北师大版八年级上册数学 1.1 探索勾股定理 教案

1.1 探索勾股定理 教案

【学习目标】

1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；

2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；

3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．

【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222

a b c +=．

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长

可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的

目的．

（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．

要点二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．

图（1）中，所以．

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．

图（2）中，所以．

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

，所以．

要点三、勾股定理的作用

1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；

2. 用于解决带有平方关系的证明问题；

3． 与勾股定理有关的面积计算；

4．勾股定理在实际生活中的应用．

【典型例题】

类型一、勾股定理的直接应用

例题1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．

（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；

（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．

【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．

【答案与解析】

解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，

所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．

（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，

所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．

【总结】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．

举一反三：

【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．

（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；

（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．

【答案】

解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10，

∴ 2222210664a c b =-=-=，

∴ a ＝8．

（2）设3a k =，5c k =，

∵ ∠C ＝90°，b ＝32，

∴ 222a b c +=．

即222(3)32(5)k k +=．

解得k ＝8．

∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．

类型二、与勾股定理有关的证明

例题2、阅读下面的材料

勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．

由图1可以得到（a+b）2=4×，

整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．

所以a2+b2=c2．

如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：

由图2可以得到，

整理，得，

所以．

【答案与解析】

证明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，

∴c2=4×ab+（b﹣a）2，

整理，得

2ab+b2﹣2ab+a2=c2，

∴c2=a2+b2．

故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．

【总结】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．

举一反三：

【变式】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于（）

A．AC2B．BD2C．BC2D．DE2

【答案】连接AD 构造直角三角形，得

，选A ．

类型三、与勾股定理有关的线段长

例题3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【答案】D ；

【解析】

解：设AB ＝x ，则AF ＝x ，

∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ，

∴ △ABE ≌△AFE ．BE ＝EF ，

EC ＝BC －BE ＝8－3＝5，

在Rt △EFC 中，

由勾股定理解得FC ＝4，

在Rt △ABC 中，()2

2284x x +=+，解得6x =． 【总结】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解． 类型四、与勾股定理有关的面积计算

例题4、如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）

A ．6

B ．5

C ．11

D ．16

【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b 是正方形，可求△ABC ≌△CDE ．由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积．

【答案】D

【解析】

解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，

∴∠ACB=∠DEC ，

在△ABC 和△CDE 中，

∵ABC CDE ACB DEC AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