高一数学必修五学业质量标准检测

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北师大版数学高一-北师大版必修5 必修5 学业水平达标检测

解析：由题意，得，解得m＝－1.
答案：－1
16．在△ABC中，已知sinAsinBcosC＝sinAsinCcosB＋sinBsinCcosA，若a，b，c分别是角A，B，C所对的边，则的最大值为________．
解析：因为sinAsinCcosB＋sinBsinCcosA＝sinC(sinAcosB＋cosAsinB)＝sinCsin(A＋B)＝sin2C，所以sinAsinBcosC＝sin2C，由正弦定理可得abcosC＝c2，由余弦定理可得ab· ＝c2，从而3c2＝a2＋b2≥2ab，即 ≤ .
C．1 D.
解析：∵ 是3a与3b的等比中项，
∴( )2＝3a·3b.
即3＝3a＋b，∴a＋b＝1.
此时＋＝＋＝2＋ ≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝取等号)，故选B.
答案：B
11．已知钝角三角形ABC的最长边为2，其余两边长为a，b，则集合P＝{(x，y)|x＝a，y＝b}所表示的平面图形的面积是()
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，
(1)求不等式g(x)＜0的解集；
(2)若对一切x＞2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)g(x)＝2x2－4x－16＜0，
∴(2x＋4)(x－4)＜0，∴－2＜x＜4，
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的表达式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，
∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0.
∴f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①

人教A版高中数学必修5课时作业案第2章数列学业质量标准检测2

第二章学业质量标准检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，若a n ＝2 020，则序号n 等于( D ) A ．667 B ．668 C ．669D ．674[解析] 由题意可得，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2， ∴2 020＝3n －2，∴n ＝674.2．在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( B )A ．2B ．4C ．2D ．2 2 [解析] 由已知得：a 1q 2＝1，a 1q ＋a 1q 3＝52，∴q ＋q 3q 2＝52，q 2－52q ＋1＝0，∴q ＝12或q ＝2(舍)，∴a 1＝4.3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( A ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24[解析] 由等比数列的前三项为x,3x ＋3,6x ＋6，可得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1(此时3x ＋3＝0，不合题意，舍去)，故该等比数列的首项x ＝－3，公比q ＝3x ＋3x ＝2，所以第四项为[6×(－3)＋6]×2＝－24.4．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( C )A ．18B ．24C ．60D ．90[解析] 由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，即2a 1＋3d ＝0.①又S 8＝8a 1＋562d ＝32，则2a 1＋7d ＝8.②由①②，得d ＝2，a 1＝－3. 所以S 10＝10a 1＋902d ＝60.故选C ．5．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( C )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项[解析] 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项． 6．等比数列{a n }满足a 2＋8a 5＝0，设S n 是数列{1a n }的前n 项和，则S 5S 2＝(A )A ．－11B ．－8C ．5D ．11[解析] 由a 2＋8a 5＝0得a 1q ＋8a 1q 4＝0，解得q ＝－12.易知{1a n}是等比数列，公比为－2，首项为1a 1，所以S 2＝1a 1[1－(－2)2]1－(－2)＝－1a 1，S 5＝1a 1[1－(－2)5]1－(－2)＝11a 1，所以S 5S 2＝－11，故选A ．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( B )A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱[解析] 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5， ∴a ＝1，则a －2d ＝a －2×(－a 6)＝43a ＝43.故选B ．8．(2019·山东日照青山中学高二月考)在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 由表格知，第三列为首项为4，公比为12的等比数列，∴x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5，52，故第四列所成的等比数列的公比为12，∴y ＝5×(12)3＝58，同理z ＝6×(12)4＝38，∴x ＋y ＋z ＝2. 9．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( C )A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2nC ．3nD ．3·2n －1[解析] 由S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)可得S n －1＝32(a n －1－1)(n ≥2，n ∈N *)，两式相减可得a n＝32a n －32a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝3a n －1(n ≥2，n ∈N *)．又a 1＝S 1＝32(a 1－1)，解得a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，则a n ＝3n .10．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 3b 8b 10＝( B )A ．1B ．8C ．4D ．2[解析] 设{a n }的公差为d ，则由条件式可得， (a 7－3d )－2a 27＋3(a 7＋d )＝0，解得a 7＝2或a 7＝0(舍去)．∴b 3b 8b 10＝b 37＝a 37＝8.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，把方程f (x )＝x 的根按从小到大的顺序排列成一个数列{a n }，则该数列的通项公式为( C )A ．a n ＝n (n －1)2(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *)C ．a n ＝n －1(n ∈N *)D ．a n ＝n －2(n ∈N *)[解析] 令2x －1＝x (x ≤0)，易得x ＝0. 当0<x ≤1时，由已知得f (x －1)＋1＝x ，即2x －1－1＋1＝2x －1＝x ，则x ＝1. 当1<x ≤2时，由已知得f (x )＝x ，即f (x －1)＋1＝x ，即f (x －2)＋1＋1＝x ，故2x －2＋1＝x ，则x ＝2. 因此，a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2，结合各选项可知该数列的通项公式为a n ＝n －1(n ∈N *)．故选C ．12．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，S n 为其前n 项和，则S 60＝( B ) A ．3 690B ．1 830C ．1 845D ．3 660[解析] 因为a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，所以a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10.同理a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝26，同理可得a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝42.由此可知，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…成等差数列，首项为10，公差为16，所以S 60＝15×10＋15×142×16＝1 830.故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于__218__.[解析] ∵{a n }为等比数列，∴a 8＝a 5q 3，∴q 3＝16－2＝－8，∴q ＝－2.又a 5＝a 1q 4，∴a 1＝－216＝－18，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝－18[1－(－2)6]1＋2＝218.14．(2019·北京理，10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝__0__，S n 的最小值为__－10__.[解析] ∵a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10，∴a 1＝－4，d ＝1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝0， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n <0，则n <5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后为正． ∴S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10.15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝__676__.[解析] 利用分组求和法求解．当n 为正奇数时，a n ＋2－a n ＝0，又a 1＝1，则所有奇数项都是1；当n 为正偶数时，a n ＋2－a n ＝2，又a 2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 51＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26a 1＋25a 2＋25×242×2＝676. 16．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是__n 2＋n __.[解析] 由题中数表，知第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，设为{a n }，则a 1＝n ，d ＝2n －n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋n ·n ＝n 2＋n ，即第n 行第n ＋1列的数是n 2＋n .三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .[解析] 设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16a 1＝－4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8d ＝－2. 因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．18．(本题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ文，18)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． [解析] (1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ， S n ＝n (n －9)d 2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．19．(本题满分12分)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .[解析] (1){a n }为等差数列， ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根．又公差d >0，∴a 3<a 4， ∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4. ∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c ，∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12(c ＝0舍去)．20．(本题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1.(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．[解析] (1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ，① ∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12.又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，②由①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12，故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12，∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ，a n －1＝1－12n －1.故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n .又b 1＝a 1＝12，即b n ＝12n .21．(本题满分12分)(2017·天津文，18)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0. 又因为q >0，解得q ＝2，所以b n ＝2n .由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8.① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16.② 联立①②，解得a 1＝1，d ＝3. 由此可得a n ＝3n －2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n .(2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n .由a 2n ＝6n －2，得 T n ＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n ，2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1. 上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n －(6n －2)×2n ＋1 ＝12×(1－2n )1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16，所以T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以，数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16.22．(本题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S nn )(n ∈N ＋)均在函数y ＝3x －2的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N ＋都成立的最小正整数m .[解析] (1)依题意得：S nn＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5＝1，满足上式．所以a n ＝6n －5(n ∈N ＋)．(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n ＋1)－5]＝12(16n －5－16n ＋1)，故T n ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－16n ＋1)．因此，使得12(1－16n ＋1)<m 20(n ∈N ＋)成立的m 必须且仅需满足12≤m20，即m ≥10，故满足要求的最小正整数m 为10.由Ruize收集整理。

