行列式-矩阵练习题

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线性代数-章节知识点及习题

第一章行列式一、教学要求1、了解行列式定义；2、掌握行列式的性质和展开法则；3、会利用化三角法和行列式展开法则计算低阶行列式以及简单n 阶行列式；4、了解克莱姆法则；重点、难点：熟练运用行列式性质，掌握行列式计算方法二、主要知识点及练习 1、行列式性111213111112132122232121222331323331313233223=1223=223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ，则。

练习：若行列式---311234=1303=101313a b c a b c ，则。

练习：若行列式+++2、代数余子式13122,112D x x D=则中的系数为。

练习：设行列式11111111x x 是关于的一次多项式，该式中的一次项系数是。

练习：--- 3、行列式计算1）对角线法------计算二阶、三阶行列式212103214111213212223313233--、a a a a a a a a a 练习：计算三阶行列式2）利用行列式性质计算行列式------将行列式化为上三角、下三角、对角行列式222222222(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)11231123(3)(4)11131121(1)ab b b x x x ba b b y y y bb a b z z z b b b ax ab ac aex bd cdde x bf cfefx 练习：计算下列行列、式、、的值+++++++-+-+-+3）利用行列式展开法计算行列式------将行列式降阶0110100111011110练习：四阶行列式。

=11121314313233441111123456224816123434D A A A A A A A A 练习：已知行列式，则，。

==+++=++--+=123,1,3D A A 练习：设三阶行列式的第二行元素分别为,,第一行元素的代数余子式的值分别为,,则。

线性代数2章精选练习题

2、单项选择题第一章行列式1.下列排列是5阶偶排列的是（）. (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512•如果n 阶排列j 1j 2 j n 的逆序数是k,则排列j n j 2j 1的逆序数是（）.3. 4. 5.(A) k (B) n!k (C) I(D)n(n 1) k 2n 阶行列式的展开式中含 a^a 22的项共有（(A) 0(B) (C)(n 2)!(D)(n 1)!0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0).(A) 0(B) (C) (D) 20 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 01 0).(A) 0 (B)(C)(D) 26.在函数 f(x)2x1 3 01 2 3 1中x 3项的系数是（).(A) 0(B)1(C)1(D) 2a 11 a 12a 132，则2a na 13a 112a i27.若Da 21 a 22 a 23D 12a 21 a 23 a 21 2a 22a 31a 32a 332a 31a 33a 312a 32(A) 4(B)4(C) 2(D)8.若a 11 a i2则厲2ka 22( ).a ,a 21 a 22*1ka 21( 0).).2,5,1, X ,二、填空题 1. 2n 阶排列24(2n)13(2n 1)的逆序数是 _________2. 在六阶行列式中项a 32a 54a 41a 65a 13a 26所带的符号是3. 四阶行列式中包含a 22a 43且带正号的项是4.若一个n 阶行列式中至少有n 2 n 1个元素等于0,则这个行列式的值等于9. (A) ka (B)ka (C) 已知4阶行列式中第1行元依次是k 2a(D)k 2a4,0,1,3,第3行元的余子式依次为(A) 0 (B) (C) (D) 210.若 D 则D 中第一行元的代数余子式的和为().(A) 1 (B)(C)(D)11.若 D,则D 中第四行元的余子式的和为).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)kx 3X 1 X 212k :于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组X 1kx 2 X 30有非零解kx 1 X 2X 3()(A)1(B)2(C)3(D)32 251 1 11,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1 ,有元素，则所得的新行列式的值为11 11 1x 1x 11 10.行列式1 x 1 11x 111 1111 11. n 阶行列式1 1111112.已知三阶行列式中第二列元素依次为则该行列式的值为则 4阳 3A 42 2A 43 A 44 ______5.行列式 6 •行列式 1) a r11 耳1a 11 a 13 3a 〔2 3912a 12913 8.如果Da 21a 22a 23M ，则D 1a 21 a 233a ?23922931 932 933931 933 3932 3932a 211)7.行列式 5阶行列式的值为5,将其第一行与第9.已知某31(na 2(na 1n 0 5行交换并转置，再用2乘所1 2 3 45 6 7 8 ，A 4j (j4 3 2 18 7 6 513.设行列式D1, 2, 3, 4)为D 中第四行元的代数余子式,1.7A 44A 41 A 42kx-2x 2 X 3 017. 齐次线性方程组2x 1kx 20仅有零解的充要条件是X 1X 2X 3 02x 2X 3 018. 若齐次线性方程组2x 2 5X 3 0有非零解，则k=.3为 2x 2 kx 3 0、计算题abcd2,22,2X y x y a b c d ； 2.3 ,3 3 ,3 yx yxabcd14.已知D 中第四列元的代数余子式的和为15.设行列式D1 3 1 123 5 1 34 6 26，A 4j 为a 4j (j 1,2,3, 4)的代数余子式，则16.已知行列式D2n 1 0 0,D 中第一行元的代数余子式的和为x y X ybed a c d a b d a b c1.7xa i1x1711.a ia 2a n 2 3 •解方程a 2 a n 2a 2 a 3 a 2a 3a n 15. 1 1 a 1 1 1 a 2(a j1,j0,1,,n)；a n6. (n 1) b11 1 1x a 1 a 2 a na a 1 a 1a 1 x a 2a n 7.b b 2 a 2 a 2 ； 8.a 1 a 2 x a nb b 2 b 3a na 1a 2 a 3x210 10 0X 1 %x 2x 2x 1 x f X 2X nJX n X 1x n X 21 X ：1 aa 0 0 01 1 a a 0 0 D0 1 1 aa 0 0 0 1 1 a a11 a29. 10.四、证明题设 abed 1,证明:ai Dxa 1xa 2b 2x a 2xa 3b 3x a 3X 1 1 1 abe2.22a b e 4.4 4ab e2. 13. b ib 2 b 3 d d 2 d 41 1 a 1a 24. 2a 12a 2n 2a 1n 2a 2na 1 na 2(b a n2a nb 21 a 1 b2 丄e1a1 b 10.a 1b 1 Ci (1 x 2) a 2b 2 C 2a 3b 3 e 3C1C 2C 3 a)(c a)(d a)(e b)(d b)(d e)(ana i(a j aj .i 11 i j nn 2a n a n1 1 5.设a,b,e 两两不等，证明a b3,3a b1 e 3e0的充要条件是a b参考答案.单项选择题A D A C C D ABCD B B3.2,0,1;4.(x aQn n 1 \5.(a k1)(1 —);6k 0k 0 a k 17. n(1)n(b k a k );8.k 1(2 b)(1 b) ((n 2) b);nn(xaQ(x a k );k 1k 110.•填空题 1. n ；2. ;3. a 【14a22a31 印3 ;4. 0 ;5.0 ;6. ( 1)n 1n!n(n 1)7.(1)a 1n a 2( n 1)a n1;8.3M ; 9. 160; 10. 4x ; 11.( n) n 112..2 ; 13. 0 ;14. 0 ;15. 12, 9 ;16. n!(1"-k);17. k 2,3k1k18..k 7三 -•计算题1 • (a b c d)(ba)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)；2. 2(x 3 y 3)；n 111. (1 a)(1 a 2 a 4). 四.证明题(略)第二章矩阵、 1. A 、单项选择题B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是（）。

