8第15章电路方程的矩阵形式PPT课件
合集下载
电路课件 电路15 电路方程的矩阵形式
第十五章 电路方程的矩阵形式 25
用矩阵B表示的KCL矩阵形式-
1
l个独立回路电流可用一个l阶列向量 表示，即
il＝[ il1 il2 … ill ]T
由于矩阵B的每一列，也就是矩阵BT 的每一行，表示每一对应支路与回路 的关联情况，所以按矩阵的乘法规则 可知支路电流i：
i＝BTil
(15-6)
如所选独立回路组对应一个树的单连支回路组，
称基本回路矩阵，用Bf表示。
写Bf时，注意其行列次序如下：把l条连支依次 排列在对应于Bf的第1至第l列，然后再排列树支； 取每一单连支回路的序号为对应连支所在列的
序号，且以该连支的方向为对应的回路的绕行
方向，Bf中出现一个l阶的单位子矩阵，即
Bf＝[1l|Bt]
并称降阶关联矩阵(今后主要用降阶关联矩阵， 往往略去“降阶”)。 例：把式(15-1)中第4行划去，得
矩阵A的某些列将只具有一个+1或一个-1，每 一个这样的列必对应于与划去结点相关联的一 条支路。被划去的行对应结点可当作参考结点。
2019/9/18
15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -2
电路
第十五章 电路方程的矩阵形式
8 学时
§15-1 §15-2 §15-4 §15-5
第十五章 电路方程的矩阵形式
主要内容： 本章主要介绍电路方程的矩阵形式。 在图的基础上介绍几个重要矩阵：关联矩阵、
回路矩阵和割集矩阵，并导出用这些矩阵表 示的KCL、KVL方程。 导出回路电流(网孔电流)方程、结点电压方 程的矩阵形式。
压可用与该支路关联的两个结点的结
点电压(参考结点的结点电压为零)表
示，正是结点电压法的基本思想。
可认为该式是用矩阵A表示的KVL矩 阵形式。
用矩阵B表示的KCL矩阵形式-
1
l个独立回路电流可用一个l阶列向量 表示，即
il＝[ il1 il2 … ill ]T
由于矩阵B的每一列，也就是矩阵BT 的每一行，表示每一对应支路与回路 的关联情况，所以按矩阵的乘法规则 可知支路电流i：
i＝BTil
(15-6)
如所选独立回路组对应一个树的单连支回路组，
称基本回路矩阵，用Bf表示。
写Bf时，注意其行列次序如下：把l条连支依次 排列在对应于Bf的第1至第l列，然后再排列树支； 取每一单连支回路的序号为对应连支所在列的
序号，且以该连支的方向为对应的回路的绕行
方向，Bf中出现一个l阶的单位子矩阵，即
Bf＝[1l|Bt]
并称降阶关联矩阵(今后主要用降阶关联矩阵， 往往略去“降阶”)。 例：把式(15-1)中第4行划去，得
矩阵A的某些列将只具有一个+1或一个-1，每 一个这样的列必对应于与划去结点相关联的一 条支路。被划去的行对应结点可当作参考结点。
2019/9/18
15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 -2
电路
第十五章 电路方程的矩阵形式
8 学时
§15-1 §15-2 §15-4 §15-5
第十五章 电路方程的矩阵形式
主要内容： 本章主要介绍电路方程的矩阵形式。 在图的基础上介绍几个重要矩阵：关联矩阵、
回路矩阵和割集矩阵，并导出用这些矩阵表 示的KCL、KVL方程。 导出回路电流(网孔电流)方程、结点电压方 程的矩阵形式。
压可用与该支路关联的两个结点的结
点电压(参考结点的结点电压为零)表
示，正是结点电压法的基本思想。
可认为该式是用矩阵A表示的KVL矩 阵形式。
电路课件-电路方程的矩阵形式
•
I
•
I
1 b
•
I
•
I
s1 sb
U• s1
•
U sb
bb階對角陣
•
•
•
•
U Z I Z Is Us
返回 上頁 下頁
②電路中電感之間有耦合
.
+. I1
返回 上頁 下頁
注意
③對應一組線性獨立的KCL方程的割集稱為獨 立割集 ，基本割集是獨立割集，但獨立割集 不一定是單樹支割集。
返回 上頁 下頁
15-2 關聯矩陣、回路矩陣、割集矩陣
1. 圖的矩陣表示
圖的矩陣表示是指用矩陣描述圖的拓撲性質，即 KCL和KVL的矩陣形式。有三種矩陣形式：
結點 回路 割集
.
I sk 0
Zk (Yk)=0
.
U sk 0 Zk (Yk)=0
返回 上頁 下頁
2.支路阻抗矩陣形式
①電路中電感之間無耦合
•
•
•
•
Uk
(I k
I sk )Zk
U sk
..
如有b條支路，則有
I k I ek Zk (Yk) -
.
U sk
+
•
•
•
•
.
