3 章 流体输运方程 - 中南大学能源与工程学院

学与 a
=
du dt
=
d 2r dt 2
x3 (z)
科r(t)
源
能
x2 (y)
学x1(x)
大 图 3-1 质点运动描述
但是在流体力学中，跟随一个流体质点去描述它的运动常常是困难的。考虑到流体是充
南 满运动空间的连续介质，一般有两种描述运动的方法，即两种参考坐标系。 中3.1.1 拉格朗日（Lagrange）描述法
3
acceleration），第二项称为当地加速度（或局部加速度，Local acceleration）。
任何流体质点的物理量φ ，不管是标量还是矢量，其随体导数都类似于式（3-7）或（3-8），
因此就有公式
Dφ = ∂φ + (u ⋅ ∇)φ Dt ∂t
（3-9）
这在流体力学中是个十分重要的基本公式。只要流体质点的物理量采用欧拉描述法，其随体
速度是矢径 r(a, b, c, t) 对时间的偏导数：
南 u(a, b, c, t) = ∂r(a, b, c, t) ∂t
中加速度 a(a,b, c,t) 是速度 u(a, b, c, t) 对时间的偏导数：
（3-5）
a(a, b, c, t) = ∂u(a, b, c, t) ∂t
（3-6）
可见，在拉格朗日描述法中，流体质点物理量的随体导数就是物理量对时间的偏导数。
一个场。因此，欧拉描述实际上描述了一个个物理量的场。
工 应该指出，由于某时刻在空间点（ξ1,ξ2 ,ξ3 ）上必有一流体质点占据，因此，在流体占
有的空间点上的物理量，即欧拉法描述的物理量实际上也就是占据该空间点的流体质点的物
与 理量。 若以φ 表示流体质点的某一物理量，其欧拉描述的数学表达式是（设空间坐标取用直角
2
自同一流体质点，而非取自同一空间点（ x, y, z ））。由于该流体质点是运动的，即 x, y, z 是
随时间变化的。若以 a, b, c 表示该点的拉格朗日坐标，则 x, y, z 将依式（3-2）变化。从而
φ = φ (x, y, z, t) 的变化应按复合函数求导法则处理。因此，物理量φ = φ (x, y, z, t) 的随体导
坐标）
学 φ = φ(x, y, z,t) = φ(r,t)
（3-3）
例如，流体速度的欧拉描述是
u = u( x, y, z, t)
科
（3-4）
源 或
ui = ui ( x, y, z, t) ， i = 1,2,3,
它表示在空间点（ x, y, z ）上在时刻 t 的流体速度。自然，这个速度是某一流体质点的。不
示。
经过 Δt 后，V (t) → V (t + Δt) ，φ(r, t) → φ(r, t + Δt) ，则Φ (t + Δt) 表示为
Φ (t + Δt) = ∫∫∫φ(r, t + Δt)dV V (t+Δt )
（3-11）
t + Δt
t
n
控制体
τ (t)
dA uΔt
τ (t + Δt)
院
dA
源 显然，力学定律要适用于控制体，必须对力学定律中所用系统物理量的体积分对时间的
导数作一改写，使之能用控制体的积分表达出来。由于控制体是以空间变量描述，因此，其
相应描述方法是欧拉法。 z 系统
能
学 在流体力学中，系统是指某一确定流体质点集合的总体。系统外的环境称为外界。分割
系统与外界的界面，称之为系统的边界。系统通常是研究的对象，外界则用来区别于系统。
按欧ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ描述法，物理量φ 表示为φ = φ (x, y, z, t) ，但 ∂φ / ∂t 并不代表随体导数，它只表
示物理量在空间点（ x, y, z ）上的时间变化率（φ 取自（ x, y, z ）这一点）。而随体导数必
是跟随 t 时刻位于（ x, y, z ）空间点上的那个流体质点的物理量φ 的时间变化率（这个φ 取
科 量 为 (u / | u |) ⋅ ∇φ ， 于 是 在 此 方 向 上 ， 在 距 离 | u | Δt 上 的 φ 的 改 变 量 为
| u | Δt((u / | u |) ⋅ ∇φ) = u ⋅ ∇φΔt ，因此在单位时间内φ 的变化率为 u ⋅ ∇φ 。
