2021高考数学(文科)公式大全
高考必读：数学等差和等比数列通项公式
=na+n(n-1)r/2
同样，可用归纳法证明求和公式。〔略〕
2，a(1)=a,a(n)为公比为r〔r不等于0〕的等比数列。
2-1，通项公式，
a(n)=a(n-1)r=a(n-2)r^2=...=a[n-(n-1)]r^(n-1)=a(1)r^(n-1)=ar^(n-1).
假设n=k时，等差数列的通项公式成立。a(k)=a+(k-1)r
那么，n=k+1时，a(k+1)=a(k)+r=a+(k-1)r+r=a+[(k+1)-1]r.
通项公式也成立。
因此，由归纳法知，等差数列的通项公式是正确的。
1-2，求和公式，
S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)
=a+(a+r)+...+[a+(n-1)r]
可用归纳法证明等比数列的通项公式。〔略〕
2-2，求和公式，
S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)
=a+ar+...+ar^(n-1)
=a[1+r+...+r^(n-1)]
r不等于1时，
S(n)=a[1-r^n]/[1-r]
r=1时，
唐宋或更早之前，针对“经学〞“律学〞“算学〞和“书学〞各科目，其相应传授者称为“博士〞，这与当今“博士〞含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事〞或讲解“经籍〞者，又称“讲师〞。“教授〞和“助教〞均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学〞“律学〞“医学〞“武学〞等科目的讲授者；而后者那么于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教〞在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十清楚晰。唐代国子学、太学等所设之“助教〞一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监〔国子学〕一科的“助教〞，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士〞“讲师〞，还是“教授〞“助教〞，其今日老师应具有的根本概念都具有了。
高考数学必备公式：向量公式
4.向量a=｛x1,x2｝向量b=｛x2,y2｝
向量a43;y1y2
Cosα=向量a*向量b/|向量a|*|向量b|
(x1x2+y1y2)
根号(x1平方+y1平方)*根号（x2平方+y2平方）
5.空间向量：同上推论
（提示：向量a=｛x,y,z｝）
6.充要条件：
如果向量a⊥向量b
那么向量a*向量b=0
如果向量a//向量b
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。那么向量a*向量b=±|向量a|*|向量b|
高中文科数学公式大全(精华版)
高中数学公式及知识点速记1、函数的单调性(1)设1212[,],x x a b x x ∈<、且那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数； 若()=0f x '，则)(x f 有极值。
2、函数的奇偶性若)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称。
若)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数；奇函数的图象关于原点对称。
3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.4、几种常见函数的导数①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=； ⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=； ⑧xx 1)(ln '= 5、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()u u v uv v v-=. 6、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=得0x ．当()00f x '=时：① 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ② 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 7、分数指数幂(1)mna =.(2)1m nm naa-==.8、根式的性质 （1）n a =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.9、有理指数幂的运算性质 (1)rs r s aa a +⋅=；(2)()r srsa a =；(3)()r r rab a b =. 10、对数公式（1）指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =⇔=。
高考数学知识点总结及公式大全
高考数学知识点总结及公式大全《高考数学知识点总结及公式大全》一、函数与方程1. 一次函数- 方程：y = ax + b- 直线的斜率公式：a = Δy / Δx- 直线的截距公式：b = y - ax2. 二次函数- 方程：y = ax^2 + bx + c- 抛物线的顶点坐标公式：(h, k) = (-b / (2a), c - b^2 / (4a))3. 三角函数- 正弦函数：y = sin(x)- 余弦函数：y = cos(x)- 正切函数：y = tan(x)- 三角函数间的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 14. 指数函数与对数函数- 指数函数：y = a^x- 对数函数：y = loga(x)- 对数运算法则：loga(m * n) = loga(m) + loga(n)5. 不等式- 线性不等式：ax + b > 0- 二次不等式：ax^2 + bx + c > 0二、解析几何1. 直线与曲线- 一次函数的图像是一条直线- 二次函数的图像是一个抛物线2. 二维坐标系- 直角坐标系：以x轴和y轴为基准构建的坐标系- 极坐标系：以原点O和角度θ为基准构建的坐标系3. 几何图形- 圆：由所有与一个点的距离相等的点所组成的图形- 圆柱体：由一个圆沿着一条平行于其平面的直线旋转一周形成的立体图形三、概率与统计1. 概率- 事件的概率：P(A) = n(A) / n(S)- 互斥事件：P(A ∩ B) = 0- 独立事件：P(A ∩ B) = P(A)P(B)2. 统计- 平均数：A = (x1 + x2 + ... + xn) / n- 方差：Var(X) = (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) / n - (A)^2- 标准差：σ = √[ (x1 - A)^2 + (x2 - A)^2 + ... + (xn - A)^2 / n ]四、解题技巧1. 代入法：将未知数用已知条件中的数进行代入，并求解方程。
2021高考数学公式大全
高考数学公式大全公式一：一元二次方程（20ax bx c ++=）公式二：充分必要条件1、原理（1）前⇒后，充分条件；前≠>后，不充分条件（2）前⇐后，必要条件；前<≠后，不必要条件2、类型（1）小范围推大范围（2）举例子公式四：一元二次、分式、绝对值不等式1、一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：（1）一化：化二次项前的系数为正数.（2）二求：求对应方程的根（方法：十字相乘法、提供因式法、开平方法、公式法）（5）三解：小于取中间，大于取两边.2、分式不等式0000()(),()()f x f x a ag x g x >≥解题步骤：（1）把不等式化为分式不等式的标准形式，即()()0,0()()f x f xg x g x >≥()(2)0()()0()f x f xg x g x −−−−→>>←−−−−正正得正负负得负，()0()()0()f x f xg x g x −−−−→<<←−−−−正负得负负正得负（3）()0()()0g ()0()f x f xg x x g x −−−−−→≥≥≠←−−−−−分母不能为零且()0()()0g ()0()f x f xg x x g x −−−−−→≤≤≠←−−−−−分母不能为零且3、绝对值不等式()()f x a f x a <>或（其中a >0）解题步骤：（1）在数轴上a a -描出和的点，原则上小于号取中间，大于号两边（2）()()()()()a a a a f x a a f x a f x a f x a f x a -−−−−−→<-<<←−−−−−−−−−−→><->←−−−−−取和的中间取-和两边或公式五：函数的定义域公式六：函数的单调性1、单调性的性质：设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ，2x （1）增函数：当21x x <时，都有)()(21x f x f <（2）减函数：当21x x <时，都有)()(21x f x f >2、一次、反比例、二次、指、对数函数的单调性（1）一次函数当0k >，y kx b =+在R 是增函数，当0k <，y kx b =+在R 是减函数；（2）反比例函数当0k >，ky x =在(,0),(0,)-∞+∞是减函数，当0k <，ky x=在(,0),(0,)-∞+∞是增函数；（3）二次函数当0a >，2y ax bx c =++在(,]2b a -∞-是减函数，在[,)2ba -+∞是增函数，当0a <，2y ax bx c =++在(,]2b a -∞-是增函数，在[,)2ba-+∞是减函数；（4）指数函数当01a <<,x y a =在R 上是减函数，当1a >，x y a =在R 上是增函数。
高考文科数学必背公式文科数学必备公式总结
高考文科数学必背公式文科数学必备公式总结有很多的文科同学数学成绩是非常的不好的，其实要想学好数学最主要就是把公式记住，小编整理了高考文科数学必背公式仅供参考！函数、导数1、函数的单调性(1)设x1、x2[a,b],x1x2那幺f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数;f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数;若f(x)0，则f(x)为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x，都有f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数;对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
