线性相位FIR数字滤波器的特性
FIR滤波器的设计及特点
FIR滤波器的设计及特点FIR（Finite Impulse Response）滤波器是一种数字滤波器，其特点在于其频率响应仅由其滤波器系数决定，而与输入序列无关。
它是一种线性相位滤波器，常用于数字信号处理中的陷波、低通、高通、带通等滤波应用。
窗函数法是最简单也是最常用的设计方法之一、它通过在滤波器的理想频率响应上乘以一个窗函数来得到最终的滤波器系数。
常用的窗函数包括矩形窗、汉宁窗、汉明窗和布莱克曼窗等。
窗函数的选择决定了滤波器的主瓣宽度和副瓣衰减。
最小二乘法是一种优化方法，它通过最小化输出序列与理想响应序列之间的均方误差来得到滤波器系数。
最小二乘法可以得到线性相位的滤波器设计，但计算量较大。
频域采样法是通过在频域上对理想频率响应进行采样，然后进行插值来得到滤波器系数。
频域采样法可以得到具有任意响应的滤波器，但需要对理想频率响应进行采样和插值，计算量较大。
优化算法是通过优化问题的求解方法来得到滤波器系数。
常用的优化算法包括遗传算法、粒子群算法和蚁群算法等。
优化算法可以得到满足特定需求的非线性相位滤波器设计，但计算量较大。
1.线性相位特性：FIR滤波器的线性相位特性使其在处理信号时不引入相位延迟，因此适用于对信号相位有严格要求的应用，如音频信号处理和通信系统中的调制解调等。
2.稳定性：FIR滤波器是稳定的，不会引入非物理的增益和相位。
这使得其在实际应用中更加可靠和可控。
3.容易设计：FIR滤波器的设计相对较为简单，不需要考虑稳定性和因果性等问题，只需要选择合适的滤波器结构和设计方法即可。
4.灵活性：FIR滤波器的频率响应可以通过改变滤波器系数来实现。
这使得其适用于各种滤波需求，例如低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等。
5.高阻带衰减：由于FIR滤波器的频率响应只受滤波器系数控制，因此可以设计出具有较高阻带衰减和较窄主瓣带宽的滤波器。
总之，FIR滤波器的设计简单、稳定性高、频率响应灵活可调等特点，使得其在数字信号处理中得到广泛应用。
数字信号处理简答题
1.举例说明什么是因果序列和逆因果序列，并分别说明它们z 变换的收敛域。
答：因果序列定义为x （n ）＝0，n<0，例如x （n ）＝)(n u a n ⋅，其z 变换收敛域：∞≤<-z R x 。
逆因果序列的定义为x (n)=0,n>0。
例如x （n ）＝()1--n u a n ，其z 变换收敛域：+<≤x R z 02.用差分方程说明什么是IIR 和FIR 数字滤波器，它们各有什么特性？ 答： 1）冲激响应h （n ）无限长的系统称为IIR 数字滤波器，例如()()()1)(21)(1021-++-+-=n x b n x b n y a n y a n y 。
IIR DF 的主要特性：①冲激响应h （n ）无限长；②具有反馈支路，存在稳定性问题；③系统函数是一个有理分式，具有极点和零点；④一般为非线性相位。
（2）冲激响应有限长的系统称为FIR DF 。
例如()2)1()()(21-+-+=n x b n x b n x n y 。
其主要特性：①冲激响应有限长；②无反馈支路，不存在稳定性问题；③系统函数为一个多项式，只存在零点；④具有线性相位。
3.用数学式子说明有限长序列x （n ）的z 变换X （z ）与其傅里叶变换X )(ωj e 的关系，其DFT 系数X （k ）与X （z ）的关系。
答： （1）x （n ）的z 变与傅里叶变换的关系为()()ωωj e Z e X z X j== （2）x （n ）的DFT 与其z 变换的关系为()()K X z X k N j K N e w Z ===- 2 π4.设x （n ）为有限长实序列，其DFT 系数X （k ）的模)(k X 和幅角arg[X （k ）]各有什么特点？答：有限长实序列x （n ）的DFT 之模()k x 和幅角[])(arg k X 具有如下的性质：（1）)(k X 在0-2π之间具有偶对称性质，即)()(k N X k X -=（2）[])(arg k x 具有奇对称性质，即[]()[]k N X k X --=arg )(arg5.欲使一个FIR 数字滤波器具有线性相位，其单位取样响应)(n h 应具有什么特性？具有线性相位的FIR 数字滤器系统函数的零点在复平面的分布具有什么特点？答： 要使用FIR 具有线性相位，其h （n ）应具有偶对称或奇对称性质，即h(n)=h(N-n-1)或h(n)=-h(N-n-1)。
数字信号处理考试试题及答案