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学业质量标准检测(解三角形、数列部分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在锐角三角形ABC 中，已知A ＝2C ，则ac 的范围是( C )A ．(0,2)B ．(2，2)C ．(2，3)D ．(3，2)[解析] a c ＝sin A sin C ＝sin2Csin C ＝2cos C ，又A ＋B ＋C ＝π，A ＝2C ，∴π6<C <π4，∴2<ac< 3. 2．已知2a ＝3b ＝m ，且a ，ab ，b 成等差数列，则m ＝( C )A ．2B ．3C ． 6D ．6[解析] ∵2a ＝3b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 3m . 又∵a ，ab ，b 成等差数列，∴2ab ＝a ＋b ⇒2＝1a ＋1b＝log m 2＋log m 3＝log m 6，∴m ＝ 6.3．在△ABC 中，若(a －a cos B )sin B ＝(b －c cos C )sin A ，则这个三角形是( D ) A ．底角不等于45°的等腰三角形 B ．锐角不等于45°的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形[解析] 由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， ∴a sin B cos B ＝c sin A cos C ， sin A sin B cos B ＝sin C sin A cos C ． ∴sin2B ＝sin2C ．∴B ＝C ，或2B ＝π－2C ，即B ＋C ＝π2.4．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和S 9等于( B )A ．66B ．99C ．144D ．297[解析] 设b i ＝a i ＋a i ＋3＋a i ＋6，则由条件知{b n }为等差数列，且b 1＝39，b 3＝27，∴公差d ＝b 3－b 12＝－6，∴数列{a n }前9项的和a 1＋a 2＋…＋a 9＝b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3(b 1＋d )＝3×(39－6)＝99.5．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( C )A ．43B ．5C ．5 2D ．6 2[解析] ∵S △ABC ＝12ac sin B ，∴c ＝4 2.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5.由正弦定理，得2R ＝bsin B＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)，故选C ．6．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( B )A ．172B ．192C ．10D ．12[解析] 由题可知：等差数列{a n }的公差d ＝1，因为等差数列S n ＝a 1n ＋n (n －1)d 2，且S 8＝4S 4，代入计算可得a 1＝12；等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 10＝12＋(10－1)×1＝192.故本题正确答案为B ．7．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >b >c ，a 2<b 2＋c 2，则A 的取值范围为( C )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)[解析] 由题意，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∴A <π2.又a >b >c ，∴A >B >C ．又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A >π3，故选C ．8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n( C )A ．4n －1B ．4n－1C ．2n －1D ．2n －1[解析] 设公比为q ，则a 1(1＋q 2)＝52，a 2(1＋q 2)＝54，∴q ＝12，∴a 1＋14a 1＝52，∴a 1＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2×(12)n －1，S n ＝2[1－(12)n ]1－12＝4[1－(12)n ]，∴S n a n ＝4[1－(12)n ]2×(12)n －1＝2(2n －1－12) ＝2n －1.9．根据下边框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是( C )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1 [解析] 由程序框图可知a 1＝2，a 2＝22，a 3＝23， ∴a n ＝2n .10．已知等比数列{a n }中，a n >0，a 5、a 95为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 20·a 50·a 80的值为( B )A ．32B ．64C ．256D ．±64[解析] 由条件知a 5＋a 95＝10，a 5·a 95＝16， ∵{a n }是等比数列，∴a 250＝16，∵a n >0，∴a 50＝4，∴a 20a 50a 80＝a 350＝64. 11．△ABC 中，A ︰B ＝1︰2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3︰2两部分，则cos A 等于( C )A ．13B ．12C ．34D ．0[解析] ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴点D 到AC 与点D 到BC 的距离相等， ∴△ACD 与△BCD 的高相等． ∵A ︰B ＝1︰2，∴AC >BC ． ∵S △ACD ︰S △BCD ＝3︰2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理，得sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ，∴sin2A sin A ＝32，∴2sin A cos A sin A ＝32， ∴cos A ＝34.12．若△ABC 的三边为a ，b ，c ，f (x )＝b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2，则函数f (x )的图象( B )A ．与x 轴相切B ．在x 轴上方C ．在x 轴下方D ．与x 轴交于两点[解析] 函数f (x )相应方程的判别式Δ＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2 ＝(2bc cos A )2－4b 2c 2 ＝4b 2c 2(cos 2A －1)．∵0<A <π，∴cos 2A －1<0，∴Δ<0， ∴函数图象与x 轴没交点．故选B ．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27.[解析] ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.14．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为8︰5，则此三角形面积为40 3.[解析] 设另两边长为8x 和5x ，则 cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，∴x ＝2，∴另两边长为16和10，此三角形面积S ＝12×16×10·sin60°＝40 3.15．若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，则a 2016＝－1. [解析] ∵a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，∴a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，a 5＝1－1a 4＝12，……∴数列{a n }的值呈周期出现，周期为3. ∴a 2016＝a 3＝－1.16．已知a ，b ，c 分别为 △ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为 3.[解析] 由a ＝2，(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 及正弦定理可得， (a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，(等号在b ＝c 时成立)，∴bc ≤4.∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝ 3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ．(1)求C ；(2)若△ABC 的面积为23，a ＋b ＝6，求∠ACB 的角平分线CD 的长度． [解析] (1)已知a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，由正弦定理，得 sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ．因为0<C <π，所以cos C ＝12，故C ＝π3.(2)方法一：由已知，得S ＝12ab sin C ＝34ab ＝23，所以ab ＝8.又a ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝4时，由余弦定理，得c 2＝4＋16－2×2×4×12＝12，所以c ＝2 3.所以b 2＝a 2＋c 2，△ABC 为直角三角形，∠B ＝π2.因为CD 平分∠ACB ，所以∠BCD ＝π6.在Rt △BCD 中，CD ＝2cos π6＝433.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2时，同理可得CD ＝2cos π6＝433.方法二：在△ABC 中，因为CD 平分∠ACB ，所以∠ACD ＝∠BCD ＝π6.因为S △ABC ＝S △ACD ＋S △BCD ，所以S △ABC ＝12b · CD ·sin π6＋12a ·CD ·sin π6＝12CD ·sin π6·(a ＋b )＝14(a ＋b )·CD ．因为S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，即23＝14×6·CD ，解得CD ＝433.18．(本题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若m ＝(cos 2A2，1)，n ＝(cos 2(B ＋C )，1)，且m ∥n .(1)求角A ；(2)当a ＝6，且△ABC 的面积S 满足3＝a 2＋b 2－c 24S 时，求边c 的值和△ABC 的面积．[解析] (1)因为m ∥n ，所以cos 2(B ＋C )－cos 2A 2＝cos 2A －cos 2A2＝cos 2A －cos A ＋12＝0，即2cos 2A －cos A －1＝0，(2cos A ＋1)(coa A －1)＝0. 所以cos A ＝－12或cos A ＝1(舍去)，即A ＝120°.(2)由3＝a 2＋b 2－c 24S 及余弦定理，得tan C ＝33，所以C ＝30°.又由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝2 3.所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝3 3.19．(本题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 3a n 2＋1，求1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n .[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝32a 1－1，∴a 1＝2.∵S n ＝32a n －1，①S n －1＝32a n －1－1(n ≥2)，②∴①－②得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，即a n ＝3a n －1，∴数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＝2·3n －1.(2)由(1)得b n ＝2log 3a n2＋1＝2n －1，∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n －1b n ＝11×3＋13×5＋…＋1(2n －3)(2n －1)＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －3－12n －1)]＝n －12n －1. 20．(本题满分12分)用分期付款的方式购买一批总价为2 300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%.若从首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？[解析] 购买时付款300万元，则欠款2 000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额依次购成数列{a n }，故a 1＝100＋2 000×0.01＝120(万元)， a 2＝100＋(2 000－100)×0.01＝119(万元)， a 3＝100＋(2 000－100×2)×0.01＝118(万元)， a 4＝100＋(2 000－100×3)×0.01＝117(万元)， …a n ＝100＋[2 000－100(n －1)]×0.01 ＝121－n (万元) (1≤n ≤20，n ∈N *)．因此{a n }是首项为120，公差为－1的等差数列．故a 10＝121－10＝111(万元)， a 20＝121－20＝101(万元)． 20次分期付款的总和为 S 20＝(a 1＋a 20)×202＝(120＋101)×202＝2 210(万元)．实际要付300＋2 210＝2 510(万元)．即分期付款第10个月应付111万元；全部贷款付清后，买这批住房实际支付2 510万元．21．(本题满分12分)在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝ac ，log 4sin A ＋log 4sin C ＝－1，S △ABC ＝3，求三边a ，b ，c 的长及三个内角A ，B ，C 的度数.[解析] 由a 2＋c 2－b 2＝ac ，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0°<B <180°，∴B ＝60°.∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12ac ×32＝3，∴ac ＝4.①由log 4sin A ＋log 4sinC ＝－1，得sin A sin C ＝14.由正弦定理，得ac 4R 2＝14，∴44R 2＝14， ∴R ＝2(负值舍去)． ∴b ＝2R sin B ＝2×2×32＝2 3. 由已知，得a 2＋c 2－(23)2＝4.②当a >c 时，由①②，得a ＝6＋2，c ＝6－ 2.∴三边的长分别为a ＝6＋2，b ＝23，c ＝6－ 2. 由正弦定理，得sin A ＝a2R ＝6＋24＝sin105°.∴A ＝105°，即C ＝15°.同理，当a <c 时，a ＝6－2，b ＝23，c ＝6＋2，A ＝15°，B ＝60°，C ＝105°. 22．(本题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，λ≠－1)，且a 1、2a 2、a 3＋3为等差数列{b n }的前三项.(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和．[解析] (1)解法1：∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0，又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }为以1为首项，公比为λ＋1的等比数列， ∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1 ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，解法2：∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＝λ2＋2λ＋1， ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，得λ＝1 ∴a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)， ∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)∴a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2，∴数列{a n }为以1为首项，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. (2)a n b n ＝(3n －2)·2n －1，∴T n ＝1·1＋4·21＋7·22＋…＋(3n －2)·2n －1 ①∴2T n ＝1·21＋4·22＋7·23＋…＋(3n －5)·2n －1＋(3n －2)·2n ② ①－②得－T n ＝1·1＋3·21＋3·22＋…＋3·2n －1－(3n －2)·2n ＝1＋3·2·(1－2n －1)1－2－(3n －2)·2n整理得：T n＝(3n－5)·2n＋5.。

