线性相位FIR数字滤波器的特性

2h[0.5M k ]sin(k W)
A (W)的周期= 2
A(W ) A(W )
A(2π W ) A(W )
j(W 0.5 π )
jW jsin( W )e 2h[1 k ]sin(k W)
k 1
A (W )
0


A ( )= A ( ) =0
FIR滤波器的设计
M阶(长度M+1) FIR数字滤波器的系统函数为：
H ( z) bk z
k 0 M k
h[k ]z k
k 0
M
bk k 0,1,, M h[ k ] 0 其他
FIR数字滤波器设计：
由给定的系统频率特性, 确定M及系数bk或h[k]
FIR数字滤波器的基本概念
1、线性相位系统的时域特性
线性相位系统的单位脉冲响应h[k]需满足：
h[k] = h[Mk]
即，单位脉冲响应为奇对称或偶对称！
可以证明上式是线性相位系统的充要条件。
1、线性相位系统的时域特性
I型线性相位系统 h[k]偶对称，M为偶数 M=4 II型线性相位系统 h[k]偶对称，M为奇数 M=3
( M 1) / 2
H (e jW ) e j0.5 M W

k 0
2h[( M 1) / 2 k ]cos[(k 0.5)W]
A (W )
e jW / 2 [2h[0]cos(0.5)W] e jW / 2 cos(W / 2)
A (W)
1
A(W ) A(W )
H (e ) A(W)e
L k 0
jW
j0.5 M W
A(W ) 2h[ L k ] cos[( k 0.5)W ]
b[k ]cos[(k 0.5)W]
k 0
L
其中: L=(M1)/2
2、线性相位系统的频域特性
II型 例2：h [k]={0.5,0.5}, M=1
A(W) 4
A (W)的周期= 2 A(W 2π) A(W ) A(W ) A(W )
2
2

0
A(2π W ) A(W )
A (W)关于0和 点偶对称 可设计LPF、HPF、BPF、BSF
2、线性相位系统的频域特性
II型 (h[k]=h[Mk]， M为奇数)
jW
j(0.5 M W0.5 π )
0
1
2
A(W) 2h[ L k ]sin(k W)
其中 L=M/2
2、线性相位系统的频域特性
III型 例3: h [k]={0.5,0,0.5}, M=2
jW j(0.5 M W 0.5 π )
1
H (e ) e
e
1
0.5 M k 1
利用欧拉公式

M
h[k ]e jWk
j0.5M W

0.5 M 1

k 0
h[k ](e
jWk
e
jW ( M k )
) h[0.5M ]e
e j0.5M W{
0.5 M 1
M k ) e jWk e jW(改写 e j0.5M W (e j(0.5M k ) e jW(0.5M k ) )
FIR低通数字滤波器设计指标
ejW
dp dp 过渡带 通带
W p:通带截止频率
W s:阻带截止频率 dp:通带波动 d s:阻带波动
通带衰减(dB)
Ap 20 lg(1 d p )
阻带衰减(dB)
阻带
ds

As 20lg d s
Wp Ws

W
FIR数字滤波器的基本概念
其中 L=(M1)/2
2、线性相位系统的频域特性
IV型 例4：h [k]={0.5,0.5}, M=1
A (W )
H (e ) e
jW
j(0.5 W 0.5 π )

k 0
L
j0.5W jsin(0.5 W )e 2h[ L k ]sin((k 1/ 2)W)
A (W )
3、线性相位系统的零点分布
(1)
z k rk e
jk
是不在单位圆上的复零点
Im(z)
Re(z)
H1 ( z ) 1 az1 bz2 az3 z 4
——4阶偶对称多项式。
3、线性相位系统的零点分布
(2)
z k rk e
jk
是在单位圆上的复零点
Im(z)
Re(z)
第五章 FIR数字滤波器的设计
5.1
•
线性相位FIR数字滤波器的特性
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
一、线性相位系统的定义 二、线性相位系统的时域特性 三、线性相位系统的频域特性 四、线性相位系统的零点分布
重点与难点
重点
1、线性相位系统的定义
2、线性相位系统的时域和频域特性
难点
1、线性相位系统的零点
在zk=1有奇数个零点，zk=1无零点或有偶数个零点。
例5：已知8阶III型线性相位FIR滤波器的部分零点为： z1= 0.2，z2=j0.8 (1)试确定该滤波器的其他零点。 (2)设h[0]=1, 求出该滤波器的系统函数H(z)。
解：(1) z3=1/ z1=5;
z4=1/ z2= j1.25，z5=z2*= j0.8，z6=z4*= j1.25； z7= 1; III型 z8= 1; 在zk=1和zk= 1有奇数个零点。
1
A (W)的周期= 4
A(W ) A(W )

0

A(2π W ) A(W )
A ( ) =0
A(W )关于W =0点奇对称，关于W =点偶对称 能设计HPF、 BPF和BSF，不能用于LPF的设计!
2、线性相位系统的频域特性
通用公式：
类型 阶数 M h[k]的对称性 A(W)关于W 的对称性 A(W)关于W 的对称性
FIR数字滤波器的基本概念
LTI系统： H ( z )
j 0
N
M
bj z j
1 a i z i
i 1
若ai等于零，则系统为FIR数字滤波器。 若ai至少有一个非零，则系统为IIR 数字滤波器。 数字滤波器设计： 由给定的系统频率特性, 确定M和N及系数ai，bj
FIR数字滤波器的基本概念
在zk=1和zk= 1无零点或者有偶数个零点。
(2) II 型FIR滤波器(H(z)为偶对称多项式，M为奇数)
在zk=1无零点或有偶数个零点，zk= 1有奇数个零点。
(3) III 型FIR滤波器(H(z)为奇对称多项式，M为偶数)
在zk=1和zk= 1有奇数个零点。
(4) IV 型FIR滤波器(H(z)为奇对称多项式，M为奇数)
H (e jW ) e j(0.5MW ) A(W )
I 偶 偶对称 偶对称 偶对称 2 II 奇 偶对称 偶对称 奇对称 4 III 偶 奇对称 奇对称 奇对称 2 0.5 0 0 IV 奇 奇对称 奇对称 偶对称 4 0.5 0 任意
A(W)的周期

