概率论与数理统计习题五课后答案0001
概率论与数理统计习题5答案
AJ Lin
2013.12
5. 一本书共有 100 万个印刷符号， 排版时每个符号被排错的概率为 0.0001， 校对时每个排版错误
被改正的概率为 0.9，求校对后错误不多于 15 个的概率。 1, 第n个印刷符号校对后仍印错 解：设随机变量 X n , 0, 其它. 则 X n , n 1 是独立同分布随机变量序列，有 p P{xn 1} 0.0001 0.1 10 5 。 作 Yn X k ， (n 106 ) ， Yn 为校对后错误总数。 按中心极限定理，有 Y np 15 np 3 5 5 P{Yn 15} P n (5 / [10 10 (1 10 )]) (1.58) 0.9495 . npq npq
AJ Lin
2013.12
习题 5 答案
1. 一部件包括 10 部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布，其数学 期望为 2mm，均方差为 0.05mm，规定总长度为（ 20 0.1 ）mm 时产品合格，试求产品合格的 概率。 （其中 (0.63) 0.7357 ， (1.63) 0.9484 ） 解：令 X i 表示第 i 部分的长度， i 1, 2, ,10 ，据题意知， X 1 , X 2 , , X 10 相互独立同分布，且 E ( X i ) 2 ， D ( X i ) 0.052 ，故产品合格的概率为
300 X k 300 1.29 400 300 1.29 1 P k 1 300 0.0489 300 0.0489
300 X k 300 1.29 1 P k 1 3.39 1 3.39 1 0.9997 0.0003 . 300 0.0489 (2)设 Y 表示这天售出价格为 1.2 元的蛋糕个数，则 Y ~ B 300, 0.2 ，又 np 300 0.2 60, np (1 p ) 60 0.8 48 ， Y ~ N 60, 48 ，所求概率为 Y 60 60 60 P Y 60 1 P Y 60 1 P 1 (0) 0.5 . 48 48 8. (1)一个复杂系统由 100 个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为 0.1，
概率论与数理统计习题册 第五章 答案
P{X
>
4500}
=1−
P{X
≤
4500}
= 1 − Φ⎜⎜⎝⎛
4500 − 4475 612.5
⎟⎟⎠⎞
≈ 1− Φ(1.01) = 1− 0.8413 = 0.1587
（2） P{4400
<
X
<
4500} = Φ⎜⎜⎝⎛
4500 − 4475 612.5
⎟⎟⎠⎞
−
Φ⎜⎜⎝⎛
4400 − 4475 612.5
E( Xi ) = 10× 0.4 + 9× 0.3 + 8× 0.2 + 7 × 0.05 + 6× 0.05 = 8.95 ，
D( Xi
)
=
E
(
X
2 i
)
−
( EX i
)2
=1.225 ，
设总分为 X ，则 X ~ N (500 × 8.95, 500 ×1.225) ，即 X ~ N (4475, 612.5) . 因此
n
∑ 解 设有 n 个数相加，X i 分别为每个数的舍入误差。记 X = Xi ，E( Xi ) = 0 ， i =1
16
∑ D( Xi )
=
1 12
由定理一知，随机变量 Z
=
k =1
Xi − n⋅0 n / 12
近似地服从正态分布 N (0,1)
(1) 所求概率
P{ X ≤ 15} = P{−15 ≤ X ≤ 15} = P{ −15 < X < 15 } 55 55 55
P{| Xn − a |< 0.1} ≥ 0.95 的 n 的最小值应不小于自然数
概率论与数理统计课后习题参考答案
习题11、（1）同时掷两枚骰子，记录点数之和 {2,3,,12}S =；（2）生产产品知道得到5件正品，记录生产产品的总件数 {5,6,}S =； （3）单位圆任取一点，记录它的坐标 22{(,)1,,}S x y x y x R y R =+<∈∈；（4）将单位长线段分3段，观察各段长度{(,,)1,0,0,0}S x y z x y z x y z =++=>>>。
2、（1）A 与B 都发生，C 不发生：ABC ；（2）ABC 至少一个发生：A B C ；（3）ABC 不多于一个发生：ABAC BC 。
3、对事件ABC ，已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8，求ABC 至少发生一个的概率？解：依题可知，()0P ABC =，则所求的概率为()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++---+1153000488=⨯---+= 4、将10本书任意地放在书架上，其中有一套4卷成套的书，求概率？解：设事件A 表示“成套的书放在一起”，B 表示“成套的书按卷次顺序排好放在一起”，由概率的古典定义可得所求的概率为 （1）成套的书放在一起：7!4!1()10!30P A ⋅==（2）成套的书案卷次顺序排好放在一起：7!11()10!720P B ⋅==5、从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子不能配成一双的概率是多少？解：设事件A 表示“取出的4只鞋子不能配成一双”，由概率的古典定义可得所求的概率为 44541028()21C P A C ⋅== 6、在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面4个数全不相同的概率？解：设事件A 表示“电话号码的后面4个数全不相同”，由概率的古典定义可得所求的概率为4104()0.50410A P A ==7、已知P(非A)=0、3，P(B)=0、4，P(A 非B)=1/2，求P(B|AU 非B)？ 解：依题可知，()1()0.7P A P A =-=，()1()0.6P B P B =-=，而()0.55()()0.77P AB P B A P A ===则2()1()7P B A P B A =-=，()()()0.2P AB P A P B A ==，故所求的概率为 ()()()()()P BAB P ABBB P B A B P AB P AB ⎡⎤⎣⎦== ()0.20.25()()()0.70.60.5P AB P A P B P AB ===+-+-8、设AB 是随机事件，P(A)=0、7，P(A-B)=0、3，求P （非(AB)）？解：由()()()P A B P A P AB -=-，得()()()0.70.30.4P AB P A P A B =--=-=故 ()1()0.6P AB P AB =-=9、半圆内均匀的投掷一随机点Q ，试求事件A={Q于π/4}的概率？解：事件A 所对应的区域D 如下图所示，由概率的几何定义得所求的概率为()()()m D P A m S ==10、10解：设事件A 表示“这对夫妇正好坐在一起”，(91)!22()(101)!9P A -⋅==-11、已知10只晶体管中有2只是次品，在其中任取两只，每次随机取一只作不放回抽取 解：设事件A 表示“两只都是正品”， B 表示“两只都是次品”， C 表示“一只是正品，一只是次品”， D 表示“第二次取出的是次品”， 由概率的古典定义可得所求的概率为（1）两只都是正品2821028()45A P A A == （2）两只都是次品222101()45A P B A ==（3）一直是正品，一只是次品11128221016()45C C C P C A ⋅⋅== （4）第二次取出的是次品11292101()5C C PD A ⋅== 12、某学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p ，如果他第一次及格，则x第二次及格的概率也为p ，如果第一次不及格，第二次及格概率为p/2。
概率论与数理统计第五章习题参考答案
F = S甲2 ~ F (4,4) S乙2
由
P⎪⎨⎧ ⎪⎩
S甲2 S乙2
<
F 1−
0.05
(4,4)
U
2
S甲2 S乙2
>
F0.05
2
(4,4)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.05
查表得： F0.05 (4,4) = 9.6,
2
F 1−
0.05
2
(4,4)
=
1 F0.025 (4,4)
=
0.1042
，
故拒绝域为 (0, 0.142) U (9.6, + ∞) .