高三数学矩阵行列式试题

高三数学矩阵行列式试题1.矩阵与变换：已知a，b∈R，若所对应的变换把直线变换为自身，求实数，并求的逆矩阵．【答案】【解析】根据矩阵乘法求变换：设为直线上任意一点其在M的作用下变为则代入得：其与完全一样得则矩阵则解：设为直线上任意一点其在M的作用下变为则代入得： 3分其与完全一样得则矩阵 6分则 10分【考点】矩阵变换，逆矩阵2.已知矩阵，点，．求线段在矩阵对应的变换作用下得到线段的长度．【答案】【解析】先根据逆矩阵公式求逆矩阵：，即，再根据矩阵运算求出对应点的坐标，由，，知点，最后根据两点间距离公式求长度，．设，则，所以，解得，即．由，，知点，所以．【考点】逆矩阵，矩阵运算3.关于方程的解为．【答案】2【解析】原方程为，即，，所以，．【考点】行列式，指数方程．4.已知矩阵M＝，N＝．（1）求矩阵MN；（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．【答案】（1）MN＝＝；（2）P(， 1).【解析】（1）利用矩阵乘法公式计算即可；（2）两种方法：法一，利用＝，转化为关于的二元一次方程，解出，即点P的坐标；法二，求出MN的逆矩阵，直接计算. 试题解析：（1）MN＝＝； 5分（2）设P(x，y)，则解法一：＝，即解得即P(， 1)． 10分解法二：因为＝．所以＝＝．即P(， 1)． 10分【考点】矩阵与变换、逆矩阵的求法、矩阵的计算.5.已知，，则y=．【答案】1【解析】由已知，，所以x﹣2=0，x﹣y=1所以x=2，y=1．【考点】二阶行列式的定义点评：本题考查了二阶行列式的展开式，考查了方程思想，是基础题6.对于任意一个非零实数，它的倒数的倒数是它的本身．也就是说，连续施行两次倒数变换后又回到施行变换前的对象，我们把这样的变换称为回归变换．在中学数学范围内写出这样的变换（写对一个变换给2分，最多得4分）．【答案】相反数的相反数是它本身，集合A的补集的补集是它本身，一个复数的共轭的共轭是它本身，等等.【解析】一个非零向量的反向量的反向量是它本身；一个命题的否命题的否命题是它本身；一个函数的反函数的反函数是它本身。

线代题型练习14：《行列式》常见题型练习题及参考解答

线代题型练习14：《行列式》常见题型练习题及参考解答练习题【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！练习1 ：设为阶方阵，且的行列式，是的伴随矩阵，计算.练习2 ：设为阶非零方阵，是的伴随矩阵，是的转置矩阵. 当时，证明：.练习3 ：设是阶矩阵，满足 (是阶单位矩阵，是的转置矩阵），，求.练习4：计算行列式练习5 ：设为三阶方阵，，计算练习6 ：设为三阶方阵，, ，计算练习7 ：设为三阶正交矩阵，，是三阶方阵，，计算.练习8 ：设为三阶方阵，, ，求.练习9 ：设均为四阶方阵，且有均为四维向量，计算.练习10 ：设均为四维向量，且计算.先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！【注2】每日一题题目并非咱号完全原创，一般来自各类参考书或网络资源，由学友改编、整理并由咱号免费推送分享。

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考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)

考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2014年] 行列式==( )．A．(ad—bc)2B．一(ad一bc)2C．a2d2一b2c2D．b2c2一a2d2正确答案：B解析：待计算的行列式为数字型行列式，且元素排列有一定规律，应利用行列式性质将其变形化为能直接使用非零元素仅在主、次对角线上的2n阶或2n 一1阶行列式计算：=(a1a2n一b1b2n)(a2a2n-1—b2b2n-1)…(anan+1—bnbn+1)，=an(an-1an+1一bn-1bn+1)(an-2an+2一bn-2bn+2)…(a2n-1a1一b2n-1一b1)．解一令.此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，由式(2．1．1．5)，即得∣A∣=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．解二将∣A∣按第1行展开，然后可利用式(2．1．1．6)直接写出结果：∣A∣=(一a)=(一a)d(ad一bc)+bc(ad —bc)=一(ad—bc)(ad—bc)=一(ad—bc)2．仅(B)入选．知识模块：行列式2．记行列式为f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：利用行列式性质将f(x)化为含零子块的四分块矩阵的行列式或三角形行列式计算．(式(2．1．1．6))=5x(x－1)．由此可知f(x)=0的根有2个．仅(B)入选．知识模块：行列式3．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式∣AB∣≠0B．当m＞n时，必有行列式∣AB∣=0C．当n＞m时，必有行列式∣AB∣≠0D．当n＞m时，必有行列式∣AB∣=0正确答案：B解析：证秩(AB)＜m或证ABX=0有非零解(利用命题2．1．2．7)证之．解一利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于的法则确定正确选项．因AB为m阶矩阵，行列式∣AB∣是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到：(1)当m＞n时，有秩(A)≤min{m，n)=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m；(2)秩(AB)≤min(秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故∣AB∣=0．仅(B)入选．解二因BX=0的解必是ABX=0的解．而BX=0是n个方程m 个未知数的齐次线性方程组．当m＞n时，BX=0有非零解，从而ABX=0有非零解，故∣AB∣=0．仅(B)入选．知识模块：行列式4．[2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=.若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：注意到Q的列向量为α1，α2，α3的线性组合，首先将Q改写为P与一数字矩阵相乘的形式，再代入Q-1AQ中进行运算，即可求得正确选项．解一因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]因而Q-1AQ=，故仅(B)入选．解二用初等矩阵表示，有Q=PE12：(1)，由E12-1(1)=E12(一1)得到Q-1AQ=[PE12(1)]-1APE12(1)=E12-1(1)P-1APE12(1)=E12(一1)P-1APE12(1)=仅(B)入选．知识模块：矩阵5．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=0，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E一A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：利用命题2．2．1．4及命题2．1．2．6求之．解一易求得(E —A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E－A+A2)=E+A3=E．由命题2．2．1．4知E一A可逆，E+A也可逆．仅(C)入选．解二由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E—A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值，由命题2．1．2．6知，它们均可逆．仅(C)入选．知识模块：矩阵6．[2005年] 设矩阵A=[aij]3×3满足A*=AT，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，若a11，a12，a13为3个相等的正数，则a11为( )．A．√3／3B．3C．1／3D．√3正确答案：A解析：出现第l行3个相等的元素，自然想到用行列式展开定理．用a11的表达式表示∣A∣，再利用命题2．1．2．8即可求出a11解一显然矩阵A满足命题2．1．2．8中的三个条件，因而由该命题即得∣A∣=1．将∣A∣按第1行展开得到1=∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112，故以a11=√3／3．仅(A)入选．解二由A*=AT，即，其中Aij为∣A∣中元素aij(i，j=1，2，3)的代数余子式，得aij=Aij(i，j=l，2，3)．将∣A∣按第1行展开，得∣A∣=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132=3a112＞0．又由A*=AT得到∣A*∣=∣A∣3-1=∣AT∣=∣A∣，即∣A∣(∣A∣一1)=0，而∣A∣＞0，故∣A∣一1=0，即∣A∣=1，则3a112=1，因a11＞0，故a11==√3／3．仅(A)入选．知识模块：矩阵填空题7．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量．记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如果∣A∣=1，那么∣B∣=_________．正确答案：将分块矩阵B改写为分块矩阵A右乘另一数字矩阵的形式，再在等式两边取行列式；也可利用行列式性质恒等变形找出∣A∣与∣B∣的关系，从而求出∣B∣．解一B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC，其中C=为三阶范德蒙行列式，则∣C∣=2，故∣B∣=∣A∣∣C∣=1×2=2．解二用行列式性质将∣B∣化为∣A∣的线性函数，找出∣A ∣与∣B∣的关系，求出∣B∣．∣B∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，α2+5α3∣∣α1+α2+α3，α2+3α3，2α3∣∣α1+α2+α3，α2，2α3∣=2∣α1+α2+α3，α2，α3∣2∣α1，α2，α3∣=2∣A∣=2．涉及知识点：行列式8．[2006年] 设矩阵A=，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则∣B∣=_________．正确答案：可用上述法一或法二求之．解一由BA=B+2E得∣B(A—E)∣=∣2E∣=22=4，故∣[B∣∣A—E∣=4，∣B∣=4／∣A—E∣=4／2=2．解二由BA=B+2E得B(A—E)=2E，则B=2(A—E)-1=2，故∣B∣=2．涉及知识点：行列式9．[2003年] 设三阶方阵A，B满足A2B—A—B=E，其中E为三阶单位矩阵，若A=，则∣B∣=_________．正确答案：注意到所给矩阵方程A2B—A—B=E含单位矩阵E的加项，左端又出现矩阵A的平方，应将它们结合在一起，因式分解，将方程化成矩阵乘积形式，再取行列式求解．题设等式化为(A2一E)B=A+E，即(A+E)(A—E)B=A+E．易求得∣A+E∣=18≠0，故A+E可逆．在上式两端左乘(A+E)-1，得到(A—E)B=E．再在两边取行列式，得∣A—B∣∣B∣=1．因∣A—E∣==2，故∣B∣=／2．涉及知识点：行列式10．[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为2，3，λ．若行列式∣2A∣=一48，则λ=________．正确答案：先利用命题2．1．2．2求出行列式∣A∣，再利用命题2．1．2．4即可求出参数λ．由命题2．1．2．2得∣2A∣=23∣A∣=一48，解得∣A ∣=一6．又由命题2．1．2．4得到∣A∣=一6=λ·2·3，故λ=一1．涉及知识点：行列式11．[2012年] 设A为三阶矩阵，∣A∣=3．A*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则∣BA*∣=_________．正确答案：先将矩阵B用初等变换E12与A表示．为利用AA*=∣A∣E，将所得表示式右乘A*．再取行列式．计算行列式时，要正确计算出初等矩阵的行列式∣E12∣．由题设有B=E12A，两边右乘A*得到BA*=E12AA*=∣A ∣E12E=∣A∣E12，则∣BA*∣=∣∣A∣∣E12∣=∣A∣3∣E12∣=33(一1)=一27．涉及知识点：行列式12．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，∣A∣为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则∣A∣=__________．正确答案：利用A*=(Aij)及∣A∣=∣A∣3-1求之．由a=一A，则(a)=(－Aij)，(aij)T=(－Aij)T=一(Aij)，故AT=一A*，从而∣A∣=∣AT∣=∣—A*∣=(一1)3∣A∣3-1=一∣A∣2，即∣A∣2+∣A∣=∣A∣(∣A∣+1)=0，故∣A∣=0或∣A∣=一1．若∣A∣=0，则由∣A∣=ai1Ai1+ai1Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0(i=1，2，3)得到a=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵，这与题设矛盾，故∣A∣=一1．涉及知识点：行列式13．[20l0年] 设A，B为三阶矩阵，且∣A ∣=3，∣B∣=2，∣A-1+B∣=2，则∣A+B-1∣=_________．正确答案：∣A+B-1∣=∣A+B-1∣，常用单位矩阵E将其恒等变形为∣A+B-1∣=∣A+B-1E∣而求之，也可在A+B-1的左和(或)右边乘以适当矩阵化为其行列式已知的矩阵而求之．解一∣A+B-1∣=∣EA+B-1E∣=∣(B-1B)A+B-1(A-1A)∣=∣B-1(BA+A-1A)∣=∣B-1(B+A-1)A∣=∣B-1∣∣B+A-1∣A∣=1．2．3=3．解二A-1(B-1+A)B=A-1B-1B+A-1AB=A-1+B，故∣A-1∣∣B-1+A∣∣B∣=∣A-1+B∣=2，即∣B-1+A∣=2∣A∣／∣B ∣=6／2=3．涉及知识点：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是_________．正确答案：利用命题2．1．3．1(1)寻找λ满足的条件．因方程个数与未知数的个数相等，又该方程组只有零解，由命题2．1．3．1(1)知∣A∣≠0，从而∣A∣==(λ—1)2．于是当λ≠1时，∣A∣≠0，即该方程组只有零解．涉及知识点：行列式15．[2003年] 设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=则αTα=_________．正确答案：由命题2．2．1．2知，αTα为ααT的主对角线元素之和．另一种思路是利用向量运算规律求出α，再求αTα．解一由命题2．1．1．2知，αTα为ααT的主对角线上的元素之和，即αTα=1+1+1=3．解二由ααT=[1，一1，1]知α=，于是αTα=3．涉及知识点：矩阵16．设A=，而n≥2为整数，则An－2An-1=_________．正确答案：求方阵的n次幂一般要先就n=2，n=3进行计算，然后归纳其规律，得出结论．也可用相似对角化及命题2．2．1．3求之．解一先求出n=2，3时，A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A,A3=A2．A=2A·A=2A2=2．2A=22A，设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak．A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1．2A=2kA．因而对任何自然数，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1．A－2·2n-2A=0．解二由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出An．由∣λE－A∣=λ(λ－2)2得到A的特征值λ1=λ2=2，λ3=0．由于A为实对称矩阵，必存在可逆阵P，使P-1AP=diag(2，2，0)=Λ，于是A=PΛP-1，An=PΛnP-1，2An-1=P(2Λn-1)P-1=PΛnP-1，故An一2An-1=0．涉及知识点：矩阵17．设A=，其中ai≠0(i=1，2，…，n)，则A-1=_________．正确答案：把A看作是A=的分块矩阵，利用分块矩阵的求逆公式(命题2．2．1．5(3))易求得A-1也可用初等行变换求之．涉及知识点：矩阵18．设A=,A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=_________．正确答案：直接利用式(2．2．2．1)求之．由式(2．2．2．1)得到(A*)-1= 涉及知识点：矩阵19．设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为________．正确答案：解一因A的秩为2，较其阶数4小2，由命题2．2．2．1知秩(A*)=0．解二由题设知A的秩为2，因而A的所有三阶子式等于0．于是A 的所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故秩(A*)=0．涉及知识点：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