解三角形公式：正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2RR为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc*cosAsin(A+B)=sinCsin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB+sinBcosAsin2A=2sinAcosAcos2A=2(cosA)2-1=(cosA)2-(sinA)2=1-2(sinA)2tan2A=2tanA/[1-(tanA)2](sinA)2+(cosA)2=1常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2- α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα怎幺才能让数学成绩快速提高?1.审题与解题的关系对审题重视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。
文科高考数学必背公式
文科高考数学必背公式在文科高考中，数学是一个重要的科目。
虽然数学不是文科生的强项，但是通过对一些必背公式的掌握，可以在考试中取得更好的成绩。
以下是文科高考数学必背公式。
1. 一次函数的表达式：y = kx + b。
其中，k为斜率，b为截距。
2. 二次函数的标准形式：y = ax² + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a≠0。
3. 二次函数的顶点坐标：顶点的横坐标为x = -b/2a，纵坐标为y = -Δ/4a。
其中，Δ为判别式，Δ = b² - 4ac。
4.一元二次方程的解：解为x=(-b±√Δ)/2a。
5.二次函数的对称轴方程：x=-b/2a。
6. 三角函数的定义：sinθ = 对边/斜边，cosθ = 邻边/斜边，tanθ = 对边/邻边。
7. 三角函数的正负关系：sinθ、tanθ在0~π范围内非负，cosθ在π/2时为0，在0~π/2范围内非负，在π/2~π范围内非正。
8. 三角函数的周期性：sin(θ ± 2πn) = sinθ，cos(θ ± 2πn) = cosθ，tan(θ ± πn) = tanθ。
其中，n为整数。
9. 三角函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB，cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB。
10. 三角函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ，cos2θ =cos²θ - sin²θ，tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan²θ)。
11.平面几何中的相似三角形：对应角相等，对应边成比例。
12.平行线的性质：同位角互等、内错角互补、同旁内角互补。
13. 同余式的性质：如果a≡b (mod m)，则a±c≡b±c (mo d m)，ac≡bc (mod m)。
高考数学知识点总结及公式大全(实用)
高考数学知识点总结及公式大全（实用）高考数学必备公式1、函数的单调性(1)设x1、x2[a,b],x1x2那么f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数;f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数;若f(x)0，则f(x)为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x，都有f(-x)=f(x)，则f(x)是偶函数; 对于定义域内任意的x，都有f(x)f(x)，则f(x)是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。
3、判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4acgt;0 注：方程有两个不等的实根b2-4aclt;0 注：方程没有实根，有共轭复数根4、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)5、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a6、抛物线1、抛物线：y=ax__+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。
agt;0时，抛物线开口向上;alt;0时抛物线开口向下;c=0时抛物线经过原点;b=0时抛物线对称轴为y轴。
2、顶点式y=a(x+h)__+k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k，-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值。
2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习第六章 第3讲 等比数列及其前n项和
第3讲 等比数列及其前n 项和一、知识梳理1．等比数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)． ②符号语言：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)． 常用结论1．等比数列的单调性当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 2．等比数列与指数函数的关系当q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n，可以看成函数y ＝cq x ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上．3．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝A ＋B ·C n ⇔A ＋B ＝0，公比q ＝C (A ，B ，C 均不为零) 二、习题改编1．(必修5P53练习T3改编)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选 D.设等比数列的公比为q ，则a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，a 9＝a 1q 8，满足(a 1q 5)2＝a 1q 2·a 1q 8，即a 26＝a 3·a 9.2．(必修5P53习题T1改编)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝54，a 2＋a 4＝52，则q ＝ ． 答案：23．(必修5P54A 组T8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 ．解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案：27，81一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( )(4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (5)等比数列中不存在数值为0的项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区(1)运用等比数列的前n 项和公式时，忽略q ＝1的情况； (2)“G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件； (3)对等比数列项的符号不能作出正确判断．1．已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析：选C.当q ＝1时，a n＝7，S 3＝21，符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，得q ＝－12.综上，q 的值是1或－12，故选C.2．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5＝ ．解析：因数列{a n }为等比数列，则a 25＝a 3a 7＝16，又a 3＞0，所以a 5＝4. 答案：43．在等比数列{a n }中，a 2＝4，a 10＝16，则a 2和a 10的等比中项为 ． 解析：设a 2与a 10的等比中项为G ，因为a 2＝4，a 10＝16，所以G 2＝4×16＝64，所以G ＝±8.答案：±8等比数列的基本运算(师生共研)(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝ ．(2)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16.则a n ＝ ．【解析】 (1)通解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1及S 3＝34，易知q ≠1.把a 1＝1代入S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝34，得1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以S 4＝a 1（1－q 4）1－q＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1241－⎝⎛⎭⎫－12＝58. 优解一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝34，a 1＝1，所以1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以a 4＝a 1·q 3＝⎝⎛⎭⎫－123＝－18，所以S 4＝S 3＋a 4＝34＋⎝⎛⎭⎫－18＝58. 优解二：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意易知q ≠1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝A (1－q n )(其中A 为常数)，则a 1＝S 1＝A (1－q )＝1 ①，S 3＝A (1－q 3)＝34 ②，由①②可得A ＝23，q ＝－12.所以S 4＝23×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－124＝58.(2)设{a n }的公比为q ，由题设得 2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0. 解得q ＝－2(舍去)或q ＝4.因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1. 【答案】 (1)58(2)22n －1解决等比数列有关问题的常见数学思想(1)方程思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n 或a 11－q当成整体进行求解．1．(一题多解)(2020·福州市质量检测)等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．