源 显然，若（1） u = 0 ，即流体静止；（2）φ 是均匀场，这时 ∇φ = 0 （但φ 可随时间变
数是：
Dφ(x, y, z, t) = D φ[x(a, b, c, t), y(a, b, c, t), z(a, b, c, t), t]
Dt
Dt
= ∂φ ∂x + ∂φ ∂y + ∂φ ∂z + ∂φ ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t ∂t
= ∂φ u + ∂φ υ + ∂φ w + ∂φ ∂x ∂y ∂z ∂t
大 系统的特点是： （1）系统将随系统内质点一起运动，系统内的质点始终包含在系统内，系统边界的形
南 状和所围空间的大小，则可随运动而变化； （2）系统与外界无质量的交换，但可以有力的相互作用以及能量（热和功）交换。
中如果研究对象是系统，由于力学中的一些基本定律是建立在质点、质点系上的，因此，
流体力学这些力学定律可直接用原始数学形式表达出来。
与 场该项为零）；另一项 u ⋅ ∇φ 称为位变导数项（Carrier derivative），它表示在非均匀的φ 场
中（有梯度 ∇φ ），由空间位置变化（由 u ）引起的物理量的变化率。
学 为了说明这一点，我们取时间间隔（ t ，t + Δt ），位于（ x, y, z ）处的流体质点，将沿
u( x, y, z, t) 的方向移动距离近似为 | u | Δt ，由于在 u( x, y, z, t) 方向单位长度上的φ 的改变
化）；（3）u 沿等φ 面方向，即流体质点沿等φ 面运动，u ⊥ ∇φ ，则上述随体导数中的位变
能 导数等于零。 运用式（3-7），流体质点的加速度是流体质点速度 u( x, y, z, t) 的随体导数： 学a(x, y, z, t) = Du(x, y, z, t) Dt 大 = ∂u ∂x + ∂u ∂y + ∂u ∂z + ∂u ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t ∂t
+υ
∂υ ∂y
+ w ∂υ ∂z
+
∂υ ∂t
（3-8b）
az
=
Dw(x, y, z, t) Dt
=
(u ⋅ ∇)w
+
∂w ∂t
=
u
∂w ∂x
+υ
∂w ∂y
+
w
∂w ∂z
+
∂w ∂t
（3-8c）
式 （ 3-8 ） 表 示 的 加 速 度 中 ， 右 边 第 一 项 称 为 迁 移 加 速 度 （ 或 位 变 加 速 度 ， Carrier
r = r(a, b, c, t)
（3-2）
或
xi = xi (a,b, c,t) ， i = 1,2,3
它表示拉格朗日坐标为（ a, b, c ）的流体质点在时刻 t 处于 r ，即空间点（ x, y, z ）的位置。
3.1.2 欧拉（Euler）描述法
欧拉描述法也称空间描述法。它着眼于空间点，认为流体的物理量随空间点及时间而变
南
= (u ⋅ ∇)u + ∂u ∂t
（3-8）
中在直角坐标系中的展开形式为：
ax
=
Du(x, y, z, t) Dt
=
(u ⋅ ∇)u
+
∂u ∂t
=
u
∂u ∂x
+υ
∂u ∂y
+
w
∂u ∂z
+
∂u ∂t
（3-8a）
ay
=
Dυ(x, y, z, t) Dt
=
(u ⋅ ∇)υ
+
∂υ ∂t
= u ∂υ ∂x
n
uΔt τ3
τ2
τ1
学 程
图 3-2 可变体积上积分的时间导数
工 如图 3-2 将变化后的体积分为V1 、V2 和V3 三部分，即： 与 V (t + Δt) = V1 +V2 = V1 + (V2 +V3)−V3 = V + V1 −V3
学 因此有：φ(t + Δt) = φV (t + Δt) + φV1(t + Δt) − φV 3 (t + Δt)
拉格朗日描述法也称随体描述法。它着眼于流体质点，并将流体质点的物理量认为是随
流体质点及时间变化的，也就是说，它把流体质点的物理量表示为拉格朗日坐标及时间的函
数。设拉格朗日坐标为（ a, b, c ），即数组（ a, b, c ）表示一个流体质点的拉格朗日坐标，
而不同的流体质点用不同的（ a, b, c ）数组表示。由于拉格朗日坐标系是跟随流体质点运动
3.2.2 雷诺输运定理