数字信号处理试题及答案一、 填空题(30分，每空1分）1、对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 离散时间 信号，再进行幅度量化后就是 数字 信号。
2、已知线性时不变系统的单位脉冲响应为)(n h ，则系统具有因果性要求)0(0)(<=n n h ,系统稳定要求∞<∑∞-∞=n n h )(。
3、若有限长序列x(n)的长度为N,h(n ）的长度为M ，则其卷积和的长度L 为 N+M—1。
4、傅里叶变换的几种形式:连续时间、连续频率—傅里叶变换；连续时间离散频率—傅里叶级数；离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换；散时间、离散频率-离散傅里叶变换5、 序列)(n x 的N 点DFT 是)(n x 的Z 变换在 单位圆上 的N 点等间隔采样.6、若序列的Fourier 变换存在且连续，且是其z 变换在单位圆上的值，则序列x （n ）一定绝对可和。
7、 用来计算N ＝16点DFT ，直接计算需要__256___次复乘法，采用基2FFT 算法,需要__32__ 次复乘法 。
8、线性相位FIR 数字滤波器的单位脉冲响应()h n 应满足条件()()1--±=n N h n h 。
9. IIR 数字滤波器的基本结构中, 直接 型运算累积误差较大； 级联型 运算累积误差较小； 并联型 运算误差最小且运算速度最高.10. 数字滤波器按功能分包括 低通 、 高通 、 带通 、 带阻 滤波器。
11. 若滤波器通带内 群延迟响应 = 常数，则为线性相位滤波器.12. ()⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A n x 73cos π的周期为 14 13. 求z 反变换通常有 围线积分法（留数法）、部分分式法、长除法等。
14. 用模拟滤波器设计IIR 数字滤波器的方法包括：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法.15. 任一因果稳定系统都可以表示成全通系统和 最小相位系统 的级联。
二、选择题(20分，每空2分）1。
数字信号处理第三版第七章
对称，是满足式（7.1.9）的一组解，
因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和h(n)满
足如下条件：
()
,
N1
2
2
h(n)h(N1n), 0≤ n≤ N1
（7.1.10）
2． 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波
因为cos［ω(n-τ)］关于ω=0, π, 2π三点偶对称，所以由 式（7.1.11）可以看出，Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称。 因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤 波器。
情况2： h(n)=h(N－n－1), N为偶数。
仿照情况1的推导方法得到:
H ( e j ) H g () e j = N 1 h ( n ) e j n e j M 2 h ( n )c o s (( n ) )
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介 7.7 滤波器分析设计工具FDATool
用情况3的推导过程可以得到:
M
Hg() 2h(n)sin[(n)] n0
（7.1.13）
N是偶数，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，当ω=0, 2π时，
sin［ω(n－τ)］=0；当ω=π时，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－ N/2, 为峰值点。而且sin ［ω(n－τ)］关于过零点ω=0和
如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的FIR滤波器呢？ 直观上，增加矩形窗口的宽度（即加大N）可以减少吉布斯效应 的影响。N 时， 在主瓣附近， WRg(ω)近似为：
数字滤波的名词解释
数字滤波的名词解释数字滤波是一种信号处理技术，用于对数字信号进行去噪、滤波和频率调整等操作。
它利用数学算法，通过对数字信号进行运算和变换，从而实现对信号的改善和优化。
数字滤波在生活和工业领域有着广泛的应用，比如音频处理、图像处理、通信系统、控制系统等，对于提高信号质量和减少噪声干扰非常重要。
数字滤波的基本原理是将原始信号输入到滤波器中，滤波器通过选择性的增强或抑制特定频率的成分，对信号进行处理。