A ( ) A( ) 可适用的滤波器类型
A(W )关于W =0, 点奇对称
只能设计BPF和BSF，不能用于LPF、HPF的设计!
2、线性相位系统的频域特性
IV型 (h[k]= h[Mk]， M为奇数)
H (e ) A(W)e
L k 0
jW
j(0.5 M W0.5 π )
A(W) 2h[ L k ]sin((k 0.5)W)

课堂小结1
1、线性相位FIR数字滤波器的时域特性
h[k]=h[M-k]
Ⅰ型: Ⅱ型: Ⅲ型: h[k]偶对称，M为偶数 h[k]偶对称，M为奇数 h[k]奇对称，M为偶数
A (W)的周期= 4
A(2π W ) A(W )
0


A ( )=0
A(W)关于W = 点奇对称
只能设计LPF和BPF，不能用于HPF、BSF的设计!
2、线性相位系统的频域特性
III型 (h[k]= h[Mk]， M为偶数)
3 4
H (e ) A(W)e
L k 1
H 2 ( z ) 1 az
1
z
2
——2阶偶对称多项式。
3、线性相位系统的零点分布
(3)
z k rk e
jk
是不在单位圆上的实零点
Im(z)
Re(z)
H 3 ( z ) 1 az1 z 2
——2阶偶对称多项式。
3、线性相位系统的零点分布
(4)
z k rk e
0
1
2
3
Leabharlann Baidu
4
IV型线性相位系统 h[k]奇对称，M为奇数
M=3
III型线性相位系统 h[k]奇对称，M为偶数
M=4
3 0 1 2
4
2、线性相位系统的频域特性
I型 (h[k]=h[Mk], M为偶数)
H (e ) A(W)e
L k 1
jW
j0.5 M W
0
1
L
2
3
4
A(W ) h[ L] 2h[ L k ] cos kW a[ k ] cos kW
2、线性相位系统的频域特性
I型
例1：h [k]={1,2, 1}, M=2
H (e jW ) e j0.5M W{h[0.5M ]
0.5 M

k 1
2h[0.5M k ]cos Wk}
e
jW
jW 2 e 4 cos W / 2 A(W) (h[1] 2h[0]cos W)

k 0
2h[k ]cos W(0.5M k ) h[0.5M ]}
h[k ]cos W(0.5M k )
0.5 M
令n 0.5 M k k 0.5 M n
=
h[0.5M n]cos Wn
e j0.5M W{h[0.5M ]

k 1
2h[0.5M k ]cos Wk}
线性相位系统的定义
严格线性相位系统定义
H (e ) H (e ) e
jW
jW
j ( W )
若 (W )= a W, 则称系统H(z)是严格线性相位的。 广义线性相位系统定义
H ( e jW ) A( W ) e j ( aW )
其中，A (W )是W 的实函数，称为幅度函数。
(2) H ( z )

k 1
8
(1 zk z 1 )
=1 z85.(z1 z7)+ 2.2025 (z2 z6) 6.253 (z3 z5)
单位取样响应：
h[k ] {1， 5.2， 2.2025， 6.253，， 0 6.253， 2.2025， 5.2， 1}
0
任意 任意 LP,HP, BP,BS
0
任意 0 LP, BP
微分器, Hilbert 微分器, Hilbert 变换器 变换器，HP
3、线性相位系统的零点分布
h[ k ] h[ M k ]
H ( z ) z M H ( z 1 )
1
H ( z) z
M
H ( z ) ——偶多项式 H ( z ) ——奇多项式
jk
是在单位圆上的实零点
Im(z)
Re(z)
H4 ( z) 1 z
1
H4 ( z) 1 z
1
——1阶偶对称多项式。
——1阶奇对称多项式。
任意线性相位系统是上述四种子系统的组合
h[k]奇对称时，H(z)在z=1处一定有奇数阶零点。
3、线性相位系统的零点分布
四种不同类型的线性相位系统在zk=1的零点 (1) I 型FIR滤波器(H(z)为偶对称多项式，M为偶数)
k 0
其中
L=M/2
2、线性相位系统的频域特性
I型 (h[k]=h[Mk]， M为偶数)
H (e
jW
频域特性证明
利用对称性h[k]=h[Mk]
k M / 21
) DTFT {h[k ]} h[k ]e jWk

M / 2 1
M
k 0

k 0
h[k ]e jWk h[ M / 2]e jWM / 2
FIR与IIR数字滤波器比较 IIR数字滤波器特点： (1)能在较低的阶数下获得较好的幅度响应。 (2)相位响应无法设计成线性特性。 (3)系统不一定稳定（因为有反馈）。 FIR数字滤波器特点： (1) 容易设计成线性相位。 (2) h[k]在有限范围内非零，系统总是稳定的。 (3) 非因果FIR系统都能经过延时变成因果FIR系统。 (4) 可利用FFT实现。
1
Ⅰ和Ⅱ型
Ⅲ和Ⅳ型
H ( z) z
M
由以上可 1、z=0不可能是系统的零点； 以看出： 2、zk是系统的零点，则zk1也是系统的零点。 若h[k]是实序列，则H(z)的零点有：
z k rk e
1 zk
jk
,
,

1 jk rk e
jk * z k rk e , 1 1 jk ( z k )* rk e