线性代数部分练习题

线性代数部分练习题线性代数部分练习题⼀、⾏列式、矩阵的运算 (第⼀、⼆章)1.设a ,b 为实数，且000101ab ba-=--，则（）A.a =0,b =0;B.a =1,b =0;C.a =0,b =1;D.a =1,b =1 2．排列53142的逆序数(53142)τ=（） A ．7 ; B ．6; C ．5 ; D ．43. 计算⾏列式=----32320200051020203（） A.-180; B.-120; C.120; D.1804. 设⾏列式D 1=22221111a c b a a c b a ac b a +++，D 2=222111c b a c b a c b a ，则D 1= ）A ．0;B ．D 2;C ．2D 2;D ．3D 25. 已知⾏列式a52231521-=0，则数a =( )A.-3;B.-2;C.2;D.36. 设⾏列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=（） A ．-12; B ．-6; C ．6; D ．12 7. 设⾏列式==1111034222,1111304z y x zy x 则⾏列式( )A.32; B.1; C.2; D.38 8. 设⾏列式01110212=-k k ，则k 的取值为（）A.2;B.-2或3;C.0 ;D.-3或29. 设矩阵A =（1，2），B =?4321，C ???? ??=654321则下列矩阵运算中有意义的是（） A ．ACB; B ．ABC; C ．BAC; D ．CBA 10．设A 为三阶⽅阵，且|A |=2，则|-2A |=（） A ．-16; B ．-4; C ．4; D ．1611．设矩阵123456709??=A ，则*A 中位于第2⾏第3列的元素是（）A ．-14;B ．-6;C ．6;D ．1412．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且2-=A E O ，则必有（）A ．1-=A A ; B ．=-A E ; C ．=A E ; D ．1=A13．下列等式中正确的是（） A ．()222B BA AB A B A +++=+B ．()T T TB A AB =C ．()()22B A B A B A -=+- D ．()A A A A 233-=-14. 设A =?4321，则|2A *|=（） A.-8; B.-4; C.4; D.815. 设A ，B ，C 均为n 阶⽅阵，AB =BA ，AC =CA ，则ABC =（） A ．ACB; B ．CAB; C ．CBA ; D ．BCA16. 设A 为3阶⽅阵，B 为4阶⽅阵，且⾏列式|A |=1，|B |=-2，则⾏列式||B |A |的值为（） A ．-8; B ．-2; C ．2; D ．817. 设矩阵A =-11，B =（1，1）则AB =（）A ．0;B ．（1，-1）;C ．???? ??-11 ;D ．--111118. 设n 阶矩阵A 、B 、C 满⾜ABC =E ，则C -1=( ) A. AB; B. BA; C. A -1B -1; D. B -1A -119.已知2阶⾏列式第1⾏元素为2和1，对应的余⼦式为-2和3，则该⾏列式的值为__________.20.阶⾏列式011101110---=ij a 中元素a 21的代数余⼦式A 21=____________.21. 在四阶⾏列式中，项a 31a 22a 43a 14的符号是____________.22. 在五阶⾏列式中，项a 21 a 32 a 45 a 14 a 53的符号为_____________.23. 已知四阶⾏列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的代数余⼦式依次分别为5，-3，-7，-4，则D=_______24. 设⾏列式304222532D =-，其第3⾏各元素的代数余⼦式之和为____________.25. 已知⾏列式333222111c b a c b a c b a =1,则333333222222111111c b a b a a c b a b a a c b a b a a +--+--+--=______________. 26. ⾏列式11124641636=________.27. 已知3阶⾏列式|A|中第3列元素依次为-1，2，0，它们的余⼦式依次为5，3，-7，则|A|=__________.28. 3阶⾏列式767367949249323123=________.29.设矩阵011001000?? ?= ?A ，则A 2=______．30.111,,2(2),16A B A B A A --==-是两个四阶⽅阵，且则|B |=__________. 31.设A ，B 都是3阶矩阵，且|A |=2，B = -2E ，则|A -1B |=_________. 32.设A 、B 均为三阶⽅阵，|A |=4，|B |=5，则|2AB |=__________. 33.排列12453的逆序数为____________.34.已知A 2-2A -8E =0，则(A +E )-1=____________. 35. 设矩阵A =?-2112，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满⾜BA=B +E ，则|B |=___________. 36. 设A =411023, B =,010201则AB =___________. 37. 已知矩阵A =（1，2，-1），B =（2，-1，1），且C =A T B ，则C 2=__________.38. 设矩阵A =100012021，B =????? ??310120001，则A+2B =_____________.40．计算四阶⾏列式1234123412341234------41. 已知3阶⾏列式1120212x x-中元素12a 的代数余⼦式A 12=2，求元素21a 的代数余⼦式A 21的值.43. 求D =012010122101021046. 计算3112513420111533------47. 计算1 1 -1 2-1 -1 -4 12 4 -6 11 2 4 250. 计算422223222222222153. n 阶⾏列式n a b b b b a bb D bb ab b b ba=.56.计算123110311211230123(1)n n n n n nD nn ------=--------. 57. n 阶⾏列式11111 1111111n n n D nn=. 58. 设A ＝210011001??-??，B ＝102101?? ? ? ???，⼜AX ＝B ，求矩阵X.60. 已知矩阵A =111210101??- ? ?，B =100210021?? ? ? ???，求：（1）A T B ；（2）| A T B |.63.2A A A E O --2=设⽅阵满⾜⽅程：，+2A A E 证明：与都可逆，并求它们的逆矩阵。