根据滤波器的特性和传递函数，数字滤波可以分为低通滤波、高通滤波、带通滤波和带阻滤波等不同类型。
不同类型的滤波器在处理信号时，会根据需求选择性地保留或移除特定频率的信号成分。
数字滤波的核心是滤波器的设计和实现。
滤波器可以是数字滤波器或者是模拟滤波器的数字化版本。
数字滤波器通常由延迟元件和加权系数组成，延迟元件用于存储输入信号的历史数据，加权系数用于对不同历史数据进行加权运算。
通过将输入信号经过滤波器的每个延迟元件，然后与对应的加权系数相乘并求和，即可得到滤波后的输出信号。
常见的数字滤波器算法包括有限脉冲响应（FIR）滤波器和无限脉冲响应（IIR）滤波器。
FIR滤波器是一种线性相位滤波器，其特点是具有稳定的频率响应和线性相位特性，适用于需要高质量的滤波效果。
IIR滤波器则是一种非线性相位滤波器，由于其反馈机制，可以实现更高的滤波效率和更窄的带宽，适用于实时处理和资源限制的应用。
除了滤波器的类型和算法选择，数字滤波的效果还受到滤波器的阶数和截止频率等参数的影响。
阶数越高，滤波器的频率响应越陡峭，对于需求更严格的滤波效果可以选择更高阶的滤波器。
截止频率则是滤波器能够通过或阻止的频率范围，选择合适的截止频率可实现对信号的精确控制。
在数字滤波的实际应用中，为了提高滤波效果和避免误差累积，通常会使用多级滤波器结构。
多级滤波器将滤波操作分解为多个较小的滤波器级联，每个级联内部都有自己的频率响应和延迟元件。
通过这种层级结构，可以有效去除不同频率范围内的噪声和干扰，提高滤波器的整体性能。
fir原理阐述
fir原理阐述FIR原理及其应用一、FIR原理概述FIR（Finite Impulse Response）滤波器是一种常见的数字滤波器，其特点是具有有限的冲激响应。
FIR滤波器的工作原理是将输入信号与滤波器的冲激响应进行卷积运算，从而得到滤波后的输出信号。
FIR滤波器的冲激响应是由一组系数确定的，通过调节这些系数可以实现不同的滤波效果。
二、FIR滤波器的优点1. 稳定性：由于FIR滤波器的冲激响应是有限的，不会引入无限长的冲击响应，因此具有良好的稳定性。
2. 线性相位特性：FIR滤波器的输出相位与输入信号的相位线性相关，不会引入相位失真。
3. 精确控制：通过调节滤波器的系数，可以实现对滤波器的频率响应进行精确控制，满足不同的滤波需求。
三、FIR滤波器的应用1. 语音信号处理：FIR滤波器可以用于语音信号的降噪、去混响等处理，提高语音信号的质量和清晰度。
2. 图像处理：FIR滤波器在图像处理中也有广泛的应用，可以用于图像的平滑、锐化、边缘检测等操作，提高图像的质量和清晰度。
3. 无线通信：FIR滤波器可以用于无线通信系统中的信号调制、解调、信道均衡等处理，提高通信系统的性能和抗干扰能力。
4. 生物医学信号处理：FIR滤波器可以用于生物医学信号的滤波、去噪、特征提取等处理，提高信号的可靠性和准确性。
5. 音频信号处理：FIR滤波器可以用于音频信号的均衡、混响、失真校正等处理，提高音频的质量和还原度。
四、FIR滤波器的设计方法1. 线性相位设计：通过对滤波器的冲激响应进行对称化，可以实现线性相位的FIR滤波器设计。
2. 频率采样法：通过对所需的频率响应进行采样，然后通过逆傅里叶变换得到滤波器的冲激响应，从而实现FIR滤波器的设计。
3. 窗函数法：通过选取不同的窗函数，可以实现对滤波器的频率响应进行调整，从而得到所需的滤波效果。
4. 最小二乘法：通过最小化滤波器的输出与期望输出之间的误差平方和，可以实现FIR滤波器的设计。
数字滤波器的主要技术指标
数字滤波器的主要技术指标数字滤波器是一种对数字信号进行滤波处理的设备或算法，通过改变信号的频率成分，实现信号的去噪、增强或调整的目的。
主要技术指标是指用于评估数字滤波器性能的一些重要参数，下面将从频率响应、通带特性、截止频率、滤波器类型和滤波器阶数等几个方面介绍数字滤波器的主要技术指标。
1. 频率响应：频率响应是描述数字滤波器对不同频率信号的响应程度的指标。
常见的频率响应包括低通、高通、带通和带阻等。
低通滤波器能够通过低于截止频率的信号，而高通滤波器则能通过高于截止频率的信号。
带通滤波器可以通过位于两个截止频率之间的信号，而带阻滤波器则能阻止位于两个截止频率之间的信号。
2. 通带特性：通带特性是指数字滤波器在通带内的频率响应特点。
通带特性可以用来描述数字滤波器在通带内的增益、相位响应和群延迟等参数。
通带特性的好坏决定了数字滤波器对信号的处理效果，通常要求通带内的增益保持平坦，相位变化小，群延迟均匀。
3. 截止频率：截止频率是指数字滤波器在频率响应中的一个重要参数，用来区分不同类型的滤波器。