苏教版高中数学必修五-高一年级学业质量调查测试

淮安市2012-2013学年度高一年级学业质量调查测试数学试题 2013.6一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，只要求写出结果，不必写出计算和推理过程，请把答案填写在答题卡相应的位置上） 1.集合{2,3}A =,集合{1,2}B =,则集合A B =U{1,2,3}2. 我校高一、高二、高三年级的学生数之比为4:3:3, 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高一年级抽取名学生 203.已知向量(12,2)a x =-r ,(2,1)b =-r,若a b ⊥r r ,则实数x = 04.某算法的伪代码如图所示,若输出y 的值为2,则输入x 的值为 0或45.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若5359a a =,则95SS = 1 6.已知不等式20ax bx c ++≤的解集为[1,2]-，则不等式20bx ax +≥的解集为[0,1]0a >，且1,2-是方程20ax bx c ++=的两根，12ba-+=-，b a =-， 20bx ax +≥化为20ax ax -+≥，20x x -+≥，20x x -≤，01x ≤≤，7.已知实数,x y 满足2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =-的最大值是 78.根据某固定测速点测得的某时段内过往的200辆机动车的行驶速度(单位：km/h) 绘制的频率分布直方图如图所示.该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60km/h ～120 km/h,则该时段内正常行驶的机动车辆数为 170200(0.20.30.35)170++=9.函数()sin (sin cos )222x x xf x =-的最小正周期为 2π212sin()1cos sin 1(sin cos )4()sin sin cos 2222222x x x x x x x x f x π-+--+=-=-==10.在一个盒子中有分别标有数字0,1,2,3,4的5张卡片,现从中一次取出2张卡片,则取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是 2511.在ABC ∆中,2,1,BC AB AC =⋅=u u u r u u u r则ABC ∆面积的最大值为2,cos 1a cb A ==,2222cos a b c bc A =+-,222242,6b c b c =+-+=,2y x z=-2y x =-+2y x =-0y =3y =xyO01122334 021324 0314 04111sin222S bc A====2262b c bc+=≥，所以3bc≤，S==12.已知(0,)2πα∈,且sin cos22αα+=,若1cos()3αβ-=,(,)2πβπ∈,则cosβ=sin cos22αα+=两边平方得31sin2α+=，1sin2α=，(0,)2πα∈，cosα=，由(0,)2πα∈，(,)2πβπ∈得(,0)αβπ-∈-，sin()3αβ-==-cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-1123236-=+⨯=13.已知直线xα=(04πα<<)与函数()cos,()sin2f x xg x x==和()sinh x x=的图象及x轴依次交于点,,,P M N Q,则22PN MQ+的最小值为34(,cos),(,sin2),(,sin),(,0)P M N Qααααααα，2222(cos sin)(sin2)PN MQααα+=-+=212cos sin(sin2)ααα=-+21sin2(sin2)αα=-+213(sin2)24α=-+14.已知数列{}na满足:113(*)22n na a n N+=-+∈且14a=,其前n项和为nS,则满足不等式1|2|2013nS n--<的最小整数n是12111122n na a+-=-+，111(1)2n na a+-=--，1130a-=≠，110na+-≠，所以{1}na-是等比数列，1113()2nna--=-，1113()2nna-=+-，012111113[()()()()]2222nnS n-=-+-+-++-+L11()1232[1()]121()2nnn n--=+=--+--，122()2nnS n=+--，122()2nnS n--=--，1|2|2013nS n--<，11|2()|22013n --<，11122013n -<，122013n ->，12n ≥。

必修5学业水平测试题答案(上交,正考)

乌鲁木齐市高级中学2008/2009学年第二学期第一学段学业水平考试高一数学（必修5）（正考）参考答案17．（－2，5） 1819．(4,0)- 20．（教材P45改编）5,(1)2,(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩三、解答题21．（批改：唐惠玲） ∵a ＞c ＞ b,∴A 最大， 22201cos 12022b c a A A bc +-==-∴= 22．（批改：唐惠玲）证明：∵+∈R c b a ,,∴ab b a 2≥+，bc cb b 2≥+ac c a 2≥+，∴ca bc ab c b a 222222++≥++ ∴ a b c ++23．（批改：陆永红）（1）398)1(1+-=-+=n d n a a n（2）当n =4时n S 最大，76=n S24．（教材P85+P90）（批改：杨华）解：设,x y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，能够产生利润z 万元。

目标函数为0.5.z x y =+于是满足以下条件：40,181516,0,0,x y x y x x N y x N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩可行域如图，由图可以看出，当直线22y x z =-+经过181566410x y x y +=⎧⎨+=⎩的交点(2,2)时，z 的值最大，此时max 3z =。

答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。

25．（批改：王治国）解：（Ⅰ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．因为c=0，1a ，2a ，3a ∴c ＝2公比为1，舍去，∴2c =（Ⅱ）a 1=2,当n ≥2时，12(1)n n a a n -=+-,122(2)n n a a n --=+-，……，2121a a =+⨯将这n －1个式子相加得 212(121)2n a a n n n n =+-+-++=-+∴22n a n n =-+，显然n ＝1时也符合。

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乌鲁木齐市高级中学2008/2009学年第二学期第一学段学业水平考试高一数学（必修5）试卷（正考）（总分120，时间100分钟，命题人：杨帆）一、选择题（每题3分，48分）1．下列四个数中，属于数列{)2(+n n }中的一项是（）A ．38B ．39C ．35D ．302．已知集合{}{}512,0342<+=<+-=x x N x x x M ，则N M I 等于（） A ．{}31<<x x B ．{}21<<x x C ．{}3<x x D ．{}32<<x x 3．在△ABC 中，角A,B,C 成等差数列，则下列结论一定．．正确的是（） A A ＝30° B B ＝60° C C ＝90° D A ＝B ＝C ＝60°4．已知实数c b a ,,满足22bc ac >，则下列结论成立的是（） A ．ba 11< B ．22b a > C ．33b a > D ．22ab b a > 5．已知等比数列{}n a 的公比是2，13=a ，则5a 的值是（） A ．161 B ．41 C ．4 D ．16 6．不等式210x y +->表示的平面区域在直线210x y +-=的( )A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方7．已知等差数列{}n a ，n S 是其前n 项和，若5101,4S S ==，则15S 的值为( )A. 6B. 7C. 8D. 98．如果3a <，则下列结论正确的是（）A ．29a >B ．29a <C ．327a >D ．327a < 9．若4,223,42--a a 成等差数列，则a 等于（） A ． 1或2 B ．－1或－2 C ． 1或－2 D ．－1或210．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（） A 12 B 221 C 28 D 36 11．1 与16的等比中项为（）A.4B.8C.4或4-D.8或8-12．已知等差数列}{n a 中，897,16a a a 则=+的值是（）A. 16B. 8C. 7D. 413．不等式0)2)(1(<++x x 的解集是（） A {}12-<<-x x B {}12->-<x x x 或 C {}21<<x x D {}21><x x x 或 14．在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是( )A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解15．已知函数x x f 2)(=，a 、+∈R b ，A=)2(b a f +，B=)(ab f ，C=)2(ba ab f +，则A 、B 、C 的大小关系是（）A.A ≤B ≤CB.A ≤C ≤BC.B ≤C ≤AD.C ≤B ≤A16．有限数列),,,(21n a a a A Λ=，n S 为其前n 项和，定义nS S S n +++Λ21为A 的“优化和”；现有2007项的数列),,,(200721a a a Λ的“优化和”为2008，则有2008项的数列),,,,1(200721a a a Λ的“优化和”为( ).A 2007 .B 2008 .C 2009 .D 2006二、填空题（每题4分，共16分）17．不等式3102->x x 的解集是___ _____(用区间表示) 18．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为，，，c b a 若，，，ο6043===C b a 则=c 。