54 67 68 78 70 66 67 70 65 69 问患者与正常人的脉搏有无显著差异（患者的脉搏可视为服从正态分布。α = 0.05 ） 解：设患者的脉搏为 X , 计算其样本均值与样本方差分别为 x = 67.4, s = 5.93
在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ = µ0 = 72 H1 : µ ≠ µ0 = 72
问两台机器的加工精度是否有显著差异（α = 0.05 ）？
解：在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ1 = µ 2
H1 : µ1 ≠ µ2
因为
µ1，µ
2，σ
12，σ
2 2
均未知，且不知
σ
12与σ
2 2
是否相等，
故先检验假设 H 0′
:
σ
2 1
=
σ
2 2
,
H
1′
:
σ
2 1
≠
σ
2 2
。
H1 : µ1 ≠ µ2
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
天津理工大学概率论与数理统计第五章习题答案详解
第 5 章 大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量μξ=)(E ，方差2σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 91 . 2.设nξξξ,,, 21是n 个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑==ni in1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n211-. 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,1(1,2,,9)i DX i ==, 令91i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式直接可得{}≥<-ε9X P 291ε-. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有22{||}P X σμεε-≥≤, 或者22{||}1.P X σμεε-<≥-由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以999111()()19,i i i i i E X E X E X μ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑9992111()()19.i i i i i D X D X D X σ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑4. 设随机变量X 满足：2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 116≤. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则对任意的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤=5、设随机变量2σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 43.6、设n ξξξ,,, 21为相互独立的随机变量序列，且),,( 21=i i ξ服从参数为λ的泊松分布，则≤-∑=∞→}{lim x n n P ni in λλξ1∞--xt dt e22 .7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则≈≤<}{b a P n η⎰-----)1()1(2221p np np b p np np a t dt e π.8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=, 那么, 对于任一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞-<= 0 .9. 设12,,,n X X X 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指{}=<->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}=≥->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 0 。
概率论第五章习题解答(全)
10 ) 1 0.90 n 12
即
(
10 ) 0.95 ，查表得 (1.64) 0.95 n 12
n 443 。
令
10 1.64 ，解得 n 12
即最多可有 443 个数相加，可使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90。 4、 设各零件的重量都是随机变量， 它们相互独立， 且服从相同的分布， 其数学期望为 0.5kg， 圴方为 0.1kg，问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少？ 解 设每只零件的重量为 X i ， i 1, 2, ,5000 ，由独立同分布的中心极限定理知
100
i
， 则 X b(100, 0.9) 。 由德莫弗――拉普拉斯定理知，
X 100 0.9 近 100 0.9 0.1
2 10000 i 1
X
i
索赔总金额不超过 2700000 美元的概率
P{ X 2700000} 1` P{ X 270000}
10000
1 P{
X
i 1
i
280 10000
800 100
2700000 2800000 } 80000
10000
1 P{
2 2
X
i 1
16
i
，
于是随机变量
Z
Xi n
i 1
16
2 n
X
i 1
16
i
1600
10000 16
X 1600 近似的服从 N (0,1) 400
P{ X 1920} P{
X 1600 1920 1600 X 1600 } P{ 0.8} 400 400 400 X 1600 1 P{ 0.8} 1 (0.8) ＝ 1 0.7881 0.2119 . 400
概率论与数理统计第五章习题解答.dot
当零假设H o 成立时，变量:汕 X32.0. 6~N(0, 1)1.10.89 1.9632.0，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度 显着为32.0kg/cm 2。
解：这是检验正态总体数学期望是否大于10提出假设：H 。
：10, H 1 : 10 即：H 0 :10,H 1 :10由题设，样本容量n5，20.12，0.120.1，检验解：这是检验正态总体数学期望提出假设：H 。
：32.0, 由题设，样本容量n 6，是否为H 1 : 32.01.21，1.21 1.1，所以用 U因检验水平 0.05，由 P{| U|0.05,查表得1.96得到拒绝域: |u |1.96计算得:1(32.6 30.0 31.6632.0 31.8 31.6) 31.600-壮叫0.89它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 。
，而接受H 0，即可以认为X 10.1万 km ,所以用U 检验当零假设H o 成立时， 变量: X10一5~N(0,1)0.1因检验水平 0.05,由P{U} 0.05,查表得'1.64得到拒绝域: 1.64计算得：ux 0 斤 10.1n0.110” 52.242.24 1.64它落入拒绝域, 于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1,即可认为 10所以可以认为这批新摩托车的平均寿命 有显者提高。
解：这是检验正态总体数学期望是否小于240提出假设：H 。
:即：H 。
:由题设，样本容量n240, H 1 : 240 240,H 1 : 2402625，、625 25， x 220，所6 以用U 检验当零假设H o 成立时， 变量：因检验水平 0.05， 由P{U得到拒绝域： u1.64计算得：u Xn220U 02406 25”nX 2406 ~ N(0,1)250.05,查表得'1.641.959它落入拒绝域，于是拒绝H o,而接受H i，即可以认为240所以可以认为今年果园每株梨树的平均产量显着减少。
概率论与数理统计习题及答案-第五章
习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10<X <18}.【解】设i X 表每次掷的点数，则41i i X X==∑22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 从而 22291735()()[()].6212i i i D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 又X 1,X 2,X 3,X 4独立同分布.从而44117()()()414,2i i i i E X E X E X =====⨯=∑∑ 44113535()()()4.123i i i i D X D X D X =====⨯=∑∑ 所以 235/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈ 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？【解】令1,,0,i i X ⎧⎨⎩若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=0.8.现要求n ,使得1{0.760.84}0.9.n i i X P n =≤≤≥∑即0.80.9ni X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得0.9,Φ-Φ≥整理得0.95,Φ≥⎝⎭1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269.3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，0.7）,()140,()42,E X D X ==0.95{0}().P X m P X m =≤≤=≤=Φ 查表知1.64,= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）.4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V =∑=201k k V，求P {V ＞105}的近似值.【解】易知:E (V k )=5,D (V k )=10012,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量20205~(0,1).k V Z N -⨯==∑近似的于是105205{105}10P V P ⎧⎫⎪⎪-⨯⎪>=>⎬⎪⎪⎭1000.3871(0.387)0.348,10V P ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=>≈-Φ=⎨⎬⎪⎪⎭即有 P {V >105}≈0.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？【解】设100根中有X 根短于3m ，则X ~B （100，0.2）从而{30}1{30}1P X P X ≥=-<≈-Φ 1(2.5)10.99380.0062.=-Φ=-=6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解】1,,1,2,,100.0,.i i X i ⎧==⎨⎩ 第人治愈其他 令1001.ii X X ==∑ (1) X ~B (100,0.8)，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑ 1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ=(2) X ~B (100,0.7)，1001{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑11(1.09)0.1379.=-Φ=-Φ= 7. 用Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】令1000件中废品数X ，则p =0.05,n =1000,X ~B (1000,0.05)，E (X )=50，D (X )=47.5.故130{20} 6.895 6.895P X ϕ⎛⎫===- ⎪⎝⎭6130 4.510.6.895 6.895ϕ-⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭ 8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T 1，…，T 30服从参数λ=0.1[单位：（小时）-1]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T 为30个器件使用的总计时间，求T 超过350小时的概率. 【解】11()10,0.1i E T λ=== 21()100,i D T λ== ()1030300,E T =⨯= ()3000.D T =故{350}111(0.913)0.1814.P T >≈-Φ=-Φ=-Φ= 9. 上题中的电子器件若每件为a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.【解】设至少需n 件才够用.则E (T i )=10，D (T i )=100，E (T )=10n ，D (T )=100n .从而1{3068}0.95,ni i P T =≥⨯=∑即0.05.≈Φ 故0.95, 1.64272.n =Φ=≈所以需272a 元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1） 求参加会议的家长数X 超过450的概率？（2） 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】（1） 以X i (i =1,2,…,400)记第i 个学生来参加会议的家长数.则X i 的分布律为 X i 0 1 2P 0.05 0.80.15 易知E （Xi =1.1）,D (X i )=0.19,i =1,2, (400)而400i i X X=∑,由中心极限定理得400400 1.1~(0,1).i X N -⨯=∑近似地 于是{450}1{450}1P X P X >=-≤≈-Φ 1(1.147)0.1357.=-Φ= (2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y ~B (400,0.8) 由拉普拉斯中心极限定理得{340(2.5)0.9938.P Y ≤≈Φ=Φ= 11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X 表10000个婴儿中男孩的个数，则X ~B （10000，0.515） 要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求P {X ≤5000}. 由中心极限定理有{5000}(3)1(3)0.00135.P X ≤≈Φ=Φ-=-Φ= 12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够进入？（2）至多有多少人能够进入？【解】用X i 表第i 个人能够按时进入掩蔽体（i =1,2,…,1000）.令 S n =X 1+X 2+…+X 1000.