考研数学一(行列式,矩阵,向量)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

考研数学一（行列式，矩阵，向量）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1999年试题，二)设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m>n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m>n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n>m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n>m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：结合题设，应分析矩阵的秩，从而可判断其行列式是否为0．由已知，AB是m×m矩阵，则r(AB)≤m，又由r(AB)≤min(rA，rB)，知r(AB)≤min(n，m)，由此，当m>n时，r(AB)≤n<m，从而｜AB｜=0，因而B正确；当n>m 时，r(AB)≤m，不能确定等式是否成立，综上，选B．对于未知矩阵AB的具体元素，其相关的计算和证明问题往往可考虑转化为利用：(1)矩阵的秩；(2)行或列向量组的线性相关性；(3)方程组解的判定；(4)特征值和相似矩阵的性质等来求解和证明．知识模块：行列式2．(2012年试题，一)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α2)，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题设Q=(α1+α2，α2，α3)=(α1，α2，α3)因此应选B．知识模块：矩阵3．(2008年试题，一)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=0，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E一A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：由A3=0可得E—A3=(E一A)(E+A+A2)=E和E+A3=(E+A)(E一A+A2)=E显然｜E—A｜≠0，｜E+A｜≠0，所以E一A和E+A均可逆．故应选C．解析二由A3=0知，A的任意特征值满足λ3=0，即λ=0是A的n重特征值，从而λ=是E一A和E+A的n重特征值，即二者的特征值均不为0．故E 一A和E+A均可逆。

行列式、矩阵自测题及答案

行列式与矩阵自测题班级________ 姓名________ 学号 ________ 一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．1．在矩阵a b0 1对应的变换下，将直线6x－5y＝1变成2x＋y＝1.则a2＋b2等于( )A．3 B．6C．9 D．18答案：D2．直线x－y＝1在矩阵1 －11 －1变换下变成的图形是( ) A．直线 B．线段C．点 D．射线答案：C3．设32 －1212 32n＝1 00 1.n∈N*，则n的最小值为( ) A．3 B．6C．9 D．12答案：D4．设矩阵A＝－1 32 －5.B＝2 31 －1.CA＝B.则矩阵C等于( )A.16 9－3 2B.16 －93 2C.－16 93 2D.16 93 2答案：D5．设矩阵A＝x 32 x＋1，若A－1存在，则x的取值范围是( ) A．x≠2且x≠－3 B．x≠2或x≠－3C．x≠6且x≠－1 D．x≠6或x≠－1答案：A6．两个数列{an}，{bn}满足an＋1＝an＋bnbn＋1＝4an＋bn.其中a1＝2，b1＝0，则a10等于( )A．310＋1 B．210＋1C．39－1 D．29－1答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．7．(2011•上海)行列式a bc d(a，b，c，d∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．解析：a bc d＝ad－bc，则a＝d＝2，bc＝－2时，取最大值为6. 答案：68．若直线x－y＝4在矩阵M＝a 1－1 b对应的变换作用下，把直线变为本身直线，则a，b的值分别为________．答案：0 29．设A是一个二阶矩阵，满足A10＝310，且A13＝613.则A＝________.答案：3 10 6【解】(1)125062312101232562r r D+---=--;A B B A= 解 ABBA≠。

因为⎪⎭⎫⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA(2)222()2A B A A B B+=++吗?解 222()2A B A AB B+≠++ 因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,。

(新)高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析

2
.
2
15 ．已知直线
l：x
y
1 在矩阵
A
m 0
n 1
对
应
的
变换
作
用下
变
为直
线
l：x y 1，求矩阵 A .
16．[选修 4—2：矩阵与变换]
已知矩阵
A
1 1
2 4
，求矩阵
A 的特征值和特征向量．
17．已知二阶矩阵
M
有特征值
=3
及对应的一个特征向量
e1
1 1
，并且矩阵
M
对应的
变换将点（-1,2）变换成（9,15），求矩阵 M． 18．（选修 4—2：矩阵与变换）
试题分
析：根据
题意，由
于根据新
定义可知
a c
b
d
e
f
ae ce
bf df
，
那
么
由
2
,
sin cos
cos sin
cos sin
sin cos
cos cos
cos sin sin sins in( cos() Nhomakorabea)=
0 0
，故选
A.
考点：矩阵的乘法点评：此题主要考查矩阵的乘法及矩阵变换的性质在图形变化中的应用，属于基础题．考查知识点比较多有一定的计算量 2．D 【来源】2012-2013 学年河北省邢台一中高二下学期第二次月考理科数学试题（带解析）【解析】试题分析：按照所给法则直接进行运算，利用复数相等，可求得复数对应点所在象限．根据题意，由于
这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！