32B ．31C ．64D ．63解析：选B.通解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 2＝4，a 1q ·a 1q 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S 5＝31，故选B.优解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由a 2a 6＝a 24＝64，a 3＝4，得q ＝2，a 1＝1，所以S 5＝31，故选B.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝3a 3＋4a 1，得a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，得q 4－3q 2－4＝0，令q 2＝t ，则t 2－3t －4＝0，解得t ＝4或t ＝－1(舍去)，所以q 2＝4，即q ＝2或q ＝－2(舍去)．又S 4＝a 1（1－q 4）1－q＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.故选C.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则( ) A ．数列{a n }的公比为2 B ．数列{a n }的公比为8 C.S 6S 3＝8 D ．S 6S 3＝4解析：选A.因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，所以a 6a 3＝q 3＝8，解得q ＝2，所以S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝9.等比数列的判定与证明(典例迁移)(1)已知数列{a n }是等比数列，则下列命题不正确的是( ) A ．数列{|a n |}是等比数列B ．数列{a n a n ＋1}是等比数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列D ．数列{lg a 2n}是等比数列 (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．【解】 (1)选D.因为数列{a n }是等比数列，所以a n ＋1a n ＝q .对于A ，|a n ＋1||a n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1a n ＝|q |，所以数列{|a n |}是等比数列，A 正确；对于B ，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2，所以数列{a n a n ＋1}是等比数列，B 正确；对于C ，1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝1q ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，C 正确；对于D ，lg a 2n ＋1lg a 2n ＝2lg a n ＋12lg a n ＝lg a n ＋1lg a n，不一定是常数，所以D 错误． (2)证明：因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．【迁移探究1】 (变问法)若本例(2)中的条件不变，试求{a n }的通项公式． 解：由(2)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， 所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．所以a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，所以a n ＝(3n －1)·2n －2.【迁移探究2】 (变条件)在本例(2)中，若c n ＝a n3n －1，证明：数列{c n }为等比数列．证明：由[迁移探究1]知，a n ＝(3n －1)·2n －2，所以c n ＝2n －2. 所以c n ＋1c n ＝2n －12n －2＝2，又c 1＝a 13×1－1＝12，所以数列{c n }是首项为12，公比为2的等比数列．等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均为不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．1．(一题多解)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13B.13 C ．－12D ．12解析：选A.法一：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13.法二：因为等比数列的前n 项和S n ＝k ×q n －k ，则12a ＝－16，a ＝－13.2．(2019·高考全国卷Ⅱ节选)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列．证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列．等比数列的性质及应用(多维探究) 角度一 等比数列项的性质的应用(1)(2020·洛阳市第一次联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2(2)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝ ．【解析】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3＜0，a 15＜0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－ 2.(2)由题意知a 1a 5＝a 23＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2.所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25.所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.【答案】 (1)B (2)5角度二 等比数列前n 项和的性质的应用(1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝ ．(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝ ．【解析】 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 6S 3＝12，所以{a n }的公比q ≠1.由a 1（1－q 6）1－q÷a 1（1－q 3）1－q ＝12，得q 3＝－12，所以S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 【答案】 (1)2 (2)34等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[提醒] 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形．此外，解题时注意“设而不求”的运用．1．已知等比数列{a n }中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．－9解析：选A.a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2，因为a 4＋a 8＝－2，所以a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝4.2．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选 C.因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9，a 10a 11a 12，…也成等比数列．不妨令b 1＝a 1a 2a 3，b 2＝a 4a 5a 6，则公比q ＝b 2b 1＝124＝3.所以b m ＝4×3m －1.令b m ＝324，即4×3m －1＝324，解得m ＝5， 所以b 5＝324，即a 13a 14a 15＝324. 所以n ＝14.3．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝ ．解析：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9， 所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝⎛⎭⎫－98＝－53. 答案：－53思想方法系列11 分类讨论思想求解数列问题(2020·武汉市调研测试)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝1，a 3－4a 1＝0.(1)求S n ；(2)令b n ＝a n －15，求T ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b 10|的值．【解】 (1){a n }是正项等比数列，由a 3－4a 1＝0，所以a 1q 2－4a 1＝0 所以q ＝2，则a n 的前n 项和S n ＝1－2n1－2＝2n －1.(2)由(1)知a n ＝2n －1，当n ≥5时，b n ＝2n －1－15＞0，n ≤4时，b n ＝2n －1－15＜0， 所以T ＝－(b 1＋b 2＋b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6＋…＋b 10)＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4－15×4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 10－15×6)＝－S 4＋S 10－S 4＋60－90 ＝S 10－2S 4－30＝(210－1)－2×(24－1)－30 ＝210－25－29 ＝1 024－32－29 ＝963.分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． (3)项数的奇、偶数讨论．(4)等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．1．(2020·福建厦门模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A.法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＋λ. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2.因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝2，即44＋λ＝2，解得λ＝－2.故选A. 