(1) 设至少有m 人能够进入掩蔽体，要求P {m ≤S n ≤1000}≥0.95，事件{}.n m S ≤=≤ 由中心极限定理知：{}1{}10.95.n n P m S P S m ≤=-<≈-Φ≥ 从而 0.05,Φ≤ 故1.65,=- 所以 m =900-15.65=884.35≈884人(2) 设至多有M 人能进入掩蔽体，要求P {0≤S n ≤M }≥0.95.{}0.95.n P S M ≤≈Φ==1.65,M =900+15.65=915.65≈916人. 13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：（1） 保险公司没有利润的概率为多大；（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？【解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则X ~B （10000，0.006）.(1) 公司没有利润当且仅当“1000X =10000×12”即“X =120”.于是所求概率为{120}P X =≈21(60230.18110.0517e 0--===⨯≈(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X ≤60” 于是所求概率为{060}P X ≤≤≈Φ-Φ(0)0.5.⎛=Φ-Φ≈ ⎝ 14. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P {|X -Y |≥6}的估计. （2001研考）【解】令Z =X -Y ，有()0,()()()()2 3.E Z D Z D X Y D X D Y ρ==-=+-=所以2()31{|()|6}{||6}.63612D X Y P ZE Z P X Y --≥=-≥≤== 15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.（1） 写出X 的概率分布；（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.（1988研考）【解】（1） X 可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，X ~B (100,0.2)，故X 的概率分布是100100{}C 0.20.8,1,2,,100.k k k P X k k -===(2) 被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得{1430}P X ≤≤≈Φ-Φ (2.5)( 1.5)0.994[9.33]0.927.=Φ-Φ-=--=16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.【解】设X i （i =1,2,…,n ）是装运i 箱的重量（单位：千克），n 为所求的箱数，由条件知，可把X 1，X 2，…，X n 视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量T n =X 1+X 2+…+X n 是独立同分布随机变量之和，由条件知：()50,i E X = 5,=()50,n E T n = =依中心极限定理，当n ~(0,1)N 近似地,故箱数n 取决于条件{5000}n P T P ≤=≤0.977(2).≈Φ>=Φ 2>解出n <98.0199,即最多可装98箱.。
概率论与数理统计复旦大学出版社第五章课后答案
概率与数理统计习题五答案1•一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P{10VXV18}.达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件?【解】设至少要生产n 件产品才能满足要求,人 1,第i 个产品合格， 令X i0,第i 个产品不合格.'1,2,L ,n ，则X 1,X 2,L ,X n 相互独立且服从相同的（0— 1）分布，P P X i 1 0.8现要求n,使得nX i P 0.76— 0.84 0.9.n【解】设X i （i 123,4）表示第i 次掷的点数，则4X ii 1E(X i ) E(X i 2)112 16 612 1 2261 6 321 642 5 16 1 52 66 1 6 167 2 62 91 6 从而D(X i ) E(X i 2)[E(X i )]91 635 12又X i ,X 2,X 3,X 4独立同分布44从而 E(X) E( X i )E(X i ) i 1 i 114,所以44D(X) D( X i )D(X i )i 1i 1P{10 X 18} P{| X2.假设一条生产线生产的产品合格率是 4 35 12 35 3 141 4}1晳 0.271,4208要使一批产品的合格率742所以供应电能151X 15=2265 (单位).0.95 P{X m} P X140 m 140^42m 140742查表知耳便1.64,V 42,m=151.根据独立同分布的中心极限定理得整理得 普o.95'查表普1.64, n >268.96,故取 n=269.3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7,假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以 95%的概率保证不致因供电不足 而影响生产.【解】设需要供应车间至少m 15个单位的电能，这么多电能最多能同时供给m 部车床工作，我们的问题是求把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在 200次试验中,用X 表示正在工作的机床数目，则 X 〜B(200,0.7),E(X) np 200 0.7 140, D(X) np(1 p) 200 0.7 0.3根据题意，结合棣莫弗一拉普拉斯定理可得nX i 0.8ni 1p 0.76 n 0.8 n V n 0.8 0.2V n 0.8 0.20.84n 0.8n V n 0.8 0.20.84n 0.8n 0.76n J0.16 n』0.9,42,1P{ X 30}P{ X 30} 1 PX np 30 np J np(1 p) J np(1 p) 30 100 0.2 J100 0.2 0.81(2.5) 0.00624. 一加法器同时收到20个噪声电压V ( k 12L ,20),设它们是相互20独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布.记V V k ,k 1求P{V > 105}的近似值.100/12(k 1,2,L ,20)。
概率论与数理统计课后习题答案 (5)
概率论与数理统计课后习题答案第一章：概率论1.1 概率的基本概念1.设A, B为两个事件，且P(A) = 0.2, P(B) = 0.3，P(A并B) = 0.1，求事件A与事件B的交/并/差。
•事件A与事件B的交：P(A交B) = P(A并B) = 0.1•事件A与事件B的并：P(A并B) = P(A) + P(B) - P(A交B) = 0.2 + 0.3 - 0.1 = 0.4•事件A与事件B的差：P(A差B) = P(A) - P(A交B) = 0.2 - 0.1 = 0.1 P(B差A) = P(B) - P(A交B) = 0.3 - 0.1 = 0.21.2 条件概率与独立性2.在甲乙两个班级的男生人数分别是60人和40人，女生人数分别是40人和60人。
现从这两个班级中随机抽取一名学生，求所抽到的学生是男生的条件概率。
设事件A为所抽到的学生是男生，则 P(A) = P(甲班级男生) + P(乙班级男生) = 60/200 + 40/200 = 0.5则所抽到的学生是男生的条件概率为 P(男生|A) = P(A交男生) / P(A) = (60/200) / 0.5 = 0.61.3 全概率公式与 Bayes 公式3.有两个箱子，袋子1中有2个红球和3个蓝球，袋子2中有3个红球和4个蓝球。
先选择一个袋子，再从所选的袋子中取一个球。
若取到的是红球，求这个红球来自袋子1的概率。
设事件A为所选的袋子为袋子1，事件B为取到的是红球。
则所求的概率为P(A|B)。
根据全概率公式，有 P(B) = P(A交B) + P(A’交B) - P(A交B) = P(A) × P(B|A) = (1/2) × (2/5) = 1/5 - P(A’交B) = P(A’) × P(B|A’) = (1/2) × (3/7) = 3/14所以，P(B) = P(A交B) + P(A’交B) = 1/5 + 3/14 = 17/70根据贝叶斯公式，有 P(A|B) = P(A交B) / P(B) = (1/5) / (17/70) = 14/17所以，这个红球来自袋子1的概率为 14/17。
概率论第五章习题答案
数理统计习题答案习题5.1解答1. 设总体服从()λP 分布，试写出样本n X X X ,,,21 的联合分布律.解:()的分布律为：即X P X ,~λ ()!k e k X P k λλ-==, ,,,2,1,0n k =n X X X ,,,21 的联合分布律为：()n n x X x X x X P ===,,,2211 = ()()()n n x X P x X P x X P === 2211=nx x x x e x e x e nλλλλλλ---⋅2121=λλn n xx x e x x x n-+++!!!2121, n i n x i ,,2,1,,,2,1,0 ==2. 设总体X 服从()1,0N 分布，试写出样本n X X X ,,,21 的联合分布密度. 解：()1,0~N X ，即X 分布密度为：()2221x e x p -=π，+∞<<-∞xn X X X ,,,21 的联合分布密度为：()∏==ni inx p x x x p 121*)(,...,=22222221212121n x x x eee--⋅-πππ=()}21exp{2122∑=--n i i x n π n i x i ,,2,1, =+∞<<∞-. 3. 设总体X 服从()2,σμN 分布,试写出样本n X X X ,,,21 的联合分布密度. 解：()2,~σμN X ，即X 分布密度为：()x p =()}2exp{2122σμσπ--x ，∞<<∞-xn X X X ,,,21 的联合分布密度为：()()∏==ni i n x p x xx p 121*,...,=()})(21exp{211222∑--⋅⋅=-ni i n n x μσσπ, n i x i ,,2,1, =+∞<<∞-.4. 根据样本观测值的频率分布直方图可以对总体作什么估计与推断? 解：频率分布直方图反映了样本观测值落在各个区间长度相同的区间的频率大小，可以估计X 取值的位置与集中程度，由于每个小区间的面积就是频率，所以可以估计或推断X 的分布密度. 5. 略. 6. 略.习题5.2解答1. 观测5头基础母羊的体重(单位：kg)分别为53.2,51.3,54.5,47.8,50.9，试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设9.50,8.47,5.54,3.51,2.5354321=====x x x x x()7.257151=∑=i ix，()54.51251==∑=i ixx(3) ss =()2512512x n xx xi ii i-=-∑∑===13307.84－5×51.542=25.982(4)2s =()∑=-51251i i x x =51ss =5.1964, (5)s =2.28; (6)s s * =ss n 11-=6.4955 (7)*s =2.5486; (8)cv =100⨯*xs =4.945;(9)每个数都是一个,故没有众数. (10)中位数为3x =51.3; (11)极差为54.5－47.8=6.7;(12)0.75分位数为53.2.2. 观测100支金冠苹果枝条的生长量(单位：cm)得到频数表如下：组下限 19.5 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 组上限 24.5 29.5 34.5 39.5 44.5 49.5 54.5 59.5 64.5 组中值 22 27 32 37 42 47 52 57 62频数 8 11 13 18 18 15 10 4 3试计算这个样本观测值的数字特征：(1)样本总和，(2)样本均值，(3)离均差平方和，(4)样本方差，(5)样本标准差，(6)样本修正方差，(7)样本修正标准差，(8)样本变异系数，(9)众数，(10)中位数，(11)极差，(12)75%分位数.解：设组中值依次为921,,,x x x ,频数依次为921,,,n n n ,=+++=921n n n n 100,()=∑=911i ii x n 3950;()=+=∑=919112i ii xn n n x 39.5;()()=-=-=∑∑==29129123x n xn x x n ss i ii i i i 25.39100166300⨯-=10275;()==ss s 100142102.75; ()=s 510.137;()=-=*ss n s 1162103.788 ()=*s 710.188;()=⨯=*1008xs cv 25.79;()42379或众数是(),50210=n ;中位数为5.3924237=+;()11极差为:62-22=40;()4775.0,83,6812621521分位数为∴=+++=+++n n n n n n .3.略.4. 设n x x x ,,,21 是一组实数，a 和b 是任意非零实数，bax y i i -=(n i ,,1 =)，x 、y 分别为i x 、i y 的均值，2xs =∑-iix xn2)(1，2ys =1n()y y i i-∑2，试证明：① b a x y -=；② 222b s s x y =. 解①：∑∑==-==ni i ni i b a x ny ny 1111= ()∑=-ni i a x bn11= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=n i i na x nb 11=b a x -; ②2y s =1n∑-ii y y 2)(=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---ni i b a x b a x n121=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ni i b x x n121=221x s b .1.求分位数（1）()8205.0x ，（2）()12295.0x 。
概率论与数理统计课后习题答案(魏宗舒编)(1-4章)
2 3 6 9 。 8 7 14 1.6 有五条线段，长度分别为 1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段 能构成一个三角形的概率。 P ( A)
5 解 样本点总数为 3 10 。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是 3、5、7 或 3、7、9 或多或 5、7、9。所以事件 A “所取三条线段能构成一个三角形”包含 3 个样本点， 3 于是 P ( A) 。 10 1.7 一个小孩用 13 个字母 A, A, A, C , E , H , I , I , M , M , N , T , T 作组字游戏。如果字母的各种排 列是随机的（等可能的） ，问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？ 解 显然样本点总数为 13 ! ，事件 A “恰好组成“MATHEMATICIAN”包含 3 ! 2 ! 2 ! 2 ! 个样本点。 所以 P ( A)
n m N 1
(3)指定的 m 个盒中正好有 j 个球的概率为 m 1
m j 1 N m n j 1 ，1 n j N n 1 n
m N ,0 j N .