高一数学必修5质量检测题(卷)

高中数学必修5质量检测题（卷）一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分．1. 3,…那么）A .第12项B .第13项C ．第14项D ．第15项2. 已知数列{a n }中，12n n a a -= (n ≥2)，且a 1=1，则这个数列的第7项为（）A ．512B ．256C ．128D ．643. 已知等差数列}{n a 中，610416,2,a a a +==则6a 的值是（）A . 15B . 10 C. 5 D. 84. 数列{n a }的通项公式是n a ＝331n n -(n ∈*N )，则数列{n a }是（） A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定5.在ABC ∆中，6016A AB ∠=︒=，，面积S =，则AC 等于（）A.50B.C.100D. 6.对于任意实数a 、b 、c 、d ，以下四个命题中的真命题是（）A ．若,0,a b c >≠则ac bc >B ．若0,,a b c d >>>则ac bd >C ．若,a b >则11a b< D ．若22,ac bc >则a b > 7. 在等比数列{a n }中，3S =1，6S =4，则101112a a a ++的值是（）A ．81B ．64C ．32D ．278. 已知等比数列{}n a 满足1223412a a a a +=+=，，则5a =（）A ．64B ．81C ．128D ．2439.设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f > 的解集是A.()()3,13,-+∞B. ()()3,12,-+∞C. ()()1,13,-+∞D. ()(),31,3-∞-10. 用铁丝制作一个面积为1 m 2的直角三角形铁框，铁丝的长度最少是（）A. 5.2 mB. 5 mC. 4.8 mD. 4.6 m11.已知点P （x ，y ）在不等式组20,10,220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则12z x y =-+的取值范围是（） A ．[－1，－1] B ．[－1，1] C ．[1，－1] D ．[1，1]12．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为x 米和3千米，测得灯塔A 在观察站C 的正西方向，灯塔B 在观察站C 西偏南30 ，若两灯塔A 、B 之x 的值为（）二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．13. 不等式2(2)(23)0x x x ---<的解集为14. 已知数列{}n a 的前n 项和23n S n n =-，则其通项公式为=n a ________15. 在29和34之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则插入的2个数的乘积为16．已知点（3，1）和（-1，1）在直线320x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是17．若2＋22＋ (2)>130，n ∈N*，则n 的最小值为_______.三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分15分）设不等式2430x x -+<的解集为A ，不等式260x x +->的解集为B.（1）求A∩B；（2）若不等式20x ax b ++<的解集为A∩B，求,a b 的值.19. （本题满分15分）在锐角△ABC 中，已知AC =2AB =， 60A ∠= . 求:(1)BC 边的长；（2）分别用正弦定理、余弦定理求B ∠的度数.20. （本题满分15分）已知a ∈R, 解关于x 的不等式：220x x a a ---<21. （本题满分15分）某种汽车购买时费用为16．9万元，每年应交付保险费及汽油费共1万元；汽车的维修费第一年为1千元，以后每年都比上一年增加2千元．（Ⅰ）设使用n 年该车的总费用（包括购车费用）为n S ，试写出n S 的表达式；（Ⅱ）求这种汽车使用多少年报废最合算（即该车使用多少年平均费用最少）.。

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马鞍山市2014―2015学年度第二学期高一学业水平测试数学必修5试题第I 卷（选择题，共36分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分． 1．已知数列{}n a 中，12211,1,,n n n a a a a a ++===+，则5a =（）A.0B.3C.5D.8 2．已知0,0,4,a b ab >>=且则23a b +的最小值值为（）A. 5B. 10C.D. 3．已知,,a b c R ∈，且,0a b ab >≠，则下列不等式一定成立的是（）A. 33a b >B. 22ac bc >C. 11a b< D. 22a b >4．设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222a b c bc --=，则A 等于（）A. 150︒B. 120︒C. 60︒D. 30︒ 51 ）A ．1B ．-1C ．-1或1D ．126．设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若8,60,75a B C ===o o ，则b 等于（）A.B.C.D.7．不等式2230x x +->的解集为（）A. {}31x x x <->或 B. {}31x x -<< C. {}31x x x <->或 D. {}13x x -<<8．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则1a 等于（）A. 4-B. 6-C. 8-D. 10- 9．在ABC ∆中，若3,4,BC AC AB ===ABC ∆的面积等于（） A ．4- B ．6- C ．8- D ． 10- 10．在等差数列{}n a 中， 145450,0,0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 的值为（） A ．4 B ．5 C ．7 D ． 811．设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若12cos ,sin sin 2a B c A B ==o，则ABC ∆为（）A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 锐角非等边三角形D. 钝角三角形12．各项均为正数的等比数列{}n a 中，若31172a aa +≤，则下列结论中正确的是（）A. 数列{}n a 是常数列B. 数列{}n a 是递减数列C. 数列{}n a 是递数列增D. 数列{}n a 是摆动数列或常数列第II 卷（非选择题，共64分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请在答题卡上答题． 13．数列{}n a 前n 项和2()n S n n N *=∈，则8a = ． 14．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若354,0,a a ==则n S 的最大值是 15．若不等式20x ax b -+>的解集为{}23x x x <>或，则a b += ．16．如图，在离地面高200m 的热气球M 上，观察到山顶C 处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知60,BAC ∠=o 则山的高度BC 为 m ．17．若0,0,2,a b a b >>+=则下列不等式恒成立的是（写出所有正确命题的编号）．2233111;2;3;2ab a b a b a b≤+≥+≥+≥①③④⑤13. 14. 15. 16. 三、解答题：本大题共5个小题，满分44分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18. （本小题满分8分）在等比数列{}n a 中，0,n a >且243,27,a a ==，求公比q 及前6项的和． 19．（本小题满分8分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边，已知12,sin 2a b C ===.求c ． 20．（本小题满分8分）已知函数2()1,f x ax ax a R =+-∈其中. （Ⅰ）当2a =时，解不等式()0f x <；（Ⅱ）若不等式()0f x <的解集为R ，求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分10分）ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、所对的边.（Ⅰ）若,,a b c 成等差数列，求sin sin sin()A CA C ++的值；（Ⅱ）若,,a b c 成等比数列，求角B 的取值范围．22．（本小题满分10分）若数列{}n a 满足2111,2n nn a a a a +=+=且．（Ⅰ）求2a ，3a 的值；（Ⅱ）求证： 11111n n n a a a +=-+ （Ⅲ）记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3.6]3,[ 3.6]4=-=-等.设11n nb a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．求2015[]T ．马鞍山市2014―2015学年度第二学期高一学业水平测试数学必修5参考解答一、选择题二、填空题13. 15；14. 20；15. 11；16. 300；17.①③⑤ 三、解答题18.解：q=3………………………………………………3分前6项的和为364……………8分 19.解：c=20.解：1）（4分）不等式()0f x <的解集为 1122x x ⎧+-⎪-<<⎨⎪⎪⎩⎭2）（4分）实数a 的取值范围是{}40a x -<≤ 21（Ⅰ）sin sin sin()A CA C ++=2…………5分（Ⅱ）角B 的取值范围是(0,]3π……10分22.解：（Ⅰ）若23321,416a a ==……3分（Ⅱ）证明：2111111(1)1n nn n n n n n a a a a a a a a ++=+∴==-++Q 即11111n n n a a a +=-+……6分（Ⅲ）由（Ⅱ）及11n n b a =+知 {}123n 1223341112212015112016420164201620161111111111=++b =))))11=2-=022*******(1)22022[]1161622n n n n n n n n n n n n T b b b a a a a a a a a a a a T a a a a a a a a a a a T a a ++++++-+-+-++-=-∴=-=+>∴=+>∴>>∴<<∴<-<∴=L L Q Q （（（（又又由得数列是递增数列……………………10分。