法二：依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，a 3＝S 3－S 2＝8，因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1·a 3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.2．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪[1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：选D.设等比数列{a n }的公比为q ， 则S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q . 当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3，当且仅当q ＝1时，等号成立； 当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎫－q －1q ≤1－2 （－q ）·⎝⎛⎭⎫－1q ＝－1，当且仅当q ＝－1时，等号成立．所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[基础题组练]1．(2020·广东六校第一次联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( )A ．16B ．15C ．8D ．7解析：选B.设公比为q ，由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，又a 1≠0，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2，所以S 4＝1×（1－24）1－2＝15，故选B.2．(2020·辽宁五校联考)各项为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，所以log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3．(2020·辽宁部分重点高中联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －1，则{a n }的通项公式a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n ＋1解析：选B.当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1， 因此a n ＝2n －1，故选B.4．(2020·长春市质量监测(一))已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若公比q ＝2，则a 1＋a 3＋a 5S 6＝( ) A.13 B.17 C.23D ．37解析：选A.法一：由题意知a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋22＋24)＝21a 1，而S 6＝a 1（1－26）1－2＝63a 1，所以a 1＋a 3＋a 5S 6＝21a 163a 1＝13，故选A.法二：由题意知S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5＋(a 2＋a 4＋a 6)＝a 1＋a 3＋a 5＋2(a 1＋a 3＋a 5)＝3(a 1＋a 3＋a 5)，故a 1＋a 3＋a 5S 6＝13，故选A.5．(2020·宁夏中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里解析：选C.记该人每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q ＝12的等比数列，由S 6＝378，得S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 6＝192×125＝6，故选C.6．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝ ．解析：通解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝13×（1－35）1－3＝1213.优解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以a 2a 6＝a 6，所以a 2＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝13×（1－35）1－3＝1213.答案：12137．(2020·陕西第二次质量检测)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则log 2a 15＝ ．解析：等比数列{a n }的各项都是正数，且公比为2，a 2a 12＝16，所以a 1qa 1q 11＝16，即a 21q 12＝16，所以a 1q 6＝22，所以a 15＝a 1q 14＝a 1q 6(q 2)4＝26，则log 2a 15＝log 226＝6. 答案：68．已知{a n }是递减的等比数列，且a 2＝2，a 1＋a 3＝5，则{a n }的通项公式为 ；a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)＝ ．解析：由a 2＝2，a 1＋a 3＝5，{a n }是递减的等比数列，得a 1＝4，a 3＝1，a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1是首项为8，公比为14的等比数列的前n 项和．故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8＋2＋12＋…＋8×⎝⎛⎭⎫14n －1＝8×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n1－14＝323×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n .答案：a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1323×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 9．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.10．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3的值；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由． 解：(1)由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4， 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12， 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．[综合题组练]1．(2020·河南郑州三测)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，则数列{ba n }的前10项和为( )A.12×(310－1) B.18×(910－1) C.126×(279－1) D ．126×(2710－1)解析：选D.因为a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，所以{a n }为等差数列，公差为3，{b n }为等比数列，公比为3，所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，b n ＝1×3n －1＝3n －1，所以ba n ＝33n －3＝27n －1，所以{ba n }是以1为首项，27为公比的等比数列，所以{ba n }的前10项和为1×（1－2710）1－27＝126×(2710－1)，故选D.2．(2020·陕西榆林二模)已知数列{a n }满足a 1＝2，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2(n 2＋n )，若b n ＝22a n ，则{b n }的前n 项和S n ＝ ．解析：由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2(n 2＋n )，得a n ＋1n ＋1－a n n ＝2，又a 1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公差为2的等差数列，所以a nn ＝2＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝2n 2，所以b n ＝22a n ＝4n ，所以数列{b n }是首项为4，公比为4的等比数列，所以S n ＝4－4n ＋11－4＝4n ＋1－43.答案：4n ＋1－433．(2020·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列，公比q ＜1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7.(1)求{a n }的通项公式；(2)设m ∈Z ，若S n ＜m 恒成立，求m 的最小值．解：(1)由a 2＝2，S 3＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.(舍去)所以a n ＝4·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －3.(2)由(1)可知，S n ＝a 1（1－q n）1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝8⎝⎛⎭⎫1－12n ＜8. 因为a n ＞0，所以S n 单调递增． 又S 3＝7，所以当n ≥4时，S n ∈(7，8)． 又S n ＜m 恒成立，m ∈Z ，所以m 的最小值为8.4．(2020·山西长治二模)S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q ＞0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明现由．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1（1－q 3）1－q ＝13，q ＞0，解得a 1＝1，q ＝3，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， 因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是等比数列．。
高考知识点文科数学公式
高考知识点文科数学公式：文科数学公式一、导数公式在文科数学中，导数公式是数学分析中的重要内容之一。