U I I U 1 ( 1 s1)Z1 s1
ajk =0 支路 k 與結點 j 無關。
返回 上頁 下頁
例2-1 寫圖示電路的圖的關聯矩陣A 。 ②
支 解 結 123456
３
４
1 -1 -1 1 0 0 0 ①
６
Aa= 2 0 0 -1 -1 0 1
２
５
③
3 1 0 01 1 0 4 0 1 0 0 -1 -1
电路课件_15第十五章电路方程的矩阵形式
Bu
1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
-1 0 -1
1 1 1
u1 u3 u5 u6 u2 u3 u6 u4 u5 u6 0 0 0
u1 u 2 u3 u4 u5 u6
4
8
Q3
5
树支
4
8
1
5
1
Q4
6
连支
6
7 7
2
3
3
2
Q3：1, 4,5
Q4：5,6,7,8
§ 15 - 2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一：关联矩阵Aa
n个结点b条支路的有向图
一条支路连接于两个结点，称该支路与这两个结点相关联。
支路1 .... 支路b
Aa=
结点1 ....... 结点n
1 2 Aa= 3
-1 -1 +1 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 4 0 +1 0 0 -1
0 -1 46
1 2
3
4 5 6
0 +1
1 Aa= 2 3
-1 -1 +1 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 4 0 +1 0 0 -1
( n1 )b
2
i3
1
2
3
i4
6
Q1
3
i2
i6
4
5
3
2
i5
4
1
1
第15章 电路方程的矩阵形式
T
设b条支路电压列向量为：u u 1 , u 2 , , u b
u n u n 1 , u n 2 , , u n ( n 1 ) T (n-1)个节点电压列向量：
即有： u A T u n (2)
上例中
u1 1 u 2 1 u3 1 u4 0 u 0 5 u6 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 u n1 u n 3 u n1 u n1 u n1 u n 2 u n2 u u n2 n3 un3 un3 un2
例： 1 1 0 B 2 0 3 1 2
1 0 1
2 3 4
1 0 0 0 1 0
5
0 1 1
6
1 1 0
3 1 16
4
2 3
2
1 4 3
5
若选树T，按先连支后树支的顺序编号， 且以连支方向和编号为回路的方向和编 号，选单连支回路（基本回路）。 2 2 4 1 4 1
第k条支路： I k Y k U ek I sk Y k ( U k U sk ) I sk
设 支路电流列向量：I I
, I 2 , , I b 1
T
支路电压列向量：U U
, U 2 , , U b 1
[Aa]的任一元素ajk定义如下： ajk＝1 ajk＝-1 ajk＝0 支路k与节点 j 关联，方向离开节点。 支路k与节点 j 关联，方向指向节点。 支路k与节点 j 非关联。 1 1 2 Aa 3 4
1 0 1 0
设b条支路电压列向量为：u u 1 , u 2 , , u b
u n u n 1 , u n 2 , , u n ( n 1 ) T (n-1)个节点电压列向量：
即有： u A T u n (2)
上例中
u1 1 u 2 1 u3 1 u4 0 u 0 5 u6 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 u n1 u n 3 u n1 u n1 u n1 u n 2 u n2 u u n2 n3 un3 un3 un2
例： 1 1 0 B 2 0 3 1 2
1 0 1
2 3 4
1 0 0 0 1 0
5
0 1 1
6
1 1 0
3 1 16
4
2 3
2
1 4 3
5
若选树T，按先连支后树支的顺序编号， 且以连支方向和编号为回路的方向和编 号，选单连支回路（基本回路）。 2 2 4 1 4 1
第k条支路： I k Y k U ek I sk Y k ( U k U sk ) I sk
设 支路电流列向量：I I
, I 2 , , I b 1
T
支路电压列向量：U U
, U 2 , , U b 1
[Aa]的任一元素ajk定义如下： ajk＝1 ajk＝-1 ajk＝0 支路k与节点 j 关联，方向离开节点。 支路k与节点 j 关联，方向指向节点。 支路k与节点 j 非关联。 1 1 2 Aa 3 4
1 0 1 0
第15章电路方程的矩阵形式
(2)保留Q 中的一条支路，其于都移去， G还是连通的。
②
2
1
2
①5
③
1
5
①
43
4
④
6 6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
②
③
3
④
②
②
1
2
①5
③
1
2
①5
③
43 ④6
43 ④6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
Q3: { 1 , 5 , 4}
单树支割集（基本割集）
②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q1: { 2 , 3 , 6 }
设 I I1 I2 Ib T
IS IS1 IS 2 ISb T
15-3 结点电压方程的矩阵形式
Ik
Iek
U Sk
Yk ISk