低通滤波器的截止频率是指能通过信号的最高频率，而高通滤波器的截止频率则是指能通过信号的最低频率。
带通和带阻滤波器的截止频率则是指能通过信号的上下截止频率。
4. 滤波器类型：滤波器类型是指数字滤波器根据不同的响应特性进行分类的方式。
常见的滤波器类型有FIR（有限脉冲响应）滤波器和IIR（无限脉冲响应）滤波器。
FIR滤波器的特点是稳定、线性相位和易于设计，但计算复杂度较高。
而IIR滤波器的特点是计算复杂度低，但可能不稳定且具有非线性相位。
5. 滤波器阶数：滤波器阶数是指滤波器中的延迟单元数目，用来描述滤波器的复杂度和性能。
滤波器阶数越高，滤波器的响应特性越陡峭，但同时也会增加滤波器的计算复杂度。
选择适当的滤波器阶数能够平衡滤波器的性能和计算复杂度。
数字滤波器的主要技术指标包括频率响应、通带特性、截止频率、滤波器类型和滤波器阶数等。
FIR滤波器的设计说明
WR
( )
sin(N / 2) sin( / 2)
N
sin(N / 2) N / 2
N
sin x
x
N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只能改
变WR( 的绝对值大小和起伏的密度。
肩峰值的大小决定了滤 波器通带内的平稳程度 和阻带内的衰减，所以 对滤波器的性能有很大 的影响。
c
0. 0895 1
一、FIR数字滤波器的线性相位特性
H (e j )线性相位是指 ()是的线性函数
第一类线性相位
()
第二类线性相位
d () d
可以证明，线性相位FIR滤波器的单位脉冲 响应应满足下面条件：
h(n)为实序列，且满足 h(n) h(N 1 n)，N为 长度，即，h(n)关于 N 1 偶对称或奇对称。
2
分四种情况：
1． h(n) 偶对称， h(n) = h(N-1-n) 2． h(n) 偶对称， h(n) = h(N-1-n)
N 为奇数 N 为偶数
3. h(n) 奇对称， h(n) = - h(N-1-n) N为奇数
4. h(n) 奇对称， h(n) = - h(N-1-n) N为偶数
四种线性相位FIR DF特性：
Io
I0(x)是零阶修正贝塞尔函数； β可自由选择，决定主瓣宽度与 旁瓣衰减。
0 n N 1
β越大，w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。 一般取 4<β<9。
β=5.44 接近汉明；β=8.5 接近布莱克曼 β=0 为矩形
第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。
第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器， 不能设计高通和带阻。
第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器， 其它滤波器都不能设计。
fir数字滤波器的设计指标
fir数字滤波器的设计指标FIR数字滤波器的设计指标主要包括以下几个方面：1. 频率响应：FIR数字滤波器的频率响应是指滤波器对不同频率信号的响应程度。
设计时需要根据应用场景确定频率响应特性，例如低通、高通、带通等。
低通滤波器用于消除高频噪声，高通滤波器用于保留低频信号，带通滤波器则用于限制信号在特定频率范围内的传输。
2. 幅频特性：FIR数字滤波器的幅频特性是指滤波器在不同频率下的幅值衰减情况。
设计时需要根据频率响应特性调整幅频特性，以满足信号处理需求。
例如，在通信系统中，为了消除杂散干扰和多径效应，需要设计具有特定幅频特性的滤波器。
3. 相位特性：FIR数字滤波器的相位特性是指滤波器对信号相位的影响。
设计时需要确保滤波器的相位特性满足系统要求，例如线性相位特性。
线性相位特性意味着滤波器在不同频率下的相位延迟保持恒定，这对于许多通信系统至关重要。
4. 群延迟特性：FIR数字滤波器的群延迟特性是指滤波器对信号群延迟的影响。
群延迟是指信号通过滤波器后，各频率成分的延迟时间。
设计时需要根据应用场景调整群延迟特性，以确保信号处理效果。
例如，在语音处理中，需要降低滤波器的群延迟，以提高语音信号的清晰度。
5. 稳定性：FIR数字滤波器的稳定性是指滤波器在实际应用中不发生自激振荡等不稳定现象。
设计时需要确保滤波器的稳定性，避免产生有害的谐波和振荡。
6. 计算复杂度：FIR数字滤波器的计算复杂度是指滤波器在实现过程中所需的计算资源和时间。
设计时需要权衡滤波器的性能和计算复杂度，以满足实时性要求。
例如，在嵌入式系统中，计算资源有限，需要设计较低计算复杂度的滤波器。
7. 硬件实现：FIR数字滤波器的硬件实现是指滤波器在实际硬件平台上的实现。