设某时刻流场中，单位体积流体的物理量分布为φ(r, t) ，则 t 时刻在流体域 V 内的流体
的总物理Φ 为
Φ (t) = ∫∫∫φ(r, t)dV 简记∫ φ(r, t)dV
V
V
（3-10）
4
设 t 时刻某体积在空间τ (t) 上，t + Δt 时刻该体积到达另一位置τ (t + Δt) ，如图 3-2 所
导数即质点物理量的时间变化率，就采用这一公式计算。
3.2 雷诺输运定理（Reynolds transport equation）
院 3.2.1 控制体与系统 学 雷诺输运定理是与控制体和系统相关的定律。在引入雷诺输运定理之前，首先讨论一下
控制体和系统的概念。 z 控制体
程
工 控制体是指在流体所在空间中，以假想或真实流体边界包围、形状任意、固定不动的空
化，也就是说，它把流体物理量表示为欧拉坐标及时间的函数。设欧拉坐标为（ ξ1,ξ2 ,ξ3 ），
院 用欧拉坐标表示的各空间点上的流体物理量如速度、压强、密度等等，在任一时刻 t 的值， 学 可写为ξ1,ξ2 ,ξ3 及 t 的函数。从数学分析知道，当某时刻一个物理量自空间中每一个点上的 程 值确定时，即某时刻一个物理量在空间的分布一旦确定，我们就说该物理量在此空间形成了
学 体质点的加速度，就是流体质点速度随时间的变化率。这种流体质点物理量随时间的变化率
称为物理量随体导数，或物质导数。不言而喻，它意味着是跟随流体质点运动时观测到的质
程 点物理量的时间变化率。 在固体力学中常可以跟随一个质点去描述它的运动，如图 3-1 所示，有：
位置向量 速度向量
加速度向量
r(t)
工 u = dr dt
能 过，这里并未显示出这一速度是属于哪个质点，知道的只是在时刻 t 运动到空间点（ x, y, z ）
的那个流体质点有速度 u( x, y, z, t) 。
学 3.1.3 随体导数
大 按照拉格朗日描述，物理量 φ 表示为 φ = φ(a, b, c, t) ， φ 的随体导数就是跟随质点
（ a, b, c ）的物理量φ 对时间 t 的导数（这时 a, b, c 是不变的），即 ∂φ / ∂t 。例如：u(a, b, c, t)
系统的随体导数为：
∫∫∫ DΦ = D φ(r,t)dV
Dt Dt V (t)
科
源 = lim ΦV (t+Δt) (t + Δt) −ΦV (t) (t)
Δt→0
Δt
能 = lim ΦV (t + Δt) −ΦV (t) + lim ΦV1 (t + Δt) − lim ΦV3 (t + Δt)
间体积（可运动、变形的控制体不作介绍）。包围这个空间体积的边界，称为控制面。
与 控制体的特点是：
（1）控制体的形状与大小不变，并相对于某坐标系固定不动。控制体内的流体质点组
成并非是不变的，它们可以通过控制面进出。
学
科 （2）控制体既可通过控制面与外界有质量和能量的交换，也可与控制体外的环境有力
的相互作用。
= (u ⋅ ∇)φ + ∂φ ∂t
院 学（3-7）
程 其中 D / Dt 表示随体导数。 以上过程表明，求质点物理量的随体导数，欧拉法和拉格朗日法有很大的不同。欧拉法
工 中随体导数为两项之和，一项是 ∂φ / ∂t ，它表示 x, y, z 不变时，在该空间点上的物理量的
时间变化率，称之为局部导数（Local derivative），它是由物理量的不定常性造成的（对定常
的，故数组（ a, b, c ）的值是不随时间变化的。以拉格朗日坐标表示的流体质点的物理量，
如矢径、速度、压强等等在任一时刻 t 的值，便可以写成为 a, b, c 及 t 的函数。
若以φ 表示流体质点的某一物理量，其拉格朗日描述的数学表达式是
1
φ = φ(a, b, c, t)
（3-1）
例如，假设时刻 t 流体质点的矢径，即 t 时刻流体质点的位置以 r 表示，其拉格朗日描述为
第 3 章 流体输运方程
流体的运动遵从现有的守恒定律，即遵从质量守恒、动量守恒和能量守恒定律。本章将 较为详细地推导流体运动所应满足的基本方程，换句话说，就是要得到守恒定律在流体力学 中的具体表述形式。
3.1 随体导数 （Material derivative）
院 在解决流体力学问题中，我们常常需要求流体质点的物理量随时间的变化率。例如，流