高中数学同步练习第5章学业质量标准检测

第五章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟,满分150分．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(2019·全国Ⅲ卷理,2)若z(1＋i)＝2i,则z ＝( D ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i[解析] 由z(1＋i)＝2i,得z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i(1－i)＝1＋i.故选D.2．已知i 是虚数单位,则3＋i1－i ＝( D )A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i[解析]3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i2＝1＋2i. 3．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位),z 的共轭复数是z －,则2－z－z 等于( C )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i[解析] 由题意可得2－z －z ＝2－(－1＋i )－1－i＝(3－i )(－1＋i )(－1－i )(－1＋i )＝－1＋2i,故选C.4．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] z ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝15[(m －4)－2(m ＋1)i],其实部为15(m －4),虚部为－25(m ＋1),由⎩⎪⎨⎪⎧m －4>0，－2(m ＋1)>0.得⎩⎪⎨⎪⎧m>4，m<－1.此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．5．已知i 是虚数单位,a 、b ∈R,则“a＝b ＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算,当a ＝b ＝1时,(a ＋bi)2＝(1＋i)2＝2i,反之,(a ＋bi)2＝a 2－b 2＋2abi ＝2i,则a 2－b 2＝0,2ab ＝1,解a ＝1,b ＝1或a ＝－1,b ＝－1,故a ＝1,b ＝1是(a ＋bi)2＝2i 的充分不必要条件,选A.6．复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1,2i,5＋2i,则由A 、B 、C 所构成的三角形是( A )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形[解析] 1,2i,5＋2i 对应的向量坐标为(1,0),(0,2),(5,2), 设O 为坐标原点,即OA →＝(1,0),OB →＝(0,2),OC →＝(5,2), AB →＝OB →－OA →＝(－1,2)． BC →＝OC →－OB →＝(5,0), AC →＝OC →－OA →＝(4,2), 则|BC →|2＝|AB →|2＋|A C →|2,∴∠BAC ＝90°,即由A 、B 、C 所构成的三角形是直角三角形．7．已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋3m －i ＝0有实根,则实数m 满足( C ) A ．m≤－14B ．m≥－14C ．m ＝112D ．m ＝－112[解析] 设实根为x 0,则x 20＋(1－2i)x 0＋3m －i ＝0,即(x 20＋x 0＋3m)－(2x 0＋1)i ＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，m ＝112.8．(2019·全国Ⅰ卷理,2)设复数z 满足|z －i|＝1,z 在复平面内对应的点为(x,y),则( C ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1[解析] 由已知条件,可得z ＝x ＋yi.∵ |z －i|＝1, ∴ |x ＋yi －i|＝1,∴ x 2＋(y －1)2＝1.故选C. 9．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z∈R,则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R,则z ∈R ； p 3：若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R,则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R,则z ∈R. 其中的真命题为( B ) A ．p 1,p 3 B ．p 1,p 4 C ．p 2,p 3D ．p 2,p 4[解析] 设z ＝a ＋bi(a,b ∈R),z 1＝a 1＋b 1i(a 1,b 1∈R),z 2＝a 2＋b 2i(a 2,b 2∈R)．对于p 1,若1z ∈R,即1a ＋bi ＝a －bia 2＋b 2∈R,则b ＝0⇒z ＝a ＋bi ＝a ∈R,所以p 1为真命题．对于p 2,若z 2∈R,即(a ＋bi)2＝a 2＋2abi －b 2∈R,则ab ＝0. 当a ＝0,b≠0时,z ＝a ＋bi ＝bi ∉R,所以p 2为假命题．对于p 3,若z 1z 2∈R,即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R,则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2,即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2,b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2,b 1＝－b 2,所以p 3为假命题．对于p 4,若z ∈R,即a ＋bi ∈R,则b ＝0⇒z ＝a －bi ＝a ∈R,所以p 4为真命题． 10．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，5π4,则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i 在复平面内所对应的点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时, sinθ＋cosθ<0,sinθ－cosθ>0,故对应点(cosθ＋sinθ,sinθ－cosθ)在第二象限．11．(2019·成都高二检测)若A,B 为锐角三角形的两个内角,则复数z ＝(cosB －sinA)＋i(sinB －cosA)对应的点位于复平面内的( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵A 、B 为锐角三角形的内角, ∴π2<A ＋B<π, ∴A>π2－B,B>π2－A,∴sinA>sin(π2－B)＝cosB,sinB>sin(π2－A)＝cosA,∴⎩⎪⎨⎪⎧cosB －sinA<0sinB －cosA>0,∴对应点在第二象限,故选B.12．(2019·南宁高二检测)复数z 满足条件：|2z ＋1|＝|z －i|,那么z 对应的点的轨迹是( A )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] 设z ＝a ＋bi(a,b ∈R), ∴|2z ＋1|＝(2a ＋1)2＋4b 2, |z －i|＝a 2＋(b －1)2,∴(2a ＋1)2＋4b 2＝a 2＋(b －1)2, 整理得：a 2＋b 2＋43a ＋23b ＝0.故选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将正确答案填在题中横线上)13．(2019·浙江卷,11)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位),则|z|2[解析] z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝1－i 1－i 2＝12－12i,易得|z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 14．设a ∈R,若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a ＝－1. [解析] (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i,由已知得a ＋1＝0,解得a ＝－1.15．已知复数z 1＝cosα＋isinα,z 2＝cosβ＋isinβ,则复数z 1·z 2的实部是cos(α＋β)． [解析] z 1·z 2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ) ＝cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ)i ＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i , 故z 1·z 2的实部为cos(α＋β)．16．在复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称,且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i),|z 1|＝2,则z 1＝1－i 或－1＋i.[解析] 设z 1＝a ＋bi,则z 2＝－a ＋bi, ∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i),且|z 1|＝2,∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋bi )(3－i )＝(－a ＋bi )(1＋3i )a 2＋b 2＝2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1.∴z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知z ＝1＋i,a,b ∈R,若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i,求a,b 的值．[解析] ∵z ＝1＋i,∴z 2＝2i,∴z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝2i ＋a ＋ai ＋b 2i －1－i ＋1＝(a ＋2)i ＋(a ＋b )i＝a ＋2－(a ＋b)i ＝1－i, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝1a ＋b ＝1,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.18．(本题满分12分)已知m ∈R,复数z ＝m (m －2)m －1＋(m 2＋2m －3)i,当m 为何值时,(1)z ∈R ；(2)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．[解析] (1)当z 为实数时,则有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0 得m ＝－3,故当m ＝－3时,z ∈R.(2)当z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上时,则有m (m －2)m －1＋(m 2＋2m －3)＋3＝0,得m (m 2＋2m －4)m －1＝0,解得m ＝0或m ＝－1± 5.所以当m ＝0或m ＝－1±5时,z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．19．(本题满分12分)已知z ＝a －i1－i ,其中i 为虚数单位,a>0,复数ω＝z(z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32,求复数ω的模．[解析] ∵z ＝a －i1－i ,代入ω＝z(z ＋i),得ω＝a －i 1－i (a －i 1－i ＋i)＝(a －i )(a ＋1)(1－i )2＝(a －i )(a ＋1)－2i ＝(1＋ai )(a ＋1)2＝a ＋12＋a (a ＋1)2i, ∴ω的实部为a ＋12,虚部为a (a ＋1)2,由已知得a (a ＋1)2－a ＋12＝32,解得a 2＝4,∴a ＝±2. 又a>0,故a ＝2.|ω|＝|a ＋12＋a (a ＋1)2i|＝|2＋12＋2(2＋1)2i|＝|32＋3i|＝352. 20．(本题满分12分)已知复数z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ,ω＝z ＋ai(a ∈R),当|ωz |≤2时,求a 的取值范围．[解析] ∵z ＝(－1＋3i )(1－i )－(1＋3i )i ＝1＋ii＝1－i,∴|z|＝ 2.又⎪⎪⎪⎪⎪⎪ωz ＝|ω||z|≤2,∴|ω|≤2.而ω＝z ＋ai ＝(1－i)＋ai ＝1＋(a －1)i,(a ∈R), 则12＋(a －1)2≤2⇒(a －1)2≤3,∴－3≤a－1≤3,1－3≤a≤1＋ 3.即a 的取值范围为[1－3,1＋3]． 21．(本小题满分12分)已知虚数z 满足|2z ＋1－i|＝|z ＋2－2i|, (1)求|z|的值；(2)若mz ＋1z∈R,求实数m 的值．[解析] (1)设虚数z ＝a ＋bi(a,b ∈R 且b≠0)代入|2z ＋1－i|＝|z ＋2－2i|得, |2a ＋1＋(2b －1)i|＝|(a ＋2)＋(b －2)i|, ∴(2a ＋1)2＋(2b －1)2＝(a ＋2)2＋(b －2)2, 整理得a 2＋b 2＝2,即|z|＝2.(2)由(1)知,z ＝a ＋bi 其中a,b ∈R,且b≠0. a 2＋b 2＝2,又知m ∈R,mz ＋1z ∈R.∴mz ＋1z ＝m(a ＋bi)＋1a ＋bi＝ma ＋mbi ＋a －bi a 2＋b 2＝ma ＋mbi ＋12a －12bi,＝(ma ＋12a)＋(mb －12b)i∵(mz ＋1z )∈R,∴mb －12b ＝0,∴m ＝12.22．(本小题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.(1)设复数z ＝a ＋bi(i 为虚数单位),求事件“z－3i 为实数”的概率；(2)求点P(a,b)落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a≤4，b≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋bi(i 为虚数单位),z －3i 为实数,则a ＋bi －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数,则b ＝3. 依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6,故b ＝3的概率为16.即事件“z－3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)由上表知,连续抛掷两次骰子共有36种不同的结果．不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知,点P(a,b)落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6),共18种．所以点P(a,b)落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.。