考研数学一行列式矩阵历年真题试卷汇编1_真题(含答案与解析)-交互

考研数学一（行列式、矩阵）历年真题试卷汇编1(总分150, 做题时间180分钟)选择题1.[2014年]行列式=( )．SSS_SINGLE_SELA(ad-bc)2B一(ad-bc)2Ca2d2一b2c2D一a2d2+b2c2分值: 5.6答案:B令，则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，即得｜A｜=一(ad-bc)(ad-bc)=一(ad-bc)2．仅B入选．2.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．SSS_SINGLE_SELA当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0B当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0C当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0D当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0分值: 5.6答案:B利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于法则确定正确选项．因AB为m阶矩阵，行列式｜AB｜是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到m＞n时，有秩(A)≤min{m，n}=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n＜m．再利用乘积矩阵秩的两不大于法则得到秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}＜m，而AB 为m阶矩阵，故｜AB｜=0．仅B入选．3.[2012年]设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=．若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．SSS_SINGLE_SELABCD分值: 5.6答案:B因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α2]，故因而 Q-1AQ4.[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )．SSS_SINGLE_SELAE—A不可逆，E+A不可逆BE—A不可逆，E+A可逆CE—A可逆，E+A可逆DE—A可逆，E+A不可逆分值: 5.6答案:C由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E—A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值．可知，它们均可逆．填空题5.设n阶矩阵，则｜A｜=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:(一1)n-1(n一1)｜A｜是行和与列和都相等的行列式．将各列加到第1列，提取公因式n一1，去掉与第1列成比例的分列，化为下三角形行列式，得=(一1)n-1(n一1)．6.[2015年] n阶行列式=______.SSS_FILL分值: 5.6答案:2n+1-2按第1行展开得到递推关系式：=2Dn-1+2(一1)n+1(一1)n-1=2Dn-1+2．依此递推，得到D n =2Dn-1+2=2(2Dn-2+2)+2=22Dn-2+22+2=22(2Dn-3+2)+22+2=23Dn-3+23+22+2=…=2n-1D1+2n-1+2n-2+…+22+2=2n-1·2+2n-1+2n-2+…+22+2 =2n+2n-1+2n-2+…+22+2=2(1+2+22+…+2n-1)．由等比级数求和的公式a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1=，令a1=2，q=2，得到Dn=2(1+2+22+…+2n-1)==(一1)(2—2n+1)=2n+1-2．7.[2016年]行列式=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:λ4+λ3+2λ2+3λ+4=λ[λ·λ·(λ+1)+0·2·0+3(-1)(一1)一0·λ·3一(一1)·2·λ—(λ+1)(一1)·0]+4=λ4+λ3+2λ2+3λ+4．8.设A，B为n阶矩阵，｜A｜=2，｜B｜=一3，则｜2A*B-1｜=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:一22n-1／3由｜kA｜=k n｜A｜．A*=｜A｜A-1，｜A*｜=｜A｜n-1，｜B-1｜=1／｜B｜，有｜2A*B-1｜=｜2A*｜｜B-1｜=2n｜A*｜(1／｜B｜)=2n｜A｜n-1一／｜B｜=2n2n-1／(一3)=一22n-1／3．9.[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量，记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如｜A｜=1，那么｜B｜=______·SSS_FILL分值: 5.6答案:2B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC．其中为三阶范德蒙行列式，则｜C｜=(2—1)×(3—1)×(3—2)=2，故｜B｜=｜A｜｜C｜=2×1=2．10.[2006年]设矩阵，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:2由BA=B+2E得｜B(A—E)｜=｜2E｜=22=4，故｜B｜｜A—E｜=4，｜B｜=4／｜A—E｜=4／2=2．11.[2004年]设矩阵，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E 是单位矩阵，则｜B｜=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:1/9在所给方程的两边同时右乘A，利用A*A=｜A｜E，得到ABA*A=2BA*A+A，即｜A｜AB=2｜A｜B+A，移项即得｜A｜(A一2E)B=A．两边取行列式，得到｜A｜(A-2E)B｜=｜A｜，即｜A｜3｜(A-2E)B｜=｜A｜，｜A｜2｜A一2E｜｜B｜=1，再由｜A｜=3，｜A一2E｜=1得到所求行列式｜B｜=1／｜A｜2=1／9．12.设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则｜4A-1一E｜=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:3所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如A 与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=diag(1，2，2)=Λ，即A=PΛP-1．于是A-1=PΛ-1P-1，4A-1一E=4PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1一E)P-1．两端取行列式有｜4A-1一E｜=｜P｜｜4Λ-1一E｜｜P-1｜=｜4Λ-1一E｜=｜4diag(1，1／2，1／2)一E｜=3．13.[2013年] 设A=(aij )是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij +Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:-1由aij =一Aij，则(aij)T=一(Aij)T=一(Aji)，即A T=一A*，从而｜A｜=｜A T｜=｜—A*｜=(一1)3｜A｜3-1=一｜A｜2．即｜A｜2+｜A｜=｜A｜(｜A｜+1)=0，故｜A｜=0或｜A｜=一1．若｜A｜=0，则由｜A｜=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0 (i=1，2，3)得到aij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵．这与假设矛盾，故｜A｜=一1.14.若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是______．SSS_FILL分值: 5.6答案:λ≠1因方程个数与未知数的个数相同，又该方程组只有零解，可知，｜A｜≠0．而于是当λ≠1时，｜A ｜≠0，即该方程组只有零解．15.设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=，则αTα=______．SSS_FILL分值: 5.6答案:3由ααT=知，于是αTα=3．16.设，而n≥2为整数，则A n一2A n-1=______．SSS_FILL分值: 5.5答案:O先求出n=2和n=3时A2，A3的表示式，然后归纳递推求出A n．当n=2时， A2==2A．当n=3时， A2=A2·A=2A·A=2A2=2·2A=22A．设A k=2k-1A，下面证A k+1=2k A．事实上，有A k+1=A k·A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1·2A=2k A．因而对任何自然数n，有A n=2n-1A，于是A n一2A n-1=2n-1A一2·2n-2A=O．解答题17.[2012年] 设计算行列式.SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:由题得｜A｜=1·1·1·1+(一1)4+12a·a·a·a=1一a4．18.[2008年] 设n元线性方程组AX=b，其中证明行列式｜A｜=(n+1)a n.SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:利用三对称行列式的结论证之．知｜A T｜==(n+1)a n，故｜A｜=｜A T｜=(n+1)a n．19.设A为n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，A T是A的转置矩阵．当A*=A T时，证明｜A｜≠0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:用反证法证之．若｜A｜=0，则AA T=AA*=｜A｜E=O．设A=[aij ]n×n的行向量为a i (i=1，2，…，n)，则由AA T=O得αiαiT=ai12+ai22+…+ain2=0(i=1，2，…，n)，于是αi =0(ai1，ai2，…ain)(i=1，2，…，n)，进而有A=O．这与A≠O矛盾，故｜A｜=0．20.设A是n阶矩阵，满足AA T=E(E是n阶单位矩阵，A T是A的转置矩阵)，｜A｜＜0，求｜A+E｜．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:｜A+E｜=｜A+AA T｜=｜A(E+A T)｜=｜A｜｜E+A T｜=｜A｜｜E T+A T｜=｜A｜(E+A)T｜=｜A｜E+A｜，故(1一｜A｜)｜A+E｜=0．因｜A｜＜0，有1一｜A｜＞0，可得｜A+E｜=0．21.[2008年]设n元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:当｜A｜≠0即a≠0时，由克拉默法则知，该方程组AX=b有唯一解，且唯一解的第1个分量x1=D1／｜A｜，其中将A的第1列换成[1，0，…，0]T，得到=｜A｜n-1=na n-1．故 x1=D1／｜A｜=na n-1／[(n+1)a n]=n／[(n+1)a]．22.设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：A2=A的充要条件是ξTξ=1.SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:A2=(E一ξξT)(E一ξξT)=E一2ξξT+ξξTξξT=E一2ξξT+(ξξT)ξξT．①如果A2=A，则E一2ξξT+(ξξT)ξξT=E一ξξT，即ξξT(1一ξξT)=O．因ξ≠0，故ξξT≠O．因而1一ξTξ=0，即ξTξ=1．反之，如果ξTξ=1，则由式①有A2=E一2ξξT+ξξT=E一ξξT=A．[2018年] 已知a是常数，且矩阵可经初等变换化为矩阵SSS_TEXT_QUSTI23.求a；分值: 5.5答案:由题设条件可知矩阵A与B等价，则，r(A)=r(B)．因为所以因此a=2．SSS_TEXT_QUSTI24.求满足AP=B的可逆矩阵P．分值: 5.5答案:设矩阵，对增广矩阵作初等变换可得解得所以又因P可逆，因此即k2≠k3．故，其中k1，k2，k3为任意常数，且k2≠k3．[2016年] 已知矩阵SSS_TEXT_QUSTI25.求A99；分值: 5.5答案:由｜λE—A｜==λ(λ+1)(λ+2)=0知A有3个不相等的特征值．下面求可逆矩阵P使P-1AP=Λ．为此求出A的3个线性无关的特征向量．当λ1=0时，有(0E-A)X=0即AX=0．由及基础解系的简便求法得特征向量a=[3／2，1，1]，取特征向量a1=(3，2，2)T．当λ2=一1时，有(一E—A)X=0．由及基础解系的简便求法即得特征向量为b2=(1，1，0)T．当λ2=一2时，有(一2E-A)X=0，由一2E-A=及基础解系的简便求法得对应于λ3=一2的特征向量c=(1／2，1，0)，取c 3=[1，2，0]T．令P=[a1，b2，c3]，因它们属于不同特征值的特征向量，故a1，b 2，c3线性无关，故P为可逆矩阵，且有P-1AP=Λ=diag(0，一1，一2)，即A=PAP-1，则A**=(PΛP-1)99=PΛ99P-1SSS_TEXT_QUSTI26.设三阶矩阵B=[α1，α2，α3]满足B2=BA，记B100=[β1，β2，β3]，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．分值: 5.5答案:先证BA99=B100．事实上，BA2=BA·A=B2·A=B·BA=B·B2=B3，BA3=BA2·A=B3·A=B2·BA=B2·B2=B4，…．设BA98=B99，则BA99=BA98·A=B99·A=B98·BA=B98·B2=B100，由B100=[β1，β2，β3]，B=[α1，α2，α3]，B100=BA99，得到[β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]故β1=(一2+299)α1+(一2+2100)α2，β2=(1—299)α1+(1—2100)α2，β3=(2—298)α1+(2-299)α2．27.设A=E一ξξT，其中E是n阶单位矩阵，ξ是n维非零列向量，ξT是ξ的转置．证明：当ξTξ=1时，A是不可逆矩阵．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5.5答案:当ξξT=1时，因为有A2=A．如果A可逆，则A-1A2=A-1A，即A=E．这与A≠E矛盾，故A不可逆．1。