U k
U U1 U 2 U b T
U S U S1 U S 2 U Sb T
②
基本回路
15.1 割集
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
{1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
2. 由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个
这种树支所构成的基本割集中含有bl 。
②
基本回路
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
u5
节点电压
un1
un
电路PPT课件第15章 电路方程的矩阵形式
ut
用树支电压表示连支电压
小结：
A
B
KCL Ai=0
KVL ATun=u
Ql
B
T t
BTil=i
it BTt il
Bu=0 ul = - Btut
Q
Qi=0 it Qlil
QTut=u ul QTl ut
§15-4 回路电流方程的矩阵形式
一. 复合支路
由RLC、电压源、电流源组成 参考方向如图所示 不存在无伴电流源
每一支路，连接在两个节 点上，必然要背离一个节 点，指向另一节点。
设④为参考节点
称A为降阶关联矩阵 (n-1)b ， 表征独立节点与支路的关联性质
②
1
2
节支 1 2 3 4 5 6
①
5
③
1 1 0 0 -1 0 1
4
3
A= 2 -1 -1 0 0 1 0 3 0 1 1 0 0 -1
④
6
设:
支路电流
由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说， 组成割集的所有支路的电流应满足KCL。
对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等 的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。
借助于“树”来确定独立割 集。
单树支割集（基本割集）
连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉，剩下 的树支仍然构成连通图，与割集的定义矛盾。
1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向一致
bij= -1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向相反 0 支路j 不在回路i中
４
５
2 ３3
选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。
回支 4 5 6 1 2 3 1 1 -1 0 1 0 0
第015章_电路方程的矩阵形式
1 Bu 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 u3 0 1 u4 1 1 u 5 u6
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
电路第15章电路方程的矩阵形式
元件参数的识别
利用矩阵形式的电路方程，可以对电路中的元件参数进行 识别和估计，例如通过测量节点电压和支路电流来计算元 件的电阻、电容、电感等参数。
系统分析和控制
矩阵形式的电路方程可以用于系统分析和控制，例如稳定 性分析、频率响应分析、最优控制等。
02 电路元件的矩阵表示
电阻元件的矩阵表示
总结词
电阻元件在矩阵形式中表示为对角线矩阵，对角线上的元素为电阻值。
矩阵元素的选取
矩阵中的元素根据电路元件的类 型和连接方式进行选取，通常包 括电阻、电容、电感等元件的参 数。
矩阵形式的优点
矩阵形式能够简化电路的分析和 计算过程，提高计算效率和精度， 适用于大规模复杂电路的分析。
矩阵形式的电路方程
节点电压方程
在电路中选取节点电压作为未知 量，根据基尔霍夫定律建立节点 电压方程，并将其表示为矩阵形
线性
电路的输出信号与输入信号成正比，满足叠加定 理。
3
时不变
电路的参数不随时间变化。
线性时不变电路的矩阵形式
矩阵形式的电路方程
将电路中的元件参数和连接关系表示为矩阵形式，以便于分析和 计算。
状态变量
描述电路中电压和电流变化的变量，通常用向量表示。
状态方程
描述电路中状态变量之间关系的方程，通常表示为矩阵形式。
矩阵形式的电路方程广泛应用于电子工程、通信工程、控制工程等多个领域，尤其在处理大规模复杂电 路时表现出显著的优势。
电路方程的矩阵形式的展望
01
矩阵形式的进一步研究
随着电子技术和计算机技术的不断发展，对电路方程的矩 阵形式的研究将更加深入。未来研究将更加注重矩阵形式 的数学基础、算法优化和数值稳定性等方面。
02 03
利用矩阵形式的电路方程，可以对电路中的元件参数进行 识别和估计，例如通过测量节点电压和支路电流来计算元 件的电阻、电容、电感等参数。
系统分析和控制
矩阵形式的电路方程可以用于系统分析和控制，例如稳定 性分析、频率响应分析、最优控制等。
02 电路元件的矩阵表示
电阻元件的矩阵表示
总结词
电阻元件在矩阵形式中表示为对角线矩阵，对角线上的元素为电阻值。
矩阵元素的选取
矩阵中的元素根据电路元件的类 型和连接方式进行选取，通常包 括电阻、电容、电感等元件的参 数。
矩阵形式的优点
矩阵形式能够简化电路的分析和 计算过程，提高计算效率和精度， 适用于大规模复杂电路的分析。
矩阵形式的电路方程
节点电压方程
在电路中选取节点电压作为未知 量，根据基尔霍夫定律建立节点 电压方程，并将其表示为矩阵形