苏教版高中数学必修五高一年级下学期期末学业质量调查测试

淮安市淮海中学2013－2014学年度高一年级下学期期末学业质量调查测试数学试卷命题人：肖海峰2014.7本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则A B ⋂= ▲ .2.不等式01<-xx 的解集是 ▲ . 3．若角α的终边经过点(3,2)P ，则tan α的值为 ▲ ．4.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.5.右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .6.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取27．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a ·b ＝0，则实数k 的值为 ▲ .8.若不等式042≥+-ax x 对任意的)3,0(∈x 都成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .9.记等差数列｝｛n a 的前n 项和为n S .若),N ,2(0211*+-∈≥=-+m m a a a m m m 且,5812=-m S则=m ▲ .10.若函数()||(2)f x x x =⋅+在区间(,21)a a +上单调递减，则实数a 的取值范围是 ▲ . 11.若,54)6cos(=+πα则)62sin(πα-的值是 ▲ .100 80 90 110 120 130 底部周长/cm（第4题）12．等比数列{}n a 的公比12q =，前5项的和为3164．令12log n n b a =，数列11{}n n b b +的前n 项和为n T ，若n T c <对*n N ∈恒成立，则实数c 的最小值为 ▲ .13.定义在R 上的函数()f x 满足：(2)()1,f x f x +⋅=当[1,1)x ∈-时，2()log (4),f x x =-则(2014)f = ▲ .14.已知,11121,0,0=+++>>b b a b a 则b a +的最小值是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共90分.,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)已知函数()22sin cos f x x x x =+，x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的值域. 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos b A c A a C =+．（1）求角A 的大小；（2）若b c +=，ABC ∆的面积12S =，求a 的长．17.(本小题满分15分)如图，在△ABC 中,,1,4==AC AB ∠︒=60BAC . (1)求BC 的长和sin ACB ∠的值；(2)延长AB 到AC M ,到,N 连结.MN 若四边形BMNC 的面积为，33求CN BM ·的最大值.18(本小题满分15分)已知函数()af x x b x=++，不等式()0xf x <的解集为(1,3). （1）求实数,a b 的值.（2）若关于x 的方程(2)20x xf k k --⋅-=有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.19．（本题满分16分）QDCNABCM(第17题图)如图，ABCD 是长方形海域，其中10AB =海里，AD =海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且4PAQ π∠=（其中P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面．设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S ．（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出tan θ的取值范围；（2）求S 的最大值，并指出此时θ的值．20.(本小题满分16分)在数列｝｛n a 中，n S 为其前n 项和.已知).N (214*∈+=n S a n n(1)求数列｝｛n a 的通项公式；(2)是否存在正整数M ,使得当M n >时,···741a a a …7823·a a n >-恒成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在,请说明理由；(3)是否存在等差数列｝｛n b ,使得对任意的,N *∈n 都有+++--23121···n n n a b a b a b …122··121--=++-na b a b n n n ？若存在,试求出｝｛n b 的通项公式;若不存在,请说明理由.参考答案参考答案:1.{-1,3}2.（0,1）3.244.235.56.137.548.4a ≤9.15 10.1(1,]2--11.257-12.1221.1314.2315．解:（1）由条件可得sin 22sin(2)3y x x x π+=+，……………………………4分所以该函数的最小正周期22T ππ==………………………………………………………6分（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx Θ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴65,332πππx ，……………………………………………………8分当12π=x 时，函数y 取得最大值为2，当4π=x 时，函数y 取得最小值为1∴函数y 的值域为[]2,1…………………………………………………………………………14分2)2(;3;13)1.(17==ABC S BC V19．解：（1）在Rt APB ∆中，10tan BP θ=，11010tan 50tan 2ABP S θθ∆=⨯⨯= 在Rt ADQ ∆中，102tan()4DQ πθ=-，1102102tan()100tan()244ADQ S ππθθ∆=⨯⨯-=- ∴100250tan 100tan()4S πθθ=---1tan 100250tan 1001tan θθθ-=--⨯+…5分其中0tan 120tan()42θπθ≤≤⎧⎪⎨≤-≤⎪⎩322tan 1θ-≤≤（注：观察图形的极端位置，计算出tan θ的范围也可得分．） ∴1tan 100250tan 1001tan S θθθ-=--⨯+，322tan 1θ-≤≤………………8分（2）∵tan 0θ>，1tan 4100250(tan 2)100250(tan 13)1tan tan 1S θθθθθ-=-+⨯=-++-++4100250(2(tan 1)3)100250tan 1θθ≤-+⋅-=-+……………13分当且仅当4tan 1tan 1θθ+=+时取等号，亦即tan 1θ=时，max 100250S =-∵(0,)2πθ∈4πθ∴=答：当4πθ=时，S 有最大值50-．……………15分..)3(;8)2(;2)1.(202n b a n n n ==-。

必修五检测：学业质量标准检测

)
12．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，已知 a2－c2＝b，且 sin(A－C)＝2cosAsinC，则 b＝ ( A．6 C．2 13．下列函数中，最小值是 4 的函数是 ( 4 A．y＝x＋ x C．y＝ex＋4e
－x
) B．4 D．1 )
4 B．y＝sinx＋ (0<x<π) sinx D．y＝log3x＋logx81 )
取得最小值时 �� 点的坐标．
27. 已知平面内两点 �� 8, −6 ，�� 2,2 ． Ⅰ 求过点 �� 2, −3 且与直线 �� 平行的直线 �� 的方程； Ⅱ 求线段 �� 的垂直平分线方程．
1—14 CCDBC BCCAA
14．若△ABC 的三边为 a，b，c，f(x)＝b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2，则函数 f(x)的图象 ( A．与 x 轴相切 C．在 x 轴下方二、填空题 B．在 x 轴上方 D．与 x 轴交于两点
15．三角形一边长 14，它对的角为 60° ，另两边之比为 8︰5，则此三角形面积为________. 16．若关于 x 的不等式 ax2－6x＋a2<0 的解集是(1，m)，则 m＝__________. 17．(2014· 新课标Ⅰ理，16)已知 a，b，c 分别为 △ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a＝2，且(2＋ b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC 面积的最大值为_________. 三、解答题 3 18．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ an－1(n∈N*). 2 an 1 1 1 (1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝2log3 ＋1，求＋＋…＋ . 2 b1b2 b2b3 bn－1bn

人教A版高中数学必修五学业水平测试题答案(上交,正考)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作乌鲁木齐市高级中学2008/2009学年第二学期第一学段学业水平考试高一数学（必修5）（正考）参考答案一、选择题（批改：杨帆，林强）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C B B C C C DDADCBABDB二、填空题（批改：杨帆，林强）17．（－2，5） 18．13 19．(4,0)- 20．（教材P45改编）5,(1)2,(2)n n a n n =⎧=⎨≥⎩三、解答题21．（批改：唐惠玲） ∵a ＞c ＞ b,∴A 最大， 22201cos 12022b c a A A bc +-==-∴= 22．（批改：唐惠玲）证明：∵+∈R c b a ,,∴ab b a 2≥+，bc cb b 2≥+ac c a 2≥+，∴ca bc ab c b a 222222++≥++ ∴ a b c ab bc ca ++≥++ 23．（批改：陆永红）（1）398)1(1+-=-+=n d n a a n （2）当n =4时n S 最大，76=n S24．（教材P85+P90）（批改：杨华）解：设,x y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，能够产生利润z 万元。

答：生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。

25．（批改：王治国）解：（Ⅰ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =．因为c 非零，∴c ＝2（Ⅱ）a 1=2,当n ≥2时，12(1)n n a a n -=+-,122(2)n n a a n --=+-，……，2121a a =+⨯ 将这n －1个式子相加得 212(121)2n a a n n n n =+-+-++=-+∴22n a n n =-+，显然n ＝1时也符合。