它是描述函数变化率的工具，用于求解各种问题。
导数的定义是函数在某一点的变化率，常用的导数公式有以下几种：1. 基本导数公式：例如常数函数导数等于0，幂函数求导公式等。
2. 三角函数导数公式：如正弦函数求导等。
3. 指数函数和对数函数导数公式。
4. 复合函数求导公式：包括链式法则。
二、概率公式概率在文科数学中有广泛应用，用于描述事件发生的可能性。
概率公式是计算概率的基本工具，应用范围包括排列组合、事件的独立性等。
1. 基本排列组合公式：如排列数公式和组合数公式。
2. 事件的加法和乘法定理：用于计算多个事件同时发生或至少一个事件发生的概率。
3. 条件概率公式：用于计算事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率。
4. 贝叶斯公式：用于根据条件概率计算与之相关的事件的概率。
三、统计公式统计学是文科数学中的重要分支，用于收集、整理、分析和解释数据的方法与工具。
统计公式有助于解决各种实际问题。
1. 中心极限定理：用于对样本均值的分布进行近似估计。
2. 方差和标准差的计算公式：描述数据分布的离散程度。
3. 正态分布的标准化公式：用于计算标准正态分布的概率。
4. 相关系数公式：衡量两个变量之间的线性关系强度。
四、微分方程公式微分方程是文科数学中的重要工具之一，用于描述自然现象中的变化规律。
微分方程公式用于求解微分方程，是理解和应用微分方程的基础。
1. 一阶线性微分方程通解公式。
2. 二阶齐次线性微分方程通解公式。
3. 变量分离法、齐次方程法、常数变易法等特解的求法。
五、矩阵公式在文科数学中，矩阵是一种常见的数学工具，用于描述线性变换和解决线性方程组。
矩阵公式包括矩阵的运算、矩阵的逆、特征值和特征向量等。
1. 矩阵的加法、减法和乘法规则。
2. 矩阵的逆和转置公式。
3. 特征值和特征向量的求解公式。
六、微积分公式微积分是文科数学的核心内容之一，涉及函数的极限、导数和积分。
高三文科数学公式大全
高三文科数学公式大全数学公式是人类长期生产劳动的经验总结,包含着历代数学家辛勤汗水和智慧,它揭示了数学知识的基本规律,是学生数学认知发展的重要载体。
学习数学,前提就是对公式和定理有着正确透彻的理解。
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欢迎参考阅读!高三文科数学公式大全如下：一、对数函数log.a(MN)=logaM+logNloga(M/N)=logaM-logaNlogaM^n=nlogaM(n=R)logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1)二、简单几何体的面积与体积S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高)S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半)设正棱台上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*hS圆柱侧=c*lS圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*lS圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*lS球=4*兀*R^3V柱体=S*hV锥体=(1/3)*S*hV球=(4/3)*兀*R^3三、两直线的位置关系及距离公式(1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1|(2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式|AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2](3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=|Ax0+By0+C|/sqr(A^2+B^2)(4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1-C2|/sqr(A^2+B^2)同角三角函数的基本关系及诱导公式sin(2*k*兀+a)=sin(a)cos(2*k*兀+a)=cosatan(2*兀+a)=tanasin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tanasin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tanasin(兀+a)=-sinasin(兀-a)=sinacos(兀+a)=-cosacos(兀-a)=-cosatan(兀+a)=tana四、二倍角公式及其变形使用1、二倍角公式sin2a=2*sina*cosacos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2]2、二倍角公式的变形(cosa)^2=(1+cos2a)/2(sina)^2=(1-cos2a)/2tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina五、正弦定理和余弦定理正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC余弦定理:a^2=b^2+c^2-2bccosAb^2=a^2+c^2-2accosBc^2=a^2+b^2-2abcosCcosA=(b^2+c^2-a^2)/2bccosB=(a^2+c^2-b^2)/2accosC=(a^2+b^2-c^2)/2abtan(兀-a)=-tanasin(兀/2+a)=cosasin(兀/2-a)=cosacos(兀/2+a)=-sinacos(兀/2-a)=sinatan(兀/2+a)=-cotatan(兀/2-a)=cota(sina)^2+(cosa)^2=1sina/cosa=tana两角和与差的余弦公式cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinbcos(a-b)=cosa*cosb-sina*sinb两角和与差的正弦公式sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinbsin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb两角和与差的正切公式tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana*tanb)。
高考数学知识点总结及公式大全
高考数学知识点总结及公式大全高三数学公式整理1.y=c(c为常数) y=02.y=x^n y=nx^(n-1)3.y=a^x y=a^xlnay=e^x y=e^x4.y=logax y=logae/xy=lnx y=1/x5.y=sinx y=cosx6.y=cosx y=-sinx7.y=tanx y=1/cos^2x8.y=cotx y=-1/sin^2x9.y=arcsinx y=1/√1-x^210.y=arccosx y=-1/√1-x^211.y=arctanx y=1/1+x^212.y=arccotx y=-1/1+x^2三角函数公式锐角三角函数公式sin α=∠α的对边 / 斜边cos α=∠α的邻边 / 斜边tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注：SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) )三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina.2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2].2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa.2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2].{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)数学圆锥公式知识点正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的`标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2px-x2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c.h斜棱柱侧面积S=c.h正棱锥侧面积S=1/2c.h正棱台侧面积S=1/2(c+c)h圆台侧面积S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi.r2圆柱侧面积S=c.h=2pi.h圆锥侧面积S=1/2.c.l=pi.r.l弧长公式l=a.ra是圆心角的弧度数r0扇形面积公式s=1/2.l.r锥体体积公式V=1/3.S.H圆锥体体积公式V=1/3.pi.r2h斜棱柱体积V=SL注：其中,S是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s.h圆柱体V=p.r2h乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b=-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1.X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac0注：方程有两个不等的实根b2-4ac0注：方程没有实根，有共轭复数根三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=[3tanα-tan^3(α)]/[1-3tan^2(α)]三倍角公式推导附推导：tan3α=sin3α/cos3α=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)上下同除以cos^3(α)，得：tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)=3sinα-4sin^3(α)cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))=4cos^3(α)-3cosα即sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosα三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元减 4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”))余弦三倍角：4元3角减 3元(减完之后还有“余”)☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
高三高中高考数学公式大全