线性
电路的输出信号与输入信号成正比，满足叠加定 理。
3
时不变
电路的参数不随时间变化。
线性时不变电路的矩阵形式
矩阵形式的电路方程
将电路中的元件参数和连接关系表示为矩阵形式，以便于分析和 计算。
状态变量
描述电路中电压和电流变化的变量，通常用向量表示。
状态方程
描述电路中状态变量之间关系的方程，通常表示为矩阵形式。
矩阵形式的电路方程广泛应用于电子工程、通信工程、控制工程等多个领域，尤其在处理大规模复杂电 路时表现出显著的优势。
电路方程的矩阵形式的展望
01
矩阵形式的进一步研究
随着电子技术和计算机技术的不断发展，对电路方程的矩 阵形式的研究将更加深入。未来研究将更加注重矩阵形式 的数学基础、算法优化和数值稳定性等方面。
02 03
第15章 电路方程的矩阵形式
Chapter 15 电路方程的矩阵形式主要内容 1.关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵; 2.KCL, KVL 的矩阵形式；3.回路电流（网孔电流）方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式；§15-1 割集KCL 和KVL 所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系取决于电路中各元件的连接方式。
电路的拓扑 ---- 电路中各元件的连接方式。
电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图，回路，树，割集等）。
1. 割集：是G 的一个支路集合，移去这些支路，将使G 分离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的。
可以用在连通图G 上作闭合面的方法来判断确定一个割集，与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（因移去这些支路，G 被分离为两部分）。
割集：),,,( ),,,,( ),,,,( ),,,( ),,,( ),,,( ),,,(d c b a f c e a f d e b c e d f c b b e a f d a 非割集：),,,(),,,(c b e a e d aKCL 适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所有支路的电流满足KCL ，若一个割集的所有支路都连接在同一个接点上，割集的KCL 方程即变为结点上的KCL 方程2. 独立割集：一组线性独立的KCL 方程对应的割集。
应用割集法，首先必须选择一组独立割集。
① 选定连通图的一个树，则任何连支集合不能构成一个割集；因移去全部连支，剩下的子图（树）仍是连通的，故任何连支集合不能构成割集.② 连通图的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。
因移去全部连支，剩下子图为树，再移去一个树支，则树被分离成 21 T T 和两部分，于是联结 21 T T 和的那些连支和这条树支必构成一个割集。
③ 单树支割集（基本割集）由树的一条树支与相应的一些连支所构成的割集为单树支割集。
如下图中 ),,( ),,,( ),,,(d f a f c b e b a④n 个结点和b 条支路的连通图，其树支数为 (n -1)，有(n -1)个单树支割集，称为基本割集组。
第十五章 电路方程的矩阵形式
u （支路方向与回路绕向一致为正，反之为负）
由KVL可知，任一闭合回路电压的代数和恒为零
即有 B f u 0 或 Bf U 0 称为矩阵形式的KVL。
如上图中，u u1 u2 u3 u4 u5 u6 T
1 1 1 1 0 0
4
Bf 1 1 0 0 1 0
1 l1
l2
6
0
1
100 u1
1
5 2 3 l3
us5 -
R5
b5
1
b1 2 b2 3
Is1
R2
+
+
b4
b3
b6
u4 - R4
R3
kuu4 _
4
电路
拓扑图（线图）
支路电压和支路电流的正方向与支路方向一致-----
有向图
连通图：是指拓扑图中任意两节点间都至少有一条通路。
子图：是指原拓扑图的一部分，可包括原图的一些边和顶 点。
树：在连通图中包含连通图中的全部节点和部分支路，不 包含回路。
b4
b5 b3
4
特点：
a.每一列的代数和均为零。其中的行不是彼 此独立的，其任意一行都与（n-1）行的和 的相反的数相等。
b.去掉以任意一个节点为参考节点所对应的 一行后记为（n-1） b阶矩阵称为降阶的关 联矩阵 简称关联矩阵 。用符号 A 表示。
在 Aa 中划去的行对应的节点即为参考节点。
如上图选节点④为参考节点则有：
b1 b5
b2
Q1
b4
b3
Q3 b6
Q2
规定基本割集的方向与其中的树支方向一致。
若将切割线Q1，Q2，Q3延伸成闭合面则有：
ib1 ib2 ib4 ib6 0 ib2 ib5 ib6 0 ib3 ib4 ib6 0
第十五章 电路方程的矩阵形式
割集与非割集示例
4 4 3 2 1 (a) 1 (b) (c) 6
①
4 3
5 6
(a)(b)为割集，(c)为非割集
1. 关联矩阵
一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关 联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。
N个结点b条支路的图用nb的矩阵描述 支路b
Aa=
结点n
n b