北师大版数学高一-北师大版必修5 第三章学业水平达标检测

第三章学业水平达标检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<0，－1<b<0，则有()A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a解析：由－1<b<0，可得1>b2>0>b，由a<0，得ab>ab2>a.答案：D2．下列命题中正确的是()A．a>b⇒ac2>bc2B．a>b⇒a2>b2C．a>b⇒a3>b3D．a2>b2⇒a>b解析：选项A中，当c＝0时，ac2＝bc2，所以A不正确；选项B中，当a＝0，b＝－1时，a>b，但a2<b2，所以B不正确；选项D中，当a＝－2，b＝－1时，a2>b2，但a<b，所以D不正确．很明显C正确．答案：C3．设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k 的区域OBC ，平移直线y ＝－x ＋z ，由图象可知当直线经过点C 时，直线的截距最大，此时z ＝6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－x ＋6解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝3，所以k ＝3，解得点B (－6,3)，由图象可知当直线经过B 点时，直线的截距最小，因此把点B (－6,3)代入直线z ＝x ＋y ，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3,4]，则B ＝[－1,4]，∴a ＝－(－1＋4)＝－3，b ＝－1×4＝－4，∴a ＋b ＝－7.答案：D6．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：∵x ⊙(x －2)＝x ·(x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)<0，∴－2<x <1，故选B.答案：B7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C．8 D．23解析：约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥3，x－y≥－1，2x－y≤3，表示的平面区域如图．易知过C(2,1)时，目标函数z＝2x＋3y 取得最小值．∴z min＝2×2＋3×1＝7.故选B.答案：B8．已知x>0，y>0.若2yx＋8xy>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4C．－2<m<4 D．－4<m<2解析：∵x>0，y>0.∴2yx＋8xy≥8(当且仅＝4y －2y 2＝－2(y －1)2＋2≤2，故当y ＝1时x ＋2y －z 有最大值2.故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)13．线性目标函数z ＝3x ＋2y ，在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a ，下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围是__________．解析：作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a .所表示的可行域如图所示，因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与可行域的边界线不平行，根据图形及直线斜率可得实数a 的取值范围是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞) 14．已知不等式ax x －1<1的解集为{x |x <1或x >2}，则a ＝__________.解析：原不等式化为(a －1)x ＋1x －1<0⇒(x －1)[(a －1)x ＋1]<0.因为此不等式的解集为{x |x <1或x >2}，所以a －1<0且－1a －1＝2，所以a ＝12.答案：1215．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，则y －1x －1的取值范围是__________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示．设P (x ，y )为可行域内的一点，M (1,1)，则y －1x －1＝k PM ，由于点P 在可行域内，则由图知k MB ≤k PM ≤k MA ，又可得A (0，－1)，B (－1,0)，则k MA ＝2，k MB ＝12，则12≤k PM ≤2，即y －1x －1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 16．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为__________．解析：令x ＋y ＝m ，x －y ＝n ，则x ＝m ＋n 2，y ＝m －n 2， ∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ m ＋n 2＋m －n 2≤1m ＋n ≥0m －n ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1m ＋n ≥0.m －n ≥0画出其所表示的平面区域(如图所示)．其平面区域的面积S ＝12×2×1＝1.答案：1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x－21－ax－2＜0.故当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|2＜x＜21－a}．当a＜0时，原不等式的解集为{x|21－a＜x＜2}．当a＝0时，原不等式的解集为∅.20．(本小题满分12分)某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划把图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN 上，假设AB的长度为x米．(1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式；(2)要使仓库占地ABCD的面积不少于分别是x h 、y h.(1)作图表示满足上述条件的点(x ，y )的范围；(2)如果已知所需经费p ＝100＋3(5－x )＋2(8－y )(元)，那么v 、w 分别是多少时花费最经济？此时花费多少元？解析：(1)由题意，得v ＝50y ，w ＝300x ，∵4≤v ≤20,30≤w ≤100，∴4≤50y≤20,30≤300x ≤100，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3≤x ≤10，52≤y ≤252. 又∵汽车、摩托艇所需要的时间和x ＋y应在9至14个小时之间，即9≤x ＋y ≤14，。

2020_2021学年高中数学综合学业质量标准检测(含解析)北师大版必修5

＋c＝8.
(1)若 a＝2，b＝5，求 cosC 的值； 2
(2)若 sinAcos2B＋sinBcos2A＝2sinC，且△ABC 的面积 S＝9sinC，求 a 和 b 的值．
2
2
2
[解析] (1)∵a＋b＋c＝8，a＝2，b＝5， 2
57 ∴c＝8－2－＝ .
22
25 49
4＋－
a2＋b2－c2
18．(本小题满分 12 分)已知 b 是 a，c 的等差中项，且 lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)
成等差数列，同时 a＋b＋c＝15，求 a，b，c 的值．
[解析] ∵2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，∴3b＝15，b＝5.
设等差数列 a，b，c 的公差为 d，则
a＝5－d，c＝5＋d.
由余弦定理，得 cosC＝
＝
4
4
1 ＝－ .
2ab
55
2×2×
2
(2)由 sinAcos2B＋sinBcos2A＝2sinC，可得
2
2
sinA·1＋cosB＋sinB·1＋cosA＝2sinC，
2
2
化简得：sinA＋sinB＋sin(A＋B)＝4sinC，
即 sinA＋sinB＝3sinC，由正弦定理可得
6．在△ABC 中，b2－bc－2c2＝0，a＝ 6，cosA＝7，则△ABC 的面积 S 为( A ) 8
15 A．
2
B． 15
C．2 [解析]
∵b2－bc－2c2＝0，
D．3
∴(b－2c)(b＋c)＝0，
∵b＋c≠0，∴b－2c＝0.∴b＝2c.
∴6＝c2＋4c2－2c·2c×7，∴c＝2，b＝4. 8

高中数学人教版必修5阶段质量检测(一) Word版含解析

阶段质量检测（一）(卷学业水平达标)(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．在△中，＝，则△一定是( )．等腰三角形．直角三角形．等边三角形．等腰直角三角形解析：选由题意有)＝＝)，则＝，即角为直角，故△是直角三角形．．在△中，＝°，＝°，＝，则最短边的边长等于( )解析：选∵＝°－°－°＝°，∴＞＞，∴边最短．由)＝)得＝)＝° °)＝.．在△中，＝°，＝，＝，那么满足条件的△( )．有两个解．有一个解．无解．不能确定解析：选＝×°＝×＝.又＝，且＜，故△无解．．若三角形三边长如下：①；②；③，.其中分别为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的是( )．③②①．①②③．③①②．②③①解析：选利用余弦定理，计算最大边所对角的余弦值，判断最大角是钝角、直角或锐角即可．．△的三边长分别为＝，＝，＝，则·的值为( )．．．－．－解析：选在△中，由余弦定理得＝＝＝.∴·＝－＝－××＝－.．若△的内角，，满足＝＝，则等于( )解析：选依题意，结合正弦定理得＝＝，设＝(＞)，则有＝，＝，＝，由余弦定理得＝＝＝.．已知△的内角，，的对边分别为，，，且＝＋)，则等于( )解析：选由正弦定理得(－)(＋)＝(－)，即＋－＝＝，＝.又<<π，因此＝.．已知圆的半径为，，，为该圆的内接三角形的三边，若＝，则三角形的面积为()．．解析：选∵)＝)＝)＝＝，∴＝，∴△＝＝＝＝.．在△中，角，，的对边分别为，，，＝，＝，＝，则△是( )．直角三角形．锐角三角形．不能确定．钝角三角形解析：选由正弦定理得)＝)，则＝，从而＝＝－＝－＜，所以角为钝角，△是钝角三角形．．(江西高考)在△中，内角，，所对的边分别是，，.若＝(－)＋，＝，则△的面积是( )．．解析：选由＝(－)＋可得＋－＝－.①由余弦定理及＝可得＋－＝.②。