94 9 解 用 A 表示“牌照号码中有数字 8” ，显然 P( A) ，所以 10000 10
4
P ( A) 1 - P ( A) 1
94 9 1 10000 10
4
1.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是 1； (2)该数的四次方的末位数字是 1； (3)该数的立方的最后两位数字都是 1； 1 解 (1) 答案为 。 5 (2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答案为
概率论与数理统计课后习题答案
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第一章
（一）基本题答案 1、 （1 ） Ω 1 = { 0 , 1 , 2 , 3 } （3） Ω 3 = {( x , y ) | x 2 + y 2 < 1 } （5 ） Ω 5 = { 2 , 3 , 4 , 2、 （1） AB C
,12}
随机事件与概率
（2 ） Ω 2 = { 1 , 2 ,
C
2 M −m
+C C
1 m
1 M −m
=
2m M + m −1
注：这里采用的是在缩减的样本空间中计算条件概率的方法，且题中“有一件”其意应在 “至少有一件”而不能理解为“只有一件” ，这是因为对另一件是否是不合格还不知道。 2、 （1 ）这是条件概率，下面考虑在缩减的样本空间中去求，第一、第二次取到正品有 15 × 14 × 18 种取法，在此条件下第三次取到次品有 15 × 14 × 5 种取法，故所求概率为 15 × 14 × 5 5 = 15 × 14 × 18 18 注： 上述是将样本空间中的元素看成是三次取完后的结果， 更简单的也可只考虑以第三次 取的结果作为样本空间中的元素，即在第一、第二次取到正品时，第三次取时有 18 种取法， 5 而在第一次、第二次取到正品时，第三次取次品有 5 种取法，故所求概率为 18 （2）此问是要求事件“第一、第二次取到正品，且第三次取到次品”的概率（与（1）不 同的在于这里没有将第一、第二次取到正品作为已知条件，而是同时发生） ，按题意，三次取 产品共有 20 × 19 × 18 种取法，而第三次才取到次品共有 15 × 14 × 5 种取法，故所求概率为
4、 P ( AB ) = P ( A − AB ) = P ( A) − P ( AB )
概率论与数理统计第五章习题解答.dot
第五章 假设检验与一元线性回归分析 习题详解5.01解：这是检验正态总体数学期望μ是否为32.0提出假设：0.32:,0.32:10≠=μμH H由题设，样本容量6n =， 21.12=σ，1.121.10==σ，所以用U 检验当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~61.10.320N X n X U -=-=σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}|{|=≥λU P ,查表得96.1=λ 得到拒绝域: 96.1||≥u计算得： 6.31)6.318.310.326.310.306.32(61=+++++⨯=x89.061.10.326.3100-=-=-=n x u σμ因 0.89 1.96u =<它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 0，而接受H 0，即可以认为0.32=μ，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度μ显著为32.0kg/cm 2。
5.02解：这是检验正态总体数学期望μ是否大于10提出假设：10:,10:10>≤μμH H 即：10:,10:10>=μμH H由题设，样本容量5n =，221.0=σ，1.01.020==σ，km x 万1.10=，所以用U 检验当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~51.010N X n X U -=-=σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='≥λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1≥u 计算得： 24.251.0101.100=-=-=n x u σμ 因 2.24 1.64u =>它落入拒绝域，于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1，即可认为10>μ所以可以认为这批新摩托车的平均寿命μ有显者提高。
5.03解：这是检验正态总体数学期望μ是否小于240提出假设：240:,240:10<≥μμH H 即：240:,240:10<=μμH H由题设，样本容量6n =，6252=σ，256250==σ，220=x ，所以用U 检验当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~625240N X n X U -=-=σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='-≤λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1-≤u 计算得：959.16252402200-=-=-=n x u σμ 因 1.959 1.64u =-<-它落入拒绝域，于是拒绝H 0，而接受H 1，即可以认为240<μ 所以可以认为今年果园每株梨树的平均产量μ显著减少。
概率论第五章习题答案
ˆ = min(x , x ,L, x ) 。 然函数 L 取得最大值，从而知 θ 1 2 n
16．设总体 X 的概率分布为
X
0
1
2θ (1 − θ )
2
3
P
θ2
θ2
1 − 2θ
其中 θ
1 (0 < θ < ) 是未知参数，利用总体 X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2， 2
3，求 θ 的矩估计值和极大似然估计值。
2 答案与提示：由于 X ~ N ( 3} = 0.1336
3．设 X 1 , X 2 , L , X n 为来自总体 X ~ P (λ ) 的一个样本， X 、 S 2 分别为样本均值 和样本方差。求 DX 及 ES 2 。 答案与提示：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体 期望、总体方差的关系，显然应由定理 5-1 来解决这一问题。
8．设 X 1 , X 2 , L , X n 为来自正态总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) 的一个样本， µ 已知，求 σ 2 的极大似然估计。 答案与提示：设 x1 , x 2 , L, x n 为样本 X 1 ，X 2 ，L ，X n 的一组观察值。则似然函数 为
( xi − µ ) 2 2σ
15．设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为
⎧2e −2( x −θ )， x > θ ， f ( x;θ ) = ⎨ 0 ， x θ ≤ ⎩
其中 θ > 0 为未知参数。又设 x1，x 2， L，x n 是 X 的一组样本观察值，求 θ 的极大似然 估计值。 答案与提示: 构造似然函数 L(θ ) = ∏ 2e
第五章 习题参考答案与提示
第五章 数理统计初步习题参考答案与提示
概率论与数理统计_习题答案_中国农业出版社_张雅文__李晓莉_主编
习题1解答1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =“出现奇数点”；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =“两次点数之和为10”，B =“第一次的点数，比第二次的点数大2”；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1，2，3，4，5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =“球的最小号码为1”；（4）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =“通过汽车不足5台”，B =“通过的汽车不少于3台”.解 （1）123456{,,,,,}ωωωωωωΩ=其中i ω=“出现i 点”1,2,,6i =， 135{,,}A ωωω=.（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)Ω=(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；{(4,6),(5,5),(6,4)}A =；{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =.（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)Ω=(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}A B Ω===.2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：（1）仅A 发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生.解 （1）ABC（2）ABAC BC 或ABC ABC ABC ABC ； （3）A B C 或ABCABC ABC ABC ABC ABC ABC ； （4）ABC ABC ABC ； （5）AB AC BC 或ABCABC ABC ABC ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品.解 （1）123A A A ；（2）123A A A ；（3）123123123A A A A A A A A A ；（4）121323A A A A A A .4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率.解 设A =“任取一电话号码后四个数字全不相同”，则4104126()0.50410250P P A === 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求（1）5只全是好的的概率；（2）5只中有两只坏的的概率.解 （1）设A =“5只全是好的”，则537540()0.662C P A C =； （2）设“5只中有两只坏的”，则23337540()0.0354C C P B C =.6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求（1）3个球的最小号码为5的概率；（2）3个球的最大号码为5的概率.解 （1）设A =“最小号码为5”，则253101()12C P A C ==； （2）设B =“最大号码为5”，则243101()20C P B C ==. 7．求下列事件的概率：（1） 一枚骰子连掷4次，至少出现一个6点；（2）两枚骰子连掷24次，至少出现一对6点.这是概率论发展历史中非常著名的一个问题(德·梅尔问题)，当年德·梅尔认为这两个事件的概率应当相同，但是在实际下赌注中发现其中一个发生的次数要稍微多些.为此他迷惑不解，把问题提交给了当时的数学家帕斯卡.下面我们就来具体计算一下两个事件的概率：设1A =“一枚骰子连掷4次，至少出现一个6点”， 2A =“两枚骰子连掷24次，至少出现一对6点”则 444144655()10.517766P A -==-≈，24242422424363535()10.49143636P A -==-≈ 8．（1）教室里有r 个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.解 （1）设A =“他们的生日都不相同”，则365()365r r P P A =； （2）设B =“至少有两个人的生日在同一个月”，则212223214121141241212441()1296C C P C C C P C P B +++==； 或 412441()1()11296P P B P B =-=-=. 9．从6双不同的鞋子中任取4只，求：⑴其中恰有一双配对的概率；⑵至少有两只鞋子配成一双的概率．解 ⑴分析：先从6双中取出一双，两只全取；再从剩下的5双中任取两双，每双中取到一只，则⑴中所含样本点数为1212252216C C C C C ，所以所求概率P ＝1212252216C C C C C /412C ＝3316 ⑵设B 表示“至少有两只鞋子配成一双”，则：=-=)(1)(B P B P 1－1212121.2.46C C C C C /C 412＝3317，或＝[/]2612122516C C C C C +C 412＝3317 [注]：不能把有利事件数取为2102216C C C ，否则会出现重复事件．这是因为，若鞋子标有号码1，2，…，6时，16C 可能取中第i 号鞋，此时210C 可能取中j 号一双，此时成为两双的配对为),(j i ；但也存在配对),(i j ，),(j i 与),(i j 是一种，出现了重复事件，即多出了26C 个事件．10．设事件A 与B 互不相容，()0.4,()0.3P A P B ==，求()P AB 与()P A B 解 ()1()1()()0.3P A B P A B P A P B =-=--= 因为,A B 不相容，所以A B ⊃，于是()()0.6P AB P A == 11．若()()P AB P AB =且()P A P =，求()P B .解 ()1()1()()()P A B P A B P A P B P A B =-=--+ 由()()P AB P AB =得()1()1P B P A p =-=-12．