每一行对应一个结点，每一列对应一条支路， 矩阵Aa的每一个元素定义为：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 -1 0 1 -1 1 0 1 -1
Bl
Bt
u u u u u u
1 2 3 4 5 6
u4 u5 u1 u4 u5 u6 u2 0 u5 u6 u3
矩阵形式的KVL： [ B ][ u ]= 0
Bl
= [ 1 Bt ]
Bt
②
引入回路矩阵[B]的作用： ① 用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程 设
①
４ ３
５ ③
[u ] [ u1 u 2 u3 u 4 u5 u6 ]T
u u
l
２
６
④1
t
[ B ][ u ]=
0 -1
关联矩阵Aa的特点： ① ② 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1， Aa的每一列元素之和为零。 矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1 行是独立的。 支路b
引入降阶关联矩阵A A=
(n-1) b
结点（n-1）
② ４ ①
２ ５
设④为参考节点,得降阶关联矩阵
③ ６
4 4 3 2 1 (a) 1 (b) (c) 6
①
4 3
5 6
(a)(b)为割集，(c)为非割集
1. 关联矩阵
一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关 联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。
N个结点b条支路的图用nb的矩阵描述 支路b
Aa=
结点n
n b
每一行对应一个结点，每一列对应一条支路， 矩阵Aa的每一个元素定义为：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 -1 0 1 -1 1 0 1 -1
Bl
Bt
u u u u u u
1 2 3 4 5 6
u4 u5 u1 u4 u5 u6 u2 0 u5 u6 u3
矩阵形式的KVL： [ B ][ u ]= 0
Bl
= [ 1 Bt ]
Bt
②
引入回路矩阵[B]的作用： ① 用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程 设
①
４ ３
５ ③
[u ] [ u1 u 2 u3 u 4 u5 u6 ]T
u u
l
２
６
④1
t
[ B ][ u ]=
0 -1
关联矩阵Aa的特点： ① ② 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1， Aa的每一列元素之和为零。 矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1 行是独立的。 支路b
引入降阶关联矩阵A A=
(n-1) b
结点（n-1）
② ４ ①
２ ５
设④为参考节点,得降阶关联矩阵
③ ６
第15章电路方程的矩阵形式-PPT课件
2019/3/11
结点(n-1)的KCL
10
(4)用A表示KVL的矩阵形式
②
结束
3 4 以b(=6)阶列向量表示支路电压： i4 i6 ① i ③ T 3 u = [u1, u2 , ···, u6 ] i5 6 i 2 并取某一结点(取④)为参考， 5 2 ④ (n-1=3) 个结点电压的列向量： 1 i1 un = [un1, un2 , un3 ]T u = ATun 结点电压与支路电压之间的关系为 u1 -un1+ un3 -1 0 1 可以认为， u2 -un1 -1 0 0 u 这是用A表示 n1 u3 un1-un2 1 1 0 u4 = -un2 + un3 = 0 -1 1 un2 KVL的矩阵 un3 u5 u n3 形式。 0 0 1 u6 un2 0 1 0
结束
l3
bt Q
• 由一条树支与相应的连 支构成的割集叫单树支 割集。 • 对于具有n个结点b条支 路的连通图，树支数为 (n-1)条。 • 这(n-1)个单树支割集 称为基本割集组。
2019/3/11
而基本割集组是独 立割集组。
独立割集组不一 定是单树支割集。 就象独立回路不 一定是单连支回 路一样。
9
2019/3/11
-1 -1 +1 0 0 0 A = 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0
(3)用A表示KCL的矩阵形式
② 3 ① i3 i6 i i2 6 5 ④ 4 i4 5
结束
③
2
b(=6)条支路电流可以用列向量表示 1 i1 i = [i1, i2 , ···, i6 ]T i1 i2 -i 1 – i 2 + i 3 0 -1 -1 +1 0 0 0 · = 0 Ai = 0 0 -1 -1 0 +1 · = -i3 –i4 · +i 1 0 +1 0 0 +1 +1 0 6 +i4 +i5 i6 结点1的KCL 2的KCL Ai =0 Ai = 结点 ……
结点(n-1)的KCL
10
(4)用A表示KVL的矩阵形式
②
结束
3 4 以b(=6)阶列向量表示支路电压： i4 i6 ① i ③ T 3 u = [u1, u2 , ···, u6 ] i5 6 i 2 并取某一结点(取④)为参考， 5 2 ④ (n-1=3) 个结点电压的列向量： 1 i1 un = [un1, un2 , un3 ]T u = ATun 结点电压与支路电压之间的关系为 u1 -un1+ un3 -1 0 1 可以认为， u2 -un1 -1 0 0 u 这是用A表示 n1 u3 un1-un2 1 1 0 u4 = -un2 + un3 = 0 -1 1 un2 KVL的矩阵 un3 u5 u n3 形式。 0 0 1 u6 un2 0 1 0