设计时需要考虑硬件平台的特性，如处理器速度、内存容量等，以确定合适的滤波器结构和参数。
8. 软件实现：FIR数字滤波器的软件实现是指滤波器在软件平台上的实现。
设计时需要考虑软件平台的特性，如编程语言、算法库等，以确定合适的滤波器设计和实现方法。
线性相位FIR数字滤波器设计
一、设计目的1. 掌握窗函数法设计FIR 滤波器的原理和方法，观察用几种常用窗函数设计的FIR 数字滤波器技术指标；2. 掌握FIR 滤波器的线性相位特性；3. 了解各种窗函数对滤波特性的影响。
二、设计原理如果所希望的滤波器的理想频率响应函数为H d (e jω)，则其对应的单位脉冲响应为ωπωππωd e e H n h n j j d ⎰-=)(21)(，用窗函数w N (n)将h d (n)截断，并进行加权处理，得到实际滤波器的单位脉冲响应h (n )=h d (n )w N (n )，其频率响应函数为n j N n j e n h e H ωω--=∑=10)()(。
如果要求线性相位特性，则h (n )还必须满足)1()(n N h n h --±=。
可根据具体情况选择h(n)的长度及对称性。
可以调用MATLAB 工具箱函数fir1实现本实验所要求的线性相位FIR-DF 的设计，调用一维快速傅立叶变换函数fft 来计算滤波器的频率响应函数。
fir1是用窗函数法设计线性相位FIRDF 的工具箱函数，调用格式如下：hn=fir1(N, wc, ‘ftype’, window) fir1实现线性相位FIR 滤波器的标准窗函数法设计。
hn=fir1(N,wc)可得到6 dB 截止频率为wc 的N 阶(单位脉冲响应h(n)长度为N+1)FIR 低通滤波器，默认(缺省参数windows)选用hammiing 窗。
其单位脉冲响应h(n)满足线性相位条件：h(n)=h(N-1-n)其中wc 为对π归一化的数字频率，0≤wc ≤1。
当wc=［wc1, wc2］时，得到的是带通滤波器。
hn=fir1(N,wc,’ftype’)可设计高通和带阻滤波器。
当ftype=high 时，设计高通FIR 滤波器；当ftype=stop 时，设计带阻FIR 滤波器。
应当注意，在设计高通和带阻滤波器时，阶数N 只能取偶数(h(n)长度N+1为奇数)。
FIR的性质
其求和项全为实数
N 1 h(n) cos[ (n )] 2 n 0
将H (e j )表示成相位函数 ( )和幅度函数H ( )的形式, 即
N 1 则： H ( ) h(n) cos[ (n )] 2 n 0 N 1 ( ) ( ) 2
14
显然：相位特性同样为一 严格的直线，但在零点处 有 2 的截距。
5
N 1 N 1 ) ] 2 2
FIR数字滤波器的性质
结论： 无论是奇对称或偶对称，其群延时均为常数， N 1 等于 个抽样间隔。 2
线性相位FIR滤波器的幅频特性
分四种情况讨论
d ( ) N 1 即群延时 ( ) d 2
h( n) h( N 1 n) h( n) h( N 1 n)
则FIR滤波器将具有严格的线性相位特性。
1
FIR数字滤波器的性质
[下面推导FIR滤波器的线性相位特性] 偶对称情形 h ( n ) h ( N 1 n )
H ( z ) h( n)z
n 0 N 1
情形1：偶对称，N取奇数 h( n) h( N 1 n) N 1 N 1 且 cos[ ( N 1 n )] cos[ ( n )] 2 2 N 1 N 1 幅度特性H ( ) h( n) cos[ ( n )]中 2 n 0 的各项相对于 ( N 1) / 2 对称的项相等。
H ( )
( N 3) / 2 n 0
a(n) cos n
其中 a (0) h[( N 1) / 2]
7
a ( n) 2h[( N 1) / 2 n], n 1,2, ( N 1) / 2
fir数字滤波器设计实验报告
fir数字滤波器设计实验报告fir数字滤波器设计实验报告引言：数字滤波器是一种广泛应用于信号处理和通信系统中的重要工具。
其中，有一类常见的数字滤波器是FIR（Finite Impulse Response）数字滤波器。
FIR数字滤波器具有线性相位特性、稳定性好、易于设计和实现等优点，被广泛用于音频处理、图像处理、通信系统等领域。
本实验旨在通过设计一个FIR数字滤波器，探索其设计原理和实际应用。
一、实验目的本实验的目的是通过设计一个FIR数字滤波器，实现对特定信号的滤波处理。
具体来说，我们将学习以下几个方面的内容：1. FIR数字滤波器的基本原理和特点；2. FIR数字滤波器的设计方法和流程；3. 使用MATLAB软件进行FIR数字滤波器的设计和仿真。
二、实验原理1. FIR数字滤波器的基本原理FIR数字滤波器是一种线性时不变系统，其输出仅与当前输入和过去若干个输入有关，没有反馈回路。
