社会统计学(卢淑华),第四章
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3、二点分布----一次贝努里试验的概率分布； 二项分布----n次贝努里试验的概率分布；
4、二点分布是二项分布的特殊情况
.
5、二点分布 ：
变量的取值只有两类 ；
x
0
p
q
代码：0、1 ；
1
p
分布列：
6、二点分布的性质
1）P（=0）>0 P（=1） >0
2）P（=0）+ P（=1）=q+p=1
3）二点分布的期望与方差
n x
P x m• N m
Cn N
（x=0，1，……）
当N很大，n较小时，超几何分布近似二项分 布。
.
第六节 泊松分布
一、公式：
P
x • e
x!
它是二项分布（n,p）的极限分布，只有一
个参数λ 。
.
二、泊松分布的性质
1、泊松分布为离散型随机变量分布，取值为0和一切正整 数。X=0，1，2，……
2、泊松分布的数学期望和方差
x
x 0 x!
D
2百度文库
E
E
x
x e 2
2
2
• x!
x0
泊松分布参数的实际内容为它是其分布的数学期望 或方 差。
应用：
设在填写居民身份证1000张卡片中，共发现错字300个， 问每张居民身份证出现错字数的概率分布如何？
.
续前
3、当P0.1，甚至在n不必很大的情况下， 这种近似也存在，当n10时，这种近似 程度就很好了
第四讲
二项分布及其它离散型随机变量的分布
.
第一节 二点分布
1、贝努里试验 指只有两个可能结果的随机试验。 在现实生活中许多随机现象只有两种结果， 如，男-女；出现-不出现；合格-不合格等。 关注的结果---“成功”；另一结果—“失败”
2、n重贝努里试验 如果试验在相同的条件下重复n次，并且每次 的试验结果相互独立，则称n重贝努里试验。
1、全不吸烟 2、1人吸烟 3、至少2人吸烟 4、2-4人吸烟
.
三、二项分布的数学期望
E
n
x
•
P
n
x
x
x•
Cp q x
n••
nx
n
•
p
x 0
x 0
5、二项分布的方差等于
2
2
6、查表方法
.
例：
根据生命表，年龄为60岁的人，可望活 到下年的概率P=0.95。设某单位年龄为 60岁的人共有10人，问：
.
第五节 超几何分布 1、适用条件：小群体研究 2、例： 设小组共有10名成员，7男3女。从中任
抽3名，求其中男性人数的概率分布。
.
超几何分布的概念及公式
设总体性质共分为两类：A类和非A类。总体总 数N。A类共有m个，从中任抽n个（nN-m）， 则n中含有A类个数“”的概率分布为
C C x
P1 P2 P3 1 所以，三项分布也可写成：
Px1 , x2
n!
P P 1x1 2x2
1
P1
Pn 2
x
x
1
2
x1! x2 !n x1 x2
.
例：
1、某班有学员30名，其中兄弟民族 13 名。任抽5名，求其中兄弟民族 人数的概率分布。
2、一批产品共20件，其中6件不合 格。任抽3件，求不合格产品的概率 分布。
二、变量在某一取值区间的概率
1）A至多出现m次的概率
C p q m
P0 m
x
x nx
n• •
x 0
2）A至少出现m次的概率
C p q n
P mn
x
x
nx
n• •
x m
3）A出现次数不少于a不大于b的概率
C p q b
Pa b
x
x nx
n• •
x a
.
例：
教师中吸烟的比例为50%，随机抽查教 师10人，求概率：
E（）=0 ·q+1 ·p=p
D（）= E（2） （ E）2=02 ·q+12 ·p p2= p p2
7、二分变量中取值0和1 只表示定类变量的编码，这种变
量又称虚拟变量。
.
第二节 排列不组合
一、排列
1、重复排列：
R
m n
n
n
2、非重复排列：
Pm
n nn1
3、全排列
P n n! n
.
n mn
n! nn m m! 1
例:
任选5个数字，可组成多个编号？
30人的班级，任意安排2人担任正副班 长，有多少种排法？
5种户型的住房，分给5人，有多少种分 配方案？
.