结束
l3
bt Q
• 由一条树支与相应的连 支构成的割集叫单树支 割集。 • 对于具有n个结点b条支 路的连通图，树支数为 (n-1)条。 • 这(n-1)个单树支割集 称为基本割集组。
2019/3/11
而基本割集组是独 立割集组。
独立割集组不一 定是单树支割集。 就象独立回路不 一定是单连支回 路一样。
9
2019/3/11
-1 -1 +1 0 0 0 A = 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0
(3)用A表示KCL的矩阵形式
② 3 ① i3 i6 i i2 6 5 ④ 4 i4 5
结束
③
2
b(=6)条支路电流可以用列向量表示 1 i1 i = [i1, i2 , ···, i6 ]T i1 i2 -i 1 – i 2 + i 3 0 -1 -1 +1 0 0 0 · = 0 Ai = 0 0 -1 -1 0 +1 · = -i3 –i4 · +i 1 0 +1 0 0 +1 +1 0 6 +i4 +i5 i6 结点1的KCL 2的KCL Ai =0 Ai = 结点 ……
电路PPT课件第15章 电路方程的矩阵形式
ppt课件
11
§15- 3 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一. 关联矩阵A 一条支路连接于某两个结点，则称该支路与这两个结点 相关联。
用矩阵形式描述节点和支路的关联性质
关联矩阵
aij = 1 aij aij= -1
aij =0
Aa={aij}n b
节点数 支路数
有向支路 j 与节点 i 关联且背离节点 i
1. 回路的绕行方向取连支电流方向。 2. 支路排列顺序为先连(树)支后树(连)支。
1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向一致
bij= -1 支路j在回路i中且与回路i关联，方向相反 0 支路j 不在回路i中
ppt课件
17
４
５
2 ３3
选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 , 4}
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4: { 1 , 5 , 2 }
由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说， 组成割集的所有支路的电流应满足KCL。
对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等 的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。
借助于“树”来确定独立割
R1
ppt课件抽象
i1 i2
i3
有 向 图2
连通图 图
不连通图
+
-
抽象 不连通图
+ -
二 . 名词和定义 1. 图 G={支路，节点}
抽象 连通图
① １ ②ppt课件
允许孤立节点存在3
2.子图
路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 对于具有n个结点b条支 路的连通图，树支数为
(n-1)条。 • 这(n-1)个单树支割集
称为基本割集组。
03.12.2020
l1
l2
结束
bt l3
Q
而基本割集组是独 立割集组。
独立割集组不一 定是单树支割集。 就象独立回路不 一定是单连支回 路一样。
6
树支为2,3,4,6时的基本割集组
4
1
4
1
03.12.2020
9
-1 -1 +1 0 0 0
②
A = 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0
3 ① i3
i6 4 i4 ③ 结束
(3)用A表示KCL的矩阵形式
b(=6)条支路电流可以用列向量表示
i = [i1, i2 , ···, i6 ]T
i1
2 i2
6 i5 5
④
1 i1
3
(a, b, c, d ,e )不是G的割集！
原因：全移，G被分为三部分。
2. 割集的判断与确定
a
b
e
结束
Q9
d
c
直观方便的方法是闭合面加定义。
f
注意：有些割集可能不易用与 闭合面相切割的方法表示。
a eb
f
d
c
无法作闭合面判断 割集(a, b, c, d)。
03.12.2020
ab cd
e Q
向结点； ajk= 0，支路k与结点 j无关联。
123456
1 -1 -1 +1 0 0 0
Aa=
20 3 +1
0 0
-1-1 0 +1
0 +1 +1 0
4 0 +1 0 0 -1-1
03.12.2020
8
(2)降阶关联矩阵A
划去Aa中任意一行所得到 的(n-1)×b阶矩阵。 被划去的行对应的结点可 以当作参考结点。
u1 u2 u3 u4 u5 u6
=
--uunn11+ un3 -uunn21-+uun2n3 un3 un2
=
-1 0 -1 0
1 -1 0 -1 00
01
1 0
0
1 1
0
un1 un2 un3
可以认为， 这是用A表示 KVL的矩阵 形式。
03.12.2020
AT
11
结束
小结 ① 矩阵 A表示有向图结点与支路的关联性质。 ② 用 A表示的 KCL 的矩阵形式为 Ai =0 ③ 用 A表示的 KVL 的矩阵形式为 u = ATun