这种特性使得FIR数字滤波器具有线性相位特性，适用于对信号的频率响应要求较高的应用场景。
FIR数字滤波器的输出可以通过卷积运算来计算，即将输入信号与滤波器的冲激响应进行卷积运算。
2. FIR数字滤波器的设计方法FIR数字滤波器的设计方法有很多种，常见的包括窗函数法、频率采样法和最优化方法等。
在本实验中，我们将使用窗函数法进行FIR数字滤波器的设计。
窗函数法的基本思想是将理想滤波器的频率响应与一个窗函数相乘，从而得到实际可实现的滤波器。
三、实验步骤1. 确定滤波器的设计要求在设计FIR数字滤波器之前，我们首先需要明确滤波器的设计要求。
包括滤波器的通带、阻带、过渡带的频率范围和响应要求等。
2. 选择窗函数和滤波器的阶数根据设计要求，选择合适的窗函数和滤波器的阶数。
常见的窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗等。
不同的窗函数对滤波器的性能有一定影响，需要根据实际情况进行选择。
3. 计算滤波器的冲激响应利用所选窗函数和滤波器的阶数，计算滤波器的冲激响应。
FIR数字滤波器的设计方法
1
n
N 1 2
n
" " " "
1）h(n)偶对称
h(n) h(N 1 n)
频率响应：
H (e j )
H (z)
ze j
e
j
N 1 2
N 1 n0
h(n)
cos
N 2
1
n
相位函数： () N 1
2 为第一类线性相位
N 1
2
2）h(n)奇对称
h(n) h(N 1 n)
频率响应：
学习目标
掌握线性相位FIR数字滤波器的特点 掌握窗函数设计法 理解频率抽样设计法 了解设计FIR滤波器的最优化方法 理解IIR与FIR数字滤波器的比较
一、线性相位FIR滤波器的特点
FIR滤波器的单位冲激响应： h(n) 0 n N 1
系统函数：
N 1
H (z) h(n)zn n0
n0
N 1
tg
sin cos
h nsin n
n0
N 1
h ncosn
n0
N 1
N 1
hnsin cosn h ncos sin n 0
n0
n0
N 1
h nsin n 0
n0
第一类线性相位 () 的充要条件：
h(n) h(N 1 n) 0 n N 1
n = (N – 1) /2 为h(n)的偶对称中 N 1
1
sin
N 1 2
n
sin
N
2
1
n
对
N 1 2
呈奇对称
h(n)奇对称且N为奇数
h
N 1 2
0
N -3
FIR滤波器与IIR滤波器的区别与特点
FIR 滤波器与IIR 滤波器的区别与特点FIR 和IIR 滤波器的一个主要区别：FIR 是线性相位，IIR 为非线性相位（双线性变换法），对于非线性相位会造成的影响，可以这样考虑：对于输入的不同频率分量，造成的相位差与频率不成正比，则输出时不同频率分量的叠加的相位情况和输入时有变化，得到的通带信号产生失真。
iir 滤波器有以下几个特点：​​1 iir 数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。
​​2 iir 数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。
iir 滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。
由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。
​​3 iir 数字滤波器在计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。
在设计一个iir 数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。
​​4 iir 数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。
在matlab 下设计iir 滤波器可使用buttterworth 函数设计出巴特沃斯滤波器，使用cheby1 函数设计出契比雪夫i 型滤波器，使用cheby2 设计出契比雪夫II 型滤波器，使用ellipord 函数设计出椭圆滤波器。
与fir 滤波器的设计不同，iir 滤波器设计时的阶数不是由设计者指定，而是根据设计者输入的各个滤波器参数（截止频率、通带滤纹、阻带衰减等），由软件设计出满足这些参数的最低滤波器阶数。
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(2) II 型FIR滤波器(H(z)为偶对称多项式，M为奇数)