二、组合：
Cm n
Pm n
Pm m
nn
1
m!
n
m
1 n! m!n
m!
例： 家庭成员共8人，问有多少对人际关系？ （2人形成一对人际关系，且与方向无关）
.
第三节 二项分布
一、二项分布 1、与二点分布的区别
将同样的实验或观察，独立的重复n次 例：连续投掷硬币四次
2、推广：P x Cnx • P x • 1 P n x
3、二次分布的定义：n次实验中事件A出现次 数的概
率分布。简写为：Bn, p
（n：实验次数 P：A在每次实验中出现的概率）
.
（1）其中有9人活到下年的概率为多少 （2）至少有9人活到下年的概率为多少 （3）至多有9人活到下年的概率为多少
.
第四节 多项分布
以三项分布作为研究对象，依此类推
三项分布： P x1 , x2 , x3 n! P P P 1 x1 2 2x 3 x3
x1! x2 ! x3!
因为：x1 x2 x3 n
如：同一地点的交通事故。
.
例
某城市一交叉路口每年平均发生交通事 故5起，如果交通事故的发生服从泊松分 布，在指定的一年内以下交通事故发生 的概率是多少？
1、8次或以上 2、不多于2次 3、3-11之 间
.
.
例题
已知某校有5%的学生是贫困生，随机抽 出50人，求下列情况的概率：
1、至多2位贫困生 2、至少1位贫困生
.
解
设贫困生数为X，则X～b（50，0.05）， n很大，p很小，近似服从泊松分布。
λ =50*0.05=2.5 1、查累积泊松分布表，p(x≤2）=0.5438 2、p(x≥1)=1-p(x=0)=0.9179
.
续泊松分布的性质
4、泊松分布适合稀少事件的研究，也就是P值都 很小的情况。对于事件流，如果满足以下三个 条件： 1）稳定性：概率规律在时间上是不变的 2）独立性：在不相交的时间间隔内，发生两 个以上事件是 相互独立的 3）普遍性：在同一瞬间内，发生两个以上事 件是不可能的。 则：随机事件发生次数的概率分布满足泊松 发分布。
4、二点分布是二项分布的特殊情况
.
5、二点分布 ：
变量的取值只有两类 ；
x
0
p
q
代码：0、1 ；
1
p
分布列：
6、二点分布的性质
1）P（=0）>0 P（=1） >0
2）P（=0）+ P（=1）=q+p=1
3）二点分布的期望与方差
n x
P x m• N m
Cn N
（x=0，1，……）
当N很大，n较小时，超几何分布近似二项分 布。
.
第六节 泊松分布
一、公式：
P
x • e
x!
它是二项分布（n,p）的极限分布，只有一
个参数λ 。
.
二、泊松分布的性质
1、泊松分布为离散型随机变量分布，取值为0和一切正整 数。X=0，1，2，……
2、泊松分布的数学期望和方差
x
x 0 x!
D
2百度文库
E
E
x
x e 2
2
2
• x!
x0
泊松分布参数的实际内容为它是其分布的数学期望 或方 差。
应用：
设在填写居民身份证1000张卡片中，共发现错字300个， 问每张居民身份证出现错字数的概率分布如何？
.
续前
3、当P0.1，甚至在n不必很大的情况下， 这种近似也存在，当n10时，这种近似 程度就很好了
第四讲
二项分布及其它离散型随机变量的分布
.
第一节 二点分布
1、贝努里试验 指只有两个可能结果的随机试验。 在现实生活中许多随机现象只有两种结果， 如，男-女；出现-不出现；合格-不合格等。 关注的结果---“成功”；另一结果—“失败”
2、n重贝努里试验 如果试验在相同的条件下重复n次，并且每次 的试验结果相互独立，则称n重贝努里试验。
1、全不吸烟 2、1人吸烟 3、至少2人吸烟 4、2-4人吸烟
.
三、二项分布的数学期望
E
n
x
•
P
n
x
x
x•
Cp q x
n••
nx
n
•
p
x 0
x 0
5、二项分布的方差等于
2
2
6、查表方法
.