①把这些支路移去，将使G(恰 好)分离为两个部分，
②但是少移去其中一条支路，
Q1 a
b e
d
c
f
Q2
G将仍是连通的。
(a，d，f )这个支路集合就是 G的一个割集。 显然，对右图，汇集于同一结点
a
b
Q4 e
d
c
的支路都是G的一个割集。
f
(a，b，e ) (b，c，f ) (c，d，e )
03.12.2020
第十五章 电路方程的矩阵形式
结束
重点
1. 掌握割集的概念，熟练写出电路关联矩阵 A、回路矩阵B、割集矩阵Q；
2. 掌握复合支路的概念； 3. 学会用矩阵形式列写回路电流方程、结点
电压方程和割集电压方程；
难点 割集电压方程的列写。
03.12.2020
1
§15-1 割集
1. 定义 连通图G的一个割集是G的 一个支路集合，如果
-1 -1 +1 0 0 0 Ai = 0 0 -1 -1 0 +1
i2 · ·=
-i1 –i2 +i3 0 -i3 –i4 = 0
+1 0 0 +1 +1 0 · i6
+i16 +i4 +i5
0
结点1的KCL
Ai = 结 …点…2的KCL
Ai =0
03.12.202结0 点(n-1)的KCL
10
(4)用A表示KVL的矩阵形式
结束
Q3
2
全移，G一分为二；少移一条， G连通。
Q5
Q6
Q7
结束
a
b
a
b
a
b
e
e
e
d
c
d
c
d
c
f
(b, d, e, f )是
f
(a, e, c, f )是
f
(a, b, c, d ) 也是
Q8 a d
b e
c
(a, d, e, f )不是G的割集！
原因：少移去e，G仍为两部分。
f
03.12.2020
03.12.2020
12
2. 回路矩阵
描述回路与支路关联的矩阵。
结束
是一个(l×b)阶的矩阵。
(1)B 的元素定义
bjk= +1，支路k与回路j关联，且方向一致；
bjk= -1，支路k与回路j关联，且方向相反；
②
以b(=6)阶列向量表示支路ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ压：
u = [u1, u2 , ···, u6 ]T 并取某一结点(取④)为参考，
(n-1=3) 个结点电压的列向量：
un = [un1, un2 , un3 ]T
3 ① i3
2 i2
i6 4 i4 ③ 结束 6 i5
5 ④
1 i1
结点电压与支路电压之间的关系为
u = ATun
若以结点 4 为参考结点，把 式中的第 4 行划去，得 A
②
结束
3 ① i3
2 i2
i6 4 i4 ③ 6 i5
5 ④
1 i1
提示
给定A可以确定 Aa， 从而画出有向图。
123456
1 -1 -1 +1 0 0 0
Aa =
20 3 +1
0 0
-1-1 0 +1
0 +1 +1 0
4 0 +1 0 0 -1-1
Q2
Q1 a e b
结束
f
d
c Q3
Q4
当割集的所有支路连接 于同一结点时，割集的 KCL变为结点的KCL。
对较大规模的电路，用 观察法选择一组独立割 集是困难的。
借助于树，就比较方便。
03.12.2020
5
(2)独立割集的确定
• 选一个树，一条树支 与相应的连支可以构 成一个割集。
• 由一条树支与相应的连 支构成的割集叫单树支 割集。
因此能选出许 多不同的基本 割集组。
7
§15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
1. 关联矩阵的特点 描述结点与支路关联的矩阵。
是一个(n×b)阶的矩阵。
(1)Aa的元素定义 ajk= +1，支路k与结点j关 联，且方向背离结点；
②
结束
3 ① i3
2 i2
i6 4 i4 ③ 6 i5
5 ④
1 i1
ajk= -1，支路k与结 点j关联，且方向指
5 8
5 8
Q2
6
6
7
7
3
2 Q1 3
2
Q3
4
1
结束
5
8
6
3 7 Q4 2
Q1 (1,2,5,7,8) Q2 (1,3,5,8) Q3 (1,4,5) Q4 (5,6,7,8)
Q1
树支为
4
1
5,6,7,8 Q4 时的基
5 8
6
本割集 组。
7
3
2
Q3
03.12.2020
同一个图，有 Q2 许多不同的树，
与Q相切割的支路集合 (a, b, e) 不是割集。
4
3. 独立割集和基本割集
KCL适用于任一闭合面。
属同一割集的所有支路电 流也满足KCL。
对于一个连通图 G，总 可以列出与割集数量相 等的KCL方程。但它们 不一定线性独立。
(1)独立割集 与一组线性独立的KCL 方程相对应的割集，称 为独立割集。
(n-1)条。 • 这(n-1)个单树支割集
称为基本割集组。
03.12.2020
l1
l2
结束
bt l3
Q
而基本割集组是独 立割集组。
独立割集组不一 定是单树支割集。 就象独立回路不 一定是单连支回 路一样。
6
树支为2,3,4,6时的基本割集组
4
1
4
1
03.12.2020
9
-1 -1 +1 0 0 0
②
A = 0 0 -1 -1 0 +1 +1 0 0 +1 +1 0
3 ① i3
i6 4 i4 ③ 结束
(3)用A表示KCL的矩阵形式
b(=6)条支路电流可以用列向量表示
i = [i1, i2 , ···, i6 ]T
i1
2 i2
6 i5 5
④
1 i1
3
(a, b, c, d ,e )不是G的割集！
原因：全移，G被分为三部分。
2. 割集的判断与确定
a
b
e
结束
Q9
d
c
直观方便的方法是闭合面加定义。
f
注意：有些割集可能不易用与 闭合面相切割的方法表示。
a eb
f
d