高三高中高考数学公式大全（最全面，最详细）高中数学公式大全抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k就是y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆：体积=4/3(pi）(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式： S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*t anA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*ta nA^6-45*tanA^8+tanA^10)万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^21*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S＝ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝√[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S＝√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积”南宋秦九韶）| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形 a—边长 C＝4aS＝a2长方形 a和b－边长 C＝2(a+b)S＝ab三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
高考文科数学公式总结
高考文科数学公式总结数学作为高考文科考试中的一门重要科目，公式的掌握和运用对考生来说至关重要。
下面将对高考文科数学中常用的公式进行总结，希望能帮助考生们更好地备战高考。
一、代数部分。
1. 二项式定理。
(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... + C(n,n-1)a b^(n-1) + C(n,n)b^n。
2. 平方差公式。
(a+b)(a-b) = a^2 b^2。
3. 一元二次方程根的判别式。
Δ = b^2 4ac。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根；当Δ < 0时，方程没有实根。
二、几何部分。
1. 直线的点斜式方程。
y y₁ = k(x x₁)。
2. 三角形面积公式。
S = 1/2 × a × b × sinC。
3. 圆的面积和周长。
圆的面积 S = πr²。
圆的周长 L = 2πr。
三、概率与统计部分。
1. 排列组合公式。
排列，A(n, m) = n!/(n-m)!组合，C(n, m) = n!/(m!(n-m)!)。
2. 期望的计算。
E(X) = Σ(x×P(x))。
3. 正态分布的标准差计算。
P(a < X < b) = Φ(b) Φ(a)。
其中Φ(x)表示标准正态分布曲线下面积为x的部分。
四、导数与微积分部分。
1. 导数的基本公式。
(1) (x^n)' = nx^(n-1)。
(2) (e^x)' = e^x。
(3) (sinx)' = cosx。
(4) (cosx)' = -sinx。
2. 不定积分的基本公式。
(1) ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C。
(2) ∫e^x dx = e^x + C。
(3) ∫sinx dx = -cosx + C。
高考数学常考的重要公式大全
高考数学常考的重要公式大全高中数学常用公式大全1.y=c y=02. y=α^μ y=μα^(μ-1)3. y=a^x y=a^x lna y=e^x y=e^x4. y=loga,x y=loga,e/x y=lnx y=1/x5. y=sinx y=cosx6. y=cosx y=-sinx7. y=tanx y=(secx)^2=1/(cosx)^28. y=cotx y=-(cscx)^2=-1/(sinx)^29. y=arc sinx y=1/√(1-x^2)10.y=arc cosx y=-1/√(1-x^2)11.y=arc tanx y=1/(1+x^2)12.y=arc cotx y=-1/(1+x^2)13.y=sh x y=ch x14.y=ch x y=sh x15.y=thx y=1/(chx)^216.y=ar shx y=1/√(1+x^2)高考数学必考公式知识点1.适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2.函数的周期性问题(记忆三个)：(1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3.关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：(1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4.函数奇偶性：(1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空5.数列爆强定律：1.等差数列中：S奇=na中，例如S 13 =13a 72.等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3.等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4.等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q?mS(n)可以迅速求q6.数列的终极利器，特征根方程。
(2021年整理)文科高考数学必背公式
（完整）文科高考数学必背公式编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）文科高考数学必背公式）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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文科高考数学必背公式高中数学诱导公式全集：常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ+α）=sinα (k∈Z)cos（2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα（k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα（k∈Z）公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin（π+α)=-sinαcos（π+α）=—cosαtan(π+α）=tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（—α）=—sinαcos(—α)=cosαtan（—α)=—tanαcot(—α)=—cotα公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π—α)=sinαcos（π-α）=-cosαtan(π—α）=—tanαcot（π-α)=-cotα公式五:利用公式一和公式三可以得到2π—α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α）=—sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=—tanαcot(2π-α)=—cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin（π/2+α)=cosαcos（π/2+α)=—sinαtan（π/2+α）=—cotαcot（π/2+α)=-tanαsin（π/2-α)=cosαcos(π/2—α）=sinαtan(π/2-α)=cotαcot（π/2-α）=tanαsin（3π/2+α)=—cosαcos(3π/2+α）=sinαtan(3π/2+α）=—cotαcot(3π/2+α)=—tanαsin(3π/2—α)=—cosαcos(3π/2—α)=-sinαtan（3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意:在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
(2021年整理)高中文科数学公式汇总
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第1页（共5页）第2页（共5页）高中数学公式汇总（文科)一、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量1、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=,tan θ=θθcos sin 。
2、正弦、余弦的诱导公式 απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数,前面加 上把α看成锐角时该函数的符号;αππ±+2k 的正弦、余弦,等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。
3、和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。
4、二倍角公式 sin 2sin cos ααα=。
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan ααα=-。
公式变形: ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+= 5、三角函数的周期 函数sin()y x ωϕ=+,x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R （A,ω，ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=;函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω，ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.6 函数sin()y x ωϕ=+的 周期、最值、单调区间、图象变换7、辅助角公式 )sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中a b =ϕtan 8、正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===.9、余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-； 2222cos c a b ab C =+-。
高中文科-数学常用公式
空的真子集有2n–2 个.