高一数学必修五综合学业质量标准检测1

综合学业质量标准检测(一)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值是( B )A ．14B ．16C ．18D ．20[解析] ∵S 4＝1，S 8＝3，∴a 1·1－q 41－q ＝1，a 1·1－q 81－q＝3，∴1＋q 4＝3，即q 4＝2，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 16(1＋q ＋q 2＋q 3)＝q 16·a 1(1－q 4)1－q＝16.2．若1＋2＋22＋…＋2n >128，n ∈N *，则n 的最小值为( B )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1.∵2n ＋1－1>128＝27，∴n ＋1>7，n >6.又∵n ∈N *，∴n ＝7.3．已知集合A ＝{x ||x ＋1|≤2}，B ＝{x |y ＝lg(x 2－x －2)}，则A ∩∁R B ＝( C ) A ．[－3，－1) B ．[－3，－1] C ．[－1,1] D ．(－1,1][解析] 因为A ＝{x ||x ＋1|≤2}＝{x |－3≤x ≤1}，B ＝{x |lg(x 2－x －2)}＝{x |x 2－x －2>0}＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R B ＝{x |－1≤x ≤2}，所以A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}． 4．已知a >b >0，c ≠0，则下列不等式中不恒成立的是( B ) A ．ac 2>bc 2 B ．a －b c >0 C ．(a ＋b )(1a ＋1b)>4 D ．a 2＋b 2＋2>2a ＋2b[解析] ∵c ≠0，∴c 2>0，又∵a >b ，∴ac 2>bc 2； ∵a >b ，∴a －b >0，又c ≠0， ∴c >0时a －b c >0，c <0时，a －bc <0；∵a >b >0，∴(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab>2＋2b a ·ab＝4， ∵a >b >0，∴a 2＋b 2＋2－2a －2b ＝(a －1)2＋(b －1)2>0，故A ，C ，D 恒成立，B 不恒成立．5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( C ) A ．12B ．1C ． 3D ．2[解析] 因为b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝bc ，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×4×32＝3，故选C ．6．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( C )A ．1x －1y >0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y <0 D ．ln x ＋ln y >0[解析] 解法1：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y )＝ln1＝0，排除D ．故选C ．解法2：因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫12y ，即⎝⎛⎭⎫12x －⎝⎛⎭⎫12y <0，故选C ．7．已知数列{a n }，满足a n ＋1＝11－a n，若a 1＝12，则a 2015＝( B )A ．12B ．2C ．－1D ．1[解析] 易知a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝2，∴数列{a n }的周期为3，而2015＝671×3＋2，∴a 2015＝a 2＝2.8．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( C )A ．22B ．4C ．3 2D ．6[解析] 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)．D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.故选C ．9．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1(n ∈N *)，若a n ＋a n ＋1＝11－3，则n 的值是( B )A ．12B ．9C ．8D ．6[解析] ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴a n ＋a n ＋1＝n ＋1－n ＋n ＋2－n ＋1 ＝n ＋2－n ＝11－3＝11－9， ∴n ＝9.10．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2、3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于( D )A ．32 B ．34 C ．32或 3 D ．32或34[解析] 依题意得AB ＝3，BC ＝1，易判断△ABC 有两解，由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A ，3sin C ＝1sin30°，即sin C ＝32.又0°<C <180°，因此有C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝90°，△ABC 的面积为12AB ·BC ＝32；当C ＝120°时，B ＝30°，△ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B ＝12×3×1×sin30°＝34.综上所述，选D ． 11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝( C )A ．52B ．78C ．104D ．208[解析] 由等差数列的性质得 a 2＋a 7＋a 12＝3a 7＝24，∴a 7＝8， ∴S 13＝13a 7＝104，故选C ．12．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( C )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 由已知得，1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，则a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b＝4，当b a ＝ab，即a ＝b ＝2时取等号．二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 5＝b 5,2a 5－a 2a 8＝0，则b 3＋b 7＝4.[解析] ∵2a 5－a 2a 8＝2a 5－a 25＝0，a n ≠0，∴a 5＝2， ∴b 3＋b 7＝2b 5＝2a 5＝4.14．在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则∠C ＝π4.[解析] 由正弦定理得3sin π3＝6sin C ，∴sin C ＝22，∵AB <BC ，∴C <A ，∴C ＝π4.15．已知变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. [解析] 作出可行域如图(包括边界)当直线z ＝ax ＋y 经过A 点，位于直线l 1与x ＋2y －3＝0之间时， z 仅在点A (3,0)处取得最大值， ∴－a <－12，∴a >12.16．已知点(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方，且不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立，则t 的取值集合为{t |3<t <4}.[解析] ∵(1，t )在直线2x －y ＋1＝0的上方， ∴t >3，∵不等式x 2＋(2t －4)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(2t －4)2－16<0，∴0<t <4，∴3<t <4.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数.[解析] 由题意，设这三个数分别是a q ，a ，aq ，且q ≠1，则aq ＋a ＋aq ＝114①令这个等差数列的公差为d ，则a ＝aq ＋(4－1)·d .则d ＝13(a －a q)，又有aq ＝a q ＋24×13×⎝⎛⎭⎫a －a q ② 由②得(q －1)(q －7)＝0，∵q ≠1，∴q ＝7 代入①得a ＝14，则所求三数为2,14,98.18．(本题满分12分)设函数f (x )＝12sin2x －cos 2(x ＋π4).(1)若x ∈(0，π)，求f (x )的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B2)＝0，b ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解析] (1)由题意可知，f (x )＝12sin2x －1＋cos (2x ＋π2)2＝12sin2x －1－sin2x 2＝sin2x －12.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .又因为x ∈(0，π)，所以f (x )的单调递增区间是(0，π4]和[3π4，π)．(2)由f (B 2)＝sin B －12＝0，得sin B ＝12，由题意知B 为锐角，所以cos B ＝32. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得1＋3ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，即ac ≤2＋3，当且仅当a ＝c 时等号成立．因为S △ABC ＝12ac sin B ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 19．(本题满分12分)为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，去年冬天，某水利工程队在河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为10 000 m 2的矩形鱼塘，其四周都留有宽2 m 的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小.[解析] 设鱼塘的长为 x m ，宽为y m ，则农田长为(x ＋4)m ，宽为(y ＋4)m ，设农田面积为S .则xy ＝10 000，S ＝(x ＋4)(y ＋4)＝xy ＋4(x ＋y )＋16＝10 000＋16＋4(x ＋y )≥10 016＋8xy ＝10 016＋800＝10 816.当且仅当x ＝y ＝100时取等号．所以当x ＝y ＝100时，S min ＝10 816 m 2. 此时农田长为104 m ，宽为104 m.20．(本题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1nb n ＝b n ＋1－1(n ∈N *).(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n . [解析] (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n . 当n ＝1时，b 1＝b 2－1，因为b 1＝1，所以b 2＝2. 当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1b n ＝n ＋1n ，由累乘法得：b n ＝n .①，又∵b n ＝1，符合①式，∴b n ＝n (2)由(1)知，a n b n ＝n ·2n ，所以T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.21．(本题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(cos B,2cos 2C2－1)，n ＝(c ，b －2a )，且m ·n ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边AB 上一点，且满足AD →＝DB →，|CD →|＝7，c ＝23，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(c ，b －2a )，m ·n ＝0， ∴c cos B ＋(b －2a )cos C ＝0，在△ABC 中，由正弦定理得 sin C cos B ＋(sin B －2sin A )cos C ＝0， ∴sin A ＝2sin A cos C ．又∵sin A ≠0，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)由AD →＝DB →，知CD →－CA →＝CB →－CD →，所以2CD →＝CA →＋CB →，两边平方得4|CD →|2＝b 2＋a 2＋2ba cos C ∴b 2＋a 2＋ba ＝28.①又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴a 2＋b 2－ab ＝12.② 由①②得ab ＝8，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2 3.22．(本题满分14分)已知α、β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a 、b ∈R ，求b －3a －1的最大值和最小值.[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝－aαβ＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－(α＋β)b ＝αβ2，∵0≤α≤1,1≤β≤2， ∴1≤α＋β≤3,0≤αβ≤2.∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤－10≤b ≤1. 建立平面直角坐标系aOb ，则上述不等式组表示的平面区域如图所示．令k ＝b －3a －1，可以看成动点P (a ，b )与定点A (1,3)的连线的斜率．取B (－1,0)，C (－3,1)，则k AB ＝32，k AC ＝12，∴12≤b －3a －1≤32. 故b －3a －1的最大值是32，最小值是12.。

北师大版数学高一-北师大版必修5 第一章学业水平达标检测

①－②，得 Sn＝＋＋＋…＋－，
即 Sn＝＋－
＝＋－＝－，
∴Sn＝3－ .
13．数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则通项公式an＝________.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n＋2)－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－3.又n＝1时，a1＝1不满足an＝2n－3，所以有an＝
答案：
14．在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，则an＝________.
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f(0)＝1，则b＝1，所以f(x)＝kx＋1(k≠0)．
又[f(4)]2＝f(1)f(13)，所以(4k＋1)2＝(k＋1)(13k＋1)，解得k＝2.所以f(x)＝2x＋1，则f(2n)＝4n＋1.所以{f(2n)}是公差为4的等差数列．
所以f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝＝2n2＋3n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有
解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.
19．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的第2项为8，前10项和为185.
(1)求数列{an}的通项公式；
∴a2010＝1－＝，a2009＝1－＝－1，
a2008＝1－＝2＝a2011.
∴S2011＝(a2011＋a2010＋a2009)＋(a2008＋a2007＋a2006)＋…＋(a4＋a3＋a2)＋a1＝ ×670＋2＝1007.故选C.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)

高一数学必修五学业质量标准检测

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