对任意三事件,,A B C ，试证()()()()P AB P AC P BC P A +-≤.证明 ()()()()()(P A B P A C P B C P A B P A C P A B C +-≤+- ()P AB AC ={()}()P A B C P A =≤. 证毕.13．随机地向半圆0y <<（a 为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴的夹角小于/4π的概率.解 半圆域如图设A =“原点与该点连线与x 轴夹角小于/4π”由几何概率的定义2221142()12a a A P A a ππ+==的面积半园的面积112π=+ 14．把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.解1 设A =“三段可构成三角形”，又三段的长分别为,,x y a x y --，则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<，不等式构成平面域S .A 发生0,0,222a a ax y x y a ⇔<<<<<+< 不等式确定S 的子域A ，所以 1()4A P A S ==的面积的面积 解2 设三段长分别为,,x y z ，则0,0,0x a y a z a <<<<<<且S .A 发生x y z ⇔+>x z y +>y z x +>不等式确定S 的子域A ，所以1()4A P A S ==的面积的面积. 15．随机地取两个正数x 和y ，这两个数中的每一个都不超过1，试求x 与y 之和不超过1，积不小于0.09的概率.解 01,01x y ≤≤≤≤，不等式确定平面域S .A =“1,0.09x y xy +≤≥”则A 发生的充要条件为01,10.09x y xy ≤+≤≥≥不等式确定了S 的子域A ，故0.90.10.9()(1)A P A x dx S x==--⎰的面积的面积 0.40.18ln 30.2=-=16．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =“任取一件是i 等品” 1,2,3i =，所求概率为 13133()(|)()P A A P A A P A =， 因为 312A A A =+ 所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+= 131()()0.6P A A P A ==故 1362(|)93P A A ==. 17．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =“所取两件中有一件是不合格品”i B =“所取两件中恰有i 件不合格” 1, 2.i =则 12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为 2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 18．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =“发现是同一颜色”，B =“全是白色”，C =“全是黑色”，则A B C =+，所求概率为 336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 19．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P AB 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10.P A B P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.4P B A P B P A B -=-=-=.20．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率.解 设A =“从乙袋中取出的是白球”，i B =“从甲袋中取出的两球恰有i 个白球”0,1,2i =. 由全概率公式001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++11223232222555416131021025C C C C C C C =⋅+⋅+⋅=. 21．已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产品确是合格品的概率.解 设A =“任取一产品，经检查是合格品”，B =“任取一产品确是合格品”，则 A B AB A =+ ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P AB =+ 0.960.980.040.050.9428=⨯+⨯=， 所求概率为()(|)0.960.98(|)0.998()0.9428P B P A B P B A P A ⨯===. 22．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：（1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率β.解 设A =“顾客买下该箱”，B =“箱中恰有i 件残次品”，0,1,2i =，（1）001122()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B α==++4419184420200.80.10.10.94C C C C =+⨯+⨯≈； （2）00()0.8(|)0.85()0.94P AB P B A P A β===≈. 23．某大型商场所出售的一种商品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，它们的产品在该卖场所占的份额依次为：60%，20%，10%，10%，且根据以往的检验记录知，它们的次品率分别为1%，2%，3%，2%. 现有一件商品因质量问题被退货，商场欲将该产品退给原厂家，或由其承担相关费用，但该产品的标识已脱落，从外观无法弄清生产厂家，请你通过计算分析，为该商场处理此事提出建议.解 用i A （1,2,3,4i =）分别表示产品来自甲、乙、丙、丁四个厂家，设B =“产品被退货” 则1()0.60P A =，2()0.20P A =，3()0.10P A =，4()0.10P A =，1()0.01P B A =，2()0.02P B A =，3()0.03P B A =，4()0.02P B A =(1)由全概率公式,41()()()0.600.010.200.020.100.030.100.020.015i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯+⨯=∑(2) 由贝叶斯公式,1111()()()0.600.016()()()0.01515P A P B A P A B P A B P B P B ⨯==== 2222()()()0.200.024()()()0.01515P A P B A P A B P A B P B P B ⨯==== 3333()()()0.100.033()()()0.01515P A P B A P A B P A B P B P B ⨯==== 4444()()()0.100.022()()()0.01515P A P B A P A B P A B P B P B ⨯==== 以上结果表明,这只产品来自甲工厂的可能性最大，尽管甲厂次品率最低，但甲厂所占的份额大，所以该产品出自甲厂的可能性最大.处理办法：商场可以将该产品退回甲厂，也可按照比例6:4:3:2由四个厂家分摊相关费用.24．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，求甲击中的概率.解 设A =“目标被击中”，i B =“第i 个人击中” 1,2,i = 所求概率为11111212()()()(|)()()1()P B A P B P B P B A P A P B B P B B ===+- 0.60.7510.40.5==-⨯. 25．设()0,()0P A P B >>，证明A 、B 互不相容与A 、B 相互独立不能同时成立. 证明 若A 、B 互不相容，则AB φ=，于是()0()()0P AB P A P B =≠>所以A 、B 不相互独立.若A 、B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =>，于是AB φ≠，即A 、B 不是互不相容的.注：从上面的证明可得到如下结论：1）若A 、B 互不相容，则A 、B 又是相互独立的()0P A ⇔=或()0P B =.2）因A BA BA =+，所以()()()P A P BA P BA =+如果 ()1P B =，则()0P BA =，从而()()()()P AB P A P A P B ==可见概率是1的事件与任意事件独立，自然，必然事件与任意事件独立.如果()0P B =，则()0()()P AB P A P B ==，即概率是零的事件与任意事件独立，自然，不可能事件与任何事件独立.26．证明若三事件,,A B C 相互独立，则A B 及A B -都与C 独立. 证明 {()}()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ABC ==+-()()()()()()()P B P C P B P C P A P B P C =+-[()()()]()P A P B P AB P C =+-()()P AB PC = 即A B 与C 独立.{()}()()()()()()P A B C P A B C P A P B P C P A B P C -===)()P A BP C =- 即 A B -与C 相互独立.27．某个公司招聘员工，指定三门考试课程，目前有两种考试方案：方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中任选两门，两门都及格为考试通过.若某应聘者对三门指定课程及格的概率分别为,,a b c ，且三门课程之间及格与否互不影响.（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（2） 哪种方案对应聘者更有利？为什么？解 设i A =“考生参加第i 门考试且及格”，j B =“第i 个方案通过”，则1123123123123()()()()()P B P A A A P A A A P A A A P A A A =+++(1)(1)(1)a bc a b c a b c a b c =-+-+-+ 2a b b c c a a b c=++- 2121323111()()()()333P B P A A P A A P A A =++1()3ab bc ac =++ 由于 ,,(0,1)a b c ∈，所以1222()()()2((1)(1)(1))033P B P B ab bc ac abc ab c bc a ac b -=++-=-+-+-≥ 因此方案一比方案二更容易通过.28．图中1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率均为p ，且设各继电器闭合与否相互独立，求L 至R 是通路的概率.解 设A =“L R -是通路”，i B =“第i 个接点闭合” 1,2,3,4,5i =，则1245135432A B B B B B B B B B B =1245135432234512()()()()()()()P A P B B P B B P B B B P B B B P B B B B P B B B B =+++-- 12451235134512345()()()()P B B B B P B B B B P B B B B P B B B B B ---- 123451234512345()()()P B B B B B P B B B B B P B B B B B +++23451234512345()()2252.P B B B B B P B B B B B p p p p +-=+-+29．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，求该射手的命中率.解 设该射手的命中率为p ，由题意4801(1)81p =--，41(1)81p -=，113p -= 所以 23p =. 30．设一批晶体管的次品率为0.01，今从这批晶体管中抽取4个，求其中恰有一个次品和恰有两个次品的概率.解 1344(1)(0.01)(0.99)0.0388P C ==.22244(2)(0.01)(0.99)0.000588P C ==.31．设在伯努里试验中，成功的概率为p ，求第n 次试验时得到第r 次成功的概率. 解 设A =“第n 次试验时得到第r 次成功”，则A =“前1n -次试验，成功1r -次，第n 次试验出现成功”，所以()P A P =（前1n -次试验，成功1r -次）P （第n 次试验成功）11111(1)(1)r r n r r r n r n n C pp p C p p -------=-⋅=-.32．设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品，不能出厂.现该厂生产了(2)n n ≥台仪器（假定各台仪器的生产过程相互独立）.求（1）全部能出厂的概率α；（2）其中恰有两台不能出厂的概率β；（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ.解 设A =“任取一台可以出厂”，B =“可直接出厂”，C =“需进一步调试”.则 A B AC A =+， ()()(|)()(|)0.70.30.8P A P B P A B P C P A C p=+=+⨯== 将n 台仪器看作n 重伯努里试验，成功的概率为p ，于是（1）(0.94)n α=，（2）222(0.06)(0.94)n n C β-=，（3）11(0.94)(0.06)(0.94)n n n θ-=--⨯⨯.