2003年高考试题数学文科-(全国卷)

10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为，
该圆柱的全面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和
D（0，1），一质点从AB的中点沿与AB夹角为的方向射到BC上的点
后，依次反射到CD、DA和AB上的点、和（入射角等于反射角）
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数学（文史类）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合要求的
1．直线对称的直线方程为
（）
A． B． C． D．
2．已知，，则
（）
A．
B．
C．
D．
3．抛物线的准线方程是的值为
（）
A．
B．
C．
D．
4．等差数列中，已知为（ ）
18．解：设z= 由题设 即 （舍去） 即|z|=
19．（I）解∵ （II）证明：由已知
= 所以 20．解（I）
所以函数的最小正周期为π，最大值为． （Ⅱ）由（Ⅰ）知
1
1
1
故函数在区 间上的图象是
21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向． 在时刻：t（h）台风中心的坐标为 此时台风侵袭的区域是，其中t+60， 若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有 即 即， 解得． 答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭
A．48
B．49
C．50
D．51
5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
6．设函数 ，若，则的取值范围是 （ ）
A．（，1）
B．（，）
C．（，）（0，）
D．（，）（1，）
7．已知（ ）
A．
B．
C．
D．
8．函数（ ）
A．0
B．
C．
D．
9．已知（ ）
A．
B．
C．
D．
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题（文）参考解答及评分标准
说明： 一． 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种
或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部 分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分， 但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严 重的错误，就不再给分．
19．（本小题满分12分） 已知数列满足
（Ⅰ）求； （Ⅱ）证明
20．（本小题满分12分） y O O O x
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值； （Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数在区间上的图象
21．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市 O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以 10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ O 北 东O y 线 岸 O x O r(t) P 海
22．（本小题满分14分） 已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在
BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在 两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐 标及此定值；若不存在，请说明理由
O P A G D F E C B x y
∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=D1D 又EC=CC1，且EC⊥MC， ∴四边形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1 又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1 ∵BD1面DBD1， ∴EF⊥BD1 故EF为BD1与CC1的公垂线
（II）解：连结ED1，有V 由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d， 则S△DBC·d=S△DCD·EF． ∵AA1=2·AB=1． 故点D1到平面BDE的距离为．
”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底 面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面两两 互相垂直，则______________________________________________．” 16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域 不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种_______________________
若重合，则tg= （ ）
A．
B．
C．
D．1
12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表
面积为（ ）
A． B． C． D．
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（文史类）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
把答案填在题中横线上
13．不等式的解集是____________________． 14．的展开式中系数是 ________ ． 15．在平面几何里，有勾股定理：“设
三． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分 数．
四． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算． 每小题5分，满分60 分． 1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分,满分16分． 13． 14． 15． 16．72 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤． 17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，
（以数字作答） 2 1 5 3 4
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应来自百度文库出文字说明，证明过
程或或演算步骤 17．（本小题满分12分）
已知正四棱柱点中点
（Ⅰ）证明的公垂线 E D1 B1 A1 C1 B D C A F M （Ⅱ）求点的距离
18．（本小题满分12分） 已知复数的辐角为，且是和的等比中项，求．
22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是 否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值．
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a） 设， 由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）． 直线OF的方程为：， ① 直线GE的方程为：． ② 从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程， 整理得． 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点． 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定 长． 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值． 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值．