c
无法作闭合面判断 割集(a, b, c, d)。
03.12.2020
ab cd
e Q
向结点； ajk= 0，支路k与结点 j无关联。
123456
1 -1 -1 +1 0 0 0
Aa=
20 3 +1
0 0
-1-1 0 +1
0 +1 +1 0
4 0 +1 0 0 -1-1
03.12.2020
8
(2)降阶关联矩阵A
划去Aa中任意一行所得到 的(n-1)×b阶矩阵。 被划去的行对应的结点可 以当作参考结点。
u1 u2 u3 u4 u5 u6
=
--uunn11+ un3 -uunn21-+uun2n3 un3 un2
=
-1 0 -1 0
1 -1 0 -1 00
01
1 0
0
1 1
0
un1 un2 un3
可以认为， 这是用A表示 KVL的矩阵 形式。
03.12.2020
AT
11
结束
小结 ① 矩阵 A表示有向图结点与支路的关联性质。 ② 用 A表示的 KCL 的矩阵形式为 Ai =0 ③ 用 A表示的 KVL 的矩阵形式为 u = ATun
①把这些支路移去，将使G(恰 好)分离为两个部分，
②但是少移去其中一条支路，
Q1 a
b e
d
c
f
Q2
G将仍是连通的。
(a，d，f )这个支路集合就是 G的一个割集。 显然，对右图，汇集于同一结点
a
b
Q4 e
d
c
的支路都是G的一个割集。
f
(a，b，e ) (b，c，f ) (c，d，e )
03.12.2020
第十五章 电路方程的矩阵形式
结束
重点
1. 掌握割集的概念，熟练写出电路关联矩阵 A、回路矩阵B、割集矩阵Q；
2. 掌握复合支路的概念； 3. 学会用矩阵形式列写回路电流方程、结点
电压方程和割集电压方程；
难点 割集电压方程的列写。
03.12.2020
1
§15-1 割集
1. 定义 连通图G的一个割集是G的 一个支路集合，如果
-1 -1 +1 0 0 0 Ai = 0 0 -1 -1 0 +1
i2 · ·=
-i1 –i2 +i3 0 -i3 –i4 = 0
+1 0 0 +1 +1 0 · i6
+i16 +i4 +i5
0
结点1的KCL
Ai = 结 …点…2的KCL
Ai =0
03.12.202结0 点(n-1)的KCL
10
(4)用A表示KVL的矩阵形式
结束
Q3
2
全移，G一分为二；少移一条， G连通。
Q5
Q6
Q7
结束
a
b
a
b
a
b
e
e
e
d
c
d
c
d
c
f
(b, d, e, f )是
f
(a, e, c, f )是
f
(a, b, c, d ) 也是
Q8 a d
b e
c
(a, d, e, f )不是G的割集！
原因：少移去e，G仍为两部分。
f
03.12.2020
03.12.2020
12
2. 回路矩阵
描述回路与支路关联的矩阵。
结束
是一个(l×b)阶的矩阵。
(1)B 的元素定义
bjk= +1，支路k与回路j关联，且方向一致；
bjk= -1，支路k与回路j关联，且方向相反；
②
以b(=6)阶列向量表示支路ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ压：
u = [u1, u2 , ···, u6 ]T 并取某一结点(取④)为参考，
(n-1=3) 个结点电压的列向量：
un = [un1, un2 , un3 ]T
3 ① i3
2 i2
i6 4 i4 ③ 结束 6 i5
5 ④
1 i1
结点电压与支路电压之间的关系为
u = ATun
若以结点 4 为参考结点，把 式中的第 4 行划去，得 A
②
结束
3 ① i3
2 i2
i6 4 i4 ③ 6 i5
5 ④
1 i1
提示
给定A可以确定 Aa， 从而画出有向图。
123456
1 -1 -1 +1 0 0 0
Aa =
20 3 +1
0 0
-1-1 0 +1
0 +1 +1 0
4 0 +1 0 0 -1-1
Q2
Q1 a e b
结束
f
d
c Q3
Q4
当割集的所有支路连接 于同一结点时，割集的 KCL变为结点的KCL。
对较大规模的电路，用 观察法选择一组独立割 集是困难的。
借助于树，就比较方便。
03.12.2020
5
(2)独立割集的确定
• 选一个树，一条树支 与相应的连支可以构 成一个割集。
• 由一条树支与相应的连 支构成的割集叫单树支 割集。
因此能选出许 多不同的基本 割集组。
7
§15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
1. 关联矩阵的特点 描述结点与支路关联的矩阵。
是一个(n×b)阶的矩阵。
(1)Aa的元素定义 ajk= +1，支路k与结点j关 联，且方向背离结点；
②
结束
3 ① i3
2 i2
i6 4 i4 ③ 6 i5
5 ④
1 i1
ajk= -1，支路k与结 点j关联，且方向指
5 8
5 8
Q2
6
6
7
7
3
2 Q1 3
2
Q3
4
1
结束
5
8
6
3 7 Q4 2
Q1 (1,2,5,7,8) Q2 (1,3,5,8) Q3 (1,4,5) Q4 (5,6,7,8)
Q1
树支为
4
1
5,6,7,8 Q4 时的基
5 8
6
本割集 组。
7
3
2
Q3
03.12.2020
同一个图，有 Q2 许多不同的树，
与Q相切割的支路集合 (a, b, e) 不是割集。
4
3. 独立割集和基本割集
KCL适用于任一闭合面。
属同一割集的所有支路电 流也满足KCL。
对于一个连通图 G，总 可以列出与割集数量相 等的KCL方程。但它们 不一定线性独立。
(1)独立割集 与一组线性独立的KCL 方程相对应的割集，称 为独立割集。