考研数学三(行列式和矩阵)模拟试卷1(题后含答案及解析)

考研数学三（行列式和矩阵）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24B．-24C．48D．-48正确答案：D解析：选D．知识模块：行列式2．设A为二阶矩阵，且A的每行元素之和为4，｜E+A｜=0，则｜2E+A2｜为( )．A．0B．54C．-2D．-24正确答案：B解析：因为A的每行元素之和为4，所以A有特征值4，又｜E+A｜=0，所以A有特征值-1，于是2E+A2的特征值为18，3，于是｜2E+A2｜=54，选B．知识模块：行列式填空题3．设f(x)=，则x2项的系数为_______．正确答案：23解析：按行列式的定义，f(x)的3次项和2次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以x2项的系数为23．知识模块：行列式4．设A为三阶矩阵，A的第一行元素为1，2，3，｜A｜的第二行元素的代数余子式分别为a+1，a-2，a-1，则a=_______．正确答案：1解析：由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0得a=1．知识模块：行列式5．设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，且｜A｜=a，｜B｜=b，则=_______．正确答案：(-1)mnab解析：将B的第一行元素分别与A的行对调m次，然后将B的第二行分别与A的行对调m次，如此下去直到B的最后一行与A的行对调m次，则=(-1)mnab．知识模块：行列式6．设三阶方阵A=[A1，A2，A3]，其中Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且A 的行列式｜A｜=-2，则行列式｜-A1-2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1｜=_______．正确答案：12解析：由(-A1-2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1)=(A1，A2，A3)得｜-A1-2A2，2A2+3A3，-3A3+2A1｜=｜A1，A2，A3｜.=12．知识模块：行列式7．设三阶矩阵A=(α，γ1，γ2)，B=(β，γ1，γ2)，其中α，β，γ1，γ2是三维列向量，且｜A｜=3，｜B｜=4，则｜5A-2B｜=_______．正确答案：63解析：由5A-2B=(5α，5γ1，5γ2)-(2β，2γ1，2γ2)=(5α-2β，3γ1，3γ2)，得｜5A-2B｜=｜5α-2β，3γ1，3γ2｜=9｜5α-2β，γ1，γ2｜=9(5｜α，γ1，γ2｜-2｜β，γ1，γ2｜)=63．知识模块：行列式8．设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]-1=______(用A*表示)．正确答案：解析：由A*=｜A｜A-1得(A*)*=｜A*｜.(A*)-1=｜A｜n-1.(｜A｜A-1)-1=｜A｜n-2A，故[(A*)*]-1= 知识模块：矩阵9．设α=(1，-1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，则An=______．正确答案：解析：βTα=3，A2=αβT.αβT=3αβT=3A，则An=3n-1A=3n-1 知识模块：矩阵10．A=，且n≥2，则An-2An-1=______．正确答案：O解析：由A2=2A得An=2n-1A，An-1=2n-2A，所以An-2An-1=O．知识模块：矩阵11．设A=，则(A+3E)-1(A2-9E)=______．正确答案：解析：(A+3E)-1(A2-9E)=(A+3E)-1(A+3E)(A-3E)=A-3E= 知识模块：矩阵12．A2-B2=(A+B)(A-B)的充分必要条件是______．正确答案：AB=BA解析：A2-B2=(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2的充分必要条件是AB=BA．知识模块：矩阵13．设A是三阶矩阵，且｜A｜=4，则=______.正确答案：2解析：=｜2A-1｜=23｜A-1｜=2．知识模块：矩阵14．设A为三阶矩阵，且｜A｜=4，则=______.正确答案：解析：由A*=｜A｜A-1=4A-1得=｜(2A-1)｜-1= 知识模块：矩阵15．设A为四阶矩阵，｜A*｜=8，则=______.正确答案：8解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜=8，所以｜A*｜=｜A｜3=8，于是｜A｜=2．又AA*=｜A｜E=2E，所以A*=2A-1，故｜(A) -1=｜4A-1-6A-1｜=｜(-2)A-1｜=(-2)4｜A-1｜=16×=8．知识模块：矩阵16．若矩阵A=，B是三阶非零矩阵，满足AB=O，则t=______．正确答案：1解析：由AB=O得r(A)+r(B)≤3，因为r(B)≥1，所以r(A)≤2，又因为矩阵A有两行不成比例，所以r(A)≥2，于是r(A)=2．由得t=1．知识模块：矩阵17．设A=，则A-1=______．正确答案：解析：则A-1= 知识模块：矩阵18．设A=，则A-1=______．正确答案：解析：设A1=，A2=，于是A-1=而A-1=，A-1=，故A-1= 知识模块：矩阵19．设A=，则(A*)-1=________．正确答案：解析：｜A｜=10，因为A*=｜A｜A-1，所以A*=10A-1，故(A*)-1= 知识模块：矩阵20．设A=，则(A-2E)-1=________．正确答案：解析：则(A-2E)-1= 知识模块：矩阵21．设n阶矩阵A满足A2+A=3E，则(A-3E)-1=________．正确答案：(A+4E)解析：由A2+A=3E，得A2+A-3E=O，(A-3E)(A+4E)=-9E，(A-3E)[ (A+4E)]=E，则(A-3E)-1=(A+4E)．知识模块：矩阵22．设A==________．正确答案：解析：令A=(α1，α2，α3)，因为｜A｜=2，所以A*A=｜A｜E=2E，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以A*α1=，A*α2=，A*α3=于是知识模块：矩阵23．设n维列向量α=(a，0，…，0，a)T，其中a＜0，又A=E-ααT，B=E+αα2，且B为A的逆矩阵，则a=________．正确答案：-1解析：由AB=(E-ααT)(E+-ααT)=E+ααT-ααT-2aααT=E且ααT≠O，得-1-2a=0，解得a=-1．知识模块：矩阵24．设三阶矩阵A，B满足关系A-1BA=6A+BA，且A=，则B=________．正确答案：解析：由A-1BA=6A+BA，得A-1B=6E+B，于是(A-1-E)B=6E，B=6(A-1-E)-1= 知识模块：矩阵25．设A是4×3阶矩阵且r(A)=2，B=，则r(AB)=________．正确答案：2解析：因为｜B｜=10≠0，所以r(AB)=r(A)=2．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一-线性代数行列式、矩阵(三)