6.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.
特别地, 方程ax2bxc0(a0)
有且只有一 个实根在(k1,k2)
内,等价于
f(k1)f(k2
)0,或
f(k1)0且
k12a
k1k2
2
, 或f(k2
f(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.
f(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(即x轴)对称.
(3)指数函数yax和ylogax的图象关于直线y=x对称.
19.若将函数y
f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y
f(xa)b的图象；
若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图象.
减函数
减函数
减函数
增函数
减函数
减函数
减函数
增函数
16.函数的奇偶性（注：奇．偶．函．数．大．前．提．：．定．义．域．必．须．关．于．原．点．对．称．）
⑴若f(x)是偶函数，则fx
fx
fx；偶函数的图象关于y轴对称；偶函数在
x>0和x<0上具有相反的单调区间。
⑵定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）；奇函数的图象关于原点对称；奇函数在x>0
p且q
对任何x，不成立
存在某x，成立
p且q
p或q
12.四种命题的相互关系如右图所示
互逆
13. 充要条件
（1）若pq，则说p是q的充分条件，同时q是p的必要条件
（2）充要条件：若pq，且qp，则p是q的充要条件.
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M x, y y 2x 3 中的元素可看成 是关于 x, y 的方程的解集， 也可看成以方程
y 2x 3 的解为坐标的点， M 为点的集合，是一条直线
5. 集合{a1, a2 ,, an} 的子集个数共 2n 个 真子集 2n –1 个 非空子集 2n –1 个 非 空的真子集 2n –2 个.
22.
对于 y
x，y
x2 ， y
x3 ，
y
1
x2 ， y
1
的图象，了解它们的变化情况．
x
如图
23. 几个函数方程的周期 a 0
y f x 对 x R 时， f (x) f (x a) ，则 f (x) 的周期为 a 的周期函数
f x a f x a 或 f x 2a f x a 0 恒成立，则 y f x 是周期为 2a 的周
互逆
逆命题
若q则p
互 否
逆否命题
若q则p
13. 充要条
1 若 p q ，则说 p 是 q 的充 条 ， 时 q 是 p 的 要条
2 充要条 若 p q ，且 q p ，则 p 是 q 的充要条 .
一个命题 一种形式 两种方法
另外 如果条 最终都可化为数 范围，则可转化为集合的包含关系来刻画，二者逻辑关
和 x<0
相 的单调区间
判断函数奇偶性可用定 的等 形式
f
x
f
x
0 或者
f x f x
1
f
x
0
奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对 ，偶函数的图象关于 y 轴对 问反过来， 如果一个函数的图象关于原点对 ，那 这个函数是奇函数 如果一个函数的图象关于 y 轴 对 ，那 这个函数是偶函数．
多项式函数 P(x) anxn an1xn1 a0 的奇偶性 多项式函数 P(x) 是奇函数 P(x) 的偶次项(即奇数项ｐ的系数全为零.
f (k1 ) 0
且
k1
b 2a
k1
2
k2
,或
f (k2 ) 0 且
k1
k2 2
b 2a
k2.
7. 区间 的二次函数的最值 题
二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 在 区间 p, q 的最值只能在 x b 处及区间的两
2a
端点处取得， 体如
(1ｐ ⑷>0 时，
若 x b p, q，则
1
第一章 集 合
1. 集合的基本 算
常用逻辑用语
2. .集合的包含关系闭
3. 识记重要结论 A B A A B 问 A B A A B ;
CU A B CU A CU B ; CU A B CU A CU B
4．对常用集合的元素的认识
A x x2 3x 4 0 中的元素是方程 x2 3x 4 0 的解， A 即方程的解集
若 x b p, q，则
2a
f (x)min min f ( p), f (q) ，
2
若 x b p, q，则
2a
f (x)max max f ( p), f (q) ， f (x)min min f ( p), f (q) .