在zk=1无零点或有偶数个零点，zk= 1有奇数个零点。
(3) III 型FIR滤波器(H(z)为奇对称多项式，M为偶数)
在zk=1和zk= 1有奇数个零点。
(4) IV 型FIR滤波器(H(z)为奇对称多项式，M为奇数)
1、线性相位系统的时域特性
线性相位系统的单位脉冲响应h[k]需满足：
h[k] = h[Mk]
即，单位脉冲响应为奇对称或偶对称！
可以证明上式是线性相位系统的充要ຫໍສະໝຸດ 件。1、线性相位系统的时域特性
I型线性相位系统 h[k]偶对称，M为偶数 M=4 II型线性相位系统 h[k]偶对称，M为奇数 M=3
1
Ⅰ和Ⅱ型
Ⅲ和Ⅳ型
H ( z) z
M
由以上可 1、z=0不可能是系统的零点； 以看出： 2、zk是系统的零点，则zk1也是系统的零点。 若h[k]是实序列，则H(z)的零点有：
z k rk e
1 zk
jk
,
,
1 jk rk e
jk * z k rk e , 1 1 jk ( z k )* rk e
在zk=1有奇数个零点，zk=1无零点或有偶数个零点。
例5：已知8阶III型线性相位FIR滤波器的部分零点为： z1= 0.2，z2=j0.8 (1)试确定该滤波器的其他零点。 (2)设h[0]=1, 求出该滤波器的系统函数H(z)。
解：(1) z3=1/ z1=5;
z4=1/ z2= j1.25，z5=z2*= j0.8，z6=z4*= j1.25； z7= 1; III型 z8= 1; 在zk=1和zk= 1有奇数个零点。
FIR与IIR数字滤波器比较 IIR数字滤波器特点： (1)能在较低的阶数下获得较好的幅度响应。 (2)相位响应无法设计成线性特性。 (3)系统不一定稳定（因为有反馈）。 FIR数字滤波器特点： (1) 容易设计成线性相位。 (2) h[k]在有限范围内非零，系统总是稳定的。 (3) 非因果FIR系统都能经过延时变成因果FIR系统。 (4) 可利用FFT实现。
线性相位系统的定义
严格线性相位系统定义
H (e ) H (e ) e
jW
jW
j ( W )
若 (W )= a W, 则称系统H(z)是严格线性相位的。 广义线性相位系统定义
H ( e jW ) A( W ) e j ( aW )
其中，A (W )是W 的实函数，称为幅度函数。
第五章 FIR数字滤波器的设计
5.1
•
线性相位FIR数字滤波器的特性
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
一、线性相位系统的定义 二、线性相位系统的时域特性 三、线性相位系统的频域特性 四、线性相位系统的零点分布
重点与难点
重点
1、线性相位系统的定义
2、线性相位系统的时域和频域特性
难点
1、线性相位系统的零点
FIR数字滤波器的基本概念
LTI系统： H ( z )
j 0
N
M
bj z j
1 a i z i
i 1
若ai等于零，则系统为FIR数字滤波器。 若ai至少有一个非零，则系统为IIR 数字滤波器。 数字滤波器设计： 由给定的系统频率特性, 确定M和N及系数ai，bj
FIR数字滤波器的基本概念
jk
是在单位圆上的实零点
Im(z)
Re(z)
H4 ( z) 1 z
1
H4 ( z) 1 z
1
——1阶偶对称多项式。
——1阶奇对称多项式。
任意线性相位系统是上述四种子系统的组合
h[k]奇对称时，H(z)在z=1处一定有奇数阶零点。
3、线性相位系统的零点分布
四种不同类型的线性相位系统在zk=1的零点 (1) I 型FIR滤波器(H(z)为偶对称多项式，M为偶数)
k 0
其中
L=M/2
2、线性相位系统的频域特性
I型 (h[k]=h[Mk]， M为偶数)
H (e
jW
频域特性证明
利用对称性h[k]=h[Mk]
k M / 21
) DTFT {h[k ]} h[k ]e jWk
M / 2 1
M
k 0
k 0
h[k ]e jWk h[ M / 2]e jWM / 2
( M 1) / 2
H (e jW ) e j0.5 M W
k 0
2h[( M 1) / 2 k ]cos[(k 0.5)W]
A (W )
e jW / 2 [2h[0]cos(0.5)W] e jW / 2 cos(W / 2)
A (W)
1
A(W ) A(W )
(2) H ( z )
k 1
8
(1 zk z 1 )
=1 z85.(z1 z7)+ 2.2025 (z2 z6) 6.253 (z3 z5)
单位取样响应：
h[k ] {1， 5.2， 2.2025， 6.253，， 0 6.253， 2.2025， 5.2， 1}
A(W )关于W =0, 点奇对称
只能设计BPF和BSF，不能用于LPF、HPF的设计!