考研数学一-线性代数行列式、矩阵(三)(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：18，分数：9.00)1.f(x)，则方程f(x)=0的根的个数为（分数：0.50）A.1．B.2．√C.3．D.4．解析：2.若α1，α2，α3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式|α1，α2，α3，β1 |=m，|α1，α2，β2，α3 |=n，则4阶行列式|α3，α2，α1，β1 +β2 |等于（分数：0.50）A.m+m．B.-(m+n)．C.n-m．√D.m-n．解析：3.设A，B均为n×n矩阵，则必有∙ A.|A+B|=|A|+|B|．∙ B.AB=BA．∙ C.|AB|=|BA|．∙ D.(A+B)-1+A-1+B-1．（分数：0.50）A.B.C. √D.解析：4.设A，B为n阶矩阵，满足等式AB=0，则必有（分数：0.50）A.A=0或B=0．B.A+B=0．C.|A|=0或|B|=0．√D.|A|+|B|=0．解析：5.设n维行向量A=E-αTα,B=E+2αTα,其中E为n阶单位矩阵，则AB等于∙ A.0．∙ B.-E．∙ C.E．∙ D.E+αTα．（分数：0.50）A.B.C. √D.解析：6.设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则∙ A.(A*)*=|A|n-1A．∙ B.(A*)*=|A|n+1A．∙ C.(A*)*|A|n-2A．∙ D.(A*)*=|A|n+2A．（分数：0.50）A.B.C. √D.解析：7.设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是A的伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*等于∙ A.kA*．∙ B.k n-1A*．∙ C.k n A．∙ D.k-1A*．（分数：0.50）A.B. √C.D.解析：8.设A，B为n阶矩阵，A*，B*分别是A，B对应的伴随矩阵，分块矩阵，则C的伴随矩阵C*等于A．．B．．C．．D．．（分数：0.50）A.B.C.D. √解析：9.设A，B，A+B，A -1 +B -1均为n阶可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1等于∙ A.A-1+B-1．∙ B.A+B．∙ C.A(A+B)B-1．∙ D.(A+B)-1．（分数：0.50）A.B.C. √D.解析：10.设，，，A可逆，则B -1等于∙ A.-1 P1P2．∙ B.P1A-1P2．∙ C.P1P2A-1．∙ D.P2A-1P1．（分数：0.50）A.B.C. √D.解析：11.设n阶矩阵A与B等价，则必有（分数：0.50）A.当|A|=α(α≠0)时，|B|=α．B.当|A|=α(α≠0)时，|B|=-α．C.当|A|≠0时，|B|=0．D.当|A|=0时，|B|=0．√解析：12.设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r 1，则（分数：0.50）A.r＞r1．B.r＜r1．C.r=r1．√D.r与r1的关系依C而定．解析：13.设A，B都是n阶非零矩阵，且AB=0，则A和B的秩（分数：0.50）A.必有一个等于0．B.都小于n．√C.一个小于n，一个等于n．D.都等于n．解析：14.设矩阵A m×n的秩r(A)=m＜n，E m为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是（分数：0.50）A.A的任意m个列向量必线性无关．B.A的任意一个m阶子式不等于零．C.若矩阵B满足BA=0，则B=0．√D.A通过初等行变换，必可以化为(Em，0)形式．解析：15.设矩阵A m×n的秩r(A)=m＜n，E m为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是（分数：0.50）A.A的任意m个列向量必线性无关．B.A的任意一个m阶子式不等于零．C.A通过初等行变换，必可以化为(Em，0)形式．D.非齐次线性方程组Ax=b一定有无穷多组解．√解析：16.设n(n≥3)阶矩阵，若矩阵A的秩为n-1，则α必为A．1．B．．C．-1．D．．（分数：0.50）A.B. √C.D.解析：17.设3A的伴随矩阵的秩为1，则必有（分数：0.50）A.α=b或α+2b=0．B.α=b或α+2b≠0．C.α≠b且α+2b=0．√D.α≠b且α+2b≠0．解析：18.．已知矩阵A相似于B，则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于（分数：0.50）A.2．B.3．C.4．√D.5．解析：二、填空题(总题数：26，分数：52.00)。

考研数学二(行列式、矩阵、向量)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学二（行列式、矩阵、向量）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．记行列式为f(x)，则方程f(x)＝0的根的个数为A．1．B．2C．3D．4正确答案：B解析：[分析] 本题实质上是考查四阶行列式的计算问题，可利用行列式的性质进行计算，得到f(x)后，即可确定其根的个数．[详解] 因为由此可知f(x)＝0的根的个数为2，故应选(B)．[评注] 由于数学二只要求考查线性代数初步，相对内容较少，行列式的计算问题基本上每年出一题，因此利用行列式的定义、性质和按行或列展开定理进行计算应熟练掌握．知识模块：行列式2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0．B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜＝0．C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0．D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜＝0．正确答案：B解析：[分析] 四个选项在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，最终只要判断AB是否满秩即可．[详解] 因为AB为m 阶方阵，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n)，当m＞n时，由上式可知，r(AB)≤n＜m，即AB不是满秩的，故有行列式｜AB｜＝0．故应选(B)．[评注] 本题不知矩阵AB的具体元素，因此直接应用行列式的有关计算方法进行求解是困难的．对于此类抽象矩阵行列式的计算往往可考虑转换为利用：1．矩阵的秩(判断行列式是否为零)；2．行(列)向量组的线性相关性；3．方程组解的判定；4．特征值和相似矩阵的性质等进行计算．知识模块：行列式3．设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ—c的可逆矩阵Q为A．B．C．D．正确答案：D解析：[分析] 本题考查初等矩阵的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为这两个初等矩阵的乘积．[详解] 由题设，有，于是，故应选(D)．知识模块：矩阵4．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则A．交换A*的第1列与第2列得B*．B．交换A*的第1行与第2行得B*．C．交换A*的第1列与第2列得－B*．D．交换A*的第1行与第2行得－B*．正确答案：C解析：[分析] 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可．[详解] 由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得E12A＝B，于是B*＝(E12A)*＝A*E12*＝A*｜E12｜.E12－1＝－A*E12，即A*E12＝－B*，故应选(C)．[评注] 注意伴随矩阵的运算性质：AA*＝A*A＝＝｜A｜E，当A可逆时，A*＝｜A｜A－1，(AB)*＝B*A*．知识模块：矩阵5．设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P＝，则A．C＝P－1AP．B．C＝PAP－1．C．C＝PTAP．D．C＝PAPT．正确答案：B解析：由题设可得，而，则有C＝PAP－1．故应选(B)．知识模块：矩阵6．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP＝．若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则QTAQ为A．B．C．D．正确答案：A解析：因为Q＝P．于是．即(A)正确．知识模块：矩阵7．设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记，则A＝A．P1P2．B．P1－1P2．C．2P1．D．2P1－1．正确答案：D解析：由已知条件有P2AP1E得A＝P2－1EP1－1＝P2P1－1．故应选(D)．知识模块：矩阵8．设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P－1AP＝若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝A．B．C．D．正确答案：B解析：由已知条件有Q＝P，因此故应选(B)．知识模块：矩阵9．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*等于A．kA*．B．kn－1A*．C．knA*．D．k－1A*．正确答案：B解析：[分析] 利用伴随矩阵的定义讨论即可．若加强条件，则可令A可逆．[详解1] 采用加强条件的技巧，设A可逆，则由AA*＝A*A＝｜A｜E，知A*＝｜A｜A－1，于是(kA)*＝｜kA｜(kA)－1＝kn｜＝kn－1｜A｜A－1＝kn－1A*．故应选(B)．题设k≠0，±1，n≥3，主要是为了做到四个选项只有一个是正确的．[详解2] 由A*的定义，设A＝(aij)n ×n，其元素aij的代数余子式记作Aij，则矩阵kA＝(kaij)n×n，若其元素的代数余子式记作△ij(i，j＝1，2，…，n)，由行列式性质有△ij＝kn－1Aij(i，j＝1，2，…，n)．从而(kA)*＝kn－1A*．[评注] 涉及与A*有关的题目，一般利用A*的定义和公式AA*＝｜A｜E．知识模块：矩阵10．设A，B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜＝2，｜B｜＝3，则分块矩阵的伴随矩阵为A．B．C．D．正确答案：B解析：利用伴随矩阵的公式，有。

（完整版）第一章行列式与矩阵的计算的练习（含答案）

（完整版）第一章行列式与矩阵的计算的练习（含答案）行列式及矩阵的计算（课堂练习）一、填空1．已知三阶方阵A 的行列式为3，则2A -= -242. 设12,01A -??= 1()32x g x x -=-+，则()g A =0800-??3．设,,αβγ为3维列向量，记矩阵(,,),(,,)A B αβγαββγγα==+++，若3,A B =则=,,,,6αβγβγα+=4.行列式11111111---x 的展开式中,x 的系数是 2 . 5．设???? ??=1201A 则=kA 1021k ??。

（k 为正整数）. 6．设321,,ααα,21,ββ都是四维列向量，且四阶行列式1123,,,m αααβ=，1232,,,n αααβ=,则12312,,,2αααββ-=16m n +解：11231232,,,2,,,Dαααβαααβ=+-14412312322,,,(1),,,16m n αααβαααβ=+-=+7. 已知四阶行列式D 中第三列元素分别为1，3，-2，2，它们对应的余子式分别为3，-2，1，1，则行列式D =－3 .解：D ＝1×3＋3×（－2）＋（－2）×1＋2×1＝－3二、判断题1．设A 、B 均为n 阶方阵，则A B A B =.（× ）2．设A 、B 均为n 阶方阵，则AB A B =. （√ ）三、行列式计算（1）4333343333433334ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=n D 解：nD n c c c c c c +++13121M 43313343133341333313ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ++++n n n n 11312r r r r r r n ---M 10100001033313ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ+n =13+n （2）11111231149118271D --=--解：（范得蒙行列式）＝（－1－3）（－1＋2）（－1－1）（3＋2）（3－1）（－2－1）＝－240五、a 为何值时，线性方程组：-=++=++=++aax x x x ax x x x x a 322321321321有唯一解？解：2)1)(2(111111det -+==a a aa a A ，2-≠a 且1≠a 时，有唯一解.。