8. a f x a f x max a f x a f x min
B x x2 x 6 0 中的元素是 等式 x2 x 6 0 的解， B 即 等式的解集
C y y x2 2x 1, 0 x 5 中的元素是函数 y x2 2x 1, 0 x 5 的函数值， C
即函数的值域
D x y log2 x 2 2x 1 中的元素是函数 y log2 x2 2x 1 的定 域， D 即函数
y = f(wx)图象
5
25. 数指数幂
m
(1ｐ a n n am
26． 根式的性质
a 0, m, n N ，且 n 1
m
问(2ｐ a n
1
m
an
a 0, m, n N ，且 n 1 .
1 ( n a )n a 问 2 n 为奇数时，n an a
n 为偶数时，n
an
函数
增函数
函数
是它的定 域
函数
函数
增函数
的某个子区 间
16．函数的奇偶性 注 奇．偶．函．数．大．前．提．．定．．域．．须．关．于．原．点．对．．
若 f (x) 是偶函数，则 f x f x f x 偶函数的图象关于 y 轴对
偶函数在
x>0 和 x积0
相反的单调区间
定 域含零的奇函数 过原点 可用于求参数 奇函数的图象关于原点对 奇函数在 x>0
多项式函数 P(x) 是偶函数 P(x) 的奇次项(即偶数项ｐ的系数全为零.
17. 函 数 y f (x) 的 图 象 的 对 性 函 数 y f (x) 的 图 象 关 于 直 线 x a 对
f (a x) f (a x) f (2a x) f (x) .
18. 两个函数图象的对 性
期函数
若 y f x 是偶函数， 图 又关于直线 x a 对 ，则是周期为 2 a 的周期函数
若 y f x 是奇函数， 图 又关于直线 x a 对 ，则是周期为 4 a 的周期函数
y f x 对 x R 时， f (x) f (x a) 0 ，或 f (x a) 1 ( f (x) 0),则 y f x
高 考 数 学 文科 公 式 大 全
高考数学 文科 式大全 及重要基础知识记 检查 目录
第一章 集合 常用逻辑用语…………………………………………2 第二章 函数……………………………………………………………3 第 章 倒数及 用…………………………………………………7 第四章 角函数………………………………………………………8 第五章 平 面 向 … … … …… …… …… …… …… …… ………… …… 12 第 章 数 列 … … …… … …… … … … … ……… … …… … …… … …… 13 第七章 等 式… … … …… …… … … … …… …… … …… ………… … 15 第 章 立 体 几何 … … … …… …… …… …… …… …… ………… …… 17 第九章 平 面 解析 几何 … …… …… …… …… …… … … …… …… … … 19 第十章 概 率 统 计 及 统 计 案 例 …………… ………… ……… 24 第十一 章 算 法初 步及 框图 … … … …… …… … … … … … …… … …… 25 第十二 章 推 理 明 … …… …… …… …… …… … … …… …… … … 26 第十 章 数 系的 扩充 复 数 的 引入… … …… ………… … …… … … 26 第十四 章 几 何 明选 讲 … … …… ………… … … … … …… ……… … 26 第十五 章 坐 标系 和参 数方 程 … ………… …… …… … … ………… … 27 第十 章 等式 选讲 … …… …… …… …… …… … … …… …… … … 27
f (x)
的周期 2 a t;0)或向 (b<0)移︱b︱单
y f x b 图象
向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单
y f x 图象
点的纵坐标变为原来的A倍 横坐标 变
点的横坐标变为原来的1/ω倍 纵坐标 变
y f x 图象
y = Af x 图象
(1ｐ正比例函数 f (x) kx , f (x y) f (x) f ( y), f (1) k . (2ｐ指数函数 f (x) a x , f (x y) f (x) f ( y), f (x y) f (x) f ( y), f (1) a 0 . (3ｐ对数函数 f (x) loga x ,
若将曲线 f (x, y) 0 的图象右移 a 移 b 个单 ，得到曲线 f (x a, y b) 0 的图象.
4
20． 互为反函数的两个函数的关系 指数函数 y a x 和对数函数
y loga x a 0, a 1 f (a) b f 1(b) a .
21. 几个常见抽象函数模型所对 的 体函数模型
(1ｐ函数 y f (x) 函数 y f (x) 的图象关于直线 x 0 (即 y 轴ｐ对 .
(2ｐ函数 y f (x) 函数 y f (x) 的图象关于直线 y 0 (即 x轴ｐ对 .
(3ｐ指数函数 y a x 和 y loga x的图象关于直线 y称x 对 .
19. 若将函数 y f (x) 的图象右移 a 移 b 个单 ，得到函数 y f (x a) b 的图象
9. 由 ．等．导．相．等．的．．效．方．法． 若 a b 且 a b ，则 a b .
10. 真值表
表1
非
或
且
真真 假
真
真
真假 假
真
假
假真 真
真
假
假假 真
假
假
真为真 假为假 真假相对
11. 常见结论的否定形式
原结论 是 都是 大于 小于
对所 x ，成立 对任何 x ， 成立
表2
反设词
原结论
是
至少 一个
都是
至多 一个
大于
至少 n 个
小于
至多 n 个
在某 x ， 成立 p 或 q
在某 x ，成立 p 且 q
反设词 一个也没 至少 两个
至多 n 1 个 至少 n 1 个 p 且 q
p 或 q
12. 四种命题的相互关系 如右图所示
原命题
若p则q
互 否 否命题
若p则q
互 为
为 互
互逆
否 逆
逆 否
函数 增函数 问
对于复合函数 y f [ g ( x)]的单调性， 须考虑 y f (u)