例：
根据生命表，年龄为60岁的人，可望活 到下年的概率P=0.95。设某单位年龄为 60岁的人共有10人，问：
.
第五节 超几何分布 1、适用条件：小群体研究 2、例： 设小组共有10名成员，7男3女。从中任
抽3名，求其中男性人数的概率分布。
.
超几何分布的概念及公式
设总体性质共分为两类：A类和非A类。总体总 数N。A类共有m个，从中任抽n个（nN-m）， 则n中含有A类个数“”的概率分布为
C C x
P1 P2 P3 1 所以，三项分布也可写成：
Px1 , x2
n!
P P 1x1 2x2
1
P1
Pn 2
x
x
1
2
x1! x2 !n x1 x2
.
例：
1、某班有学员30名，其中兄弟民族 13 名。任抽5名，求其中兄弟民族 人数的概率分布。
2、一批产品共20件，其中6件不合 格。任抽3件，求不合格产品的概率 分布。
二、变量在某一取值区间的概率
1）A至多出现m次的概率
C p q m
P0 m
x
x nx
n• •
x 0
2）A至少出现m次的概率
C p q n
P mn
x
x
nx
n• •
x m
3）A出现次数不少于a不大于b的概率
C p q b
Pa b
x
x nx
n• •
x a
.
例：
教师中吸烟的比例为50%，随机抽查教 师10人，求概率：
E（）=0 ·q+1 ·p=p
D（）= E（2） （ E）2=02 ·q+12 ·p p2= p p2
7、二分变量中取值0和1 只表示定类变量的编码，这种变
量又称虚拟变量。
.
第二节 排列不组合
一、排列
1、重复排列：
R
m n
n
n
2、非重复排列：
Pm
n nn1
3、全排列
P n n! n
.
n mn
n! nn m m! 1
例:
任选5个数字，可组成多个编号？
30人的班级，任意安排2人担任正副班 长，有多少种排法？
5种户型的住房，分给5人，有多少种分 配方案？
.
二、组合：
Cm n
Pm n
Pm m
nn
1
m!
n
m
1 n! m!n
m!
例： 家庭成员共8人，问有多少对人际关系？ （2人形成一对人际关系，且与方向无关）
.
第三节 二项分布
一、二项分布 1、与二点分布的区别
将同样的实验或观察，独立的重复n次 例：连续投掷硬币四次
2、推广：P x Cnx • P x • 1 P n x
3、二次分布的定义：n次实验中事件A出现次 数的概
率分布。简写为：Bn, p
（n：实验次数 P：A在每次实验中出现的概率）
.
（1）其中有9人活到下年的概率为多少 （2）至少有9人活到下年的概率为多少 （3）至多有9人活到下年的概率为多少
.
第四节 多项分布
以三项分布作为研究对象，依此类推
三项分布： P x1 , x2 , x3 n! P P P 1 x1 2 2x 3 x3
x1! x2 ! x3!
因为：x1 x2 x3 n
如：同一地点的交通事故。
.
例
某城市一交叉路口每年平均发生交通事 故5起，如果交通事故的发生服从泊松分 布，在指定的一年内以下交通事故发生 的概率是多少？
1、8次或以上 2、不多于2次 3、3-11之 间
.
.
例题
已知某校有5%的学生是贫困生，随机抽 出50人，求下列情况的概率：
1、至多2位贫困生 2、至少1位贫困生
.
解
设贫困生数为X，则X～b（50，0.05）， n很大，p很小，近似服从泊松分布。
λ =50*0.05=2.5 1、查累积泊松分布表，p(x≤2）=0.5438 2、p(x≥1)=1-p(x=0)=0.9179
.
续泊松分布的性质
4、泊松分布适合稀少事件的研究，也就是P值都 很小的情况。对于事件流，如果满足以下三个 条件： 1）稳定性：概率规律在时间上是不变的 2）独立性：在不相交的时间间隔内，发生两 个以上事件是 相互独立的 3）普遍性：在同一瞬间内，发生两个以上事 件是不可能的。 则：随机事件发生次数的概率分布满足泊松 发分布。