试题：行列式：定义与性质

1.给定一个3×3的矩阵A=(231456789)，下列关于其行列式的值描述正确的是？• A. det(A)=0• B. det(A)=1• C. det(A)=−1• D. det(A)=2答案: A解析: det(A)=2(5∗9−6∗8)−3(4∗9−6∗7)+1(4∗8−5∗7)= 2(45−48)−3(36−42)+(32−35)=−6+18−3=0.2.下列叙述中，哪一条对于一个n×n矩阵B成立，当且仅当det(B)≠0？• A. 矩阵B的行列式可以分解为更小的行列式。

• B. 矩阵B存在逆矩阵。

• C. 矩阵B的行向量线性相关。

• D. 矩阵B的列向量形成一组线性无关的基。

答案: B解析: 当行列式det(B)≠0时，矩阵B是满秩的，从而可以找到其逆矩阵。

3.如果矩阵C的每一行都乘以常数k，得到矩阵D，则矩阵D的行列式det(D)与C的行列式det(C)之间的关系是？• A. det(D)=k n det(C)，其中n是矩阵的阶数。

• B. det(D)=kdet(C)。

• C. det(D)=det(C)。

• D. det(D)=1kdet(C)。

答案: A解析: 每一行乘以k相当于整个行列式乘以k n，其中n是矩阵的阶数。

4.如果矩阵E的两个行互换，得到矩阵F，则下列关于det(F)与det(E)关系的描述正确的是？• A. det(F)=det(E)。

• B. det(F)=−det(E)。

• C. det(F)=2det(E)。

• D. det(F)=0。

答案: B解析: 行列式的值会因行（或列）的互换而变号。

5.如果矩阵G的一行（或一列）的元素都是另一个矩阵H中的行（或列）的两倍，det(G)与det(H)之间的关系是？• A. det(G)=2det(H)。

• B. det(G)=2n det(H)，其中n是矩阵的阶数。

• C. det(G)=det(H)。

行列式与矩阵求逆练习

第二章行列式与矩阵求逆练习班级：姓名：学号：一、计算下列行列式：1．600300301395200199204100103=200003152141310003001520014100321232=--=--=--c c c c 解：原式2．12499102201112-=3124121112124112112100124121112124110021001200112-==-+=+-++=解：原式二、确定下列排列的逆序数，并指出是偶排列还是奇排列？ 1． 53214解：逆序数t=7，为奇排列。

2． 18273645解：逆序数t=12，为偶排列。

三、在6阶行列式中,256651144332651456423321a a a a a a a a a a a a ,这两项应带有什么符号？解：，带正号。

，逆序数为，带负号；逆序数为85,665143322514256651144332655642332114651456423321a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==四、利用行列式的定义证明：566000000000000002000230023402345x x x x x x =--.1054321666116651423324155665142332415654321654321===-==-===-=-=∑t t a x a x a x a x a x a x a a a a a a a a a a a a tj j j j j j t的逆序数，为排列，，，，，其中）（）（解：由定义，左式五、利用行列式的性质计算下列各行列式：1．2164729541732152----- 9012311621100123011602121523132121413-=---=---=++--）（解：原式列展开按第r r r r r r2．0532004140013202527102135----53214506601053241413210532041401320213512323121525-=----=-----=+++r r r r 列展开按第列展开按第）（解：原式108014511620-=⨯-=3．111111111111-----+---x x x x x x x42221000111111111111111111111011101111111111111111131221x xx x x xx x x x x x x x xx x xx x x x r r r r c c =---=----=---+---=-----+---=-----+---=--+列展开按第解：原式六、计算下列n 阶行列式：1．ab b a a b a b a 0000000000000000nn n n n n n ba b b aa ba ab a b b ab a a b a a11111111000000000010000000000+-+-+-+=-+=-+=）（）（）（解：原式列展开按第2．abab b a b aD n=2nn n n nn n n nb a D b a MA D D A M ab b a M n b a D b a D b D a a bba b b a babb aa b a b b a b a a）（）（由拉普拉斯定理的代数余子式，行的非零二阶子式行、第解：选第）（）（）（解：原式）（）（按行（列）展开列展开按第2212222122222222222222112100100-==-====-==-=-=-+=-----+七、证明12112000002100012100012+=------=n D n2121112210210121000112--+--=-------=n n n nD D D D ）（解：列展开按第11112232112112112211+=⨯-+==-=-===--=-=-----n n D D D D D D D D D D D D n n n n n n n ）（，则，八、问μλ、取何值时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0200321321321x x x x x x x x x 有非零解？零解。

线代矩阵行列式优秀习题

1

0
2
0 1 0 0
1 2 . 2
1

0
0 1
2
0
3 2 A A A 0 0
0 0
3
2
2
2
0
3 2 3 3
1 2 0 2 0
矩阵行列式习题课
一、主要概念：
1．矩阵的定义
2．特殊的矩阵（对角阵；上、下三角阵；对称阵与反对称阵；矩阵多项式） 3．逆矩阵、伴随矩阵的定义 4．分块矩阵的定义 5．矩阵的初等变换、初等矩阵 6．矩阵等价的定义、等价标准形
7．矩阵秩的定义
二、主要性质
1．矩阵的运算性质（特别注意：矩阵乘法不满足交换律；消去律） 2．逆矩阵的性质 3．矩阵秩的性质。
1 3 4 2 1 3 0 2 1 0 0 2
解： A( I C 1 B )T C T A[C ( I C 1 B )]T
A(C B ) A(C B ) I
T
T T
所以有
A (C T B T ) 1 1 2 3 4 0 0 0 1 0 0 2 1 0 3 2 1
例9
设n阶方阵
a 1 A 1 1 1 1 1 a 1 1 1 a 1 1 1 a
求r(A)
解：由于n阶矩阵A的行列式 A (a 1) n1 (a n 1) 所以（1）当a 1且a 1 n时， 0， A
线性方程组的解的定理 1、非齐次线性方程组定理1 设非齐次线性方程组为AX=b
其中A为m n矩阵，B A b 为m ( n 1) 矩阵, 称为增广矩阵则，

矩阵与行列式练习题

ab是对称矩阵的充要条件是baab对称矩阵b是反对称矩阵证明
矩阵与行列式练习题
§1
1 0 1 1 0 1．设 A 1 1 ， B 1 0 1 ， 0 2
（1）计算 AB ， BA 。问 AB BA 是否成立？（2）计算 ( AB)T ， AT B T 。问 ( AB) T AT B T 是否成立？
迹。证明：（1）对于任何 n 阶方阵 A ， B ，成立 tr ( AB) tr ( BA) ；（2）不存在 n 阶方阵 A ， B ，满足 AB BA kI n （ k 0 ）。 15．证明：若 n 阶方阵 A 与 B 相乘可交换，则 A 的多项式 f ( A) 与 B 的多项式 g ( B ) 相乘也可交换。 16．设 n 阶方阵 A ， B 满足 A2 A ， B 2 B ，且 ( A B) 2 A B ，证明： AB O 。
§2
1．计算下列行列式：
行列式
1 2 0 1 （1） 1 0 0 1
1 2 1 3
4 1 ； 3 1
1 1 1 2 x2 （2） 2 3 2 3
2 3 2 3 ； 1 5 1 9 x2
0 a （3） b a
a 0 a b
b a 0 a
a b ； a 0
1 a a 0 0 0 1 1 a a 0 0 （4） 0 1 1 a a 0 。 0 0 1 1 a a 0 0 0 1 1 a
18．证明： n 阶行列式
1 1 1 1 1 1 C2 C3 2 1 C32 C4 n 1 n 1 1 Cn Cn 1
1 1 19．设 D 0 2
0 1 0 2 3 1 ，求 A41 A42 A43 A44 。 1 1 3 1 1 0