2、线性相位系统的频域特性
IV型 (h[k]= h[Mk]， M为奇数)
H (e ) A(W)e
L k 0
jW
j(0.5 M W0.5 π )
A(W) 2h[ L k ]sin((k 0.5)W)
课堂小结1
1、线性相位FIR数字滤波器的时域特性
h[k]=h[M-k]
Ⅰ型: Ⅱ型: Ⅲ型: h[k]偶对称，M为偶数 h[k]偶对称，M为奇数 h[k]奇对称，M为偶数
FIR低通数字滤波器设计指标
ejW
dp dp 过渡带 通带
W p:通带截止频率
W s:阻带截止频率 dp:通带波动 d s:阻带波动
通带衰减(dB)
Ap 20 lg(1 d p )
阻带衰减(dB)
阻带
ds
As 20lg d s
Wp Ws
W
FIR数字滤波器的基本概念
H 2 ( z ) 1 az
1
z
2
——2阶偶对称多项式。
3、线性相位系统的零点分布
(3)
z k rk e
jk
是不在单位圆上的实零点
Im(z)
Re(z)
H 3 ( z ) 1 az1 z 2
——2阶偶对称多项式。
3、线性相位系统的零点分布
(4)
z k rk e
2、线性相位系统的频域特性
I型
例1：h [k]={1,2, 1}, M=2
H (e jW ) e j0.5M W{h[0.5M ]
0.5 M
k 1
2h[0.5M k ]cos Wk}
e
jW
jW 2 e 4 cos W / 2 A(W) (h[1] 2h[0]cos W)
0
任意 任意 LP,HP, BP,BS
0
任意 0 LP, BP
微分器, Hilbert 微分器, Hilbert 变换器 变换器，HP
3、线性相位系统的零点分布
h[ k ] h[ M k ]
H ( z ) z M H ( z 1 )
1
H ( z) z
M
H ( z ) ——偶多项式 H ( z ) ——奇多项式
A (W)的周期= 4
A(2π W ) A(W )
0
A ( )=0
A(W)关于W = 点奇对称
只能设计LPF和BPF，不能用于HPF、BSF的设计!
2、线性相位系统的频域特性
III型 (h[k]= h[Mk]， M为偶数)
3 4
H (e ) A(W)e
L k 1
H (e ) A(W)e
L k 0
jW
j0.5 M W
A(W ) 2h[ L k ] cos[( k 0.5)W ]
b[k ]cos[(k 0.5)W]
k 0
L
其中: L=(M1)/2
2、线性相位系统的频域特性
II型 例2：h [k]={0.5,0.5}, M=1
FIR滤波器的设计
M阶(长度M+1) FIR数字滤波器的系统函数为：
H ( z) bk z
k 0 M k
h[k ]z k
k 0
M
bk k 0,1,, M h[ k ] 0 其他
FIR数字滤波器设计：
由给定的系统频率特性, 确定M及系数bk或h[k]
FIR数字滤波器的基本概念
k 0
2h[k ]cos W(0.5M k ) h[0.5M ]}
h[k ]cos W(0.5M k )
0.5 M
令n 0.5 M k k 0.5 M n
=
h[0.5M n]cos Wn
e j0.5M W{h[0.5M ]
k 1
2h[0.5M k ]cos Wk}
0
1
2
3
4
IV型线性相位系统 h[k]奇对称，M为奇数
M=3
III型线性相位系统 h[k]奇对称，M为偶数
M=4
3 0 1 2
4
2、线性相位系统的频域特性
I型 (h[k]=h[Mk], M为偶数)