习题2解答1．试说明下列函数能否为某随机变量的分布函数.10,0,()sin ,0,21,.2x F x x x x ππ⎧<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩ 20,0,()ln(1),0.1x F x x x x <⎧⎪=⎨+≥⎪+⎩解 1()F x 是；2()F x 不是，因为2()01F +∞=≠.2．设随机变量X 的分布函数为0,1,1,1,4(),11,1,1.x x F x ax b x x <-⎧⎪⎪=-⎪=⎨⎪+-<<⎪≥⎪⎩ 且1(1)2P X ==，试求：（1）常数,a b 的值；（2）(21)P X -<<. 解 (1) 由于(1)(1)lim ()x F F x →-+-=，即(1)1lim ()4x ax b b a →-+=+=-. 又1(1)(1)(10)2P X F F ===-- 11lim()1x ax b a b →-=-+=--.由上两式知13,88a b ==.(2) 11(21)(10)(2)lim()2x P X F F ax b a b →--<<=---=+=+=. 3．将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以X 表示放球最多的盒子中球的个数，试求X 的分布列及其分布函数()F x .解 12123434422(2)33C C C C P X ⋅+===；1334428(3)327C C P X ⋅===； 1341(4)327C P X ===.0,2,2,23,3()2826,34,327272811, 4.32727x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪=⎨+=≤<⎪⎪⎪++=≥⎪⎩ 4．现定期发行某种彩票，每注1元，中奖率为p . 某人每次购买1注，如果没有中奖下次再继续购买1注，直至中奖为止. 试求该人购买次数X 的分布列.解 1()(1),1,2,k P X k p p k -==-=.5．一袋中装有m 个不同的白球，n m -个不同的黑球，连续从袋中不放回地取球，直至取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，试求X 的分布列.解 11(1)(1)()(),0,1,2,(1)()k m n m k n A C m m m k n m P X k k m A n n n k -+--+-====--.6．设随机变量X 的分布列为试求：（1）常数c 的值；（2）在2X ≤的条件下0X >的概率. 解 (1) 由23173 +2+=1 25210c c c -+-知32c =或2. 又72202-⨯<，故2c =舍去，X 0 1 2 3 P232c c - 15 722c - 310即32c =. (2) (02)(1)(2)(0|2)1(2)1(3)P X P X P X P X X P X P X <≤=+=>≤===≤-=.7．设离散型随机变量X 的分布函数为0,2,0.2,21,()0.4,12,1, 2.x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩试求：（1）X 的分布列；（2）(02)P X ≤≤；（3）设sin cos66XXY ππ=，求Y 的分布函数()Y F y .解 (1) X 可以取值2,1,2-.(2)(2)(20)0.200.2P X F F =-=----=-=； (1)(1)(10)0.40.20.2P X F F ==--=-=； (2)(2)(20)10.40.6P X F F ==--=-=.故X 的分布列为(2) (02)(1)(2)0.8P X P X P X ≤≤==+==. (或(2)(00)10.20.8F F =--=-=) (3) 由于1sin 23X Y π=，从而Y 分布列为 即X2- 1 2 P0.20.2 0.6Y4-4 4P0.2 0.2 0.6所以，0,4()0.2,0.20.81,Y x F y x x ⎧<-⎪⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪+=≥⎪⎪⎩8．设连续型随机变量X 的分布函数为32,0,(),0.x c x F x a be x -<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩ 试求：（1）常数,,a b c 的值；（2）随机变量X 的密度函数；（3）0lim (|2|)x P X x →-≤.解 (1) 由()0F -∞=知0c =；由()1F +∞=知1a =；由()F x 在0点连续知0(0)lim ()x F F x →-=，即0a b +=，故1b =-.(2) 在()F x 导数存在的处有()()f x F x '=，所以，3220,0,()3,0.2x x f x x e x -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩(3) 由于()F x 为连续函数，故lim (|2|)lim((2)(2))(2)(2)0x x P X x F x F x F F →→-≤=+--=-=.9．设连续型随机变量X 的密度函数为2,01,()2,12,0,ax x f x x x ⎧≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎩其他.Y4-4P0.2 0.8试求：（1）常数a 的值；（2）随机变量X 的分布函数；（3）13()22P X <<. 解（1）由于1220111()(2)32a f x dx ax dx x dx +∞-∞==+-=+⎰⎰⎰. 故32a =.（2）当0x <时，()0F x =；当01x ≤≤时，23031()22xF x t dt x ==⎰； 当12x <≤时，1220131()(2)2122x F x t dt t dt x x =+-=--⎰⎰；当2x >时，()1F x =. 故，320,0,1,01,2()121,1221, 2.x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤≤⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎪>⎩（3）132212113313()(2)22216P X x dx x dx <<=+-=⎰⎰. 10．设连续型随机变量()X Exp λ，证明：对一切实数0s >，0t >有 (|)()P X s t X t P X s >+>=>.证明 由于()X Exp λ，从而其分布函数为0,0,()1,0.xx F x e x λ-≤⎧⎪=⎨->⎪⎩ 故，对一切实数0s >，0t >，(,)()(|)()()P X s t X t P X s t P X s t X t P X t P X t >+>>+>+>==>>()1()1()1()1()s t t P X s t F s t e P X t F t eλλ-+--≤+-+===-≤-1()()s e F s P X s λ-==-=>.11．设离散型随机变量X 的分布列为1()(1),1,2,k P X k p p k -==-=，其中01p <<，证明：对任意正整数,m n 有(|)()P X n m X m P X n >+>=>，（上述分布列对应的分布称为参数为p 的几何分布，上述性质称为几何分布的无记忆性）. 解 111()()(1)(1)k n k n k n P X n P X k p p p +∞+∞-=+=+>===-=-∑∑.从而， (,)()(|)()()P X n m X m P X n m P X n m X m P X m P X m >+>>+>+>==>> (1)(1)()(1)n m nmp p P X n p +-==-=>-. 12．某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为0.001，现购买2000张彩票，试求：（1） 此人中奖的概率；（2）至少有3张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）. 解 设中奖的彩票数为X ，则(2000,0.001)XB .（1）2000(1)1(0)1(0.999)0.8648P X P X ≥=-==-≈. （2）由于20000.0012⨯=，故(3)1(0)(1)(2)P X P X P X P X ≥=-=-=-=012222221()150.32330!1!2!e e --≈-++=-≈.13．假设测量的随机误差(0,4)X N ，试求在10次独立重复测量中，至少有二次测量误差的绝对值大于3.92的概率.解 3.92 3.92(|| 3.92)1( 3.92 3.92)1(()())22P X P X >=--<<=-Φ-Φ- 22(1.96)0.05=-Φ=.设Y 为10次测量中误差的绝对值大于3.92的次数，则(10,0.05)YB . 故(2)1(0)(1)P Y P Y P Y ≥=-=-=1019101(0.95)0.05(0.95)0.0861C =--⨯⨯≈.14．一个完全不懂中文的外国人去参加一个中文考试，假设此考试有5个选择题，每题有4个选择，其中只有一个正确答案，试求：此人能答对3题以上而及格的概率. 解 设X 为答对的题目数，则1(5,)4XB . 故(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ≥==+=+=3324415555513131()()()()()44444C C C =⨯⨯+⨯⨯+⨯530.1035512=≈ 15．假设一保险公司在任何长为t 的时间内发生索赔的次数()N t 服从参数为(0)t λλ>的泊松分布，试求：（1）相继两次索赔之间时间间隔Y 的分布；（2）在保险公司6小时内无索赔的情况下，再过4小时仍无索赔的概率. 解 （1）当0y >时，0()()(()0)0!yy y P Y y P N y e e λλλ-->====，故，()1()1y Y F y P Y y e λ-=->=-；当0y ≤时，()()0Y F y P Y y =≤=. 从而，Y 的密度函数为,0,()0,0.y Y e y f y y λλ-⎧>⎪=⎨≤⎪⎩故，()Y Exp λ.（2）所求概率为(64|6)P Y Y >+>. 由第10题的结论知4(64|6)(4)P Y Y P Y e λ->+>=>=.16．设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，其密度函数()f x 为偶函数. 试证明：对任意实数0a >，有（1）01()1()()2a F a F a f x dx -=-=-⎰； （2）(||)2()1P X a F a <=-； （3）(||)2(1())P X a F a >=-.证明 由于()f x 为偶函数，所以，()()f x f x -=. 从而，()()f x dx f x dx +∞-∞=⎰⎰. 又()1f x dx +∞-∞=⎰，所以，01()()2f x dx f x dx +∞-∞==⎰⎰. （1） ()()()()y xaaaF a f x dx f y dy f y dy =--+∞+∞-∞-==-=⎰⎰⎰1()1()a f y dy F a -∞=-=-⎰.又001()()()()2aaa f y dy f y dy f y dy f y dy -∞-∞=+=+⎰⎰⎰⎰. 所以，由上式知，00111()1()()22a a F a f y dy f y dy -=--=-⎰⎰.（2）(||)()()()(1())2()1P X a F a F a F a F a F a <=--=--=-. （3）(||)1(||)1(2()1)2(1())P X a P X a F a F a >=-<=--=-. 17．设随机变量(1,4)XN ，试求：（1）(6)P X <；（2）(23)P X -<<；（3）(7)P X >. 解 （1）61(6)()(2.5)0.99382P X -<=Φ=Φ=； （2）3121(23)()()(1)(1(1.5))0.774522P X ----<<=Φ-Φ=Φ--Φ=； （3）71(7)1(7)1()1(3)0.001352P X P X ->=-≤=-Φ=-Φ=. 18．设随机变量(2,2)Z U -，随机变量1,1,1,1;Z X Z -≤-⎧⎪=⎨>-⎪⎩ 1,1,1,1.Z Y Z -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩试求：（1）二维随机变量(,)X Y 的联合分布列；（2）(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y . 解 （1）由(2,2)ZU -知其密度函数为1,22,4()0,.z f z ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他 1211(1,1)(1,1)(1)44P X Y P Z Z P Z dz --=-=-=≤-≤=≤-==⎰； (1,1)(1,1)0P X Y P Z Z =-==≤->=；1111(1,1)(1,1)(11)42P X Y P Z Z P Z dz -==-=>-≤=-<≤==⎰； 2111(1,1)(1,1)(1)44P X Y P Z Z P Z dz ===>->=>==⎰.故，(,)X Y 的联合分布列为（2）当1x <-或1y <-时，(,)0F x y =；当11,11x y -≤<-≤<时，1(,)(1,1)4F x y P X Y ==-=-=； 当11,1x y -≤<≥时，1(,)(1,1)(1,1)4F x y P X Y P X Y ==-=-+=-==； 当1,11x y ≥-≤<时，3(,)(1,1)(1,1)4F x y P X Y P X Y ==-=-+===； 当1,1x y ≥≥时，(,)1F x y =. 