比例中项
割线PD也绕P点运动到如下图的 位置时，可以得出什么结论？
P
C(D)
•
O
A(B)
已知：如图， O外一点P分别向圆 ⊙ 作切线PA、PC，求证：PA = PC C
P
O
•
A
切线长定理： 从圆外一点引圆的 两条切线，它们的切线 长相等，圆心和这一点 的连线平分两条切线的 夹角
O•
P
B
C
A
相交弦定理： 圆内的两条相交 弦，被交点分成的两 条线段长的积相等
若两弦的交点在圆周上， PA ⋅ PB = PC ⋅ PD成立吗？
(C, P) A
•
O
C
B
若两弦的交点在圆外， PA ⋅ PB = PC ⋅ PD成立吗？
C
P A
•
D
O
B
割线定理： 从圆外一点引圆的两条 割线，这一点到每条割线与 圆的交点的两条线段长的积 相等
D
B
E
A
F
O
•
∆ADC ∽∆ACE
G C
问题 1中的结论仍成立： CD ⋅ AE = AC ⋅ CE , BD ⋅ AE = AC ⋅ CE BE ⋅ CD = BD ⋅ CE
B
E D
A
F
O
•
FG// AC
G C
问题3：将AC继续绕A旋转，试割线CFD 变成切线CD，如下图， 此时能得出 哪些结论？
割线PB绕P点运动到如下图的位 置时，PA ⋅ PB = PC ⋅ PD成立吗？
P
C
•
D
O
A(B)
切割线定理： 从圆外一点引圆的 切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的 两条线段长的比例中项
割线PD也绕P点运动到如下图的 位置时，可以得出什么结论？
P
C(D)
•
O
A(B)
已知：如图， O外一点P分别向圆 ⊙ 作切线PA、PC，求证：PA = PC C
P
O
•
A
切线长定理： 从圆外一点引圆的 两条切线，它们的切线 长相等，圆心和这一点 的连线平分两条切线的 夹角
24弦切角的性质25与圆有关的比例线段
PA=PC
4.切线长定理 从圆外一点引圆的两
条切线，它们的切线长相等,圆心和
26这一点的连线平分两条切线的夹角.
[普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
思考:1.由切割线定理能证明切线长定 理吗? 如图由P向圆任作一条割线EF试试.
思考:2.你能将切线长定理推广到空间 的情形吗?
D
O
∴ △ADC∽△ ACE ⑸
F
(对应边成比例且夹角相等).
G
C 图⑵
另一方面连接FG由于F,G,E,D四点共圆
∴ ∠CFG= ∠AEC,
又∵∠ACF= ∠AEC,
∴
34
∠CFG=
∠ACF,
∴ FG//AC
⑹
[普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
问题3 在图(2)中,使线段AC继续绕A旋转,使割
PA²=PC·PD
A(B)
3.切割线定理 从圆外一点引圆的切
线和割线，切线长是这点到割线与圆
交点的两条线段长的比例中项.
25
[普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
探究4:使割线PD绕P点运动到切线的
位置,可以得出什么结论?
D
C(D)
C
O
O
P
P
A(B)
A(B)
PA²=PC·PD 易证Rt△OAP≌Rt△OCP.
D O
CD AD
A
CE AC
∴AC•CD=AD•CE ⑻ Q
由⑺⑻可得：
G
图⑶
AC•CD=AE•CG
⑼
C P
连接BD,BE,延长GC到P,延长BD交AC于Q,则
∠PCQ= ∠PGD= ∠DBE,