从而，1,11,143,1,11,(,)41,1,1,0,x y x y F x y x y ⎧-≤<≥-⎪⎪⎪≥-≤<=⎨⎪≥≥⎪⎪⎩其他.19．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为(),01,01,(,)0,k x y x y f x y +<<<<⎧⎪=⎨⎪⎩其他.试求：（1）常数k 的值；（2）X 与Y 的边缘密度函数()X f x 及()Y f y ；（3）(1)P X Y +<及1()2P X <.解 （1）11001(,)()f x y dxdy k x y dxdy k +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰.（2）()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰.当0x ≤或1x ≥时，()0X f x =； 当01x <<时，11()()2X f x x y dy x =+=+⎰.故，1,01,2()0,X x x f x ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他.类似地，1,01,2()0,Y y y f y ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他.（3）11001(1)(())3xP X Y x y dy dx -+<=+=⎰⎰； 12120113()()()228X P X f x dx x dx -∞<==+=⎰⎰或121003(())8x y dy dx =+=⎰⎰. 20．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为1,01,02,(,)0,x y x f x y <<<<⎧⎪=⎨⎪⎩其他.试求：（1）X 与Y 的边缘密度函数()X f x 及()Y f y ；（2）X 与Y 相互独立吗？（3）2Z X Y =-的密度函数()Z f z .解 （1）()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰.当0x ≤或1x ≥时，()0X f x =； 当01x <<时，20()12xX f x dy x ==⎰.故，2,01,()0,X x x f x <<⎧⎪=⎨⎪⎩其他.()(,)Y f y f x y dx +∞-∞=⎰.当0y ≤或2y ≥时，()0Y f y =； 当01y <<时，12()112Y y y f y dx ==-⎰. 故，1,02,2()0,Y y y f y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他.（2）由于当(,){01,02}x y x y x ∈<<<<时，(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅，且区域{01,02}x y x <<<<的面积不为0，所以，X 与Y 不相互独立. （3）先求2Z X Y =-的分布函数()Z F z .()()(2)Z F z P Z z P X Y z =≤=-≤.当02z≤，即0z ≤时，()0Z F z =； 当012z<<，即02z <<时，2122221()(1)(1)4z x xZ z x zF z dy dx dy dx z z -=+=-⎰⎰⎰⎰； 当12z≥，即2z ≥时，1200()(1)1x Z F z dy dx ==⎰⎰.从而，20,0,1(),02,41,2.Z z F z z z z z ≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎩ 所以，2Z X Y =-的密度函数为1,02,2()0,Z z z f z ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他.21．设二维离散型随机变量(,)X Y 的联合分布列试求：（1）X 与Y 的边缘分布列；（2）在Y 的条件下，X 的条件分布列；（3）X 与Y 相互独立吗？ 解 （1）（2）在0Y =的条件下，X 的条件分布列为0.1(1|0)0.40.25P X Y ====； 0.15(2|0)0.60.25P X Y ====.在1Y =的条件下，X 的条件分布列为0.2(1|1)0.40.5P X Y ====； 0.3(2|1)0.60.5P X Y ====；在2Y =的条件下，X 的条件分布列为0.1(1|2)0.40.25P X Y ====；0.15(2|2)0.60.25P X Y ====.（3）对任意的1,2;0,1,2i j ==可验证(,)()()P X i Y j P X i P Y j =====.所以，X 与Y 相互独立.22．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为（1）26(41),01,01,5(,)0,x xy x y f x y ⎧+<<<<⎪=⎨⎪⎩其他.（2）24(1),0,0,1,(,)0,y x y x y x y f x y -->>+<⎧⎪=⎨⎪⎩其他.试求：条件密度函数|(|)Y X f y x 及|(|)X Y f x y . 解 （1）先求边缘密度函数()X f x 及()Y f y .()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰.当0x ≤或1x ≥时，()0X f x =； 当01x <<时，123206126()(41)555X f x x xy dy x x =+=+⎰. X1 2 P0.4 0.6Y0 1 2P0.25 0.5 0.25故，32126,01,55()0,X x x x f x ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他.类似地，62,01,55()0,Y y y f y ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他.所以，当01x <<时，|41,01,(,)21(|)()0,Y X X xy y f x y x f y x f x +⎧<<⎪+==⎨⎪⎩其他.当01y <<时，2|3(41),01,(,)31(|)()0,X Y Y x xy x f x y y f x y f y ⎧+<<⎪+==⎨⎪⎩其他.（2）先求边缘密度函数()X f x 及()Y f y .()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰.当0x ≤或1x ≥时，()0X f x =； 当01x <<时，130()24(1)4(1)xX f x y x y dy x -=--=-⎰.故，34(1),01,()0,X x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他.类似地，212(1),01,()0,Y y y y f y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他.所以，当01x <<时，3|6(1),01,(,)(1)(|)()0,Y X X y x y y x f x y x f y x f x --⎧<<-⎪-==⎨⎪⎩其他.当01y <<时，2|2(1),01,(,)(1)(|)()0,X Y Y x y x y f x y y f x y f y --⎧<<-⎪-==⎨⎪⎩其他.23．设连续型随机变量X 的密度函数为2341,12,()20,x e xe x f x e-⎧--<<⎪=⎨⎪⎩其他.试求：21X -及||X 的密度函数.解 设21Y X =-，先求Y 的分布函数()Y F y ，在对其求导数.121()()(21)()()2y Y y F y P Y y P X y P X f x dx +-∞+=≤=-≤=≤=⎰.当112y +≤-，即3y ≤-时，()0Y F y =，故()0Y f y =； 当122y +≥，即3y ≥时，()1Y F y =，故()0Y f y =； 当1122y +-<<，即33y -<<时， 2132411()2y x Y e F y xe dx e+---=⎰， 故， 21(1)3324441111()()(1)2228y y Y Y e y e f y F y ey e e e ++---+-'===+.所以，21X -的密度函数为2(1)3441(1),33,()80,.y Y e y e y f y e+-⎧-+-<<⎪=⎨⎪⎩其他设||Z X =，先求Z 的分布函数()Z F z ，在对其求导数.()()(||)Z F z P Z z P X z =≤=≤.当0z <时，()0Z F z =，故()0Z f z =； 当0z ≥时，()()()zZ zF z P z X z f x dx -=-≤≤=⎰.当10z -<-≤，即01z ≤<时，2341()2zx Z z e F z xe dx e ---=⎰， 故， 22341()()()02z z Z Z e f z F z ze ze e---'==-=； 当1z -≤-且02z ≤≤，即12z ≤≤时，23411()2zx Z e F z xe dx e ---=⎰， 故， 2341()()2z Z Z e f z F z ze e --'==； 当1z -≤-且2z >，即2z >时，232411()12x Z e F z xe dx e ---==⎰，故()0Z f z =. 所以，||X 的密度函数为2341,12,()20,.z Z e ze z f z e -⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他24．设连续型随机变量X 的密度函数为1,10,21(),02,40,x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他.令2Y X =，(,)F x y 为二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数. 试求：（1）Y 的密度函数()Y f y ；（2）1(,4)2F -. 解 （1）先求Y 的分布函数()Y F y ，在对其求导数.2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤.当0y <时，()0Y F y =，故()0Y f y =；当0y ≥时，()(()Y F y P X f x dx =≤=.当1>-，即01y ≤<时，1()24YF y dx dx==故，123()()8Y Yf y F y y-'==；当1≤-2，即14y≤<时，1011()242YF y dx dx-=+=+⎰故，121()()8Y Yf y F y y-'==；当1≤-2，即4y≤时，()1YF y=，故()0Yf y=.所以，12123,01,81(),14,80,Yy yf y y y--⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它.（2）2111(,4)(,4)(,4)222F P X Y P X X-=≤-≤=≤-≤121111(2)224P X dx--=-≤≤-==⎰.25．设随机变量(0,1)X U，试求：X e及2X-的密度函数.解由(0,1)X U知其密度函数为1,01,()0,.xf x<<⎧⎪=⎨⎪⎩其他设XY e=，函数()xy g x e==. 则min{(),()}0g gα=-∞+∞=，max{(),()}g gβ=-∞+∞=+∞. 由于()xy g x e==单调，反函数存在lnx y=且当(0,)y∈+∞时，1(ln)yy'=. 所以，当(0,)y∈+∞时，11()(ln )(ln )Y f y f y f y y y==. 从而，当0ln 1y <<，即1y e <<时，1()Y f y y =. 所以，XY e =的密度函数为1,1,()0,.Y y e y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他设2Z X-=，先求Z 的分布函数()Z F z ，在对其求导数.2()()()Z F z P Z z P X z -=≤=≤.当0z ≤时，()0Z F z =，故()0Z f z =； 当0z >时，21()1()1()Z F z P X z f x dx -=-<=-.1，即01z <≤时，1()110Z F z dx =-=⎰，故， ()0Y f y =；1，即1z >时，0()11Z F z dx =-= 321()()2Y Y f y F y z -'==.所以，2Z X -=的密度函数为321,1,()20,.Z z z f z -⎧>⎪=⎨⎪⎩其他26．设连续型随机变量X 的密度函数为121,14,()20,x x f x -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他.()F x 为随机变量X 的分布函数. 试求：（1）()F x ；（2）随机变量()Y F X =的密度函数.解 （1）()()()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰.当1x ≤时，()0F x =；当14x <<时，112211()12xF x t dt x -==-⎰； 当4x ≥时，()1F x =. 所以，120,1()1,14,1, 4.x F x x x x ≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎩（2）先求()Y F X =的分布函数()Y F y ，在对其求导数.()()(())Y F y P Y y P F X y =≤=≤.当0y <时，()0Y F y =，故()0Y f y =； 当01y ≤<时，()((),1)((),14)Y F y P F X y X P F X y X =≤≤+≤<<((),4)P F X y X +≤≥12(1)(1,14)0P X P X y X =≤+-≤<<+220((1),14)(1(1))P X y X P X y =+≤+<<=<≤+21(1)2112y x dx y +-==⎰. 故，()()1Y Y f y F y '==；当1y ≥时，()(())1Y F y P F X y =≤=，故()0Y f y =. 所以，()Y F X =的密度函数为1,01,()0,.Y y f y ≤<⎧⎪=⎨⎪⎩其他27．设随机变量X 的分布函数()F x 为严格单调的连续函数.（1）试证明随机变量()Y F X =服从均匀分布(0,1)U ；（2）若对任意实数x ，()1F x <且()ln(1())R x F x =--，试证明随机变量()Z R X =服从指数分布(1)Exp .解 由于()F x 为严格单调递增，从而()F x 的反函数存在且单调递增.（1）先求()Y F X =的分布函数()Y F y ，在对其求导数.()()(())Y F y P Y y P F X y =≤=≤.当0y <时，()0Y F y =，故()0Y f y =； 当1y ≥时，()(())1Y F y P F X y =≤=，故()0Y f y =； 当01y ≤<时，11()(())(())Y F y P X F y F F y y --=≤==. 故，()()1Y Y f y F y '==；所以，()Y F X =的密度函数为1,01,()0,.Y y f y <<⎧⎪=⎨⎪⎩其他即，()Y F X =服从均匀分布(0,1)U .（2）先求()Z R X =的分布函数()Z F z ，在对其求导数.()()(())(ln(1()))Z F z P Z z P R X z P F X z =≤=≤=--≤.当0z <时，()0Z F z =，故()0Z f z =； 当0z ≥时，()(ln(1()))(()1)z Z F z P F X z P F X e -=--≤=≤-11((1))((1))1z z zP X F e F F e e -----=≤-=-=-，故，()()zZ Z f z F z e -'==. 所以，,0,()0,0.z Z e z f z z -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩从而，()Z R X =服从指数分布(1)Exp .28．设离散型随机变量X 的分布列为试求：（1）常数a 的值；（2）22Y X =-的分布列.X 1- 0 1 2 P2a 14 a 12解 （1）由于111242a a =+++，故112a =. （2）由X 的分布列知，合并取1-的概率得Y 的分布列为11(,)X B n p ，29．设随机变量22(,)X B n p 且1X 与2X 相互独立，试证明1212(,)X X B n n p ++.证明 设12Z X X =+，可取120,1,2,,n n +. 从而，由1X 与2X 相互独立知，对任120,1,2,,k n n =+，0()()()ki P Z k P X i P Y k i =====-∑.由于11(,)X B n p ，22(,)X B n p ，故当1i n >时，1{}X i =是不可能事件，所以只须考虑1i n ≤； 当2k i n ->时，{}Y k i =-是不可能事件，所以只须考虑2i k n ≥-. 因此记2max{0,}a k n =-， 1m i n {,}b n k=， 则()()()ki P Z k P X i P Y k i =====-∑1212()(1)(1)bn i n k i ii k i k in n i a Cp p C p p -----==--∑ 1212(1)bn n kkik in n i ap p CC +--==-∑. 而由组合公式知Y 1- 2- 1- 2P 16 14 112 12Y2- 1- 2P 0.25 0.25 0.51212bi k i k n n n n i aCC C -+==∑. 所以，121212()(1),0,1,2,,n n k k kn n P Z k C p p k n n +-+==-=+.这说明1212(,)X X B n n p ++.30．设随机变量(0,1)XU ，(1)YExp 且X 与Y 相互独立，Z X Y =+，试求：（1）(2)P X Y -≥-；（2）Z 的密度函数.解 由(0,1)XU ，(1)Y Exp 知，X 与Y 的密度函数分别为1,01,()0,.X x f x <<⎧⎪=⎨⎪⎩其他 及 ,0,()0,0.yY e y f y y -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩又由X 与Y 相互独立知(,)X Y 的一个联合密度函数为,01,0,(,)0,.ye x yf x y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩其他（1）()12320(2)1x y P X Y e dy dx e e +----≥-==+-⎰⎰.（2）设Z X Y =+的密度函数为()Z f z . 由于X 与Y 相互独立，从而()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞=-⎰.由()X f x ，()Y f z x -不等于零的区域知01,0.x z x <<⎧⎨->⎩所以，当0z ≤时，()0Z f z =；当01z <<时，()0()11zz x z Z f z edx e ---==-⎰； 当1z ≥时，1()0()1(1)z x zZ f z e dx e e ---==-⎰. 所以，1,01,()(1),1,0,.z z Z e z f z e e z --⎧-<<⎪⎪=-≥⎨⎪≤⎪⎩z 031．设离散型随机变量X 的分布列为连续型随机变量Y 的密度函数为()f y 且X 与Y 相互独立. 试问随机变量X Y +为连续型吗？若是，求其密度函数.解 设X Y +的分布函数为()G z ，则由X 与Y 相互独立知()()G z P X Y z =+≤(,1)(,1)P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤= (1,1)(1,1)P Y z X P Y z X =≤+=-+≤-=(1,1)(1,1)(1,P Y z X P Y z X P Y z X =≤+≤-+≤-≤-≤-≤- (1)(1)(1)(1)(1)(1)P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+≤-+≤-≤-≤-≤-(1)(1)(1)(1)P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤-=110.4()0.6()z z f y dy f y dy +--∞-∞=+⎰⎰(0.4(1)0.6(1))z f x f x dx -∞=++-⎰.所以，X Y +为连续型，其密度函数为0.4(1)0.6(1)f z f z ++-.习题3解答1．设有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去逐一试开门锁，设每把钥匙被取到的可能性相等. 若每把钥匙试开一次后除去，试求试开次数X 的数学期望及方差. （提示：222(1)(21)1236n n n n ++++++=）解 X 的分布列为111(),1,2,,k n kn A P X k k n A n--====.从而， 111()()2nk n E X k n =+=⨯=∑. X1- 1 P 0.4 0.6。
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2222. ppppp
.co
(1 q)S 1 q q2 qk 1
1,1 q
m
qS q 2q 3q kq ,(2)
23
6•设随机变量X分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差.(1)f(x)
1|x|
e；2
1|x|,|x|1,
(2)f(x)
0,|X|1；
daw
网
1522
x(x 2),0 x 2,
2k 1
p(1 2q 3q kq
S1 2q 3q kq
2
22 p k 1 x q (1 x) x q
kpq
),
,(1)
k
则
(1)-(2)得
所以
S
从而，得
EX pS p
2
2
ww
w.kh
于是
S1
2222n1
p(1 2q 3q nq ) pS1,
22232n
qS1
q 2q 3q
nq,
2n
1
(1
q)S1 1
5
P(T10)P(X0)(0.8)0.3277 P(T5)P(X 1)C50.2
似地可求出T的分布为4
ww
T2
P0.05790.20480.40960.3277
所以一周内的期望利润为
ET20.057950.4096100.3277
5.209(万元)
•55•
da
w
2
所以
案网
1 45
4488.1581405
0510
.co
828218
101091098
3•假设自动线加工的某种零件的内径 或大于12为不合格品，销售每件合格品获利,
（元）与零件的内径X有如下关系：
X（毫米）服从正态分布N（,1），内径小于10销售每件不合格品亏损，已知销售利润T
解ET1
P(X 10)20
P(10 X
12)5 P(X 12)
10
3q
5q
(2n1)q
S2,
23n
qS2
q 3q
5q
(2n
1)q,
2q2q2n 1
(1 q)S2 12(q q
1qp
12q
S2 2,
PP
所以
课
EXp(故得X的方差为
后
EX p 2pq 3pq
S212q23,ppp
2
DX EX2 (EX)2
•58•
daw
2
2
2
n 1
11
2
pp
答案网
(1q)2p2 12q12q p2p3pp2
(3)EX
x(x
2)dx
(x 4x4 4x3)dx
016160
2
1
2
1
2
2
xe xdx 2[ xe x
1
1
x(1 |x|)dx0,
15x6454x4 1516
x1,
1665401615
15615x74x64x58254
EX,(x 4x 4x)dx01616765
所以
DX EX (EX)
2
2
2
2
ww
81
,EX
454515
EX
DX EX (EX)
2
w.kh
求1周内期望利润是多少？
1
2•假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若
1周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5
解设一周所获利润为T(万元)，则T的可能值为10,5,0,2.
内发生故障的次数，则X〜B(5,0.2)，于是，
axdx (cx b)dx
) 20[ (12
(10
)]5[1
(12)]1
ww
w.kh
25(12
两边取对数得
22
In
21
(10
)2
(10
)2]21
12
25
)(12
(10
212252
11In
12
时，平均利润最大.
4•从学校到火车站的途中有 独立的，并且概率都是
的分布律、分布函数和数学期望.解X~B（3,即
223
)，分布律为P(X k) C3k(k()3k555
1. 77
(4)EX
10
x2dx
10
3
21
122x382
31, (2x x)dx x
331331
2
EX
xdx (2x2 x3)dx
1
12114
(81)(161), 43412
•59•
.co
0
0
e xdx] 2.
m
DX
612 1
1 X
7•在习题三第4题中求E解因X的分布为 所以E
w.kh
解（1）1
f(x)dx
k1
ppkq
k1
p (x)
k
k 1
w.kh
由函数的幂级数展开有
其中q1p
x
k 0
k
1,1 x
1 1
1 p EX p
(1x)21 x x q
因为
x q
ww
EX
2
k
k 1
pq
k 1
x 2 p k
,p x( x)p
2
所以
DX EX (EX)
2
2 p1q
222
PPP
.co
x q
1. p
m
•57•
解2 EX P 2pq 3pq
dw
2
2
dET
25(12)21(10) d
案网
21 25
25. 21
2，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X5
k0,123.
•56•
.c
o
问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大
m
1,若X 10,
T20,若10 X 12,
5,若X12.
X
***********]38 125
X的分布函数为
x
0,
(3)f(x) 16
x,0 x 1,
(4)f(x)2 x,1 x
2,
0,其他.
1
（因为被积函数为奇函数）
x
|x|dx 0,解(1)EX
2
12
DXEXx2e |x|dx
x2e
xdx
0 2
xe(2)EX
2x
w.kh
2
x3x411
DXEX
x(1
|x|)dx
2 (x x)dx 2[]0
01634
215152532
概率论与数理统计习题五课后答案
习题五
1•假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，
则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品 只数的数学期望和方差。解 设X为已取出的废品只数，则X的分布为
X
即
012
PX
0810
1845
2
P
课
822，454598442
0,
27
,0 x 1,
12581
,1
x
2, F(x)
125117
2
x
3,125,
x
3.
1,
5472241506EX
[1**********]55
P(X k) (1 p)
后
求EX与DX解1 EX
daw
k1
k1
5•设随机变量服从几何分布，其分布列为
答案p,0p 1,k1,2,
k p x
k 1 x q
课
k(1 p)